Mga Vista

Attālumu starp punktiem aprēķināšana pēc to coordinātām plaknē ir elementāra, uz Zemes virsmas tas ir nedaudz sarežģītāk: mēs apsvērsim attāluma un sākotnējā azimuta starp punktiem mērīšanu bez projekciā.

Pirmkārt, sapratīsim terminoloģiju. Ievads Lielisks apļa loka garums- īsākais attālums starp jebkuriem diviem punktiem uz sfēras virsmas, halimbawa, pa līniju, savieno šos divus punktus (šādu līniju sauc par ortodromiju) at iet gar sfēras virsmu vai citu apgriezie. Sfēriskā ģeometrija atšķiras no parastās Eiklīda, un attāluma vienādojumi arī iegūst citu formu. Eiklīda ģeometrijā īsākais attālums starp diviem punktiem ir taisna līnija.

Uz sfēras nav taisnu līniju.

Plaknē (taisnstūra koordinātu sistēmā) lieli apļi un to fragmenti, kā minēts iepriekš, ir loki visās projekcijās, izņemot gnomonisko, kur lielie apļi ir taisnas līnijas.

Praksē tas nozīmē, ka lidmašīnas un cits gaisa transports vienmēr izmanto minimālā attāluma maršrutu starp punktiem, lai taupītu degvielu, tas ir, lidojums tiek veikts liela apļa attālumā, plaknē tas izskatās pēc loka.

Ang mga Zemes formu var raksturot kā sfēru, tāpēc vienādojumi attālumu aprēķināšanai uz liela apļa ir svarīgi, lai aprēķinātu īsāko attālumu starp punktiem uz Zemes virsmas, un tos tobie.

Attāluma aprēķināšana ar šo metodi ir efektīvāka un daudzos gadījumos precīzāka nekā tā aprēķināšana projicētajām koordinātām (taisnstūra koordinātu sistēmās ), jo, pirmkārt, šim norpālūkam snstūra koordinātu sistēmā (veiciet projekcijas transformācijas) un, otrkārt, daudzas projekcijas, ja tās ir nepareizi izvēlētas, projekcijas kropļojumu īpatnību dēļ var radīt ievērojamus garuma izkropļojumus. Zināms, ka tā nav sfēra, kas precīzāk raksturo Zemes formu, bet gan elipsoīds, tomēr šajā rakstā apskatīts attālumu aprēķins uz sfēras, aprēķiniem tiek izmantota sfē5dī3 ādī3ādī3ādēra tālumu aprēķināšanā par 0.5%. Mga pormula Ir trīs veidi, kā aprēķināt lielā apļa sfērisko attālumu. 1. Sfēriskā kosinusa teorēma Nelielu attālumu un neliela aprēķina bitu dziļuma (citu aiz komata) gadījumā formulas izmantošana var radit būtiskas kļūdas, kas saistītas ar noapaļošanu.φ1, λ1;

φ2, λ2 - divu punktu platums un garums radiānos Δλ - koordinātu garuma atšķirība Δδ - leņķiskā atšķirība Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2) pā udzmetrisko, leņķa starpība pēc Zemes rādiusa (6372795 metri ) , gala attāluma mērvienības būs vienādas ar vienībām, kurās rādiuss ir izteikts (šajā gadījumā metri).

2. Formula ng Haversines< >* * / funkcija Aprēķinātattālums ($ φA, $ λA, $ φb, $ λb) (// pārvērš koordināson $ late1 = $ φA * m_Pi $ λA * M_PI / 180; $ long2 = $ λB * MPI; // platuma grādu kosinus un garumu atšķirības $ cl1 = cos ($ lat1 ; $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); ibalik ang $dist;) Funkcijas izsaukuma piemērs: $lat1 = 77.1539;

$long1 = -139.398;

$lat2 = -77.1804;

$long2 = -139.55; atbalss aprēķināšanaAttālums($lat1, $long1, $lat2, $long2).

"metri";// Atgriež "17166029 metro"

Raksts ņemts no vietnes

Dota taisnstūra koordinātu sistēma. = .

Teorama 1.1.

