Šajā rakstā mēs aplūkosim plaknes taisnes parametrisko vienādojumu. Sniegsim taisnes parametriskā vienādojuma konstruēšanas piemērus, ja ir zināmi divi šīs taisnes punkti vai ir zināms viens punkts un šīs taisnes virziena vektors. Iesniegsim methods vienādojuma pārveidošanai parametriskā formā kanoniskā un vispārīgā formā.

Parametriskais vienādojums taisni L plaknē tiek attēlots at šādu formula:

(1)

kur x 1 , y 1 kāda punkta koordinātas M 1 uz taisnas līnijas L... Mga Vector q={m, lpp) at līnijas virziena vectors L, t- mga parameter ng kāds.

Ņemiet vērā, ka rakstot taisnes vienādojumu parametriskā formā, taisnes virzošais vectors nedrīkst but nulles vectors, tas ir, vimaz viena virzošā vektora coordināte. q nedrīkst būt nulle.

Lai izveidotu taisni uz plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā, bilang noteikta ar parametru vienādojumu (1), pietiek ar parametra iestatīšanu t divas dažādas vērtības, aprēķiniet x un y un novelciet taisnu līniju caur šiem punktiem. Plkst t= 0 nanay ir punkts M 1 (x 1 , y 1) plkst t= 1, mēs iegūstam punktu M 2 (x 1 +m, y 1 +lpp).

Sastādīt plaknes taisnes parametrisku vienādojumu L pietiek ar punktu uz taisnes L un taisnes vai divu punktu, kas pieder pie taisnes, virziena vectors L... Pirmajā gadījumā, lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, vienādojumā (1) jāievieto punkta koordinātas un virziena vektors. Otrajā gadījumā vispirms at jāatrod taisnes virziena vectors q={m, lpp), aprēķinot punktu atbilstošo koordinātu atšķirības M 1 un M 2: m=x 2 −x 1 , lpp=y 2 −y 1 (1. att.). Tālāk, līdzīgi kā pirmajā gadījumā, viena punkta koordinātas (nav svarīgi, kurš) aizstāj ar virziena vektoru. q taisna līnija iekšā (1).

Piemers 1. Taisne iet caur punktu M= (3, −1) un tam ir virziena vectors q= (- 3, 5). Izveidojiet taisnes parametrisko vienādojumu.

Risinājums. Lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, mēs aizstājam punkta koordinātas un virziena vectoru vienādojumā (1):

Vienkāršosim iegūto vienādojumu:

No izteiksmēm (3) mēs varam pirakstīt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē:

Novietojiet šo taisnās līnijas vienādojumu kanoniskajā formā.

Risinājums: izsakiet parametru t caur mainīgajiem x un y:

(5)

Walang izteiksmēm (5) mēs varam rakstīt.

Ļaujiet l- dažas taisnas telpas līnijas. Tapat ka planimetrijā, jebkurš vektors

a = / = 0, kolineārs taisns l tiek saukts virziena vectorsšī taisnā līnija.

Taisnes pozīciju telpā pilnībā nosaka, norādot virziena vektoru un punktu, kas pieder pie taisnes.

Lai tas ir taisni l ar virziena vector a iet caur punktu M 0, un M ir patvaļīgs telpas punkts. Acīmredzot punkts M (197. att.) pieder pie taisnes l kung hindi, at ang mga vectors \ (\ virslabā bultiņa (M_0 M) \) at ang kolineārs pret vectoru a , t.i.

\(\augšējā labā bultiņa (M_0 M)\) = t a , t\(\sa\) R. (1)

Ja punkti M un M 0 ir doti ar to rādiusa vektoriem r un r 0 (198. att.) attiecībā pret kādu telpas punktu O, tad \ (\ augšējā bultiņa (M_0 M) \) = r - r 0, un vienādojums (1) iegūst formu

r = r 0 + t a , t\(\sa\) R. (2)

Tiek izsaukti vienādojumi (1) at (2). taisnes vektora parametru vienādojumi. Mainīgs t vektoru parametru vienādojumos līniju sauc mga parameter.

Lai punkts M 0 ir taisne l un virziena vectoru a nosaka ar to koordinātām:

M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0), a = (a 1 ; a 2 ; a 3).

