Integrāļu atrisināšana ir viegls uzdevums, taču tikai dažiem atlasītajiem. Šis raksts ir paredzēts tiem, kuri vēlas iemācīties saprast integrāļus, bet neko vai gandrīz neko nezina par tiem. Integrāls... Kāpēc tas vajadzīgs? Kā to aprēķināt? Kas ir noteikti un nenoteikti integrāļi?
Ja vienīgā integrāļa izmantošanas iespēja ir izmantot tamboradatu, kas veidota kā integrāla ikona, lai iegūtu kaut ko noderīgu no grūti sasniedzamām vietām, laipni lūdzam! Uzziniet, kā atrisināt vienkāršākos un citus integrāļus un kāpēc jūs nevarat iztikt bez tā matemātikā.
Mēs pētām koncepciju « neatņemama »
Integrācija bija zināma jau sen Senā Ēģipte. Protams, ne mūsdienu formā, bet tomēr. Kopš tā laika matemātiķi ir uzrakstījuši daudzas grāmatas par šo tēmu. Īpaši izcēlās paši Ņūtons Un Leibnica , bet lietu būtība nav mainījusies.
Kā no nulles saprast integrāļus? Nevar būt! Lai saprastu šo tēmu, jums joprojām būs nepieciešamas pamatzināšanas par matemātiskās analīzes pamatiem. Mūsu emuārā jau ir informācija par , kas nepieciešama integrāļu izpratnei.
Nenoteikts integrālis
Ļaujiet mums veikt dažas funkcijas f(x) .
Nenoteikta integrāla funkcija f(x) šo funkciju sauc F(x) , kura atvasinājums ir vienāds ar funkciju f(x) .
Citiem vārdiem sakot, integrālis ir apgrieztais atvasinājums vai antiatvasinājums. Starp citu, lasiet par to, kā to izdarīt mūsu rakstā.
Antiatvasinājums pastāv ikvienam nepārtrauktas funkcijas. Arī antiatvasinājumam bieži tiek pievienota nemainīga zīme, jo funkciju atvasinājumi, kas atšķiras ar konstanti, sakrīt. Integrāļa atrašanas procesu sauc par integrāciju.
Vienkāršs piemērs:
Lai nepārtraukti nerēķinātu elementāro funkciju antiatvasinājumus, ir ērti tos ievietot tabulā un izmantot gatavas vērtības.
Pilnīga integrāļu tabula skolēniem
Noteikts integrālis
Runājot par integrāļa jēdzienu, mēs runājam ar bezgalīgi maziem lielumiem. Integrālis palīdzēs aprēķināt figūras laukumu, nevienmērīga ķermeņa masu, nevienmērīgas kustības laikā nobraukto attālumu un daudz ko citu. Jāatceras, ka integrālis ir bezgalīgi liela skaita bezgalīgi mazu terminu summa.
Kā piemēru iedomājieties kādas funkcijas grafiku.
Kā atrast figūras laukumu, ko ierobežo funkcijas grafiks? Izmantojot integrāli! Sadalīsim līknes trapeci, ko ierobežo koordinātu asis un funkcijas grafiks, bezgalīgi mazos segmentos. Tādā veidā figūra tiks sadalīta plānās kolonnās. Kolonnu laukumu summa būs trapeces laukums. Bet atcerieties, ka šāds aprēķins dos aptuvenu rezultātu. Tomēr, jo mazāki un šaurāki segmenti, jo precīzāks būs aprēķins. Ja mēs tos samazinām tiktāl, ka garums tiecas uz nulli, tad segmentu laukumu summa tiecas uz figūras laukumu. Šis ir noteikts integrālis, kas ir uzrakstīts šādi:
Punktus a un b sauc par integrācijas robežām.
« Integrāls »
Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide
Manekenu integrāļu aprēķināšanas noteikumi
Nenoteiktā integrāļa īpašības
Kā atrisināt nenoteiktu integrāli? Šeit apskatīsim nenoteiktā integrāļa īpašības, kas noderēs piemēru risināšanā.
- Integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrādu:
- Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes:
- Summas integrālis ir vienāds ar integrāļu summu. Tas attiecas arī uz atšķirību:
Noteikta integrāļa īpašības
- Linearitāte:
- Integrāļa zīme mainās, ja tiek samainītas integrācijas robežas:
- Plkst jebkura punktus a, b Un Ar:
Mēs jau esam noskaidrojuši, ka noteikts integrālis ir summas robeža. Bet kā iegūt konkrētu vērtību, risinot piemēru? Šim nolūkam ir Ņūtona-Leibnica formula:
Integrāļu risināšanas piemēri
Tālāk aplūkosim nenoteikto integrāli un piemērus ar risinājumiem. Mēs iesakām pašiem izdomāt risinājuma smalkumus un, ja kaut kas nav skaidrs, uzdodiet jautājumus komentāros.
