Ļaujiet L ir lineārā telpa virs lauka R . Ļaujiet A1, a2, ... , an (*) ierobežota vektoru sistēma no L . Vektors IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) sauc Lineāra vektoru kombinācija ( *), vai saki vektors IN lineāri izteikts ar vektoru sistēmu (*).
14. definīcija. Tiek saukta vektoru sistēma (*). lineāri atkarīgi , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neviendabīga koeficientu kopa a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ja a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tad tiek izsaukta sistēma (*). lineāri neatkarīgs.
Īpašības lineārā atkarība un neatkarību.
10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.
Patiešām, ja sistēmā (*) vektors A1 = 0, Tad 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .
20. Ja vektoru sistēmā ir divi proporcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.
Ļaujiet A1 = L×a2. Tad 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.
30. Galīga vektoru sistēma (*) n ³ 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir pārējo šīs sistēmas vektoru lineāra kombinācija.
Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir tāda koeficientu kopa, kas nav nulle, a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad pastāv A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× A N. Tātad, vektors A1 ir atlikušo vektoru lineāra kombinācija.
Ü Ļaujiet vienam no vektoriem (*) būt citu vektoru lineārai kombinācijai. Varam pieņemt, ka šis ir pirmais vektors, t.i. A1 = B2 A2+ … + miljardi A N, tātad (–1) × A1 + b2 A2+ … + miljardi A N= 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.
komentēt. Izmantojot pēdējo īpašību, var definēt bezgalīgas vektoru sistēmas lineāro atkarību un neatkarību.
15. definīcija. Vektoru sistēma A1, a2, ... , an , … (**) tiek saukts lineāri atkarīgi, Ja vismaz viens no tā vektoriem ir kāda ierobežota skaita citu vektoru lineāra kombinācija. Pretējā gadījumā tiek izsaukta sistēma (**). lineāri neatkarīgs.
40. Galīga vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar citiem tās vektoriem.
50. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.
60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī visa sistēma ir lineāri atkarīga.
Dotas divas vektoru sistēmas A1, a2, ... , an , … (16) un В1, в2, … , вs, … (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad mēs sakām, ka sistēma (17) ir lineāri izteikta caur sistēmu (16).
16. definīcija. Abas vektoru sistēmas sauc ekvivalents , ja katrs no tiem ir lineāri izteikts otra izteiksmē.
9. teorēma (pamata teorēma par lineāro atkarību).
Ļaujiet un ir divas ierobežotas vektoru sistēmas no L . Ja pirmā sistēma ir lineāri neatkarīga un lineāri izteikta ar otro, tad N£ s.
Pierādījums. Izliksimies tā N> S. Saskaņā ar teorēmu
|
|
Tā kā sistēma ir lineāri neatkarīga, vienādība (18) w X1=x2=…=xN=0. Aizstāsim šeit vektoru izteiksmes: …+=0 (19). Tātad (20). Nosacījumi (18), (19) un (20) acīmredzami ir līdzvērtīgi. Bet (18) ir apmierināts tikai tad, kad X1=x2=…=xN=0. Noskaidrosim, kad vienādība (20) ir patiesa. Ja visi tā koeficienti ir vienādi ar nulli, tad tā acīmredzami ir taisnība. Pielīdzinot tos nullei, iegūstam sistēmu (21). Tā kā šai sistēmai ir nulle, tā |
(21)locītavu. Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle atšķirīga vērtība x10, x20, …, xN0. Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Tāpēc N£ s.
Sekas. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri neatkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.
17. definīcija. Vektoru sistēmu sauc Maksimālā lineāri neatkarīgā vektoru sistēma lineārā telpa L , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet pievienojot tam jebkuru vektoru no L nav iekļauta šajā sistēmā, tā kļūst lineāri atkarīga.
10. teorēma. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas no L Satur tādu pašu vektoru skaitu.
Pierādījums izriet no fakta, ka jebkuras divas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .
Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineāri neatkarīga telpas vektoru sistēma L var pabeigt līdz maksimāli lineāri neatkarīgai šīs telpas vektoru sistēmai.
Piemēri:
1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri neatkarīga.
2. Visu koplanāru ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri neatkarīgu sistēmu.
3. Trīsdimensiju eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri neatkarīga.
4. Visu polinomu kopā pakāpe ir ne vairāk kā N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, …, xn Tas ir maksimāli lineāri neatkarīgs.
5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri neatkarīgas sistēmas piemēri ir
A) 1, x, x2, … , xn, … ;
b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,…
6. Dimensiju matricu kopa M´ N ir lineāra telpa (pārbaudiet to). Maksimālas lineāri neatkarīgas sistēmas piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .
Dota vektoru sistēma C1, c2, ... , sk (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineāri neatkarīgs Apakšsistēma Sistēmas ( *) , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, ja tam pievieno jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineāri neatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (Pierādījums pats.) Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineāri neatkarīgajā apakšsistēmā (*). rangs Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.
Definīcijas kopu w sauc par lineāro telpu un tās elementu. -vektori, ja:
* likums ir noteikts (+) atbilstoši kat. jebkuri divi elementi x, y no w ir saistīti ar elementu, ko sauc. to summa [x + y]
* dots likums (* par skaitli a), saskaņā ar kuru elementu x no w un a salīdzina ar elementu no w, ko sauc par x un a [ax] reizinājumu;
* pabeigts
šādas prasības (vai aksiomas):
Trace c1. nulles vektors (ctv 0 1 un 0 2 . pēc a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 un 0 1 + 0 2 = 0 1 . ar a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)
c2. .(CTV, a4)
c3. 0 vec. (a7)
c4. a(skaitlis)*0=0.(a6,c3)
c5. x (*) -1 \u003d 0 vektors, pretēji x, t.i. (-1) x = -x. (a5,a6)
c6. Atņemšanas darbība ir definēta ar w: vektoru x sauc par vektoru b un a starpību, ja x + a = b, un to apzīmē ar x = b - a.
Numurs n sauca dimensiju lin. pr-a L , ja iekšā L ir sistēma n lin. neprecējies vektori un jebkura sistēma n+1 vektors - lin. atkarīgi. blāvs L= n. Kosmoss L sauc par n-dimensiju.
Sakārtota n līniju kopa. neprecējies vektori n dimensijas neatkarīgi. atstarpes - pamats
Teorēma. Katru vektoru X var unikāli attēlot kā līniju Bāzes vektoru kombinācijas
Pieņemsim, ka (1) ir n-dimensijas līnijas pamats. pr-va V, t.i. lineāri neatkarīgu vektoru kopa. Vektoru kopa būs lin. atkarīgs, jo viņu n+ 1.
Tie. ir skaitļi, kas ne visi vienlaikus ir vienādi ar nulli, kas turklāt ir (pretējā gadījumā (1) ir lineāri atkarīgi).
Tad kur ir vektora dekompozīcija x Pamatā (1) .
Šis izteiciens ir unikāls, jo ja pastāv cita izteiksme (**)
atņemot no (*) vienādības (**),
mēs saņemam
Jo ir lineāri neatkarīgi, tad . Chtd
Teorēma. Ja - lin. telpas V neatkarīgus vektorus un katru vektoru x no V var attēlot caur , tad šie vektori veido V pamatu
Doc-in: (1) -lin.independent =>paliek doc-th, ka lin.dependent. Saskaņā ar konv. Katrs vektors a ir izteikts kā (1): , uzskata , rang≤n => starp kolonnām ne vairāk kā n ir lineāri neatkarīgas, bet m > n=> m kolonnas ir lineāri atkarīgas => s=1, n
Tas ir, vektori ir lineāri atkarīgi
Tādējādi telpa V ir n-dimensionāla un (1) tās pamats
№4Def. Apakškopa L lin. pr-va V sauc par lin. ref. no šīs telpas, ja attiecībā uz operācijām (+) un (*a), kas dotas V, apakštelpa L ir lineāra telpa
Teorēma Vektoru kopa l telpā V ir lin. Šīs telpas apakštelpa veic
(pietiekami) izpildīsim (1) un (2), jo faktam, ka L ir apakšvienkāršība V, atliek pierādīt, ka visas lin aksiomas ir izpildītas. pr-va.
(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;
(a-b) un (e-h) izriet no derīguma V, mēs pierāda (c)
(nepieciešams) Lai L ir līnija. šīs telpas apakštelpa, tad (1) un (2) ir spēkā līniju definīcijas dēļ. pr-va
Def. Visu veidu līniju kolekcija. dažu elementu kombinācijas (x j) lin. pr-va sauc par lineāro apvalku
Teorēma patvaļīga visu līniju kopa. vektoru V kombinācijas ar darbību. koeficients ir lin. apakš-V (lineārais apvalks dotā vektoru sistēma lin. pr. ir šīs pr līnijas atbalsts. )
ODA.Līniju vektoru apakškopa L, kas nav tukša. pr-va V sauc par lin. apakštelpa, ja:
a) jebkuru vektoru summa no L pieder L
b) katra vektora reizinājums no L ar jebkuru skaitli pieder L
Divu apakštelpu summaLatkal ir apakštelpaL
1) Ļaujiet y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x’ 1 + x’ 2, kur (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), kur (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => ir izpildīts pirmais lineārās apakštelpas nosacījums.
ay 1 = ax 1 + ax 2, kur (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => jo (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => nosacījumi ir izpildīti => L 1 +L 2 ir lineāra apakštelpa.
Divu apakšpunktu krustojums.L 1 UnL 2 lin. pr-vaL ir arī apakšgrupa. šī telpa.
Apsveriet divus patvaļīgus vektorus x,y kas pieder apakštelpu krustpunktam, un divi patvaļīgi skaitļi a,b:.
Saskaņā ar def. noteikt krustojumus:
=> pēc lineāras telpas apakštelpas definīcijas:,.
T.K.Vektors cirvis + autors pieder komplektam L 1 , un iestatīt L 2 , tad tas pēc definīcijas pieder pie šo kopu krustpunkta. Tādējādi:
ODA.Saka, ka V ir tā rekvizītu tiešā summa. ja un b) šī sadalīšanās ir unikāla
b") Parādīsim, ka b) ir līdzvērtīgs b')
Ar b) patiesu b')
Jebkurš (M, N) no krustojas tikai pa nulles vektoru
Ļaujiet ∃z ∈
Godīgi. otrādiL=
pretruna
Teorēma To (*) ir nepieciešams un pietiekams bāzu savienībai ( veidoja telpas pamatu
(Obligāti lai (*) un vektori ir apakškopu bāzes. un ir paplašinājums ; x tiek sadalīts pēc bāzes L, lai apgalvotu, ka ( veido bāzi, ir jāpierāda to lineārā neatkarība, visi satur 0 0=0+…+0. Sakarā ar 0 izplešanās unikalitāti : => bāzes lineārās neatkarības dēļ => ( – bāze
(Ext.) Pieņemsim ( veido L unikālo sadalījumu (**)) vismaz vienu sadalījumu. Pateicoties unikalitātei (*) => unikalitāte (**)
komentēt. Tiešās summas izmērs ir vienāds ar apakštelpas izmēru summu
Jebkura nedeģenerēta kvadrātiskā matrica var kalpot kā pārejas matrica no viena pamata uz otru
Pieņemsim, ka n-dimensiju lineārajai telpai V ir divas bāzes un
(1) =A , kur šeit elementi * un ** nav skaitļi, bet mēs paplašināsim noteiktas darbības ar skaitlisko matricu uz šādām rindām.
