Eilers Venns attēlo risinājumu piemērus. Venna diagrammas

Federālā izglītības aģentūra

Valsts izglītības iestāde augstākā profesionālā izglītība

Nacionālais pētījums

Tomskas Politehniskā universitāte

Dabas resursu institūts

VM nodaļa

KOPSAVILKUMS

Priekšmets : « Eilera-Vena diagramma»

Izpildītājs:

2U00 grupas audzēknis

Pārraugs:

Ievads………………………………………………………………………..………..3

1. No vēstures……………………………………………………………………………….….…..4

2. Eilera-Vena diagramma……………………………………………………………….…..4

3. Darbības ar Eilera-Vena diagrammu kopām……………………….5

a) Asociācija………………………….. ……………………………….……7

b) krustojums, papildinājums…………………………………………………..7

c) Pīrsa bulta, Šēfera sitiens un atšķirība................................................8

d) atšķirība…………………………………………………………………8

e) Simetriskā atšķirība un līdzvērtība…………………….…….9

Secinājums…………………………………………………………………………………10

Atsauces…………………………………………………….………..11

Ievads

Eilera apļi ir ģeometriska diagramma, ko var izmantot, lai vizuāli attēlotu attiecības starp apakškopām. Apļus izgudroja Leonhards Eilers. Izmanto matemātikā, loģikā, vadībā un citās lietišķās jomās.

Svarīgs īpašs Eilera apļu gadījums ir Eilera-Vena diagrammas, kas attēlo visas 2n n īpašību kombinācijas, tas ir, galīga Būla algebra. Ja n = 3, Eilera-Vena diagrammu parasti attēlo kā trīs apļus ar centriem vienādmalu trijstūra virsotnēs un vienādu rādiusu, kas ir aptuveni vienāds ar trijstūra malas garumu.

Risinot vairākas problēmas, Leonhards Eilers izmantoja ideju attēlot kopas, izmantojot apļus. Tomēr šo metodi jau pirms Eilera izmantoja izcils vācu filozofs un matemātiķis (1646-1716). Leibnics tos izmantoja, lai ģeometriski interpretētu loģiskās saiknes starp jēdzieniem, taču joprojām deva priekšroku lineāro diagrammu izmantošanai.

Bet pats L. Eilers šo metodi izstrādāja diezgan pamatīgi. Eilera apļa metodi savā grāmatā “Loģikas algebra” izmantoja arī vācu matemātiķis Ernsts Šrēders (1841-1902). Īpašu uzplaukumu grafiskās metodes sasniedza angļu loģiķa Džona Venna (1843-1923) darbos, kurš tās sīki izklāstīja grāmatā “Simboliskā loģika”, kas izdota 1881. gadā Londonā. Tāpēc šādas diagrammas dažreiz sauc par Eilera-Vena diagrammām.

1.No vēstures

Leonards Eilers(1707 - 1783, Sanktpēterburga, Krievijas impērija) - matemātiķis, mehāniķis, fiziķis. Fizioloģijas asistents, fizikas profesors, augstākās matemātikas profesors, kurš devis nozīmīgu ieguldījumu matemātikas, kā arī mehānikas, fizikas, astronomijas un vairāku lietišķo zinātņu attīstībā.

Eilers ir vairāk nekā 800 darbu autors par matemātisko analīzi, diferenciālģeometriju, skaitļu teoriju, aptuveniem aprēķiniem, debess mehāniku, matemātisko fiziku, optiku, ballistiku, kuģu būvi, mūzikas teoriju utt.

Gandrīz pusi dzīves viņš pavadīja Krievijā, kur sniedza nozīmīgu ieguldījumu Krievijas zinātnes attīstībā. 1726. gadā viņu uzaicināja strādāt uz Pēterburgu, uz kurieni viņš pārcēlās pēc gada. No 1711. līdz 1741. gadam un arī no 1766. gadam bijis Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas akadēmiķis (1741. – 1766. gadā strādājis Berlīnē, vienlaikus paliekot goda biedrs Pēterburgas akadēmija). Viņš labi zināja krievu valodu un dažus savus darbus (īpaši mācību grāmatas) izdeva krievu valodā. Pirmie krievu akadēmiskie matemātiķi (S.K. Koteļņikovs) un astronomi (S.Ja. Rumovskis) bija Eilera studenti. Daži viņa pēcnācēji joprojām dzīvo Krievijā.

Džons Venns (1, angļu loģiķis. Strādājis klašu loģikas jomā, kur izveidojis īpašu grafisko aparātu (tā sauktās Venna diagrammas), kas atrada pielietojumu loģiski matemātiskajā “formālās” teorijā. neironu tīkli" Venns ir atbildīgs par apgriezto darbību pamatojumu Dž. Būla loģiskajā aprēķinā. Džona galvenā interešu joma bija loģika, un viņš publicēja trīs rakstus par šo tēmu. Tie bija "The Logic of Chance", kas 1866. gadā ievieš frekvences interpretāciju jeb biežuma varbūtības teoriju; "Simboliskā loģika", ar kuru 1881. gadā tika ieviestas Venna diagrammas; "Empīriskās loģikas principi" 1889. gadā, kas sniedz pamatojumu apgrieztām darbībām Būla loģikā.