Lai pastiprinātu materiālu, noskatieties video par integrāļu risināšanu praksē. Neesiet izmisumā, ja integrālis netiek dots uzreiz. Sazinieties ar profesionālu servisu studentiem, un jebkurš trīskāršs vai izliekts integrālis virs slēgtas virsmas būs jūsu spēkos.
Tieša integrācija, izmantojot antiatvasinājumu tabulu (nenoteikto integrāļu tabula)
Antiatvasinājumu tabula
Mēs varam atrast antiatvasinājumu no zināma funkcijas diferenciāļa, ja izmantojam nenoteiktā integrāļa īpašības. No pamata elementārfunkciju tabulas, izmantojot vienādības ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C un ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x mēs varam izveidot antiatvasinājumu tabulu.
Rakstīsim atvasinājumu tabulu diferenciāļu veidā.
|
Konstante y = C C" = 0 Jaudas funkcija y = x p. (x p) " = p x p - 1 |
Konstante y = C d (C) = 0 d x Jaudas funkcija y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x |
|
(a x) " = a x ln a |
Eksponenciālā funkcija y = a x. d (a x) = a x ln α d x Jo īpaši attiecībā uz a = e mums ir y = e x d (e x) = e x d x |
|
log a x " = 1 x ln a |
Logaritmiskās funkcijas y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Jo īpaši attiecībā uz a = e mums ir y = ln x d (ln x) = d x x |
|
Trigonometriskās funkcijas. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
Trigonometriskās funkcijas. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x |
|
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
Apgrieztās trigonometriskās funkcijas. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2 |
Ilustrēsim iepriekš minēto ar piemēru. Atradīsim pakāpju funkcijas f (x) = x p nenoteikto integrāli.
Saskaņā ar diferenciāļu tabulu d (x p) = p · x p - 1 · d x. Pēc nenoteiktā integrāļa īpašībām mums ir ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Tāpēc ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Ieraksta otrā versija ir šāda: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.
Pieņemsim to vienādu ar -1 un atrodam pakāpju funkcijas f (x) = x p antiatvasinājumu kopu: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .
Tagad mums ir vajadzīga diferenciāļu tabula naturālajam logaritmam d (ln x) = d x x, x > 0, tāpēc ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Tāpēc ∫ d x x = ln x , x > 0 .
Antiatvasinājumu tabula (nenoteiktie integrāļi)
Tabulas kreisajā kolonnā ir formulas, kuras sauc par pamata antiatvasinājumiem. Labajā kolonnā esošās formulas nav pamata, taču tās var izmantot, lai atrastu nenoteiktus integrāļus. Tos var pārbaudīt, diferencējot.
Tieša integrācija
Tiešās integrācijas veikšanai izmantosim antiatvasinājumu tabulas, integrācijas noteikumus ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, kā arī nenoteikto integrāļu ∫ k f (x) d x = k · īpašības. ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Pamatintegrāļu un integrāļu īpašību tabulu var izmantot tikai pēc vienkāršas integrāļa pārveidošanas.
1. piemērs
Atradīsim integrāli ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x
Risinājums
Mēs noņemam koeficientu 3 zem integrālās zīmes:
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
Izmantojot trigonometrijas formulas, mēs pārveidojam integrandas funkciju:
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x
Tā kā summas integrālis ir vienāds ar integrāļu summu, tad
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x
Mēs izmantojam datus no antiatvasinājumu tabulas: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = tukšs 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C
Atbilde:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .
2. piemērs
Nepieciešams atrast funkcijas f (x) = 2 3 4 x - 7 antiatvasinājumu kopu.
Risinājums
Eksponenciālajai funkcijai izmantojam antiatvasinājumu tabulu: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Tas nozīmē, ka ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .
Mēs izmantojam integrācijas noteikumu ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .
Mēs iegūstam ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .
Atbilde: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
Izmantojot antiatvasinājumu, īpašību un integrācijas noteikumu tabulu, mēs varam atrast daudz nenoteiktu integrāļu. Tas ir iespējams gadījumos, kad ir iespējams pārveidot integrandu.
Lai atrastu logaritma funkcijas integrāli, pieskares un kotangentes funkcijas un vairākas citas, tiek izmantotas īpašas metodes, kuras apskatīsim sadaļā “Integrācijas pamatmetodes”.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Galvenie integrāļi, kas jāzina katram studentam
Uzskaitītie integrāļi ir pamats, pamatu pamats. Šīs formulas noteikti ir jāatceras. Aprēķinot sarežģītākus integrāļus, tie būs pastāvīgi jāizmanto.
Pievērsiet īpašu uzmanību formulām (5), (7), (9), (12), (13), (17) un (19). Integrējot neaizmirstiet savai atbildei pievienot patvaļīgu konstanti C!