Tad ja ( X; y; z) - taisnes patvaļīga punkta M koordinātas l, medyo

\ (\augšējā labā bultiņa (M_0 M)\) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

un vektora vienādojums (1) ir līdzvērtīgs šādiem trim vienādojumiem:

x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \ sākums (gadījumi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t\in R\end (gadījumi) (3) $$

Vienādojumus (3) sauc taisnes parametru vienādojumi kosmosā.

1. mērķis. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu

M 0 (-3; 2; 4) un kam ir virziena vectors a = (2; -5; 3).

Šajā gadījumā X 0 = -3, plkst 0 = 2, z 0 = 4; a 1 = 2; a 2 = -5; a 3 = 3.

$$ \ sākums (gadījumi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t,​​\; \; t\in R\end(gadījumi)$$

Izslēgsim parametru t walang vienādojumiem (3). Upang var izdarīt kopš a = / = 0, un tāpēc viena no vectora coordinātām a ir zināms, ka tas atšķiras no nulles.

Pirmkārt, lai visa koordinātas nav nulle. Tad

$$ t = \frac (x-x_0) (a_1), \; \; t = \frac(y-y_0)(a_2),\; \; t=\frac(z-z_0)(a_3)$$

un tāpēc

$$\frac (x-x_0) (a_1) = \frac (y-y_0) (a_2) = \frac (z-z_0) (a_3)\; \; (4) $$

Šos vienādojumus sauc taisnes kanoniskie vienādojumi .

Ņemiet vērā, ka vienādojumi (4) veido divu vienādojumu sistēmu at trim mainīgajiem x, y un z.

Ja vienādojumos (3) viena no vectora koordinātām a , Pieram a 1 ir vienāds ar nulli, tad, izņemot parametru t, mēs atkal iegūstam divu vienādojumu sistēmu at trim mainīgajiem x, y un z:

\ (x = x_0, \; \; \frac (y-y_0) (a_2) = \frac (z-z_0) (a_3)\)

Šos vienādojumus sauc arī par kanoniskajiem līniju vienādojumiem. Konsekvences labad tie parasti tiek rakstīti formā (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

pieņemot, ka, ja saucējs ir nulle, tad arī atbilstošais skaitītājs ir nulle. Šie vienādojumi ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0) paralēli koordinātu plaknei yOz, jo šī plakne ir paralēla tās virziena vektoram (0; a 2 ; a 3).

Visbeidzot, ja vienādojumos (3) divas vectora koordinātas a , Pieram a 1 un a 2 ir vienādi ar nulli, tad šie vienādojumi iegūst form

X = X 0 , y = plkst 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\sa\) R.

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 ; z 0) paralēli asij Oz... Par tādu taisnu līniju X = X 0 , y = plkst 0,a z- jebkurš skaitlis. Un šajā gadījumā vienveidības labad taisnās līnijas vienādojumus var uzrakstīt (ar tādu pašu atrunu) formā (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Tādējādi jebkurai taisnai telpai var uzrakstīt kanoniskos vienādojumus (4) un, gluži pretēji, jebkuru formas (4) vienādojumu ar nosacījumu, ka vismaz viens no koeficientiem a 1 , a 2 , a 3 nav vienāds ar nulli, norāda kādu taisnu telpas līniju.

2. mērķis. Uzrakstiet kanoniskos vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu M 0 (- 1; 1, 7) paralēli vektoram a = (1; 2; 3).

Vienādojumus (4) šajā gadījumā raksta šādi:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Atvasināsim vienādojumus taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M2( X 2 ; plkst 2 ; z 2). Acīmredzot šīs līnijas virziena vectoram mēs varam ņemt vectoru a = (X 2 - X 1 ; plkst 2 - plkst 1 ; z 2 - z 1), un aiz punkta M 0, caur kuru taisne iet, halimbawa, punkts M 1. Tad vienādojumi (4) tiks uzrakstīti šādi:

\ (\frac (x-x_1) (x_2 - x_1) = \frac (y-y_1) (y_2 - y_1) = \frac (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M2( X 2 ; plkst 2 ;z 2).

3. mērķis. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (-4; 1; -3) un M 2 (-5; 0; 3).

