Reālo skaitļu laukam ir sakārtotības īpašība (6. sadaļa, 35. lpp.): jebkuriem skaitļiem a, b ir spēkā viena un tikai viena no trim relācijām: vai . Šajā gadījumā ieraksts a > b nozīmē, ka starpība ir pozitīva, bet ieraksta starpība ir negatīva. Atšķirībā no reālo skaitļu lauka, lauks kompleksie skaitļi nav sakārtots: kompleksajiem skaitļiem jēdzieni “vairāk” un “mazāk” nav definēti; Tāpēc šajā nodaļā ir aplūkoti tikai reālie skaitļi.

Attiecības saucam par nevienādībām, skaitļi a un b ir nevienādības termini (vai daļas), zīmes > (lielāka par) un nevienādības a > b un c > d sauc par vienas (vai vienādas) nozīmes nevienādībām; nevienādības a > b un c No nevienlīdzības definīcijas uzreiz izriet, ka

1) jebkurš pozitīvs skaitlis, kas lielāks par nulli;

2) jebkurš negatīvs skaitlis ir mazāks par nulli;

3) jebkurš pozitīvs skaitlis ir lielāks par jebkuru negatīvu skaitli;

4) no diviem negatīviem skaitļiem tas, kura absolūtā vērtība ir mazāka, ir lielāks.

Visi šie apgalvojumi pieļauj vienkāršu ģeometrisku interpretāciju. Ļaujiet skaitļa ass pozitīvajam virzienam iet pa labi no sākuma punkta; tad neatkarīgi no skaitļu zīmēm lielākais no tiem tiek attēlots ar punktu, kas atrodas pa labi no punkta, kas apzīmē mazāko skaitli.

Nevienādībām ir šādas pamata īpašības.

1. Asimetrija (neatgriezeniskums): ja , tad , un otrādi.

Patiešām, ja starpība ir pozitīva, tad atšķirība ir negatīva. Viņi saka, ka, pārkārtojot nevienlīdzības terminus, nevienlīdzības nozīme ir jāmaina uz pretējo.

2. Transitivitāte: ja , tad . Patiešām, no atšķirību pozitivitātes izriet, ka

Papildus nevienlīdzības zīmēm tiek lietotas arī nevienlīdzības zīmes un Tie tiek definēti šādi: ieraksts nozīmē, ka vai nu vai Tāpēc, piemēram, varat rakstīt, un arī. Parasti nevienādības, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes, sauc par stingru nevienādību, un tās, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes, sauc par nevienlīdzībām. Attiecīgi pašas zīmes sauc par stingras vai nevienlīdzīgas nevienlīdzības pazīmēm. Iepriekš apskatītās 1. un 2. īpašības attiecas arī uz nevienlīdzību, kas nav strikta.

Tagad apskatīsim darbības, kuras var veikt ar vienu vai vairākām nevienlīdzībām.

3. Tāda paša skaitļa pievienošana nevienlīdzības terminiem nemaina nevienlīdzības nozīmi.

Pierādījums. Dota nevienādība un patvaļīgs skaitlis. Pēc definīcijas atšķirība ir pozitīva. Šim skaitlim pievienosim divus pretējus skaitļus, kas to nemainīs, t.i.

Šo vienlīdzību var pārrakstīt šādi:

No tā izriet, ka atšķirība ir pozitīva, t.i., ka

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Tas ir pamats iespējai jebkuram nevienlīdzības dalībniekam tikt šķībam no vienas daļas uz otru ar pretēju zīmi. Piemēram, no nevienlīdzības

tam seko

4. Reizinot nevienādības nosacījumus ar tādu pašu pozitīvo skaitli, nevienādības nozīme nemainās; Ja nevienlīdzības nosacījumus reizina ar to pašu negatīvo skaitli, nevienlīdzības nozīme mainās uz pretējo.

Pierādījums. Ļaujiet tad Ja tad, jo pozitīvo skaitļu reizinājums ir pozitīvs. Atverot iekavas pēdējās nevienādības kreisajā pusē, iegūstam , t.i. Lieta tiek izskatīta līdzīgi.

