Ja ieslēgts koordinātu plakne dots punkts A un ir jānosaka tā koordinātas, tad tas tiek darīts šādi. Caur punktu A tiek novilktas divas taisnas līnijas: viena paralēla y asij, otra - x. Taisne, kas ir paralēla y asij, šķērso x asi (abscisas). Ass un taisnes krustpunkts ir punkta A x-koordināta. Taisna līnija, kas ir paralēla x asij, krustojas ar y asi. Ass un taisnes krustpunkts ir punkta A y-koordināta. Piemēram, ja taisne, kas ir paralēla y, krusto x asi punktā -5, un taisne, kas ir paralēla x, krusto y asi punktā 2.3, tad punkta A koordinātas raksta šādi: A (-5; 2.3).

Līdzīgi tiek risināts arī apgrieztais uzdevums, kad nepieciešams uzzīmēt punktu pēc dotajām koordinātām. Caur punktiem, kuru vērtības ir vienādas ar dotajām koordinātām, uz x un y asīm tiek novilktas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai: caur x koordinātu - taisne, kas ir paralēla y, caur y koordinātu - taisna līnija, kas ir paralēla x. Šo līniju krustpunkts būs vēlamais punkts ar dotajām koordinātām. Piemēram, dotajam punktam B (–1,5; –3), tas ir jāattēlo koordinātu plaknē. Lai to izdarītu, caur punktu (–1,5; 0), kas atrodas uz x ass, tiek novilkta taisna līnija, kas ir paralēla y asij. Caur punktu (0; -3) paralēli x asij tiek novilkta taisna līnija. Vietā, kur šīs līnijas krustojas, atradīsies punkts B (–1,5; –3).

1. Lai atrastu funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas, abas funkcijas jāpielīdzina viena otrai, jāpārvieto visi termini, kas satur $ x $ uz kreiso pusi, bet pārējie uz labo pusi un jāatrod iegūtā saknes. vienādojums.
2. Otrs veids ir izveidot vienādojumu sistēmu un atrisināt to, aizstājot vienu funkciju ar citu
3. Trešā metode ietver funkciju grafisku konstruēšanu un krustojuma punkta vizuālo definēšanu.

Divu lineāru funkciju gadījums

Apsveriet divus lineārās funkcijas$ f(x) = k_1 x+m_1 $ un $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Šīs funkcijas sauc par tiešajām. To izveide ir pietiekami vienkārša, jums vienkārši jāņem jebkuras divas vērtības $x_1$ un $x_2$ un jāatrod $f(x_1)$ un $(x_2)$. Pēc tam atkārtojiet to pašu ar funkciju $ g(x) $. Tālāk vizuāli atrodiet funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas.

Jums jāzina, ka lineārām funkcijām ir tikai viens krustošanās punkts un tikai tad, ja $ k_1 \neq k_2 $. Pretējā gadījumā $ k_1=k_2 $ gadījumā funkcijas ir paralēlas viena otrai, jo $ k $ ir slīpuma koeficients. Ja $ k_1 \neq k_2 $, bet $ m_1=m_2 $, tad krustojuma punkts būs $ M(0;m) $. Šo noteikumu ir vēlams atcerēties, lai paātrinātu problēmu risināšanu.

Divu nelineāru funkciju gadījums

Taisnstūra koordinātu sistēma

Lai definētu punktu koordinātu jēdzienu, mums ir jāievieš koordinātu sistēma, kurā mēs noteiksim tās koordinātas. Vienam un tam pašam punktam dažādās koordinātu sistēmās var būt dažādas koordinātes. Šeit mēs apsvērsim taisnstūra koordinātu sistēmu telpā.

Paņemiet vietu $O$ un ievadiet tam koordinātas $(0,0,0)$. Sauksim to par koordinātu sistēmas izcelsmi. Izvelkam caur to trīs savstarpēji perpendikulāras asis $Ox$, $Oy$ un $Oz$, kā parādīts 1. attēlā. Šīs asis attiecīgi sauks par abscisu, ordinātu un aplikācijas asīm. Atliek tikai ievadīt skalu uz asīm (viens segments) - taisnstūra koordinātu sistēma telpā ir gatava (1. att.)

Attēls 1. Taisnstūra koordinātu sistēma telpā. Autors24 - studentu darbu tiešsaistes apmaiņa

Punkta koordinātas

Tagad mēs analizēsim, kā šādā sistēmā tiek noteiktas jebkura punkta koordinātas. Paņemiet patvaļīgu punktu $M$ (2. att.).

Uz koordinātu asīm uzbūvēsim taisnstūrveida paralēlskaldni, lai punkti $O$ un $M$ būtu pretēji tā virsotnēm (3. att.).

3. attēls. Kuboīda uzbūve. Autors24 - studentu darbu tiešsaistes apmaiņa

Tad punktam $M$ būs koordinātes $(X,Y,Z)$, kur $X$ ir vērtība uz reālās ass $Ox$, $Y$ ir vērtība uz reālās ass $Oy$ un $ Z$ ir vērtība uz reālās ass $Oz$.

1. piemērs

Nepieciešams rast risinājumu šādai problēmai: uzrakstiet 4. attēlā redzamā paralēlskaldņa virsotņu koordinātas.

Risinājums.

Punkts $O$ ir izcelsme, tātad $O=(0,0,0)$.

Punkti $Q$, $N$ un $R$ atrodas attiecīgi uz asīm $Ox$, $Oz$ un $Oy$, tāpēc

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$

Punkti $S$, $L$ un $M$ atrodas attiecīgi plaknēs $Oxz$, $Oxy$ un $Oyz$, tāpēc

$S=(2,0,1,5)$, $L=(2,2,5,0)$, $R=(0,2,5,1,5)$

Punktam $P$ ir koordinātes $P=(2,2.5,1.5)$

Divpunktu vektora koordinātas un atrašanas formula

Lai uzzinātu, kā atrast vektoru no divu punktu koordinātām, mums jāņem vērā koordinātu sistēma, ko mēs ieviesām iepriekš. Tajā no punkta $O$ pa $Ox$ asi iezīmējam vienības vektoru $\overline(i)$, pa $Oy$ asi - vienības vektoru $\overline(j)$ un vienības vektoru. $\overline(k) $ jānovirza pa $Oz$ asi.

Lai ieviestu vektora koordinātu jēdzienu, mēs ieviešam šādu teorēmu (šeit mēs neuzskatīsim tās pierādījumu).

1. teorēma

Patvaļīgu vektoru telpā var sadalīt jebkuros trīs vektoros, kas neatrodas vienā plaknē, un koeficienti šādā sadalījumā būs vienīgais ceļš definēts.

Matemātiski tas izskatās šādi:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Tā kā vektori $\overline(i)$, $\overline(j)$ un $\overline(k)$ ir veidoti uz taisnstūra koordinātu sistēmas koordinātu asīm, tie acīmredzot nepiederēs vienai plaknei. Tādējādi jebkuram vektoram $\overline(δ)$ šajā koordinātu sistēmā saskaņā ar 1. teorēmu var būt šāda forma

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

kur $n,m,l∈R$.

1. definīcija

Trīs vektori $\overline(i)$, $\overline(j)$ un $\overline(k)$ tiks saukti par koordinātu vektoriem.

2. definīcija

Koeficienti vektoru $\overline(i)$, $\overline(j)$ un $\overline(k)$ priekšā izvērsumā (1) tiks saukti par šī vektora koordinātām mūsu norādītajā koordinātu sistēmā. , tas ir

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Lineāras operācijas ar vektoriem

2. teorēma

Summas teorēma: jebkura skaita vektoru summas koordinātas nosaka to attiecīgo koordinātu summa.

Pierādījums.

Mēs pierādīsim šo teorēmu 2 vektoriem. 3 vai vairāk vektoriem pierādījums tiek konstruēts līdzīgā veidā. Lai $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Šos vektorus var uzrakstīt šādi

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Lai noteiktu platuma grādos nepieciešams, izmantojot trīsstūri, nolaist perpendikulu no punkta A uz grādu rāmi līdz platuma līnijai un nolasīt pa labi vai pa kreisi platuma skalā, atbilstošos grādus, minūtes, sekundes. φА= φ0+ Δφ

φА=54 0 36/00 // +0 0 01 / 40 //= 54 0 37 / 40 //

Lai noteiktu garums ir nepieciešams, izmantojot trīsstūri, nolaist perpendikulu no punkta A uz garuma līnijas grādu rāmi un nolasīt atbilstošos grādus, minūtes, sekundes no augšas vai apakšas.

Punkta taisnstūra koordinātu noteikšana kartē

Punkta (X, Y) taisnstūra koordinātas uz kartes tiek noteiktas kilometru režģa kvadrātā šādi:

1. Izmantojot trīsstūri, perpendikulus nolaiž no punkta A uz kilometru režģa līniju X un Y, ņem vērtības XA=X0+Δ X; UA=U0+Δ Plkst

Piemēram, punkta A koordinātas ir: XA \u003d 6065 km + 0,55 km \u003d 6065,55 km;

UA \u003d 4311 km + 0,535 km \u003d 4311,535 km. (koordināta ir samazināta);

Punkts A atrodas 4. zonā, ko norāda koordinātes pirmais cipars plkst dota.

9. Līniju garumu, virziena leņķu un azimutu mērīšana kartē, kartē norādītā līnijas slīpuma leņķa noteikšana.

Garuma mērīšana

Lai noteiktu attālumu starp reljefa punktiem (objektiem, objektiem) kartē, izmantojot skaitlisko mērogu, ir nepieciešams kartē izmērīt attālumu starp šiem punktiem centimetros un iegūtais skaitlis reizināt ar mēroga vērtību.

Nelielu attālumu ir vieglāk noteikt, izmantojot lineāro skalu. Lai to izdarītu, pietiek ar kompasa mērītāju, kura risinājums ir vienāds ar attālumu starp dotajiem punktiem kartē, uz lineāras skalas un nolasa metros vai kilometros.

Lai izmērītu līknes, mērkompasa “soļu” risinājums ir iestatīts tā, lai tas atbilstu veselam kilometru skaitam, un kartē izmērītajā segmentā tiek atstāts vesels “soļu” skaits. Attālums, kas neietilpst mērīšanas kompasa “soļu” veselā skaitā, tiek noteikts, izmantojot lineāro skalu, un pievienots iegūtajam kilometru skaitam.

Virziena leņķu un azimutu mērīšana kartē

.

Mēs savienojam punktu 1 un 2. Mēs izmērām leņķi. Mērījums notiek ar transportiera palīdzību, tas atrodas paralēli mediānai, tad tiek ziņots par slīpuma leņķi pulksteņrādītāja virzienā.

Kartē definētas līnijas slīpuma leņķa noteikšana.

Definīcija notiek tieši pēc tāda paša principa kā virziena leņķa atrašana.

10. Tiešā un apgrieztā ģeodēziskā problēma plaknē. Uz zemes veikto mērījumu skaitļošanas apstrādē, kā arī inženierbūvju projektēšanā un aprēķinos projektu nodošanai dabā rodas nepieciešamība risināt tiešās un apgrieztās ģeodēziskās problēmas Tiešā ģeodēziskā problēma . Zināmas koordinātas X 1 un plkst 1 punkts 1, virziena leņķis 1-2 un attālums d 1-2 līdz 2. punktam jums jāaprēķina tā koordinātas X 2 ,plkst 2 .

2. punkta koordinātas aprēķina pēc formulām (3.5. att.): (3.4) kur X,plkstkoordinātu soli vienāds ar

(3.5)

Apgrieztā ģeodēziskā problēma . Zināmas koordinātas X 1 ,plkst 1 punkts 1 un X 2 ,plkst 2 punkti 2 ir jāaprēķina attālums starp tiem d 1-2 un virziena leņķis  1-2 . No formulām (3.5) un att. 3.5 parāda to. (3.6) Lai noteiktu virziena leņķi  1-2, izmantojam loka tangensa funkciju. Tajā pašā laikā mēs ņemam vērā, ka datorprogrammas un mikrokalkulatori dod galveno arktangensa vērtību  = , kas atrodas diapazonā 90+90, savukārt vēlamajam virziena leņķim  var būt jebkura vērtība diapazonā 0360.

Formula pārejai no  uz  ir atkarīga no koordinātu ceturkšņa, kurā atrodas dotais virziens vai, citiem vārdiem sakot, no atšķirību pazīmēm y=y 2 y 1 un  x=X 2 X 1 (skat. 3.1. tabulu un 3.6. att.). 3.1. tabula

Rīsi. 3.6. Virziena leņķi un loka tangensas galvenās vērtības I, II, III un IV ceturksnī

Attālumu starp punktiem aprēķina pēc formulas

(3.6) vai citā veidā - pēc formulām (3.7)

Jo īpaši elektroniskie taheometri ir aprīkoti ar programmām tiešo un apgriezto ģeodēzisko problēmu risināšanai, kas ļauj tieši lauka mērījumu gaitā noteikt novēroto punktu koordinātas, aprēķināt leņķus un attālumus marķēšanas darbiem.

Lai tiešsaistē atrastu punktu kartē pēc koordinātām, izmantojot Yandex, Google vai OSM tehnoloģijas, šo karti izmanto OSM karšu tehnoloģijas: - laukos: platums un garums jāievada savi koordinātu dati un jānospiež poga "Atrast", pēc tam serviss aprēķinās vietu, punktu kartē, gan Krieviju, gan pasauli. Šis pakalpojums palīdzēs noskaidrot ielu, adresi, pilsētu un noteikt precīzas koordinātas.

Ģeogrāfisko koordinātu platuma un garuma atrašana pēc adreses

Lai tiešsaistē atrastu koordinātas adresē esošā punkta platuma un garuma kartē: meklēšanas laukā jāievada precīza adrese, pilsēta, valsts, sarakstā atlasiet vajadzīgo, un pakalpojums noteiks platumu un garums šī vieta, kuru varat kopēt no īpašā lauka.

Jūs varat arī parādīt punktu kartē un aprēķināt tā koordinātas, vienkārši noklikšķinot uz kartes jebkurā vietā, pakalpojums aprēķinās: objekta adrese un lauks parādīs koordinātu datus, kurus var arī nokopēt.