Sekcijas aksiālais (vai ekvatoriālais) inerces moments attiecībā pret kādu asi sauc pārņemts visā tās apgabalā F dF pēc to attālumu kvadrātiem no šīs ass, t.i.
Sekcijas polārais inerces moments attiecībā pret noteiktu punktu (polu) tiek pārņemts visā tā laukumā F elementāro laukumu reizinājumu summa dF pēc to attālumu kvadrātiem no šī punkta, t.i.
Sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret dažām divām savstarpēji perpendikulārām asīm tiek pārņemts visā tā laukumā F elementāro laukumu reizinājumu summa dF to attālumos no šīm asīm, t.i.
Inerces momentus izsaka cm 4, m 4 utt. Aksiālie un polārie inerces momenti vienmēr ir pozitīvi, jo to izteiksmes zem integrālajām zīmēm ietver laukumu vērtības dF(vienmēr pozitīvs) un šo laukumu attālumu kvadrāti no dotās ass vai pola.
2.3. attēlā parādīta sadaļa ar laukumu F un tiek parādītas asis plkst Un x.
Rīsi. 2.3. Sadaļa ar apgabalu F.
Šīs sadaļas aksiālie inerces momenti attiecībā pret asīm plkst Un x:
Šo inerces momentu summa
tātad,
Posma aksiālo inerces momentu summa attiecībā pret divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir vienāda ar šī posma polāro inerces momentu attiecībā pret šo asu krustpunktu.
Centrbēdzes inerces momenti var būt pozitīvi vai vienādi ar nulli. Sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm, no kurām viena vai abas sakrīt ar tās simetrijas asīm, ir vienāds ar nulli. Sarežģītas sekcijas aksiālais inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir vienāds ar to veidojošo daļu aksiālo inerces momentu summu attiecībā pret to pašu asi. Līdzīgi kompleksa sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret jebkurām divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir vienāds ar to veidojošo daļu centrbēdzes inerces momentu summu attiecībā pret tām pašām asīm. Arī kompleksa griezuma polārais inerces moments attiecībā pret noteiktu punktu ir vienāds ar to veidojošo daļu polāro inerces momentu summu attiecībā pret to pašu punktu. Jāpatur prātā, ka par dažādām asīm un punktiem aprēķinātos inerces momentus nevar summēt.
Taisnstūrim
Par apli
Par gredzenu
Bieži vien, risinot praktiskus uzdevumus, ir jānosaka sekcijas inerces momenti attiecībā pret asīm, kas tās plaknē ir orientētas dažādos veidos. Tajā pašā laikā tas ir ērti lietojams zināmās vērtības visas sekcijas (vai tās atsevišķu sastāvdaļu) inerces momenti attiecībā pret citām asīm, kas norādīti tehniskajā literatūrā, īpašās uzziņu grāmatās un tabulās, kā arī aprēķināti, izmantojot pieejamās formulas. Tāpēc ir ļoti svarīgi noteikt attiecības starp viena un tā paša posma inerces momentiem attiecībā pret dažādām asīm.
Vispārīgākajā gadījumā pāreja no jebkura vecs līdz jebkura jauns koordinātu sistēmu var uzskatīt par divām secīgām vecās koordinātu sistēmas transformācijām:
1) paralēli pārvietojot koordinātu asis uz jaunu pozīciju;
2) pagriežot tos attiecībā pret jauno izcelsmi.
Tāpēc
Ja ass X iet caur sekcijas smaguma centru, tad statiskais moments S x= 0 un
No visiem inerces momentiem par paralēlām asīm aksiālajam inerces momentam ir vismazākā vērtība ap asi, kas iet caur sekcijas smaguma centru.
Inerces moments ap asi plkst
Konkrētajā gadījumā, kad / ass iet caur sekcijas smaguma centru,
Centrbēdzes inerces moments
Īpašā gadījumā, kad vecās koordinātu sistēmas izcelsme y0х atrodas sekcijas smaguma centrā,
Ja posms ir simetrisks un viena no vecajām asīm (vai abām) sakrīt ar simetrijas asi, tad
Nosakot saliktā griezuma inerces momentus, pēdējo sadala vienkāršās figūrās, kurām ir zināmas smaguma centru pozīcijas un inerces momenti attiecībā pret savām centrālajām asīm. Izmantojot formulas (2.5), tiek atrastas visa posma smaguma centra koordinātas patvaļīgi izvēlētu palīgasu sistēmā. Centrālās asis ir novilktas paralēli šīm asīm, attiecībā pret kurām aksiālā un centrbēdzes moments inerces s pēc formulām (2.6). Inerces momentus attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm nosaka pēc formulas (2.12), bet galveno centrālo asu stāvokli - ar formulām (2.11).
Piemērs 2.1. Noteiksim inerces momentus attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm I-sijas 130 šķērsgriezumam, kas pastiprināts ar divām tērauda loksnēm ar šķērsgriezumu 200 x 20 mm (2.12. att.).
Simetrijas asis Ak, ak ir visas sadaļas galvenās centrālās asis. Pierakstīsim no sortimenta (skat. pielikumu) I-siju sekcijas laukuma vērtības un inerces momentus attiecībā pret asīm Ak, oi:
Noteiksim loksnes sekciju inerces momentus attiecībā pret to centrālajām asīm, izmantojot formulas (2.14):
Visas sekcijas laukums ir vienāds ar F= 46,5 + 2 20 2 = 126,5 cm2.
Sekcijas inerces momenti attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm Ak, ak nosaka ar formulām (2.6):
Piemērs 2.2. Nosakīsim inerces momentus attiecībā pret kopnes kopnes šķērsgriezuma galvenajām centrālajām asīm no diviem vienādsānu leņķiem 1_70x70x8, kas izvietoti šķērsām (2.13. att.). Stūru savienojuma darbu nodrošina savienojošās sloksnes.
Leņķa sekcijas smaguma centra koordinātas, laukuma vērtības un inerces momenti attiecībā pret tā centrālajām asīm Ak^ un Оу 0 norādīti sortimentā (skat. pielikumu):
Attālums no smaguma centra PAR visa sekcija līdz leņķa smaguma centram ir vienāda ar A= (2,02 + 0,4) l/2 = 3,42 cm.
Visas sekcijas laukums ir vienāds ar F= 2 10,7 = 21,4 cm2.
Inerces momenti par galvenajām centrālajām asīm, kas ir simetrijas asis Ak, ak nosaka ar formulām (2.6):
Piemērs 2.3. Noteiksim smaguma centra stāvokli un inerces momentus attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm stara šķērsgriezumā, kas sastāv no diviem kanāliem x ] Un O x y ( . Pēc tam, izmantojot formulas (2.5), iegūstam:
Šīs kanāla un leņķa smaguma centru vērtības un koordinātas koordinātu sistēmā Ohoo attēlā parādīts. 2.16 un ir attiecīgi vienādi:
Izmantojot formulas (2.6), nosakām griezuma inerces momentus attiecībā pret centrālajām asīm Ak Un OU
Izmantojot formulas (2.12) un (2.11), mēs atrodam galveno inerces momentu vērtības un galveno asu 1 un 2 slīpuma leņķus pret asi Ak:
Tālāk sniegtās formulas vienkāršu posmu inerces momentu noteikšanai attiecībā pret to centrālajām asīm ir iegūtas no inerces momentu (5.4), (5.5), (5.6) integrāļiem:
1
. Taisnstūris
(5.10)
(5.11)
jo Z un Y asis ir simetrijas asis.
2. Aplis
(5.12)
(5.13)
Šeit 
– sekcijas polārais inerces moments.
3. Pusaplis
(5.14)
(5.15)
4. Vienādsānu trīsstūris
(5.16)
(5.17)
5. Taisns trīsstūris
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Ir lietderīgi atcerēties, ka formulās (5.10), (5.11) un (5.16)–(5.19) tiek kubēts tās figūras malas izmērs, kas ir perpendikulāra aplūkojamai asij.
Formulā (5.20.), nosakot centrbēdzes inerces momentu, mīnusa zīmi liek, kad trijstūra asie leņķi atrodas negatīvās ceturtdaļās (t.i., 2. un 4.). Gadījumos, kad šie leņķi atrodas pozitīvos ceturkšņos (t.i., 1. un 3.), formulā (5.20.) ievieto plusa zīmi.
5.3. Sarežģītu simetrisku posmu galvenie centrālie inerces momenti
Galveno centrālo asu novietojums un galveno centrālo inerces momentu vērtības simetriskām sekcijām tiek noteiktas šādā secībā:
1. Sarežģītu griezumu sadala vienkāršās figūrās (aplis, taisnstūris, I-baļķis, stūris u.c.) un novelk to centrālās asis Z i un Y i (parasti horizontālas un vertikālas).
2. Visa posma smaguma centra stāvokli nosaka, izmantojot formulas (5.3), un caur šo punktu tiek novilktas tā centrālās asis Z un Y. Ja ir divas simetrijas asis, visa posma smaguma centrs. atrodas to krustošanās punktā.
Ja griezumam ir tikai viena simetrijas ass, tad, izmantojot formulas (5.3) nosaka tikai vienu smaguma centra koordinātu. Paskaidrosim to attēlā parādītajam attēlam. 5.8:
a) izvēlieties Z" un Y" asis tā, lai Y" ass sakristu ar figūras simetrijas asi, bet Z" ass - tā, lai būtu ērti noteikt attālumu līdz šai asij no vienkāršajām centrālajām asīm. figūras;
b) nosaka šķērsgriezuma laukuma statisko momentu attiecībā pret patvaļīgu Z asi, izmantojot formulu:
= A 1 y 1 + A 2 y 2,
kur A i – vienkāršu figūru šķērsgriezuma laukumi; y i – attālumi no patvaļīgas ass Z" līdz vienkāršu figūru centrālajām asīm Z i. Attālumi y i jāņem vērā, ņemot vērā zīmes;
c) nosaka smaguma centra koordinātu y C, izmantojot formulu (5.3):
=
d) y C attālumā no Z ass novelkam otro centrālo Z asi. Pirmā centrālā ass ir simetrijas Y ass.
3. Inerces momentus attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm Z un Y (5.8. att.) nosaka, izmantojot formulas (5.9.), kuras izvērstā veidā rakstīsim šādi:
kopš viena no aplūkotajām asīm
(Y ass) ir simetrijas ass.
Šajās formulās:
– vienkāršu figūru aksiālie inerces momenti attiecībā pret to centrālajām asīm (iekšējie inerces momenti), kurus nosaka ar formulām (5.10)–(5.19) vai velmēto elementu sortimentu tabulām;
– attālumi no posma Z un Y kopējām centrālajām asīm līdz vienkāršu figūru centrālajām asīm. Apskatāmajā piemērā 
Un 
attēlā parādīts. 5,8;
A i – vienkāršu figūru laukumi. Ja vienkārša figūra ir no kopīgas izgriezta figūra, t.i. “tukša” figūra, tad atbilstošajās formulās šādu figūru A laukumi un savi inerces momenti 
tiek aizstāti ar mīnusa zīmi.
PIEMĒRS 5.1
Jānosaka galvenie centrālie inerces momenti sekcijas, kas parādīts attēlā. 5.9.
1. Sadalām posmu vienkāršās figūrās un uzzīmējam to horizontālās un vertikālās centrālās asis Z i un Y i
2. Uzzīmējiet centrālās asis visai figūrai, t.i. simetrijas asis Z un Y.
3. Nosakiet attālumus no kopējām centrālajām asīm Z un Y līdz vienkāršu figūru centrālajām asīm un šo figūru laukumu:
4. Aprēķinām pareizos figūru centrālos momentus, izmantojot formulas (5.10)–(5.17):
5. Nosakiet visas sekcijas aksiālos inerces momentus attiecībā pret centrālajām asīm Z un Y:
Centrbēdzes inerces moments 
jo Z un Y ir simetrijas asis. Tāpēc mūsu aprēķinātās I Z un I Y ir galvenās centrālās asis:
PIEMĒRS 5.2
Obligāti nosaka (5.10. att.) redzamā posma galvenos centrālos inerces momentus.
1. Sadalām posmu vienkāršās figūrās un uzzīmējam to centrālās asis 
un Y i .
2. Uzzīmējiet simetrijas asi Y. Tā ir dotās sadaļas galvenā centrālā ass.
3. Lai noteiktu 2. galvenās centrālās ass pozīciju, izvēlieties patvaļīgu Z asi, kas ir perpendikulāra simetrijas asij. Ļaujiet šai asij sakrist ar Z 3 asi.
4. Izmantojot formulu (5.3), nosakām šķērsgriezuma smaguma centra ordinātu y c pa Y asi:
Mēs pārvietojam izmēru y C uz augšu no Z ass un uzzīmējam 2. galveno centrālo asi Z.
5. Nosakiet vienkāršu figūru aksiālos inerces momentus attiecībā pret to centrālajām asīm (sk. formulas (5.10)–(5.17)):
6. Aprēķinām attālumus no visa posma Z un Y centrālajām asīm līdz atsevišķu figūru centrālajām asīm (5.10. att.):
jo Y 1 , Y 2 , Y 3 asis sakrīt ar Y simetrijas asi.
7. Aprēķinām visa posma aksiālos inerces momentus attiecībā pret centrālajām asīm Z un Y, izmantojot formulas (5.9):
Visa posma centrbēdzes inerces moments I ZY ir vienāds ar nulli, jo Y ass ir simetrijas ass, t.i. Z un Y asis ir sekcijas galvenās centrālās inerces asis, un aprēķinātie aksiālie inerces momenti ir galvenie centrālie inerces momenti:
PIEMĒRS 5.3
Obligāti noteikt (5.11. att.) redzamā saliktā sekcijas galvenos centrālos inerces momentus.
Risinājuma procedūra ir detalizēti apskatīta 5.2. piemērā.
1. Sadalām griezumu atsevišķos skaitļos, kuru ģeometriskie raksturlielumi ir doti sortimentu tabulā (I-staru un kanālu) vai ir viegli aprēķināmi, izmantojot formulas (5.10)–(5.20) (šajā piemērā taisnstūris) un uzzīmējiet to centrālās asis.
2. Uzzīmējiet simetrijas asi Y. Visa griezuma smaguma centrs atrodas uz šīs ass.
3. Izvēlieties patvaļīgu Z asi. Šajā piemērā šī ass sakrīt ar Z 3 asi.
4. Attālumu y C nosaka no patvaļīgas ass Z līdz visa posma smaguma centram:
Attālumi no patvaļīgi izvēlētas Z ass līdz katras figūras centrālajām asīm (y 1, y 2, y 3) parādīti 5.11. attēlā.
Mēs izrakstām kanāla A 1 un I-siju A 2 šķērsgriezuma laukumus no atbilstošajām sortimentu tabulām un aprēķinām taisnstūra A 3 laukumu:
A 1 = 23,4 cm 2, A 2 = 46,5 cm 2, A 3 = 24 
2 = 48 cm 2.
Atzīmēsim vērtību y C uz augšu no Z ass (jo y C > 0) un uzzīmēsim galveno centrālo asi Z šajā attālumā.
5. No sortimenta tabulas izrakstām velmēto profilu ģeometriskos raksturlielumus, ņemot vērā asu orientācijas atšķirību sortimentu tabulā un att. 5.12.a, c.
1. Kanāls Nr.20 
GOST 8240-89 
(5.12. att. a) 
;
I-baļķis Nr.30 
GOST 8239-89 
(5.12. b att.) 
h= 30 cm.
Burts "c" aksiālo inerces momentu rādītājā I nozīmē norādi uz asu apzīmējumu sortimentā.
Taisnstūra (5.12.c att.) inerces momentus aprēķina atsevišķi, izmantojot formulas (5.10) un (5.11):
6. Nosakiet attālumus no kopējām centrālajām asīm Y un Z līdz atsevišķu figūru centrālajām asīm (tie parādīti 5.11. att.):
tā kā asis Y 1 , Y 2 , Y 3 sakrīt ar visas sekcijas Y simetrijas asi.
7. Nosakām kompleksas figūras aksiālos inerces momentus attiecībā pret centrālajām Z un Y asīm, izmantojot formulas (5.9):
Centrbēdzes inerces moments 
jo Y ass ir simetrijas ass. Tāpēc Z un Y asis ir galvenās centrālās asis.
Ieviesīsim Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu O xy . Aplūkosim patvaļīgu griezumu (slēgto laukumu) ar laukumu A koordinātu plaknē (1. att.).
Statiski mirkļi
Punkts C ar koordinātām (x C , y C)
sauca sekcijas smaguma centrs.
Ja koordinātu asis iet caur sekcijas smaguma centru, tad sekcijas statiskie momenti ir vienādi ar nulli:
Aksiālie inerces momenti sadaļas attiecībā pret x un y asīm sauc par formas integrāļiem:
Polārais inerces moments sadaļu attiecībā uz koordinātu izcelsmi sauc par formas integrāli:
Centrbēdzes inerces moments sadaļu sauc par formas integrāli:
Sekcijas galvenās inerces asis tiek izsauktas divas savstarpēji perpendikulāras asis, attiecībā pret kurām I xy = 0. Ja viena no savstarpēji perpendikulārajām asīm ir griezuma simetrijas ass, tad I xy =0 un līdz ar to šīs asis ir galvenās. Tiek sauktas galvenās asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru sekcijas galvenās centrālās inerces asis
2. Šteinera-Haigensa teorēma par asu paralēlo tulkošanu
Šteinera-Haigensa teorēma (Šteinera teorēma).