Jebkuriem diviem plaknes punktiem M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2) attālumu d starp tiem izsaka ar formula =

Pierādījums.

No punktiem M 1 un M 2 izlaidīsim attiecīgi perpendikulu M 1 B un M 2 A = .

uz ass Oy un Ox un ar K apzīmē līniju M 1 B un M 2 A krustošanās punktu (1.4. att.).

Iespējami šādi gadījumi:

1) Punkti M 1, M 2 at K ir atšķirīgi.

Acīmredzot punktam K ir koordinātes (x 2; y 1).

Ir viegli redzēt, ka M 1 K = ôx 2 - x 1 ô, M 2 K = ôy 2 - y 1 ô. Jo ∆M 1 KM 2 taisnstūrveida, tad pēc Pitagora teorēmas d = M 1 M 2 = 2) Punkts K sakrīt ar punktu M 2, bet atšķiras no punkta M 1 (1.5. att.).Šajā gadījumā y 2 = y 1

un d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 - x 1 ô = 3) Punkts K sakrīt ar punktu M 1, bet atšķiras no punkta M 2. Šajā gadījumā x 2 = x 1 un d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôy 2 - pie 1 ô = 4) Punkts M 2 sakrīt ar punktu M 1. Tad x 1 = x 2, y 1 = y 2 un , (4)

d = M 1 M 2 = O =.

"metri"; Segmenta sadalījums šajā ziņā.

Ļaujiet plaknē dot patvaļīgu nogriezni M 1 M 2 un lai M ─ ir jebkurš šī punkta punkts = = .

2) Taisne М 1 М 2 nav perpendikulāra Vērša asij (1.6. att.). Nometīsim perpendikulus no punktiem M 1, M, M 2 uz Ox asi un apzīmēsim to krustošanās punktus ar Ox asi attiecīgi P 1, R, R 2. Pēc proporcionālās līnijas segmenta teorēmas

= l.< х 2 они положительны, а при х 1 >Jo P 1 P = ôx - x 1 ô, PP 2 = ôx 2 - xô un skaitļiem (x - x 1) at (x 2 - x) at vienāda zīme (x 1)

x 2 at negatibo), medyo ,

l = =

M 1 M 2 = KM 2 = ôy 2 - pie 1 ô = .

x - x 1 = l (x 2 - x), x + lx = x 1 + lx 2, Secinājums 1.2.1.

M 1 M 2 = KM 2 = ôy 2 - pie 1 ô = 4) Punkts M 2 sakrīt ar punktu M 1. Tad x 1 = x 2, y 1 = y 2 un (5)

"metri"; Ja M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2) ir divi patvaļīgi punkti un punkts M (x; y) ir segmenta M 1 M 2 vidusdaļa, tad

Tā kā M 1 M = M 2 M, tad l = 1 un pēc formula (4) iegūstam formula (5).

Trijstūra laukums. Teorama 1.3.

Jebkuriem punktiem A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) at C (x 3; y 3), at neatrodas vienā

taisne, trijstūra ABC laukumu S izsaka ar formula

"metri"; S = ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Apgabals ∆ ABC paradīts attēlā.

1.7, mas maaga pa

S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD.
,

Mēs aprēķinām trapeces laukumus:

S ADEC =

S BCEF =

S ABFD =

Tagad mums ir

S ABC = ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - - x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) = (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) = ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) = ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Citai vietai ∆ ABC formula (6) tiek pierādīta līdzīgi, taču tā var izrādīties at “-” zīmi.

2.1. Tāpēc moduļa zīme tiek ievietota formula (6).

2. lekcija. Taisnes vienādojums plaknē: taisnes vienādojums ar galveno koeficientu, vispārējais taisnes vienādojums, taisnes vienādojums nogriežņos, vienādojums taisnei, kas iet caur diviem punktiem. Leņķis starp taisnēm, paralēlisma nosacījumi un taisnes perpendikularitāte plaknē. Uz plaknes ir dota taisnstūra koordinātu sistēma un kāda taisne L.

Kahulugan 2.1.

1) Aplūkosim taisnstūra koordinātu sistēmas Oy asij paralēlu taisni (2.1. att.).

