Lai veiksmīgi atrisinātu ģeometrijas problēmas, ir skaidri jāsaprot termini, ko izmanto šī zinātne. Halimbawa, itali ang "taisni", "plakne", "daudzskaldnis", "piramīda" at daudzi citi. Šajā rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu, kas ir apotēma.
Divkāršs termina "apotēma" lietojums
Ģeometrijā vārda "apotēma" vai "apotēma", kā to sauc arī, nozīme ir atkarīga no objekta, uz kuru tas tiek piemērots. Ir divas principiāli atšķirīgas figūru klase, kurās tā ir viena no to īpašībām.
Pirmkārt, tie ir plakani daudzstūri. Kas ir apotēms daudzstūrim? Tas ir augstums, kas novilkts no formas ģeometriskā centra uz abām pusēm.
Lai būtu skaidrāks, par ko ir runa, aplūkosim konkrētu piemēru. Pieņemsim, ka jums ir regulārs sešstūris, kas paradīts attēlā zemāk.
Simbolo l apzīmē tā malas garumu, burts apzīmē apotēmu. Atzīmētajam trīsstūrim tas ir ne tikai augstums, bet arī bisektrise un mediana. Ir viegli paradīt, ka caur malu l to var aprēķināt šādi:
Līdzīgi apotēms ir definēts jebkuram n-gonam.
Otrkārt, tās ir piramīdas. Kas ir apotēms šādai figūrai? Šis jautājums prasa sīkāku izpēti.
Par šo tēmu: Ka padarīt skropstas garas un biezas tikai viena mēneša laikā?
Piramīdas un to apotēmas
Pirmkārt, definēsim piramīdu ģeometrijas izteiksmē. Šis skaitlis ir cieta viela, ko veido viens n-stūris (pamatne) un n trīsstūri (malas). Pēdējie ir savienoti vienā punktā, ko sauc par augšējo. Attālums no tā līdz pamatnei ir figūras augstums. Ja tā krīt uz n-stūra ģeometriskā centra, tad piramīdu sauc par taisni. Ja turklāt n-stūrim ir vienādi leņķi un malas, tad figūru sauc par regulāru. Piramīdas piemērs ir paradīts zemāk.
Kas ir apotēms šādai figūrai? Šis ir perpendikuls, kas savieno n-stūra malas ar formas augšpusi. Acīmredzot tas apzīmē tā trīsstūra augstumu, kas ir piramīdas mala.
Apothem ir ērti lietojams, risinot ģeometriskas problēmas ar regulārām piramīdām. Fakts ir tāds, ka viņiem visas sānu virsmas ir vienādas ar vienādsānu trīsstūriem. Pēdējais fakts nozīmē, ka visi n apotēmi ir vienādi, tāpēc regulārai piramīdai var runāt par vienu un tikai šādu taisni.
Pareiza četrstūra piramīdas apotēma
Iespējams, ka spilgtākais šīs figūras piemērs būs slavenais pirmais pasaules brīnums - Heopsa piramīda. Viņa ir Ēģiptē.
Jebkurai šādai figūrai ar regulāru n-stūra pamatni var uzrādīt formulas, kas ļauj noteikt tās apotēmu caur daudzstūra malas garumu a, caur sānu malu b un augstumu h. Šeit mēs pierakstām atbilstošās formulas taisnai piramīdai ar kvadrātveida pamatni. Apotēms h b, jo tas būs vienāds ar:
Par šo tēmu: Baškīrijas karogs - apraksts, simbolika un vēsture
h b = √ (b 2 - a 2/4);
h b = √ (h 2 + a 2/4)
Pirmais no šiem izteicieniem attiecas uz jebkuru regulāru piramīdu, otrais - tikai uz četrstūrveida piramīdu.
Paradīsim, kung ano ang mga formula var izmantot problēmas risināšanai.
Problema sa Ģeometriskā
Dota taisna piramīda ar kvadrātveida pamatni. Ang mga ito ay aprēķināt tā pamatplatību. Piramīdas apotēma ay may 16 cm, at ang taas ay 2 reizes lielāks par pamatnes malu.
Katrs skolēns zina: lai atrastu kvadrāta laukumu, kas ir attiecīgās piramīdas pamats, jāzina tā mala a. Lai to atrastu, apotēmam izmantosim šādu formula:
h b = √ (h 2 + a 2/4)
Apotēmas nozīme ir zināma no problēmas izklāsta. Tā kā augstums h ir divreiz lielāks par malas a garumu, šo izteiksmi var pārveidot šādi:
h b = √ ((2 * a) 2 + a 2/4) = a / 2 * √17 =>
a = 2 * h b / √17
Kvadrāta laukums ir vienāds ar tā malu reizinājumu. Aizvietojot iegūto izteiksmi ar a, moms ir:
S = a 2 = 4/17 * h b 2
Atliek formulā aizstāt uzdevuma nosacījuma apotēmas vērtību un pirakstīt atbildi: S ≈ 60.2 cm 2.
Lasi ari:
Piramīda ir telpisks daudzskaldnis vai daudzskaldnis, kas rodas ģeometriskās problēmās. Šī skaitļa galvenās īpašības ir tā tilpums un virsmas laukums, ko aprēķina, zinot jebkurus divus tā lineāros raksturlielumus. Viena no šīm īpašībām ir piramīdas apotēma. Tas tiks apspriests rakstā.
Piramīdas figūra
Pirms sniegt piramīdas apotēmas definīciju, iepazīsimies ar pašu figūru. Piramīda ir daudzskaldnis, ko veido viens n-stūra pamats un n trīsstūri, kas veido figūras sānu virsmu.
Katrai piramīdai ir virsotne - visu trīsstūru savienojuma punkts. Perpendikulu, kas novilkts no šīs augšas uz pamatni, sauc par augstumu. Ja augstums šķērso pamatni ģeometriskajā centrā, tad figūru sauc par taisnu līniju. Taisnu piramīdu ar vienādmalu pamatu sauc par regulāru. Attēlā redzama piramīda ar sešstūra pamatni, skatoties no sejas un malas sāniem.
Pareizās piramīdas apotēma
To sauc arī par apotemu. To saprot kā perpendikulu, kas novilkts no piramīdas augšdaļas uz figūras pamatnes pusi. Pēc definīcijas šis perpendikuls atbilst trijstūra augstumam, kas veido piramīdas sānu malu.
Tā kā mēs uzskatām parastu piramīdu ar n-stūra pamatu, tad visas n apotēmas tai būs vienādas, jo tie ir figūras sānu virsmas vienādsānu trīsstūri. Ņemiet vērā, ka identiski apotēmi ir regulāras piramīdas īpašība. Vispārīga tipa figūrai (slīpai ar neregulāru n-stūri) visi n apotēmi būs atšķirīgi.
Vēl viena pareizās piramīdas apotēma īpašība ir tā, ka tā vienlaikus ir atbilstošā trīsstūra augstums, mediāna un bisektrise. Tas nozīmē, ka viņa to sadala divos identiskos taisnleņķa trīsstūros.
at ang mga pormula ay may apotēma noteikšanai
Jebkurā regulārā piramīdā svarīgi lineārie raksturlielumi ir tās pamatnes malas garums, sānu riba b, augstums h un apotēma h b. Šīs vērtības ir savstarpēji saistītas ar atbilstošām formula, kuras var iegūt, zīmējot piramīdu un ņemot vērā nepieciešamos taisnleņķa trīsstūrus.
Regulāra trīsstūrveida piramīda sastāv no 4 trīsstūrveida skaldnēm, un vienai no tām (pamatnei) jābūt vienādmalu. Pārējie parasti ir vienādsānu. Trīsstūrveida piramīdas apotēmu var definēt citu lielumu izteiksmē, izmantojot šādas formulas:
h b = √ (b 2 - a 2/4);
h b = √ (a 2/12 + h 2)
Pirmā no šīm izteiksmēm ir patiesa piramīdai ar jebkuru regulāru bāzi. Otrā izteiksme ir raksturīga tikai trīsstūrveida piramīdai. Tas parada, ka apotēms vienmēr ir lielāks par figūras augstumu.
Piramīdas apotēmu nevajadzētu jaukt ar daudzskaldņa apotēmu. Pēdējā gadījumā apotēms ir perpendikulārs segments, kas novilkts uz daudzskaldņa malu no tā centra. Halimbawa, vienādmalu trijstūra apotēma ir √3 / 6 * a.
Apotēmas aprēķināšanas problema
Dota regulāra piramīda ar trīsstūri pie pamatnes. Ir nepieciešams aprēķināt tā apotēmu, ja ir zināms, ka šī trīsstūra laukums ir 34 cm 2, un pati piramīda sastāv no 4 identiskām skaldnēm.
