Moduļus saturošu funkciju grafiku konstruēšana parasti rada ievērojamas grūtības skolēniem. Tomēr viss nav tik slikti. Pietiek atcerēties vairākus algoritmus šādu problēmu risināšanai, un jūs varat viegli attēlot pat šķietami sarežģītāko funkciju. Apskatīsim, kādi ir šie algoritmi.
1. Funkcijas y = |f(x)| attēlošana
Ņemiet vērā, ka funkciju vērtību kopa y = |f(x)| : y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki vienmēr pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.
Funkcijas y = |f(x)| attēlošana sastāv no šādām vienkāršām četrām darbībām.
1) Uzmanīgi un rūpīgi izveidojiet funkcijas y = f(x) grafiku.
2) Atstājiet nemainīgus visus diagrammas punktus, kas atrodas virs vai uz 0x ass.
3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski ap 0x asi.
Piemērs 1. Uzzīmējiet funkcijas y = |x 2 - 4x + 3| grafiku
1) Mēs izveidojam funkcijas y \u003d x 2 - 4x + 3 grafiku. Ir skaidrs, ka šīs funkcijas grafiks ir parabola. Atradīsim visu parabolas krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm un parabolas virsotnes koordinātas.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Tāpēc parabola punktos (3, 0) un (1, 0) krustojas ar 0x asi.
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Tāpēc parabola krusto 0y asi punktā (0, 3).
Parabolas virsotņu koordinātas:
x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Tāpēc punkts (2, -1) ir šīs parabolas virsotne.
Izmantojot saņemtos datus, uzzīmējiet parabolu (1. att.)
2) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x asi.
3) Mēs iegūstam sākotnējās funkcijas grafiku ( rīsi. 2, parādīts ar punktētu līniju).
2. Funkcijas y = f(|x|) attēlošana
Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = f(|x|) ir pāra:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki ir simetriski ap 0y asi.
Funkcijas y = f(|x|) attēlošana sastāv no šādas vienkāršas darbību ķēdes.
1) Atzīmējiet funkciju y = f(x).
2) Atstājiet to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
3) Parādiet (2) punktā norādīto diagrammas daļu simetriski pret 0y asi.
4) Kā pēdējo grafiku atlasiet (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.
2. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = x 2 – 4 · |x| grafiku + 3
Tā kā x 2 = |x| 2 , tad sākotnējo funkciju var pārrakstīt šādi: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Un tagad mēs varam izmantot iepriekš piedāvāto algoritmu.
1) Mēs rūpīgi un rūpīgi veidojam funkcijas y \u003d x 2 - 4 x + 3 grafiku (skatiet arī rīsi. 1).
2) Atstājam to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
3) Parādiet diagrammas labo pusi simetriski pret 0y asi.
(3. att.).
Piemērs 3. Uzzīmējiet funkcijas y = log 2 |x| grafiku
Mēs izmantojam iepriekš norādīto shēmu.
1) Uzzīmējam funkciju y = log 2 x (4. att.).
3. Funkcijas y = |f(|x|)| attēlošana
Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = |f(|x|)| ir arī vienmērīgi. Patiešām, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), un tāpēc to grafiki ir simetriski ap 0y asi. Šādu funkciju vērtību kopa: y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.
Lai attēlotu funkciju y = |f(|x|)|, jums ir nepieciešams:
1) Izveidojiet precīzu funkcijas y = f(|x|) grafiku.
2) Atstājiet nemainītu diagrammas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās.
3) Diagrammas daļai, kas atrodas zem 0x ass, jābūt attēlotai simetriski attiecībā pret 0x asi.
4) Kā pēdējo grafiku atlasiet (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.
4. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = |-x 2 + 2|x| grafiku – 1|.
1) Ņemiet vērā, ka x 2 = |x| 2. Tādējādi sākotnējās funkcijas vietā y = -x 2 + 2|x| - 1
varat izmantot funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jo to grafiki ir vienādi.
