Rakstā aplūkots veselo skaitļu dalīšanas jēdziens ar atlikumu. Pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu un pārbaudīsim sakarības starp dividendēm un dalītājiem, nepilnajiem koeficientiem un atlikumiem. Apsvērsim noteikumus, kad tiek veikta veselu skaitļu sadalīšana ar atlikumiem, detalizēti apsverot piemērus. Risinājuma beigās mēs veiksim pārbaudi.

Izpratne par veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumiem

Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu tiek uzskatīta par vispārinātu dalīšanu ar naturālo skaitļu atlikumu. Tas tiek darīts, jo naturālie skaitļi ir komponents vesels.

Dalīšana ar patvaļīga skaitļa atlikušo daļu nozīmē, ka vesels skaitlis a dalās ar skaitli b, kas nav nulle. Ja b = 0, tad atlikumu dalīšana netiek veikta.

Kā arī naturālu skaitļu dalīšanu ar atlikumu, veselo skaitļu a un b dalīšanu, ja b atšķiras no nulles, veic c un d. Šajā gadījumā a un b sauc par dividendi un dalītāju, un d ir dalījuma atlikums, c ir vesels skaitlis vai nepilnīgs koeficients.

Ja pieņemam, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis, tad tā vērtība nav lielāka par skaitļa b moduli. Rakstīsim šādi: 0 ≤ d ≤ b. Šo nevienādību ķēdi izmanto, salīdzinot 3 vai vairāk skaitļus.

Ja c ir nepilnīgs koeficients, tad d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar b atlikums, varat īsi izlabot: a: b = c (atlikušais d).

Atlikums, dalot skaitļus a ar b, ir iespējams nulle, tad viņi saka, ka a dalās ar b pilnībā, tas ir, bez atlikuma. Dalīšana bez atlikuma tiek uzskatīta par īpašu sadalīšanas gadījumu.

Ja mēs dalām nulli ar kādu skaitli, mēs iegūstam nulli. Atlikušais sadalījums arī būs nulle. To var izsekot teorijā par nulles dalīšanu ar veselu skaitli.

Tagad apskatīsim veselo skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi.

Ir zināms, ka pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli, tad, dalot ar atlikumu, iegūst tādu pašu nozīmi kā dalot naturālus skaitļus ar atlikumu.

Ja negatīvu veselu skaitli a dalot ar pozitīvu veselu skaitli b, ir jēga. Apskatīsim piemēru. Iedomājoties situāciju, kad mums ir priekšmetu parāds par summu a, kas jāatmaksā b cilvēkiem. Tas prasa, lai visi sniegtu vienādu ieguldījumu. Lai noteiktu parāda summu katram, jums jāpievērš uzmanība privāto s. Atlikušais d saka, ka ir zināms vienību skaits pēc parādu nomaksas.

Ņemsim piemēru ar āboliem. Ja 2 cilvēkiem vajag 7 ābolus. Ja rēķina, ka katram jāatdod 4 āboli, pēc pilna aprēķina būs 1 ābols. Rakstīsim to vienādības formā: (- 7): 2 = - 4 (o ar punktu 1).

Jebkura skaitļa a dalīšanai ar veselu skaitli nav jēgas, taču tas ir iespējams kā opcija.

Dalāmības teorēma veseliem skaitļiem ar atlikumu

Mēs noskaidrojām, ka a ir dividende, tad b ir dalītājs, c ir nepilnīgs koeficients un d ir atlikums. Tie ir saistīti viens ar otru. Mēs parādīsim šo savienojumu, izmantojot vienādību a = b c + d. Saikni starp tiem raksturo atlikumu dalāmības teorēma.

Teorēma

Jebkuru veselu skaitli var attēlot tikai ar veselu skaitli un skaitli, kas nav nulles skaitlis, šādā veidā: a = b q + r, kur q un r ir daži veseli skaitļi. Šeit mums ir 0 ≤ r ≤ b.

Pierādīsim a = b q + r pastāvēšanas iespējamību.

Pierādījums

Ja ir divi skaitļi a un b, un a dalās ar b bez atlikuma, tad no definīcijas izriet, ka ir skaitlis q, kas būs patiess vienādība a = b q. Tad vienādību var uzskatīt par patiesu: a = b q + r, ja r = 0.

Tad jāņem q tāds, kas dots ar nevienādību b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Mums ir, ka izteiksmes a - b q vērtība ir lielāka par nulli un nav lielāka par skaitļa b vērtību, no tā izriet, ka r = a - b q. Iegūstam, ka skaitli a var attēlot kā a = b q + r.

Tagad ir jāapsver iespēja attēlot a = b q + r negatīvām b vērtībām.

Skaitļa modulis izrādās pozitīvs, tad iegūstam a = b q 1 + r, kur vērtība q 1 ir kāds vesels skaitlis, r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Unikalitātes pierādījums

Pieņemsim, ka a = bq + r, q un r ir veseli skaitļi ar patieso nosacījumu 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 un r 1 ir daži skaitļi, kur q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Ja nevienādību atņem no kreisās un labās puses, tad iegūstam 0 = b · (q - q 1) + r - r 1, kas ir ekvivalents r - r 1 = b · q 1 - q. Tā kā tiek izmantots modulis, mēs iegūstam vienādību r - r 1 = b q 1 - q.

Dotais nosacījums saka, ka 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q un q 1- turklāt veseli skaitļi q ≠ q 1, tad q 1 - q ≥ 1. Tādējādi mēs iegūstam, ka b q 1 - q ≥ b. Rezultātā iegūtās nevienādības r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

No tā izriet, ka skaitli a nevar attēlot citādi, kā vien ar šādu apzīmējumu a = b q + r.

Attiecība starp dividendi, dalītāju, nepilnīgo koeficientu un atlikumu

Izmantojot vienādību a = b c + d, jūs varat atrast nezināmo dividendi a, ja zināt dalītāju b ar nepilnu koeficientu c un atlikumu d.

1. piemērs

Nosakiet dividendi, ja dalījumā iegūstam - 21, nepilno koeficientu 5 un atlikumu 12.

