Ja divu taisnu krustpunktā trešā. Divu taisnu paralēlisma pazīmes

Divu taisnu paralēlisma pazīmes

Teorēma 1. Ja krustpunktā divas secīgas taisnes:

krustošanās leņķi ir vienādi, vai

attiecīgie leņķi ir vienādi, vai

vienpusējo leņķu summa ir 180 °, tad

taisnas līnijas ir paralēlas(1. att.).

Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādījumu.

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā AB, krustošanās leņķi ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.

Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M, un tāpēc viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais stūris. Precizitātes labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais stūris, bet ∠ 6 - iekšējais stūris. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.

Secinājums 1. Divas dažādas taisnes plaknē, kas ir perpendikulāra tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).

komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pretrunu vai samazināšanu līdz absurdam. Šī metode ieguva savu pirmo nosaukumu, jo spriešanas sākumā tiek izteikts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par samazināšanu līdz absurdam tāpēc, ka, argumentējot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (līdz absurdam). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.

1. mērķis. Izveidojiet taisni, kas iet caur doto punktu M un paralēli noteiktai taisnei a, nevis iet caur punktu M.

Risinājums. Novelciet caur punktu M taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).

Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.

No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, jūs vienmēr varat novilkt taisnu līniju, kas ir paralēla dotajai.

Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.

Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tikai viena taisne, paralēla dotajai.

Apsveriet dažas paralēlu līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.

1) Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru (4. att.).

2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).

Pareiza ir arī sekojošā teorēma.

2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes krusto sekants, tad:

krustošanās leņķi ir vienādi;

attiecīgie leņķi ir vienādi;

vienpusējo leņķu summa ir 180 °.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra otrai(skat. 2. att.).

komentēt. 2. teorēmu sauc par apgrieztu 1. teorēmai. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir otrādi, tas ir, ja šī teorēma ir patiesa. , tad teorēmas otrādi var neatbilst patiesībai.

Paskaidrosim to, izmantojot vertikālo leņķu teorēmas piemēru. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Teorēma, kas tai pretēja, būtu šāda: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem vispār nav jābūt vertikāliem.

1. piemērs. Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka atšķirība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30 °. Atrodiet šos stūrus.

Risinājums. Ļaujiet 6. attēlam atbilst nosacījumam.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja divu trešo taisnu krustpunktā iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni ЕF un ∠1 = ∠2. Ņem punktu O - segmenta KL sekanta EF vidu (Zīm.).

Nometīsim perpendikulu ОМ no punkta O uz taisni AB un turpināsim līdz krustpunktam ar taisni CD, AB ⊥ МN. Pierādīsim, ka СD ⊥ МN.

Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: ∠1 = ∠2 pēc teorēmas hipotēzes; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;

∠MOL = ∠NOK, kā vertikālie leņķi. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tāpēc ΔMOL = ΔNOK un līdz ar to ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO ir tiešs, tāpēc arī ∠КNО ir tiešs. Tādējādi taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, tāpēc tās ir paralēlas, kas bija jāpierāda.

Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustojumu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180 °.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD būs paralēlas, ja attiecīgie leņķi ir vienādi to trešās taisnes EF krustpunktā.

Lai daži atbilstošie leņķi ir vienādi, piemēram, ∠ 3 = ∠2 (att.);

∠3 = ∠1, kā vertikālie leņķi; tāpēc ∠2 būs vienāds ar ∠1. Bet leņķi 2 un 1 ir šķērsām esoši iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divu trešo taisnu krustpunktā šķērsvirziena iekšējie leņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja divu taisnu krustpunktā trešie atbilstošie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Šī īpašība ir balstīta uz paralēlu līniju konstruēšanu, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri. Tas tiek darīts šādi.

Mēs pievienojam trīsstūri lineālam, kā parādīts attēlā. Mēs pārvietosim trijstūri tā, lai tā viena mala slīdētu gar lineālu, un kādā otrā trijstūra pusē mēs novilksim vairākas taisnas līnijas. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Pieņemsim, ka mēs zinām, ka trešās taisnes divu taisnu AB un CD krustpunktā dažu iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180 °). Vai šajā gadījumā taisnes AB un CD būs paralēlas (Zīm.).

Ļaujiet ∠1 un ∠2 būt iekšējiem vienpusējiem leņķiem un summējiet tos līdz 2 d.