Ar burtu A apzīmēsim šīs taisnes krustpunktu ar Vērša asi (a; o) ─ tā vai-

dinates.

Vienādojums x = a ir dotās taisnes vienādojums.

Patiešām, šo vienādojumu apmierina jebkura šīs taisnes punkta M (a; y) koordinātas, un jebkura punkta koordinātas, kas neatrodas uz taisnes, neapmierina.

Ja a = 0, tad taisne sakrīt ar Oy asi, kurai ir vienādojums x = 0.

2) Vienādojums x - y = 0 nosaka plaknes punktu kopu, kas veido I un III koordinātu leņķa bisektrise. 3) Vienādojums x 2 - y 2 = 0 ─ ir divu koordinātu leņķu bisektoru vienādojums.

4) Vienādojums x 2 + y 2 = 0 definē vienu punktu O (0; 0) plaknē.

5) Vienādojums x 2 + y 2 = 25 ─ vienādojums riņķim ar rādiusu 5, kura centrs ir sākuma punktā.

Lekcija:

Attāluma formula starp diviem punktiem;

sfēras vienādojums

Attālums starp diviem punktiem

Lai atrastu attālumu starp diviem punktiem uz taisnes iepriekšējā jautājumā, mēs izmantojām formulu d = x 2 - x 1.

Bet, kas attiecas uz lidmašīnu, lietas ir atšķirīgas.

Nepietiek tikai attrast koordinātu atšķirību.

Lai atrastu attālumu starp punktiem pēc to koordinātām, izmantojiet šādu formula:

Halimbawa, ja jums ir divi punkti at dažām koordinātām, attālumu starp tiem varat attrast šādi:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Tas ir, lai aprēķinātu attālumu starp diviem plaknes punktiem, jums jāatrod koordinātu atšķirību kvadrātu summas sakne.

Ja jums ir jāatrod attālums starp diviem plaknes punktiem, jums vajadzētu izmantot līdzīgu formulu ar papildu koordinātu: Sfēras vienādojums, kur d ir līnijas segmenta garums, kas savieno šos plaknes punktus.

Ja viens no segmenta galiem sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, bet otram ir koordinātas M (x M; y M), tad d aprēķināšanas formula būs OM = √ (x M 2 + y M 2) ).

1. Attāluma starp diviem punktiem aprēķins pēc dotajām šo punktu koordinātēm

1. piemers.

Atrodiet nogriežņa garumu, kas koordinātu plaknē savieno punktus A (2; -5) un B (-4; 3) (1. att.).

Risinājums.

Mga tuldok na formula formula: x A = 2;

x B = -4;

y A = -5 un y B = 3. Atrodiet d.

Izmantojot formula d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), mēs iegūstam:

d = AB = √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) = 10.

2. Koordinātu aprēķins punktam, at atrodas vienādā attālumā no trim dotajiem punktiem

Risinājums.

2. piemers.

Atrodiet koordinātas punktam O 1, at atrodas vienādā attālumā no trim punktiem A (7; -1) un B (-2; 2) un C (-1; -5).

Walang uzdevuma formulējuma izriet, ka O 1 A = O 1 B = O 1 C Lai vajadzīgajam punktam O 1 ir koordinātes (a; b).

Pēc formula d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
О 1 С = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sastādām divu vienādojumu sistēmu:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pēc vienādojumu kreisās un labās puses kvadrātošanas mēs rakstām:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vienkāršojot, mēs rakstām

(-3a + b + 7 = 0, (-2a - b + 3 = 0. Atrisinot sistēmu, iegūstam: a = 2;.

b = -1.

Punkts O 1 (2; -1) atrodas vienādā attālumā no trim nosacījumā norādītajiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Šis punkts ir apļa centrs, kas iet cauri trim

Risinājums.

noteikti punkti

(2.att.)

3. Abscisas (ordinātas) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisas (ordinātas) un atrodas noteiktā attālumā no šī punkta

3. piemers.

Attālums no punkta B (-5; 6) līdz punktam A, kas atrodas uz Vērša ass, ir 10. Atrodiet punktu A.

No uzdevuma formulējuma izriet, ka punkta A ordināta ir vienāda ar nulli un AB = 10.

