Ļaujiet funkcijai norādīt. Tā kā X un Y ir neatkarīgi mainīgie lielumi, tad viens no tiem var atšķirties, un otrs, lai saglabātu savu vērtību. Mēs sniedzam neatkarīgu mainīgo x pieaugumu, saglabājot vērtību y nemainīgu. Tad Z saņems pieaugumu, ko sauc par Z, saskaņā ar X privāto pieaugumu, un ir norādīts. Tā ,.

Līdzīgi, mēs iegūstam privātu pieaugumu Z uz y :.

Funkcijas pilnīgu pieaugumu nosaka vienlīdzība.

Ja ir ierobežojums, to sauc par privātu atvasinājumu funkciju mainīgā X punktā, un to norāda viena no rakstzīmēm:

.

Privātie atvasinājumi ar X punktu parasti apzīmē ar simboliem .

Līdzīgi to nosaka un apzīmē ar mainīgo Y privāto atvasinājumu:

Tādējādi vairāku (divu, trīs un vairāk) mainīgo lielumu īpaša atvasinājums ir definēts kā viena no šiem mainīgajiem atvasinājumiem, ar nosacījumu, ka atlikušo neatkarīgo mainīgo lielumu vērtības ir nemainīgas. Tāpēc privātie atvasinājumi ir formulas un noteikumi, lai aprēķinātu atvasināto finanšu instrumentu (tajā pašā laikā, attiecīgi, X vai Y tiek uzskatīti par nemainīgu vērtību).

Privātie atvasinājumi un tiek saukti par privātiem pirmās kārtas atvasinājumiem. Tos var uzskatīt par funkcijām. Šīm funkcijām var būt privāti atvasinājumi, kurus sauc par otrās kārtas privātajiem atvasinājumiem. Tos nosaka un minēts šādi: \\ t

; ;

; .

Diferencienti 1 un 2 kārtas funkcijas diviem mainīgajiem.

Pilna atšķirība Funkcijas (formula 2.5) tiek sauktas pirmās kārtas diferenciālis.

Pilnīgas diferenciāla aprēķināšanas formula ir šāda:

(2,5) vai kur

privātās atšķirības funkcija.

Pieņemsim, ka funkcija ir nepārtraukta privāto otrās kārtas atvasinājumu. Otrā kārtas diferenciālā nosaka ar formulu. Atrodi viņu:

Līdz ar to:. Tas ir simboliski rakstīts šādā veidā:

.

Nenoteikta neatņemama.

Iepriekš līdzīga funkcija, nenoteikta integrāla, īpašības.

Funkcija F (x) tiek saukts predo formaspar šo funkciju f (x), ja f "(x) \u003d f (x), vai, tas ir tāds pats, ja DF (X) \u003d F (x) dx.

Teorēma. Ja funkcija f (x), kas noteikta dažos intervālos (x) ar ierobežotu vai bezgalīgu garumu, ir viens primitīvs, f (x), tad tas ir un bezgalīgi daudz primitīvas; Visi no tiem ir ietverti izteiksmē f (x) + c, kur c ir patvaļīga konstante.

Visu primāro funkciju kombinācija, kas definēta kādā intervālā vai uz kādu gala vai bezgalīgā garuma segmentu kombināciju nenoteikta neatņemama No funkcijas f (x) [vai no izteiksmes f (x) dx], un to norāda simbols.

Ja f (x) ir viens no primitīviem F (x), pēc tam saskaņā ar primāro teorēmu

kur ar ir patvaļīga konstante.

Pēc primitīvas F "(X) \u003d F (X) un, tāpēc DF (X) \u003d F (x) DX. Formulā (7.1.), F (x) tiek saukta par vadlīniju funkciju, un F (x ) DX ir mērķis.

Divu mainīgo privātie atvasinājumi.
Risinājumu koncepcija un piemēri

Šajā nodarbībā mēs turpināsim iepazīties ar divu mainīgo lielumu funkciju un, iespējams, apsvērt, visbiežāk sastopamais tematiskais uzdevums ir atrast pirmā un otrā kārtas privātie atvasinājumi, kā arī pilnīga diferenciāla funkcija. Studenti - voirs, kā likums, saskaras ar privātajiem atvasinājumiem 1. gadā 2 semestra. Turklāt, pēc maniem novērojumiem, uzdevums atrast privātos atvasinājumus gandrīz vienmēr atrodams uz eksāmenu.

Lai efektīvi izpētītu šādu materiālu jums nepieciešams Lai varētu vairāk vai mazāk pārliecinoši atrast "parastos" atvasinājumus viena mainīgā. Jūs varat uzzināt, kā rīkoties ar atvasinājumiem nodarbībās Kā atrast atvasinājumu? un Atvasināto kompleksa funkcija. Mums ir vajadzīga arī atvasinājumu elementāru iezīmju un diferenciācijas noteikumu tabula, kas ir ērtākais, ja tas ir drukātā veidā. Jūs varat izvēlēties atsauces materiālu lapā. Matemātiskās formulas un tabulas.

Ātri atkārtojiet divu mainīgo funkcijas koncepciju, es centīšos ierobežot mazāko. Divu mainīgo lielumu funkcija parasti ir rakstīta kā ar mainīgajiem lielumiem, ko sauc par neatkarīgi mainīgie vai argumenti.

Piemērs: - divu mainīgo funkcija.

Dažreiz jūs izmantojat ierakstu. Tiek atrasti arī uzdevumi, kur vēstule tiek izmantota vēstules vietā.

No ģeometriskā viedokļa divu mainīgo lielumu funkcija visbiežāk ir trīsdimensiju telpas (plakne, cilindrs, bumba, paraboloid, hiperboloid uc). Bet, patiesībā, tas jau ir vairāk analītisko ģeometriju, un mums ir matemātiska analīze par darba kārtībā, kas nekad nav atļauts norakstīt savu universitātes skolotāja ir mana "skate".

Dodieties uz jautājumu par pirmā un otrā pasūtījuma privāto atvasinājumu atrašanu. Jāziņo labas ziņas Tiem, kas dzēra dažus tasus kafijas un noregulē uz neiedomājami sarežģīto materiālu: privātie atvasinājumi ir gandrīz tādi paši kā "parastie" atvasinājumi viena mainīgā.

Daļējiem atvasinājumiem visi diferenciācijas noteikumi un atvasināto pamatfunkciju tabula ir derīga. Ir tikai pāris nelielas atšķirības, ar kurām mēs tiksies tieši tagad:

... Jā, starp citu, par šo tēmu es joprojām izveidoju little PDF grāmatakas ļaus jums "piepildīt savu roku." burtiski pāris stundu laikā. Bet, izmantojot vietni, jūs noteikti saņemsiet arī rezultātu - tikai tas var nedaudz lēnāk:

1. piemērs.

Atrodiet pirmās un otrās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus

Mēs atradīsim pirmās kārtas privātus atvasinājumus. Ir divi no tiem.

Apzīmējumi:
vai - "X" privāts atvasinājums
Vai - "Igarek" privātais atvasinājums

Sāksim ar. Kad mēs atrodam privātu atvasinājumu "X", mainīgais tiek uzskatīts par nemainīgu (nemainīgu).

Komentāri par veiktajām darbībām:

(1) Pirmā lieta, ko mēs darām, atrodot privātu atvasinājumu - noslēgt viss Funkcija kronšteinu iekavās ar substrāta indeksu.

Uzmanība, svarīgi! Sloksnes indeksi nezaudē gar šķīdumu. Šādā gadījumā, ja jūs kaut kur neizmantojat "bāru", tad skolotājs, minimums, var likt blakus uzdevumam (nekavējoties iekost no punkta neuzmanības).

(2) Mēs izmantojam diferencēšanas noteikumus . Priekš vienkāršs piemērsTādā veidā abus noteikumus var pilnībā izmantot vienā solī. Pievērsiet uzmanību pirmajam terminam: Kopš tā laika To uzskata par nemainīgu, un jebkuru konstantu var iesniegt atvasinājuma zīmeiTad mēs izturam iekavās. Tas ir, šajā situācijā nekas nav labāks par parasto numuru. Tagad aplūkosim trešo pilnvaru termiņu: šeit, gluži pretēji, nekas nav jāveic. Kopš nemainīga, tā ir arī nemainīga, un šajā ziņā tas nav labāks par pēdējo terminu - "Septiņi".

(3) Mēs izmantojam galda atvasinājumus un.

(4) Vienkāršojiet vai, kā es mīlu runāt, "cīnīties" atbildi.

Tagad. Kad mēs atrodam privātu atvasinājumu "Igarek", tad mainīgais uzskata par nemainīgu (nemainīgu numuru).

(1) Mēs izmantojam tos pašus diferenciācijas noteikumus . Pirmajā termiņā mēs veicam nemainīgu atvasinājuma zīmi, otrajā termiņā nav iespējams kaut ko darīt, jo jau ir konstante.

(2) Mēs izmantojam atvasināto pamatskolu funkciju tabulu. Garīgi mainās tabulā visi "IKS" uz "Igreki". Tas ir, šī tabula ir vienlīdz derīga (un patiešām gandrīz jebkurā vēstulē). Jo īpaši, formulas mēs izmantojam izskatās šādi: un.

Kāda ir privātā atvasinājumu nozīme?

Būtībā, privāts 1-th pasūtīt dažādus atvasinājumus atgādina "Parastā" atvasinājums:

- tas ir funkcijaskas raksturo mainīt ātrumu Funkcijas virzienā asīm un, attiecīgi. Tātad, piemēram, funkcija raksturo šautenes "pacelšanas" un "nogāzes" virszemes Abscisa ass virzienā, un funkcija informē mūs par tās pašas virsmas "atvieglojumu" orininētās ass virzienā.

! Piezīme : Šeit ir paredzēti norādījumi, kas paralēle Koordinātu asis.

Lai labāk izprastu, apsveriet plaknes īpašo punktu un aprēķinātu funkcijas vērtību ("augstums"):
- Tagad iedomājieties, ka esat šeit (uz virsmas).

Aprēķiniet "X" privāto atvasinājumu:

Negatīvā zīme "ICSO" atvasinājums informē mūs par dilstošs Funkcijas punktā abscisas ass virzienā. Citiem vārdiem sakot, ja mēs darīsim mazu (Infinitsimal) Ass ace (paralēli šai asij), tad iet uz leju uz slīpuma virsmas.

Tagad mēs iemācāmies "apvidus" raksturu sacīkšu ass virzienā:

Tāpēc "IGREK" atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc ass funkcijas virzienā palielinājums. Ja tas ir diezgan vienkārši, tad mēs pacelsimies uz kalnu.

Turklāt, privātais atvasinājums pie punkta raksturo mainīt ātrumu Funkcijas atbilstošā virzienā. Nekā iegūtā vērtība vairāk pēc moduļa - Šī virsma ir vēsāka, un otrādi, kā tas ir tuvāk nullei - virsma ir biežāka. Tātad, mūsu piemērā "slīpums" abscisas ass virzienā ir asa nekā "kalns" orininētās ass virzienā.

Bet bija divi privāti ceļi. Ir skaidrs, ka no vietas, kurā mēs esam, (un kopumā no jebkura punkta šīs virsmas) Mēs varam pārvietoties kādā citā virzienā. Tādējādi ir interese veidot kopīgu "navigācijas karti", kas mums ziņotu par virsmas "ainavu" ja iespējams Katrā brīdī sīkāka informācija par šo funkciju Visiem pieejamajiem ceļiem. Es pastāstīšu par šo un citām interesantām lietām vienā no šādām stundām, bet tagad es atgriezīšos pie jautājuma tehniskajā pusē.

Mēs sistematizējam elementāro pieteikumu noteikumus:

1) Kad mēs diferencējam programmatūru, mainīgais tiek uzskatīts par nemainīgu.

2) Ja diferenciāciju veic, pastāvīgais tiek uzskatīts.

3) Atvasināto pamatfunkciju noteikumi un tabula ir derīgi un piemērojami jebkuram mainīgajam (vai citiem), kas satur diferenciāciju.

Solis otrais. Mēs atrodam otrā pasūtījuma privātus atvasinājumus. Četri.

Apzīmējumi:
vai - otrais atvasinājums "x"
Vai ir otrais "Igarek" atvasinājums
vai - sajaukts "Xreight" atvasinājuma atvasinājums
vai - sajaukts "IKS" atvasinājums

Ar otro atvasinājumu nav problēmu. Runājošs vienkārša valoda, otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājuma atvasinājums.

Ērtības labad es atrodos pirmās kārtas privātos atvasinājumus:

Vispirms vispirms atradīsiet jauktos atvasinājumus:

Kā jūs redzat, viss ir vienkāršs: mēs ņemam privātu atvasinājumu un nošķirt to vēlreiz, bet šajā gadījumā tas jau ir "Igarek".

Līdzīgi:

Praktiskos piemēros jūs varat koncentrēties uz šādu vienlīdzību:

Tādējādi, izmantojot jauktus atvasinājumus otrajā kārtībā, tas ir ļoti ērti pārbaudīt, un vai mēs atradām privātus atvasinājumus pirmās kārtas pareizi.

Mēs atrodam "X" otro atvasinājumu.
Nav izgudrojumi Un atkal atšķiriet to ar "X":

Līdzīgi:

Jāatzīmē, ka, atrodoties, jums ir jāparāda pastiprināta uzmanībaTā kā nav brīnišķīgas vienlīdzības, lai pārbaudītu tos.

Otrais atvasinātie instrumenti arī atrod plaši praktisks lietojums, jo īpaši, tie tiek izmantoti atrašanas uzdevumā divu mainīgo lielumu galējības. Bet viss ir jūsu laiks:

2. piemērs.

Aprēķiniet pirmās funkcijas kārtības privātos atvasinājumus. Atrodiet otrās kārtas atvasinājumus.

Tas ir piemērs neatkarīgam lēmumam (atbildes stundas beigās). Ja ir grūtības ar sakņu diferenciāciju, dodieties atpakaļ uz nodarbību Kā atrast atvasinājumu? Kopumā drīz jūs uzzināsiet, kā atrast līdzīgus atvasinājumus "ar Loet".

Ielieciet roku uz vairāk kompleksi piemēri:

3. piemērs.

Pārbaudiet to. Uzrakstiet pilnīgu pirmās kārtas diferenciālo.

Risinājums: atrast privātus atvasinājumus pirmās kārtas:

Pievērsiet uzmanību aizvietošanas indeksam: blakus "IKS" nav atjaunots iekavās, kas ir nemainīgs. Šī preču zīme var būt ļoti noderīga iesācējiem, lai atvieglotu lēmuma orgānu.

Papildu komentāri:

(1) Mēs izturam visas konstantes atvasinājuma zīmei. Šajā gadījumā, un tas nozīmē, viņu darbs tiek uzskatīts par nemainīgu numuru.

(2) Neaizmirstiet, kā diferencēt saknes.

(1) Mēs izturam visas konstantes atvasinājuma zīmei, šajā gadījumā konstante ir.

(2) Saskaņā ar insultu mēs atstājām divu funkciju produktu, jums ir jāizmanto darba atvasināšana .

(3) Neaizmirstiet, ka tā ir sarežģīta funkcija (lai gan vienkāršākais komplekss). Mēs izmantojam atbilstošu noteikumu: .

Tagad mēs atrodam jauktus atvasinājumus otrā kārtībā:

Tātad, visi aprēķini ir izpildīti.

Mēs uzrakstām pilnu diferenciu. Saistībā ar aplūkoto uzdevumu nav nekādas jēgas pateikt, ka tik pilnīga diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem. Ir svarīgi, lai šis vislielākais diferenciāli ir nepieciešams reģistrēt praktiskos uzdevumus.

Pilna pirmās kārtas diferenciālis Divu mainīgo funkcijas ir:

Šajā gadījumā:

Tas ir, jo formulā jums ir nepieciešams muļķīgi vienkārši aizstāt pirmās kārtas privātie atvasinājumi jau atrasts. Ja iespējams, var labāk ierakstīt dažādas ikonas un šajā un līdzīgos gadījumos skaitītājos.

Un par atkārtotiem lasītāju pieprasījumiem, \\ t pilna otrās kārtas diferenciālis.

Tas izskatās šādi:

Uzmanīgi atrodiet 2. kārtas atvasinājumus "One-Boreny":

un mēs uzrakstām "monstru", kārtīgi "pievienojot" kvadrātu, darbu un neaizmirstot divkāršot jaukto atvasinājumu:

Nekas briesmīgs, ja kaut kas šķita grūti, jūs vienmēr varat atgriezties atvasinājumā vēlāk, pēc tam, kad paceltu diferenciācijas tehniku:

4. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus . Pārbaudiet to. Uzrakstiet pilnīgu pirmās kārtas diferenciālo.

Apsveriet virkni piemēru ar sarežģītām funkcijām:

5. piemērs.

Atrodiet funkcijas pirmās kārtas daļējas atvasinājumus.

Lēmums:

6. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus .
Uzrakstiet pilnu diferenciu.

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam (atbilde stundas beigās). Pilnīgs risinājums nenozīmē, jo tas ir diezgan vienkārši

Diezgan bieži visi iepriekš minētie noteikumi tiek piemēroti kombinācijā.

7. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus .

(1) Izmantojiet diferenciācijas noteikumu par summu

(2) Pirmais termins šajā gadījumā tiek uzskatīts par nemainīgu, jo nav nekas neattiecas uz "IKS" izteiksmē - tikai "ignorāda". Jūs zināt, vienmēr jauki, ja frakcija var kļūt par nulli). Par otro komponentu mēs izmantojam produkta diferenciācijas atvasināšanu. Starp citu, šajā ziņā tas nebūtu mainījies, ja tā vietā, lai funkcija tika dota - tas ir svarīgi, ka šeit divu funkciju darbs, Katrs no tiem ir atkarīgs no "X"Un tāpēc jums ir jāizmanto darba atvasinājums. Attiecībā uz trešo komponentu, piemērot diferenciācijas noteikumu par sarežģītu funkciju.

(1) Pirmajā termiņā un skaitītājā un saucējs satur "Igrek", tāpēc ir nepieciešams izmantot proporcijas diferenciācijas noteikumu: . Otrais termiņš ir atkarīgs tikai no "X", kas nozīmē, ka tas tiek uzskatīts par nemainīgu un pārvēršas nullē. Trešajam termiņam mēs izmantojam dažādu funkciju diferenciācijas noteikumu.

Tiem lasītājiem, kuri drosmīgi sasniedza gandrīz beigas nodarbības, es pateiks veco Mehmatov joks par atbrīvošanu:

Reiz funkciju telpā parādījās ļauns atvasinājums un kā diferencēt ikvienu. Visām funkcijām trūkst tā, kur, es nevēlos pārvērst ikvienu! Un tikai viena funkcija nav aizbēgusi jebkurā vietā. Piemērots viņas atvasinājumam un jautā:

- Kāpēc jūs neesat aizbēguši no manis?

- ha. Un man nav vienalga, jo es esmu uz x pakāpi, un jūs neko nedarīsiet ar mani!

Uz kuru ļauno atvasinājumu ar viltīgu smaidu atbildes:

- Šeit jūs esat kļūdaini, es vienaldzīgi vienaldzīgi "IREK", lai jūs varētu būt nulle.

Kurš sapratis anekdotu, viņš apguva atvasinātos finanšu instrumentus, vismaz uz "trijotnes").

8. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus .

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Pilnīgs risinājums un paraugu dizaina uzdevums - nodarbības beigās.

Nu, gandrīz viss. Visbeidzot, es nevaru neizlabot matemātikas mīļotājus ar citu piemēru. Punkts nav pat mīļotājiem, ikvienam ir atšķirīgs matemātiskās apmācības līmenis - ir cilvēki (un ne tik reti), kas mīl, lai pārvietotos ar uzdevumiem sarežģītāk. Lai gan pēdējais piemērs nav tik sarežģīts šajā stundā, cik daudz ir apgrūtinoša no aprēķinu viedokļa.

Apkoposim, kas ir privāto atvasinājumu atrašana no "parasto" atvasinājumu atrašanai:

1) Kad mēs atrodam privātu atvasinājumu T. mainīgs to uzskata par nemainīgu.

2) Kad mēs atrodam privātu atvasinājumu T. mainīgs to uzskata par nemainīgu.

3) noteikumi un atvasināto pamatfunkciju tabula ir derīgas un piemērojamas jebkuram mainīgajam ( , vai kādu citu), par kuru tiek veikta diferenciācija.

Solis otrais. Mēs atrodam otrā pasūtījuma privātus atvasinājumus. Četri.

Apzīmējumi:

Vai - otrais atvasinājums "x"

Vai ir otrais "Igarek" atvasinājums

Vai - sajauktsiXES atvasinājums "

Vai - sajauktsatvasinājums "uz IKS"

Otrā atvasinājuma koncepcijā nekas nav sarežģīts. Vienkāršā valodā, otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājuma atvasinājums.

Skaidrības labad es pārrakstīšu pirmās kārtas privātos atvasinājumus jau atrada:

Vispirms vispirms atradīsiet jauktos atvasinājumus:

Kā jūs redzat, viss ir vienkāršs: mēs ņemam privātu atvasinājumu un nošķirt to vēlreiz, bet šajā gadījumā tas jau ir "Igarek".

Līdzīgi:

Praktiskiem piemēriem, kad visi privātie atvasinājumi ir nepārtraukti, šāda vienlīdzība ir taisnība:

Tādējādi, izmantojot jauktus atvasinājumus otrajā kārtībā, tas ir ļoti ērti pārbaudīt, un vai mēs atradām privātus atvasinājumus pirmās kārtas pareizi.

Mēs atrodam "X" otro atvasinājumu.

Nav izgudrojumi Un atkal atšķiriet to ar "X":

Līdzīgi:

Jāatzīmē, ka, atrodoties, jums ir jāparāda pastiprināta uzmanībaTā kā pastāv brīnišķīgi ekvivalenti pārbaudei.

2. piemērs.

Atrodiet pirmās un otrās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam (atbilde stundas beigās).

Ar noteiktu pieredzi, privātie atvasinājumi no piemēriem 1,2 tiks atrisināts mutiski.

Iet uz sarežģītākiem piemēriem.

3. piemērs.

Pārbaudiet to. Uzrakstiet pilnīgu pirmās kārtas diferenciālo.

Risinājums: atrast privātus atvasinājumus pirmās kārtas:

Pievērsiet uzmanību aizvietošanas indeksam: blakus "IKS" nav atjaunots iekavās, kas ir nemainīgs. Šī preču zīme var būt ļoti noderīga iesācējiem, lai atvieglotu lēmuma orgānu.

Papildu komentāri:

(1) Mēs izturam visas konstantes atvasinājuma zīmei. Šajā gadījumā, un tas nozīmē, viņu darbs tiek uzskatīts par nemainīgu numuru.

(2) Neaizmirstiet, kā diferencēt saknes.

(1) Mēs izturam visas konstantes atvasinājuma zīmei, šajā gadījumā konstante ir.

(2) Saskaņā ar insultu mēs atstājām divu funkciju produktu, jums ir jāizmanto darba atvasināšana .

(3) Neaizmirstiet, ka tā ir sarežģīta funkcija (lai gan vienkāršākais komplekss). Mēs izmantojam atbilstošu noteikumu: .

Tagad mēs atrodam jauktus atvasinājumus otrā kārtībā:

Tātad, visi aprēķini ir izpildīti.

Mēs uzrakstām pilnu diferenciu. Saistībā ar aplūkoto uzdevumu nav nekādas jēgas pateikt, ka tik pilnīga diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem. Ir svarīgi, lai šis vislielākais diferenciāli ir nepieciešams reģistrēt praktiskos uzdevumus.

Divu mainīgo funkcijas pirmās kārtas pilnīga atšķirība ir:

Šajā gadījumā:

Tas ir, jo formulā jums vienkārši ir nepieciešams, lai aizstātu pirmās kārtas privātie atvasinājumi jau ir atrasts. Ja iespējams, var labāk ierakstīt dažādas ikonas un šajā un līdzīgos gadījumos skaitītājos.

4. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus . Pārbaudiet to. Uzrakstiet pilnīgu pirmās kārtas diferenciālo.

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Pilnīgs risinājums un paraugu dizaina uzdevums - nodarbības beigās.

Apsveriet virkni piemēru, kas ietver sarežģītas funkcijas.

5. piemērs.

Atrodiet funkcijas pirmās kārtas daļējas atvasinājumus.

(1) piemērot dažādas funkcijas diferenciācijas noteikumu . No nodarbības Atvasināto kompleksa funkcijabūtu jāatceras ļoti svarīgs punkts: kad mēs ieslēdzam sinusa uz galda (ārējā funkcija) uz kosine, tad ieguldījums (iekšējā funkcija) nemainās.

(2) Šeit mēs izmantojam sakņu īpašības:, mēs pieņemam pastāvīgu atvasinājuma zīmi, un sakne atrodas formā, kas nepieciešama diferencēšanai.

Līdzīgi:

Mēs uzrakstām pilnu atšķirību no pirmās kārtas:

6. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus .

Uzrakstiet pilnu diferenciu.

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam (atbilde stundas beigās). Pilnīgs risinājums nenozīmē, jo tas ir diezgan vienkārši

Diezgan bieži visi iepriekš minētie noteikumi tiek piemēroti kombinācijā.

7. piemērs.

Atrodiet pirmās kārtas funkcijas privātus atvasinājumus .

(1) Izmantojiet summu diferenciācijas noteikumu.

(2) Pirmais termins šajā gadījumā tiek uzskatīts par nemainīgu, jo nav nekas neattiecas uz "IKS" izteiksmē - tikai "ignorāda".

(Jūs zināt, vienmēr jauki, ja frakcija var kļūt par nulli).

Par otro komponentu mēs izmantojam produkta diferenciācijas atvasināšanu. Starp citu, algoritmā tas nebūtu mainījies, ja tā vietā, lai funkcija tiktu sniegta - ir svarīgi, lai mēs būtu šeit divu funkciju produkts, no kurām katra ir atkarīga no "x"Tāpēc ir nepieciešams izmantot produkta atvasinājumu. Attiecībā uz trešo komponentu, piemērot diferenciācijas noteikumu par sarežģītu funkciju.

Apsveriet funkciju no diviem mainīgiem lielumiem:

Tā kā mainīgie $ X $ un $ Y $ ir neatkarīgi, par šādu funkciju, ir iespējams ieviest koncepciju privātā atvasinājuma:

Privāta atvasinājuma funkcija $ F $ pie punkta $ m \u003d \\ pa kreisi (((x) _ (0)); ((y) _ (0)) \\ tEx) $ par mainīgo $ X $ ir ierobežojums

[((F) ") _ (x)) \u003d apdraudēta (\\ t) (Mathop (Lim)) \\, FRAC (F \\ T pa kreisi ((x) _ (0) ) + \\ DELTA X; (Y) _ (0)) \\ T pa labi)) (\\ Delta x) \\ t

Tāpat jūs varat noteikt privāto atvasinājumu par $ y $ mainīgo:

[(((f) ") _ (y)) \u003d apdraudēta (Delta Y līdz 0) (Mathop (Lim)) \\, FRAC (F. pa kreisi ((x) _ (0) )); (Y) _ (0)) + \\ DELTA Y labo)) (\\ DELTA Y) \\] \\ t

Citiem vārdiem sakot, lai atrastu vairāku mainīgo privāto atvasināto funkciju, jums ir nepieciešams noteikt visus pārējos mainīgos lielumus, izņemot vēlamo, un pēc tam atrast parasto atvasinājumu par šo vēlamo mainīgo.

No tā izriet, ka galvenā uzņemšana, lai aprēķinātu šādus atvasinājumus: vienkārši apsveriet, ka visi mainīgie, izņemot to, ir nemainīga, pēc kura diferencētais funkcija būtu diferencēta "parastā" - ar vienu mainīgo. Piemēram:

sāksies (izlīdzināt) & ((((((((((((((((x) ^ (2)) + 10xy \\ t)) _ (x)) ^ (\\ t )) \\ T pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) + 10y \\ cdot ((\\ t)) _ (x) \u003d 2x + 10Y, \\ un pa kreisi (((x) ^ (2)) + 10xy labajā)) _ (y)) ^ (\\ t) \u003d (((pa kreisi ((x) ^ (2)) \\ t)) ^ (\\ t Prime))) _ (y) + 10x cdot ((pa kreisi (y labā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d 0 + 10x \u003d 10x. Genda (izlīdzināt) $

Acīmredzot, privātie atvasinājumi dažādos mainīgos sniedz dažādas atbildes - tas ir normāli. Tas ir daudz vairāk svarīgi saprast, kāpēc, teiksim, pirmajā gadījumā mēs mierīgi veicām $ 10Y $ no pie atvasinājuma zīmes, un otrajā - viņi atiestata pirmo terminu. Tas viss ir saistīts ar to, ka visi burti, papildus mainīgajam, par kuru diferenciācija iet, tiek uzskatīts par konstantēm: tos var veikt, "sadedzināt" utt.

Kas ir "privāts atvasinājums"?

Šodien mēs runāsim par vairāku mainīgo funkcijām un no tiem privātajiem atvasinājumiem. Pirmkārt, kāda ir vairāku mainīgo funkcija? Līdz šim mēs izmantojām, lai aprēķinātu funkciju kā $ y pa kreisi (x labo) $ vai $ t pa kreisi (x labo) $ vai jebkuru mainīgu un vienotu funkciju no tā. Tagad funkcija mums būs viens, un vairāki mainīgie. Mainot $ Y $ un $ x $ vērtība funkcijas mainīsies. Piemēram, ja $ x $ ir dubultojies, funkcijas vērtība mainīsies, ar to, ja $ x $ tiek mainīts, un $ y $ nemainīsies, funkcijas vērtība mainīsies tādā pašā veidā.

Protams, var diferencēt vairāku mainīgo funkciju, tāpat kā no viena mainīgā lieluma. Tomēr, tā kā vairākus mainīgos lielumus var diferencēt ar dažādiem mainīgajiem lielumiem. Tajā pašā laikā rodas īpaši noteikumi, ka nebija viena mainīgā atšķirības.

Pirmkārt, kad mēs uzskatām, ka funkcijas atvasinājums no jebkura mainīgā, tad tiem jānorāda, kāda veida mainīgais mēs uzskatām, ka atvasinājums - to sauc par privātu atvasinājumu. Piemēram, mums ir funkcija no diviem mainīgiem lielumiem, un mēs varam aprēķināt to gan par $ X $, gan $ y $ ir divi privāti atvasinājumi katrā no mainīgajiem lielumiem.

Otrkārt, tiklīdz mēs reģistrējām vienu no mainīgajiem lielumiem un sākt apsvērt privāto atvasinājumu pēc tā, tad visi pārējie šajā funkcijā tiek uzskatīti par konstantēm. Piemēram, $ z \\ pa kreisi (xy labo) $, ja mēs uzskatām privātu atvasinājumu par $ X $, tad kur mēs satiekam $ y $, mēs uzskatām to par nemainīgu un aicina to tieši tāpat kā ar nemainīgu. Jo īpaši, aprēķinot darba atvasinājumu, mēs varam padarīt $ y $ par kronšteinu (mums ir konstante), un, aprēķinot summas atvasinājumu, ja mums ir atvasinājums izteiksmes, kas satur $ y $ un nav saturošu $ X $ Šī izteiksmes atvasinājums būs "nulle" kā atvasinājums nemainīgs.

No pirmā acu uzmetiena, var šķist, ka es runāju par kaut ko sarežģītu, un daudzi studenti ir sajaukti sākumā. Tomēr privātajos atvasinājumos nekas nav pārdabisks, un tagad mēs to pārliecināsim par konkrētu uzdevumu izpildi.

Uzdevumi ar radikāļiem un polinomiem

Uzdevuma numurs 1.

Lai netērētu laiku veltīgi, no paša sākuma mēs sāksim ar nopietniem piemēriem.

Vispirms es atgādinu šādai formulai:

Tā ir standarta tabulas vērtība, ko mēs zinām no standarta kursa.

Šajā gadījumā $ Z $ atvasinājums tiek uzskatīts par sekojošu:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((\\ t (\\ SQRT (FRAC (Y) (X)) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC ( 1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) ((\\ T pa kreisi (FRAC (Y) (x) \\ t)) ^ (\\ t) _ (x) \\]

Let's atkal, jo zem saknes nav $ x $, bet kāda cita izteiksme, šajā gadījumā $ FRAC (Y) (x) $, vispirms mēs izmantosim standarta tabulas vērtību, un pēc tam, jo \u200b\u200bzem Sakņu izmaksas nav $ x $, un cita izteiksme, mums ir nepieciešams, lai reizinātu mūsu atvasinājumu citai izteiksmei par to pašu mainīgo. Vispirms izskatīsim šādus:

[(((pa kreisi (FRAC (Y) (x) labajā)) ^ (\\ t)) _ (X) \u003d FRAC ((((Y) ")) _ (x)) \\ T CDOT XY Cdot ((((x) ")) _ (x))) (((x) ^ (2))) \u003d FRAC (0 \\ cdot xy \\ cdot 1) ((x) ^ (2)) ) \u003d - FRAC (Y) ((x) ^ (2))) \\ t

Atgriezieties mūsu izteiksmē un rakstiet:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((\\ t (\\ SQRT (FRAC (Y) (X)) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC ( 1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) ((LEFT (FRAC (Y) (X) labajā)) ^ (\\ t) _ (x) \u003d FRAC (1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (x))) \\ T CDOT \\ pa kreisi (- FRAC (Y) ((x) ^ (2))) \\ t

Principā tas viss ir. Tomēr ir nepareizi atstāt to šajā formā: šāda konstrukcija ir neērta izmantot tālākai skaitļošanai, tāpēc mēs to nedaudz pārvēršam:

\\ [FRAC (1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) \\ T CDOT \\ T pa kreisi (- FRAC (Y) (((x) ^ (2))) \\ t (1) (2) \\ t cdot \\ SQRT (FRAC (X) (Y)) \\ T CDOT FRAC (Y) (((x) ^ (2))) \u003d \\]

[\u003d - FRAC (1) (2) \\ T CDOT \\ SQRT (FRAC (X) (Y)) \\ T CDOT \\ SQRT (FRAC (((Y) ^ (2))) ((x) ^ (4)))) \u003d - - FRAC (1) (2) \\ SQRT (FRAC (X CDOT ((Y) ^ (2))) (Y \\ T CDOT ((x) ^ (4))))) ) \u003d - FRAC (1) (2) \\ SQRT (FRAC (Y) (((x) ^ (3)))) \\ t

Atbilde ir atrodama. Tagad mēs darīsim $ y $:

[((z) ") _ (y)) \u003d ((\\ t (\\ SQRT (FRAC (Y) (X)) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC ( 1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) \\ TDOT ((LEFT (FRAC (Y) (X) \\ T pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \\]

Dzert atsevišķi:

[(((, pa kreisi (FRAC (Y) (x) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC ((((Y) "))) _ (Y)) CDOT XY Cdot ((((x) ")) _ (y))) (((x) ^ (2))) \u003d FRAC (1 \\ cdot xy \\ cdot 0) (((x) ^ (2)) ) \u003d FRAC (1) (x) \\ t

Tagad rakstiet:

[((z) ") _ (y)) \u003d ((\\ t (\\ SQRT (FRAC (Y) (X)) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC ( 1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) \\ TDOT ((\\ T pa kreisi (FRAC (Y) (x) labo)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC ( 1) (2 \\ SQRT (FRAC (Y) (X))) \\ T FRAC (1) (x) \u003d \\]

[\u003d FRAC (1) (2) \\ T CDOT \\ SQRT (FRAC (X) (Y)) \\ CDOT \\ SQRT (FRAC (1) (((x) ^ (2))) \u003d FRAC (1) (2) \\ SQRT (FRAC (X) (Y \\ cdot ((x) ^ (2)))) \u003d FRAC (1) (2 \\ SQRT (XY)) \\ t

Darīts.

Uzdevuma numurs 2.

Šis piemērs ir vienlaicīgi vienkāršāks un grūtāks nekā iepriekšējais. Sarežģītāka, jo ir vairāk darbību, bet tas ir vieglāk, jo šeit nav saknes, un, turklāt funkcija ir simetriska attiecībā uz $ X $ un $ Y $, I.E. Ja mēs mainām $ x $ un $ y $ vietās, tad formula nemainīsies no tā. Šī piezīme vēl vairāk vienkāršos aprēķinu privātā atvasinājuma, t.e. Tas ir pietiekami, lai skaitītu vienu no tiem, un otrajā vienkārši, lai mainītu vietas $ x $ un $ y $.

Mēs turpinām:

[(((Z) ") _ (x)) \u003d ((\\ t pa kreisi (FRAC (XY) ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1) \\ t )) ^ (\\ T)) _ (x) \u003d frac (((pa kreisi (xy \\ t) ^ (\\ t)) _ (x) \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + ( (Y) ^ (2)) + 1 \\ tExy) -XY ((\\ t (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 labā)) ^ (\\ t ) _ (x)) (((((((((, pa kreisi ((((y) ^ (2)) + 1 \\ tEiropas)) ^ (2)) \\ t

Apskatīsim:

[(((, pa kreisi (xy, pa labi)) ^ (\\ t) _ (x) \u003d y \\ cdot ((vēl (x labajā)) ^ (\\ t)) \u003d y \\ cdot 1 \u003d y \\ ]

Tomēr daudziem studentiem ir nesaprotams, tāpēc mēs to rakstīsim šādam:

[(((, pa kreisi (xy \\ t) ^ (\\ t) _ (x) \u003d ((pa kreisi (x labajā))) ^ (\\ t)) _ (x) \\ cdot y + x \\ cdot (((\\ t) ^ (\\ t) _ (x) \u003d 1 \\ cdot y + x \\ cdot 0 \u003d y \\]

Tādējādi mēs atkal pārliecinieties, ka privāto atvasināto finanšu instrumentu algoritma universālumā: neatkarīgi no tā, ko mēs neuzskatām par tiem, ja visi noteikumi ir pareizi piemērojami, atbilde būs vienāda.

Tagad pieņemsim to noskaidrot ar vienu privātu atvasinājumu mūsu lielo formulu:

[(((pa kreisi (((x) ^ (2)) + (Y) ^ (2)) + 1 \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d (() ((((( x) ^ (2)) \\ tEx)) ^ (\\ t)) _ (x) + ((\\ t) \\ t / (Y) ^ (2)) \\ tE) ^ (\\ t)) _ (x) + ((((1) ") _ (x)) \u003d 2x + 0 + 0 \\ t

Mēs aizstājam saņemtos izteicienus mūsu formulā un saņemiet:

[FRAC (((pa kreisi (XY labajā)) ^ (\\ t) _ (x) \\ pa kreisi ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \\ t Pa labi) -XY (((pa kreisi ((((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x)) (((\\ t (((x) ^ (2)) + (Y) ^ (2)) + 1 \\ T pa labi)) ^ (2))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (y \\ cdot \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 labo) -XY \\ cdot 2x) (((\\ t pa kreisi (((( x) ^ (2)) + (Y) ^ (2)) + 1 \\ tEx)) ^ (2))) \u003d \\]

[\u003d FRAC (Y kreisi (((x) ^ (2)) + ((Y) ^ (2)) + 1-2 ((x) ^ (2)) \\ t pa labi) (((\\ t pa kreisi (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \\ tEx)) ^ (2))) \u003d FRAC (Y kreisi ((y) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 1 \\ t pa labi)) (((\\ t (((x) ^ (2)) + ((Y) ^ (2)) + 1 \\ t pa labi)) ^ (2 )))

$ X $ tiek skaitīts. Un, lai aprēķinātu $ y $ no tās pašas izteiksmes, nepildīsim to pašu darbību secību, un mēs izmantosim mūsu sākotnējā izteiksmes simetriju - mēs vienkārši nomainīsim mūsu sākotnējā izteiksmē visu $ y $ x $ un vice Versa:

[(((z) ") _ (y)) \u003d FRAC (x \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) - (y) ^ (2)) + 1 \\ t pa labi)) (((( pa kreisi (((x) ^ (2)) + (Y) ^ (2)) + 1 labā)) ^ (2))) \\ t

Sakarā ar simetriju, mēs skaitām šo izteiksmi daudz ātrāk.

Nianses risinājumi

Attiecībā uz privātajiem atvasinājumiem visas standarta formulas, ko mēs izmantojam parastiem, proti, privātajam atvasinātajam instrumentam. Tajā pašā laikā ir tās īpašās iezīmes: ja mēs uzskatām, ka privāts atvasinājums $ x $, kad mēs to saņemam $ X $, mēs uzskatām to par nemainīgu, un tāpēc tā atvasinājums būs nulle.

Tāpat kā parasto atvasinājumu gadījumā, privāto (to pašu) var aprēķināt vairākos dažādos veidos. Piemēram, tas pats dizains, ko mēs tikko domāju, var pārrakstīt šādi:

[(((, pa kreisi (FRAC (Y) (x) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d y \\ cdot ((\\ t pa kreisi (FRAC (1) (x) labajā)))) ^ (\\ T) _ (x) \u003d - y FRAC (1) (((x) ^ (2))) \\] \\ t

[((((, pa kreisi (xy, pa labi)) ^ (\\ t) _ (x) \u003d y \\ cdot ((x) ") _ (x)) \u003d y \\ cdot 1 \u003d y \\]

Tajā pašā laikā, no otras puses, jūs varat izmantot formulu no atvasinātās vērtības summas. Kā mēs zinām, tas ir vienāds ar atvasinājumu apjomu. Piemēram, mēs pierakstām sekojošus:

[(((pa kreisi (((x) ^ (2)) + ((Y) ^ (2)) + 1 labā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d 2x + 0 + 0 \u003d 2x

Tagad, zinot to visu, mēģināsim strādāt ar nopietnākiem izteicieniem, jo \u200b\u200breālie privātie atvasinājumi neaprobežojas tikai ar polinomiem un saknēm: ir arī trigonometrija un logaritmi un indikatīva funkcija. Tagad tas iet.

Uzdevumi ar trigonometriskām funkcijām un logaritmiem

Uzdevuma numurs 1.

Mēs pierakstām šādas standarta formulas:

[((\\ t)) ^ (X))) _ (x) \u003d FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) \\ t

[((((\\ t) ^ (\\ t) _ (x) \u003d - - sin x \\]

Bruņojies ar šīm zināšanām, mēģināsim izlemt:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((pa kreisi (\\ sqrt (x) \\ cdot \\ t))) ^ (\\ t)) _ (x ) \u003d (((pa kreisi (\\ SQRT (X) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (x) \\ cdot \\ cos \\ frac (x) (y) + \\ sqrt (x) \\ cdot ((\\ t (Cos FRAC (x) (y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

Atsevišķi rakstiet vienu mainīgo:

[(((, pa kreisi (cos, frac (x) (y) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d - grēks frac (x) (y) \\ cdot ((\\ t pa kreisi ( FRAC (x) (y) labajā pusē)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d - FRAC (1) (Y) \\ T CDOT \\ SIN FRAC (X) (Y) \\]

Mēs atgriežamies pie mūsu dizaina:

[\u003d FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) \\ T CDOT \\ CS FRAC (X) (Y) + \\ SQRT (X) \\ T CDOT \\ pa kreisi (- FRAC (1) (y) \\ cdot Grēks (x) (y) \\ t pa labi) \u003d FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) \\ T CDOT \\ CS FRAC (X) (Y) - FRAC (\\ SQRT (X)) ( y) \\ cdot \\ Sin FRAC (X) (Y) \\]

Viss, par $ x $ mēs atradām, tagad darīsim darījumu ar $ y $ skaitļošanas:

[(((z) ") _ (y)) \u003d ((pa kreisi (\\ Sqrt (x) \\ cdot \\ c cos \\ frac (x) (y) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (y ) \u003d (((pa kreisi (SQRT (X) \\ t)) ^ (\\ t) _ (y) \\ cdot \\ cos \\ frac (x) (y) + \\ sqrt (x) \\ cdot (((\\ t Pa kreisi (cos FRAC (x) (y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d \\]

Atkal, apsveriet vienu izteiksmi:

[(((, pa kreisi (\\ t, frac (x) (y) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d - grēks frac (x) (y) \\ cdot ((\\ t pa kreisi ( FRAC (x) (y) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d - sin \\ frac (x) (y) \\ cdot x \\ cdot \\ pa kreisi (- FRAC (1) (( (Y) ^ (2))) \\ t

Mēs atgriežamies sākotnējā izteiksmē un turpinām risinājumu:

[\u003d 0 0 \\ CDOT \\ C COS FRAC (X) (Y) + \\ SQRT (X) \\ T CDOT FRAC (X) ((Y) ^ (2))) \\ S FRAC (X) (Y) \u003d FRAC (x \\ SQRT (X)) ((Y) ^ (2))) \\ TDOT \\ SIN FRAC (X) (Y) \\]

Darīts.

Uzdevuma numurs 2.

Mēs rakstām formulu, kas mums nepieciešams:

[(((\\ t) ^ (\\ t) _ (x) \u003d FRAC (1) (x) \\ t

Tagad apsveriet $ $ x $:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((pa kreisi (\\ t) \\ t pa labi))) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC (1) (x + ln y). ((Pa kreisi (x + ln y labo)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

\\ [\u003d FRAC (1) (x + ln y) \\ TDOT \\ pa kreisi (1 + 0 labā) \u003d FRAC (1) (x + ln y) \\] \\ t

Atrasts $ X $. Mēs uzskatām par $ y $:

[(((z) ") _ (y)) \u003d ((\\ t pa kreisi (\\ t pa kreisi (x + ln y labo) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC (1) (x + ln y). ((Pa kreisi (x + ln y labo)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d \\]

[\u003d FRAC (1) (x + ln y) \\ pa kreisi (0+ FRAC (1) (Y) labā) \u003d FRAC (1) (y kreisi (x + ln y labā) ) \\ '

Uzdevums ir atrisināts.

Nianses risinājumi

Tātad, no jebkādām funkcijām, ko mēs neņēmām privātu atvasinājumu, noteikumi joprojām ir viens pats, neatkarīgi no tā, vai mēs strādājam ar trigonometriju, ar saknēm vai logaritmiem.

Klasiskie noteikumi par darbu ar standarta atvasinājumu paliek nemainīgs, proti, summas atvasinājums un atšķirība, privāta un sarežģīta funkcija.

Pēdējā formula visbiežāk tiek konstatēta, risinot uzdevumus ar privātiem atvasinājumiem. Mēs tikties ar viņiem gandrīz visur. Nav viens uzdevums vēl nebija, lai viņa nenotika pāri. Bet neatkarīgi no formulas, ko mēs izmantojam, mēs joprojām pievienojam vēl vienu prasību, proti, darba īpatnību ar privātajiem atvasinājumiem. Tiklīdz mēs noteikt vienu mainīgo, visas pārējās ir konstantes. Jo īpaši, ja mēs uzskatām, ka izteiksmes privātais atvasinājums $ \\ CS FRAC (X) (Y) $ par $ y $, tad tas ir $ y $, un tas ir mainīgais, un $ X $ paliek visur pastāvīga. Tie paši strādā gluži pretēji. To var izdarīt, lai iegūtu atvasinājuma zīmi, un konstantes atvasinājums būs "nulle".

Tas viss noved pie tā, ka privātie atvasinājumi no tā paša izteiksmes, bet dažādos mainīgajos lielumos tie var izskatīties pilnīgi atšķirīgi. Piemēram, redzēsim šādus izteiksmes:

[(((pa kreisi (x + ln y labā))) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d 1 + 0 \u003d 1 \\]

[(((pa kreisi (x + ln y labo)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d 0 + FRAC (1) (y) \u003d FRAC (1) (y) \\] \\ t

Uzdevumi ar indikatīvām funkcijām un logaritmiem

Uzdevuma numurs 1.

Lai sāktu ar, mēs rakstām šādu formulu:

[(((pa kreisi ((e) ^ (x)) \\ t) ^ (\\ t) _ (x) \u003d (e) ^ (x)) \\ t

Zinot šo faktu, kā arī atvasināto kompleksu funkciju, mēģināsim aprēķināt. Tagad es atrisināšu divus dažādus veidus. Pirmais un acīmredzamākais ir darba atvasinājums:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((((((((e) ^ (x)) \\ cdot ((e) ^ (FRAC (X) (Y)) \\ t ) ^ (\\ T)) _ (x) \u003d ((\\ t ((e) ^ (x)) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (x) \\ cdot (e) ^ (FRAC FRAC) (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (((((e) ^ (FRAC (x) (y))) \\ t pa labi)) ^ (\\ t ) _ (x) \u003d \\]

[\u003d (E) ^ (x)) cdot (e) ^ (FRAC (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC) (x) (y))) \\ cdot ((\\ t pa kreisi (FRAC (X) (Y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

Let's lemt atsevišķi šādu izteiksmi:

[(((, pa kreisi (FRAC (x) (y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC ((((x) ")) _ (x)) \\ t cdot yx . (((Y) ")) _ (x)))) ((Y) ^ (2))) \u003d FRAC (1 \\ CDOT YX CDOT 0) ((Y) ^ (2)))) \u003d FRAC (Y) ((Y) ^ (2))) \u003d FRAC (1) (y) \\] \\ t

Mēs atgriežamies pie mūsu avota dizaina un turpinām risinājumu:

[\u003d (E) ^ (x)) cdot (e) ^ (FRAC (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC) (x) (y))) \\ cdot \\ frac (1) (y) \u003d ((e) ^ (x)) \\ cdot ((e) ^ (FRAC (X) (Y))) \\ T pa kreisi (1 + FRAC (1) (y) labajā pusē) \\ t

Visi, par $ x $ tas tiek skaitīts.

Tomēr, kā es apsolīju, tagad mēs centīsimies aprēķināt to pašu privāto atvasinājumu citā veidā. Lai to izdarītu, mēs atzīmējam šādi:

[(E) ^ (x)) cdot (e) ^ (FRAC (X) (y)) \u003d (e) ^ (x + FRAC (X) (y))) \\ t

Tas rakstīs šo:

[(((pa kreisi ((e) ^ (x)) \\ t (e) ^ (FRAC (X) (y))) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d ( (((e) ^ (X + FRAC (X) (Y))) \\ t)) ^ (\\ t) _ (x) \u003d (e) ^ (x + FRAC (x) (Y))) cdot ((pa kreisi (x + FRAC (x) (y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d (e) ^ (x + FRAC (x) (Y))) \\ T CDOT \\ pa kreisi (1+ FRAC (1) (y) labā) \\] \\] \\ t

Tā rezultātā mēs saņēmām tieši tādu pašu atbildi, bet aprēķinu apjoms bija mazāks. Lai to izdarītu, tas bija pietiekami, lai pamanītu, ka, veicot rādītājus var salocīt.

Tagad apsveriet $ y $:

[((z) ") _ (Y)) \u003d ((pa kreisi ((e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC (X) (Y))) \\ t ) ^ (\\ T)) _ (y) \u003d ((pa kreisi ((e) ^ (x)) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (y) \\ cdot (e) ^ (FRAC) (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (((((e) ^ (FRAC (x) (y))) \\ t pa labi)) ^ (\\ t ) _ (y) \u003d \\]

[\u003d 0 0 cdot (e) ^ (FRAC (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC (X) (Y)))) Cdot ((pa kreisi (FRAC (X) (y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d \\]

Izlemiet vienu izteiksmi atsevišķi:

[(((, pa kreisi (FRAC (x) (y) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC ((((x) ")) _ (y)) \\ cdot yx Cdot (((((Y) ")) _ (y))) ((Y) ^ (2))) \u003d FRAC ((0 x CDOT 1) ((Y) ^ (2)) ) \u003d - FRAC (1) (((Y) ^ (2)) \u003d - FRAC (x) ((Y) ^ (2))) \\ t

Mēs turpināsim atrisināt mūsu sākotnējo dizainu:

[\u003d (E) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC (X) (Y))) \\ T CDOT \\ T pa kreisi (- FRAC (X) ((Y) ^ (2) )) \\ T pa labi) \u003d - FRAC (X) ((Y) ^ (2))) \\ TDOT (e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC (X) (Y) )]

Protams, tas pats atvasinājums varētu tikt ieskaitīts otrajā veidā, atbilde izrādītu to pašu.

Uzdevuma numurs 2.

Aprēķiniet par $ X $:

[(((z) ") _ (x)) \u003d ((pa kreisi (x labā)) _ (x)) \\ t cdot ln \\ pa kreisi ((x) ^ (2)) + y labo ) + x \\ cdot ((lpp. pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labā) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

Apskatīsim vienu izteiksmi atsevišķi:

[(((\\ t) (((x) ^ (2) + y labajā) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC (1) ((x ) ^ (2)) + y) cdot ((pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC (2x) (((( x) ^ (2)) + y) \\]

Turpināsim sākotnējā dizaina risinājumu: $$

Šeit ir atbilde.

Tas paliek kā $ y $:

[(((z) ") _ (y)) \u003d ((pa kreisi (x labajā)) ^ (\\ t)) _ (y). \\ T pa kreisi ((x) ^ (2)) + Y labo) + x \\ cdot ((\\ t pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labā) \\ tEx)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d \\]

Es uzskatu vienu izteiksmi kā vienmēr atsevišķi:

[(((pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labā)) ^ (\\ t) _ (y) \u003d ((\\ t pa kreisi (((x) ^ (2)) \\ t ) ^ (\\ T)) _ (y) + ((Y) ") _ (y)) \u003d 0 + 1 \u003d 1 \\]

Mēs turpinām atrisināt galveno dizainu:

Viss tiek skaitīts. Kā redzat, atkarībā no tā, kurš mainīgais ir atkarīgs no diferencēšanas, atbildes ir pilnīgi atšķirīgas.

Nianses risinājumi

Šeit ir spilgts piemērs tam, kā to pašu funkciju atvasinājumu var aprēķināt divos dažādos veidos. Skaties:

[((z) ") _ (x)) \u003d \\ pa kreisi ((e) ^ (x)) \\ cdot ((e) ^ (FRAC (X) (y))) \\ t pa labi) \u003d ( (((e) ^ (x)) \\ t)) ^ (\\ t) _ (x) \\ cdot (e) ^ (FRAC (X) (Y))) + ((e) ^ (x)) \\ cdot ((((((e) ^ (FRAC (X) (Y))) \\ tEx)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

[\u003d (E) ^ (x)) cdot (e) ^ (FRAC (x) (y))) + (e) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (FRAC) (x) (y))) \\ cdot \\ frac (1) (y) \u003d (e) ^ (x)) \\ cdot ((e) ^ (^ (FRAC (x) (y)))) \\ t Pa kreisi (1+ FRAC (1) (Y) labajā) \\ t

[(((Z) ") _ (x)) \u003d (((((((e) ^ (x)). (E) ^ (FRAC (X) (y))) \\ t pa labi) ^ (\\ T)) _ (x) \u003d ((pa kreisi (((e) ^ (x + FRAC (X) (y))) \\ t / x)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d ((( E) ^ (x + FRAC (X) (Y))). ((\\ T pa kreisi (X + FRAC (X) (Y) labajā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

[\u003d (E) ^ (x)) \\ cdot (e) ^ (^ (FRAC (x) (y)))) \\ T pa kreisi (1+ FRAC (1) (Y) \\ T pa labi) \\ t ]

Izvēloties dažādus ceļus, aprēķinu apjoms var būt atšķirīgs, bet atbilde, ja viss ir pareizi izdarīts, izrādās tas pats. Tas attiecas gan uz klasiskiem, gan privātiem atvasinājumiem. Tajā pašā laikā es atgādinu vēlreiz: atkarībā no tā, kurš mainīgais ir atvasinājums, t.i. Diferenciācija, atbilde var izrādīties pilnīgi atšķirīga. Skaties:

[(((\\ t) (((x) ^ (2) + y labajā) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC (1) ((x ) ^ (2)) + y) \\ cdot (((pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labo)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d FRAC (1) ((((1) x) ^ (2)) + y) \\ cdot 2x \\]

[(((, pa kreisi (\\ t pa kreisi ((x) ^ (2) + y labo) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC (1) ((x ) ^ (2)) + y) cdot ((pa kreisi (((x) ^ (2)) + y labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d FRAC (1) (((((1) (() x) ^ (2)) + y) \\ cdot 1 \\]

Noslēgumā, lai noteiktu visu šo materiālu, mēģināsim aprēķināt vēl divus piemērus.

Uzdevumi ar trigonometrisko funkciju un trim mainīgām funkcijām

Uzdevuma numurs 1.

Rakstīsim šādus formulas:

[(((pa kreisi (((a) ^ (x)) \\ t)) ^ (\\ t) \u003d (a) ^ (x)) \\ cdot \\ ln a \\ t

[(((((((((, pa kreisi (((e) ^ (x)) \\ t)) ^ (\\ t) \u003d (e) ^ (x)) \\ t

Tagad atrisināsiet mūsu izteiksmi:

[((z) ") _ (x)) \u003d (((pa kreisi (((3) ^ (x grēks y)) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d ((3 ) ^ (x. Sin y)) \\ cdot ln 3 \\ cdot ((pa kreisi (x cdot s grēks y labo)) ^ (\\ t) _ (x) \u003d \\]]

Atsevišķi, apsveriet šādu dizainu:

[((((, pa kreisi (x, cdot, sin y, pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d (((x) ") _ (x)) \\ cdot s grēku y + x ((\\ t Pa kreisi (grēks y labā))) ^ (\\ t) _ (x) \u003d 1 \\ cdot \\ s grēks y + x \\ cdot 0 \u003d \\ Sin y \\]

Mēs turpinām atrisināt sākotnējo izteiksmi:

\\ [\u003d ((3) ^ (x grēks y)) \\ cdot ln 3 \\ cdot \\ Sin y \\]

Šī ir privāta mainīgā galīgā atbilde par $ X $. Tagad apsveriet $ y $:

[(((Z) ") _ (y)) \u003d ((pa kreisi (((3) ^ (x grēks y)) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d ((3) ) ^ (x grēks y)) \\ cdot ln 3 \\ cdot ((pa kreisi (x grēks y labo)) ^ (\\ t) _ (y) \u003d \\]

Es izlemšu vienu izteiksmi atsevišķi:

\\ [(((, pa kreisi (x, cdot, sin y, pa labi)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d (((x) ") _ (y)) \\ t cdot s grēks y + x ((\\ t Pa kreisi (grēks y labā)) ^ (\\ t) _ (y) \u003d 0 \\ t cdot \\ Sin y + x \\ cdot \\ cos y \u003d x \\ cdot \\ c cos y \\]

Mēs nolemjam līdz mūsu dizaina beigām:

[\u003d ((3) ^ (x cdot s grēks y)) \\ cdot \\ ln 3 \\ cdot x \\ cos y \\]

Uzdevuma numurs 2.

No pirmā acu uzmetiena šis piemērs var šķist diezgan sarežģīts, jo ir trīs mainīgie. Patiesībā tas ir viens no visvairāk vienkārši uzdevumi Mūsdienu video valodā.

Atrodiet $ X $:

[((((t) ") _ (x)) \u003d ((- pa kreisi (x (e) ^ (y)) + y (e) ^ (z)) \\ t pa labi)) ^ (Prime )) _ (x) \u003d ((pa kreisi (x cdot (e) ^ (y)) \\ t pa labi)) ^ (\\ t) _ (x) + ((pa kreisi (y cdot (e) ) ^ (z)) labā)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d \\]

[\u003d (((vēl (x \\ t) ^ (\\ t)) _ (x) \\ cdot (e) ^ (y)) + x \\ cdot ((\\ t pa kreisi ((e) ^ (y )) \\ T pa labi)) ^ (\\ t)) _ (x) \u003d 1 \\ cdot ((e) ^ (y)) + x \\ cdot o \u003d ((e) ^ (y)) \\] \\ t

Tagad mēs nodarbosimies ar $ y $:

[((((t) ") _ (y)) \u003d ((vēl (x cdot (e) ^ (y)) + y \\ cdot (e) ^ (z)) \\ t ^ (Prime)) _ (y) \u003d ((pa kreisi (x cdot (e) ^ (y)) labajā)) ^ (\\ t)) _ (y) + ((palicis (y \\ t CDOT (e) ^ (z)) \\ tEx)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d \\]

\\ [\u003d x \\ cdot (((pa kreisi (((e) ^ (y)) \\ t)) ^ (\\ t)) _ (y) + (e) ^ (z)) cdot ((\\ t (Y labā)) ^ (\\ t)) _ (y) \u003d x \\ cdot (e) ^ (y)) + (e) ^ (z)) \\] \\ t

Mēs atradām atbildi.

Tagad ir jāatrod $ Z $:

[((((t) ") _ (z)) \u003d ((pa kreisi (x cdot (e) ^ (y)) + ((y) ^ (z)) \\ t pa labi)) ^ (\\ t Prime))) _ (Z) \u003d ((pa kreisi (x cdot (e) ^ (y)) \\ t pa labi)) ^ (\\ t)) _ (z) + ((pa kreisi (y \\ cdot (() ) ^ (z)) labā)) ^ (\\ t)) _ (z) \u003d 0 + y \\ cdot (((((e) ^ (z)) \\ t))) ^ (\\ t)) _ (z) \u003d y \\ cdot (e) ^ (z)) \\]

Mēs skaitām trešo atvasinājumu, kurā otrā uzdevuma risinājums ir pilnībā pabeigts.

Nianses risinājumi

Kā jūs varat redzēt, nekas nav sarežģīts šiem diviem piemēriem. Vienīgais, ko mēs esam pārliecināti, ir tas, ka bieži tiek piemērota kompleksa funkcijas atvasinājums un atkarībā no tā, kurā īpašā atvasinājumu mēs uzskatām, ka mēs saņemam dažādas atbildes.

Pēdējā uzdevumā mēs uzaicinājām nekavējoties rīkoties ar funkciju no trim mainīgajiem. Šajā gadījumā nav nekas briesmīgs, bet galā mēs esam pārliecināti, ka visi no tiem būtiski atšķiras viens no otra.

Galvenie punkti

Galīgie secinājumi no šodienas video pamācības ir šādi:

1. Privātie atvasinājumi tiek uzskatīti par tādiem pašiem kā parasti, bet, lai skaitītu viena mainīgā privātā atvasinājumu, visi pārējie mainīgie iekļauti šajā funkcijā, mēs pieņemam konstantēm.
2. Strādājot ar daļējiem atvasinājumiem, mēs izmantojam visas tās pašas standarta formulas tāpat kā parastie atvasinājumi: summa, atšķirība, atvasinājums par darbu un privāto un, protams, atvasinājums ar sarežģītu funkciju.

Protams, viena no šīs video pamācības skatīšanās nav pietiekami, lai pilnībā saprastu šo tēmu, tāpēc tieši tagad manā vietnē tas ir šim videoklipam, kas ir šodienas tēmas uzdevumu kopums - iet, lejupielādēt, izlemt šos uzdevumus un Pārbaudiet atbildi. Un pēc tam visas problēmas ar privātiem atvasinātajiem pētījumiem vai nu eksāmenos, ne arī par neatkarīgu darbu jums būs. Protams, tas nav pēdējā mācība par augstāko matemātiku, tāpēc jūs dodaties uz mūsu vietni, pievienojiet Vkontakte, abonējiet YouTube, liktu un palikt kopā ar mums!

Ļaujiet noteikt divu mainīgo lielumu funkciju. Mēs sniedzam argumentu pieaugumu, un arguments tiks atstāts nemainīgs. Tad funkcija saņems pieaugumu, ko sauc par privātu pieaugumu ar mainīgo un ir norādīts:

Līdzīgi, nosakot argumentu un sniedzot argumentu ar pieaugumu, mēs iegūstam privātu funkcijas pieaugumu ar mainīgo:

Vērtību sauc par pilnu prejamā funkciju punktā.

Definīcija 4. Divu mainīgo lielumu privātais atvasinājums ar vienu no šiem mainīgajiem lielumiem ir attiecīgā konkrētā funkcijas pieauguma attiecība pret šo mainīgo lielumu, ja tā ir tendence uz nulli (ja šis ierobežojums pastāv). To norāda privātais atvasinājums, tāpēc: vai, vai.

Tādējādi pēc definīcijas mums ir:

Privātie atvasinājumi tiek aprēķināti saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem un formulām kā viena mainīgā funkcija, tiek ņemts vērā, ka diferenciācijas laikā pēc mainīgā, tiek uzskatīts par nemainīgu un diferencējot mainīgo pastāvīgo konstantu.

3. piemērs Atrodiet privātās atvasinātās funkcijas:

Lēmums. a) Lai atrastu, ka mēs uzskatām, ka pastāvīga vērtība ir atšķirīga kā viena mainīgā funkcija:

Līdzīgi, ņemot vērā pastāvīgās vērtības, mēs atrodam:

Definīcija 5. Kopējā diferenciālo funkciju sauc par šīs funkcijas privāto atvasinājumu darbu apjomu uz attiecīgo neatkarīgo mainīgo lielumu soli, t.i.

Ņemot vērā, ka neatkarīgu mainīgo atšķirības sakrīt ar to soli, t.i. , pilnīgu diferenciālo formulu var rakstīt kā

4. piemērs Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju.

Lēmums. Tā kā, saskaņā ar pilnu diferenciālo formulu, mēs atrodam

Augstāko pasūtījumu privātie atvasinājumi

Privātie atvasinājumi un tiek saukti par privātiem pirmās kārtas atvasinājumiem vai pirmajiem privātajiem atvasinājumiem.

Noteikšana 6. Funkcijas daļējas atvasinājumus sauc par privātajiem atvasinājumiem no pirmās kārtas privātajiem atvasinājumiem.

Otrās kārtas privātie atvasinājumi četri. Tie ir norādīti šādi:

Tāpat tiek noteikti 3., 4., 4. un augstāko pasūtījumu privātie atvasinājumi. Piemēram, par funkciju mums ir:

Otrā vai augstākā secībā privātie atvasinājumi, kas ņemti saskaņā ar dažādiem mainīgiem lielumiem, sauc par jauktiem privātiem atvasinājumiem. Funkcijas ir atvasinājumi. Ņemiet vērā, ka gadījumā, ja jauktie atvasinājumi ir nepārtraukti, ir vienlīdzība.

5. piemērs Atrodiet otrās kārtas funkcijas daļējas atvasinājumus

Lēmums. Pirmā rīkojuma privātie atvasinājumi, kas atrodami 3. piemērā:

Diferencēt un caur mainīgajiem un y, mēs saņemam