Saskaņā ar uzdevuma nosacījumu mums ir darīšana ar tetraedru, kas sastāv no vienādmalu trijstūriem. Vienas sejas laukuma formula ir:
No kurenes mēs iegūstam malas a garumu:
Lai noteiktu apotēmu h b, mēs izmantojam formulu, kas satur sānu malu b. Apskatāmajā gadījumā tā garums ir vienāds ar pamatnes garumu, mums ir:
h b = √ (b 2 - a 2/4) = √3/2 * a
Aizvietojot vērtību no a līdz S, mēs iegūstam galīgo formula:
h b = √3 / 2 * 2 * √ (S / √3) = √ (S * √3)
Mēs saņēmām vienkāršu formulu, kurā piramīdas apotēma ir atkarīga tikai no tās pamatnes laukuma. Ja vērtību S aizstājam no uzdevuma nosacījuma, tad iegūstam atbildi: h b ≈ 7.674 cm.
- apotēms- regulārās piramīdas sānu malas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas (turklāt apotēms ir perpendikula garums, kas ir nolaists no regulārā daudzstūra vidus līdz 1 no tā malām);
- sanu sejas (ASB, BSC, CSD, DSA) - trijstūri, kas saplūst virsotnē;
- sanu ribas ( AS , B.S. , Cs , D.S. ) - sānu virsmu kopīgās puses;
- piramīdas virsotne (t.S) - punkts, kas savieno sānu malas un kas neatrodas pamatnes plaknē;
- augstums ( KAYA ) - perpendikula segments, kas tiek novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šāda segmenta gali būs piramīdas virsotne un perpendikula pamatne);
- piramīdas diagonālais griezums- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;
- bāze (A B C D) - daudzstūris, kas nepieder piramīdas virsotnei.
Piramīdas īpašības.
1. Sa pamamagitan ng visa sanu ribas at vienāda izmail, kung:
- ir viegli aprakstīt apli netālu no piramīdas pamatnes, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
- sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatplakni;
- turklāt taisnība ir arī otrādi, t.i. kad sānu malas veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai kad apli var aprakstīt netālu no piramīdas pamatnes un piramīdas virsotne tiek projicēta uz šī apļa centru, tad visām piramīdas sānu malām ir vienāda mail.
2. Ja sānu virsmām ir tāda paša lieluma slīpuma leņķis pret pamatnes plakni, tad:
- ir viegli aprakstīt apli netālu no piramīdas pamatnes, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
- sānu virsmu augstums ir vienāda garuma;
- sānu virsmas laukums ir ½ no pamatperimetra reizinājuma ar sānu virsmas augstumu.
3. Lodi var aprakstīt piramīdas tuvumā, ja piramīdas pamatnē atrodas daudzstūris, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs to plakņu krustpunkts, kas iet cauri piramīdas malu viduspunktiem, kas ir perpendikulāri tām. No šīs teorēmas mēs secinām, ka sfēru var aprakstīt gan ap jebkuru trīsstūri, gan ap jebkuru regulāru piramīdu.
4. Piramīdā var ierakstīt lodi, at 1. punktā krustojas piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts kļūs par sfēras centru.
Vienkāršākā piramīda.
Pēc leņķu skaita piramīdas pamatne ir sadalīta trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk.
Piramīda būs trisstūrveida, četrstūrveida, un tā tālāk, ja piramīdas pamats ir trīsstūris, četrstūris utt. Trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs - tetraedrs. Četrstūrveida - piecsedrs un tā tālāk.
Piezīme... Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas uzdevumiem (stereometrijas sadaļa, piramīdas uzdevumi). Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Uzdevumos simbola "kvadrātsakne" vietā tiek izmantota funkcija sqrt (), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbolo, bet radikālā izteiksme ir norādīta iekavās..Vienkāršām radikālām izteiksmēm var izmantot zīmi "√"..Teorētiskos materiālus at formula skatīt nodaļā "Pareiza piramīda".
Uzdevums
Regulāras trīsstūrveida piramīdas apotēma ir 4 cm, bet diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60 grādi. Atrodiet piramīdas tilpumu.Risinājums.