Bet ∠3 + ∠2 = 2 d jo stūri atrodas blakus. Tāpēc ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Tādējādi ∠1 = ∠3, un šie iekšējie leņķi ir šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja divu taisnu krustpunktā trešā, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 2 d (vai 180 °), tad šīs divas līnijas ir paralēlas.

Paralēlu līniju zīmes:

1. Ja divu taisnu krustpunktā trešie iekšējie krustojuma guļus leņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.
2. Ja divu taisnu krustpunktā trešie atbilstošie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
3. Ja divu taisnu krustpunktā iekšējo vienpusējo leņķu trešā summa ir 180°, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
4. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.
5. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

Eiklida paralēlisma aksioma

Uzdevums. Caur punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla taisnei AB.

Izmantojot pārbaudītās teorēmas par līniju paralēlisma kritērijiem, šo problēmu var atrisināt dažādos veidos,

Risinājums. 1. ar apmēram ar aptuveni b (199. att.).

Caur punktu М uzzīmē МN⊥АВ un zīmē СD⊥МN;

mēs iegūstam СD⊥МN un АВ⊥МN.

Pamatojoties uz teorēmu ("Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei, tad tās ir paralēlas."), secinām, ka СD || AB.

2. ar apmēram ar aptuveni b (200. att.).

Uzzīmējam MK, kas krusto AB jebkurā leņķī α, un caur punktu M novelkam taisni EF, kas veido leņķi EMC ar taisni MK, kas vienāds ar leņķi α. Pamatojoties uz teorēmu (), secinām, ka ЕF || AB.

Atrisinot šo uzdevumu, varam uzskatīt, ka ir pierādīts, ka caur jebkuru punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni. Rodas jautājums, cik taisnu līniju, kas ir paralēlas noteiktai taisnei un iet caur noteiktu punktu, var pastāvēt?

Konstrukciju prakse ļauj pieņemt, ka šāda taisne ir tikai viena, jo ar rūpīgi izpildītu zīmējumu caur vienu un to pašu punktu paralēli vienai tai pašai taisnei dažādos veidos novilktas taisnes saplūst.

Teorētiski atbildi uz šo jautājumu sniedz tā sauktā Eiklīda paralēlisma aksioma; tas ir formulēts šādi:

Caur punktu, kas atrodas ārpus šīs taisnes, jūs varat novilkt tikai vienu taisnu līniju, kas ir paralēla šai taisnei.

201. zīmējumā caur punktu O ir novilkta taisne CK, kas ir paralēla taisnei AB.

Jebkura cita taisne, kas iet caur punktu O, vairs nebūs paralēla taisnei AB, bet krustos to.

Aksiomu, ko Eiklīds pieņēma savos "Principos", kas nosaka, ka plaknē caur punktu, kas ņemts ārpus dotās taisnes, var novilkt tikai vienu taisni, kas ir paralēla šai taisnei, sauc. Eiklida paralēlisma aksioma.

Vairāk nekā divus gadu tūkstošus pēc Eiklida daudzi matemātiķi mēģināja pierādīt šo matemātisko apgalvojumu, taču viņu mēģinājumi vienmēr bija nesekmīgi. Tikai 1826. gadā izcilais krievu zinātnieks, Kazaņas universitātes profesors Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis pierādīja, ka, izmantojot visas pārējās Eiklīda aksiomas, šo matemātisko apgalvojumu nevar pierādīt, ka tas tiešām ir jāuztver kā aksioma. NI Lobačevskis izveidoja jaunu ģeometriju, kuru atšķirībā no Eiklida ģeometrijas sauc par Lobačevska ģeometriju.

Šī nodaļa ir veltīta paralēlu līniju izpētei. Tas ir divu taisnu līniju nosaukums plaknē, kas nekrustojas. Paralēlu līniju griezumus mēs redzam vidē - tās ir divas taisnstūra galda malas, divas grāmatas vāka malas, divi ratiņu stieņi utt. Paralēlām līnijām ir ļoti liela nozīme ģeometrijā. Šajā nodaļā jūs uzzināsiet par to, kas ir ģeometrijas aksiomas un kas ir paralēlo līniju aksioma - viena no slavenākajām ģeometrijas aksiomām.

1. sadaļā mēs atzīmējām, ka divām taisnēm vai nu ir viens kopīgs punkts, tas ir, tās krustojas, vai arī tām nav neviena kopīga punkta, tas ir, tās nekrustojas.

Definīcija

Taisņu a un b paralēlismu apzīmē šādi: a || b.

98. attēlā redzamas taisnes a un b, kas ir perpendikulāras taisnei c. 12. sadaļā konstatējām, ka šādas taisnes a un b nekrustojas, tas ir, tās ir paralēlas.

Rīsi. 98

Kopā ar paralēlām līnijām bieži tiek apsvērtas paralēlas līnijas. Abi segmenti tiek saukti paralēli ja tie atrodas uz paralēlām līnijām. 99. attēlā segmenti AB un CD ir paralēli (AB || CD), un segmenti MN un CD nav paralēli. Līdzīgi tiek noteikts nogriežņa un taisnes (99. att., b), stara un taisnes, segmenta un stara, divu staru paralēlisms (99. att., c).

Rīsi. 99 Divu taisnu paralēlisma pazīmes

Taisni ar sauc sekants attiecībā pret taisnēm a un b, ja tā tās krusto divos punktos (100. att.). Taisņu a un b secant c krustpunktā veidojas astoņi stūri, kas 100. attēlā apzīmēti ar cipariem. Dažiem šo leņķu pāriem ir īpaši nosaukumi:

krusteniski stūri: 3 un 5, 4 un 6;
vienpusēji stūri: 4 un 5, 3 un 6;
atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7.

Rīsi. simts

Apsveriet trīs paralēlisma pazīmes divām taisnēm, kas saistītas ar šiem leņķu pāriem.

Teorēma

Pierādījums

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā AB, krustošanās leņķi ir vienādi: ∠1 = ∠2 (101. att., a).

Pierādīsim, ka a || b. Ja leņķi 1 un 2 ir taisni (101. att., b), tad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei AB un līdz ar to ir paralēlas.

Rīsi. 101

Apsveriet gadījumu, kad leņķi 1 un 2 nav taisni.

No nogriežņa AB vidus O novelkam perpendikulāru OH taisnei a (101. att., c). Uz taisnes b no punkta B atliekam nogriezni BH 1, kas vienāds ar nogriezni AH, kā parādīts 101. attēlā, c un uzzīmējam nogriezni OH 1. Trijstūri ОНА un ОН 1 В ir vienādi no divām malām un leņķis starp tiem (AO = BO, AH = BH 1, ∠1 = ∠2), tāpēc ∠3 = ∠4 un ∠5 = ∠6. No vienādības ∠3 = ∠4 izriet, ka punkts H 1 atrodas uz stara OH paplašinājuma, tas ir, punkti H, O un H 1 atrodas uz vienas taisnes, un no vienādības ∠5 = ∠6 no tā izriet, ka leņķis 6 ir taisna līnija (jo leņķis 5 ir taisns). Tātad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei HH 1, tāpēc tās ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Pieņemsim, ka taisnes krustpunktā a un b sekanti ar atbilstošajiem leņķiem ir vienādi, piemēram, ∠1 = ∠2 (102. att.).

Rīsi. 102

Tā kā stūri 2 un 3 ir vertikāli, tad ∠2 = ∠3. No šīm divām vienādībām izriet, ka ∠1 = ∠3. Bet leņķi 1 un 3 ir šķērsām, tātad taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Ļaujiet taisnu līniju a un b krustpunktā apgriezties ar vienpusēju leņķu summu, kas vienāda ar 180 °, piemēram, ∠1 + ∠4 = 180 ° (sk. 102. att.).

Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus, ∠3 + ∠4 = 180 °. No šīm divām vienādībām izriet, ka šķērsvirziena leņķi 1 un 3 ir vienādi, tāpēc taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Praktiski veidi, kā veidot paralēlas līnijas

Taisnu līniju paralēlisma pazīmes ir pamatā paralēlu taisnu konstruēšanas metodēm, izmantojot dažādus praksē izmantojamus rīkus. Apsveriet, piemēram, metodi paralēlu līniju konstruēšanai, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu. Lai izveidotu taisni, kas iet caur punktu M un paralēli dotajai taisnei a, līnijai a pielietojam zīmēšanas kvadrātu un tai pielietojam lineālu, kā parādīts 103. attēlā. Pēc tam, pārvietojot kvadrātu pa lineālu, mēs panākt, ka punkts M atrodas kvadrāta malā, un novelciet līniju b. Taisnes a un b ir paralēlas, jo attiecīgie leņķi, kas 103. attēlā apzīmēti ar burtiem α un β, ir vienādi.

Rīsi. 103 104. attēlā parādīta metode paralēlu līniju konstruēšanai, izmantojot lidojuma kopni. Šo metodi izmanto zīmēšanas praksē.

Rīsi. 104 Līdzīgu paņēmienu izmanto, veicot galdniecības darbus, kur paralēlu taisnu līniju iezīmēšanai izmanto malku (divi koka dēļi, nostiprināti ar viru, 105. att.).

Rīsi. 105

Uzdevumi

186. 106. attēlā taisnes a un b šķērso taisne c. Pierādīt, ka a || b ja:

a) ∠1 = 37 °, ∠7 = 143 °;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45 °, un leņķis 7 ir trīs reizes lielāks par leņķi 3.

Rīsi. 106

187. Saskaņā ar 107. attēlu pierādiet, ka AB || DE.

Rīsi. 107

188. Segmenti AB un CD krustojas to kopējā vidū. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

189. Izmantojot 108. attēla datus, pierādiet, ka ВС || AD.

Rīsi. 108

190. 109. attēlā AB = BC, AD = DE, ∠C = 70 °, ∠EAC = 35 °. Pierādiet, ka DE || AC.

Rīsi. 109

191. Segments BK - trijstūra ABC bisektrise. Caur punktu K tiek novilkta taisna līnija, kas krusto malu BC punktā M tā, lai BM = MK. Pierādīt, ka taisnes KM un AB ir paralēlas.

192. Trijstūrī ABC leņķis A ir vienāds ar 40°, un leņķis BCE, kas atrodas blakus leņķim ACB, ir vienāds ar 80°. Pierādīt, ka leņķa ALL bisektrise ir paralēla taisnei AB.

193. Trijstūrī ABC ∠A = 40 °, ∠B = 70 °. Taisne BD tiek novilkta caur virsotni B tā, lai stars BC būtu leņķa ABD bisektrise. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

194. Uzzīmējiet trīsstūri. Caur katru šī trīsstūra virsotni, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla pretējai malai.

195. Uzzīmējiet trijstūri ABC un atzīmējiet punktu D AC malā. Caur punktu D, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnas līnijas, kas ir paralēlas pārējām divām trijstūra malām.

III NODAĻA.
PARALĒLĀ LĪNIJA

35.§ DIVU LĪNIJU PARALELITĀTES ZĪMES.

Teorēma, ka divi perpendikuli vienai taisnei ir paralēli (§ 33), dod divu taisnu paralēlisma kritēriju. Var secināt vispārīgākas divu taisnu līniju paralēlisma pazīmes.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja divu trešo taisnu krustpunktā iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni EF un / 1 = / 2. Ņem punktu O - segmenta KL sekanta EF vidu (189. att.).

Nometīsim perpendikulu ОМ no punkta O uz taisni AB un turpināsim līdz krustpunktam ar taisni CD, AB_ | _МN. Pierādīsim, ka СD_ | _МN.
Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: / 1 = / 2 pēc teorēmas nosacījuma; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;
/ MOL = / NOK kā vertikālie stūri. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tātad, /\ MOL = /\ NOK, un līdz ar to
/ LMO = / KNO, bet / Līdz ar to LMO ir taisns / KNO ir arī tiešs. Līdz ar to taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, tātad paralēlas (§ 33), kā nepieciešams.

Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustojumu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180 °.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD būs paralēlas, ja attiecīgie leņķi ir vienādi to trešās taisnes EF krustpunktā.

Lai, piemēram, daži atbilstošie leņķi būtu vienādi / 3 = / 2 (190. att.);
/ 3 = / 1, jo stūri ir vertikāli; nozīmē, / 2 būs vienādi / 1. Bet leņķi 2 un 1 ir krusteniski iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divu trešo taisnes krustpunktā iekšējie šķērsleņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja divu taisnu krustpunktā trešie atbilstošie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Šī īpašība ir balstīta uz paralēlu līniju konstruēšanu, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri. Tas tiek darīts šādi.

Uzliksim trijstūri lineālam, kā parādīts 191. zīmējumā. Trijstūri pārvietosim tā, lai tā viena mala slīdētu gar lineālu, bet kādā otrā trijstūra malā novelkam vairākas taisnas līnijas. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Ļaujiet / 1 un / 2 ir iekšējie vienpusējie stūri, un tos var pievienot līdz 2 d.
Bet / 3 + / 2 = 2d jo stūri atrodas blakus. Tāpēc / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

No šejienes / 1 = / 3, un šie iekšējie leņķi atrodas šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja divu taisnu krustpunktā trešā, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 2 d, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Vingrinājums.