Mēs veidojam grafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Šim nolūkam mēs izmantojam 2. algoritmu.
a) Uzzīmējam funkciju y \u003d -x 2 + 2x - 1 (6. att.).
b) Atstājam to grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
c) Parādīt iegūto grafika daļu simetriski pret 0y asi.
d) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (7. att.).
2) Virs 0x ass nav punktu, punktus uz 0x ass atstājam nemainīgus.
3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x.
4) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (8. att.).
5. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vispirms jums jāatzīmē funkcija y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Lai to izdarītu, mēs atgriežamies pie 2. algoritma.
a) Uzmanīgi uzzīmējiet funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (9. att.).
Ņemiet vērā, ka šī funkcija ir lineāri frakcionēta un tās grafiks ir hiperbola. Lai izveidotu līkni, vispirms jāatrod diagrammas asimptoti. Horizontāli - y \u003d 2/1 (koeficientu attiecība pie x daļas skaitītājā un saucējā), vertikālā - x \u003d -3.
2) Diagrammas daļa, kas atrodas virs vai uz 0x ass, tiks atstāta nemainīga.
3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiks parādīta simetriski attiecībā pret 0x.
4) Galīgais grafiks ir parādīts attēlā (11. att.).
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Funkciju y=x^2 sauc par kvadrātfunkciju. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Parabolas vispārējais skats ir parādīts attēlā zemāk.
kvadrātiskā funkcija
1. attēls. Parabolas vispārējs skats
Kā redzams no grafika, tas ir simetrisks pret Oy asi. Asi Oy sauc par parabolas simetrijas asi. Tas nozīmē, ka diagrammā virs šīs ass velciet taisnu līniju paralēli Vērša asij. Tad tas šķērso parabolu divos punktos. Attālums no šiem punktiem līdz y asij būs vienāds.
Simetrijas ass sadala parabolas grafiku it kā divās daļās. Šīs daļas sauc par parabolas zariem. Un parabolas punktu, kas atrodas uz simetrijas ass, sauc par parabolas virsotni. Tas ir, simetrijas ass iet cauri parabolas augšdaļai. Šī punkta koordinātas ir (0;0).
Kvadrātfunkcijas pamatīpašības
1. Ja x=0, y=0 un y>0 ja x0
2. Kvadrātfunkcija sasniedz savu minimālo vērtību savā virsotnē. Ymin pie x=0; Jāņem vērā arī tas, ka funkcijas maksimālā vērtība nepastāv.
3. Funkcija samazinās uz intervāla (-∞; 0] un palielinās uz intervālu; grafiks f (x) \u003d x + 2 ir taisne, kas ir paralēla taisnei f (x) \u003d x, bet ir nobīdīta uz augšu par divām vienībām un tāpēc iet caur punktu ar koordinātām (0,2) (jo konstante ir 2).
Sarežģītas funkcijas uzzīmēšana
Atrodiet funkcijas nulles. Funkcijas nulles ir mainīgā "x" vērtības, pie kurām y = 0, tas ir, tie ir diagrammas krustošanās punkti ar x asi. Ņemiet vērā, ka ne visām funkcijām ir nulles, bet tas ir pirmais solis jebkuras funkcijas grafika zīmēšanas procesā. Lai atrastu funkcijas nulles, iestatiet to vienādu ar nulli. Piemēram:
Atrodiet un marķējiet horizontālās asimptotes. Asimptote ir līnija, kurai funkcijas grafiks tuvojas, bet nekad nešķērso (tas ir, funkcija šajā apgabalā nav definēta, piemēram, dalot ar 0). Atzīmējiet asimptotu ar punktētu līniju. Ja mainīgais "x" atrodas daļdaļas saucējā (piemēram, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), iestatiet saucēju uz nulli un atrodiet "x". Iegūtajās mainīgā "x" vērtībās funkcija nav definēta (mūsu piemērā velciet punktētas līnijas caur x = 2 un x = -2), jo nevar dalīt ar 0. Bet asimptoti pastāv ne tikai gadījumos, kad funkcija satur daļēju izteiksmi. Tāpēc ieteicams izmantot veselo saprātu:
"Dabiskais logaritms" - 0,1. naturālie logaritmi. 4. "Logaritmiskās šautriņas". 0.04. 7.121.