Matemātikā zīmējumi apļu veidā, kas attēlo kopas, ir izmantoti ļoti ilgu laiku. Viens no pirmajiem, kas izmantoja šo metodi, bija izcils vācu matemātiķis un filozofs (1. Viņa aptuvenajās skicēs tika atrasti zīmējumi ar šādiem apļiem. Tad šo metodi diezgan pamatīgi izstrādāja Leonhards Eilers. Viņš ilgus gadus strādāja Sanktpēterburgas akadēmijā Zinātnes.Šis laiks datējams ar viņa slavenajām "Vēstulēm vācu princesei", kas rakstītas no 1761. līdz 1768. gadam. Dažās no šīm "Vēstulām..." Eilers stāsta par savu metodi. Pēc Eilera to pašu metodi izstrādāja čehs. matemātiķis Bernards Bolcāno (1Tikai Atšķirībā no Eilera viņš zīmēja nevis riņķveida, bet taisnstūrveida diagrammas. Eilera apļu metodi izmantoja arī vācu matemātiķis Ernests Šrēders (1Šī metode plaši izmantota grāmatā “Loģikas algebra”. Taču grafiskās metodes sasniedza to vislielākā uzplaukums ir angļu loģiķa Džona Venna darbos (1. Ar šo vislielāko pilnīgumu metodi viņš izklāstīja grāmatā “Simboliskā loģika”, kas izdota Londonā 1881. gadā. Par godu Vennam Eilera apļu vietā, attiecīgie zīmējumi dažreiz tiek sauktas par Venna diagrammām; dažās grāmatās tās sauc arī par Eilera-Vena diagrammām (vai apļiem).

2. Eilera-Vena diagramma

Kopas un apakškopas jēdzieni tiek izmantoti daudzu matemātikas jēdzienu definīcijā un jo īpaši ģeometriskas figūras definīcijā. Definēsim plakni kā universālu kopu. Tad mēs varam sniegt šādu ģeometriskās figūras definīciju planimetrijā:

Ģeometriskā figūra tiek izsaukta jebkura plaknes punktu kopa. Lai vizuāli parādītu kopas un attiecības starp tām, zīmējiet ģeometriskas figūras, kas ir šajās attiecībās savā starpā. Šādus kopu attēlus sauc par Eilera-Vena diagrammām. Eilera-Vena diagrammas skaidri parāda dažādus apgalvojumus par kopām. Uz tiem universālais komplekts ir attēlots kā taisnstūris, bet tā apakškopas kā apļi. Izmanto matemātikā, loģikā, vadībā un citās lietišķās jomās.

Eilera-Vena diagramma sastāv no liela taisnstūra, kas attēlo universālo kopu U, un tā iekšpusē - apļi (vai dažas citas slēgtas figūras), kas attēlo kopas. Formām ir jākrustojas visvispārīgākajā veidā, kā to prasa problēma, un tām jābūt attiecīgi marķētām. Punktus, kas atrodas dažādās diagrammas zonās, var uzskatīt par atbilstošo kopu elementiem. Kad diagramma ir izveidota, varat ēnot noteiktus apgabalus, lai norādītu jaunizveidotās kopas.

Pamatdarbības ar komplektiem:

Krustojuma savienības atšķirība

3.Darbības ar Eilera-Vena diagrammu kopām

Tiek uzskatīts, ka kopu darbības iegūst jaunas kopas no esošajām.

	Definīcija. asociācija kopas A un B ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A, B (1. att.):
	Definīcija. Ar krustojumu kopas A un B ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B (2. att.):
	Definīcija . Pēc atšķirības kopas A un B ir visu to un tikai to A elementu kopa, kas nav ietverti B (3. att.):
	Definīcija. Simetriska atšķirība kopas A un B ir šo kopu elementu kopa, kas pieder vai nu tikai kopai A, vai tikai kopai B (4. att.):
	Definīcija. Absolūts papildinājums kopa A ir visu to elementu kopa, kas nepieder kopai A (5. att.):

Tagad sīkāk ar piemēriem.

Lai tiek dota noteikta objektu kopa, kuru pēc pārrēķina varētu apzīmēt kā

A = (1, 2, 4, 6) un B = (2, 3, 4, 8, 9)

apaļi un balti priekšmeti. Var piezvanīt uz oriģinālo komplektu fundamentāli, un apakškopas A un B ir vienkārši komplekti.

Rezultātā mēs iegūstam četras elementu klases:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - elementiem nav neviena no nosauktajām īpašībām,

C 1 = (1, 6) - elementiem ir tikai īpašība A (apaļa),

C 2 = (3, 8, 9) — elementiem ir tikai īpašība B (balts),

C 3 = (2, 4) - elementiem vienlaikus ir divas īpašības A un B.

Attēlā 1.1. norādītās klases ir attēlotas, izmantojot Eilera - Venna diagrammas.

Rīsi. 1.1

Bieži vien diagrammām nav pilnīgas vispārīguma, piemēram, tā, kas parādīta attēlā. 1.2. Uz tā komplekts A jau ir pilnībā iekļauts B. Šajā gadījumā tiek izmantots īpašs iekļaušanas simbols (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Ja vienlaikus ir izpildīti divi nosacījumi: A Ì B un B Ì A, tad A = B, šajā gadījumā viņi saka, ka kopas A un B pilnīgi līdzvērtīgi.

Rīsi. 1.2

Pēc tam, kad ir definētas četras elementu klases un sniegta nepieciešamā informācija par Eilera-Vena diagrammām, mēs ieviešam darbības ar kopām. Vispirms apskatīsim operāciju asociācijas.

a) asociācija

asociācija kopas A = (1, 2, 4, 6) un B = (2, 3, 4, 8, 9)

sauksim komplektu

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

kur È ir kopu savienības simbols. Tādējādi savienība aptver trīs elementu klases - C 1, C 2 un C 3, kas diagrammā ir iekrāsoti (1.3. att.).

Loģiski divu kopu apvienošanas darbību var raksturot ar vārdiem: elements x pieder kopai A vai kopai B. Turklāt savienojošais "vai" vienlaikus nozīmē savienojošo "un". Elementa īpašumtiesību fakts x kopa A tiek apzīmēta kā xО A. Tāpēc ko x pieder A vai/un B, izteikts ar formulu:

xÎ A È B = ( xÎ A) Ú ( xО B),

kur Ú ir loģiskā savienojuma simbols vai, ko sauc disjunkcija.

b) Krustojums, papildinājums

Ar krustojumu kopas A un B sauc par kopu A Ç B, kas satur tos elementus no A un B, kas ir iekļauti vienlaikus abās kopās. Priekš mūsu skaitlisks piemērs būs:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Eilera-Vena diagramma krustojumam ir parādīta attēlā. 1.4.

Kas x pieder vienlaicīgi divām kopām A un B var attēlot ar izteiksmi:

xÎ A Ç B = ( xÎ A) Ù ( xО B),

kur Ù ir loģiskā savienojuma “un” simbols, ko sauc savienojums.

Iedomāsimies darbību, kuras rezultātā tiek parādīti ēnoti apgabali C 1 un C 3, veidojot komplektu A (1.5. att.). Pēc tam vēl viena operācija, kas aptvers divas citas jomas - C 0 un C 2 nav iekļauts A, kas tiek apzīmēts kā A(1.6. att.).

Rīsi. 1.5

Rīsi. 1.6

Ja abās diagrammās apvienojam ēnotos apgabalus, iegūstam visu ēnoto kopu 1; krustojums A un A tukšajai kopai dos 0, kurā nav neviena elementa:

A È A= 1, A Ç A = 0.

ķekars A papildina kopa A uz pamatkopu V (vai 1); tāpēc nosaukums: papildu komplekts A, vai papildinājums kā operācija. Būla mainīgā papildinājums x, t.i. x (Ne- x), sauc visbiežāk x noliegums.

Pēc krustojuma un saskaitīšanas operāciju ieviešanas visas četras zonas Ci Eilera-Vena diagrammu var izteikt šādi:

C 0 = A Ç B, C 1 = A Ç B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Apvienojot attiecīgās jomas Ci Varat iedomāties jebkuru vairāku darbību, ieskaitot pašu savienību:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Eilera-Vena diagramma implicēšanai (1.10. att.) parāda daļēja kopas A iekļaušana kopā B, kas ir jānošķir pilns ieslēgumi (1.2. att.).

Ja ir norādīts, ka "kopas A elementi ir iekļauti kopā B", tad domēns C 3 jābūt ēnotam, un laukumam C 1 ar tādu pašu nepieciešamību jāatstāj balts. Attiecībā uz jomām C 0 un C 1, kas atrodas A, ņemiet vērā, ka mums nav tiesību atstāt tos baltas, taču mums joprojām ir pienākums apgabalos, kas ietilpst A, ēna.

E) Simetriskā atšķirība un līdzvērtība

Atliek dot vēl divas savstarpēji papildinošas darbības - simetrisko atšķirību un ekvivalenci. Divu kopu A un B simetriskā atšķirība ir divu atšķirību savienība:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Ekvivalenci nosaka tie kopu A un B elementi, kas tiem ir kopīgi. Tomēr elementi, kas nav ne A, ne B, arī tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Attēlā 1.11. un 1.12. attēlā parādīts Eilera-Vena diagrammu ēnojums.

Rīsi. 1.11

Rīsi. 1.12

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka simetriskajai atšķirībai ir vairāki nosaukumi: stingra disjunkcija, izslēdzoša alternatīva, summa modulo divi. Šo darbību var izteikt vārdos - “vai nu A, vai B”, t.i., tas ir loģisks savienojums “vai”, bet bez tajā iekļautā savienojošā “un”.

Secinājums

Eilera-Vena diagrammas ir kopu ģeometriski attēlojumi. Vienkārša diagramma nodrošina universālā komplekta vizuālu attēlojumu U, un tā iekšpusē - apļi (vai dažas citas slēgtas figūras), kas attēlo kopas. Figūras krustojas visvispārīgākajā uzdevumā nepieciešamajā gadījumā un atbilst figurālajam attēlam. Punktus, kas atrodas dažādās diagrammas zonās, var uzskatīt par atbilstošo kopu elementiem. Kad diagramma ir izveidota, varat ēnot noteiktus apgabalus, lai norādītu jaunizveidotās kopas. Tas ļauj mums iegūt vispilnīgāko izpratni par problēmu un tās risinājumu. Eilera-Vena diagrammu vienkāršība ļauj šo paņēmienu izmantot tādās jomās kā matemātika, loģika, vadība un citās lietišķās jomās.

Bibliogrāfija

1. Loģikas vārdnīca. - M.: Tumanīts, red. VLADOS centrs. , . 1997. gads

2. Weisstein, Eric W. “Venn Diagram” (angļu valodā) Wolfram MathWorld tīmekļa vietnē.

Kopu teorijas elementi.

"Zem daudzi mēs saprotam noteiktu, pilnīgi atšķiramu mūsu intuīcijas vai mūsu domas objektu apvienošanos vienā veselumā” – tā jēdzienu “kopa” aprakstīja kopu teorijas pamatlicējs Georgs Kantors.

Kantora kopu teorijas pamatprincipi ir šādi:

1° Komplekts var sastāvēt no jebkuriem atšķiramiem objektiem.

2° Kopu unikāli nosaka to veidojošo objektu kopa.

3° Jebkurš rekvizīts definē objektu kopu, kam ir šis rekvizīts.

Ja x ir objekts, P ir īpašība, P(x) ir apzīmējums, ka x ir īpašība P, tad (x|P(x)) apzīmē visu objektu klasi, kuriem ir īpašība P. Objekti, kas veido tiek izsaukta klase vai kopa elementi klase vai komplekts.

Termiņš " ķekars" tiek izmantots kā sinonīms jēdzieniem kopa, kolekcija, dažu elementu kolekcija. Tādējādi mēs varam runāt par:

a) daudz bišu stropā,

b) punktu kopa segmentā,

c) kvadrāta virsotņu kopa vai tā malu un diagonāļu kopas,

d) auditorijā ir daudz studentu utt.

Iepriekš minētajos piemēros gadījumos a), c)-d) atbilstošās kopas sastāv no noteikta ierobežota objektu skaita, šādas kopas sauc galīgais. Nogriežņa punktu kopu (piemērs b)) nevar saskaitīt, tāpēc šādas kopas tiek izsauktas bezgalīgs. Tiek izsaukta kopa, kurā nav neviena elementa tukšs daudzi.

Lielākā daļa vienkārša forma kopas precizēšana - tās elementu uzskaitīšana, piemēram, A = (4, 7, 13) (kopa A sastāv no trim elementiem - veseliem skaitļiem 4, 7, 13). Vēl viena bieži lietota piešķiršanas forma ir kopas elementu īpašību norādīšana, piemēram, A = (x| x 2 ≤ 4) - skaitļu kopa x, kas atbilst norādītajam nosacījumam.

Kopas parasti apzīmē ar lielajiem burtiem A, B, C,..., bet to elementus ar mazajiem burtiem: a, b, c,... Apzīmējums a ∈ A (lasi: a pieder pie A) vai A ∋ a (lasīt: A satur a) nozīmē , ka a ir kopas A elements. Tukšu kopu apzīmē ar simbolu Ø.

Ja katrs kopas B elements ir arī kopas A elements, tiek izsaukta kopa B apakškopa komplekts A (apzīmējums - B ⊆ A vai A ⊇ B).

Katra kopa ir sava apakškopa (šī ir kopas “plašākā” apakškopa). Tukšā kopa ir jebkuras kopas apakškopa (šī ir "šaurākā" apakškopa). Jebkura cita kopas A apakškopa satur vismaz vienu kopas A elementu, bet ne visus tās elementus. Šādas apakškopas sauc par patiesajām vai pareizajām apakškopām. Kopas A patiesajām apakškopām izmanto apzīmējumu B ⊂ A vai A ⊃ B. Ja vienlaikus B ⊆ A un A ⊆ B, tas ir, katrs kopas B elements pieder pie A, un tajā pašā laikā. Laika gaitā katrs A elements pieder pie B, tad A un B acīmredzot sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem un tāpēc sakrīt. Šajā gadījumā tiek izmantota vienādības zīmju kopa: A = B. (Simbolus ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ sauc par iekļaušanas simboliem).

Ģeometriski kopas parasti tiek attēlotas kā noteiktas plaknes punktu kopas. Pašas bildes sauc Eilera-Vena diagrammas (Eilera apļi). Tas ir, Eilera-Vena diagrammas ir kopu ģeometriski attēlojumi vai attiecību ģeometriski attēlojumi starp jēdzienu apjomiem caur krustojošām kontūrām (apļiem vai elipsēm), ko pagājušā gadsimta beigās ierosināja angļu loģiķis Džons Venns (1834–1923). . Savos darbos par loģisku figūru vizuālo grafisko attēlojumu viņš paļāvās uz vairākām grafiskām sistēmām, ko ierosināja Eilers (1707 - 1783), I. Lamberts (1728 - 1777), Gergonne (1771 - 1859), B. Bolcāno (1781 - 1848).

Šeit ir dažas diagrammas. Diagrammas uzbūve sastāv no liela taisnstūra zīmēšanas, kas attēlo universālo komplektu U, un tā iekšpusē - apļi (vai dažas citas slēgtas figūras), kas attēlo kopas. Formām ir jākrustojas visvispārīgākajā veidā, kā to prasa problēma, un tām jābūt attiecīgi marķētām. Punktus, kas atrodas dažādās diagrammas zonās, var uzskatīt par atbilstošo kopu elementiem. Kad diagramma ir izveidota, varat ēnot noteiktus apgabalus, lai norādītu jaunizveidotās kopas.

Tiek uzskatīts, ka kopu darbības iegūst jaunas kopas no esošajām.

Definīcija. asociācija kopas A un B ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A, B (1. att.):

Definīcija. Ar krustojumu kopas A un B ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B (2. att.):

Definīcija. Pēc atšķirības kopas A un B ir visu to un tikai to A elementu kopa, kas nav ietverti B (3. att.):

Definīcija. Simetriska atšķirība kopas A un B ir šo kopu elementu kopa, kas pieder vai nu tikai kopai A, vai tikai kopai B (4. att.):

Vēl viens izplatīts simetrisko atšķirību apzīmējums ir: A ∆ B, tā vietā A + B.

Definīcija. Absolūts papildinājums kopa A ir visu to elementu kopa, kas nepieder kopai A (5. att.):

Krustojuma darbības īpašības: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=Ø; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A;	Arodbiedrības darbības īpašības: 1) AUA=A; 2) AUØ=A; 3) AUĀ= U; 4) AUU=U; 5) AUB=BUA;
Starpības operācijas īpašības: 1) A\A= Ø; 2) A\Ø= A; 3) A\Ā= A; 4) A\U= Ø;	5) U\A= Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A;

Ir spēkā šādas vienādības: (AUB)= A∩B; (A∩B) = AUB.

Noslēgumā mēs piedāvājam vēl vienu formulu elementu skaita aprēķināšanai trīs kopu savienībā (vispārējam to gadījumam relatīvā pozīcija parādīts attēlā):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

1. piemērs. Pierakstiet visu skaitļa 15 dabisko dalītāju kopu un tā elementu skaitu.

2. piemērs. Dotās kopas A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 ,20).

Atrodiet AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

AUB= (1,2,3,4,5,8,13,15,16)

CUD= (0,1,12,13,15,16,20)

AUBUC= (1,2,3,4,5,8,12,13,15,16)

BU(D∩C)= (1,3,4,8,16)

(A∩C)\D= (13.15)

3. piemērs. Skolā mācās 1400 skolēnu. No tiem 1250 var slēpot un 952 var slidot. 60 skolēni neprot ne slēpot, ne slidot. Cik skolēnu var slidot un slēpot?

A∩B ir skolēnu kopums, kuri neprot slēpot vai slidot.

Pēc nosacījuma m(A∩B)=60 mēs izmantojam arī vienādojumu (AUB)= A∩B, tad m((AUB))=60.

Tātad m(AUB)=m( U)-m((AUB))=1400-60=1340.

Pēc nosacījuma m(A)=1250, m(B)=952 iegūstam m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

4. piemērs. Eksāmenu sesiju nokārtoja 25 studentu grupa ar šādus rezultātus: 2 cilvēki saņēma tikai “izcili”; 3 personas saņēma teicamas, labas un apmierinošas atzīmes; 4 cilvēki tikai “labi”; Labas un apmierinošas atzīmes saņēma 3 cilvēki. To studentu skaits, kuri nokārtojuši sesiju tikai ar vērtējumu “teicami”, “labi”, ir vienāds ar to studentu skaitu, kuri sesiju nokārtojuši tikai kā “apmierinoši”. Nav skolēnu, kuri būtu saņēmuši tikai teicamas un apmierinošas atzīmes. Apmierinošas vai labas atzīmes saņēma 22 skolēni. Cik skolēnu neieradās uz eksāmeniem? Cik studentu sesiju nokārtoja tikai “apmierinoši”?x. Tad no nosacījuma mēs iegūstam

Uz eksāmenu neieradušos skolēnu skaitu konstatējam šādi:

Atbilde: 6 skolēni saņēma tikai “apmierinošu” atzīmi, 1 skolēns neieradās uz eksāmeniem.

5. piemērs.

Sadaļas: Datorzinātne

1. Ievads

Pamatskolas un vecāko klašu Datorikas un IKT kursā tiek apspriestas tādas svarīgas tēmas kā “Loģikas pamati” un “Informācijas meklēšana internetā”. Risinot noteikta veida problēmas, ir ērti izmantot Eilera apļus (Eulera-Vena diagrammas).