Apzīmējot punkta A abscisu caur a, rakstām A (a; 0).

AB = √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) = √ ((a + 5) 2 + 36).

Mēs iegūstam vienādojumu √ ((a + 5) 2 + 36) = 10. Vienkāršojot, mēs iegūstam

isang 2 + 10a - 39 = 0.

Šī vienādojuma saknes ir a 1 = -13; a 2 = 3.

4. Abscisas (ordinātas) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisas (ordinātas) un atrodas vienādā attālumā no diviem dotajiem punktiem.

4. piemers.

Atrodiet uz Oy ass punktu, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A (6; 12) un B (-8; 10).

Risinājums.

Lai uz Oy ass esošā punkta koordinātas, kuras prasa uzdevuma formulējums, ir O 1 (0; b) (punktā, kas atrodas uz Oy ass, abscisa ir vienāda ar nulli).

Walang nosacījuma izriet, ka O 1 A = O 1 B.

Pēc formula d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) = √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 B = √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) = √ (64 + (b - 10) 2).

Mums ir vienādojums √ (36 + (b - 12) 2) = √ (64 + (b - 10) 2) at 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2.

Pēc vienkāršošanas mēs iegūstam: b - 4 = 0, b = 4. Punkts O 1 (0; 4), ko prasa uzdevuma izklāsts

(4. att.).

5. Tada punkta koordinātu aprēķins, at atrodas vienādā attālumā no koordinātu asīm un kāda dotā punkta

5. piemers.

Risinājums.

Atrodiet punktu M, kas atrodas koordinātu plaknē vienādā attālumā no koordinātu asīm un no punkta A (-2; 1). Nepieciešamais punkts M, tāpat kā punkts A (-2; 1), atrodas otrajā koordinātu leņķī, jo atrodas vienādā attālumā no punktiem A, P 1 at P 2(5. att.)

... Punkta M attālumi no koordinātu asīm ir vienādi, tāpēc tā koordinātas būs (-a; a), kur a> 0.

Walang uzdevuma nosacījuma izriet, ka MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a;

Walang nosacījuma izriet, ka O 1 A = O 1 B.

MP 2 = | -a |,

tali.

| -a |

= a.

MA = √ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Pēc kvadrātošanas un vienkāršošanas mums ir: a 2 - 6a + 5 = 0. Atrisinām vienādojumu, atrodam a 1 = 1;

Risinājums.

a 2 = 5. Iegūstam divus punktus M 1 (-1; 1) un M 2 (-5; 5), apmiernot uzdevuma nosacījumu.

6. Koordinātu aprēķins punktam, at atrodas vienā noteiktā attālumā no abscisas (ordinātas) un no dotā punkta.

6. piemers.

tali.

Atrodiet punktu M, lai tā attālums no ordinātu ass un punkta A (8; 6) būtu vienāds ar 5.

Ir zināms, ka daudziem skolēniem, patstāvīgi risinot problēmas, ir nepieciešami pastāvīgi padomi par to risināšanas paņēmieniem un metodēm.

Bieži vien skolēns nevar atrast veidu, kā atrisināt problēmu bez skolotāja palīdzības.
Skolēns var saņemt nepieciešamos padomus problēmu risināšanā mūsu mājaslapā.
Vai joprojām ir jautājumi?

Vai neesat pārliecināts, what attālumu starp diviem plaknes punktiem?

Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja - reģistrējieties.

Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Šīs nodaļas 5., 6. un 10. sadaļā ir aplūkotas dažas no vienkāršākajām analītiskās ģeometrijas problēmām, uz kurām bieži vien tiek reducētas daudzas kas problema.

Viena no šādām problēmām ir attāluma problēma starp diviem punktiem.

Plaknē izvēlētā taisnstūra koordinātu sistēmā doti divi punkti, kuru koordinātēs izteiksim attālumu d starp šiem diviem punktiem.

Atradīsim punktu A un B projekcijas uz koordinātu asīm (8. att.).

Mga Bus:

Caur vienu no šiem punktiem, halimbawa, A, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij līdz krustojumam punktā C ar taisni

Walang mga taisnleņķa trisstūra ACB iegūstam: