Sergejs Ņikiforovs
Ja funkcijas atvasinājums uz intervāla ir ar nemainīgu zīmi, un pati funkcija ir nepārtraukta uz tās robežām, tad robežpunkti tiek piesaistīti gan pieaugošam, gan dilstošam intervālam, kas pilnībā atbilst pieaugošo un samazinošo funkciju definīcijai.
Farits Jamajevs 26.10.2016 18:50
Sveiki. Kā (uz kāda pamata) var apgalvot, ka punktā, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, funkcija palielinās. Norādiet iemeslus. Citādi tā ir tikai kāda cilvēka iegriba. Pēc kādas teorēmas? Un arī pierādījums. Paldies.
Atbalsts
Atvasinājuma vērtība punktā nav tieši saistīta ar funkcijas palielināšanos intervālā. Apsveriet, piemēram, funkcijas - tās visas palielinās segmentā
Vladlens Pisarevs 02.11.2016 22:21
Ja funkcija pieaug intervālā (a;b) un ir definēta un nepārtraukta punktos a un b, tad tā palielinās segmentā . Tie. dotajā intervālā ir iekļauts punkts x=2.
Lai gan, kā likums, pieaugums un samazinājums tiek uzskatīts nevis par segmentu, bet gan uz intervālu.
Bet pašā punktā x=2 funkcijai ir lokālais minimums. Un kā izskaidrot bērniem, ka tad, kad viņi meklē pieauguma (samazināšanās) punktus, tad mēs neskaitām lokālā ekstrēma punktus, bet tie ieiet pieauguma (samazināšanās) intervālos.
Ņemot vērā, ka pirmais eksāmena daļa Priekš " vidējā grupa bērnudārzs", tad varbūt šādas nianses ir par daudz.
Atsevišķi liels paldies par "eksāmenu atrisināšu" visiem darbiniekiem - izcilam ceļvedim.
Sergejs Ņikiforovs
Vienkāršu skaidrojumu var iegūt, ja sākam no pieaugošas/samazinošas funkcijas definīcijas. Atgādināšu, ka tas izklausās šādi: funkciju sauc par intervāla palielināšanu/samazināšanu, ja lielākais funkcijas arguments atbilst lielākai/mazākai funkcijas vērtībai. Šāda definīcija nekādā veidā neizmanto atvasinājuma jēdzienu, tāpēc nevar rasties jautājumi par punktiem, kur atvasinājums pazūd.
Irina Išmakova 20.11.2017 11:46
Labdien. Šeit komentāros redzu uzskatus, ka robežas jāiekļauj. Pieņemsim, ka es tam piekrītu. Bet paskatieties, lūdzu, savu risinājumu uzdevumam 7089. Tur, norādot pieauguma intervālus, robežas netiek iekļautas. Un tas ietekmē reakciju. Tie. uzdevumu 6429 un 7089 risinājumi ir pretrunā viens otram. Lūdzu, precizējiet šo situāciju.
Aleksandrs Ivanovs
Uzdevumos 6429 un 7089 ir pilnīgi atšķirīgi jautājumi.
Vienā ir pieauguma intervāli, bet otrā ir intervāli ar pozitīvu atvasinājumu.
Nav nekādu pretrunu.
Ekstrēmi tiek iekļauti pieauguma un samazinājuma intervālos, bet punkti, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, neietilpst intervālos, kuros atvasinājums ir pozitīvs.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolēģi, pastāv jēdziens palielināt vienā punktā
(skatiet, piemēram, Fichtenholtz)
un jūsu izpratne par pieaugumu punktā x=2 ir pretrunā ar klasisko definīciju.
Palielināšana un samazināšana ir process, un es gribētu pieturēties pie šī principa.
Jebkurā intervālā, kurā ir punkts x=2, funkcija nepalielinās. Tāpēc iekļaušana dots punkts x=2 ir īpašs process.
Parasti, lai izvairītos no neskaidrībām, intervālu galu iekļaušana tiek teikta atsevišķi.
Aleksandrs Ivanovs
Funkciju y=f(x) sauc par pieaugošu kādā intervālā, ja lielākā argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākajai funkcijas vērtībai.
Punktā x = 2 funkcija ir diferencējama, un intervālā (2; 6) atvasinājums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka uz intervāla . Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu šajā segmentā.
Atbrīvosimies no nevajadzīgas informācijas - atstāsim tikai robežas [−5; 5] un atvasinājuma nulles x = −3 un x = 2,5. Ņemiet vērā arī zīmes:
Acīmredzot punktā x = −3 atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Tas ir minimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu šajā segmentā.
Pārzīmēsim grafiku, atstājot tikai robežas [−3; 7] un atvasinājuma nulles x = −1,7 un x = 5. Ievērojiet atvasinājuma zīmes iegūtajā grafikā. Mums ir:
Acīmredzot punktā x = 5 atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu - tas ir maksimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−6; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu, kas pieder intervālam [−4; 3].
No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka pietiek ņemt vērā tikai to grafa daļu, ko ierobežo segments [−4; 3]. Tāpēc veidojam jaunu grafiku, uz kura iezīmējam tikai robežas [−4; 3] un tajā esošā atvasinājuma nulles. Proti, punkti x = −3,5 un x = 2. Iegūstam:
Šajā grafikā ir tikai viens maksimālais punkts x = 2. Tieši tajā atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu.
Neliela piezīme par punktiem ar koordinātām, kas nav veseli skaitļi. Piemēram, pēdējā uzdevumā tika aplūkots punkts x = −3,5, bet ar tādiem pašiem panākumiem mēs varam ņemt x = −3,4. Ja problēma ir pareizi formulēta, šādām izmaiņām nevajadzētu ietekmēt atbildi, jo punkti "bez noteiktas dzīvesvietas" nav tieši iesaistīti problēmas risināšanā. Protams, ar veseliem skaitļiem šāds triks nedarbosies.
Funkcijas palielināšanas un samazināšanās intervālu atrašana
Šādā uzdevumā, tāpat kā maksimuma un minimuma punkti, tiek piedāvāts no atvasinājuma grafika atrast apgabalus, kuros pati funkcija palielinās vai samazinās. Vispirms definēsim, kas ir augošais un dilstošais:
- Funkciju f(x) sauc par segmentā pieaugošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Citiem vārdiem sakot, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir funkcijas vērtība.
- Funkciju f(x) sauc par segmentā samazinošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
Mēs formulējam pietiekamus nosacījumus palielināšanai un samazināšanai:
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) palielinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir pozitīvs, t.i. f'(x) ≥ 0.
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) samazinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir negatīvs, t.i. f'(x) ≤ 0.
Mēs pieņemam šos apgalvojumus bez pierādījumiem. Tādējādi mēs iegūstam pieauguma un samazinājuma intervālu atrašanas shēmu, kas daudzējādā ziņā ir līdzīga ekstremālo punktu aprēķināšanas algoritmam:
- Noņemiet visu lieko informāciju. Sākotnējā atvasinājuma grafikā mūs galvenokārt interesē funkcijas nulles, tāpēc mēs atstājam tikai tās.
- Atzīmējiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Ja f'(x) ≥ 0, funkcija palielinās, un kur f'(x) ≤ 0, tā samazinās. Ja problēmai ir ierobežojumi mainīgajam x, mēs tos papildus atzīmējam jaunajā diagrammā.
- Tagad, kad mēs zinām funkcijas darbību un ierobežojumu, atliek aprēķināt nepieciešamo vērtību uzdevumā.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7.5]. Atrodiet dilstošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu summu.
Kā parasti, mēs pārzīmējam grafiku un atzīmējam robežas [−3; 7.5], kā arī atvasinājuma x = −1,5 un x = 5,3 nulles. Pēc tam atzīmējam atvasinājuma zīmes. Mums ir:
Tā kā atvasinājums ir negatīvs intervālā (− 1,5), tas ir dilstošās funkcijas intervāls. Atliek summēt visus veselos skaitļus, kas atrodas šajā intervālā:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−10; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu.
Atbrīvosimies no liekās informācijas. Mēs atstājam tikai robežas [−10; 4] un atvasinājuma nulles, kas šoreiz izrādījās četras: x = −8, x = −6, x = −3 un x = 2. Atzīmē atvasinājuma zīmes un iegūsti šādu attēlu:
Mūs interesē pieaugošās funkcijas intervāli, t.i. kur f'(x) ≥ 0. Grafikā ir divi šādi intervāli: (−8; −6) un (−3; 2). Aprēķināsim to garumus:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Tā kā ir jāatrod lielākā intervāla garums, atbildē rakstām vērtību l 2 = 5.
