Dažreiz uzdevumos B15 ir "sliktas" funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas bija tikai zondēs, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties šim eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt.

Šajā gadījumā darbojas citi triki, no kuriem viens ir - monotoni.

Funkciju f (x) sauc par monotoni pieaugošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkciju f (x) sauc par monotoni samazinošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks ir x, jo lielāks ir f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo vairāk x , jo mazāk f(x).

Piemēram, logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmētiskā kvadrātsakne (un ne tikai kvadrātsakne) monotoni palielinās visā definīcijas jomā:

Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās, ja 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Visbeidzot, grādi ar negatīvu eksponentu. Jūs varat tos rakstīt kā daļu. Viņiem ir pārtraukuma punkts, kurā tiek pārtraukta monotonija.

Visas šīs funkcijas nekad nav atrodamas tīrā veidā. Tiem tiek pievienoti polinomi, daļskaitļi un citas muļķības, kuru dēļ ir grūti aprēķināt atvasinājumu. Kas notiek šajā gadījumā - tagad mēs analizēsim.

Parabolas virsotņu koordinātas

Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar kvadrātveida trinomāls formas y = ax 2 + bx + c . Tās grafiks ir standarta parabola, kas mūs interesē:

1. Parabolas zari — var iet uz augšu (> 0) vai uz leju (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolas virsotne ir kvadrātfunkcijas galējais punkts, kurā šī funkcija iegūst mazāko (ja > 0) vai lielāko (a< 0) значение.

Vislielākā interese ir parabolas augšdaļa, kuras abscisu aprēķina pēc formulas:

Tātad, mēs esam atraduši kvadrātiskās funkcijas galējo punktu. Bet, ja sākotnējā funkcija ir monotona, tai punkts x 0 būs arī galējais punkts. Tādējādi mēs formulējam galveno noteikumu:

Kvadrātveida trinoma ekstremālie punkti un sarežģīta funkcija, kurā tas nonāk, ir vienādi. Tāpēc kvadrātveida trinomālam varat meklēt x 0 un aizmirst par funkciju.

No iepriekš minētā sprieduma paliek neskaidrs, kādu punktu mēs iegūstam: maksimumu vai minimumu. Taču uzdevumi ir īpaši izstrādāti, lai tam nebūtu nozīmes. Spriediet paši:

1. Problēmas stāvoklī nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus;
2. Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski mutiski un bez jebkādiem atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risinājums ir ievērojami vienkāršots un samazināts līdz diviem soļiem:

1. Uzrakstiet parabolas vienādojumu y = ax 2 + bx + c un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: x 0 = −b /2a;
2. Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nav papildu nosacījumu, šī būs atbilde.

No pirmā acu uzmetiena šis algoritms un tā pamatojums var šķist sarežģīts. Es apzināti nepublicēju "pliku" risinājuma shēmu, jo šādu noteikumu nepārdomāta piemērošana ir pilna ar kļūdām.

Apskatīsim patiesās problēmas no izmēģinājuma eksāmens matemātikā - šeit šī tehnika notiek visbiežāk. Tajā pašā laikā mēs parūpēsimies, lai šādā veidā daudzas B15 problēmas kļūtu gandrīz verbālas.

Zem saknes ir kvadrātfunkcija y \u003d x 2 + 6x + 13. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a \u003d 1\u003e 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu, punktā x 0 \u003d −3, funkcija y \u003d x 2 + 6x + 13 iegūst mazāko vērtību.

Sakne monotoni pieaug, tāpēc x 0 ir visas funkcijas minimālais punkts. Mums ir:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Tātad punktā x 0 = −1 kvadrātiskā funkcija iegūst mazāko vērtību. Bet funkcija y = log 2 x ir monotona, tāpēc:

y min = y (-1) = log 2 ((-1) 2 + 2 (-1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponents ir kvadrātfunkcija y = 1 − 4x − x 2 . Pārrakstīsim to normālā formā: y = −x 2 − 4x + 1.

Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, kas sazarojas uz leju (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Sākotnējā funkcija ir eksponenciāla, tā ir monotona, tāpēc lielākā vērtība būs atrastajā punktā x 0 = −2:

Uzmanīgs lasītājs noteikti pamanīs, ka mēs neesam izrakstījuši saknes un logaritma pieļaujamo vērtību apgabalu. Bet tas nebija vajadzīgs: iekšpusē ir funkcijas, kuru vērtības vienmēr ir pozitīvas.