Tā kā piramīda ir pareiza, ņemiet vērā sekojošo:
- Piramīdas augstums tiek projicēts uz pamatnes centru
- Regulāras piramīdas pamatnes centrs saskaņā ar uzdevuma formulējumu ir vienādmalu trisstūris
- Vienādmalu trīsstūra centrs ir gan ierakstītā, gan ierobežotā apļa centrs
- Piramīdas augstums veido taisnu leņķi ar pamatplakni
V = 1/3 Sh
Tā kā regulāras piramīdas apotēma kopā ar piramīdas augstumu veido taisnleņķa trīsstūri, augstuma atrašanai izmantojam sinusu teorēmu. Turklāt ņemiet vērā:
- Apskatāmā taisnleņķa trijstūra pirmais posms ir augstums, otrais ir ierakstītā apļa rādiuss (regulārā trijstūrī centrs vienlaikus ir ierakstītā un ierobežotā apļa centrs), hipotenūza ir a potēma piramī
- Talaan ng mga nilalaman ām, trešais ir 180-90-60 = 30)
- 30 gradu sinuss sa 1/2
- sinuss no 60 grādiem ir vienāds ar trīs sakni uz pusēm
- 90 gradu sinuss sa 1
4 / grēks (90) = h / grēks (60) = r / grēks (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
kur
r = 2
h = 2√3
Piramīdas pamatnē atrodas regulārs trīsstūris, kura laukumu var attrast pēc formula:
Regulāra trisstūra S = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2.
S = 12√3.
Tagad noskaidrosim piramīdas tilpumu:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm3.
Atbilde: 24 cm 3.
Uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamatnes augstums un mala ir attiecīgi 24 at 14. atrodiet piramīdas apotēmu.Risinājums.
Tā kā piramīda ir regulāra, tās pamatnē atrodas regulārs četrstūris - kvadrāts. Turklāt piramīdas augstums tiek projicēts līdz laukuma centram. Tādējādi taisnleņķa trijstūra kājas, ko veido piramīdas apotēma, augstums un segments, kas tos savieno, ir vienāds ar pusi no regulāras četrstūra piramīdas pamatnes garuma.
No kurenes saskaņā ar Pitagora teorēmu apotēmas garums tiks atrasts no vienādojuma:
7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25
Lapad: 25 cm
Apotēma apotēma
(no grieķu apotíthēmi - es atliku), 1) perpendikula segments (kā arī tā garums) a nokrita no regulāra daudzstūra centra uz jebkuru no tā malām. 2) Pareizajā apotēmas piramīdā - augstums a sanu seja.
APOTĒMAAPOTHEMA (grieķu apothema - kaut kas atlikts),
1) perpendikula a segments (kā arī tā garums), kas nomests no regulāra daudzstūra centra uz jebkuru no tā malām.
2) Parastā apotēmas piramīdā - sānu sejas augstums.
enciklopēdiskā vārdnīca. 2009 .
Sinonīmi:Skatiet, kas ir "apotēma" citās vārdnīcās:
Skatīt APOTEMA. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Chudinov AN, 1910. APOTĒMA, sk. APOTĒMA. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Pavļenkovs F., 1907 ... Krievu valodas svešvārdu vārdnīca
- (walang grieķu apotithemi es atliku). Lielā enciklopēdiskā vārdnīca
Lietvārds., Sinonīmu skaits: 3 apotema (2) garums (10) perpendikulārs (4) Vārdnīca ... Sinonīmu vārdnīca
APOTĒMA- (1) perpendikula garums, kas nomests no tāda riņķa centra, kas ir apvilkts ap regulāru daudzstūri, uz jebkuru no tā malām; (2) parastās piramīdas sānu malas augstums; (3) trapeces augstums, kas ir regulāras nošķeltas ... ... Lielā Politehniskā enciklopēdija
- (no grieķu apotithçmi es lieku malā) 1) perpendikula garums, kas nokritis no regulāra daudzstūra centra uz jebkuru no tā malām (1. att.); 2) regulārā piramīdā A. tās sānu malas augstums a (2. att.). Risi. 1 lidz…… Lielā padomju enciklopēdija
- (no grieķu apotfthemi es atliku) 1) perpendikula a segments (kā arī tā garums), kas nomests no regulāra daudzstūra centra uz jebkuru no tā malām. 2) Regulārā piramīdā A. sānu skaldnes augstums a (skat. att.). Uz Art. Apotema... Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca
Perpendikula garums samazinājās no regulāra daudzstūra centra uz vienu no tā malām; apotēms ir vienāds ar apļa rādiusu, kas ierakstīts dotajā daudzstūrī. A. sauc arī par konusa slīpo pusi ... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons
- (no grieķu apotithemi es atliku), 1) perpendikula a segments (kā arī tā garums), kas nomesti no regulāra daudzstūra centra uz jebkuru no tā malām. 2) Regulārā piramīdā A. sānu skaldnes augstums a ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca
Apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms, apotēms