I sekcijas aksiālais inerces moments attiecībā pret patvaļīgu fiksētu asi x ir vienāds ar summu aksiālais momentsšī posma I inerce ar tai paralēlo relatīvo asi x *, kas iet caur griezuma masas centru, un šķērsgriezuma laukuma A reizinājumu ar attāluma d kvadrātu starp abām asīm.
Ja ir zināmi inerces momenti I x un I y attiecībā pret x un y asīm, tad attiecībā pret ν un u asīm, kas pagrieztas ar leņķi α, aksiālos un centrbēdzes inerces momentus aprēķina pēc formulas:
No iepriekšminētajām formulām ir skaidrs, ka
Tie. aksiālo inerces momentu summa, griežot savstarpēji perpendikulāras asis, nemainās, t.i., asis u un v, attiecībā pret kurām griezuma centrbēdzes inerces moments ir nulle, un aksiālie inerces momenti I u un I v ir ekstrēmi. vērtības max vai min sauc par sadaļas galvenajām asīm. Tiek sauktas galvenās asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru sekcijas galvenās centrālās asis. Simetriskām sekcijām to simetrijas asis vienmēr ir galvenās centrālās asis. Sekcijas galveno asu novietojums attiecībā pret citām asīm tiek noteikts, izmantojot attiecību:
kur α 0 ir leņķis, par kādu jāgriež x un y asis, lai tās kļūtu par galvenajām (pozitīvs leņķis parasti tiek iestatīts pretēji pulksteņrādītāja virzienam, negatīvs – pulksteņrādītāja virzienam). Tiek saukti aksiālie inerces momenti attiecībā uz galvenajām asīm galvenie inerces momenti:
Plusa zīme otrā vārda priekšā attiecas uz maksimālo inerces momentu, mīnus zīme uz minimālo.
Izšķir šādus sekciju inerces momentu veidus: aksiālo; centrbēdzes; polārais; centrālie un galvenie inerces momenti.
Centrbēdzes inerces momenti relatīvie šķērsgriezumi plkst Un z tiek saukts par formas integrāli. Sekcijas aksiālo inerces momentu summa attiecībā pret divām koordinātu asīm ir vienāda ar polāro inerces momentu attiecībā pret izcelsmi:Sekcijas norādīto veidu inerces momentu dimensija (garums 4), t.i. m 4 vai cm 4.
Sekcijas aksiālie un polārie inerces momenti ir pozitīvi lielumi; centrbēdzes inerces moments var būt pozitīvs, negatīvs un vienāds ar nulli (dažām asīm, kas ir simetrijas ass).
Pastāv atkarības no inerces momentiem paralēlas translācijas un koordinātu asu rotācijas laikā.
5.4. attēls – Paralēlā pārsūtīšana un koordinātu asu rotācija patvaļīgam sijas šķērsgriezumam
Ja zināmi posma inerces momenti Iz, Iу, Izу attiecībā pret asīm z Un plkst, tad inerces momenti par pagrieztajām asīm z 1 Un plkst.1, leņķī α attiecībā pret sākotnējām asīm (5.4. att., b) nosaka pēc formulām:
Ar koncepciju galvenie inerces momenti saistīt galveno inerces asu stāvokli. Galvenās inerces asis tiek sauktas divas savstarpēji perpendikulāras asis, attiecībā pret kurām centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar nulli, un aksiālie momenti iegūst galējās vērtības (maksimālo un minimālo).
Ja galvenās asis iet caur figūras smaguma centru, tad tās sauc galvenās centrālās inerces asis.
Galvenās inerces asu novietojums tiek noteikts no šādām atkarībām:Aprēķinot konstrukcijas elementu izturību, viņi izmanto tādu ģeometrisko raksturlielumu jēdzienu kā sadaļas modulis.
Aplūkosim, piemēram, sijas šķērsgriezumu (5.5. att.).
Attēls 5.5 – Sijas šķērsgriezuma piemērs
Attālums no attālākā t. A no sekcijas smaguma centra t.i. S o nozīmīgs h 1, un attālums t. IN- cauri h 2.
| (5.16) |
Spēka aprēķinos praktiski interesants ir sekcijas mazākais pretestības moments Wmin, kas atbilst vistālākajam t. A no sekcijas smaguma centra h 1 = y maks.
Pretestības elementu izmērs (garums 3), t.i. m 3, cm 3.
5.1. tabula – vienkāršāko sekciju inerces momentu un pretestības momentu vērtības attiecībā pret centrālajām asīm
| Sadaļu nosaukumu veidi | Inerces momenti | Pretestības mirkļi | ||
| Taisnstūris |  | |||
| Aplis |  |  |
5.1. tabulas turpinājums