Šajā gadījumā X 1 = -4, plkst 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, plkst 2 = 0, z 2 = 3. Šīs vērtības aizstājot formulas (5), mēs iegūstam

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

4. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (3; -2; 1) un

M 2 (5; -2; 1/2).

Pēc punktu M 1 un M 2 koordināšu aizstāšanas vienādojumos (5), iegūstam

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Viens no tēmas "Taisnes vienādojums plaknē" apakšpunktiem ir jautājums par taisnstūra līnijas parametrisko vienādojumu sastādīšanu plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā. Tālāk esošajā rakstā aplūkots šādu vienādojumu sastādīšanas princips ar noteiktiem zināmiem datiem. Paradīsim, kā pāriet no parametriskiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem; Analizēsim tipisku uzdevumu risinājumu.

Konkrētu līniju var noteikt, norādot punktu, kas pieder šai līnijai, un līnijas virziena vektoru.

Pieņemsim, ka mums ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y. Un arī taisne a ar uz tās esošā punkta M 1 (x 1, y 1) norādi un dotās taisnes virziena vectoru a → = (a x, a y) . Sniegsim dotās līnijas a aprakstu, izmantojot vienādojumus.

Mēs izmantojam patvaļīgu punktu M (x, y) at iegūstam vektoru M 1 M →; aprēķina tā koordinātas pēc sākuma un beigu punktu koordinātām: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Aprakstīsim rezultātu: taisne ir dota ar punktu kopu M (x, y), iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un tai ir virziena vektors. a → = (a x, a y) . Norādītā kopa definē taisni tikai tad, ja vektori M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (a x, a y) ir kolineāri.

Ir nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoru kolinearitātei, ko šajā gadījumā vektoriem M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (ax, ay) var uzrakstīt formā vienādojums:

M 1 M → = λ · a →, kur λ ir kāds real skaitlis.

1.kahulugan

Vienādojumu M 1 M → = λ · a → sauc par taisnes vektorparametrisko vienādojumu.

Koordinātu na mga form sa pamamagitan ng šāda form:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Iegūtās sistēmas vienādojumus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sauc par taisnstūra koordinātu sistēmas plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem. Nosaukuma būtība ir šāda: visu taisnes punktu koordinātas var noteikt ar parametriskiem vienādojumiem plaknē formā x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ, atkārtojot visas reālās vērtības. walang parameter λ

Saskaņā ar iepriekš minēto, taisnes parametru vienādojumi plaknē x = x 1 + ax vektors a → = (a x, a y) . Tāpēc, ja ir dotas kāda taisnes punkta koordinātas un tās virziena vektora koordinātas, tad ir iespējams uzreiz pirakstīt dotās taisnes parametriskos vienādojumus.

1. piemers

Ang mga tuldok na ito ay nakalista sa parametriskos vienādojumus plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā, at ang mga tuldok ay piederošais punkts M 1 (2, 3) at mga virziena vectors. a → = (3, 1).

Risinājums

Pamatojoties uz sākotnējiem datiem, mēs iegūstam: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametriskie vienādojumi būs šādi:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Skaidri ilustresim:

Atbilde: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Jāņem vērā: at mga vectors a → = (a x, a y) kalpo kā taisnes a virziena vectors, un punkti M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) pieder šai taisnei, tad to var noteikt, norādot parametru vienādojumus forma: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ, kā arī šī opcija: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ.

Halimbawa, ang mga nanay at mga tuldok ay mga līnijas virzošais vectors a → = (2, - 1), kā arī punkti M 1 (1, - 2) at M 2 (3, - 3), kas pieder šai līnijai. Tad taisne tiek noteikta ar parametru vienādojumiem: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ vai x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Jāpievērš uzmanība sekojošam faktam: ja a → = (a x, a y) ir taisnes at virziena vectors, ir ir virziena vectors būs jebkurš no vectoriem μ a → = (μ a x, μ a y), kur μ ϵ R, μ ≠ 0.

Tādējādi taisnstūrveida koordinātu sistēmā plaknes taisni a var noteikt ar parametru vienādojumiem: x = x 1 + μax λ y = y 1 + μ a y λ jebkurai μ vērtībai, kas nav nulle.

Pieņemsim, ka taisne a ir dota ar parametru vienādojumiem x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Tad a → = (2, - 5) - šīs līnijas virziena vectors. Un arī jebkurš no vektoriem μ a → = (μ 2, μ - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 kļūs par virziena vektoru dotajai taisnei. Skaidrības labad apsveriet konkrētu vektoru - 2 a → = (- 4, 10), tas atbilst vērtībai μ = - 2. Šajā gadījumā doto līniju var noteikt arī ar parametru vienādojumiem x = 3 - 4 = - λ 1 = - λ 1

Pareja no plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem uz citiem noteiktas taisnes vienādojumiem un otrādi

Maaari mong gamitin ang mga risināšanā parametrisko vienādojumu izmantošana nav optimālākais variants, tad rodas nepieciešamība pārtulkot taisnes parametriskos vienādojumus cita veida taisnes vienādojumos. Apskatīsim, kung izdarīt.

Taisnes formas x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ parametriskie vienādojumi atbildīs taisnes kanoniskajam vienādojumam plaknē x - x 1 ax = y - y 1 a y. .

Atrisināsim katru parametrisko vienādojumu attiecībā pret parametru λ, pielīdzināsim iegūto vienādību labās puses un iegūsim dotas taisnes kanonisko vienādojumu:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Šajā gadījumā nevajadzētu būt apkaunotam, ja x vai a y ir vienāds ar nulli.

2. piemers

Nepieciešams veikt pāreju no taisnes x = 3 y = - 2 - 4 · λ parametriskajiem vienādojumiem uz kanonisko vienādojumu.

Risinājums

Dotos parametriskos vienādojumus rakstām šādā formā: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Izteiksim parametru λ katrā no vienādojumiem: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Pielīdzināsim vienādojumu sistēmas labās puses un iegūsim nepieciešamo taisnes kanonisko vienādojumu plaknē:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Atbilde: x - 3 0 = y + 2 - 4

A x + B y + C = 0 taisnās līnijas vispārējo vienādojumu. Pierakstīsim visu darbību seību:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = asis (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

3. piemers

Sa pamamagitan ng pag-iipon ng mga pierakstīt taisnes vispārīgo vienādojumu, ja ir doti to definējošie parametru vienādojumi: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Risinājums

Vispirms veiksim pāreju uz kanonisko vienādojumu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Iegūtā proporcija ir identiska vienādībai - 3 · (x + 1) = 2 · y. Atvērsim iekavas un iegūstam taisnes vispārīgo vienādojumu: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Atbilde: 3 x + 2 g + 3 = 0

Ievērojot augstāk minēto darbību loģiku, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu, taisnes vienādojumu nogriežņos vai taisnes normālu vienādojumu, ir jāiegūst vispārējais taisnes vienādo. , un no tā veikt turpmāku pāreju.

Tagad mēs apsvērsim pretējo darbību: taisnas līnijas parametrisko vienādojumu rakstīšanu citai noteiktai šīs taisnes vienādojumu formai.

Vienkāršākā pāreja: walang kanoniskā vienādojuma uz parametru. Dots kanoniskais vienādojums ar formu: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Mēs pieņemam, ka katra no šīs vienādības attiecībām ir vienāda ar parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Atrisināsim iegūtos vienādojumus mainīgajiem x un y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

4. piemers

Ir nepieciešams pirakstīt taisnes parametriskos vienādojumus, ja ir zināms taisnes kanoniskais vienādojums plaknē: x - 2 5 = y - 2 2

Risinājums

Zināmā vienādojuma daļas pielīdzina parametram λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Walang iegūtās vienādības iegūstam taisnes parametriskos vienādojumus: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2

Atbilde: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Ja nepieciešams veikt pāreju uz parametriskiem vienādojumiem no noteikta taisnes vispārīgā vienādojuma, taisnes vienādojuma ar slīpumu vai taisnes vienādojuma segmentos, sākotnējais vienādojums ir parajuc tammetris uz uz dojumiem.