Risinājums

Nepieciešams aprēķināt dividendi a ar zināmu dalītāju b = - 21, nepilno koeficientu c = 5 un atlikumu d = 12. Mums ir jāvēršas pie vienādības a = b c + d, no kuras mēs iegūstam a = (- 21) 5 + 12. Ievērojot darbību secību, mēs reizinām - 21 ar 5, pēc tam iegūstam (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.

Atbilde: - 93 .

Saikni starp dalītāju un nepilnīgo koeficientu un atlikumu var izteikt, izmantojot vienādības: b = (a - d): c, c = (a - d): b un d = a - b c. Ar viņu palīdzību mēs varam aprēķināt dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Tas nozīmē, ka pēc vesela skaitļa a dalīšanas ar b ar zināmu dividendi, dalītāju un nepilnīgo koeficientu tiek pastāvīgi atrasts atlikums. Formulu piemēro d = a - b c. Apsvērsim risinājumu sīkāk.

2. piemērs

Atrodiet atlikušo daļu, dalot veselu skaitli - 19 ar veselu skaitli 3 ar zināmu nepilnīgo koeficientu, kas vienāds ar - 7.

Risinājums

Lai aprēķinātu dalījuma atlikušo daļu, izmantojiet formulu formā d = a - b · c. Pēc nosacījuma visi dati ir pieejami a = - 19, b = 3, c = - 7. No šejienes mēs iegūstam d = a - b c = - 19 - 3 veselu negatīvu skaitli.

Atbilde: 2 .

Visi pozitīvie veselie skaitļi ir dabiski. No tā izriet, ka dalīšana tiek veikta saskaņā ar visiem dalīšanas noteikumiem ar naturālo skaitļu atlikumu. Dalīšanas ātrums ar atlikušajiem naturālajiem skaitļiem ir svarīgs, jo uz to balstās ne tikai pozitīvo skaitļu dalīšana, bet arī noteikumi par patvaļīgu veselu skaitļu dalīšanu.

Ērtākā dalīšanas metode ir kolonna, jo ir vieglāk un ātrāk iegūt nepilnu vai tikai koeficientu ar atlikumu. Apskatīsim risinājumu sīkāk.

3. piemērs

Sadaliet 14671 ar 54.

Risinājums

Šis dalījums jāveic kolonnā:

Tas ir, nepilnīgais koeficients ir 271, bet atlikums ir 37.

Atbilde: 14 671: 54 = 271. (37. pietura)

Noteikums dalīšanai ar pozitīva vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri

Lai veiktu dalīšanu ar pozitīvā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, ir jāformulē noteikums.

1. definīcija

Nepilnīgs koeficients, dalot pozitīvu veselu skaitli a ar negatīvu veselu skaitli b, mēs iegūstam skaitli, kas ir pretējs nepilnīgajam koeficientam, dalot skaitļu a absolūtās vērtības ar b. Tad atlikums ir vienāds ar atlikumu, kad a tiek dalīts ar b.

Līdz ar to mums ir tāds, ka nepilnīgais koeficients, kas dala veselu pozitīvo skaitli ar veselu negatīvu skaitli, tiek uzskatīts par nepozitīvu veselu skaitli.

Mēs iegūstam algoritmu:

• dalāmā moduli dalām ar dalītāja moduli, tad iegūstam nepilnu koeficientu un
• atlikums;
• pierakstām pretējo numuru saņemtajam.

Apskatīsim algoritma piemēru pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli.

4. piemērs

Sadaliet ar atlikumu 17 ar -5.

Risinājums

Pielietosim dalīšanas algoritmu ar pozitīvā veselā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Ir nepieciešams sadalīt 17 ar - 5 modulo. No šejienes mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients ir vienāds ar 3, bet atlikums ir vienāds ar 2.

Mēs iegūstam nepieciešamo skaitli, dalot 17 ar - 5 = - 3 ar atlikumu 2.

Atbilde: 17: (- 5) = - 3 (pārējais 2).

5. piemērs

Sadaliet 45 ar - 15.

Risinājums

Ir nepieciešams sadalīt skaitļus modulo. Sadaliet skaitli 45 ar 15, iegūstam koeficientu 3 bez atlikuma. Tas nozīmē, ka skaitlis 45 dalās ar 15 bez atlikuma. Atbildē mēs saņemam - 3, jo sadalīšana tika veikta modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Atbilde: 45: (− 15) = − 3 .

Sadalīšanas noteikuma formulējums ar atlikumu ir šāds.

2. definīcija

Lai iegūtu nepilnu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvo b, jāpiemēro dotā skaitļa pretējs un no tā jāatņem 1, tad atlikums d tiks aprēķināts pēc formulas: d = a - b · c.

Pamatojoties uz noteikumu, varam secināt, ka dalot mēs iegūstam nenegatīvu veselu skaitli. Risinājuma precizitātei tiek izmantots algoritms a dalīšanai ar b ar atlikumu:

• atrast dividendes un dalītāja moduļus;
• sadalīt modulo;
• pierakstiet pretējo skaitli un atņemiet 1;
• izmantojiet formulu atlikumam d = a - b c.

Apskatīsim risinājuma piemēru, kur tiek izmantots šis algoritms.

6. piemērs

Atrodiet nepilnīgo koeficientu un dalījuma atlikušo daļu - 17 ar 5.

Risinājums

Sadaliet dotos skaitļus modulo. Mēs to iegūstam, dalot koeficientu 3, bet atlikums ir 2. Tā kā mums ir 3, pretējais ir 3. Jums jāatņem 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Mēs iegūstam vēlamo vērtību, kas vienāda ar - 4.

Lai aprēķinātu atlikumu, jums ir nepieciešams a = - 17, b = 5, c = - 4, tad d = a - b c = - 17 - 5 (- 4) = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3.

Tas nozīmē, ka dalīšanas nepilnīgais koeficients ir skaitlis - 4 ar atlikumu, kas vienāds ar 3.

Atbilde:(- 17): 5 = - 4 (pārējais. 3).

7. piemērs

Sadaliet negatīvo veselo skaitli 1404 ar pozitīvo 26.

Risinājums

Ir nepieciešams sadalīt ar kolonnu un mūli.

Mēs saņēmām skaitļu absolūto vērtību dalījumu bez atlikuma. Tas nozīmē, ka dalīšana tiek veikta bez atlikuma, un vēlamais koeficients = - 54.

Atbilde: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Dalīšanas noteikums ar negatīvo veselo skaitļu atlikumu, piemēri

Ir nepieciešams formulēt dalīšanas noteikumu ar negatīvo veselo skaitļu atlikumu.

3. definīcija

Lai iegūtu nepilnu koeficientu c no negatīva vesela skaitļa a dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli b, ir jāveic aprēķini modulo, tad jāsaskaita 1, tad varam veikt aprēķinus, izmantojot formulu d = a - b · c.

No tā izriet, ka nepilnīgais koeficients no negatīvo veselo skaitļu dalījuma būs pozitīvs skaitlis.

Formulēsim šo noteikumu algoritma veidā:

• atrast dividendes un dalītāja moduļus;
• dalāmā moduli dala ar dalītāja moduli, lai iegūtu nepilnu koeficientu ar
• atgādinājums;
• nepilnajam koeficientam pievienojot 1;
• aprēķinot atlikumu, pamatojoties uz formulu d = a - b · c.

Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot piemēru.

8. piemērs

Atrodiet nepilno koeficientu un atlikumu, dalot - 17 ar - 5.

Risinājums

Risinājuma pareizībai izmantosim dalīšanas ar atlikumu algoritmu. Vispirms sadaliet skaitļus modulo. No tā mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients = 3, bet atlikums ir 2. Saskaņā ar noteikumu, ir nepieciešams pievienot nepilnīgo koeficientu un 1. Mēs iegūstam, ka 3 + 1 = 4. No tā mēs iegūstam, ka doto skaitļu dalījuma nepilnīgais koeficients ir 4.

Lai aprēķinātu atlikumu, mēs izmantosim formulu. Pēc hipotēzes mums ir, ka a = - 17, b = - 5, c = 4, tad, izmantojot formulu, mēs iegūstam d = a - b c = - 17 - (- 5) 4 = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3. Vēlamā atbilde, tas ir, atlikums, ir 3, un nepilnīgais koeficients ir 4.

Atbilde:(- 17): (- 5) = 4 (pārējais 3).

Veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultāta pārbaude

Pēc skaitļu dalīšanas ar atlikumu jums jāveic pārbaude. Šī pārbaude ietver 2 posmus. Vispirms tiek pārbaudīts atlikums d attiecībā uz nenegatīvismu, nosacījums 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs

Sadalījums tika veikts - 521 ar - 12. Koeficients ir 44, atlikums ir 7. Pārbaudiet to.

Risinājums

Tā kā atlikums ir pozitīvs skaitlis, tā vērtība ir mazāka par dalītāja moduli. Dalītājs ir - 12, kas nozīmē, ka tā modulis ir 12. Jūs varat pāriet uz nākamo kontrolpunktu.

Saskaņā ar hipotēzi mums ir, ka a = - 521, b = - 12, c = 44, d = 7. No šejienes mēs aprēķinām b c + d, kur b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. No tā izriet, ka vienlīdzība ir patiesa. Verifikācija nokārtota.

10. piemērs

Pārbaudes iedalījums (- 17): 5 = - 3 (pārējais - 2). Vai vienlīdzība ir patiesa?

Risinājums

Pirmā posma būtība ir tāda, ka ir jāpārbauda veselo skaitļu dalījums ar atlikumu. No tā ir skaidrs, ka darbība tika veikta nepareizi, jo atlikums ir vienāds ar - 2. Pārējais nav negatīvs.

Mums ir, ka otrs nosacījums ir izpildīts, bet nepietiekams šim gadījumam.

Atbilde: Nē.

11. piemērs

Skaitlis — 19 dalīts ar 3. Nepilnīgais koeficients ir 7, bet atlikums ir 1. Pārbaudiet, vai aprēķins ir pareizs.

Risinājums

Tiek dots atlikums 1. Viņš ir pozitīvs. Vērtība ir mazāka par dalītāja moduli, kas nozīmē, ka tiek veikts pirmais posms. Pārejam uz otro posmu.

Aprēķināsim izteiksmes vērtību b c + d. Pēc hipotēzes mēs iegūstam, ka b = - 3, c = 7, d = 1, tātad, aizstājot skaitliskās vērtības, mēs iegūstam b c + d = - 3 7 + 1 = - 21 + 1 = - 20. No tā izriet, ka a = b c + d vienādība nepastāv, jo nosacījums dod a = - 19.

No tā izriet, ka dalījums tika veikts ar kļūdu.

Atbilde: Nē.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

>> 32. nodarbība. Formula dalīšanai ar atlikumu

1. Kādus atlikumus var iegūt, dalot ar 3, ar 5, ar 12, ar 99, ar x?

2. Atrodiet no skaitļa dividendi, dalītāju, koeficientu un atlikumu. Pierakstiet atbilstošo ciparu vienlīdzība.

3. Pārbaudiet vienādības un nosauciet dividendi a, dalītāju b, koeficientu c un atlikumu r. Izveidojiet zīmējumu.

Kas kopīgs šīm vienlīdzībām? Kādas vērtības tajos var uzņemties pārējais?

4 . Pierakstiet formulu sakarībai starp dalītāju a, dalītāju b, koeficientu c un atlikumu r, dalot ar atlikumu. Salīdziniet šīs formulas atlikumu r un dalītāju b.

Horizontāli:

2. Matemātiskas darbības zīme. 4. Ieraksts ar vienu vai vairākiem cipariem. 5. Taisnes daļa, kas savieno divus punktus. 6, Ģeometriskā figūra bez izmēriem. 8. Matemātiskā darbība. 9. Viencipara skaitlis.

Vertikāli:

1. Taisnas līnijas daļa. 2. Darbību algoritma ieraksts, kas ir saprotams izpildītājam. 3. Matemātiskā darbība. 6. Kategoriju skaits klasē. 7. Uzdevumi, kas veikti, izmantojot argumentāciju un aprēķinus.

15*. Atrodiet visus veidus, kā apmainīt 10 rubļus. monētas 1 rub., 2 rub. un 5 rubļi.

sešpadsmit*. Puse trešdaļa no skaitļa ir 5. Kāds skaitlis tas ir?

Pētersone Ludmila Georgievna. Matemātika. 3. pakāpe. 2. daļa. - M .: Izdevniecība "Juventa", 2005, - 64 lpp.: ill.

Palīdzība skolēnam tiešsaistē, Matemātika 3. klasei lejupielāde, kalendāra tematiskā plānošana

Nodarbības saturs nodarbības izklāsts atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājas uzdevumi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, diagrammas, tabulas, shēmas, humors, joki, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas ziņkārīgajiem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labojumi apmācībā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam diskusiju programmas metodiskie ieteikumi Integrētas nodarbības

Izlasiet nodarbības tēmu: "Sadalīt ar atlikumu". Ko jūs jau zināt par šo tēmu?

Vai var sadalīt 8 plūmes vienādi uz diviem šķīvjiem (1. att.)?

Rīsi. 1. Piemēram, ilustrācija

Katrā šķīvī var likt 4 plūmes (2. att.).

Rīsi. 2. Piemēram, ilustrācija

Mūsu veikto darbību var uzrakstīt šādi.

8: 2 = 4

Vai, jūsuprāt, ir iespējams vienādi sadalīt 8 plūmes uz 3 šķīvjiem (3. att.)?

Rīsi. 3. Piemēram, ilustrācija

Mēs rīkosimies šādi. Vispirms katrā šķīvī liek vienu plūmi, tad otru plūmi. Mums paliks 2 plūmes, bet 3 šķīvji. Tas nozīmē, ka mēs nevaram sadalīties tālāk vienādi. Katrā šķīvī ieliekam 2 plūmes, un paliek 2 plūmes (4. att.).

Rīsi. 4. Piemēram, ilustrācija

Turpināsim savu novērojumu.

Izlasi skaitļus. Starp šiem skaitļiem atrodiet tos, kas dalās ar 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Pārbaudi sevi.

Pārējie skaitļi (11, 13, 14, 16, 17, 19) nedalās ar 3, vai arī viņi saka "Koplietot ar pārējo."

Atradīsim koeficienta vērtību.

Uzziniet, cik reižu 3 ir ietverts skaitlis 17 (5. att.).

Rīsi. 5. Piemēram, ilustrācija

Redzam, ka 3 ovāli sader 5 reizes un paliek 2 ovāli.

Veikto darbību var ierakstīt šādi.

17: 3 = 5 (pārējais 2)

Var rakstīt arī kolonnā (6. att.)

Rīsi. 6. Piemēram, ilustrācija

Apsveriet zīmējumus. Izskaidrojiet šo attēlu parakstus (7. att.).

Rīsi. 7. Piemēram, ilustrācija

Apsveriet pirmo attēlu (8. att.).

Rīsi. 8. Piemēram, ilustrācija

Redzam, ka 15 ovāli tika dalīti ar 2. 2 atkārtojās 7 reizes, pārējā - 1 ovāls.

Apsveriet otro attēlu (9. att.).

Rīsi. 9. Piemēram, ilustrācija

Šajā attēlā 15 kvadrāti tika sadalīti 4. 4 tika atkārtots 3 reizes, pārējā - 3 kvadrāti.

Apsveriet trešo attēlu (10. att.).

Rīsi. 10. Piemēram, ilustrācija

Var teikt, ka 15 ovāli tika dalīti ar 3. 3 atkārtojās 5 reizes vienādi. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka atlikums ir 0.

Veiksim sadalīšanu.

Sadaliet septiņus kvadrātus ar trīs. Mēs iegūstam divas grupas, un viens laukums paliks. Pierakstīsim risinājumu (11. att.).

Rīsi. 11. Piemēram, ilustrācija

Veiksim sadalīšanu.

Uzziniet, cik reižu četri ir ietverti skaitlī 10. Redzam, ka skaitlī 10 četri ir ietverti 2 reizes un paliek 2 kvadrāti. Pierakstīsim risinājumu (12. att.).

Rīsi. 12. Piemēram, ilustrācija

Veiksim sadalīšanu.

Uzziniet, cik reizes divi ir ietverti skaitlī 11. Mēs redzam, ka skaitlis 11 satur divas piecas reizes un paliek 1 kvadrāts. Pierakstīsim risinājumu (13. att.).

Rīsi. 13. Piemēram, ilustrācija

Izdarīsim secinājumu. Dalīt ar atlikumu nozīmē noskaidrot, cik reizes dalītājs ir ietverts dividendē un cik vienību paliek.

Dalīšanu ar atlikumu var veikt arī uz skaitliskā stara.

Uz skaitliskā stara atzīmējiet 3 iedalījumu segmentus un redziet, ka trīs reizes bija trīs dalījumi un palika viens dalījums (14. att.).

Rīsi. 14. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

10: 3 = 3 (pārējais 1)

Veiksim sadalīšanu.

Uz skaitliskā stara atzīmējiet 3 iedalījumu segmentus un redziet, ka trīs reizes bija trīs sadalījumi un palika divi dalījumi (15. att.).

Rīsi. 15. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

11: 3 = 3 (pārējais 2)

Veiksim sadalīšanu.

Uz skaitliskā stara atzīmējiet 3 iedalījumu segmentus un redziet, ka mēs saņēmām tieši 4 reizes, pārējā nav (16. att.).

Rīsi. 16. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

12: 3 = 4

Šodien nodarbībā iepazināmies ar dalīšanu ar atlikumu, mācījāmies, kā veikt nosaukto darbību, izmantojot attēlu un skaitļa staru, un praktizējāmies piemēru risināšanu par nodarbības tēmu.

Bibliogrāfija

1. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. - M .: "Izglītība", 2012.g.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. - M .: "Izglītība", 2012.g.
3. M.I. Moreau. Matemātikas stundas: Vadlīnijas skolotājiem. 3. pakāpe. - M .: Izglītība, 2012.
4. Normatīvs juridisks dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un vērtēšana. - M .: "Izglītība", 2011.
5. "Krievijas skola": programmas priekš pamatskola... - M .: "Izglītība", 2011.
6. S.I. Volkova. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. pakāpe. - M .: Izglītība, 2012.
7. V.N. Rudņicka. Pārbaudes. - M .: "Eksāmens", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Mājasdarbs

1. Pierakstiet skaitļus, kas dalās ar 2 bez atlikuma.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Veiciet sadalīšanu ar atlikumu, izmantojot attēlu.

3. Veiciet dalīšanu ar atlikumu, izmantojot skaitļu staru.

4. Izveidojiet uzdevumu saviem klasesbiedriem par stundas tēmu.

No vispārējās idejas par naturālo skaitļu dalīšanu ar atlikumu mēs turpināsim, un šajā rakstā aplūkosim principus, pēc kuriem šī darbība tiek veikta. Vispārīgi atlikušo sadalījumu ir daudz kopīga ar naturālu skaitļu dalīšanu bez atlikuma, tāpēc mēs bieži atsauksimies uz šī raksta materiālu.

Vispirms aplūkosim naturālo skaitļu dalīšanu ar atlikumu kolonnā. Tālāk mēs parādīsim, kā jūs varat atrast rezultātu, dalot naturālus skaitļus ar atlikumu, veicot secīgu atņemšanu. Pēc tam mēs pāriesim pie nepilnīga koeficienta atlases metodes, neaizmirstot sniegt piemērus ar Detalizēts apraksts risinājumus. Tālāk mēs pierakstām algoritmu, kas vispārīgā gadījumā ļauj dalīt naturālus skaitļus ar atlikumu. Raksta beigās mēs parādīsim, kā pārbaudīt naturālo skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultātu.

Lapas navigācija.

Naturālo skaitļu kolonnu dalījums ar atlikumu

Viens no ērtākajiem veidiem, kā naturālus skaitļus dalīt ar atlikumu, ir dalīšana ar garumu. Rakstā par naturālo skaitļu dalīšanu ar kolonnu mēs ļoti detalizēti analizējām šo dalīšanas metodi. Mēs šeit neatkārtosimies, bet vienkārši sniegsim risinājumu vienam piemēram.

Piemērs.

Sadaliet ar naturālā skaitļa 273 844 atlikumu ar naturālo skaitli 97.

Risinājums.

Veicam garo dalīšanu:

Tādējādi nepilnīgais koeficients 273 844, dalīts ar 97, ir 2 823, bet atlikums ir 13.

Atbilde:

273 844: 97 = 2 823 (pārējais 13).

Dabisku skaitļu dalīšana ar atlikumu, izmantojot secīgu atņemšanu

Nepilno koeficientu un naturālo skaitļu dalījuma atlikumu var atrast, veicot dalītāja secīgu atņemšanu.

Šīs pieejas būtība ir vienkārša: no esošās kopas elementiem secīgi tiek veidotas kopas ar nepieciešamo elementu skaitu līdz brīdim, kad tas ir iespējams, iegūto kopu skaits dod nepilnu koeficientu, bet atlikušo elementu skaits. sākotnējā komplektā ir sadalījuma atlikums.

Sniegsim piemēru.

Piemērs.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies dalīt 7 ar 3.

Risinājums.

Iedomāsimies, ka mums jāieliek 7 āboli maisos pa 3 āboliem. No sākotnējā ābolu skaita mēs ņemam 3 gabalus un ievietojam tos pirmajā maisiņā. Šajā gadījumā naturālo skaitļu atņemšanas jēgas dēļ mums paliek 7−3 = 4 āboli. Mēs atkal ņemam 3 no tiem un ievietojam tos otrajā maisā. Pēc tam mums ir 4–3 = 1 ābols. Skaidrs, ka ar to process beidzas (nevaram veidot citu paciņu ar vajadzīgo ābolu skaitu, jo atlikušais ābolu skaits 1 ir mazāks par nepieciešamo 3 ābolu skaitu). Rezultātā mums ir divi maisiņi ar nepieciešamo ābolu skaitu un viens ābols pārējā.

Tad, pamatojoties uz naturālo skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi, var apgalvot, ka mēs saņēmām nākamais rezultāts 7: 3 = 2 (pārējais. 1).

Atbilde:

7: 3 = 2 (pārējais. 1).

Apskatīsim vēl viena piemēra risinājumu, bet dosim tikai matemātiskos aprēķinus.

Piemērs.

Sadaliet naturālo skaitli 145 ar 46, secīgi atņemot.

Risinājums.

145-46 = 99 (ja nepieciešams, skatiet rakstu par naturālo skaitļu atņemšanu). Tā kā 99 ir lielāks par 46, mēs otrreiz atņemam dalītāju: 99-46 = 53. Tā kā 53> 46, mēs trešo reizi atņemam dalītāju: 53–46 = 7. Tā kā 7 ir mazāks par 46, mēs nevarēsim atkārtoti veikt atņemšanu, tas ir, tas beidzas secīgās atņemšanas process.

Rezultātā mums vajadzēja 3 reizes pēc kārtas atņemt dalītāju 46 no dividendes 145, pēc tam mēs saņēmām atlikumu 7. Tādējādi 145: 46 = 3 (pārējais 7).

Atbilde:

145: 46 = 3 (pārējais 7).

Jāatzīmē, ka, ja dividende ir mazāka par dalītāju, mēs nevarēsim veikt konsekventu atņemšanu. Un tas nav nepieciešams, jo šajā gadījumā mēs varam nekavējoties uzrakstīt atbildi. Šajā gadījumā nepilnīgais koeficients ir vienāds ar nulli, bet atlikums ir vienāds ar dividendi. Tas ir, ja a

Jāsaka arī, ka naturālu skaitļu dalīšanu ar atlikumu aplūkotajā metodē ir labi veikt tikai tad, ja rezultāta iegūšanai nepieciešams neliels skaits secīgu atņemšanu.

Nepilnīga privātā atlase

Dalot dotos naturālos skaitļus a un b ar atlikumu, var izvēlēties nepilno koeficientu c. Tagad mēs parādīsim, uz ko balstās atlases process un kā tam jānotiek.

Vispirms izlemsim, starp kuriem skaitļiem meklēt nepilnīgu koeficientu. Kad mēs runājām par naturālu skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi, mēs noskaidrojām, ka nepilnais koeficients var būt nulle vai naturāls skaitlis, tas ir, viens no skaitļiem 0, 1, 2, 3, ... Tādējādi, vēlamais nepilnīgais koeficients ir viens no ierakstītajiem skaitļiem, un mums atliek tos atkārtot, lai noteiktu, kurš skaitlis ir nepilnīgais koeficients.

