Ja m = 1, n = 1, tad iegūstam raksturlielumu

ko sauc centrbēdzes inerces moments.

Centrbēdzes moments inerce attiecībā pret koordinātu asīm – elementārlaukumu reizinājumu summa dA to attālumos līdz šīm asīm, pārņemot visu šķērsgriezuma laukumu A.

Ja vismaz viena no asīm y vai z ir sekcijas simetrijas ass, šādas sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret šīm asīm ir vienāds ar nulli (jo šajā gadījumā katra pozitīvā vērtība z·y·dA Mēs varam ievietot korespondencē tieši to pašu, bet negatīvu, otrā pusē sadaļas simetrijas ass, skatīt attēlu).

Apskatīsim papildu ģeometriskos raksturlielumus, kurus var iegūt no galvenajiem uzskaitītajiem un kurus bieži izmanto arī stiprības un stingrības aprēķinos.

Polārais inerces moments

Polārais inerces moments Jp nosauc īpašību

Citā pusē,

Polārais inerces moments(attiecībā pret doto punktu) – elementārlaukumu reizinājumu summa dA pēc attāluma kvadrātiem līdz šim brīdim, pārņēma visu šķērsgriezuma laukumu A.

Inerces momentu izmērs ir m 4 SI.

Pretestības brīdis

Pretestības brīdis attiecībā pret kādu asi – vērtība, kas vienāda ar inerces momentu attiecībā pret to pašu asi, kas dalīta ar attālumu ( ymax vai z maks) līdz punktam, kas atrodas vistālāk no šīs ass

Pretestības momentu izmērs ir m 3 SI.

Inerces rādiuss

Inerces rādiuss sekciju attiecībā pret noteiktu asi sauc par vērtību, kas noteikta no attiecības:

Griešanas rādiusus izsaka m SI vienībās.

komentēt: mūsdienu konstrukciju elementu šķērsgriezumos bieži ir attēlots noteikts materiālu sastāvs ar atšķirīgu izturību pret elastīgo deformāciju, ko raksturo, kā zināms no fizikas kursa, ar Janga moduli. E. Vispārīgākajā nehomogēna šķērsgriezuma gadījumā Janga modulis ir nepārtraukta funkcija iecirkņa punktu koordinātas, t.i. E = E(z, y). Tāpēc elastīgo īpašību ziņā neviendabīgas sekcijas stingrību raksturo raksturlielumi, kas ir sarežģītāki nekā viendabīga griezuma ģeometriskie raksturlielumi, proti, formas elastīgi ģeometriski.

2.2. Vienkāršu figūru ģeometrisko raksturlielumu aprēķins

Taisnstūra sekcija

Definēsim aksiālais moments taisnstūra inerce attiecībā pret asi z. Sadalīsim taisnstūra laukumu elementārajos apgabalos ar izmēriem b(platums) un dy(augstums). Tad šāda elementāra taisnstūra laukums (ēnots) ir vienāds ar dA = b dy. Vērtības aizstāšana dA pirmajā formulā mēs iegūstam

Pēc analoģijas mēs rakstām aksiālo momentu ap asi plkst:

Taisnstūra aksiālie pretestības momenti:

;

Līdzīgā veidā jūs varat iegūt ģeometriskos raksturlielumus citām vienkāršām figūrām.

Apaļa sadaļa

To ir ērti atrast vispirms polārais inerces moments J p .

Tad, ņemot vērā, ka par apli J z = J g, A J p = J z + J y, mēs atradīsim J z =Jy = Jp / 2.

Sadalīsim apli bezgalīgi mazos biezuma gredzenos dρ un rādiuss ρ ; šāda gredzena laukums dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Aizstājot izteiksmi ar dA izteicienā priekš Jp un integrējot, mēs iegūstam

2.3. Inerces momentu aprēķins par paralēlām asīm

z Un y:

Nepieciešams noteikt šīs sekcijas inerces momentus attiecībā pret “jaunajām” asīm z 1 Un y 1, paralēli centrālajiem un attālināti no tiem a Un b attiecīgi:

Jebkura punkta koordinātas “jaunajā” koordinātu sistēmā z 1 0 1 g 1 var izteikt ar koordinātām “vecajās” asīs z Un y Tātad:

Tā kā cirvji z Un y– centrālais, tad statiskais moments Sz = 0.

Visbeidzot, mēs varam pierakstīt “pārejas” formulas paralēla pārsūtīšana asis:

Ņemiet vērā, ka koordinātas a Un b jāaizstāj, ņemot vērā to zīmi (koordinātu sistēmā z 1 0 1 g 1).

2.4. Inerces momentu aprēķins, griežot koordinātu asis

Lai ir zināmi patvaļīga posma inerces momenti attiecībā pret centrālajām asīm z, y:

; ;

Pagriezīsim cirvjus z, y leņķī α pretēji pulksteņrādītāja virzienam, uzskatot asu griešanās leņķi šajā virzienā par pozitīvu.

Nepieciešams noteikt inerces momentus attiecībā pret “jaunajām” (pagrieztajām) asīm z 1 Un y 1:

Elementārās vietas koordinātas dA“jaunajā” koordinātu sistēmā z 1 0y 1 var izteikt ar koordinātām “vecajās” asīs, piemēram:

Mēs aizstājam šīs vērtības inerces momentu formulās “jaunajās” asīs un integrējam terminus pēc termina:

Veicot līdzīgas transformācijas ar atlikušajām izteiksmēm, beidzot pierakstīsim “pārejas” formulas, pagriežot koordinātu asis:

Ņemiet vērā, ka, pievienojot pirmos divus vienādojumus, mēs iegūstam

i., polārais inerces moments ir daudzums nemainīgs(citiem vārdiem sakot, nemainās, pagriežot koordinātu asis).