Matemātiskā atsauce. Eilera-Vena diagrammas galvenokārt tiek izmantotas kopu teorijā kā shematisks visu iespējamo vairāku kopu krustpunktu attēlojums. Kopumā tie attēlo visas 2 n n īpašību kombinācijas. Piemēram, ja n=3, Eilera-Vena diagrammu parasti attēlo kā trīs apļus ar centriem vienādmalu trijstūra virsotnēs un vienādu rādiusu, kas ir aptuveni vienāds ar trijstūra malas garumu.

2. Loģisko savienojumu attēlojums meklēšanas vaicājumos

Izpētot tēmu “Informācijas meklēšana internetā”, tiek aplūkoti meklēšanas vaicājumu piemēri, izmantojot loģiskos savienojumus, kas pēc nozīmes ir līdzīgi krievu valodas savienojumiem “un”, “vai”. Loģisko savienojumu nozīme kļūst skaidrāka, ja tos ilustrējat, izmantojot grafisko diagrammu - Eilera apļus (Eulera-Vena diagrammas).

Loģisks savienojums	Pieprasījuma piemērs	Paskaidrojums	Eilera apļi
& - "UN"	Parīze & universitāte	Tiks atlasītas visas lapas, kurās minēti abi vārdi: Parīze un universitāte	1. att
\| - "VAI"	Parīze \| universitāte	Tiks atlasītas visas lapas, kurās ir minēti vārdi Parīze un/vai universitāte	2. att

3. Loģisko operāciju saistība ar kopu teoriju

Eilera-Vena diagrammas var izmantot, lai vizualizētu saikni starp loģiskajām operācijām un kopu teoriju. Demonstrēšanai varat izmantot slaidus 1.pielikums.

Loģiskās darbības nosaka to patiesības tabulas. IN 2. pielikums Sīki tiek aplūkoti loģisko darbību grafiskie ilustrācijas kopā ar to patiesības tabulām. Izskaidrosim diagrammas konstruēšanas principu vispārīgā gadījumā. Diagrammā apļa laukums ar nosaukumu A parāda apgalvojuma A patiesumu (kopu teorijā aplis A ir visu dotajā kopā iekļauto elementu apzīmējums). Attiecīgi laukums ārpus apļa parāda atbilstošā paziņojuma “viltus” vērtību. Lai saprastu, kurā diagrammas apgabalā tiks parādīta loģiskā darbība, ir jāieēno tikai tie apgabali, kuros loģiskās darbības vērtības kopās A un B ir vienādas ar “true”.

Piemēram, implikācijas vērtība ir patiesa trīs gadījumos (00, 01 un 11). Noēnosim secīgi: 1) laukumu ārpus diviem krustojošiem apļiem, kas atbilst vērtībām A=0, B=0; 2) laukums, kas saistīts tikai ar apli B (pusmēness), kas atbilst vērtībām A=0, B=1; 3) apgabals, kas saistīts gan ar apli A, gan apli B (krustojums) - atbilst vērtībām A=1, B=1. Šo trīs apgabalu kombinācija būs implikācijas loģiskās darbības grafisks attēlojums.

4. Eilera apļu izmantošana loģisko vienādību pierādīšanā (likumi)

Lai pierādītu loģiskās vienādības, varat izmantot Eilera-Vena diagrammas metodi. Pierādīsim šādu vienādību ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morgana likums).

Lai vizuāli attēlotu vienādības kreiso pusi, darīsim to secīgi: iekrāsojiet abus apļus (pielietojiet disjunkciju) ar pelēku krāsu, pēc tam, lai parādītu inversiju, ietonējiet laukumu ārpus apļiem ar melnu krāsu:

3. att 4. att

Lai vizuāli attēlotu vienādības labo pusi, darīsim to secīgi: ietonēsim apgabalu inversijas attēlošanai (¬A) pelēkā krāsā un, līdzīgi, apgabalu ¬B arī pelēkā krāsā; tad, lai parādītu savienojumu, jums ir jāņem šo pelēko zonu krustpunkts (pārklājuma rezultāts ir attēlots melnā krāsā):

5. att 6. att 7. att

Mēs redzam, ka laukumi kreisās un labās daļas attēlošanai ir vienādi. Q.E.D.

5. Problēmas valsts pārbaudījuma un vienotā valsts eksāmena formātā par tēmu: “Informācijas meklēšana internetā”

Problēma Nr. 18 no GIA 2013 demonstrācijas versijas.

Tabulā ir parādīti vaicājumi meklēšanas serverim. Katram pieprasījumam tiek norādīts tā kods - atbilstošais burts no A līdz G. Sakārtojiet pieprasījuma kodus no kreisās uz labo pusi lejupejoša lapu skaits, ko meklētājprogramma atradīs katram pieprasījumam.

Kods	Pieprasīt
A	(Fly & Money) \| Samovārs
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	Lidot \| Nauda \| Samovārs
G	Fly & Money & Samovar

Katram vaicājumam mēs izveidosim Eilera-Vena diagrammu:

Pieprasīt A

Pieprasījums B

Pieprasīt G

Atbilde: VAGB.

Problēma B12 no vienotā valsts eksāmena 2013 demonstrācijas versijas.

Tabulā ir parādīti vaicājumi un atrasto lapu skaits noteiktam interneta segmentam.

Pieprasīt	Atrastas lapas (tūkstošos)
Fregate \| Iznīcinātājs	3400
Fregate un iznīcinātājs	900
Fregate	2100

Cik lapu (tūkstošos) tiks atrasts vaicājumam? Iznīcinātājs?

Tiek uzskatīts, ka visi vaicājumi tika izpildīti gandrīz vienlaikus, tāpēc lapu kopa, kurā bija visi meklētie vārdi, vaicājumu izpildes laikā nemainījās.

Ф – lappušu skaits (tūkstošos) pēc pieprasījuma Fregate;

E – lappušu skaits (tūkstošos) pēc pieprasījuma Iznīcinātājs;

X – lappušu skaits (tūkstošos) vaicājumam, kurā minēts Fregate Un Nav minēts Iznīcinātājs;

Y – lappušu skaits (tūkstošos) vaicājumam, kurā minēts Iznīcinātājs Un Nav minēts Fregate.

Izveidosim Eilera-Vena diagrammas katram vaicājumam:

Pieprasīt	Eilera-Vena diagramma	Lapu skaits
Fregate \| Iznīcinātājs	12. att	3400
Fregate un iznīcinātājs	13. att	900
Fregate	14. att	2100
Iznīcinātājs	15. att	?

Saskaņā ar diagrammām mums ir:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. No šejienes mēs atrodam Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900+U = 900+1300 = 2200.

Atbilde: 2200.

6. Loģisku nozīmīgu uzdevumu risināšana, izmantojot Eilera-Vena diagrammas metodi

Klasē ir 36 cilvēki. Šīs klases skolēni apmeklē matemātikas, fizikas un ķīmijas pulciņus, no kuriem matemātikas apli apmeklē 18 cilvēki, fizisko apli 14 cilvēki, ķīmijas apli 10. Turklāt ir zināms, ka visus trīs apļus apmeklē 2 cilvēki, 8 cilvēki. apmeklē gan matemātisko un fizisko, 5 un matemātisko un ķīmisko, 3 - gan fizisko, gan ķīmisko.

Cik skolēnu klasē neapmeklē nevienu pulciņu?

Lai atrisinātu šo problēmu, ir ļoti ērti un intuitīvi izmantot Eilera apļus.

Lielākais aplis ir visu klases skolēnu kopums. Apļa iekšpusē ir trīs krustojošas kopas: matemātiskās ( M), fiziska ( F), ķīmiskais ( X) apļi.

Ļaujiet MFC- daudz puišu, no kuriem katrs apmeklē visus trīs pulciņus. MF¬X- daudz bērnu, no kuriem katrs apmeklē matemātikas un fizikas pulciņus un Nav apmeklē ķīmiju. ¬M¬FH- daudz puišu, no kuriem katrs apmeklē ķīmijas pulciņu un neapmeklē fizikas un matemātikas pulciņus.

Līdzīgi mēs ieviešam komplektus: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Zināms, ka visus trīs apļus apmeklē 2 cilvēki, tātad novadā MFC Ievadīsim ciparu 2. Jo 8 cilvēki apmeklē gan matemātikas, gan fiziskos apļus un starp tiem jau ir 2 cilvēki, kas apmeklē visus trīs apļus, tad reģionā MF¬X ielaidīsim 6 cilvēkus (8-2). Līdzīgi noteiksim studentu skaitu atlikušajās kopās:

Summēsim cilvēku skaitu visos reģionos: 7+6+3+2+4+1+5=28. Līdz ar to pulciņus no klases apmeklē 28 cilvēki.

Tas nozīmē, ka pulciņus neapmeklē 36-28 = 8 skolēni.

Pēc ziemas brīvlaika klases audzinātāja jautāja, kurš no bērniem gājis uz teātri, kino vai cirku. Izrādījās, ka no 36 klases skolēniem divi nekad nav bijuši kinoteātrī. ne teātrī, ne cirkā. 25 cilvēki devās uz kino, 11 uz teātri, 17 uz cirku; gan kino, gan teātrī - 6; gan kinoteātrī, gan cirkā - 10; un teātrī un cirkā - 4.

Cik cilvēku ir bijuši kinoteātrī, teātrī un cirkā?

Lai x ir to bērnu skaits, kuri ir bijuši kinoteātrī, teātrī un cirkā.

Pēc tam varat izveidot šādu diagrammu un saskaitīt puišu skaitu katrā apgabalā:

Kino un teātri apmeklēja 6 cilvēki, kas nozīmē, ka kino un teātri apmeklēja tikai 6 cilvēki.

Līdzīgi tikai kino un cirkā (10.) cilvēki.

Tikai teātrī un cirkā (4) cilvēki.

25 cilvēki apmeklēja kino, kas nozīmē, ka 25 no viņiem apmeklēja tikai kino - (10.) - (6.) - x = (9+x).