Sekas no funkcijas darbības jomas

Dažreiz, lai atrisinātu uzdevumu B15, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vēlamā vērtība var būt segmenta beigās, bet ne galējā punktā. Ja uzdevumā segments vispār nav norādīts, skatiet pielaides diapazons oriģinālā funkcija. Proti:

Vēlreiz pievērsiet uzmanību: nulle var būt zem saknes, bet nekad nav logaritmā vai daļskaitļa saucējā. Apskatīsim, kā tas darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību:

Zem saknes atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d 3 - 2x - x 2. Tās grafiks ir parabola, bet sazarojas uz leju, jo a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Mēs izrakstām pieļaujamo vērtību apgabalu (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Tagad atrodiet parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkts x 0 = −1 pieder ODZ segmentam - un tas ir labi. Tagad mēs ņemam vērā funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos:

y(−3) = y(1) = 0

Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielāko - tas ir skaitlis 2.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritma iekšpusē ir kvadrātiskā funkcija y \u003d 6x - x 2 - 5. Šī ir parabola ar zariem uz leju, bet logaritmā nevar būt negatīvi skaitļi, tāpēc mēs izrakstām ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tādā veidā logaritms atšķiras no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi.

Meklē parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolas augšdaļa iederas gar ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, mēs ņemam vērā funkcijas vērtību tikai punktā x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Ļaujiet funkcijai y=f(X) nepārtraukts intervālā [ a, b]. Kā zināms, šāda funkcija šajā intervālā sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Funkcija var ņemt šīs vērtības vai nu segmenta iekšējā punktā [ a, b] vai uz segmenta robežas.

Lai atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības intervālā [ a, b] nepieciešams:

1) atrodiet funkcijas kritiskos punktus intervālā ( a, b);

2) aprēķina funkcijas vērtības atrastajos kritiskajos punktos;

3) aprēķina funkcijas vērtības segmenta galos, tas ir, par x=A un x = b;

4) no visām aprēķinātajām funkcijas vērtībām izvēlieties lielāko un mazāko.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

segmentā.

Kritisko punktu atrašana:

Šie punkti atrodas segmenta iekšpusē; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

punktā x= 3 un punktā x= 0.

Funkcijas izliekuma un lēciena punkta izpēte.

Funkcija y = f (x) sauca izliekta starp (a, b) , ja tā grafiks atrodas zem pieskares, kas novilkta jebkurā šī intervāla punktā, un tiek izsaukta izliekta uz leju (ieliekta) ja tā grafiks atrodas virs pieskares.

Tiek saukts pārejas punkts, caur kuru izliekums tiek aizstāts ar ieliekumu vai otrādi lēciena punkts.

Algoritms izliekuma un lēciena punkta izpētei:

1. Atrodiet otrā veida kritiskos punktus, tas ir, punktus, kuros otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

2. Ievietojiet kritiskos punktus uz skaitļu līnijas, sadalot to intervālos. Atrodi katrā intervālā otrā atvasinājuma zīmi; ja , tad funkcija ir izliekta uz augšu, ja, tad funkcija ir izliekta uz leju.

3. Ja, ejot cauri otra veida kritiskajam punktam, tas maina zīmi un šajā punktā otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad šis punkts ir lēciena punkta abscisa. Atrodi tās ordinātas.

Funkcijas grafika asimptotes. Funkcijas izpēte asimptotos.

Definīcija. Funkcijas grafika asimptoti sauc taisni, kam ir tāda īpašība, ka attālumam no jebkura grafika punkta līdz šai līnijai ir tendence uz nulli, neierobežoti noņemot grafika punktu no sākuma.

Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli un slīpi.

Definīcija. Tiešais zvans vertikālā asimptote funkciju grafiks y = f(x), ja vismaz viena no funkcijas vienpusējām robežām šajā punktā ir vienāda ar bezgalību, tas ir

kur ir funkcijas pārtraukuma punkts, tas ir, tā neietilpst definīcijas jomā.

Piemērs.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - lūzuma punkts.

Definīcija. Taisni y=A sauca horizontālā asimptote funkciju grafiks y = f(x) pie , ja

Piemērs.

x
y

Definīcija. Taisni y=kx +b (k≠ 0) tiek izsaukts slīps asimptote funkciju grafiks y = f(x) kur

Vispārīga shēma funkciju izpētei un uzzīmēšanai.

