Darbības ar kompleksiem skaitļiem, kas rakstīti algebriskā formā
Kompleksā skaitļa z = algebriskā forma(a,b).tiek saukta par formas algebrisko izteiksmi
z = a + bi.
Aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem z 1 =a 1 +b 1 i Un z 2 =a 2 +b 2 i, kas rakstīti algebriskā formā, tiek veikti šādi.
1. Komplekso skaitļu summa (starpība).
z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,
tie. saskaitīšana (atņemšana) tiek veikta saskaņā ar polinomu pievienošanas noteikumu ar līdzīgu terminu samazināšanu.
2. Komplekso skaitļu reizinājums
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,
tie. reizināšana tiek veikta saskaņā ar parasto polinomu reizināšanas noteikumu, ņemot vērā to, ka i 2 = 1.
3. Divu komplekso skaitļu dalīšanu veic saskaņā ar šādu noteikumu:
, (z 2 ≠ 0),
tie. dalīšanu veic, reizinot dividendi un dalītāju ar dalītāja konjugāto skaitli.
Komplekso skaitļu eksponenci definē šādi:
To ir viegli parādīt
Piemēri.
1. Atrodiet komplekso skaitļu summu z 1 = 2 – i Un z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Atrodiet komplekso skaitļu reizinājumu z 1 = 2 – 3i Un z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3es∙ 5i = 7+22i.
3. Atrodiet koeficientu z no divīzijas z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.
z = .
4. Atrisiniet vienādojumu: , x Un y Î R.
(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.
Komplekso skaitļu vienādības dēļ mums ir:
kur x =–1 , y= 4.
5. Aprēķiniet: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,t.i -2 .
6. Aprēķināt, ja .
.
7. Aprēķināt skaitļa apgriezto vērtību z=3-i.
Kompleksie skaitļi trigonometriskā formā
Sarežģīta plakne sauc par plakni ar Dekarta koordinātām ( x, y), ja katrs punkts ar koordinātām ( a, b) ir saistīts ar kompleksu skaitli z = a + bi. Šajā gadījumā sauc par abscisu asi reālā ass, un ordinātu ass ir iedomāts. Tad katrs kompleksais skaitlis a+biģeometriski attēlots uz plaknes kā punkts A (a, b) vai vektoru.
Tāpēc punkta pozīcija A(un līdz ar to komplekss skaitlis z) var norādīt ar vektora garumu | | = r un leņķis j, ko veido vektors | | ar reālās ass pozitīvo virzienu. Vektora garumu sauc kompleksā skaitļa modulis un ir apzīmēts ar | z |=r, un leņķi j sauca kompleksā skaitļa arguments un ir norādīts j = arg z.
Ir skaidrs, ka | z| ³ 0 un | z | = 0 Û z = 0.
No att. 2 ir skaidrs, ka.
Kompleksā skaitļa arguments tiek noteikts neviennozīmīgi, bet ar precizitāti 2 pk, kÎ Z.
No att. 2 ir arī skaidrs, ka, ja z=a+bi Un j=arg z, Tas
cos j =, grēks j =, tg j = .
Ja zÎR Un z> 0, tad arg z = 0 +2pk;
Ja z ОR Un z< 0, tad arg z = p + 2pk;
Ja z = 0,arg z nenoteikts.
Argumenta galvenā vērtība tiek noteikta intervālā 0 £ arg z£2 p,
vai -lpp£ arg z £ lpp.
Piemēri:
1. Atrast komplekso skaitļu moduli z 1 = 4 – 3i Un z 2 = –2–2i.
2. Definējiet kompleksās plaknes apgabalus, ko nosaka nosacījumi:
1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| 7 £.
Risinājumi un atbildes:
1) | z| = 5 Û Û - apļa vienādojums ar rādiusu 5 un centru sākuma punktā.
2) Aplis ar rādiusu 6 ar centru sākuma punktā.
3) Aplis ar rādiusu 3 ar centru punktā z 0 = 2 + i.
4) Gredzens, ko ierobežo apļi ar rādiusu 6 un 7 un kura centrs atrodas punktā z 0 = i.
3. Atrast skaitļu moduli un argumentu: 1) ; 2) .
1) ; A = 1, b = Þ 
,
Þ j 1 = 
.
2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ 
,
.
Padoms: Nosakot galveno argumentu, izmantojiet komplekso plakni.
Tādējādi: z 1 = .
2) 
, r 2 =
1, j 2 = , 
.
3) 
, r 3 = 1, j 3 = , 
.
4) , r 4 = 1, j 4 = , 
.
Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma
Plānot
1. Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.
2. Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.
3. Darbības uz kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā.
Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.
a) Kompleksie skaitļi tiek attēloti ar punktiem plaknē saskaņā ar šādu noteikumu: a + bi = M ( a ; b ) (1. att.).
1. attēls
b) Kompleksu skaitli var attēlot ar vektoru, kas sākas punktāPAR un beigas dotajā punktā (2. att.).
2. attēls
7. piemērs. Konstruējiet punktus, kas attēlo kompleksos skaitļus:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3. att.).
3. attēls
Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.
Komplekss skaitlisz = a + bi var norādīt, izmantojot rādiusa vektoru ar koordinātām( a ; b ) (4. att.).
4. attēls
Definīcija . Vektora garums , kas apzīmē kompleksu skaitliz , sauc par šī skaitļa moduli un tiek apzīmēts vair .
Jebkuram kompleksam skaitlimz tā modulisr = | z | tiek unikāli noteikts pēc formulas .
Definīcija . Leņķa lielums starp reālās ass pozitīvo virzienu un vektoru , kas apzīmē kompleksu skaitli, sauc par šī kompleksā skaitļa argumentu un tiek apzīmētsA rg z vaiφ .
Komplekso skaitļu argumentsz = 0 nenoteikts. Komplekso skaitļu argumentsz≠ 0 – daudzvērtību lielums un tiek noteikts termiņā2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z – intervālā ietvertā argumenta galvenā vērtība(-π; π] , tas ir-π < arg z ≤ π (dažreiz vērtība, kas pieder intervālam, tiek uzskatīta par argumenta galveno vērtību .
Šī formula, kadr =1 bieži saukta par Moivre formulu:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
11. piemērs: Aprēķiniet(1 + i ) 100 .
Uzrakstīsim kompleksu skaitli1 + i trigonometriskā formā.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + es grēkoju )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + es grēkoju ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) kompleksa skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.
Ņemot kvadrātsakni no kompleksā skaitļaa + bi mums ir divi gadījumi:
Jab
>o
, Tas 
;
Šajā sadaļā mēs vairāk runāsim par kompleksā skaitļa trigonometrisko formu. Demonstrējošā forma praktiskos uzdevumos ir daudz retāk sastopama. Ja iespējams, iesaku lejupielādēt un izdrukāt. trigonometriskās tabulas, metodiskais materiāls atrodams lapā Matemātiskās formulas un tabulas. Bez galdiņiem tālu nevar tikt.
Jebkuru kompleksu skaitli (izņemot nulli) var uzrakstīt trigonometriskā formā:
Kur tas ir kompleksā skaitļa modulis, A - kompleksā skaitļa arguments.
Attēlosim skaitli kompleksajā plaknē. Skaidrojuma noteiktības un vienkāršības labad ievietosim to pirmajā koordinātu kvadrantā, t.i. mēs ticam, ka:
Kompleksa skaitļa modulis ir attālums no sākuma līdz atbilstošajam punktam kompleksajā plaknē. Vienkārši liec, modulis ir garums rādiusa vektors, kas zīmējumā norādīts sarkanā krāsā.
Kompleksā skaitļa moduli parasti apzīmē ar: vai
Izmantojot Pitagora teorēmu, ir viegli atvasināt formulu kompleksā skaitļa moduļa atrašanai: . Šī formula ir pareiza jebkuram nozīmē "a" un "būt".
Piezīme : kompleksā skaitļa modulis ir jēdziena vispārinājums reālā skaitļa modulis, kā attālums no punkta līdz sākuma punktam.
Kompleksā skaitļa arguments sauca stūrī starp pozitīva pusass reālā ass un rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma līdz atbilstošajam punktam. Arguments nav definēts vienskaitlī:.
Aplūkojamais princips faktiski ir līdzīgs polārajām koordinātām, kur polārais rādiuss un polārais leņķis unikāli nosaka punktu.
Kompleksā skaitļa argumentu parasti apzīmē: vai
No ģeometriskiem apsvērumiem mēs iegūstam šādu formulu argumenta atrašanai:
. Uzmanību!Šī formula darbojas tikai labajā pusplaknē! Ja kompleksais skaitlis neatrodas 1. vai 4. koordinātu kvadrantā, tad formula nedaudz atšķirsies. Mēs arī analizēsim šos gadījumus.
Bet vispirms apskatīsim vienkāršākos piemērus, kad kompleksie skaitļi atrodas uz koordinātu asīm.
7. piemērs
Kompleksos skaitļus attēlo trigonometriskā formā: ,,,. Izveidosim zīmējumu:
Patiesībā uzdevums ir mutisks. Skaidrības labad es pārrakstīšu kompleksā skaitļa trigonometrisko formu:
Stingri atcerēsimies, modulis - garums(kas ir vienmēr nenegatīvs), arguments - stūrī
1) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:. Tas ir acīmredzami (skaitlis atrodas tieši uz reālās pozitīvās pusass). Tādējādi skaitlis trigonometriskā formā:.
Reversās pārbaudes darbība ir skaidra kā diena:
2) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:. Acīmredzot (vai 90 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts sarkanā krāsā. Tātad skaitlis trigonometriskā formā ir: 
.
Izmantojot , ir viegli atgūt skaitļa algebrisko formu (vienlaikus veicot pārbaudi):
3) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un
arguments. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:
Acīmredzot (vai 180 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts zilā krāsā. Tādējādi skaitlis trigonometriskā formā:.
Pārbaude:
4) Un ceturtais interesants gadījums. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:.
Argumentu var uzrakstīt divos veidos: Pirmais veids: (270 grādi) un attiecīgi: 
. Pārbaude:
Tomēr standartizētāks ir šāds noteikums: Ja leņķis ir lielāks par 180 grādiem, tad raksta ar mīnusa zīmi un leņķa pretējo orientāciju (“ritināšanu”): (mīnus 90 grādi), zīmējumā leņķis iezīmēts zaļā krāsā. To ir viegli pamanīt
kas ir vienāds leņķis.
Tādējādi ierakstam ir šāda forma: 
Uzmanību! Nekādā gadījumā nevajadzētu izmantot kosinusa paritāti, sinusa dīvainību un vēl vairāk “vienkāršot” apzīmējumu:
Starp citu, ir noderīgi atcerēties izskats un trigonometriskās un apgrieztās īpašības trigonometriskās funkcijas, uzziņas materiāli atrodas lapas pēdējās rindkopās Pamatelementāru funkciju grafiki un īpašības. Un kompleksos skaitļus iemācīsies daudz vieglāk!
Vienkāršāko piemēru noformējumā tas ir jāraksta šādi: : “ir acīmredzams, ka modulis ir... skaidrs, ka arguments ir vienāds ar...”. Tas ir patiešām acīmredzams un viegli atrisināms mutiski.
Apskatīsim biežāk sastopamos gadījumus. Ar moduli nav problēmu, jums vienmēr jāizmanto formula. Bet argumenta atrašanas formulas būs dažādas, tas ir atkarīgs no tā, kurā koordinātu ceturksnī atrodas skaitlis. Šajā gadījumā ir iespējamas trīs iespējas (ir lietderīgi tās pārrakstīt):
1) Ja (1. un 4. koordinātu ceturtdaļa vai labā pusplakne), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu.
2) Ja (2. koordinātu ceturtdaļa), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu 
.
3) Ja (3. koordinātu ceturksnis), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu 
.
8. piemērs
Kompleksos skaitļus attēlo trigonometriskā formā: ,,,.
Tā kā ir gatavas formulas, zīmējums nav jāpabeidz. Bet ir viens punkts: kad jums tiek lūgts attēlot skaitli trigonometriskā formā, tad Jebkurā gadījumā labāk ir izdarīt zīmējumu. Fakts ir tāds, ka risinājumu bez zīmējuma skolotāji bieži noraida, zīmējuma neesamība ir nopietns mīnusa un neveiksmes iemesls.
Mēs piedāvājam skaitļus kompleksā formā, un pirmais un trešais cipars būs neatkarīgam risinājumam.
Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu.
Kopš (2. gadījums), tad
– šeit ir jāizmanto arktangenta dīvainība. Diemžēl tabulā nav ietverta vērtība , tāpēc šādos gadījumos arguments ir jāatstāj apgrūtinošā formā: – skaitļi trigonometriskā formā.
Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu.
Kopš (1. gadījums), tad (mīnus 60 grādi).
Tādējādi:
– skaitlis trigonometriskā formā.
Bet šeit, kā jau minēts, ir trūkumi nepieskarieties.
Papildus jautrajai grafiskajai verifikācijas metodei ir arī analītiskā pārbaude, kas jau tika veikta 7. piemērā. Mēs izmantojam trigonometrisko funkciju vērtību tabula, vienlaikus ņemot vērā, ka leņķis ir tieši tabulas leņķis (vai 300 grādi): – skaitļi sākotnējā algebriskā formā.
Uzrādiet skaitļus trigonometriskā formā pats. Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Sadaļas beigās īsi par kompleksā skaitļa eksponenciālo formu.
Jebkuru komplekso skaitli (izņemot nulli) var uzrakstīt eksponenciālā formā:
Kur ir kompleksā skaitļa modulis un ir kompleksā skaitļa arguments.
Kas jādara, lai attēlotu kompleksu skaitli eksponenciālā formā? Gandrīz tas pats: izpildīt zīmējumu, atrast moduli un argumentu. Un ierakstiet numuru formā .
Piemēram, skaitlim iepriekšējā piemērā esam atraduši moduli un argumentu:,. Tad šis skaitlis tiks uzrakstīts eksponenciālā formā šādi:.
Skaitlis eksponenciālā formā izskatīsies šādi:
Numurs 
- Tātad:
Vienīgais padoms ir nepieskarieties indikatoram eksponenti, nav nepieciešams pārkārtot faktorus, atvērt iekavas utt. Komplekss skaitlis tiek uzrakstīts eksponenciālā formā stingri pēc formas.
KOMPLEKSIE NUMURI XI
§ 256. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma
Ļaujiet kompleksajam skaitlim a + bi atbilst vektoram O.A.> ar koordinātām ( a, b ) (sk. 332. att.).
Apzīmēsim šī vektora garumu ar r , un leņķi, ko tas veido ar asi X , cauri φ . Pēc sinusa un kosinusa definīcijas:
a / r = cos φ , b / r = grēks φ .
Tāpēc A = r cos φ , b = r grēks φ . Bet šajā gadījumā kompleksais skaitlis a + bi var rakstīt šādi:
a + bi = r cos φ + ir grēks φ = r (cos φ + i grēks φ ).
Kā jūs zināt, jebkura vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā koordinātu kvadrātu summu. Tāpēc r 2 = a 2 + b 2, no kurienes r = √a 2 + b 2
Tātad, jebkurš kompleksais skaitlis a + bi var attēlot formā :
a + bi = r (cos φ + i grēks φ ), (1)
kur r = √a 2 + b 2 un leņķis φ tiek noteikts no nosacījuma:
Šo komplekso skaitļu rakstīšanas veidu sauc trigonometrisks.
Numurs r formulā (1) sauc modulis, un leņķi φ - arguments, kompleksais skaitlis a + bi .
Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā modulis ir pozitīvs; ja a + bi = 0, tad a = b = 0 un pēc tam r = 0.
Jebkura kompleksā skaitļa modulis ir unikāli noteikts.
Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā argumentu nosaka formulas (2) noteikti ar precizitāti līdz leņķim, kas dalās ar 2 π . Ja a + bi = 0, tad a = b = 0. Šajā gadījumā r = 0. No formulas (1) to var viegli saprast kā argumentu φ šajā gadījumā jūs varat izvēlēties jebkuru leņķi: galu galā jebkuram φ
0 (maks φ + i grēks φ ) = 0.
Tāpēc nulles arguments nav definēts.
Kompleksa skaitļa modulis r dažreiz apzīmē | z |, un arguments arg z . Apskatīsim dažus piemērus komplekso skaitļu attēlošanai trigonometriskā formā.
Piemērs. 1. 1 + i .
Atradīsim moduli r un arguments φ šis numurs.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Tāpēc grēks φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, no kurienes φ = π / 4 + 2nπ .
Tādējādi
1 + i = √ 2 ,
Kur P - jebkurš vesels skaitlis. Parasti no kompleksā skaitļa argumenta bezgalīgās vērtību kopas tiek izvēlēts viens, kas ir no 0 līdz 2 π . Šajā gadījumā šī vērtība ir π / 4 . Tāpēc
1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i grēks π / 4)
2. piemērs. Uzrakstiet kompleksu skaitli trigonometriskā formā √ 3 - i . Mums ir:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, grēks φ = - 1 / 2
Tāpēc līdz leņķim, kas dalās ar 2 π , φ = 11 / 6 π ; tātad,
√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i grēks 11/6 π ).
3. piemērs Uzrakstiet kompleksu skaitli trigonometriskā formā i.
Komplekss skaitlis i atbilst vektoram O.A.> , kas beidzas ass punktā A plkst ar 1. ordinātu (333. att.). Šāda vektora garums ir 1, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir vienāds ar π / 2. Tāpēc
i = cos π / 2 + i grēks π / 2 .
4. piemērs. Uzrakstiet komplekso skaitli 3 trigonometriskā formā.
Kompleksais skaitlis 3 atbilst vektoram O.A. > X abscisa 3 (334. att.).
Šāda vektora garums ir 3, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir 0. Tāpēc
3 = 3 (cos 0 + i grēks 0),
5. piemērs. Uzrakstiet komplekso skaitli -5 trigonometriskā formā.
Kompleksais skaitlis -5 atbilst vektoram O.A.> beidzas ass punktā X ar abscisu -5 (335. att.). Šāda vektora garums ir 5, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir vienāds ar π . Tāpēc
5 = 5 (maks π + i grēks π ).
Vingrinājumi
2047. Uzrakstiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Norādiet uz plaknes punktu kopu, kas attēlo kompleksos skaitļus, kuru moduļi r un argumenti φ atbilst nosacījumiem:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Vai skaitļi vienlaikus var būt kompleksa skaitļa modulis? r Un - r ?
2050. Vai kompleksa skaitļa arguments vienlaikus var būt leņķi? φ Un - φ ?
Norādiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:
2051*. 1 + cos α + i grēks α . 2054*. 2 (cos 20° - i grēks 20°).
2052*. grēks φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15°- i grēks 15°).
3.1. Polārās koordinātas
Bieži izmanto lidmašīnā polāro koordinātu sistēma . To nosaka, ja dots punkts O, izsaukts stabs, un stars, kas izplūst no pola (mums tā ir ass Vērsis) – polārā ass. Punkta M atrašanās vieta ir noteikta ar diviem cipariem: rādiuss (vai rādiusa vektors) un leņķis φ starp polāro asi un vektoru. Leņķi φ sauc polārais leņķis; mēra radiānos un skaita pretēji pulksteņrādītāja virzienam no polārās ass.
Punkta atrašanās vietu polāro koordinātu sistēmā nosaka sakārtots skaitļu pāris (r; φ). Pie pola r = 0, un φ nav definēts. Par visiem pārējiem punktiem r > 0, un φ ir definēts līdz terminam, kas ir 2π daudzkārtnis. Šajā gadījumā skaitļu pāri (r; φ) un (r 1 ; φ 1) ir saistīti ar vienu un to pašu punktu, ja .
Taisnstūra koordinātu sistēmai xOy Punkta Dekarta koordinātas ir viegli izteiktas ar tā polārajām koordinātām šādi:
3.2. Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija
Apskatīsim Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē xOy.
Jebkurš kompleksais skaitlis z=(a, b) ir saistīts ar punktu plaknē ar koordinātām ( x, y), Kur koordināte x = a, t.i. kompleksā skaitļa reālā daļa, un koordināte y = bi ir iedomātā daļa.
Plakne, kuras punkti ir kompleksie skaitļi, ir kompleksa plakne.
Attēlā kompleksais skaitlis z = (a, b) atbilst punktam M(x, y).
Vingrinājums.Zīmēt tālāk koordinātu plakne kompleksie skaitļi:
3.3. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma
Kompleksam skaitlim plaknē ir punkta koordinātas M(x;y). Kurā:
Kompleksā skaitļa rakstīšana 
- kompleksa skaitļa trigonometriskā forma.
Tiek izsaukts cipars r modulis
kompleksais skaitlis z un ir apzīmēts. Modulis ir nenegatīvs reāls skaitlis. Priekš 
.
Modulis ir nulle tad un tikai tad z = 0, t.i. a = b = 0.
Tiek izsaukts skaitlis φ arguments z un ir norādīts. Arguments z ir definēts neviennozīmīgi, tāpat kā polārais leņķis polāro koordinātu sistēmā, proti, līdz terminam, kas ir 2π daudzkārtnis.
Tad mēs pieņemam: , kur φ – mazākā vērtība arguments. Ir skaidrs, ka
.
Apgūstot tēmu dziļāk, tiek ieviests palīgarguments φ*, lai
1. piemērs. Atrodiet kompleksā skaitļa trigonometrisko formu.
Risinājums. 1) apsveriet moduli: ;
2) meklē φ: 
;
3) trigonometriskā forma: 
2. piemērs. Atrodiet kompleksā skaitļa algebrisko formu 
.
Šeit pietiek aizstāt trigonometrisko funkciju vērtības un pārveidot izteiksmi:
3. piemērs. Atrast kompleksā skaitļa moduli un argumentu;
1) 
;
2) ; φ – 4 ceturkšņos:
3.4. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā
· Saskaitīšana un atņemšanaĒrtāk to darīt ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā:
· Reizināšana– izmantojot vienkāršas trigonometriskās transformācijas, var parādīt, ka Reizinot, tiek reizināti skaitļu moduļi un pievienoti argumenti: ;
