Šajā rakstā mēs aplūkosim plaknes taisnes parametrisko vienādojumu. Sniegsim taisnes parametriskā vienādojuma konstruēšanas piemērus, ja ir zināmi divi šīs taisnes punkti vai ir zināms viens punkts un šīs taisnes virziena vektors. Iesniegsim metodes vienādojuma pārveidošanai parametriskā formā kanoniskā un vispārīgā formā.

Taisnes parametru vienādojums L plaknē tiek attēlots ar šādu formulu:

kur x 1 , y 1 kāda punkta koordinātas M 1 uz taisnas līnijas L... Vektors q={m, lpp) ir līnijas virziena vektors L, t- kāds parametrs.

Ņemiet vērā, ka rakstot taisnes vienādojumu parametriskā formā, taisnes virzošais vektors nedrīkst būt nulles vektors, tas ir, vismaz viena virzošā vektora koordināte. q nedrīkst būt nulle.

Lai izveidotu taisni uz plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā, kas noteikta ar parametru vienādojumu (1), pietiek ar parametra iestatīšanu t divas dažādas vērtības, aprēķiniet x un y un novelciet taisnu līniju caur šiem punktiem. Plkst t= 0 mums ir punkts M 1 (x 1 , y 1) plkst t= 1, mēs iegūstam punktu M 2 (x 1 +m, y 1 +lpp).

Sastādīt plaknes taisnes parametrisku vienādojumu L pietiek ar punktu uz taisnes L un taisnes vai divu punktu, kas pieder pie taisnes, virziena vektors L... Pirmajā gadījumā, lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, vienādojumā (1) jāievieto punkta koordinātas un virziena vektors. Otrajā gadījumā vispirms ir jāatrod taisnes virziena vektors q={m, lpp), aprēķinot punktu atbilstošo koordinātu atšķirības M 1 un M 2: m=x 2 −x 1 , lpp=y 2 −y 1 (1. att.). Tālāk, līdzīgi kā pirmajā gadījumā, viena punkta koordinātas (nav svarīgi, kurš) aizstāj ar virziena vektoru. q taisna līnija iekšā (1).

Piemērs 1. Taisne iet caur punktu M= (3, −1) un tam ir virziena vektors q= (- 3, 5). Izveidojiet taisnes parametrisko vienādojumu.

Risinājums. Lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, mēs aizstājam punkta koordinātas un virziena vektoru vienādojumā (1):

Vienkāršosim iegūto vienādojumu:

No izteiksmēm (3) mēs varam pierakstīt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē:

Novietojiet šo taisnās līnijas vienādojumu kanoniskajā formā.

Risinājums: izsakiet parametru t caur mainīgajiem x un y:

(5)

No izteiksmēm (5) mēs varam rakstīt.

Taisnes parametru vienādojumi ir elementāri iegūti no šīs taisnes kanoniskā vienādojuma, kuram ir forma. Ņemsim par parametru vērtību, ar kuru var reizināt kanoniskā vienādojuma kreiso un labo pusi.

Tā kā viens no saucējiem noteikti nav nulle un atbilstošais skaitītājs var iegūt jebkuras vērtības, parametru variācijas diapazons ir visa reālo skaitļu ass:.

Mēs saņemsim vai beidzot

Vienādojumi (1) ir meklētie taisnes parametru vienādojumi. Šos vienādojumus var interpretēt mehāniski. Ja pieņemam, ka parametrs ir laiks, kas mērīts no kāda sākuma momenta, tad parametru vienādojumi nosaka kustības likumu materiālais punkts taisnā līnijā ar nemainīgu ātrumu (šāda kustība notiek pēc inerces).

1. piemērs. Uzrakstiet parametru vienādojumus uz plaknes taisnei, kas iet caur punktu un kurai ir virziena vektors.

Risinājums. Mēs aizstājam doto punktu un virziena vektoru (1) un iegūstam:

Bieži vien uzdevumos ir nepieciešams pārveidot taisnes parametriskos vienādojumus cita veida vienādojumos un no cita veida vienādojumiem iegūt taisnes parametriskos vienādojumus. Apskatīsim dažus no šiem piemēriem. Pārveidot taisnas līnijas parametriskos vienādojumus par līnijas vispārējais vienādojums vispirms tie jāsamazina līdz kanoniskajai formai un pēc tam no kanoniskā vienādojuma jāiegūst vispārīgais līnijas vienādojums

2. piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu

vispār.