"Jaudas funkcijas pakāpe 9" - U. Kubiskā parabola. Y = x3. 9. klases skolotāja Ladoškina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n kur n ir dots naturāls skaitlis. X. Eksponents ir pāra naturāls skaitlis (2n).
"Kvadrātfunkcija" - 1 Kvadrātfunkcijas definīcija 2 Funkcijas īpašības 3 Funkciju grafiki 4 Kvadrātvienādības 5 Secinājums. Īpašības: Nevienlīdzības: Sagatavojis Andrejs Gerlics, 8.A klases skolnieks. Plāns: Grafiks: - Monotoniskuma intervāli pie a > 0 pie a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Kvadrātfunkcija un tās grafiks" — lēmums. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pieder. Ja a=1, formulai y=ax ir forma.
"8. klases kvadrātiskā funkcija" - 1) Konstruējiet parabolas virsotni. Kvadrātfunkcijas zīmēšana. x. -7. Uzzīmējiet funkciju. Algebra 8. klase Skolotājs 496 skola Bovina TV -1. Būvniecības plāns. 2) Konstruē simetrijas asi x=-1. y.
Nodarbība par tēmu: "Funkcijas $y=x^3$ grafiks un īpašības. Grafika piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 7. klasei
Elektroniskā mācību grāmata 7. klasei "Algebra 10 minūtēs"
Izglītības komplekss 1C "Algebra, 7.-9.klase"
Funkcijas $y=x^3$ īpašības
Aprakstīsim šīs funkcijas īpašības:
1. x ir neatkarīgais mainīgais, y ir atkarīgais mainīgais.
2. Definīcijas joma: ir skaidrs, ka jebkurai argumenta (x) vērtībai ir iespējams aprēķināt funkcijas (y) vērtību. Attiecīgi šīs funkcijas definīcijas domēns ir visa skaitļa līnija.
3. Vērtību diapazons: y var būt jebkas. Attiecīgi diapazons ir arī visa skaitļu līnija.
4. Ja x= 0, tad y= 0.
Funkcijas $y=x^3$ grafiks
1. Izveidosim vērtību tabulu:
2. Par pozitīvas vērtības x, funkcijas $y=x^3$ grafiks ir ļoti līdzīgs parabolai, kuras zari ir vairāk "piespiesti" uz OY asi.
3. Tā kā funkcijai $y=x^3$ ir pretējas vērtības x negatīvajām vērtībām, funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Tagad atzīmēsim punktus koordinātu plakne un izveidojiet grafiku (skat. 1. att.).
Šo līkni sauc par kubisko parabolu.
Piemēri
I. Mazajam kuģim beidzās saldūdens. Nepieciešams no pilsētas atvest pietiekami daudz ūdens. Ūdens tiek pasūtīts iepriekš un samaksāts par pilnu kubu, pat ja jūs to iepilda nedaudz mazāk. Cik kubu vajadzētu pasūtīt, lai nepārmaksātu par papildu kubu un pilnībā piepildītu tvertni? Ir zināms, ka tvertnei ir vienāds garums, platums un augstums, kas ir vienādi ar 1,5 m Atrisināsim šo problēmu, neveicot aprēķinus.
Risinājums:
1. Atzīmēsim funkciju $y=x^3$.
2. Atrodiet punktu A, koordinātu x, kas ir vienāda ar 1,5. Redzam, ka funkcijas koordināte atrodas starp vērtībām 3 un 4 (skat. 2. att.). Tātad jums ir jāpasūta 4 kubi.