2.5. Galvenās asis un galvenie inerces momenti

Līdz šim tika aplūkoti griezumu ģeometriskie raksturlielumi patvaļīgā koordinātu sistēmā, bet vislielāko praktisko interesi rada koordinātu sistēma, kurā posmu apraksta vismazākais ģeometrisko raksturlielumu skaits. Šo “īpašo” koordinātu sistēmu nosaka sadaļas galveno asu novietojums. Iepazīstinām ar jēdzieniem: galvenās asis Un galvenie inerces momenti.

Galvenās asis- divas savstarpēji perpendikulāras asis, attiecībā pret kurām centrbēdzes inerces moments ir nulle, savukārt aksiālie inerces momenti iegūst galējās vērtības (maksimālo un minimālo).

Tiek sauktas galvenās asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru galvenās centrālās asis.

Tiek saukti inerces momenti attiecībā uz galvenajām asīm galvenie inerces momenti.

Galvenās centrālās asis parasti apzīmē ar burtiem u Un v; galvenie inerces momenti - J u Un J v(a-prior J uv = 0).

Atvasināsim izteiksmes, kas ļauj atrast galveno asu stāvokli un galveno inerces momentu lielumu. To zinot J uv= 0, mēs izmantojam vienādojumu (2.3):

Stūris α 0 definē galveno asu pozīciju attiecībā pret jebkuru centrālo asīm z Un y. Stūris α 0 atrodas starp asi z un ass u un tiek uzskatīts par pozitīvu pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Ņemiet vērā, ka, ja griezumam ir simetrijas ass, tad saskaņā ar centrbēdzes inerces momenta īpašību (sk. 2.1. sadaļas 4. punktu) šāda ass vienmēr būs galvenā ass sadaļas.

Izņemot leņķi α izteiksmēs (2.1) un (2.2), izmantojot (2.4), iegūstam formulas galveno aksiālo inerces momentu noteikšanai:

Pierakstīsim noteikumu: maksimālā ass vienmēr veido mazāku leņķi ar asīm (z vai y), attiecībā pret kurām inerces momentam ir lielāka vērtība.

2.6. Šķērsgriezumu racionālās formas

Normālos spriegumus patvaļīgā sijas šķērsgriezuma punktā tiešās lieces laikā nosaka pēc formulas:

, (2.5)

Kur M– lieces moments apskatāmajā šķērsgriezumā; plkst– attālums no apskatāmā punkta līdz galvenajai centrālajai asij, kas ir perpendikulāra lieces momenta darbības plaknei; J x– sekcijas galvenais centrālais inerces moments.

Vislielākie stiepes un spiedes normālie spriegumi noteiktā šķērsgriezumā rodas punktos, kas atrodas vistālāk no neitrālās ass. Tos nosaka pēc formulas:

; ,

Kur plkst.1 Un plkst.2– attālumi no galvenās centrālās ass X uz vistālāk izstieptajām un saspiestajām šķiedrām.

Sijām, kas izgatavotas no plastmasas materiāliem, kad [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] ir pieļaujamie spriegumi sijas materiālam attiecīgi stiepē un saspiešanā), sekcijas, kas ir simetriski ap centrālo asi lietots. Šajā gadījumā stiprības nosacījumam ir šāda forma:

≤ [σ], (2.6)

Kur W x = J x / y maks- sijas šķērsgriezuma laukuma pretestības moments attiecībā pret galveno centrālo asi; ymax = h/2(h– sekcijas augstums); M maks– lielākais lieces moments absolūtā vērtībā; [σ] – materiāla pieļaujamais lieces spriegums.

Papildus stiprības nosacījumam sijai ir jāatbilst arī ekonomiskajam nosacījumam. Visekonomiskākās ir tās šķērsgriezuma formas, kurām ar mazāko materiāla daudzumu (vai ar mazāko šķērsgriezuma laukumu) tiek iegūts lielākais pretestības moments. Lai sekcijas forma būtu racionāla, ir nepieciešams, ja iespējams, sadalīt sekciju prom no galvenās centrālās ass.

Piemēram, standarta I veida sija ir aptuveni septiņas reizes stiprāka un trīsdesmit reizes stingrāka nekā tāda paša šķērsgriezuma kvadrātveida sija, kas izgatavota no tā paša materiāla.

Jāpatur prātā, ka, mainoties sekcijas novietojumam attiecībā pret iedarbīgo slodzi, sijas stiprība būtiski mainās, lai gan šķērsgriezuma laukums paliek nemainīgs. Līdz ar to sekcija jānovieto tā, lai spēka līnija sakristu ar galveno asu līniju, attiecībā pret kuru inerces moments ir minimāls. Jums jācenšas nodrošināt, lai sijas saliekums notiktu tās lielākās stingrības plaknē.

Tad visur ir vienādi

J a = ρ ∫ (V) r 2 d V . (\displaystyle J_(a)=\rho \int \limits _((V))r^(2)dV.)

Huigenss - Šteinera teorēma

Cieta ķermeņa inerces moments attiecībā pret jebkuru asi ir atkarīgs no ķermeņa masas, formas un izmēra, kā arī no ķermeņa stāvokļa attiecībā pret šo asi. Saskaņā ar Huigensa-Šteinera teorēmu ķermeņa inerces moments Dž attiecībā pret patvaļīgu asi ir vienāds ar šī ķermeņa inerces momenta summu Jc attiecībā pret asi, kas iet caur ķermeņa masas centru paralēli apskatāmajai asij, un ķermeņa masas reizinājumu m uz attāluma kvadrātu d starp asīm:

J = J c + m d 2 , (\displeja stils J=J_(c)+md^(2),)

Kur m- kopējais ķermeņa svars.

Piemēram, stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā galu, ir vienāds ar:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Dažu ķermeņu aksiālie inerces momenti

Inerces momenti viendabīgi ķermeņi vienkāršākā forma attiecībā pret dažām rotācijas asīm

Ķermenis	Apraksts	Ass pozīcija a	Inerces moments J a
	Materiāla punktu masa m	Uz attālumu r no punkta, stacionārs
	Dobs plānsienu cilindrs vai rādiusa gredzens r un masas m	Cilindra ass	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Ciets cilindrs vai rādiusa disks r un masas m	Cilindra ass	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))mr^ (2))
	Dobs biezsienu masas cilindrs m ar ārējo rādiusu r 2 un iekšējais rādiuss r 1	Cilindra ass	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
	Ciets cilindra garums l, rādiuss r un masas m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Dobu plānsienu cilindra (gredzena) garums l, rādiuss r un masas m	Ass ir perpendikulāra cilindram un iet caur tā masas centru	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Taisns, tievs garums l un masas m	Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā masas centru	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ml^(2))
	Taisns, tievs garums l un masas m	Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā galu	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1) (3)) ml^ (2))
	Plānsienu rādiusa sfēra r un masas m	Ass iet caur sfēras centru	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (3))mr^(2))
	Rādiusa bumba r un masas m	Ass iet caur bumbas centru	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (5))mr^(2))
	Rādiusa konuss r un masas m	Konusa ass	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3) (10))mr^(2))
	Vienādsānu trīsstūris ar augstumu h, pamats a un masa m	Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur virsotni	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1) (24)) m(a^(2)+12 h^(2)))
	Regulārs trīsstūris ar malu a un masa m	Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur masas centru	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ma^(2))
	Kvadrāts ar sāniem a un masa m	Ass ir perpendikulāra kvadrāta plaknei un iet caur masas centru	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (6))ma^(2))
	Taisnstūris ar malām a Un b un masa m	Ass ir perpendikulāra taisnstūra plaknei un iet caur masas centru	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1) (12)) m(a^(2)+b^(2)))
	Regulārs rādiusa n-stūris r un masa m	Ass ir perpendikulāra plaknei un iet caur masas centru	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Torus (doba) ar virzošā apļa rādiusu R, ģenerējošā apļa rādiuss r un masa m	Ass ir perpendikulāra tora virzošā apļa plaknei un iet caur masas centru	I = m (3 4 r2 + R2) (\displeja stils I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\labais))

Formulu atvasināšana

Plānsienu cilindrs (gredzens, stīpa)

Formulas atvasināšana

Ķermeņa inerces moments ir vienāds ar tā sastāvdaļu inerces momentu summu. Sadalīsim plānsienu cilindru elementos ar masu dm un inerces momenti dJ i. Tad

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Tā kā visi plānsienu cilindra elementi atrodas vienādā attālumā no rotācijas ass, formula (1) tiek pārveidota formā

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Cilindrs ar biezām sienām (gredzens, stīpa)

Formulas atvasināšana

Lai ir viendabīgs gredzens ar ārējo rādiusu R, iekšējais rādiuss R 1, biezs h un blīvums ρ. Salaužam to plānos gredzenos biezi dr. Plāna rādiusa gredzena masa un inerces moments r būs

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Atradīsim biezā gredzena inerces momentu kā integrāli

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1) (2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\labais)\kreisais(R^(2)+R_(1)^(2)\pa labi).)

Tā kā gredzena tilpums un masa ir vienādi

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

iegūstam gredzena inerces momenta galīgo formulu

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Homogēns disks (ciets cilindrs)

Formulas atvasināšana

Uzskatot cilindru (disku) par gredzenu ar nulles iekšējo rādiusu ( R 1 = 0 ), iegūstam cilindra (diska) inerces momenta formulu:

J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Ciets konuss

Formulas atvasināšana

Salaužam konusu plānos diskos ar biezumu dh, perpendikulāri konusa asij. Šāda diska rādiuss ir vienāds ar

r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Kur R– konusa pamatnes rādiuss, H- konusa augstums, h– attālums no konusa augšdaļas līdz diskam. Šāda diska masa un inerces moments būs

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrējot, mēs iegūstam

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(līdzināts)))

Cieta viendabīga bumbiņa

Formulas atvasināšana

Salaužam bumbiņu plānos biezuma diskos dh, perpendikulāri rotācijas asij. Šāda diska rādiuss atrodas augstumā h no sfēras centra mēs to atrodam, izmantojot formulu

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Šāda diska masa un inerces moments būs

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\labais)dh.)

