Pierakstiet varbūtības blīvuma un sadalījuma funkciju. Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvums, tā definīcija, īpašības un grafiks

1. vingrinājums. Nepārtraukta gadījuma lieluma X sadalījuma blīvumam ir šāda forma:
Atrast:
a) mga parameter A ;
b) sadalījuma funkcija F(x) ;
c) varbūtība trāpīt nejaušam mainīgajam X intervālā ;
d) nakipagtulungan sa MX at dispersija DX .
Uzzīmējiet funkcijas f(x) at F(x) .

2. uzdevums. Atrodiet integrālfunkcijas doto nejaušā lieluma X dispersiju.

3. uzdevums. Atrodiet nejauša lieluma X matemātisko cerību dotā funkcija izplatīšana.

4. uzdevums. Kada nejauša lieluma varbūtības blīvums ir norādīts šādi: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Atrodiet koeficientu A, sadalījuma funkciju F(x), matemātisko cerību un dispersiju, kā arī varbūtību, ka gadījuma mainīgais iegūst vērtību intervālā. Uzzīmējiet f(x) at F(x) grafik.

Uzdevums. Dažu nepārtrauktu gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir norādīta šādi:

Nosakiet parametrus a un b , atrodiet varbūtības blīvuma f(x) izteiksmi, matemātisko cerību un dispersiju, kā arī varbūtību, ka gadījuma mainīgais iegūst vērtību intervālā . Uzzīmējiet f(x) at F(x) grafik.

Atradīsim sadalījuma blīvuma funkciju kā sadalījuma funkcijas atvasinājumu.
F′=f(x)=a
Zinot, ka mēs atradīsim parametru a:

vai 3a = 1, walang kurenes a = 1/3
Mēs atrodam parametru b no šādām īpašībām:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, walang kurenes b = -1/3
I-tap ang sadalījuma funkcija ir: F(x) = (x-1)/3

Paredzamā vērtība.

Izkliede.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Atrodiet varbūtību, ka gadījuma mainīgais intervālā iegūst vērtību
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

1. piemers. Dots nepārtraukta gadījuma lieluma X varbūtības sadalījuma blīvums f(x). Mga Nepieciesam:

Noteikt koeficientu A.
attrast sadalījuma funkciju F(x) .
shematiski attēlot F(x) un f(x) .
attrast X matemātisko cerību un dispersiju.
attrast varbūtību, ka X ņem vērtību no intervāla (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Risinājums:

Nejaušo lielumu X nosaka sadalījuma blīvums f(x):

Atrodiet parametru A no nosacījuma:

vai
14/3*A-1=0
kur,
A = 3/14

Sadales funkciju var attrast pēc formula.

Kahulugan. Nepātraukta sauc par nejaušu mainīgo, kas var iegūt visas vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla.

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam tiek ieviests sadalījuma funkcijas jēdziens.

Kahulugan. sadales funkcija Gadījuma lieluma X varbūtības sauc par funkciju F(x), kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lieluma X vērtība ir mazāka par x, tas ir:

F(x) = P(X< x)

Bieži vien termina "sadales funkcija" vietā tiek lietots terms "integralā sadalījuma funkcija".

Sadales funkcijas īpašības:

1. Sadalījuma funkcijas vērtības pieder segmentam:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Sadales funkcija at nesamazinoša funkcija, tas ir:

ja x > x ,

tad F(x) ≥ F(x).

3. Varbūtība, ka nejaušam mainīgajam būs vērtība, kung ietverta intervālā:

varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma mainīgais Xņems jebkuru vērtību no intervāla [ a; b], ir vienāds ar noteiktu tās varbūtības blīvuma integrāli diapazonā no a mga pirm diyan b:

Šajā gadījumā funkcijas vispārējā formula F(x) nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījums, ko var izmantot, ja ir zināma blīvuma funkcija f(x) :

Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma grafiku sauc par tā sadalījuma līkni (att. zemāk).

Figūras laukums (attēlā ieēnots), ko ierobežo līkne, no punktiem novilktas taisnas līnijas a Un b perpendikulāri abscisu asij un asij Ak, grapiko parada iespējamību, ka nepārtraukta gadījuma lieluma vērtība X atrodas diapazonā a mga pirm diyan b.

Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma funkcijas īpašības

1. Varbūtība, ka nejaušs lielums iegūs jebkuru vērtību no intervāla (un skaitļa laukuma, ko ierobežo funkcijas grafiks f(x)un asno Ak) ir vienāds ar vienu:

2. Varbūtības blīvuma funkcijai nevar but negatīvas vērtības:

un ārpus sadalījuma esamības tā vērtība ir nulle

Izplatības blīvums f(x), kā arī sadales funkciju F(x), ir viena no sadalījuma likuma formām, taču atšķirībā no sadalījuma funkcijas tā nav universāla: sadalījuma blīvums pastāv tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem.

Minēsim divus praksē svarīgākos nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma veidus.

Ja sadalījuma blīvuma funkcija f(x) nepārtraukts gadījuma mainīgais kādā ierobežotā intervālā [ a; b] ņem nemainīgu vērtību C, un ārpus intervāla iegūst vērtību, kas vienāda ar nulli, tad šis sadalījumu sauc par vienotu .

Oo ina zvans), tad šis sadalījumu sauc par normalālu .

1. piemers Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma funkcija ir zināma:

Atrodiet funkciju f(x) nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvums. Uzzīmējiet grafikus abām funkcijām. Atrodiet varbūtību, ka nepārtrauktam nejaušam mainīgajam būs jebkura vērtība diapazonā no 4 līdz 8: .

Risinājums. Mēs iegūstam varbūtības blīvuma funkciju, atrodot varbūtības sadalījuma funkcijas atvasinājumu:

Funkciju graphics F(x) - parabola:

Funkciju graphics f(x) - taisne:

Noskaidrosim varbūtību, ka nepārtrauktam nejaušam mainīgajam būs jebkura vērtība diapazonā no 4 līdz 8:

2. piemers Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma funkcija ir norādīta šādi:

Aprēķināt koeficientu C. Atrodiet funkciju F(x) nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījums. Uzzīmējiet grafikus abām funkcijām. Atrodiet varbūtību, ka nepārtrauktam nejaušam mainīgajam būs jebkura vērtība diapazonā no 0 līdz 5: .

Risinājums. Koeficients C mēs atrodam, izmantojot varbūtības blīvuma funkcijas īpašību 1:

Tādējādi nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma funkcija ir:

Integrējot, mes atrodam funkciju F(x) varbūtības sadalījumi. Ja x < 0 , то F(x) = 0. Ja 0< x < 10 , то

x> 10, tama F(x) = 1 .

Tādējādi pilns varbūtības sadalījuma funkcijas ieraksts ir:

Funkciju graphics f(x) :

Funkciju graphics F(x) :

Noskaidrosim varbūtību, ka nepārtraukts gadījuma mainīgais iegūs jebkuru vērtību diapazonā no 0 līdz 5:

3. piemers Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvums X tiek dota ar vienlīdzību, kamēr. Atrodi koeficientu A, varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma mainīgais Xņem kādu vērtību no intervāla ]0, 5[, nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcijas X.

Risinājums. Pēc nosacījuma mēs nonākam pie vienlīdzības