Rakstā mēs apsvērsim nevienlīdzību risināšana. Mēs jums skaidri pateiksim par kā konstruēt nevienlīdzības risinājumu, ar skaidriem piemēriem!

Pirms aplūkojam nevienlīdzību risināšanu, izmantojot piemērus, sapratīsim pamatjēdzienus.

Vispārīga informācija par nevienlīdzību

Nevienlīdzība ir izteiksme, kurā funkcijas ir savienotas ar relāciju zīmēm >, . Nevienlīdzība var būt gan skaitliska, gan burtiska.
Nevienādības ar divām koeficienta zīmēm sauc par dubultām, ar trīs - trīskāršām utt. Piemēram:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nevienādības, kas satur zīmi > vai vai - nav stingras.
Nevienlīdzības atrisināšana ir jebkura mainīgā vērtība, kurai šī nevienādība būs patiesa.
"Atrisiniet nevienlīdzību" nozīmē, ka mums ir jāatrod visu tā risinājumu kopa. Ir dažādi nevienādību risināšanas metodes. Priekš nevienlīdzības risinājumi Viņi izmanto skaitļu līniju, kas ir bezgalīga. Piemēram, nevienlīdzības risinājums x > 3 ir intervāls no 3 līdz +, un skaitlis 3 nav iekļauts šajā intervālā, tāpēc punkts uz līnijas tiek apzīmēts ar tukšu apli, jo nevienlīdzība ir stingra.
+
Atbilde būs: x (3; +).
Vērtība x=3 nav iekļauta risinājumu kopā, tāpēc iekavas ir apaļas. Bezgalības zīme vienmēr tiek izcelta ar iekavām. Zīme nozīmē "piederēt".
Apskatīsim, kā atrisināt nevienlīdzības, izmantojot citu piemēru ar zīmi:
x 2
-+
Vērtība x=2 ir iekļauta risinājumu komplektā, tāpēc iekava ir kvadrātveida un punkts uz līnijas ir norādīts ar aizpildītu apli.
Atbilde būs: x " title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Lai atrisinātu sistēmu, ir nepieciešama katra tās sastāvdaļu nevienlīdzība. Vienīgi tika pieņemts lēmums nerakstīt atsevišķi, bet gan kopā, apvienojot tos ar cirtainu lencīti.

Katrā sistēmas nevienādībā nezināmo pārceļam uz vienu pusi, zināmos uz otru ar pretēju zīmi:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pēc vienkāršošanas abas nevienādības puses jādala ar skaitli X priekšā. Pirmo nevienādību dalām ar pozitīvu skaitli, tātad nevienādības zīme nemainās. Mēs dalām otro nevienādību ar negatīvu skaitli, tāpēc nevienlīdzības zīme ir jāapgriež otrādi:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mēs atzīmējam nevienādību risinājumu uz skaitļu taisnēm:

Atbildot uz to, mēs pierakstām risinājumu krustpunktu, tas ir, daļu, kur abās līnijās ir ēnojums.

Atbilde: x∈[-2;1).

Pirmajā nevienādībā atbrīvosimies no daļskaitļa. Lai to izdarītu, mēs reizinām abas puses vārdu pa vārdam ar mazāko kopsaucēju 2. Reizinot ar pozitīvu skaitli, nevienlīdzības zīme nemainās.

Otrajā nevienādībā mēs atveram iekavas. Divu izteiksmju summas un starpības reizinājums ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu starpību. Labajā pusē ir kvadrāts no starpības starp abām izteiksmēm.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pārvietojam nezināmos uz vienu pusi, zināmos uz otru ar pretēju zīmi un vienkāršojam:

Mēs sadalām abas nevienādības puses ar skaitli X priekšā. Pirmajā nevienādībā mēs dalām ar negatīvu skaitli, tāpēc nevienlīdzības zīme ir apgriezta. Otrajā mēs dalām ar pozitīvu skaitli, nevienlīdzības zīme nemainās:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Abām nevienlīdzībām ir zīme “mazāks par” (nav svarīgi, ka viena zīme ir stingri “mazāka par”, otra ir brīva, “mazāka par vai vienāda”). Mēs nevaram atzīmēt abus risinājumus, bet izmantot “ ” noteikumu. Mazākais ir 1, tāpēc sistēma reducē līdz nevienlīdzībai

Mēs atzīmējam tā risinājumu uz skaitļu līnijas:

Atbilde: x∈(-∞;1].

Atverot iekavas. Pirmajā nevienlīdzībā - . Tas ir vienāds ar šo izteiksmju kubu summu.

Otrajā - divu izteiksmju summas un starpības reizinājums, kas ir vienāds ar kvadrātu starpību. Tā kā šeit iekavu priekšā ir mīnusa zīme, labāk tās atvērt divos posmos: vispirms izmantojiet formulu un tikai pēc tam atveriet iekavas, mainot katra termina zīmi uz pretējo.

Mēs pārvietojam nezināmos vienā virzienā, zināmos otrā ar pretēju zīmi:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Abas ir lielākas par zīmēm. Izmantojot noteikumu “vairāk nekā vairāk”, mēs reducējam nevienādību sistēmu līdz vienai nevienādībai. Lielākais no diviem skaitļiem ir 5, tāpēc

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ciparu rindā atzīmējam nevienādības risinājumu un pierakstām atbildi:

Atbilde: x∈(5;∞).

Tā kā algebrā lineāro nevienādību sistēmas rodas ne tikai kā patstāvīgi uzdevumi, bet arī dažāda veida vienādojumu, nevienādību uc risināšanas gaitā, ir svarīgi šo tēmu apgūt savlaicīgi.

Nākamreiz apskatīsim piemērus lineāro nevienādību sistēmu risināšanai īpašos gadījumos, kad vienai no nevienādībām nav atrisinājumu vai tās risinājums ir jebkurš skaitlis.

Kategorija: |

Šajā nodarbībā turpināsim aplūkot racionālās nevienādības un to sistēmas, proti: lineāro un kvadrātisko nevienādību sistēmu. Vispirms atcerēsimies, kas ir divu lineāru nevienādību sistēma ar vienu mainīgo. Tālāk apskatīsim kvadrātvienādību sistēmu un to risināšanas metodiku, izmantojot konkrētu problēmu piemēru. Sīkāk apskatīsim tā saukto jumta metodi. Mēs analizēsim tipiskus sistēmu risinājumus un nodarbības beigās apsvērsim, kā atrisināt sistēmu ar lineārām un kvadrātiskām nevienādībām.

2. Elektroniskais izglītības un metodiskais komplekss 10-11 klašu sagatavošanai iestājeksāmeniem datorzinātnēs, matemātikā, krievu valodā ().

3. Izglītības centrs “Mācību tehnoloģija” ().

4. College.ru sadaļa par matemātiku ().

1. Mordkovičs A.G. u.c.. Algebra 9. klase: Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, T. N. Mišustina u.c.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.58(a,c); 62; 63.

Nevienādības atrisināšana divos mainīgajos, un vēl jo vairāk nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem, šķiet diezgan grūts uzdevums. Tomēr ir vienkāršs algoritms, kas palīdz viegli un bez piepūles atrisināt šķietami ļoti sarežģīti uzdevumi tāda veida. Mēģināsim to izdomāt.

Ļaujiet mums izveidot nevienādību ar diviem mainīgajiem vienā no šādiem veidiem:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Lai attēlotu šādas nevienlīdzības risinājumu kopu koordinātu plakne rīkojieties šādi:

1. Mēs izveidojam funkcijas y = f(x) grafiku, kas sadala plakni divos apgabalos.

2. Mēs izvēlamies jebkuru no iegūtajiem apgabaliem un apsveram tajā patvaļīgu punktu. Mēs pārbaudām sākotnējās nevienlīdzības iespējamību šim punktam. Ja testa rezultāti ir pareizi skaitliskā nevienlīdzība, tad secinām, ka sākotnējā nevienlīdzība ir spēkā visā reģionā, kuram pieder izvēlētais punkts. Tādējādi nevienlīdzības risinājumu kopa ir reģions, kuram pieder izvēlētais punkts. Ja pārbaudes rezultāts ir nepareiza skaitliskā nevienādība, tad nevienādības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram izvēlētais punkts nepieder.

3. Ja nevienādība ir stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, netiek iekļauti risinājumu kopā un robeža ir attēlota ar punktētu līniju. Ja nevienādība nav stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, tiek iekļauti šīs nevienlīdzības atrisinājumu kopā un šajā gadījumā tiek attēlota robeža. kā cieta līnija.
Tagad aplūkosim vairākas problēmas par šo tēmu.

1. uzdevums.

Kādu punktu kopu dod nevienādība x · y ≤ 4?

Risinājums.

1) Mēs izveidojam vienādojuma x · y = 4 grafiku. Lai to izdarītu, vispirms mēs to pārveidojam. Acīmredzot x šajā gadījumā nepārvēršas par 0, jo pretējā gadījumā mums būtu 0 · y = 4, kas ir nepareizi. Tas nozīmē, ka mēs varam dalīt mūsu vienādojumu ar x. Mēs iegūstam: y = 4/x. Šīs funkcijas grafiks ir hiperbola. Tas sadala visu plakni divos reģionos: starp diviem hiperbolas zariem un ārpus tiem.

2) Izvēlēsimies patvaļīgu punktu no pirmā apgabala, lai tas būtu punkts (4; 2).
Pārbaudīsim nevienādību: 4 · 2 ≤ 4 – nepatiess.

Tas nozīmē, ka šī reģiona punkti neapmierina sākotnējo nevienlīdzību. Tad varam secināt, ka nevienlīdzības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram izvēlētais punkts nepieder.

3) Tā kā nevienādība nav stingra, tad robežas punktus, tas ir, funkcijas y = 4/x grafika punktus novelkam ar nepārtrauktu līniju.

Krāsosim punktu kopu, kas nosaka sākotnējo nevienādību dzeltenā krāsā (1. att.).

2. uzdevums.

Uzzīmējiet laukumu, ko koordinātu plaknē nosaka sistēma
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9.

Risinājums.

Sāksim ar grafikas veidošanu sekojošas funkcijas (2. att.):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – taisne

x 2 + y 2 = 9 – aplis.

1) y > x 2 + 2.

Mēs ņemam punktu (0; 5), kas atrodas virs funkcijas grafika.
Pārbaudīsim nevienādību: 5 > 0 2 + 2 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs dotās parabolas y = x 2 + 2, apmierina sistēmas pirmo nevienādību. Krāsosim tos dzeltenā krāsā.

2) y + x > 1.

Mēs ņemam punktu (0; 3), kas atrodas virs funkcijas grafika.
Pārbaudīsim nevienādību: 3 + 0 > 1 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs taisnes y + x = 1, apmierina sistēmas otro nevienādību. Krāsosim tos ar zaļu ēnojumu.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Ņemiet punktu (0; -4), kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9.
Pārbaudīsim nevienādību: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – nepareizi.

Tāpēc visi punkti, kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9, neapmierina sistēmas trešo nevienādību. Tad varam secināt, ka visi punkti, kas atrodas apļa x 2 + y 2 = 9 iekšpusē, apmierina sistēmas trešo nevienādību. Krāsosim tos ar violetu ēnojumu.

Neaizmirstiet, ka, ja nevienlīdzība ir stingra, tad atbilstošā robežlīnija jānovelk ar punktētu līniju. Mēs iegūstam šādu attēlu (3. att.).

(4. att.).

3. uzdevums.

Uzzīmējiet laukumu, ko koordinātu plaknē nosaka sistēma:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Risinājums.

Sākumā mēs veidojam šādu funkciju grafikus:

x 2 + y 2 = 16 – aplis,

x = -y – taisne

x 2 + y 2 = 4 – aplis (5. att.).

Tagad apskatīsim katru nevienlīdzību atsevišķi.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Ņemiet punktu (0; 0), kas atrodas apļa iekšpusē x 2 + y 2 = 16.
Pārbaudīsim nevienādību: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – taisnība.

Tāpēc visi punkti, kas atrodas apļa iekšpusē x 2 + y 2 = 16, apmierina sistēmas pirmo nevienādību.
Krāsosim tos ar sarkanu ēnojumu.

Mēs ņemam punktu (1; 1), kas atrodas virs funkcijas grafika.
Pārbaudīsim nevienādību: 1 ≥ -1 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs taisnes x = -y, apmierina sistēmas otro nevienādību. Krāsosim tos ar zilu ēnojumu.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Paņemiet punktu (0; 5), kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 4.
Pārbaudīsim nevienādību: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 4, apmierina sistēmas trešo nevienādību. Krāsosim tos zilā krāsā.

Šajā uzdevumā visas nevienlīdzības nav stingras, kas nozīmē, ka visas robežas novelkam ar cietu līniju. Mēs iegūstam šādu attēlu (6. att.).

Meklēšanas apgabals ir apgabals, kurā visi trīs krāsainie apgabali krustojas viens ar otru (7. attēls).

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt nevienādību sistēmu ar diviem mainīgajiem?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.