Pierādīt, ka taisnes ir paralēlas:
a) ja ārējie krusta guļus leņķi ir vienādi (193. att.);
b) ja ārējo vienpusējo stūru summa ir 2 d(194. att.).

Divus stūrus sauc par vertikāliem, ja viena stūra malas ir otra stūra malu turpinājums.

Leņķi attēlā 1 un 3 kā arī leņķi 2 un 4 - vertikāli. Injekcija 2 ir blakus kā leņķis 1 un ar leņķi 3. Pēc blakus esošo stūru īpašībām 1 +2 = 180 0 un 3 +2 = 180 0. No šejienes mēs iegūstam: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Tādējādi leņķu pakāpes mēri 1 un 3 ir vienādi. No tā izriet, ka paši leņķi ir vienādi. Tātad vertikālie leņķi ir vienādi.

2. Trijstūru vienādības zīmes.

Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra abām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir vienādi.

Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trīsstūri ir vienādi.

3. Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir vienādi.

1 trīsstūru vienādības zīme:

Aplūkosim trijstūrus ABC un A 1 B 1 C 1, kuros AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, leņķi A un A 1 ir vienādi. Pierādīsim, ka ABC = A 1 B 1 C 1.
Tā kā (y) A = (y) A 1, tad trijstūri ABC var uzklāt uz trijstūra A 1 B 1 C 1 tā, lai virsotne A būtu saskaņota ar virsotni A1, bet malas AB un AC būtu uzliktas virsotnei A 1 B 1 C 1. stari A 1 B 1 un A 1 C 1. Tā kā AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tad AB puse tiks izlīdzināta ar A 1 B 1 pusi, bet maiņstrāvas puse - ar A 1 C 1 pusi; jo īpaši tiks apvienoti punkti B un B 1, C un C 1. Tāpēc malas BC un B 1 C 1 tiks apvienotas. Tātad trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 tiks pilnībā apvienoti, kas nozīmē, ka tie ir vienādi. CHTD

3. Teorēma par vienādsānu trijstūra bisektrisi.

Vienādsānu trijstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, ir mediāna un augstums.

Atsaucamies uz attēlu, kurā ABC ir vienādsānu trīsstūris ar pamatni BC, AD ir tā bisektrise.

No trijstūra ABD un ACD vienādības (ar 2 trijstūra vienādības zīmēm: AD - kopīgs; leņķi 1 un 2 ir vienādi, jo AD bisektrise; AB = AC, jo trijstūris ir vienādsānu) izriet, ka BD = DC un 3 = 4. Vienādība ВD = DC nozīmē, ka punkts D ir malas ВС vidus un līdz ar to АD ir trijstūra ABC mediāna. Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus un ir vienādi viens ar otru, tie ir taisni. Līdz ar to segments AO ir arī trijstūra ABC augstums. CHTD.

4. Ja taisnes ir paralēlas -> leņķis…. (neobligāti)

5. Ja leņķis ... ..-> taisnas līnijas ir paralēlas (pēc izvēles)

Ja divu taisnu sekantu krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas.

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā secan c attiecīgie leņķi ir vienādi, piemēram, 1 = 2.

Tā kā stūri 2 un 3 ir vertikāli, tad 2 = 3. No šīm divām vienādībām izriet, ka 1 = 3. Bet leņķi 1 un 3 ir šķērsām, tāpēc taisnes a un b ir paralēlas. CHTD.

6. Teorēma par trijstūra leņķu summu.

Trijstūra leņķu summa ir 180 0.

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC un pierādiet, ka A + B + C = 180 0.

Novelkam taisni a caur virsotni B paralēli maiņstrāvas malai. 1. un 4. leņķi ir šķērsgriezuma leņķi paralēlo taisnes a un AC krustpunktā, kas atrodas šķērsgriezuma AB, un leņķi 3 un 5 ir šķērsgriezuma leņķi, kas atrodas vienā un tajā pašā paralēlo BC taisnes krustpunktā. Tāpēc (1) 4 = 1; 5 = 3.

Acīmredzot leņķu 4, 2 un 5 summa ir vienāda ar pagarināto leņķi ar virsotni B, t.i. 4 + 2 + 5 = 180 0. No šejienes, ņemot vērā vienādības (1), mēs iegūstam: 1 + 2 + 3 = 180 0 vai A + B + C = 180 0.

7. Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīme.