Tiem, kas vēlas uzzināt, kā atrast ierobežojumus, šajā rakstā mēs par to pastāstīsim. Mēs neiedziļināsimies teorijā; skolotāji parasti to lasa lekcijās. Tāpēc “garlaicīgā teorija” ir jāpieraksta piezīmju grāmatiņās. Ja tas tā nav, tad var lasīt no bibliotēkas aizņemtās mācību grāmatas. izglītības iestāde vai citos interneta resursos.

Tātad robežas jēdziens ir diezgan svarīgs augstākās matemātikas izpētē, it īpaši, ja jūs saskaraties ar integrāļa aprēķinu un saprotat saistību starp robežu un integrāli. Pašreizējā materiālā mēs apsvērsim vienkāršus piemērus, kā arī to risināšanas veidi.

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Aprēķināt a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Risinājums

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Cilvēki bieži sūta mums šos ierobežojumus ar lūgumu palīdzēt tos atrisināt. Mēs nolēmām tos izcelt kā atsevišķu piemēru un paskaidrot, ka šīs robežas parasti ir jāatceras. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs nodrošināsim detalizētu risinājumu. Varēsiet apskatīt aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs jums laikus saņemt atzīmi no skolotāja!

Atbilde

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ko darīt ar formas nenoteiktību: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. piemērs

Atrisiniet $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Risinājums

Kā vienmēr, mēs sākam, aizstājot vērtību $ x $ izteiksmē zem ierobežojuma zīmes. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Kas tagad būs tālāk? Kam beigās jānotiek? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā vēl nav atbilde, un mēs turpinām aprēķinu. Tā kā skaitītājos mums ir polinoms, mēs to faktorizēsim, izmantojot formulu, kas visiem pazīstama no skolas $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vai tu atceries? Lieliski! Tagad uz priekšu un izmantojiet to kopā ar dziesmu :) Mēs atklājam, ka skaitītājs $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minēto transformāciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Palielināsim robežu pēdējos divos piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. piemērs

Aprēķināt $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Risinājums

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ko darīt? Ko man darīt? Nekrīti panikā, jo neiespējamais ir iespējams. Ir nepieciešams izņemt x gan skaitītājā, gan saucējā un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķināt limitu. Pamēģināsim... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Izmantojot definīciju no 2. piemēra un aizstājot bezgalību ar x, mēs iegūstam: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritms limitu aprēķināšanai

Tātad, īsi apkoposim piemērus un izveidosim algoritmu ierobežojumu risināšanai:

1. Aizstāj punktu x izteiksmē aiz robežzīmes. Ja tiek iegūts noteikts skaitlis vai bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: “nulle dalīta ar nulli” vai “bezgalība dalīta ar bezgalību” un pāriet uz nākamajām instrukciju darbībām.
2. Lai novērstu nenoteiktību “nulle dalīta ar nulli”, jums ir jāņem vērā skaitītājs un saucējs. Samaziniet līdzīgus. Aizstāj punktu x izteiksmē zem ierobežojuma zīmes.
3. Ja nenoteiktība ir “bezgalība dalīta ar bezgalību”, tad mēs izņemam gan skaitītāju, gan saucēju x līdz lielākajai pakāpei. Mēs saīsinām X. Mēs aizstājam x vērtības no robežvērtības atlikušajā izteiksmē.

Šajā rakstā jūs uzzinājāt robežvērtību risināšanas pamatus, ko bieži izmanto kursā Calculus. Protams, tie nav visi eksaminētāju piedāvātie problēmu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Par cita veida uzdevumiem mēs runāsim nākamajos rakstos, taču vispirms jums ir jāapgūst šī mācība, lai virzītos uz priekšu. Apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, pētīsim bezgalīgi mazas ekvivalentas funkcijas, ievērojamas robežas, L'Hopitāla likumu.

Ja jūs pats nevarat noteikt ierobežojumus, nekrītiet panikā. Mēs vienmēr esam priecīgi palīdzēt!

Funkcijas galīgo un bezgalīgo robežu definīcijas bezgalībā saskaņā ar Košī. Divpusējo un vienpusējo ierobežojumu definīcijas (pa kreisi un pa labi). Problēmu risinājumu piemēri, kuros, izmantojot Košī definīciju, ir jāparāda, ka bezgalības robeža ir vienāda ar noteiktu vērtību, .

Saturs

Skatīt arī: Punkta apkārtne
Funkcijas robežas universāla definīcija saskaņā ar Heine un Cauchy

Funkcijas ierobežota robeža bezgalībā

Funkcijas robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Košī robežas noteikšana
Skaitli a sauc par funkcijas robežu f (x) kā x tiecas uz bezgalību (), ja
1) ir tāds |x| >
2) jebkuram, lai arī mazam, pozitīvam skaitlim ε > 0 , ir skaitlis N ε > K, atkarībā no ε, kas visiem x, |x| > N ε, funkcijas vērtības pieder punkta a ε apkārtnei:
|f (x)-a|< ε .
Funkcijas robežu bezgalībā apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Bieži tiek izmantots arī šāds apzīmējums:
.

Rakstīsim šo definīciju, izmantojot loģiskos esamības un universāluma simbolus:
.
Tas pieņem, ka vērtības pieder funkcijas domēnam.

Vienpusēji ierobežojumi

Funkcijas kreisā robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Bieži vien ir gadījumi, kad funkcija tiek definēta tikai mainīgā x pozitīvām vai negatīvām vērtībām (precīzāk, punkta vai tuvumā). Arī x pozitīvo un negatīvo vērtību bezgalības robežas var būt dažādas nozīmes. Tad tiek izmantoti vienpusēji ierobežojumi.

Kreisā robeža bezgalībā vai robeža, kā x tiecas uz mīnus bezgalību (), tiek definēta šādi:
.
Tiesības ierobežojums bezgalībā vai robeža kā x mēdz plus bezgalība ():
.
Vienpusējās robežas bezgalībā bieži tiek apzīmētas šādi:
; .

Funkcijas bezgalīga robeža bezgalībā

Funkcijas bezgalīgā robeža bezgalībā:
|f(x)| > M — |x| > N

Bezgalīgās robežas definīcija saskaņā ar Košī
Funkcijas f. robeža (x) kā x tiecas uz bezgalību (), ir vienāds ar bezgalību, Ja
1) ir tāda punkta apkārtne bezgalībā |x| > K, uz kura ir definēta funkcija (šeit K ir pozitīvs skaitlis);
2) jebkuram patvaļīgi lielam skaitlim M > 0 , ir tāds skaitlis N M > K, atkarībā no M, kas visiem x, |x| > N M , funkcijas vērtības pieder bezgalības punkta apkārtnei:
|f (x) | > M.
Bezgalīgo robežu, kad x tiecas uz bezgalību, apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, funkcijas bezgalīgās robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.

Līdzīgi tiek ieviestas noteiktu zīmju bezgalīgo robežu definīcijas, kas vienādas ar un:
.
.

Bezgalības vienpusējo ierobežojumu definīcijas.
Kreisās robežas.
.
.
.
Pareizās robežas.
.
.
.

Funkcijas robežas noteikšana pēc Heines

Skaitli a (galīgs vai bezgalībā) sauc par funkcijas f robežu (x) punktā x 0 :
,
Ja
1) bezgalībā ir tāda punkta x apkārtne 0 , kurā funkcija ir definēta (šeit vai vai );
2) jebkurai secībai (xn), kas saplūst ar x 0 : ,
kuras elementi pieder apkārtnei, secībai (f(xn)) saplūst ar:
.

Ja par apkaimi ņemam bezgalībā esoša bezgalības punkta apkārtni: , tad iegūstam funkcijas robežas definīciju kā x tiecas uz bezgalību, . Ja ņemam bezgalības punkta x kreisās vai labās puses apkārtni 0 : vai , tad mēs iegūstam robežas definīciju, jo x tiecas attiecīgi uz mīnus bezgalību un plus bezgalību.

Heine un Cauchy robežas definīcijas ir līdzvērtīgas.

Piemēri

1. piemērs

Izmantojot Košī definīciju, lai to parādītu
.

Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
.
Atradīsim funkcijas definīcijas apgabalu. Tā kā daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi, funkcija ir definēta visiem x, izņemot punktus, kuros saucējs pazūd. Atradīsim šos punktus. Kvadrātvienādojuma atrisināšana. ;
.
Vienādojuma saknes:
; .
Kopš , tad un .
Tāpēc funkcija ir definēta . Mēs to izmantosim vēlāk.

Pierakstīsim funkcijas galīgās robežas definīciju bezgalībā saskaņā ar Košī:
.
Pārveidosim atšķirību:
.
Daliet skaitītāju un saucēju ar un reiziniet ar -1 :
.

Ļaujiet .
Tad
;
;
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
.
No tā izriet, ka
pie , un .

Tā kā jūs vienmēr varat to palielināt, pieņemsim . Tad jebkuram,
plkst.
Tas nozīmē, ka .

2. piemērs

Ļaujiet .
Izmantojot Košī robežas definīciju, parādiet, ka:
1) ;
2) .

1) Risinājums kā x tiecas uz mīnus bezgalību

Kopš , funkcija ir definēta visiem x.
Pierakstīsim funkcijas robežas definīciju, kas vienāda ar mīnus bezgalību:
.

Ļaujiet . Tad
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
No tā izriet, ka jebkuram pozitīvam skaitlim M ir skaitlis, lai ,
.

Tas nozīmē, ka .

2) Risinājums kā x tiecas uz plus bezgalību

Pārveidosim sākotnējo funkciju. Reiziniet frakcijas skaitītāju un saucēju un izmantojiet kvadrātu starpības formulu:
.
Mums ir:

.
Pierakstīsim funkcijas labās robežas definīciju:
.

Ieviesīsim apzīmējumu: .
Pārveidosim atšķirību:
.
Reiziniet skaitītāju un saucēju ar:
.

Ļaujiet
.
Tad
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
No tā izriet, ka
un .

Tā kā tas attiecas uz jebkuru pozitīvu skaitli, tad
.

Atsauces:
CM. Nikoļskis. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 1983. gads.

Skatīt arī:

Tipa un sugas nenoteiktība ir visizplatītākās nenoteiktības, kas jāatklāj, risinot ierobežojumus.

Lielākā daļa ierobežojumu problēmu, ar kurām saskaras studenti, satur tieši šādas neskaidrības. Lai tos atklātu vai, precīzāk, izvairītos no neskaidrībām, ir vairāki mākslīgi paņēmieni izteiksmes veida pārveidošanai zem robežzīmes. Šie paņēmieni ir šādi: skaitītāja un saucēja sadalīšana pa vienam ar mainīgā lielumu, reizināšana ar konjugāta izteiksmi un faktorizācija turpmākai samazināšanai, izmantojot kvadrātvienādojumu risinājumus un saīsinātas reizināšanas formulas.

Sugas nenoteiktība

1. piemērs.

n ir vienāds ar 2. Tāpēc mēs dalām skaitītāja un saucēja vārdu ar terminu ar:

.

Komentējiet izteiksmes labajā pusē. Bultiņas un cipari norāda, kādas frakcijas mēdz būt pēc aizstāšanas n kas nozīmē bezgalību. Šeit, tāpat kā 2. piemērā, grāds n Saucējā ir vairāk nekā skaitītājā, kā rezultātā visa daļa mēdz būt bezgalīgi maza vai “īpaši maza”.

Mēs saņemam atbildi: šīs funkcijas robeža ar mainīgo, kas tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar .

2. piemērs. .

Risinājums. Šeit ir mainīgā lielākā jauda x ir vienāds ar 1. Tāpēc mēs dalām skaitītāja un saucēja vārdu ar vārdu ar x:

.

Komentārs par lēmuma pieņemšanas gaitu. Skaitītājā mēs iedzinām “x” zem trešās pakāpes saknes, un tā, lai tā sākotnējā pakāpe (1) paliktu nemainīga, piešķiram tai tādu pašu pakāpi kā saknei, tas ir, 3. Nav bultiņu vai papildu skaitļu. šajā ierakstā, tāpēc izmēģiniet to prātā, bet pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru nosakiet, kāda ir izteiksme skaitītājā un saucējā pēc bezgalības aizstāšanas ar “x” vietā.

Mēs saņēmām atbildi: šīs funkcijas robeža ar mainīgo, kas tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar nulli.

Sugas nenoteiktība

3. piemērs. Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu.

Risinājums. Skaitītājs ir kubu starpība. Faktorizēsim to, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu no skolas matemātikas kursa:

Saucējs satur kvadrātvienādojumu risināšanu, ko mēs faktorizēsim, atrisinot kvadrātvienādojumu (kārtējo reizi saite uz kvadrātvienādojumu risināšanu):

Pierakstīsim transformāciju rezultātā iegūto izteiksmi un atradīsim funkcijas robežu:

4. piemērs. Atbrīvojieties no nenoteiktības un atrodiet robežu

Risinājums. Koeficientu limita teorēma šeit nav piemērojama, jo

Tāpēc mēs pārveidojam daļu identiski: reizinot skaitītāju un saucēju ar binoma konjugātu ar saucēju un samazinot ar x+1. Saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu mēs iegūstam izteiksmi, kuru atrisinot atrodam vēlamo robežu:

5. piemērs. Atbrīvojieties no nenoteiktības un atrodiet robežu

Risinājums. Tiešā vērtības aizstāšana x= 0 V dotā funkcija noved pie formas 0/0 nenoteiktības. Lai to atklātu, mēs veicam identiskas transformācijas un galu galā iegūstam vēlamo robežu:

6. piemērs. Aprēķināt

Risinājums: Izmantosim teorēmas par robežām

Atbilde: 11

7. piemērs. Aprēķināt

Risinājums:šajā piemērā skaitītāja un saucēja robežas ir vienādas ar 0:

; . Mēs esam saņēmuši, tāpēc teorēmu par koeficienta robežu nevar piemērot.

Faktorizēsim skaitītāju un saucēju, lai samazinātu daļskaitli ar kopīgu koeficientu, kas tiecas uz nulli, un tādējādi dotu iespēju piemērot 3. teorēmu.

Izvērsīsim kvadrātveida trinomu skaitītājā, izmantojot formulu , kur x 1 un x 2 ir trinoma saknes. Pēc faktorizācijas un saucēja samaziniet daļu par (x-2), pēc tam izmantojiet 3. teorēmu.

Atbilde:

8. piemērs. Aprēķināt

Risinājums: Kad skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, tad, tieši piemērojot 3. teorēmu, iegūstam izteiksmi , kas apzīmē nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šāda veida nenoteiktības, skaitītājs un saucējs jāsadala ar argumenta augstāko jaudu. Šajā piemērā jums ir jādala ar X:

Atbilde:

9. piemērs. Aprēķināt

Risinājums: x 3:

Atbilde: 2

10. piemērs. Aprēķināt

Risinājums: Kad skaitītājs un saucējs tiecas uz bezgalību. Dalīsim skaitītāju un saucēju ar argumenta lielāko pakāpju, t.i. x 5:

Daļas skaitītājs tiecas uz 1, saucējs tiecas uz 0, tātad daļai ir tendence uz bezgalību.

Atbilde:

11. piemērs. Aprēķināt

Risinājums: Kad skaitītājs un saucējs tiecas uz bezgalību. Dalīsim skaitītāju un saucēju ar argumenta lielāko pakāpju, t.i. x 7:

Atbilde: 0

Atvasinājums.

Funkcijas y = f(x) atvasinājums attiecībā pret argumentu x sauc par tā pieauguma y un argumenta x pieauguma x attiecības robežu, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli: . Ja šī robeža ir ierobežota, tad funkcija y = f(x) tiek teikts, ka ir diferencējams punktā x. Ja šī robeža pastāv, viņi saka, ka funkcija y = f(x) punktā x ir bezgalīgs atvasinājums.

Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi:

1. (konst.)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Atšķiršanas noteikumi:

a)

V)

1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums: Ja otrā vārda atvasinājumu atrod, izmantojot daļskaitļu diferenciācijas likumu, tad pirmais termins ir kompleksa funkcija, kuras atvasinājumu atrod pēc formulas:

, Kur , Tad

Risinot tika izmantotas šādas formulas: 1,2,10,a,c,d.

Atbilde:

21. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums: abi termini - sarežģītas funkcijas, kur pirmajam , , un otrajam , , tad

Atbilde:

Atvasinātie pieteikumi.

1. Ātrums un paātrinājums

Ļaujiet funkcijai s(t) aprakstīt pozīciju objekts kādā koordinātu sistēmā laikā t. Tad funkcijas s(t) pirmais atvasinājums ir momentāns ātrumu objekts:
v=s′=f′(t)
Funkcijas s(t) otrais atvasinājums apzīmē momentāno paātrinājums objekts:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Pieskares vienādojums
y-y0=f′(x0)(x-x0),
kur (x0,y0) ir pieskares punkta koordinātas, f′(x0) ir funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība pieskares punktā.

3. Normāls vienādojums
y-y0=-1f′(x0)(x-x0),

kur (x0,y0) ir tā punkta koordinātas, kurā tiek novilkta norma, f′(x0) ir funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība šajā punktā.

4. Funkciju palielināšana un samazināšanās
Ja f′(x0)>0, tad funkcija palielinās punktā x0. Zemāk redzamajā attēlā funkcija palielinās kā x x2.
Ja f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ja f′(x0)=0 vai atvasinājums neeksistē, tad šis kritērijs neļauj noteikt funkcijas monotonitātes raksturu punktā x0.

5. Funkcijas lokālā ekstremitāte
Funkcijai f(x) ir vietējais maksimums punktā x1, ja ir tāda punkta x1 apkārtne, ka visiem x no šīs apkārtnes pastāv nevienādība f(x1)≥f(x).
Līdzīgi ir funkcijai f(x). vietējais minimums punktā x2, ja ir tāda punkta x2 apkārtne, ka visiem x no šīs apkārtnes pastāv nevienādība f(x2)≤f(x).

6. Kritiskie punkti
Punkts x0 ir kritiskais punkts funkcija f(x), ja atvasinājums f′(x0) tajā ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

7. Pirmā pietiekamā ekstrēma esamības pazīme
Ja funkcija f(x) palielinās (f′(x)>0) visiem x kādā intervālā (a,x1] un samazinās (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiem x no intervāla )