Konstantes integrālis
∫ A d x = A x + C (1)Jaudas funkcijas integrēšana
Patiesībā bija iespējams aprobežoties tikai ar formulām (5) un (7), bet pārējie šīs grupas integrāļi sastopami tik bieži, ka ir vērts tiem pievērst nelielu uzmanību.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Eksponenciālo funkciju un hiperbolisko funkciju integrāļi
Protams, formulu (8) (varbūt ērtāko iegaumēšanai) var uzskatīt par formulas (9) īpašu gadījumu. Formulas (10) un (11) hiperboliskā sinusa un hiperboliskā kosinusa integrāļiem ir viegli atvasināmas no formulas (8), taču labāk ir vienkārši atcerēties šīs attiecības.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrisko funkciju pamatintegrāļi
Kļūda, ko bieži pieļauj skolēni, ir tā, ka viņi sajauc zīmes formulās (12) un (13). Atceroties, ka sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu, nez kāpēc daudzi uzskata, ka funkcijas sinx integrālis ir vienāds ar cosx. Tā nav taisnība! Sinusa integrālis ir vienāds ar “mīnus kosinusu”, bet cosx integrālis ir vienāds ar “tikai sinusu”:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrāļi, kas reducē uz apgrieztām trigonometriskām funkcijām
Formula (16), kas ved uz arktangensu, dabiski ir īpašs formulas (17) gadījums, ja a=1. Līdzīgi (18) ir (19) īpašs gadījums.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Sarežģītāki integrāļi
Ir arī ieteicams atcerēties šīs formulas. Tos arī izmanto diezgan bieži, un to izlaide ir diezgan nogurdinoša.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loks x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)
Vispārīgi integrācijas noteikumi
1) Divu funkciju summas integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu summu: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Divu funkciju starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu starpību: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Ir viegli saprast, ka īpašība (26) ir vienkārši īpašību (25) un (27) kombinācija.
4) Integrālis no sarežģīta funkcija, ja iekšējā funkcija ir lineāra: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Šeit F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums. Lūdzu, ņemiet vērā: šī formula darbojas tikai tad, ja iekšējā funkcija ir Ax + B.
Svarīgi: nav universālas formulas divu funkciju reizinājuma integrālim, kā arī daļskaitļa integrālim:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trīsdesmit)
Tas, protams, nenozīmē, ka frakciju vai produktu nevar integrēt. Vienkārši katru reizi, kad redzat integrāli, piemēram, (30), jums būs jāizgudro veids, kā ar to "cīnīties". Dažos gadījumos jums palīdzēs integrācija pa daļām, citos jums būs jāmaina mainīgais, un dažreiz var palīdzēt pat “skolas” algebra vai trigonometrijas formulas.
Vienkāršs piemērs nenoteiktā integrāļa aprēķināšanai
1. piemērs. Atrodiet integrāli: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xIzmantosim formulas (25) un (26) (funkciju summas vai starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu summu vai starpību. Iegūstam: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Atcerēsimies, ka konstanti var izņemt no integrāļa zīmes (formula (27)). Izteiksme tiek pārvērsta formā
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x
Tagad izmantosim tikai pamata integrāļu tabulu. Mums būs jāpiemēro formulas (3), (12), (8) un (1). Integrēsim jaudas funkciju, sinusu, eksponenciālo un konstanti 1. Neaizmirstiet beigās pievienot patvaļīgu konstanti C:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Pēc elementārām pārvērtībām mēs iegūstam galīgo atbildi:
X 3 – 2 cos x – 7 e x + 12 x + C
Pārbaudi sevi ar diferenciāciju: ņem iegūtās funkcijas atvasinājumu un pārliecinieties, vai tas ir vienāds ar sākotnējo integrandu.
Integrāļu kopsavilkuma tabula
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loksn x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) |
Lejupielādējiet integrāļu tabulu (II daļa) no šīs saites
Ja studējat universitātē, ja jums ir grūtības ar augstāko matemātiku (matemātisko analīzi, lineāro algebru, varbūtību teoriju, statistiku), ja jums nepieciešami kvalificēta skolotāja pakalpojumi, dodieties uz augstākās matemātikas pasniedzēja lapu. Mēs atrisināsim jūsu problēmas kopā!
Jūs varētu arī interesēt
Integrācija ir viena no galvenajām matemātiskās analīzes operācijām. Zināmo antiatvasinājumu tabulas var būt noderīgas, taču tagad, pēc datoralgebras sistēmu parādīšanās, tās zaudē savu nozīmi. Zemāk ir saraksts ar visbiežāk sastopamajiem primitīviem.
Pamatintegrāļu tabula
Vēl viena kompakta iespēja
Trigonometrisko funkciju integrāļu tabula
No racionālām funkcijām
No neracionālām funkcijām
Transcendentālo funkciju integrāļi
"C" ir patvaļīga integrācijas konstante, ko nosaka, ja ir zināma integrāļa vērtība jebkurā punktā. Katrai funkcijai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu.
Lielākajai daļai skolēnu un studentu ir problēmas ar integrāļu aprēķināšanu. Šī lapa satur integrālās tabulas no trigonometriskām, racionālām, iracionālām un transcendentālām funkcijām, kas palīdzēs risinājumā. Jums palīdzēs arī atvasinājumu tabula.