Risinājums. Pirmkārt, taisnās līnijas parametriskos vienādojumus ievietojam kanoniskajā vienādojumā:

Papildu transformācijas vienādojumu veido vispārējā formā:

Ir nedaudz grūtāk pārveidot vispārējo vienādojumu taisnas līnijas parametriskajos vienādojumos, taču šai darbībai varat izveidot skaidru algoritmu. Vispirms varat pārvērst vispārējo vienādojumu uz slīpuma vienādojums un atrast no tā punkta koordinātas, kas pieder pie taisnes, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Kad ir zināmas punkta koordinātas un virziena vektors (no vispārējā vienādojuma), var uzrakstīt taisnes parametriskos vienādojumus.

3. piemērs. Pierakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametrisku vienādojumu veidā.

Risinājums. Mēs ievietojam taisnas līnijas vispārējo vienādojumu vienādojumā ar slīpumu:

Atrodiet kāda taisnei piederoša punkta koordinātas. Piešķirsim vienai no punkta koordinātām patvaļīgu vērtību

No taisnes vienādojuma ar slīpumu mēs iegūstam citu punkta koordinātu:

Tādējādi mēs zinām punkta un virziena vektoru. Mēs aizstājam to datus (1) un iegūstam vajadzīgos taisnes parametru vienādojumus:

4. piemērs. Atrodiet ar parametru vienādojumu doto taisnes slīpumu

Risinājums. Taisnas līnijas parametriskie vienādojumi vispirms ir jāpārveido kanoniskajā, tad vispārīgajā un, visbeidzot, vienādojumā ar slīpumu.

Tādējādi dotās līnijas slīpums ir:

5. piemērs. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu un ir perpendikulāra taisnei

Ļaujiet l- dažas taisnas telpas līnijas. Tāpat kā planimetrijā, jebkurš vektors

a = / = 0, kolineārs taisns l tiek saukts virziena vektorsšī taisnā līnija.

Taisnes pozīciju telpā pilnībā nosaka, norādot virziena vektoru un punktu, kas pieder pie taisnes.

Lai tas ir taisni l ar virziena vektoru a iet caur punktu M 0, un M ir patvaļīgs telpas punkts. Acīmredzot punkts M (197. att.) pieder pie taisnes l tad un tikai tad, ja vektors \ (\ virslabā bultiņa (M_0 M) \) ir kolineārs pret vektoru a , t.i.

\ (\ augšējā labā bultiņa (M_0 M) \) = t a , t\ (\ in \) R. (1)

Ja punkti M un M 0 ir doti ar to rādiusa vektoriem r un r 0 (198. att.) attiecībā pret kādu telpas punktu O, tad \ (\ augšējā bultiņa (M_0 M) \) = r - r 0, un vienādojums (1) iegūst formu

r = r 0 + t a , t\ (\ in \) R. (2)

Vienādojumus (1) un (2) sauc taisnes vektora parametru vienādojumi. Mainīgs t vektoru parametru vienādojumos līniju sauc parametrs.

Lai punkts M 0 ir taisne l un virziena vektoru a nosaka ar to koordinātām:

M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0), a = (a 1 ; a 2 ; a 3).

Tad ja ( X; y; z) - taisnes patvaļīga punkta M koordinātas l, tad

\ (\ augšējā labā bultiņa (M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

un vektora vienādojums (1) ir līdzvērtīgs šādiem trim vienādojumiem:

x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \ sākums (gadījumi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t \ in R \ end (gadījumi) (3) $$

Vienādojumus (3) sauc taisnes parametru vienādojumi kosmosā.

1. mērķis. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu

M 0 (-3; 2; 4) un kam ir virziena vektors a = (2; -5; 3).

Šajā gadījumā X 0 = -3, plkst 0 = 2, z 0 = 4; a 1 = 2; a 2 = -5; a 3 = 3. Aizvietojot šīs vērtības formulās (3), mēs iegūstam šīs taisnes parametriskos vienādojumus

$$ \ sākums (gadījumi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\; \; t \ in R \ end (gadījumi) $$

Izslēgsim parametru t no vienādojumiem (3). To var izdarīt kopš a = / = 0, un tāpēc viena no vektora koordinātām a ir zināms, ka tas atšķiras no nulles.

Pirmkārt, lai visas koordinātas nav nulle. Tad

$$ t = \ frac (x-x_0) (a_1), \; \; t = \ frac (y-y_0) (a_2), \; \; t = \ frac (z-z_0) (a_3) $$

un tāpēc

$$ \ frac (x-x_0) (a_1) = \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \; \; (4) $$

Šos vienādojumus sauc taisnes kanoniskie vienādojumi .

Ņemiet vērā, ka vienādojumi (4) veido divu vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem x, y un z.

Ja vienādojumos (3) viena no vektora koordinātām a , Piemēram a 1 ir vienāds ar nulli, tad, izņemot parametru t, mēs atkal iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem x, y un z:

\ (x = x_0, \; \; \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

Šos vienādojumus sauc arī par kanoniskajiem līniju vienādojumiem. Konsekvences labad tie parasti tiek rakstīti formā (4)

\ (\ frac (x-x_0) (0) = \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

pieņemot, ka, ja saucējs ir nulle, tad arī atbilstošais skaitītājs ir nulle. Šie vienādojumi ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0) paralēli koordinātu plakne yOz, jo šī plakne ir paralēla tās virziena vektoram (0; a 2 ; a 3).

Visbeidzot, ja vienādojumos (3) divas vektora koordinātas a , Piemēram a 1 un a 2 ir vienādi ar nulli, tad šie vienādojumi iegūst formu

X = X 0 , y = plkst 0 , z = z 0 + t a 3 , t\ (\ in \) R.

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 ; z 0) paralēli asij Oz... Par tādu taisnu līniju X = X 0 , y = plkst 0, a z- jebkurš skaitlis. Un šajā gadījumā vienveidības labad taisnās līnijas vienādojumus var uzrakstīt (ar tādu pašu atrunu) formā (4)

\ (\ frac (x-x_0) (0) = \ frac (y-y_0) (0) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

Tādējādi jebkurai taisnai telpai var uzrakstīt kanoniskos vienādojumus (4) un, gluži pretēji, jebkuru formas (4) vienādojumu ar nosacījumu, ka vismaz viens no koeficientiem a 1 , a 2 , a 3 nav vienāds ar nulli, norāda kādu taisnu telpas līniju.

2. mērķis. Uzrakstiet kanoniskos vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu M 0 (- 1; 1, 7) paralēli vektoram a = (1; 2; 3).

Vienādojumus (4) šajā gadījumā raksta šādi:

\ (\ frac (x + 1) (1) = \ frac (y-1) (2) = \ frac (z-7) (3) \)

Atvasināsim vienādojumus taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M 2 ( X 2 ; plkst 2 ; z 2). Acīmredzot šīs līnijas virziena vektoram mēs varam ņemt vektoru a = (X 2 - X 1 ; plkst 2 - plkst 1 ; z 2 - z 1), un aiz punkta М 0, caur kuru taisne iet, piemēram, punkts M 1. Tad vienādojumi (4) tiks uzrakstīti šādi:

\ (\ frac (x-x_1) (x_2 - x_1) = \ frac (y-y_1) (y_2 - y_1) = \ frac (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M 2 ( X 2 ; plkst 2 ;z 2).

3. mērķis. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (-4; 1; -3) un M 2 (-5; 0; 3).

Šajā gadījumā X 1 = -4, plkst 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, plkst 2 = 0, z 2 = 3. Šīs vērtības aizstājot formulās (5), mēs iegūstam

\ (\ frac (x + 4) (- 1) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z + 3) (6) \)

4. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (3; -2; 1) un

M 2 (5; -2; 1/2).

Pēc punktu M 1 un M 2 koordināšu aizstāšanas vienādojumos (5), iegūstam

\ (\ frac (x-3) (2) = \ frac (y + 2) (0) = \ frac (z-1) (- \ frac (1) (2)) \)

Lai taisne iet caur punktu M1 (x1, y1, z1) un ir paralēla vektoram (m, n, l). Izveidosim šīs taisnes vienādojumu.

Paņemiet patvaļīgu punktu M (x, y, z) uz šīs taisnes un atrodiet sakarību starp x, y, z. Konstruēsim vektoru

Vektori ir kolineāri.

- taisnas līnijas kanoniskais vienādojums telpā.

44 Taisnes parametru vienādojumi

Jo šo vienādojumu apmierina jebkura taisnes punkta koordinātas, tad iegūtais vienādojums ir taisnes parametrisks vienādojums.

Šo vektora vienādojumu var attēlot koordinātu formā:

Pārveidojot šo sistēmu un pielīdzinot parametra t vērtības, mēs iegūstam taisnas līnijas kanoniskos vienādojumus telpā:

Definīcija. Taisnās līnijas virziena kosinusi ir vektora virziena kosinusi, kurus var aprēķināt pēc formulām:

No šejienes mēs iegūstam: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Skaitļus m, n, p sauc par līnijas slīpumiem. Tā kā tas nav nulles vektors, tad m, n un p nevar vienlaikus būt nulle, bet viens vai divi no šiem skaitļiem var būt nulle. Šajā gadījumā taisnās līnijas vienādojumā attiecīgie skaitītāji ir jāpielīdzina nullei.

45 Taisnes līnijas vienādojums telpā, kas iet caur diviem dažādiem dotiem punktiem.

Analītiskā ģeometrija

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

Ļaujiet M1 (x1y1) un M2 (x2y2) dot uz plaknes. Sastādīsim kanonisko vienādojumu taisnei, kas iet caur šiem diviem punktiem, kā virziena vektoru S mēs ņemam M1M2

trijotne.

Šis ir taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotajiem punktiem (x1 y1) un (x2, y2)

Tagad mēs pievēršamies līnijas un plaknes vienādojumiem telpā.

Analītiskā ģeometrija 3-dimensiju telpā

Līdzīgi kā divdimensiju gadījumā, jebkurš pirmās pakāpes vienādojums attiecībā uz trim mainīgajiem lielumiem x, y, z ir plaknes vienādojums telpā Oxyz .. Plaknes vispārējais vienādojums АX + ВY + СZ + D = 0, kur vektors N = (A, B, C) ir plaknes normāls. Kanoniskais vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M (x0, y0, z0) un kurai ir normāls N (A, B, C) A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0 — tas apzīmē šo vienādojumu?

Vērtības x –x0, y – y0 un z –z0 ir starpība starp pašreizējā punkta un fiksētā punkta koordinātām. Tāpēc vektors a (x-x 0, y-y0, z-z0) ir vektors, kas atrodas aprakstītajā plaknē, un vektors N ir vektors, kas ir perpendikulārs plaknei, kas nozīmē, ka tie ir perpendikulāri viens otram.

Tad to punktu reizinājumam jābūt vienādam ar nulli.

Koordinātu formā (N, a) = 0 izskatās šādi:

A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0

Telpā ir vektoru labās un kreisās puses tripleti. Ne-kopplanāru vektoru a, b, c tripletu sauc par labo, ja novērotājs no to kopīgās izcelsmes vektoru a, b, c galu šķērsošanu norādītajā secībā šķiet veikts pulksteņrādītāja virzienā. Citādi gadījums a, b, c- pa kreisi.

46 Leņķis starp līnijām telpā

Leņķis starp taisnēm telpā tiks saukts par jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un. Tā kā tad saskaņā ar formulu leņķa kosinusam starp vektoriem mēs iegūstam

Divu taisnu līniju paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumiem un:

Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja tām atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l1 ir paralēla l2 tad un tikai tad, ja tā ir paralēla .

Divas taisnes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli:.

Atrodiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktu М1 (1; 2; 3), kas ir paralēla taisnei l1:

Tā kā meklētā taisne l ir paralēla l1, tad taisnes l1 virziena vektoru var uzskatīt par meklējamās taisnes l virziena vektoru.