Funkciju izpētes algoritmsy = f(x) :

1. Atrodiet funkcijas domēnu D (y).

2. Atrodiet (ja iespējams) grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm (ar x= 0 un plkst y = 0).

3. Izpētiet pāra un nepāra funkcijas ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritāte; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nepāra).

4. Atrodiet funkcijas grafa asimptotus.

5. Atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6. Atrodiet funkcijas galējību.

7. Atrodiet funkcijas grafika izliekuma (ieliekuma) un lēciena punktu intervālus.

8. Pamatojoties uz veikto pētījumu, sastādiet funkcijas grafiku.

Piemērs. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

1) D (y) =

x= 4 - lūzuma punkts.

2) Kad x = 0,

(0; – 5) – krustošanās punkts ar oi.

Plkst y = 0,

3) y(‒ x)= vispārējā funkcija (ne pāra, ne nepāra).

4) Mēs izmeklējam asimptotus.

a) vertikāli

b) horizontāli

c) atrast slīpi asimptotus kur

‒slīpu asimptotu vienādojums

5) Šajā vienādojumā nav nepieciešams atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6)

Šie kritiskie punkti sadala visu funkcijas domēnu intervālā (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) un (10; +∞). Iegūtos rezultātus ir ērti attēlot šādas tabulas veidā:

				bez papildus.

No tabulas var redzēt, ka punkts X= ‒2‒maksimālais punkts, punktā X= 4‒ bez galējībām, X= 10 – minimālais punkts.

Aizvietojiet vērtību (‒ 3) vienādojumā:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Šīs funkcijas maksimums ir

(– 2; – 4) – maksimālais ekstrēms.

Šīs funkcijas minimums ir

(10; 20) ir minimālais ekstrēmums.

7) pārbauda funkcijas grafika izliekuma un lēciena punktu

Apskatīsim, kā izpētīt funkciju, izmantojot grafiku. Izrādās, ka, aplūkojot grafiku, jūs varat uzzināt visu, kas mūs interesē, proti:

• funkciju darbības joma
• funkciju diapazons
• funkciju nulles
• pieauguma un samazināšanās periodi
• augstie un zemākie punkti
• segmenta funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Precizēsim terminoloģiju:

Abscisa ir punkta horizontālā koordināte.
Ordināta- vertikālā koordināte.
abscisa- horizontālā ass, ko visbiežāk sauc par asi.
Y ass- vertikālā ass vai ass.

Arguments ir neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas funkcijas vērtības. Visbiežāk norādīts.
Citiem vārdiem sakot, mēs paši izvēlamies , aizstājam funkcijas formulā un iegūstam .

Domēns funkcijas - to (un tikai to) argumenta vērtību kopa, kurai funkcija pastāv.
Apzīmēts: vai .

Mūsu attēlā funkcijas domēns ir segments. Tieši šajā segmentā tiek uzzīmēts funkcijas grafiks. Tikai šeit šī funkcija pastāv.

Funkciju diapazons ir vērtību kopa, ko iegūst mainīgais. Mūsu attēlā tas ir segments - no zemākās līdz augstākajai vērtībai.

Funkcijas nulles- punkti, kuros funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli, t.i., . Mūsu attēlā šie ir punkti un .

Funkcijas vērtības ir pozitīvas kur . Mūsu attēlā tie ir intervāli un .
Funkciju vērtības ir negatīvas kur . Mums ir šis intervāls (vai intervāls) no līdz.

Vissvarīgākie jēdzieni - funkciju palielināšana un samazināšana kādā komplektā. Kā kopu varat ņemt segmentu, intervālu, intervālu savienību vai visu skaitļu līniju.

Funkcija palielinās

Citiem vārdiem sakot, jo vairāk , jo vairāk , tas ir, grafiks iet pa labi un uz augšu.

Funkcija samazinās uz kopas, ja kādai un piederot kopai, nevienlīdzība nozīmē nevienlīdzību.

Samazinošai funkcijai lielāka vērtība atbilst mazākai vērtībai. Grafiks iet pa labi un uz leju.

Mūsu attēlā funkcija palielinās uz intervālu un samazinās uz intervāliem un .

Definēsim, kas ir funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

Maksimālais punkts- šis ir definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir lielāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Citiem vārdiem sakot, maksimālais punkts ir tāds punkts, funkcijas vērtība, kurā vairāk nekā kaimiņos. Šis diagrammā ir vietējais "kalns".

Mūsu attēlā - maksimālais punkts.

Zemais punkts- definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir mazāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Tas ir, minimālais punkts ir tāds, ka funkcijas vērtība tajā ir mazāka nekā blakus esošajās. Diagrammā tas ir vietējais “caurums”.

Mūsu attēlā - minimālais punkts.

Punkts ir robeža. Viņa nav iekšējais punkts definīcijas jomā un tāpēc neatbilst maksimālā punkta definīcijai. Galu galā viņai nav kaimiņu kreisajā pusē. Tādā pašā veidā mūsu diagrammā nevar būt minimālā punkta.

Maksimālais un minimālais punktu skaits tiek saukti kopā funkcijas galējie punkti. Mūsu gadījumā tas ir un .

Bet ko darīt, ja jums ir jāatrod, piemēram, funkcijas minimums uz griezuma? Šajā gadījumā atbilde ir: Jo funkcijas minimums ir tā vērtība minimālajā punktā.

Tāpat mūsu funkcijas maksimums ir . Tas tiek sasniegts punktā.

Var teikt, ka funkcijas galējības ir vienādas ar un .

Dažreiz uzdevumos jums ir jāatrod funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā segmentā. Tie ne vienmēr sakrīt ar galējībām.

Mūsu gadījumā mazākā funkcijas vērtība uz intervāla ir vienāds ar funkcijas minimumu un sakrīt ar to. Bet tā lielākā vērtība šajā segmentā ir vienāda ar . Tas tiek sasniegts segmenta kreisajā galā.

Jebkurā gadījumā lielākās un mazākās vērtības nepārtraukta funkcija segmentā tiek sasniegti vai nu galējos punktos, vai segmenta galos.

Un, lai to atrisinātu, jums ir nepieciešamas minimālas zināšanas par tēmu. Nākamais akadēmiskais gads, visi vēlas doties atvaļinājumā, un, lai tuvinātu šo brīdi, es nekavējoties ķeros pie lietas:

Sāksim ar apgabalu. Nosacījumā minētā teritorija ir ierobežots slēgts punktu kopums plaknē. Piemēram, punktu kopa, ko ierobežo trīsstūris, ieskaitot VISU trīsstūri (ja no robežas“Izbāzt” vismaz vienu punktu, tad zona vairs netiks slēgta). Praksē ir arī taisnstūra, apaļu un nedaudz sarežģītāku formu apgabali. Jāatzīmē, ka matemātiskās analīzes teorijā ir dotas stingras definīcijas ierobežojumi, izolācija, robežas utt., bet es domāju, ka visi ir informēti par šiem jēdzieniem intuitīvā līmenī, un vairāk tagad nav vajadzīgs.

Plakano laukumu parasti apzīmē ar burtu , un parasti to norāda analītiski - ar vairākiem vienādojumiem (nav obligāti lineāra); retāk nevienlīdzības. Tipisks verbāls apgrozījums: "slēgta zona, ko ierobežo līnijas".

Neatņemama sastāvdaļa Apskatāmais uzdevums ir laukuma izveidošana uz zīmējuma. Kā to izdarīt? Ir jānozīmē visas uzskaitītās līnijas (šajā gadījumā 3 taisni) un analizēt notikušo. Vēlamais laukums parasti ir viegli izsvītrots, un tā robeža tiek iezīmēta ar treknu līniju:


Var iestatīt to pašu laukumu lineārās nevienādības: , kas nez kāpēc biežāk tiek rakstīti kā uzskaitījumu saraksts, nevis sistēma.
Tā kā robeža pieder reģionam, tad visas nevienlīdzības, protams, nav stingri.

Un tagad lietas būtība. Iedomājieties, ka ass iet tieši uz jums no koordinātu sākuma. Apsveriet funkciju, kas nepārtraukts katrā apgabala punkts. Šīs funkcijas grafiks ir virsmas, un mazā laime ir tā, ka, lai atrisinātu šodienas problēmu, mums vispār nav jāzina, kā šī virsma izskatās. Tas var atrasties virs, zemāk, šķērsot plakni - tas viss nav svarīgi. Un svarīgi ir sekojošais: saskaņā ar Veierštrāsa teorēmas, nepārtraukts V ierobežots slēgts zonā, funkcija sasniedz maksimumu (no "augstākajiem") un vismazāk (no "zemākā") vērtības, kas jāatrod. Šīs vērtības tiek sasniegtas vai V stacionāri punkti, kas pieder reģionamD , vai punktos, kas atrodas uz šī reģiona robežas. No tā izriet vienkāršs un pārskatāms risinājuma algoritms:

1. piemērs

Ierobežotā, slēgtā teritorijā

Risinājums: Pirmkārt, zīmējumā ir jāattēlo laukums. Diemžēl man ir tehniski sarežģīti izveidot problēmas interaktīvo modeli, tāpēc uzreiz došu beigu ilustrāciju, kurā redzami visi pētījuma laikā atrastie "aizdomīgie" punkti. Parasti tos noliek vienu pēc otra, kad tie tiek atrasti:

Pamatojoties uz preambulu, lēmumu var ērti sadalīt divos punktos:

I) Atradīsim stacionārus punktus. Šī ir standarta darbība, ko esam vairākkārt veikuši nodarbībā. par vairāku mainīgo galējībām:

Atrasts stacionārs punkts pieder apgabali: (atzīmējiet to zīmējumā), kas nozīmē, ka mums jāaprēķina funkcijas vērtība noteiktā punktā:

- kā rakstā Segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības, svarīgos rezultātus izcelšu treknrakstā. Piezīmju grāmatiņā ir ērti tos apvilkt ar zīmuli.

Pievērsiet uzmanību mūsu otrajai laimei - nav jēgas pārbaudīt pietiekams nosacījums ekstremitātei. Kāpēc? Pat tad, ja funkcija sasniedz, piemēram, vietējais minimums, tad tas NENOZĪMĒ, ka iegūtā vērtība būs minimāls visā reģionā (skat. nodarbības sākumu par beznosacījuma galējībām) .

Ko darīt, ja stacionārais punkts NAV pieder apgabalam? Gandrīz nekā! Jāatzīmē, ka un pārejiet uz nākamo punktu.

II) Mēs pētām reģiona robežu.

Tā kā apmale sastāv no trijstūra malām, pētījumu ir ērti sadalīt 3 apakšpunktos. Bet labāk to nedarīt jebkurā gadījumā. Manā skatījumā sākumā izdevīgāk ir aplūkot nogriežņus paralēli koordinātu asīm un pirmām kārtām tos, kas atrodas uz pašām asīm. Lai uztvertu visu darbību secību un loģiku, mēģiniet izpētīt beigas "vienā elpas vilcienā":

1) Tiksim galā ar trijstūra apakšējo malu. Lai to izdarītu, mēs tieši aizstājam funkciju:

Alternatīvi varat to izdarīt šādi:

Ģeometriski tas nozīmē, ka koordinātu plakne (ko arī dod vienādojums)"izgriezt" no virsmas"telpiskā" parabola, kuras virsotne uzreiz nonāk aizdomās. Noskaidrosim kur viņa ir:

- iegūtā vērtība "trāpīja" apgabalā, un tas var būt, ka punktā (atzīmē zīmējumā) funkcija sasniedz lielāko vai mazāko vērtību visā apgabalā. Jebkurā gadījumā veiksim aprēķinus:

Citi "kandidāti", protams, ir segmenta gali. Aprēķiniet funkcijas vērtības punktos (atzīmē zīmējumā):

Šeit, starp citu, varat veikt mutisku mini-pārbaudi "noņemtajai" versijai:

2) Pētījumiem labā puse mēs funkcijā aizstājam trīsstūri un “sakārtojam lietas”:

Šeit mēs nekavējoties veicam aptuvenu pārbaudi, “iezvanot” jau apstrādāto segmenta galu:
, Lieliski.

Ģeometriskā situācija ir saistīta ar iepriekšējo punktu:

- iegūtā vērtība arī “iekļuva mūsu interešu lokā”, kas nozīmē, ka mums ir jāaprēķina, ar ko funkcija ir vienāda parādītajā punktā:

Apskatīsim segmenta otro galu:

Izmantojot funkciju , pārbaudīsim:

3) Ikviens droši vien zina, kā izpētīt atlikušo pusi. Mēs aizstājam funkciju un veicam vienkāršojumus:

Līnija beidzas jau ir izmeklēti, bet uz melnraksta vēl pārbaudām, vai funkciju atradām pareizi :
– sakrita ar 1. apakšpunkta rezultātu;
– sakrita ar 2.apakšpunkta rezultātu.

Atliek noskaidrot, vai segmentā ir kaut kas interesants:

- Tur ir! Aizvietojot vienādojumā taisnu līniju, mēs iegūstam šīs “interesantās” ordinātas:

Mēs atzīmējam punktu zīmējumā un atrodam atbilstošo funkcijas vērtību:

Kontrolēsim aprēķinus pēc "budžeta" varianta :
, pasūtījums.

Un pēdējais solis: UZMANĪGI apskatiet visus "resnos" skaitļus, pat iesācējiem iesaku izveidot vienu sarakstu:

no kuriem izvēlamies lielāko un mazāko vērtību. Atbilde rakstiet atrašanas problēmas stilā segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības:

Katram gadījumam komentēšu vēlreiz. ģeometriskā nozīme rezultāts:
– šeit ir reģiona augstākais virsmas punkts;
- šeit ir virsmas zemākais punkts apgabalā.

Analizētajā problēmā mēs atradām 7 “aizdomīgus” punktus, taču to skaits ir atšķirīgs atkarībā no uzdevuma. Trīsstūrveida reģionam minimālā "izpētes kopa" sastāv no trim punktiem. Tas notiek, piemēram, kad funkcija tiek iestatīta lidmašīna- ir pilnīgi skaidrs, ka nav stacionāru punktu, un funkcija var sasniegt maksimālās / minimālās vērtības tikai trīsstūra virsotnēs. Bet vienreiz, otrreiz tādu piemēru nav - parasti ar kaut kādām jātiek galā 2. kārtas virsma.

Ja šādus uzdevumus risina nedaudz, tad trijstūri var likt galvai griezties, un tāpēc esmu sagatavojis jums neparastus piemērus, lai tas būtu kvadrātveida :))

2. piemērs

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību slēgtā zonā, ko ierobežo līnijas

3. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības ierobežotā slēgtā apgabalā.

Pievērsiet īpašu uzmanību apgabala robežu izpētes racionālajai kārtībai un tehnikai, kā arī starppārbaužu ķēdei, kas gandrīz pilnībā ļaus izvairīties no skaitļošanas kļūdām. Vispārīgi runājot, jūs varat to atrisināt, kā jums patīk, bet dažās problēmās, piemēram, tajā pašā 2. piemērā, ir visas iespējas ievērojami sarežģīt jūsu dzīvi. Aptuvens piemērs uzdevumu pabeigšanai nodarbības beigās.

Atrisinājuma algoritmu sistematizējam, citādi ar manu zirnekļa centību tas kaut kā pazuda garā 1.piemēra komentāru pavedienā:

- Pirmajā solī mēs izveidojam laukumu, vēlams to noēnot un izcelt apmali ar biezu līniju. Risinājuma laikā parādīsies punkti, kas jāuzliek uz zīmējuma.

– Atrodiet stacionārus punktus un aprēķiniet funkcijas vērtības tikai tajos, kas pieder apgabalam . Iegūtās vērtības tekstā tiek izceltas (piemēram, apvilktas ar zīmuli). Ja stacionārais punkts NAV pieder apgabalam, tad atzīmējam šo faktu ar ikonu vai mutiski. Ja stacionāru punktu vispār nav, tad izdarām rakstisku secinājumu, ka to nav. Jebkurā gadījumā šo vienumu nevar izlaist!

– Pierobežas zonas izpēte. Pirmkārt, ir izdevīgi rīkoties ar taisnēm, kas ir paralēlas koordinātu asīm (ja tādas ir). Tiek izceltas arī funkciju vērtības, kas aprēķinātas "aizdomīgos" punktos. Par risinājuma tehniku ​​augstāk ir runāts daudz un tālāk tiks teikts kas cits - lasiet, pārlasiet, iedziļinieties!

- No atlasītajiem skaitļiem atlasiet lielāko un mazāko vērtību un sniedziet atbildi. Dažreiz gadās, ka funkcija sasniedz šādas vērtības vairākos punktos vienlaikus - šajā gadījumā atbildē ir jāatspoguļo visi šie punkti. Ļaujiet, piemēram, un izrādījās, ka šī ir mazākā vērtība. Tad mēs to rakstām

Pēdējie piemēri ir veltīti citiem noderīgas idejas praksē noderīgi:

4. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības slēgtā apgabalā .

Esmu saglabājis autora formulējumu, kurā laukums dots kā dubultnevienādība. Šo nosacījumu šai problēmai var uzrakstīt līdzvērtīgā sistēmā vai tradicionālākā formā:

Es jums atgādinu, ka ar nelineārs mēs saskārāmies ar nevienlīdzību, un, ja jūs nesaprotat ieraksta ģeometrisko nozīmi, lūdzu, nekavējieties un noskaidrojiet situāciju jau tagad ;-)

Risinājums, kā vienmēr, sākas ar teritorijas apbūvi, kas ir sava veida "zole":

Hmm, reizēm jāgrauž ne tikai zinātnes granīts...

I) Atrodiet stacionāros punktus:

Idiotu sapņu sistēma :)

Stacionārais punkts pieder reģionam, proti, atrodas uz tā robežas.

Un tā, tas nekas... jautra nodarbība pagāja – lūk, ko nozīmē dzert pareizo tēju =)

II) Mēs pētām reģiona robežu. Sāksim ar x asi:

1) Ja , tad

Atrodiet, kur atrodas parabolas augšdaļa:
- Novērtējiet šādus momentus - "sitiet" tieši uz punktu, no kura viss jau ir skaidrs. Bet neaizmirstiet pārbaudīt:

Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

2) Ar “zoles” apakšējo daļu tiksim galā “vienā sēdē” - bez jebkādiem kompleksiem to aizstājam funkcijā, turklāt mūs interesēs tikai segments:

Kontrole:

Tagad tas jau atdzīvina monotonu braucienu pa rievotu trasi. Atradīsim kritiskos punktus:

Mēs izlemjam kvadrātvienādojums vai tu atceries šo? ... Tomēr atcerieties, protams, pretējā gadījumā jūs nebūtu lasījis šīs rindas =) Ja divos iepriekšējos piemēros aprēķini decimāldaļdaļās bija ērti (kas, starp citu, ir reti), tad šeit mēs gaidām kā parasti parastās frakcijas. Mēs atrodam “x” saknes un, izmantojot vienādojumu, nosakām atbilstošās “kandidāta” punktu “spēles” koordinātas:


Aprēķināsim funkcijas vērtības atrastajos punktos:

Pārbaudiet funkciju pats.

Tagad rūpīgi izpētām izcīnītās trofejas un pierakstām atbildi:

Šeit ir "kandidāti", tātad "kandidāti"!

Atsevišķam risinājumam:

5. piemērs

Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību slēgtā zonā

Ieraksts ar cirtainiem lencēm skan šādi: “punktu kopums tāds, ka”.

Dažreiz šādos piemēros viņi izmanto Lagranža reizinātāja metode, taču reāla vajadzība to izmantot diez vai radīsies. Tā, piemēram, ja ir dota funkcija ar tādu pašu apgabalu "de", tad pēc aizstāšanas tajā - ar atvasinājumu bez grūtībām; turklāt viss ir sastādīts “vienā rindā” (ar zīmēm) bez nepieciešamības atsevišķi aplūkot augšējo un apakšējo pusloku. Bet, protams, ir sarežģītāki gadījumi, kur bez Lagrange funkcijas (kur, piemēram, ir tas pats riņķa vienādojums) grūti iztikt - cik grūti iztikt bez kārtīgas atpūtas!

Visu to labāko, lai izturētu sesiju un uz drīzu tikšanos nākamajā sezonā!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums: uzzīmējiet laukumu uz zīmējuma:

Šajā rakstā es runāšu par algoritms lielākās un mazākās vērtības atrašanai funkcija, minimālie un maksimālie punkti.

No teorijas mums noteikti vajadzēs atvasinājumu tabula Un diferenciācijas noteikumi. Tas viss ir šajā dēlī:

Algoritms lielāko un mazāko vērtību atrašanai.

Man šķiet vieglāk izskaidrot ar konkrētu piemēru. Apsveriet:

Piemērs: Atrodiet funkcijas y=x^5+20x^3–65x lielāko vērtību segmentā [–4;0].

1. darbība. Mēs ņemam atvasinājumu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. darbība Ekstrēmu punktu atrašana.

galējais punkts mēs nosaucam punktus, kuros funkcija sasniedz maksimālo vai minimālo vērtību.

Lai atrastu galējos punktus, funkcijas atvasinājums ir jāpielīdzina nullei (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Tagad mēs atrisinām šo bikvadrātisko vienādojumu, un atrastās saknes ir mūsu galējie punkti.

Es atrisinu šādus vienādojumus, aizstājot t = x^2, tad 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Samaziniet vienādojumu par 5, iegūstam: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 — 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadrāts (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadrāts (196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Mēs veicam apgriezto aizstāšanu x^2 = t:

X_(1 un 2) = ± kvadrāts (1) = ±1
x_(3 un 4) = ±sqrt(-13) (izslēdzam, zem saknes nevar būt negatīvi skaitļi, ja vien mēs, protams, nerunājam par kompleksajiem skaitļiem)

Kopā: x_(1) = 1 un x_(2) = -1 - tie ir mūsu ekstrēma punkti.

3. darbība Nosakiet lielāko un mazāko vērtību.

Aizvietošanas metode.

Stāvoklī mums tika dots segments [b][–4;0]. Punkts x=1 nav iekļauts šajā segmentā. Tāpēc mēs to neuzskatām. Bet papildus punktam x=-1 mums jāņem vērā arī mūsu segmenta kreisā un labā robeža, tas ir, punkti -4 un 0. Lai to izdarītu, mēs visus šos trīs punktus aizstājam ar sākotnējo funkciju. Ņemiet vērā, ka sākotnējais ir tas, kas norādīts nosacījumā (y=x^5+20x^3–65x), daži sāk aizstāt ar atvasinājumu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tas nozīmē, ka funkcijas maksimālā vērtība ir [b]44 un tā tiek sasniegta punktos [b]-1, ko sauc par funkcijas maksimālo punktu segmentā [-4; 0].

Nolēmām un saņēmām atbildi, esam lieliski, varat atpūsties. Bet stop! Vai jums nešķiet, ka y(-4) skaitīšana ir kaut kā pārāk sarežģīta? Ierobežota laika apstākļos labāk ir izmantot citu metodi, es to saucu šādi:

Caur noturības intervāliem.

Šīs nepilnības tiek atrastas funkcijas atvasinājumam, tas ir, mūsu bikvadrātiskajam vienādojumam.

Es to daru šādā veidā. Es zīmēju virziena līniju. Es uzstādīju punktus: -4, -1, 0, 1. Neskatoties uz to, ka 1 nav iekļauts dotajā segmentā, tas joprojām ir jāņem vērā, lai pareizi noteiktu noturības intervālus. Ņemsim kādu skaitli, kas daudzkārt lielāks par 1, teiksim 100, prātīgi aizvietosim to mūsu bikvadrātiskajā vienādojumā 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Pat neskaitot neko, kļūst skaidrs, ka punktā 100 funkcijai ir pluszīme. Tas nozīmē, ka intervāliem no 1 līdz 100 tam ir plus zīme. Izejot cauri 1 (ejam no labās puses uz kreiso), funkcija mainīs zīmi uz mīnusu. Izejot caur punktu 0, funkcija saglabās savu zīmi, jo tā ir tikai segmenta robeža, nevis vienādojuma sakne. Pārejot cauri -1, funkcija atkal mainīs zīmi uz plusu.

No teorijas mēs zinām, ka kur atrodas funkcijas atvasinājums (un mēs to uzzīmējām) maina zīmi no plusa uz mīnusu (mūsu gadījumā punkts -1) funkcija sasniedz tā vietējais maksimums (y(-1)=44, kā aprēķināts iepriekš)šajā segmentā (tas ir loģiski ļoti skaidrs, funkcija ir pārstājusi palielināties, jo tā sasniedza maksimumu un sāka samazināties).

Attiecīgi, ja funkcijas atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, sasniegts funkcijas lokālais minimums. Jā, jā, mēs atradām arī lokālo minimālo punktu, kas ir 1, un y(1) ir funkcijas minimālā vērtība intervālā, teiksim no -1 līdz +∞. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tas ir tikai LOKĀLAIS MINIMUMS, tas ir, minimums noteiktā segmentā. Tā kā faktiskā (globālā) minimuma funkcija sasniegs kaut kur tur, -∞.

Manuprāt, pirmā metode ir teorētiski vieglāka, bet otrā ir vieglāka aritmētiskās darbības, bet teorijas ziņā daudz grūtāk. Galu galā dažreiz ir gadījumi, kad funkcija nemaina zīmi, izejot cauri vienādojuma saknei, un patiešām jūs varat sajaukt ar šiem lokālajiem, globālajiem maksimumiem un minimumiem, lai gan, ja plānojat, tas būs labi jāapgūst. iestāties tehniskajā augstskolā (un kāpēc gan vēl kārtot profila eksāmenu un risināt šo uzdevumu). Bet prakse un tikai prakse iemācīs, kā šādas problēmas atrisināt vienreiz un uz visiem laikiem. Un jūs varat trenēties mūsu vietnē. Šeit .

Ja jums ir kādi jautājumi vai kaut kas nav skaidrs, noteikti jautājiet. Ar prieku jums atbildēšu un veiksim izmaiņas, papildinājumus rakstā. Atcerieties, ka mēs veidojam šo vietni kopā!