Tieši tādu pašu secinājumu var izdarīt arī par nevienlīdzības daļu dalīšanu ar jebkuru skaitli, kas nav nulle, jo dalīšana ar skaitli ir līdzvērtīga reizināšanai ar skaitli un skaitļiem ir vienādas zīmes.

5. Lai nevienlīdzības nosacījumi būtu pozitīvi. Tad, kad tās termini tiek paaugstināti līdz tādam pašam pozitīvajam spēkam, nevienlīdzības nozīme nemainās.

Pierādījums. Ļaujiet šajā gadījumā ar tranzitivitātes īpašību un . Tad, pateicoties monotoniskajam jaudas funkcijas pieaugumam par un pozitīvo, mums būs

Jo īpaši, ja kur ir naturāls skaitlis, tad mēs iegūstam

tas ir, izvelkot sakni no abām nevienādības pusēm ar pozitīviem terminiem, nevienlīdzības nozīme nemainās.

Lai nevienlīdzības nosacījumi būtu negatīvi. Tad nav grūti pierādīt, ka, paceļot tās nosacījumus līdz nepāra dabiskajam spēkam, nevienlīdzības jēga nemainās, bet, paceļot līdz pat naturālajam spēkam, tā mainās uz pretējo. No nevienādībām ar negatīviem vārdiem var iegūt arī nepāra pakāpes sakni.

Ļaujiet tālāk nevienlīdzības nosacījumiem dažādas zīmes. Tad, paceļot to nepāra pakāpē, nevienlīdzības jēga nemainās, bet, paaugstinot to līdz pāra pakāpei, vispārīgā gadījumā par iegūtās nevienlīdzības nozīmi neko konkrētu nevar pateikt. Faktiski, kad skaitlis tiek palielināts līdz nepāra pakāpei, skaitļa zīme tiek saglabāta, un tāpēc nevienlīdzības nozīme nemainās. Paaugstinot nevienlīdzību līdz vienmērīgai pakāpei, veidojas nevienlīdzība ar pozitīviem terminiem, un tās nozīme būs atkarīga no sākotnējās nevienlīdzības terminu absolūtajām vērtībām; nevienlīdzība ar tādu pašu nozīmi kā sākotnējā, nevienlīdzība. pretējas nozīmes, un var iegūt pat vienlīdzību!

Ir lietderīgi pārbaudīt visu, kas ir teikts par pilnvaru nevienlīdzības paaugstināšanu, izmantojot šādu piemēru.

Piemērs 1. Paaugstiniet šādas nevienādības līdz norādītajai pakāpei, vajadzības gadījumā mainot nevienlīdzības zīmi pret pretējo vai vienādības zīmi.

a) 3 > 2 ar pakāpi 4; b) līdz 3. pakāpei;

c) līdz 3. pakāpei; d) līdz 2. pakāpei;

e) ar pakāpi 5; e) līdz 4. pakāpei;

g) 2 > -3 ar pakāpju 2; h) ar pakāpi 2,

6. No nevienādības varam pāriet uz nevienādību starp ja nevienādības nosacījumi abi ir pozitīvi vai abi negatīvi, tad starp to reciprokāliem ir pretējas nozīmes nevienādība:

Pierādījums. Ja a un b ir vienādas zīmes, tad to reizinājums ir pozitīvs. Sadaliet ar nevienlīdzību

i., kas bija jāiegūst.

Ja nevienādības jēdzieniem ir pretējas zīmes, tad nevienādībai starp to reciprokiem ir tāda pati nozīme, jo apgriezto vērtību zīmes ir tādas pašas kā pašu lielumu zīmes.

2. piemērs. Pārbaudiet pēdējo īpašību 6, izmantojot šādas nevienādības:

7. Nevienādību logaritmu var veikt tikai tādā gadījumā, ja nevienādību vārdi ir pozitīvi (negatīviem skaitļiem un nulles logaritmiem nav).

Ļaujiet . Tad būs

un kad būs

Šo apgalvojumu pareizība ir balstīta uz logaritmiskās funkcijas monotonitāti, kas palielinās, ja bāze, un samazinās ar

Tātad, pārņemot nevienādības, kas sastāv no pozitīviem vārdiem, logaritmu uz bāzi, kas ir lielāka par vienu, veidojas nevienādība ar tādu pašu nozīmi kā dotajai, un, ņemot logaritmu uz pozitīvu bāzi, kas ir mazāka par vienu, rodas nevienādība veidojas pretēja nozīme.

8. Ja, tad ja, bet, tad.

Tas uzreiz izriet no eksponenciālās funkcijas monotonitātes īpašībām (42. sadaļa), kas palielinās gadījumā un samazinās, ja

Saskaitot vienas nozīmes terminu nevienādības, veidojas tādas pašas nozīmes nevienādība kā datiem.

Pierādījums. Pierādīsim šo apgalvojumu divām nevienādībām, lai gan tas ir patiess jebkuram pievienoto nevienādību skaitam. Ļaujiet nevienlīdzībām būt dotas

Pēc definīcijas skaitļi būs pozitīvi; tad arī to summa izrādās pozitīva, t.i.

Grupējot terminus atšķirīgi, mēs iegūstam

un tāpēc

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Par nevienādības, kas iegūta, saskaitot divas vai vairākas dažādas nozīmes nevienādības, nozīmi vispārīgā gadījumā nav iespējams pateikt.

10. Ja no vienas nevienādības atņemam pa vārdam citu pretējas nozīmes nevienādību, tad veidojas tādas pašas nozīmes nevienādība kā pirmajai.

Pierādījums. Dotas divas nevienādības ar dažādu nozīmi. Otro no tiem, atbilstoši neatgriezeniskuma īpašībai, var pārrakstīt šādi: d > c. Tagad pievienosim divas vienas un tās pašas nozīmes nevienādības un iegūsim nevienādību

tāda pati nozīme. No pēdējās mēs atrodam

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Par nevienlīdzības nozīmi, kas iegūta, no vienas nevienlīdzības atņemot citu tādas pašas nozīmes nevienādību, vispārīgā gadījumā nevar pateikt neko noteiktu.

Par nevienādību sistēmu parasti sauc vairāku nevienādību ierakstīšanu zem cirtainas figūriekavas zīmes (šajā gadījumā sistēmā iekļauto nevienādību skaits un veids var būt patvaļīgs).

Lai atrisinātu sistēmu, ir jāatrod visu tajā ietverto nevienādību risinājumu krustpunkts. Matemātikā nevienlīdzības risinājums ir jebkura izmaiņu vērtība, kurai nevienlīdzība ir patiesa. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāatrod visu tā risinājumu kopa - to sauks par atbildi. Kā piemēru mēģināsim iemācīties atrisināt nevienādību sistēmu, izmantojot intervāla metodi.

Nevienādību īpašības

Lai atrisinātu problēmu, ir svarīgi zināt nevienlīdzībām raksturīgās pamatīpašības, kuras var formulēt šādi:

  • Abām nevienādības pusēm var pievienot vienu un to pašu funkciju, kas definēta šīs nevienlīdzības pieļaujamo vērtību diapazonā (ADV);
  • Ja f(x) > g(x) un h(x) ir jebkura funkcija, kas definēta nevienādības ODZ, tad f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
  • Ja abas nevienādības puses reizina ar šīs nevienādības ODZ definēto pozitīvo funkciju (vai ar pozitīvu skaitli), iegūstam nevienādību, kas ir ekvivalenta sākotnējai;
  • Ja abas nevienādības puses reizina ar dotās nevienādības ODZ definēto negatīvo funkciju (vai ar negatīvu skaitli) un nevienādības zīmi maina uz pretējo, tad iegūtā nevienādība ir ekvivalenta dotajai nevienādībai;
  • Vienādas nozīmes nevienlīdzības var pievienot pēc vārda, un pretējās nozīmes nevienlīdzības var atņemt pēc termina;
  • Vienādas nozīmes nevienlīdzības ar pozitīvām daļām var reizināt ar terminu, un nevienlīdzības, ko veido nenegatīvas funkcijas, var paaugstināt pozitīvā pakāpē.

Lai atrisinātu nevienlīdzību sistēmu, katra nevienlīdzība ir jāatrisina atsevišķi un pēc tam jāsalīdzina. Rezultāts būs pozitīva vai negatīva atbilde, kas nozīmē, vai sistēmai ir risinājums vai nav.

Intervāla metode

Risinot nevienlīdzību sistēmu, matemātiķi bieži izmanto intervālu metodi kā vienu no efektīvākajām. Tas ļauj mums reducēt risinājumu nevienādībai f(x) > 0 (<, <, >), lai atrisinātu vienādojumu f(x) = 0.

Metodes būtība ir šāda:

  • Atrodiet nevienlīdzības pieņemamo vērtību diapazonu;
  • Samazināt nevienādību līdz formai f(x) > 0(<, <, >), tas ir, pārvietojiet labo pusi uz kreiso pusi un vienkāršojiet;
  • Atrisiniet vienādojumu f(x) = 0;
  • Uz skaitļa līnijas uzzīmējiet funkciju diagrammu. Visi uz ODZ atzīmētie un to ierobežojošie punkti sadala šo kopu tā sauktajos nemainīgās zīmes intervālos. Katrā šādā intervālā nosaka funkcijas f(x) zīmi;
  • Uzrakstiet atbildi kā atsevišķu kopu savienību, uz kuras f(x) ir atbilstošā zīme. ODZ punkti, kas ir robeža, tiek iekļauti (vai nav iekļauti) atbildē pēc papildu pārbaudes.

Nevienlīdzībai ir svarīga loma matemātikā. Skolā galvenokārt nodarbojamies ar skaitliskās nevienādības, ar kuras definīciju mēs sāksim šo rakstu. Un tad mēs uzskaitīsim un pamatosim skaitlisko nevienādību īpašības, uz kuriem balstās visi principi darbam ar nevienlīdzību.

Tūlīt atzīmēsim, ka daudzas skaitlisko nevienādību īpašības ir līdzīgas. Tāpēc materiālu prezentēsim pēc vienas un tās pašas shēmas: formulējam īpašību, sniedzam tās pamatojumu un piemērus, pēc kā pārejam pie nākamās īpašības.

Lapas navigācija.

Skaitliskās nevienādības: definīcija, piemēri

Kad mēs ieviesām nevienlīdzības jēdzienu, mēs pamanījām, ka nevienlīdzības bieži tiek definētas pēc to rakstīšanas veida. Tāpēc mēs nosaucām nevienlīdzības par jēgpilnām algebriskām izteiksmēm, kas satur zīmes, kas nav vienādas ar ≠, mazāk<, больше >, mazāks vai vienāds ar ≤ vai lielāks vai vienāds ar ≥. Pamatojoties uz iepriekš minēto definīciju, ir ērti sniegt skaitliskās nevienādības definīciju:

Tikšanās ar skaitliskām nevienādībām notiek matemātikas stundās pirmajā klasē uzreiz pēc iepazīšanās ar pirmajiem naturālajiem skaitļiem no 1 līdz 9 un iepazīšanās ar salīdzināšanas darbību. Tiesa, tur tās vienkārši sauc par nevienlīdzībām, izlaižot “skaitliskā” definīciju. Skaidrības labad nenāktu par ļaunu sniegt pāris piemērus visvienkāršākajām skaitliskām nevienādībām no šī pētījuma posma: 1<2 , 5+2>3 .

Un tālāk no naturāliem skaitļiem zināšanas sniedzas arī uz citiem skaitļu veidiem (veseliem, racionāliem, reāliem skaitļiem), tiek pētīti to salīdzināšanas noteikumi, kas būtiski paplašina skaitlisko nevienādību veidu dažādību: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

Skaitlisko nevienādību īpašības

Praksē darbs ar nevienlīdzību pieļauj vairākas skaitlisko nevienādību īpašības. Tie izriet no mūsu ieviestā nevienlīdzības jēdziena. Attiecībā uz skaitļiem šo jēdzienu sniedz šāds apgalvojums, ko var uzskatīt par attiecību “mazāks par” un “vairāk nekā” definīciju uz skaitļu kopas (to bieži sauc par nevienlīdzības atšķirības definīciju):

Definīcija.

  • numuru a ir lielāks par b tad un tikai tad, ja starpība a-b ir pozitīvs skaitlis;
  • skaitlis a ir mazāks par skaitli b tad un tikai tad, ja starpība a-b ir negatīvs skaitlis;
  • skaitlis a ir vienāds ar skaitli b tad un tikai tad, ja starpība a-b ir nulle.

Šo definīciju var pārveidot par attiecību definīciju "mazāks vai vienāds ar" un "lielāks par vai vienāds ar". Šeit ir viņa formulējums:

Definīcija.

  • numuru a ir lielāks vai vienāds ar b tad un tikai tad, ja a-b ir nenegatīvs skaitlis;
  • a ir mazāks vai vienāds ar b tad un tikai tad, ja a-b ir nepozitīvs skaitlis.

Mēs izmantosim šīs definīcijas, pierādot skaitlisko nevienādību īpašības, un mēs turpināsim to pārskatīšanu.

Pamatīpašības

Mēs sākam pārskatu ar trim galvenajām nevienlīdzību īpašībām. Kāpēc tie ir elementāri? Jo tie ir nevienādību īpašību atspoguļojums visvispārīgākajā nozīmē, un ne tikai saistībā ar skaitliskām nevienādībām.

Skaitliskās nevienādības, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes< и >, raksturīgs:

Kas attiecas uz skaitliskām nevienādībām, kas uzrakstītas, izmantojot vājās nevienlīdzības zīmes ≤ un ≥, tām piemīt refleksivitātes (nevis antirefleksivitātes) īpašība, jo nevienādības a≤a un a≥a ietver vienādības a=a gadījumu. Tiem ir raksturīga arī antisimetrija un tranzitivitāte.

Tātad skaitliskām nevienādībām, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes ≤ un ≥, ir šādas īpašības:

  • refleksivitāte a≥a un a≤a ir patiesas nevienādības;
  • antisimetrija, ja a≤b, tad b≥a, un ja a≥b, tad b≤a.
  • tranzitivitāte, ja a≤b un b≤c, tad a≤c, un arī, ja a≥b un b≥c, tad a≥c.

To pierādījumi ir ļoti līdzīgi jau dotajiem, tāpēc mēs pie tiem nekavēsimies, bet pāriesim pie citām svarīgām skaitlisko nevienādību īpašībām.

Citas svarīgas skaitlisko nevienādību īpašības

Papildināsim skaitlisko nevienādību pamatīpašības ar virkni rezultātu, kuriem ir liela praktiska nozīme. Uz tām ir balstītas izteiksmju vērtību novērtēšanas metodes, uz tām balstās principi nevienlīdzības risinājumi un tā tālāk. Tāpēc ir ieteicams tos labi saprast.

Šajā sadaļā formulēsim nevienādību īpašības tikai vienai stingras nevienādības zīmei, taču der paturēt prātā, ka līdzīgas īpašības būs derīgas pretējai zīmei, kā arī nestingras nevienādības zīmēm. Paskaidrosim to ar piemēru. Tālāk formulējam un pierādam šādu nevienādību īpašību: ja a

  • ja a>b tad a+c>b+c ;
  • ja a≤b, tad a+c≤b+c;
  • ja a≥b, tad a+c≥b+c.

Ērtības labad skaitlisko nevienādību īpašības parādīsim saraksta veidā, savukārt sniegsim atbilstošo apgalvojumu, uzrakstīsim to formāli, izmantojot burtus, sniegsim pierādījumu un pēc tam parādīsim lietošanas piemērus. Un raksta beigās mēs apkoposim visas skaitlisko nevienādību īpašības tabulā. Aiziet!

    Jebkura skaitļa pievienošana (vai atņemšana) abām patiesas skaitliskās nevienādības pusēm rada patiesu skaitlisku nevienādību. Citiem vārdiem sakot, ja skaitļi a un b ir tādi, ka a

    Lai to pierādītu, izveidosim starpību starp pēdējās skaitliskās nevienādības kreiso un labo pusi un parādīsim, ka tā ir negatīva ar nosacījumu a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Tā kā ar nosacījumu a

    Mēs nekavējamies pie šīs skaitlisko nevienādību īpašības pierādījuma skaitļa c atņemšanai, jo reālo skaitļu kopā atņemšanu var aizstāt ar pievienošanu −c.

    Piemēram, ja pievienojat skaitli 15 abām pareizās skaitliskās nevienādības 7>3 pusēm, iegūstat pareizo skaitlisko nevienādību 7+15>3+15, kas ir tas pats, 22>18.

    Ja abas derīgas skaitliskās nevienādības puses tiek reizinātas (vai dalītas) ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli c, tiek iegūta derīga skaitliskā nevienādība. Ja abas nevienādības puses tiek reizinātas (vai dalītas) ar negatīvu skaitli c un nevienlīdzības zīme ir apgriezta, tad nevienlīdzība būs patiesa. Burtiskā formā: ja skaitļi a un b apmierina nevienādību a b·c.

    Pierādījums. Sāksim ar gadījumu, kad c>0. Salīdzināsim starpību starp pierādāmās skaitliskās nevienādības kreiso un labo pusi: a·c−b·c=(a−b)·c . Tā kā ar nosacījumu a 0 , tad reizinājums (a−b)·c būs negatīvs skaitlis kā negatīva skaitļa a−b un pozitīva skaitļa c reizinājums (kas izriet no ). Tāpēc a·c−b·c<0 , откуда a·c

    Mēs nepakavējamies pie aplūkojamās īpašības pierādījuma patiesas skaitliskās nevienādības abas puses dalīt ar vienu un to pašu skaitli c, jo dalīšanu vienmēr var aizstāt ar reizināšanu ar 1/c.

    Parādīsim piemēru par analizētā īpašuma izmantošanu konkrētiem skaitļiem. Piemēram, jums var būt abas pareizās skaitliskās nevienādības 4 puses<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

    No tikko apspriestās īpašības reizināt abas skaitliskās vienādības puses ar skaitli, izriet divi praktiski vērtīgi rezultāti. Tāpēc mēs tās formulējam seku veidā.

    Visas iepriekš šajā punktā aplūkotās īpašības vieno tas, ka vispirms tiek dota pareiza skaitliskā nevienādība un no tās, veicot dažas manipulācijas ar nevienādības daļām un zīmi, tiek iegūta vēl viena pareiza skaitliskā nevienādība. Tagad prezentēsim īpašību bloku, kurā sākotnēji ir dota nevis viena, bet vairākas pareizas skaitliskās nevienādības, un pēc to daļu saskaitīšanas vai reizināšanas no to koplietošanas tiek iegūts jauns rezultāts.

    Ja skaitļi a, b, c un d apmierina nevienādības a

    Pierādīsim, ka (a+c)−(b+d) ir negatīvs skaitlis, tas pierādīs, ka a+c

    Ar indukciju šī īpašība attiecas uz trīs, četru un vispār jebkura ierobežota skaita skaitlisko nevienādību saskaitīšanu. Tātad, ja skaitļiem a 1, a 2, …, a n un b 1, b 2, …, b n ir patiesas šādas nevienādības: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

    Piemēram, mums ir dotas trīs pareizas vienas un tās pašas zīmes –5 skaitliskās nevienādības<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

    Jūs varat reizināt vienas un tās pašas zīmes skaitliskās nevienādības ar terminu, kuras abas puses ir attēlotas ar pozitīviem skaitļiem. Jo īpaši divām nevienlīdzībām a

    Lai to pierādītu, var reizināt abas nevienādības a puses

    Šī īpašība attiecas arī uz jebkura ierobežota skaita patieso skaitlisko nevienādību reizināšanu ar pozitīvām daļām. Tas ir, ja a 1, a 2, ..., a n un b 1, b 2, ..., b n ir pozitīvi skaitļi un a 1 a 1 a 2…a n .

    Atsevišķi ir vērts atzīmēt, ka, ja skaitlisko nevienādību apzīmējums satur nepozitīvus skaitļus, tad to reizināšana pa vienam var novest pie nepareizām skaitliskām nevienādībām. Piemēram, skaitliskās nevienādības 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

    • Sekas. Formas a identisku patieso nevienādību termiskā reizināšana

Raksta beigās, kā solīts, apkoposim visus pētītos īpašumus skaitlisko nevienādību īpašību tabula:

Bibliogrāfija.

  • Moro M.I.. Matemātika. Mācību grāmata 1 klasei. sākums skola 2 stundās.1.daļa.(Gada pirmā puse) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova.- 6th ed. - M.: Izglītība, 2006. - 112 lpp.: ill.+Pievien. (2 atsevišķas l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
  • Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

  • Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

  • Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
  • Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
  • Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
  • Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

  • Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
  • Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.