5. piemers

Ang mga ito ay parametriskos parametriskos vienādojumus at zināmo šīs taisnes vispārīgo vienādojumu: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Risinājums

Doto vispārīgo vienādojumu mēs pārveidojam par kanoniskās formas vienādojumu:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 g + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 g + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Pielīdzināsim abas vienādības puses parametram λ un iegūsim vajadzīgos taisnes parametriskos vienādojumus:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Piemēri un uzdevumi ar plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem

Apsveriet visbiežāk sastopamos problēmu veidus, izmantojot taisnstūra līnijas parametriskos vienādojumus plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā.

1. Pirmā tipa uzdevumos punktu koordinātas ir norādītas neatkarīgi no tā, vai tie pieder pie parametru vienādojumu aprakstītas taisnes vai nē.

Šādu uzdevumu risinājuma pamatā ir šāds fakts: skaitļi (x, y), at noteikti no parametru vienādojumiem x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ kādai reālai vērtībai λ irkta piedero. līdz taisnajai līnijai aprakstīja šos parametriskos vienādojumus.

6. piemers

Nepieciešams noteikt koordinātas punktam, kas atrodas uz taisnes, kas noteikta ar parametru vienādojumu x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pie λ = 3.

Risinājums

Mēs aizvietojam dotajos parametriskajos vienādojumos zināma nozīmeλ = 3 un aprēķiniet vajadzīgās coordinātas: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Atbilde: 1 1 2 , 5

Iespējama arī šāda problēma: lai taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē ir dots kāds punkts M 0 (x 0, y 0) un jānosaka, vai šis punkts pieder pie taisnes, kas aprakstīta ar parametru x = y y 1 x = y y 1 + ay λ.

Lai atrisinātu līdzīgu problēmu, ir jāaizstāj dotā punkta koordinātas ar zināmajiem taisnes parametru vienādojumiem. Ja tiek noteikts, ka iespējama tāda parametra vērtība λ = λ 0, pie kuras ir patiesi abi parametru vienādojumi, tad dotais punkts pieder pie dotās taisnes.

7. piemers

Punkti M 0 (4, - 2) at N 0 (- 2, 1) at noteikti. Jānoskaidro, vai tie pieder pie taisnes, ko nosaka parametru vienādojumi x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ.

Risinājums

Aizvietojiet punkta M 0 (4, - 2) koordinātas dotajos parametriskajos vienādojumos:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Mēs secinām, ka punkts M 0 pieder noteiktai taisnei, jo atbilst vērtībai λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Acīmredzot nav tāda parametra λ, kuram atbilstu punkts N 0. Citiem vārdiem sakot, dotā taisne neiet caur punkts N 0 (- 2, 1).

Atbilde: punkts M 0 pieder noteiktai taisnei; punkts N 0 nepieder noteiktai taisnei.

1. Otrā tipa uzdevumos ir jāsastāda parametriski vienādojumi taisnei uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā. Vienkāršākais šādas problēmas piemērs (ar zināmām taisnes punkta koordinātām un virziena vectoru) tika aplūkots iepriekš. Tagad apskatīsim piemērus, kuros vispirms jāatrod virziena vektora koordinātas un pēc tam jāpieraksta parametru vienādojumi.

8. piemers

Punkts M 1 1 2, 2 3 at norādīts. Ang mga ito ay izveidot parametriskus vienādojumus taisnei, at iet caur šo punktu un ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1.

Risinājums

Pēc uzdevuma nosacījuma taisne, kuras vienādojums mums ir jāapsteidz, ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1. = y - 3 - 1, ko rakstām formā: a → = (2, - 1). Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu nepieciešamos parametru vienādojumus:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Atbilde: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

9. piemers

Punkts M 1 (0, - 7) iestatīts. Nepieciešams pirakstīt parametriskos vienādojumus taisnei, kas iet caur šo punktu, perpendikulāri taisnei 3 x - 2 y - 5 = 0.

Risinājums

Kā taisnes, kuras vienādojums jāsastāda, virzošo vektoru var ņemt taisnes normālu vektoru 3 x - 2 y - 5 = 0. Tās koordinātas ir (3, - 2). Pierakstīsim nepieciešamos taisnes parametru vienādojumus:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Trešā tipa uzdevumos ir jāveic pāreja no noteiktas taisnes parametriskajiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem, kas to nosaka. Mēs izskatījām šādu piemēru risinājumu iepriekš, mēs sniegsim vēl vienu.

10. piemers

I dota taisne uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā, ko nosaka parametru vienādojumi x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. I jāatrod jebkura šīs taisnes normālā vektora koordinātas.

Risinājums

Lai noteiktu vajadzīgās normālā vektora koordinātas, mēs veiksim pāreju no parametriskajiem vienādojumiem uz vispārējo vienādojumu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Mainīgo x un y koeficienti dod mums nepieciešamās normālā vektora koordinātas. Tādējādi taisnes x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ normālvektoram ir koordinātas 1, 3 4.

Atbilde: 1 , 3 4 .

Ja texttā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Noteikti izlasi šo rindkopu! Parametriskie vienādojumi, protams, nav telpiskās ģeometrijas alfa un omega, bet gan daudzu uzdevumu darba skudra. Turklāt šāda veida vienādojumi bieži tiek piemēroti negaidīti, un es teiktu graciozi.

Ja ir zināms taisnei piederošs punkts un dotās taisnes virziena vectors, tad šīs taisnes parametriskos vienādojumus dod sistēma:

Es nodarbībās runāju par pašu parametrisko vienādojumu jēdzienu Taisnes līnijas vienādojums plaknē un Parametriski dotas funkcijas atvasinājums.

Viss ir vienkāršāk par tvaicētu rāceņu, tāpēc jums ir jāpabeidz uzdevums:

7. piemers

Risinājums: Taisnes tiek dotas ar kanoniskiem vienādojumiem, un pirmajā posmā jāatrod kāds punkts, kas pieder taisnei un tās virziena vektoram.

a) Walang vienādojumiem noņemam punktu un virziena vectoru:. Jūs varat izvēlēties citu punktu (kā to izdarīt - aprakstīts iepriekš), bet labāk ir ņemt acīmredzamāko. Starp citu, lai izvairītos no kļūdām, vienmēr vienādojumos aizstājiet tās koordinātas.

Sastādām šīs taisnes parametriskos vienādojumus:

Parametrisko vienādojumu ērtība ir tāda, ka ar to palīdzību ir ļoti viegli attrast citus taisnes punktus. Halimbawa, atradīsim punktu, kura koordinātas, teiksim, atbilst parametra vērtībai:

Pa šo ceļu:

b) Apsveriet kanoniskos vienādojumus. Punkta izvēle šeit ir vienkārša, bet sarežģīta: (esiet uzmanīgi, nesajauciet koordinātas!!!). Ka izvilkt virziena vectoru? Varat spekulēt par to, kam šī līnija ir paralēla, vai arī varat izmantot vienkāršu formālu triku: "spēle" un "z" ir proporcionāli, tāpēc mēs pierakstām virziena vektoru un atlikušajā vietā ievie tojam nuelli:.

Sastādām taisnes parametriskos vienādojumus:

c) Pārrakstīsim vienādojumus formā, tas ir, "z" var būt jebkas. Un ja ir, tad lai, piemailm,. Tādējādi punkts pieder šai līnijai. Lai atrastu virziena vektoru, mēs izmantojam šādu formālu tehniku: oriģinālajos vienādojumos ir "x" at "spēle", at virziena vektorā šajās vietās mēs rakstām nulls:. Mēs ievietojam atlikušo vietu vienība:. Viena vietā derēs jebkurš skaitlis, kas nav nulle.

Uzrakstīsim taisnes parametriskos vienādojumus:

Apmācībai:

8. piemers

Izveidojiet parametru vienādojumus šādām taisnēm:

Risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jūsu saņemtās atbildes var nedaudz atšķirties no manām atbildēm, fakts ir tāds parametriskos vienādojumus var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā... Ir svarīgi, lai jūsu un manējie virzienu vektori būtu kolineāri, un jūsu punkts "iekļautos" maniem vienādojumiem (labi, vai otrādi, es runāju par jūsu vienādojumiem).

Ka vēl jūs varat iestatīt taisnu līniju telpā? Es gribētu kaut ko izdomāt ar parasto vektoru. Tomēr skaitlis nedarbosies, telpiskajai līnijai normālie vektori var izskatīties pilnīgi dažādos virzienos.

Vēl viena method jau tika minēta nodarbībā. Plaknes vienādojums un šī raksta sākumā.

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apsveriet divas plaknes α 1 un α 2, attiecīgi dotas ar vienādojumiem:

Zem leņķis starp divām plaknēm mēs domājam vienu no divšķautņu leņķiem, ko veido šīs plaknes. Acīmredzot leņķis starp normāliem vectoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vinu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai ...Tatad ...Jo un , medyo

.

Piemers. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+ 4 = 0 un 2 x+3y+z+8=0.

Divu plakņu paralēlisma nosacījums.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to nor vectormāliei un ir paralēli, kas nozīmē .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja koeficienti attiecīgajās koordinātēs ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normāliei ir perpendikulāri, un tāpēc vai.

Pa šo ceļu, .

Piemeri.

TAISNI KOSMOSĀ.

VEKTORLĪNIJAS VIENĀDOJUMS.

LĪNIJAS PARAMETRISKI VIENĀDĀJUMI

Taisnas līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru no tās fiksētajiem punktiem M 1 un vectoru, kas ir paralēls šai taisnei.

Tiek saukts vectors, kas ir paralēls taisnei vadotšīs līnijas vectors.

Tātad, lai tas būtu taisni l iet cauri punktam M 1 (x 1 , y 1 , z 1) guļus uz taisnas līnijas, kas ir paralēla vektoram.

Apsveriet patvaļīgu punktu M(x, y, z) uz taisnas līnijas. Attēlā redzams, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas, kur ir factors t atkarībā no punkta attrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Mga salik t sauc par parametru. Apzīmējot punktu rādiusu vektorus M 1 un M attiecīgi caur un, mēs saņemam. Šo vienādojumu sauc mga vector taisnas līnijas vienādojums. Tas parada, ka katrai parametra vērtībai t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M guļ uz taisnas līnijas.

Uzrakstīsim šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc mga parameter taisnas līnijas vienādojumi.

Mainot na mga parameter t mainās koordinātas x, y un z un punkts M pārvietojas taisnā līnijā.

Kanoniski taisni vienādojumi

Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas l,un Vai ta virziena vectors. Atkal paņemiet patvaļīgu punktu uz taisnes M(x, y, z) isang apsveriet vector.

I skaidrs, ka vectori un ir kolineāri, tāpēc to attiecīgajām koordinātām jābūt proporcionālām

– mga kanonisk taisnes vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t... Patiešām, walang parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemers. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametriskā form.

Mēs apzīmējam , walang šejienes x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai taisne ir perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, halimbawa, asij Mga bersyon... Tad virzošais vectors ir perpendikulārs Mga bersyon, tatad, m= 0. Līdz ar to taisnās līnijas parametriskie vienādojumi iegūst form

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnās līnijas vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli rakstīt taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus formā ... Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka līnija ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Tapat kanoniskie vienādojumi atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Mga bersyon un Oy vai paralēli asij Oz.

Piemeri.

VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI TĪNIJAI KĀ DIVU LAKMEŅU KRUSTOJUMA LĪNIJAI

Caur katru telpas taisni iet neskaitāms plakņu skaits. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Līdz ar to jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, attēlo šīs taisnes vienādojumus.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

definējiet sa krustojuma līniju. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.

Piemeri.

Izveidojiet taisnu līniju, kas dota ar vienādojumu

Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek attrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids at izvēlēties līnijas krustošanās punktus ar koordinātu plaknes... Halimbawa, krustošanās punkts at plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, uzstādījumu z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Līdzīgi uzstādot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem varat pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz līnijas un līnijas virziena vectors.

Punkta koordinātas M 1 tiks iegūts no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot kādai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vectoru, ņemiet vērā, you šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem un ... Tapec aiz taisnes virzošā vectora l mēs varam ņemt normālu vektoru krustojumu:

.

Piemers. Norādiet taisnās līnijas vispārīgos vienādojumus uz kanonisko formu.

Atrodiet punktu uz taisnas līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, halimbawa, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tapēc taisnes virzošais vectors būs

...Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TAISNĒM

Sturis starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vectoriem un. Ta kā tad saskaņā ar formula leņķa kosinusam starp vektoriem mēs iegūstam