Mēs atrodam lodes inerces momentu, integrējot:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(līdzināts)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4) (3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2) (5))R^(2)=(\frac (2) (5))mR^(2).\end(līdzināts)))

Plānsienu sfēra

Formulas atvasināšana

Lai to iegūtu, mēs izmantojam homogēnas rādiusa lodes inerces momenta formulu R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Aprēķināsim, cik mainīsies lodes inerces moments, ja pie nemainīga blīvuma ρ tās rādiuss palielināsies par bezgalīgi mazu dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\beigas (līdzināts)))

Plāns stienis (ass iet caur centru)

Formulas atvasināšana

Sadalīsim stieni mazos garuma fragmentos dr. Šāda fragmenta masa un inerces moments ir vienādi ar

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrējot, mēs iegūstam

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Plāns stienis (ass iet caur galu)

Formulas atvasināšana

Kad rotācijas ass virzās no stieņa vidus līdz tā galam, stieņa smaguma centrs pārvietojas attiecībā pret asi par attālumu l ⁄ 2. Saskaņā ar Šteinera teorēmu jaunais inerces moments būs vienāds ar

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Planētu un satelītu bezizmēra inerces momenti

To bezizmēra inerces momentiem ir liela nozīme planētu un to pavadoņu iekšējās struktūras pētījumos. Rādiusa ķermeņa bezizmēra inerces moments r un masas m vienāds ar tā inerces momenta attiecību pret griešanās asi un inerces momentu materiālais punkts tāda pati masa attiecībā pret fiksētu griešanās asi, kas atrodas attālumā r(vienāds ar Mr 2). Šī vērtība atspoguļo masas sadalījumu dziļumā. Viena no metodēm tā mērīšanai planētu un satelītu tuvumā ir noteiktas planētas vai satelīta tuvumā lidojošā AMS raidītā radiosignāla Doplera nobīdes noteikšana. Plānsienu lodei bezizmēra inerces moments ir vienāds ar 2/3 (~0,67), viendabīgai lodei - 0,4, un kopumā, jo mazāk, jo lielāka ķermeņa masa ir koncentrēta tās centrā. Piemēram, Mēness bezdimensijas inerces moments ir tuvu 0,4 (vienāds ar 0,391), tāpēc tiek pieņemts, ka tas ir samērā viendabīgs, tā blīvums līdz ar dziļumu mainās maz. Zemes bezizmēra inerces moments ir mazāks nekā viendabīgai lodei (vienāds ar 0,335), kas ir arguments par labu blīva kodola pastāvēšanai.

Centrbēdzes inerces moments

Ķermeņa centrbēdzes inerces momenti attiecībā pret taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas asīm ir šādi lielumi:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _(m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _(m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV)

Kur x , y Un z- neliela ķermeņa elementa koordinātas ar tilpumu dV, blīvums ρ un masa dm .

OX asi sauc ķermeņa galvenā inerces ass, ja centrbēdzes inerces momenti J xy Un J xz vienlaikus ir vienādi ar nulli. Caur katru ķermeņa punktu var izvilkt trīs galvenās inerces asis. Šīs asis ir savstarpēji perpendikulāras viena otrai. Ķermeņa inerces momenti attiecībā pret trim galvenajām inerces asīm, kas novilktas patvaļīgā punktā Oķermeņus sauc galvenie inerces momentišī ķermeņa.

Tiek sauktas galvenās inerces asis, kas iet caur ķermeņa masas centru ķermeņa galvenās centrālās inerces asis, un inerces momenti attiecībā uz šīm asīm ir tā galvenie centrālie inerces momenti. Viendabīga ķermeņa simetrijas ass vienmēr ir viena no tā galvenajām centrālajām inerces asīm.

Ģeometriskie inerces momenti

Tilpuma ģeometriskais inerces moments

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

kur, tāpat kā iepriekš r- attālums no elementa dV uz asi a .

Laukuma ģeometriskais inerces moments attiecībā pret asi - ķermeņa ģeometriskais raksturlielums, kas izteikts ar formulu:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

kur integrācija tiek veikta virs virsmas S, A dS- šīs virsmas elements.

Izmērs JSa- garums līdz ceturtajai pakāpei ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), attiecīgi SI mērvienība ir 4. Būvniecības aprēķinos, literatūrā un velmēto metālu sortimentā tas bieži norādīts cm 4.

Šķērsgriezuma pretestības momentu izsaka ar laukuma ģeometrisko inerces momentu:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Šeit r maks- maksimālais attālums no virsmas līdz asij.

Dažu figūru laukuma ģeometriskie inerces momenti
Taisnstūra augstums h (\displaystyle h) un platums b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = hb 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Taisnstūra kastes sekcija ar augstumu un platumu gar ārējām kontūrām H (\displaystyle H) Un B (\displeja stils B), un iekšējai lietošanai h (\displaystyle h) Un b (\displaystyle b) attiecīgi	J z = BH 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displeja stils J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Apļa diametrs d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Inerces moments attiecībā pret plakni

Stingra ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu plakni ir skalārs lielums, kas vienāds ar katra ķermeņa punkta masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu no šī punkta līdz attiecīgajai plaknei.

Ja caur patvaļīgu punktu O (\displaystyle O) zīmēt koordinātu asis x , y , z (\displaystyle x,y,z), tad inerces momenti attiecībā pret koordinātu plaknes x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) Un z O x (\displaystyle zOx) tiks izteikts ar formulām:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displeja stils J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

Cieta ķermeņa gadījumā summēšanu aizstāj ar integrāciju.

Centrālais inerces moments

Centrālais inerces moments (inerces moments ap punktu O, inerces moments ap polu, polārais inerces moments) J O (\displaystyle J_(O)) ir daudzums, ko nosaka izteiksme:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _(m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Centrālo inerces momentu var izteikt ar galvenajiem aksiālajiem inerces momentiem, kā arī ar inerces momentiem attiecībā uz plaknēm:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1) (2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \pa labi),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Inerces tenzors un inerces elipsoīds

Ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu asi, kas iet caur masas centru un kuras virzienu nosaka vienības vektors s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert =1), var attēlot kvadrātveida (bilineāras) formas veidā:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

kur ir inerces tenzors. Inerces tenzora matrica ir simetriska un tai ir izmēri 3 × 3 (\displeja stils 3\reizes 3) un sastāv no centrbēdzes momentu sastāvdaļām:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(masīvs) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\beigas(masīvs))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displeja stils J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _(m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Izvēloties atbilstošu koordinātu sistēmu, inerces tenzora matricu var reducēt līdz diagonālai formai. Lai to izdarītu, jums jāatrisina tenzoru matricas īpašvērtības problēma J ^ (\displaystyle (\cepure (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displeja stils (\cepure (J))_(d)=(\cepure (Q))^(T)\cdot (\cepure (J))\ cdot (\cepure (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displeja stils (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(masīvs)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(masīvs))\right\Vert ,)

Kur Q ^ (\displaystyle (\cepure (Q)))- ortogonālā matrica pārejai uz pašu inerces tenzora bāzi. Pareizā pamatā koordinātu asis ir vērstas gar inerces tenzora galvenajām asīm, kā arī sakrīt ar inerces tenzora elipsoīda galvenajām pusasīm. Daudzumi J X , J Y , J Z (\displeja stils J_(X), J_(Y), J_(Z))- galvenie inerces momenti. Izteiksmei (1) savā koordinātu sistēmā ir šāda forma:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2, (\displeja stils I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y) )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

no kura iegūstam elipsoīda vienādojumu savās koordinātēs. Abas vienādojuma puses dalot ar I s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

un nomaiņu veikšana:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

iegūstam elipsoīda vienādojuma kanonisko formu koordinātēs ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Attālums no elipsoīda centra līdz noteiktam punktam ir saistīts ar ķermeņa inerces momenta vērtību pa taisnu līniju, kas iet caur elipsoīda centru un šo punktu:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s. (\displaystyle r^(2)=\xi ^(2)+\eta ^(2)+\zeta ^(2)=\left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) )\right)^(2)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s)))\right)^(2)+\left((s_(z) \over (\ sqrt) (I_(s))))\pa labi)^(2)=(1 \virs I_(s)).)

inerces reizinājums, viens no lielumiem, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī ( mehāniskā sistēma). C. m. un. tiek aprēķinātas kā masu reizinājumu summas m līdzķermeņa (sistēmas) punkti uz divām koordinātām x k, y k, z kšie punkti:

Vērtības C. m. un. ir atkarīgi no koordinātu asu virzieniem. Šajā gadījumā katram ķermeņa punktam ir vismaz trīs tādas savstarpēji perpendikulāras asis, ko sauc par galvenajām inerces asīm, kurām centrbēdzes masa un. ir vienādi ar nulli.

Jēdziens C. m un. spēlē nozīmīgu lomu ķermeņu rotācijas kustības izpētē. No C. m vērtībām un. ir atkarīgi no spiediena spēku lieluma uz gultņiem, kuros ir fiksēta rotējošā korpusa ass. Šie spiedieni būs mazākie (vienāds ar statisko), ja rotācijas ass ir galvenā inerces ass, kas iet caur ķermeņa masas centru.

• - ...

  Fiziskā enciklopēdija

• - ...

  Fiziskā enciklopēdija

• - skatiet Efferent...

  Lieliska psiholoģiskā enciklopēdija

• - atvērta plānsienu stieņa šķērsgriezuma ģeometriskais raksturlielums, kas vienāds ar elementāro šķērsgriezuma laukumu produktu summu ar sektoru laukumu kvadrātiem - sektora inerces moments -...

  Būvniecības vārdnīca

• - stieņa šķērsgriezuma ģeometriskais raksturlielums, kas vienāds ar sekcijas elementāro sekciju produktu summu ar to attāluma kvadrātiem līdz apskatāmajai asi - inerces moments - moments setrvačnosti - Trägheitsmoment -...

  Būvniecības vārdnīca

• - lielums, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī un kopā ar masu ir ķermeņa inerces mērs, kad tas nekustas. kustība. Ir aksiālais un centrbēdzes M. un. Aksiālais M. un. vienāds ar produktu summu...
• - galvenā, trīs savstarpēji perpendikulāras asis, kuras var izvilkt caur jebkuru televizora punktu. ķermeņi, kas atšķiras ar to, ka, ja šajā punktā fiksēts ķermenis tiek nodots rotācijai ap vienu no tiem, tad, ja nav...

  Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

• - ass cieta ķermeņa šķērsgriezuma plaknē, attiecībā pret kuru nosaka sekcijas inerces momentu - inerciālā os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inerciālā tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - ej...

  Būvniecības vārdnīca

• - brīdis, kad pircējam nosūtītās preces tiek uzskatītas par pārdotām...

  Enciklopēdiskā ekonomikas un tiesību vārdnīca

• - šo jēdzienu zinātnē ieviesa Eilers, lai gan Haigenss iepriekš bija lietojis tāda paša veida izteicienu, nedodot tam īpašu nosaukumu: viens no veidiem, kā tas tiek definēts, ir šāds...

  Brokhauza un Eifrona enciklopēdiskā vārdnīca

• - lielums, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī un kopā ar masu ir ķermeņa inerces mērs netranslācijas kustības laikā. Mehānikā izšķir mehānismus un aksiālais un centrbēdzes...
• - galvenās, trīs savstarpēji perpendikulāras asis, kas izvilktas caur kādu ķermeņa punktu, kurām ir tāda īpašība, ka, ja tās tiek ņemtas par koordinātu asis, tad ķermeņa centrbēdzes inerces momenti attiecībā pret ...

  Lielā padomju enciklopēdija

• - inerces reizinājums, viens no lielumiem, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī...

  Lielā padomju enciklopēdija

• - lielums, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī un kopā ar masu ir ķermeņa inerces mērs, kad tas nekustas. kustība. Ir aksiālie un centrbēdzes inerces momenti...
• - galvenā - trīs savstarpēji perpendikulāras asis, kuras var izvilkt caur jebkuru cieta ķermeņa punktu, kas raksturīgs ar to, ka, ja šajā punktā fiksēts ķermenis tiek nogādāts rotācijā ap vienu no tiem, tad...

  Liels enciklopēdiskā vārdnīca

• - ...

  Vārdu formas

"Centrbēdzes inerces moments" grāmatās

Pretēji inercei

No grāmatas Sfinksas 20. gs autors Petrovs Rems Viktorovičs

Pretēji inercei

No grāmatas Sfinksas 20. gs autors Petrovs Rems Viktorovičs

Pretēji inercei "Pēdējo divu desmitgažu laikā audu transplantāta atgrūšanas imunoloģiskais raksturs ir kļuvis vispārpieņemts, un visi atgrūšanas procesu aspekti ir stingri eksperimentāli kontrolēti." Leslija Brenta pirkstu nospiedumi Tātad uz jautājumu “Kas

Pēc inerces

No grāmatas Cik vērts ir cilvēks? Piedzīvoto stāsts 12 burtnīcās un 6 sējumos. autors

Pēc inerces

No grāmatas Cik vērts ir cilvēks? Desmit burtnīca: zem raktuves “spārna”. autors Kersnovskaja Evfrosinija Antonovna

Pēc inerces Lai novērtētu ainavu, jums ir jāskatās uz attēlu no zināma attāluma. Lai pareizi novērtētu notikumu, ir nepieciešama arī noteikta distance. Spēkā bija inerces likums. Kamēr Noriļsku sasniedza pārmaiņu gars, ilgi šķita, ka viss slīd līdzi

24.Inerces spēks

No grāmatas Ēteriskā mehānika autore Danina Tatjana

24. Inerces spēks Ēteris, ko izstaro inerciāli kustīgas daļiņas aizmugurējā puslode, ir inerces spēks. Šis inerciālais spēks ir ētera atgrūšanās, kas piepilda daļiņu ar paša izstaroto ēteri.Inerces spēka lielums ir proporcionāls emisijas ātrumam

3.3.1. Iegremdējamais centrbēdzes sūknis

No grāmatas Tavs santehniķis. Santehnikas valsts komunikācijas autors Kaškarovs Andrejs Petrovičs

3.3.1. Iegremdējamais centrbēdzes sūknis Šajā sadaļā apskatīsim iespēju ar iegremdējamo centrbēdzes sūkni NPTs-750. Avota ūdeni izmantoju no aprīļa līdz oktobrim. Es to sūknēju ar zemūdens centrbēdzes sūkni NPTs-750/5nk (pirmais cipars norāda enerģijas patēriņu vatos,

Aksiālais inerces moments ir vienāds ar elementāro laukumu reizinājumu summu un attāluma kvadrātu līdz atbilstošajai asij.

(8)

Zīme vienmēr ir "+".

Nevar būt vienāds ar 0.

Īpašums: Pieņem minimālo vērtību, kad koordinātu asu krustpunkts sakrīt ar griezuma smaguma centru.

Sekcijas aksiālais inerces moments tiek izmantots stiprības, stingrības un stabilitātes aprēķinos.

1.3. Posma polārais inerces moments Jρ

(9)

Saikne starp polārajiem un aksiālajiem inerces momentiem:

(10)

(11)

Sekcijas polārais inerces moments ir vienāds ar aksiālo momentu summu.

Īpašums:

Kad asis tiek pagrieztas jebkurā virzienā, viens no aksiālajiem inerces momentiem palielinās, bet otrs samazinās (un otrādi). Aksiālo inerces momentu summa paliek nemainīga.

1.4. Sekcijas Jxy centrbēdzes inerces moments

Sekcijas centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar elementārlaukumu un attālumu līdz abām asīm reizinājumu summu

(12)

Mērvienība [cm 4 ], [mm 4 ].

Pierakstiet "+" vai "-".

, ja koordinātu asis ir simetrijas asis (piemērs - I-staurs, taisnstūris, aplis), vai viena no koordinātu asīm sakrīt ar simetrijas asi (piemērs - kanāls).

Tādējādi simetriskām figūrām centrbēdzes inerces moments ir 0.

Koordinātu asis u Un v , kas iet caur sekcijas smaguma centru, ap kuru centrbēdzes moments ir vienāds ar nulli, sauc sekcijas galvenās centrālās inerces asis. Tos sauc par galvenajiem, jo ​​centrbēdzes moments attiecībā pret tiem ir nulle, un par centrālo, jo tie iet caur sekcijas smaguma centru.

Sadaļām, kas nav simetriski pret asīm x vai y piemēram, stūrī, nebūs vienāds ar nulli. Šīm sekcijām nosaka asu novietojumu u Un v aprēķinot asu griešanās leņķi x Un y

(13)

Centrbēdzes moments ap asīm u Un v -

Formula aksiālo inerces momentu noteikšanai attiecībā uz galvenajām centrālajām asīm u Un v :

(14)

Kur
- aksiālie inerces momenti attiecībā pret centrālajām asīm,

- centrbēdzes inerces moments attiecībā pret centrālajām asīm.

1.5. Inerces moments ap asi, kas ir paralēla centrālajai asij (Šteinera teorēma)

Šteinera teorēma:

Inerces moments ap asi, kas ir paralēla centrālajai asij, ir vienāds ar centrālo aksiālo inerces momentu plus visas figūras laukuma un attāluma starp asīm kvadrāta reizinājumu.

(15)

Šteinera teorēmas pierādījums.

Saskaņā ar att. 5 distance plkst uz elementāru vietu dF

Vērtības aizstāšana plkst formulā mēs iegūstam:

Jēdziens
, jo punkts C ir griezuma smaguma centrs (sk. šķērsgriezuma laukuma statisko momentu īpašību attiecībā pret centrālajām asīm).

Taisnstūrim ar augstumuh un platumsb :

Aksiālais inerces moments:

Liekšanas moments:

lieces pretestības moments ir vienāds ar inerces momenta attiecību pret visattālākās šķiedras attālumu no neitrālās līnijas:

jo
, Tas

Aplim:

Polārais inerces moments:

Aksiālais inerces moments:

Griezes moments:

Jo
, Tas

Liekšanas moments:

2. piemērs. Nosakiet taisnstūra šķērsgriezuma inerces momentu ap centrālo asi AR x .

Risinājums. Sadalīsim taisnstūra laukumu elementārajos taisnstūros ar izmēriem b (platums) un dy (augstums). Tad šāda taisnstūra laukums (nokrāsots 6. attēlā) ir vienāds ar dF=bdy. Aprēķināsim aksiālā inerces momenta vērtību Dž x

Pēc analoģijas mēs rakstām

- sekcijas aksiālais inerces moments attiecībā pret centrālo

Centrbēdzes inerces moments

, jo cirvji AR x un C y ir simetrijas asis.

Piemērs 3. Nosakiet riņķveida šķērsgriezuma polāro inerces momentu.

Risinājums. Sadalīsim apli bezgalīgi plānos biezuma gredzenos
rādiuss , šāda gredzena laukums
. Vērtības aizstāšana
Integrējot izteiksmē polārajam inerces momentam, iegūstam

Ņemot vērā apļveida sekcijas aksiālo momentu vienādību
Un

, saņemam

Gredzena aksiālie inerces momenti ir vienādi

Ar– izgriezuma diametra attiecība pret vārpstas ārējo diametru.

Lekcija Nr.2 “Galvenās asis ungalvenie punktiinerce

Apskatīsim, kā mainās inerces momenti, pagriežot koordinātu asis. Pieņemsim, ka ir doti noteikta posma inerces momenti attiecībā pret 0 asīm X, 0plkst(nav obligāti centrālais) - ,- sekcijas aksiālie inerces momenti. Nepieciešams noteikt ,- aksiālie momenti par asīm u,v, pagriezts attiecībā pret pirmo sistēmu par leņķi
(8. att.)

Tā kā lauztās līnijas OABC projekcija ir vienāda ar beigu līnijas projekciju, mēs atrodam:

(15)

Izslēgsim u un v inerces momentu izteiksmēs:

(18)

Apskatīsim pirmos divus vienādojumus. Saskaitot tos pēc termina, mēs iegūstam

Tādējādi aksiālo inerces momentu summa par divām savstarpēji perpendikulārām asīm nav atkarīga no leņķa
un paliek nemainīgs, kad asis tiek pagrieztas. Tajā pašā laikā atzīmēsim to

Kur - attālums no koordinātu sākuma līdz elementārajai vietai (skat. 5. att.). Tādējādi

Kur - jau pazīstamais polārais inerces moments:

Nosakīsim apļa aksiālo inerces momentu attiecībā pret diametru.

Tā kā simetrijas dēļ
bet, kā jūs zināt,

Tāpēc aplim

Mainot asu griešanās leņķi
momenta vērtības Un mainās, bet summa paliek nemainīga. Tāpēc ir tāda nozīme
, kurā viens no inerces momentiem sasniedz maksimālo vērtību, bet otrs moments iegūst minimālo vērtību. Izteiksmes diferencēšana pēc leņķa
un pielīdzinot atvasinājumu nullei, mēs atrodam

(19)

Pie šīs leņķa vērtības
viens no aksiālajiem momentiem būs lielākais, bet otrs - mazākais. Tajā pašā laikā centrbēdzes inerces moments
pazūd, ko var viegli pārbaudīt, pielīdzinot centrbēdzes inerces momenta formulu nullei
.

Asis, kurām centrbēdzes inerces moments ir nulle un aksiālie momenti iegūst galējās vērtības, sauc galvenaiscirvji. Ja tie ir arī centrālie (izcelsmes punkts sakrīt ar griezuma smaguma centru), tad tos sauc galvenās centrālās asis (u; v). Tiek saukti aksiālie inerces momenti attiecībā uz galvenajām asīm galvenie inerces momenti -Un

Un to vērtību nosaka pēc šādas formulas:

(20)

Plusa zīme atbilst maksimālajam inerces momentam, mīnus zīme - minimālajam.

Ir vēl viena ģeometriskā īpašība - griešanās rādiuss sadaļas. Šo vērtību bieži izmanto teorētiskajos secinājumos un praktiskos aprēķinos.

Piemēram, posma griešanās rādiuss attiecībā pret noteiktu asi 0 x , sauc par daudzumu , nosaka no vienlīdzības

(21)

F - šķērsgriezuma laukums,

- sekcijas aksiālais inerces moments,

No definīcijas izriet, ka griešanās rādiuss ir vienāds ar attālumu no ass 0 X līdz vietai, kurā (nosacīti) jākoncentrē šķērsgriezuma laukums F, lai šī viena punkta inerces moments būtu vienāds ar visa griezuma inerces momentu. Zinot sekcijas inerces momentu un tā laukumu, var atrast griešanās rādiusu attiecībā pret 0 asi X:

(22)

Tiek saukti griešanās rādiusi, kas atbilst galvenajām asīm galvenie inerces rādiusi un tiek noteiktas pēc formulām

(23)

Lekcija 3. Apļveida šķērsgriezuma stieņu vērpes.

Ja caur punktu O novelkam koordinātu asis, tad attiecībā uz šīm asīm centrbēdzes inerces momenti (vai inerces produkti) ir lielumi, kas noteikti ar vienādībām:

kur ir punktu masas; - to koordinātas; skaidrs, ka utt.

Cietiem ķermeņiem formulas (10) pēc analoģijas ar (5) iegūst formā

Atšķirībā no aksiālajiem, centrbēdzes inerces momenti var būt gan pozitīvi, gan negatīvi, un, jo īpaši, ar noteiktu asu izvēles veidu, tie var kļūt par nulli.

Galvenās inerces asis. Apskatīsim viendabīgu ķermeni, kam ir simetrijas ass. Nozīmēsim koordinātu asis Oxyz tā, lai ass būtu vērsta pa simetrijas asi (279. att.). Tad simetrijas dēļ katrs ķermeņa punkts ar masu mk un koordinātām atbildīs punktam ar atšķirīgu indeksu, bet ar vienādu masu un koordinātām, kas vienādas ar . Rezultātā mēs iegūstam, ka, tā kā šajās summās visi vārdi ir pa pāriem identiski pēc lieluma un pretēji zīmei; no šejienes, ņemot vērā vienādības (10), mēs atrodam:

Tādējādi simetriju masu sadalījumā attiecībā pret z asi raksturo divu centrbēdzes inerces momentu izzušana. Oza asi, kuras centrbēdzes inerces momenti, kuru indeksos ir šīs ass nosaukums, ir vienādi ar nulli, tiek saukta par ķermeņa galveno inerces asi punktam O.

No iepriekš minētā izriet, ka, ja ķermenim ir simetrijas ass, tad šī ass ir ķermeņa galvenā inerces ass jebkuram tā punktam.

Galvenā inerces ass ne vienmēr ir simetrijas ass. Aplūkosim viendabīgu ķermeni, kuram ir simetrijas plakne (279. attēlā ķermeņa simetrijas plakne ir plakne ). Uzzīmēsim šajā plaknē dažas asis un tām perpendikulāru asi, tad simetrijas dēļ katrs punkts ar masu un koordinātām atbildīs punktam ar tādu pašu masu un koordinātām, kas vienādas ar . Rezultātā, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, mēs atklājam, ka ass ir punkta O galvenā inerces ass. Tādējādi, ja ķermenim ir simetrijas plakne, tad jebkura ass, kas ir perpendikulāra šai plaknei, būs ķermeņa galvenā inerces ass punktam O, kurā ass krusto plakni.

Vienādības (11) izsaka nosacījumus, ka ass ir ķermeņa galvenā inerces ass punktam O (izcelsme).

Līdzīgi, ja tad Oy ass būs punkta O galvenā inerces ass. Tāpēc, ja visi centrbēdzes inerces momenti ir vienādi ar nulli, t.i.

tad katra no koordinātu asīm ir ķermeņa galvenā inerces ass punktam O (izcelsme).

Piemēram, attēlā. 279 visas trīs asis ir galvenās inerces asis punktam O (ass ir simetrijas ass, bet Ox un Oy asis ir perpendikulāras simetrijas plaknēm).

Ķermeņa inerces momentus attiecībā pret galvenajām inerces asīm sauc par ķermeņa galvenajiem inerces momentiem.

Galvenās inerces asis, kas konstruētas ķermeņa masas centram, sauc par galvenajām ķermeņa centrālajām inerces asīm. No iepriekš pierādītā izriet, ka, ja ķermenim ir simetrijas ass, tad šī ass ir viena no galvenajām ķermeņa inerces centrālajām asīm, jo ​​masas centrs atrodas uz šīs ass. Ja ķermenim ir simetrijas plakne, tad ass, kas ir perpendikulāra šai plaknei un iet caur ķermeņa masas centru, būs arī viena no galvenajām ķermeņa centrālajām inerces asīm.

Dotajos piemēros tika apskatīti simetriski ķermeņi, kas ir pietiekami, lai atrisinātu problēmas, ar kurām mēs saskarsimies. Taču var pierādīt, ka caur jebkuru jebkura ķermeņa punktu ir iespējams novilkt vismaz trīs savstarpēji perpendikulāras asis, kurām tiks izpildītas vienādības (11), t.i., kuras būs ķermeņa galvenās inerces asis šim punktam. .

Galvenās inerces asu jēdzienam ir liela nozīme stingra ķermeņa dinamikā. Ja pa tām ir vērstas koordinātu asis Oxyz, tad visi centrbēdzes inerces momenti pārvēršas uz nulli un attiecīgie vienādojumi vai formulas tiek būtiski vienkāršoti (sk. § 105, 132). Šis jēdziens ir saistīts arī ar uzdevumu risināšanu par rotējošo ķermeņu dinamisko vienādojumu (skat. § 136), par trieciena centru (sk. § 157) utt.