Jo pretējā gadījumā vektori ** būtu lineāri atkarīgi
Atpakaļ. Ja tad kolonnas A ir lineāri neatkarīgas => veido bāzi
Koordinātas Un kas saistīti ar attiecību , Kur pārejas matricas elementi
Lai ir zināma "jaunās" bāzes elementu paplašināšanās attiecībā uz "veco" bāzi
Tad vienlīdzības
Bet, ja lineāri neatkarīgu elementu lineārā kombinācija ir vienāda ar 0, tad =>
Pamata lineārās atkarības teorēma
Ja (*) ir lineāri izteikts izteiksmē (**) Tasn<= m
Pierādīt ar indukciju uz m
m=1: sistēma (*) satur 0 un lin. galva - neiespējami
lai tā būtu patiesība m=k-1
pierādīsim, ka m=k
var izrādīties, ka 1) , t.i. in-ry (1) ir lin.comb. lin. grāvī (2) Sistēma (1) ir daļa no līnijas.nezav. sistēmas (*). Jo sistēmā (2) ir tikai k-1 vektori, tad ar indukcijas pieņēmumu iegūstam k+1 Lineārs
kombinācija
vektoru sistēmas sauc par vektoru kur a 1 , a 2 , ..., a n - patvaļīgi skaitļi. Ja visi a i = 0, tad tiek izsaukta lineārā kombinācija triviāls
. Šajā gadījumā acīmredzami 5. definīcija.
Ja vektoru sistēmai
pastāv netriviāla lineāra kombinācija (vismaz viena
a i ¹ 0) vienāds ar nulles vektoru:
tad sauc vektoru sistēmu lineāri
atkarīgi.
Ja vienlīdzība (1) ir iespējama tikai tad, ja visi
a i =0, tad vektoru sistēmu sauc lineāri
neatkarīgs
.
2. teorēma
(Lineārās atkarības nosacījumi). 6. definīcija.
No 3. teorēmas no tā izriet, ka, ja telpā ir dots pamats, tad pievienojot tam patvaļīgu vektoru, iegūstam lineāri atkarīgu vektoru sistēmu. Saskaņā ar 2. teorēma (1) , vienu no tiem (var parādīt, ka vektoru ) var attēlot kā pārējo lineāru kombināciju: 7. definīcija.
Skaitļi sauca koordinātas
vektori pamatā
(apzīmēts Ja vektorus aplūko plaknē, tad bāze būs sakārtots nekolineāru vektoru pāris un vektora koordinātas šajā bāzē ir skaitļu pāris: 3. piezīme. To var parādīt dotajam pamatam vektora koordinātas ir unikāli noteiktas
.
No tā jo īpaši izriet, ka ja vektori ir vienādi, tad to atbilstošās koordinātas ir vienādas un otrādi
.
Tātad, ja telpā ir dots bāze, tad sakārtots skaitļu trīskāršs (šajā bāzē vektora koordinātes) atbilst katram telpas vektoram un otrādi: katrs skaitļu trīskāršs atbilst vektoram. Plaknē līdzīga atbilstība tiek noteikta starp vektoriem un skaitļu pāriem. 4. teorēma
(Lineāras operācijas caur vektoru koordinātām). Ja kādā pamatā
Un
a
ir patvaļīgs skaitlis, tad šajā pamatā
Citiem vārdiem sakot: kad vektors tiek reizināts ar skaitli, tā koordinātas tiek reizinātas ar šo skaitli
;
pievienojot vektorus, tiek pievienotas to atbilstošās koordinātas
.
1. piemērs
. Dažos gadījumos vektoriir koordinātas Parādiet, ka vektori veido bāzi, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē. Vektori veido pamatu, ja tie nav vienā plaknē, tāpēc (saskaņā ar Teorēma 3(2) ) ir lineāri neatkarīgi. Pēc definīcijas 5 tas nozīmē, ka vienlīdzība iespējams tikai tad, kadx =
y =
z = 0.
1. definīcija.
Vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu, ja vienu no sistēmas vektoriem var attēlot kā pārējo sistēmas vektoru lineāru kombināciju un citādi par lineāri neatkarīgu. Definīcija 1'.
Vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu, ja ir skaitļi Ar 1
, Ar 2
,
…, Ar k , ne visi ir vienādi ar nulli, lai lineārā vektoru kombinācija ar dotajiem koeficientiem būtu vienāda ar nulles vektoru: = , pretējā gadījumā sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu. Parādīsim, ka šīs definīcijas ir līdzvērtīgas. Ļaujiet, lai 1. definīcija būtu apmierināta, t.i., viens no sistēmas vektoriem ir vienāds ar pārējo lineāru kombināciju: Lineāra vektoru sistēmas kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru, un ne visi šīs kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, t.i. 1. definīcija ir spēkā. Ļaujiet, lai 1. definīcija tiktu apmierināta. Vektoru sistēmas lineārā kombinācija ir , un ne visi kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, piemēram, vektora koeficienti. Mēs prezentējām vienu no sistēmas vektoriem kā pārējo lineāru kombināciju, t.i. 1. definīcija ir izpildīta. 2. definīcija.
Vienības vektoru jeb ort sauc n-dimensiju vektors, kurš i Koordināta ir vienāda ar vienu, bet pārējās ir nulle. .
(1, 0, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), (0, 0, 0, …, 1). 1. teorēma.
Dažādi vienību vektori n-dimensiju telpa ir lineāri neatkarīga. Pierādījums. Lai šo vektoru lineārā kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem ir vienāda ar nulles vektoru. No šīs vienādības izriet, ka visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Mums radās pretruna. Katrs vektors n- dimensiju telpa ā
(A 1
, A 2
, ..., A n ) var attēlot kā lineāru vienību vektoru kombināciju ar koeficientiem, kas vienādi ar vektora koordinātām 2. teorēma.
Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga. Pierādījums. Dota vektoru sistēma un viens no vektoriem ir nulle, piemēram = . Tad ar šīs sistēmas vektoriem ir iespējams izveidot lineāru kombināciju, kas vienāda ar nulles vektoru, un ne visi koeficienti būs nulle: Tāpēc sistēma ir lineāri atkarīga. 3. teorēma.
Ja kāda vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad visa sistēma ir lineāri atkarīga. Pierādījums. Dota vektoru sistēma . Pieņemsim, ka sistēma ir lineāri atkarīga, t.i. ir cipari Ar 1
, Ar 2
, …, Ar
r , ne visi ir vienādi ar nulli, lai = . Tad Izrādījās, ka visas sistēmas vektoru lineārā kombinācija ir vienāda, un ne visi šīs kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc vektoru sistēma ir lineāri atkarīga. Sekas. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga. Pierādījums. Pieņemsim pretējo, t.i. dažas apakšsistēmas ir lineāri atkarīgas. No teorēmas izriet, ka visa sistēma ir lineāri atkarīga. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. 4. teorēma
(Šteinica teorēma). Ja katrs no vektoriem ir lineāra kombinācija no vektoriem un m>n, tad vektoru sistēma ir lineāri atkarīga. Sekas. Jebkurā n-dimensiju vektoru sistēmā nevar būt vairāk par n lineāri neatkarīgiem vektoriem. Pierādījums. Katrs n-dimensiju vektoru izsaka kā n vienību vektoru lineāru kombināciju. Tāpēc, ja sistēma satur m vektori un m>n, tad saskaņā ar teorēmu šī sistēma ir lineāri atkarīga. 1. teorēma (Par ortogonālo vektoru lineāro neatkarību).
Pieņemsim, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Mēs sastādām lineāru kombināciju ∑λ i x i =0 un ņemam vērā skalāro reizinājumu (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, bet ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0. 1. definīcija.
Vektoru sistēma 2. definīcija.
Patvaļīgam bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpas patvaļīgam elementam x un patvaļīgai ortonormālai elementu sistēmai elementa x Furjē sēriju sistēmā sauc par formāli sastādītu formas bezgalīgu summu (sēriju). Komentārs.
(Protams, rodas jautājums par šīs sērijas konverģenci. Lai izmeklētu šo problēmu, mēs labojam patvaļīgu skaitli n un noskaidrojam, kas atšķir n-tā daļēja Furjē rindas summa no jebkuras citas ortonormālas sistēmas pirmo n elementu lineāras kombinācijas.) 2. teorēma.
Jebkuram fiksētam skaitlim n starp visām formas summām mazākā novirze no elementa x noteiktā Eiklīda telpas normā ir n-tā daļēja elementa Furjē rindas summa Ņemot vērā sistēmas ortonormalitāti un Furjē koeficienta definīciju, varam rakstīt Šīs izteiksmes minimums tiek sasniegts pie c i =λ i , jo šajā gadījumā vienmēr nenegatīvā pirmā summa labajā pusē pazūd, un pārējie vārdi nav atkarīgi no c i. Piemērs.
Apsveriet trigonometrisko sistēmu visu Rīmaņa integrējamo funkciju f(x) telpā uz segmenta [-π,π]. Ir viegli pārbaudīt, vai tā ir ONS, un tad funkcijas f(x) Furjē sērijai ir forma kur . Komentārs.
(Trigonometrisko Furjē sēriju parasti raksta kā Patvaļīga ONS bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpā bez papildu pieņēmumiem, vispārīgi runājot, nav šīs telpas pamats. Intuitīvā līmenī, nesniedzot stingras definīcijas, mēs aprakstīsim lietas būtību. Patvaļīgā bezgalīgajā Eiklīda telpā E ņem vērā ONS , kur (e i ,e j)=δ ij ir Kronekera simbols. Lai M ir Eiklīda telpas apakštelpa, un k=M ⊥ apakštelpa, kas ir ortogonāla pret M tā, ka Eiklīda telpa E=M+M ⊥ . Vektora x∈E projekcija apakštelpā M ir vektors ∈M, kur Meklēsim tās izplešanās koeficientu α k vērtības, kurām neatbilstība (neatbilstības kvadrāts) h 2 =||x-|| 2 būs minimums: h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 . Ir skaidrs, ka šai izteiksmei būs minimālā vērtība α k =0, kas ir triviāls, un α k =(x, ek). Tad ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Tādējādi iegūstam Besela nevienādību ∑α k 2 ||x|| 2. Ja ρ=0 ortonormālu vektoru sistēmu (ONS) sauc par pilnīgu ortonormālu sistēmu Steklova (PONS) izpratnē. No šejienes mēs varam iegūt Steklova - Parseval vienādību ∑α k 2 =||x|| 2 - "Pitagora teorēma" pilnām, Steklova izpratnē, bezgalīgajām Eiklīda telpām. Tagad būtu jāpierāda, ka, lai jebkurš telpas vektors tiktu unikāli attēlots kā Furjē rinda, kas tai saplūst, ir nepieciešams un pietiekami, lai tiktu izpildīta Steklova-Parsevala vienādība. Vektoru sistēma pic=""> ONB veido? vektoru sistēma Apsveriet rindas daļējo summu Piemērs. Trigonometriskā sistēma visu Rīmaņa integrējamo funkciju telpā f(x) segmentā [-π,π] ir PONS un veido ONB.
.
vai (e i ,e j)=δ ij — Kronecker simbols, sauc par ortonormālu (ONS).
, kurā reālos skaitļus λ i sauc par Furjē koeficientiem elementa x sistēmā , kur λ i =(x,e i).
Tad 
)
Tad 
kā konverģentas sērijas aste. Tādējādi vektoru sistēma ir PONS un veido BSS.