Tālāk mums ir nepieciešams vienādojums formā d = a − b · c, kas precizē, kā arī to, ka atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju (to arī minējām, runājot par naturālu skaitļu dalīšanas nozīmi atlikums).

Tagad varat doties tieši uz nepabeigtas privātās personas atlases procesa aprakstu. Mēs sākotnēji zinām dividendi a un dalītāju b, kā nepilnu koeficientu c secīgi ņemam skaitļus 0, 1, 2, 3, ..., katru reizi aprēķinot vērtību d = a − b · c un salīdzinot to ar dalītājs. Šis process beidzas, tiklīdz iegūtā vērtība ir mazāka par dalītāju. Turklāt skaitlis c šajā solī ir vēlamais nepilnīgais koeficients, un vērtība d = a − b · c ir dalījuma atlikums.

Atliek analizēt nepilnīga koeficienta atlases procesu, izmantojot piemēru.

Piemērs.

Sadaliet 267 ar 21 ar naturālā skaitļa atlikušo daļu.

Risinājums.

Atlasīsim nepilnu koeficientu. Mūsu piemērā a = 267, b = 21. Mēs secīgi piešķirsim c vērtības 0, 1, 2, 3,…, katrā solī aprēķinot vērtību d = a - b · c un salīdzinot to ar dalītāju 21.

Plkst c = 0 mums ir d = a − b c = 267−21 0 = 267−0 = 267(vispirms tiek veikta naturālo skaitļu reizināšana un pēc tam atņemšana, par to ir rakstīts rakstā). Iegūtais skaitlis ir lielāks par 21 (ja nepieciešams, izpētiet rakstā esošo materiālu, salīdzinot naturālos skaitļus). Tāpēc mēs turpinām atlases procesu.

Plkst c = 1 mums ir d = a − b c = 267−21 1 = 267−21 = 246... Kopš 246> 21 mēs turpinām procesu.

Plkst c = 2 mēs iegūstam d = a − b c = 267−21 2 = 267−42 = 225... Kopš 225> 21 mēs virzāmies tālāk.

Plkst c = 3 mums ir d = a − b c = 267−21 3 = 267−63 = 204... Kopš 204> 21, turpinām atlasi.

Plkst c = 12 mēs iegūstam d = a - b c = 267-21 12 = 267-252 = 15... Mēs ieguvām skaitli 15, kas ir mazāks par 21, tāpēc procesu var uzskatīt par pabeigtu. Mēs esam izvēlējušies nepilnu koeficientu c = 12, bet atlikums d ir 15.

Atbilde:

267: 21 = 12 (pārējais 15).

Algoritms naturālu skaitļu dalīšanai ar atlikumu, piemēri, atrisinājumi

Šajā sadaļā aplūkosim algoritmu, kas ļauj dalīt ar naturāla skaitļa a atlikumu ar naturālu skaitli b gadījumos, kad secīgās atņemšanas metode (un nepilnīga koeficienta izvēles metode) prasa pārāk daudz skaitļošanas operāciju.

Uzreiz ņemiet vērā, ka, ja dividende a ir mazāka par dalītāju b, tad mēs zinām gan nepilnīgo koeficientu, gan atlikumu: a b.

Pirms sīki aprakstam visus naturālu skaitļu dalīšanas ar atlikumu algoritma soļus, mēs atbildēsim uz trīs jautājumiem: ko mēs sākotnēji zinām, kas mums jāatrod un, pamatojoties uz kādiem apsvērumiem, mēs to darīsim? Sākotnēji mēs zinām dividendi a un dalītāju b. Mums jāatrod nepilnais koeficients c un atlikums d. Vienādība a = b c + d nosaka attiecības starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. No rakstītās vienādības izriet, ka, ja mēs attēlosim dividendi a kā summu bc + d, kurā d ir mazāks par b (jo atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju), tad mēs redzēsim gan nepilno koeficientu c, gan atlikums d.

Atliek tikai izdomāt, kā dividendi a attēlot kā summu b · c + d. Algoritms šīs darbības veikšanai ir ļoti līdzīgs naturālu skaitļu dalīšanas algoritmam bez atlikuma. Mēs aprakstīsim visas darbības, un tajā pašā laikā mēs vadīsim piemēra risinājumu lielākai skaidrībai. Sadaliet 899 ar 47.

Pirmie pieci algoritma punkti ļaus jums attēlot dividendi kā vairāku terminu summu. Jāpiebilst, ka darbības no šiem punktiem tiek cikliski atkārtotas atkal un atkal, līdz tiek atrasti visi termini, kas summē dividendi. Pēdējā sestajā rindkopā saņemtā summa tiek pārvērsta formā b · c + d (ja saņemtajai summai vairs nebūs šīs formas), no kuras kļūst redzams meklētais nepilnais koeficients un atlikums.

Tātad, sāksim attēlot dividendi 899 kā vairāku terminu summu.

Pirmkārt, mēs aprēķinām, cik daudz rakstzīmju skaits dividendē ir lielāks par rakstzīmju skaitu dalītājā, un atcerieties šo skaitli.

Mūsu piemērā dividendes ierakstā ir 3 cipari (899 ir trīsciparu skaitlis), bet dalītāja ierakstā ir divi cipari (47 - divciparu skaitlis), tāpēc apzīmējumā ir vēl viena dividendes zīme, un mēs atceramies skaitli 1.

Tagad labajā pusē esošajā dalītāju ierakstā mēs pievienojam ciparus 0 tādā daudzumā, ko nosaka iepriekšējā punktā iegūtais skaitlis. Turklāt, ja uzrakstītais skaitlis ir lielāks par dividendi, tad no iepriekšējā punktā saglabātā skaitļa ir jāatņem 1.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Dalītāja 47 ierakstā pievienojiet vienu ciparu 0 pa labi, un mēs iegūstam skaitli 470. Kopš 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Pēc tam mēs piešķiram skaitļus 0 skaitlim 1 labajā pusē tādā daudzumā, ko nosaka iepriekšējā punktā iegaumētais skaitlis. Šajā gadījumā mēs iegūstam kategorijas vienību, ar kuru mēs strādāsim tālāk.

Mūsu piemērā mēs piešķiram 1 cipara 0 ciparam 1, un mēs iegūstam skaitli 10, tas ir, mēs strādāsim ar desmitiem ciparu.

Tagad mēs secīgi reizinām dalītāju ar darba kategorijas vienībām 1, 2, 3, ..., līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks vai vienāds ar dividendi.

Mēs noskaidrojām, ka mūsu piemērā darba vieta ir desmitnieku vieta. Tāpēc vispirms dalītāju reizinām ar vienu desmitvietas vienību, tas ir, reizinot 47 ar 10, iegūstam 47 10 = 470. Iegūtais skaitlis 470 ir mazāks par dividendi 899, tāpēc mēs turpinām reizināt dalītāju ar divām desmitvietas vienībām, tas ir, 47 reizina ar 20. Mums ir 47 20 = 940. Mēs saņēmām skaitli, kas ir lielāks par 899.

Skaitlis, kas iegūts priekšpēdējā solī secīgās reizināšanas laikā, ir pirmais no nepieciešamajiem vārdiem.

Analizētajā piemērā nepieciešamais termins ir skaitlis 470 (šis skaitlis ir vienāds ar reizinājumu 47 * 100, mēs izmantosim šo vienādību vēlāk).

Pēc tam mēs atrodam atšķirību starp dividendi un pirmo atrasto termiņu. Ja iegūtais skaitlis ir lielāks par dalītāju, pārejiet pie otrā vārda atrašanas. Lai to izdarītu, atkārtojam visas aprakstītās algoritma darbības, bet šeit iegūto skaitli ņemam par dividendi. Ja šajā brīdī atkal tiek iegūts skaitlis, kas ir lielāks par dalītāju, tad pārejam pie trešā vārda atrašanas, vēlreiz atkārtojot algoritma darbības, par dividendi ņemot iegūto skaitli. Un tā mēs turpinām, atrodot ceturto, piekto un nākamos vārdus, līdz šajā punktā iegūtais skaitlis ir mazāks par dalītāju. Tiklīdz tas ir noticis, šeit iegūto skaitli ņemam par pēdējo nepieciešamo termiņu (skrienot uz priekšu, sakām, ka tas ir vienāds ar atlikumu), un ejam uz pēdējo posmu.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Šajā solī mums ir 899–470 = 429. Tā kā 429> 47, mēs ņemam šo skaitli kā dividendi un atkārtojam visus algoritma posmus ar to.

Skaitļa 429 ierakstā ir par vienu zīmi vairāk nekā skaitļa 47 ierakstā, tāpēc atceramies skaitli 1.

Tagad labajā pusē esošās dividendes ierakstā pievienojam vienu ciparu 0, iegūstam skaitli 470, kas ir lielāks par skaitli 429. Tāpēc no iepriekšējā rindkopā iegaumētā skaitļa 1 atņemam 1, iegūstam skaitli 0, kuru atceramies.

Tā kā iepriekšējā rindkopā mēs atcerējāmies skaitli 0, tad labajā pusē esošajam skaitlim 1 nav jāpiešķir viens cipars 0. Šajā gadījumā mums ir skaitlis 1, tas ir, darba kategorija ir viena kategorija.

Tagad mēs secīgi reizinām dalītāju 47 ar 1, 2, 3, ... Mēs par to sīkāk nepakavēsimies. Teiksim tā, ka 47 9 = 423<429 , а 47·10=470>429. Otrais nepieciešamais termins ir skaitlis 423 (kas ir vienāds ar 47 · 9, ko mēs izmantosim tālāk).

Atšķirība starp 429 un 423 ir 6. Šis skaitlis ir mazāks par dalītāju 47, tāpēc tas ir trešais (un pēdējais) nepieciešamais termins. Tagad mēs varam pāriet uz pēdējo posmu.

Nu, mēs nonākam pie pēdējā posma. Visas iepriekšējās darbības bija vērstas uz dividendes uzrādīšanu kā vairāku termiņu summu. Tagad atliek iegūto summu pārvērst formā b c + d. Reizināšanas sadalījuma īpašība attiecībā uz saskaitīšanu palīdzēs mums tikt galā ar šo uzdevumu. Pēc tam būs redzams vēlamais nepilnīgais koeficients un atlikums.

Mūsu piemērā dividende 899 ir vienāda ar trīs terminu 470, 423 un 6 summu. Summu 470 + 423 + 6 var pārrakstīt kā 47 10 + 47 9 + 6 (atcerieties, ka mēs pievērsām uzmanību vienādībām 470 = 47 10 un 423 = 47 9). Tagad mēs izmantojam īpašību reizināt naturālu skaitli ar summu, un mēs iegūstam 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6 = 47 19 + 6. Tādējādi dividende tiek pārveidota mums vajadzīgajā formā 899 = 47 19 + 6, no kuras var viegli atrast nepilnīgo koeficientu 19 un atlikušo 6.

Tātad, 899: 47 = 19 (pārējais. 6).

Protams, risinot piemērus, jūs tik detalizēti neaprakstīsit sadalīšanas procesu ar atlikumu.

Daudzciparu skaitļu sadalīšanu visvieglāk var izdarīt ar kolonnu. Tiek saukta arī dalīšana ar kolonnu sadalīšana pa stūriem.

Pirms sākat veikt garo dalīšanu, detalizēti apsveriet garās dalīšanas ierakstīšanas veidu. Vispirms ierakstiet dividendi un pa labi no tās novietojiet vertikālu joslu:

Aiz vertikālās līnijas, pretī dividendei, ierakstiet dalītāju un zem tā novelciet horizontālu līniju:

Zem horizontālās līnijas aprēķinu rezultātā iegūtais koeficients tiks rakstīts pa posmiem:

Zem dividendes tiks ierakstīti starpaprēķini:

Pilna garā dalījuma rakstīšanas forma ir šāda:

Kā sadalīt ar kolonnu

Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 780 ar 12, ierakstiet darbību kolonnā un pārejiet uz dalīšanu:

Garā dalīšana tiek veikta pa posmiem. Pirmā lieta, kas mums jādara, ir noteikt nepilnīgo dividendi. Mēs skatāmies uz dividendes pirmo ciparu:

šis skaitlis ir 7, jo tas ir mazāks par dalītāju, tad no tā nevar sākt dalīšanu, kas nozīmē, ka mums ir jāņem vēl viens cipars no dividendes, skaitlis 78 ir lielāks par dalītāju, tāpēc mēs sākam dalīšanu no tā:

Mūsu gadījumā skaitlis 78 būs nepilnīgi dalāms, to sauc par nepilnīgu, jo tā ir tikai daļa no dividendēm.

Nosakot nepilnīgo dividendi, mēs varam uzzināt, cik ciparu būs koeficientā, lai to izdarītu, mums ir jāaprēķina, cik ciparu paliek dividendē pēc nepilnīgās dividendes, mūsu gadījumā ir tikai viens cipars - 0, kas nozīmē, ka koeficients sastāvēs no 2 cipariem.

Uzzinājis ciparu skaitu, kam vajadzētu parādīties koeficientā, to vietā varat ievietot punktus. Ja dalījuma beigās ciparu skaits izrādījās lielāks vai mazāks par norādītajiem punktiem, tad kaut kur tika pieļauta kļūda:

Sāksim dalīt. Mums ir jānosaka, cik reižu 12 ir ietverts 78. Lai to izdarītu, mēs secīgi reizinām dalītāju ar naturālajiem skaitļiem 1, 2, 3, ..., līdz iegūstam skaitli, kas ir pēc iespējas tuvāks nepilnīgajai dividendei. vai vienāds ar to, bet nepārsniedz to. Tādējādi mēs iegūstam skaitli 6, pierakstām to zem dalītāja un no 78 (saskaņā ar kolonnu atņemšanas noteikumiem) atņemam 72 (12 6 = 72). Pēc tam, kad no 78 mēs atņemam 72, mēs iegūstam atlikumu 6:

Ņemiet vērā, ka sadalījuma atlikusī daļa norāda, vai esam izvēlējušies pareizo numuru. Ja atlikums ir vienāds ar dalītāju vai lielāks par to, tad mēs esam izvēlējušies nepareizu skaitli un mums ir jāņem lielāks skaitlis.

Uz iegūto atlikumu - 6, mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Rezultātā mēs iegūstam nepilnu dividendi - 60. Nosakiet, cik reizes 12 ir ietverts skaitlis 60. Iegūstam skaitli 5, ierakstiet to. koeficientā aiz skaitļa 6 un no 60 atņemiet 60 ( 12 5 = 60). Atlikušais ir nulle:

Tā kā dividendē vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka 780 tika pilnībā dalīts ar 12. Garās dalīšanas rezultātā mēs atradām koeficientu - tas ir rakstīts zem dalītāja:

Apsveriet piemēru, kad koeficients ir nulles. Pieņemsim, ka mums ir jādala 9027 ar 9.

Nosakiet nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 9. Mēs ierakstām koeficientu 1 un atņemam 9. Atlikums ir nulle. Parasti, ja starpaprēķinos atlikums izrādās nulle, tas netiek rakstīts:

Mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Atgādinām, ka, dalot nulli ar jebkuru skaitli, būs nulle. Ierakstam koeficientā nulle (0: 9 = 0) un starpaprēķinos atņemam 0. Parasti, lai nepārslogotu starpaprēķinus, aprēķinu ar nulli neraksta:

Dividendes nākamo ciparu nojaucam - 2. Starpaprēķinos izrādījās, ka nepilnā dividende (2) ir mazāka par dalītāju (9). Šajā gadījumā koeficientā tiek ierakstīta nulle un tiek nojaukts nākamais dividendes cipars:

Nosakiet, cik reizes skaitlis 27 ir ietverts 9. Iegūstam skaitli 3, ierakstām to koeficientā un no 27 atņemam 27. Atlikums ir nulle:

Tā kā dividendē vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka skaitlis 9027 tika pilnībā dalīts ar 9:

Apsveriet piemēru, kur dividende tiek pārtraukta ar nulli. Pieņemsim, ka mums ir jādala 3000 ar 6.

Nosakiet nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 30. Mēs ierakstām koeficientu 5 un atņemam 30 no 30. Atlikums ir nulle. Kā jau minēts, starpposma aprēķinos nav nepieciešams rakstīt atlikušo nulli:

Dividendes nākamo ciparu nojaucam - 0. Tā kā, dalot nulli ar jebkuru skaitli, būs nulle, mēs to pierakstām līdz koeficientam nulle un starpaprēķinos no 0 atņemam 0:

Dividendes nākamo ciparu nojaucam - 0. Datumā ierakstām vēl vienu nulli un starpaprēķinos no 0 atņemam 0. Tā kā starpaprēķinos aprēķinus ar nulli parasti neraksta, ierakstu var saīsināt, atstājot tikai atlikumu. - 0. Nulle atlikušajā daļā pašā aprēķina beigās parasti tiek ierakstīta, lai parādītu, ka dalīšana ir veikta pilnībā:

Tā kā dividendēs vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka 3000 tika pilnībā dalīts ar 6:

Kolonnu sadalīšana ar atlikumu

Pieņemsim, ka mums ir jādala 1340 ar 23.

Nosakiet nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 134. Mēs ierakstām koeficientu 5 un atņemam 115 no 134. Atlikums ir 19:

Mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Nosakiet, cik reižu 23 ir ietverts skaitlis 190. Iegūstam skaitli 8, ierakstām to koeficientā un no 190 atņemam 184. Iegūstam atlikušo 6:

Tā kā dividendē vairs nav palicis neviens cipars, tad dalīšana ir beigusies. Rezultāts ir nepilnīgs koeficients 58 un atlikums 6:

1340: 23 = 58 (atlikušais 6)

Atliek apsvērt piemēru dalīšanai ar atlikumu, kad dividende ir mazāka par dalītāju. Pieņemsim, ka mums ir jādala 3 ar 10. Mēs redzam, ka skaitlis 3 nekad nav ietverts 10, tāpēc koeficientā ierakstām 0 un no 3 atņemam 0 (10 · 0 = 0). Mēs novelkam horizontālu līniju un pierakstām atlikušo daļu - 3:

3: 10 = 0 (atlikušais 3)

Garās dalīšanas kalkulators

Šis kalkulators palīdzēs veikt garo dalīšanu. Vienkārši ievadiet dividendi un dalītāju un noklikšķiniet uz pogas Aprēķināt.