Tāpat tikai teātrī bija (1+x) cilvēki.

Tikai cirkā bija (3+x) cilvēki.

Neesmu bijis teātrī, kino vai cirkā – 2 cilvēki.

Tas nozīmē 36-2=34 cilvēkus. apmeklēja pasākumus.

No otras puses, mēs varam apkopot to cilvēku skaitu, kuri bija teātrī, kino un cirkā:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6)+(4)+x = 34

No tā izriet, ka visus trīs pasākumus apmeklēja tikai viena persona.

Tādējādi Eilera apļi (Eulera-Vena diagrammas) atrod praktisku pielietojumu uzdevumu risināšanā vienotā valsts eksāmena un valsts pārbaudījuma formātā un jēgpilnu loģisko uzdevumu risināšanā.

Literatūra

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Loģika datorzinātnēs. M.: Informātika un izglītība, 2006. 155 lpp.
L.L. Bosova. Datoru aritmētiskie un loģiskie pamati. M.: Informātika un izglītība, 2000. 207 lpp.
L.L. Bosova, A.Ju. Bosova. Mācību grāmata. Datorzinātnes un IKT 8. klasei: BINOM. Zināšanu laboratorija, 2012. 220 lpp.
L.L. Bosova, A.Ju. Bosova. Mācību grāmata. Datorzinātnes un IKT 9. klasei: BINOM. Zināšanu laboratorija, 2012. 244 lpp.
FIPI vietne: http://www.fipi.ru/

Sadaļas: Datorzinātne

1. Ievads

2. Loģisko savienojumu attēlojums meklēšanas vaicājumos

3. Loģisko operāciju saistība ar kopu teoriju

Eilera-Vena diagrammas var izmantot, lai vizualizētu saikni starp loģiskajām operācijām un kopu teoriju. Demonstrēšanai varat izmantot slaidus 1.pielikums.

4. Eilera apļu izmantošana loģisko vienādību pierādīšanā (likumi)

Lai pierādītu loģiskās vienādības, varat izmantot Eilera-Vena diagrammas metodi. Pierādīsim šādu vienādību ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morgana likums).

3. att 4. att

5. att 6. att 7. att

Mēs redzam, ka laukumi kreisās un labās daļas attēlošanai ir vienādi. Q.E.D.

5. Problēmas valsts pārbaudījuma un vienotā valsts eksāmena formātā par tēmu: “Informācijas meklēšana internetā”

Problēma Nr. 18 no GIA 2013 demonstrācijas versijas.

Kods	Pieprasīt
A	(Fly & Money) \| Samovārs
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	Lidot \| Nauda \| Samovārs
G	Fly & Money & Samovar

Katram vaicājumam mēs izveidosim Eilera-Vena diagrammu:

Pieprasīt A

Pieprasījums B

Pieprasīt G

Atbilde: VAGB.

Problēma B12 no vienotā valsts eksāmena 2013 demonstrācijas versijas.

Tabulā ir parādīti vaicājumi un atrasto lapu skaits noteiktam interneta segmentam.

Pieprasīt	Atrastas lapas (tūkstošos)
Fregate \| Iznīcinātājs	3400
Fregate un iznīcinātājs	900
Fregate	2100

Cik lapu (tūkstošos) tiks atrasts vaicājumam? Iznīcinātājs?

Tiek uzskatīts, ka visi vaicājumi tika izpildīti gandrīz vienlaikus, tāpēc lapu kopa, kurā bija visi meklētie vārdi, vaicājumu izpildes laikā nemainījās.

Ф – lappušu skaits (tūkstošos) pēc pieprasījuma Fregate;

E – lappušu skaits (tūkstošos) pēc pieprasījuma Iznīcinātājs;

X – lappušu skaits (tūkstošos) vaicājumam, kurā minēts Fregate Un Nav minēts Iznīcinātājs;

Y – lappušu skaits (tūkstošos) vaicājumam, kurā minēts Iznīcinātājs Un Nav minēts Fregate.

Izveidosim Eilera-Vena diagrammas katram vaicājumam:

Pieprasīt	Eilera-Vena diagramma	Lapu skaits
Fregate \| Iznīcinātājs	12. att	3400
Fregate un iznīcinātājs	13. att	900
Fregate	14. att	2100
Iznīcinātājs	15. att	?

Saskaņā ar diagrammām mums ir:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. No šejienes mēs atrodam Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900+U = 900+1300 = 2200.

Atbilde: 2200.

6. Loģisku nozīmīgu uzdevumu risināšana, izmantojot Eilera-Vena diagrammas metodi

Cik skolēnu klasē neapmeklē nevienu pulciņu?

Lai atrisinātu šo problēmu, ir ļoti ērti un intuitīvi izmantot Eilera apļus.

Lielākais aplis ir visu klases skolēnu kopums. Apļa iekšpusē ir trīs krustojošas kopas: matemātiskās ( M), fiziska ( F), ķīmiskais ( X) apļi.

Līdzīgi mēs ieviešam komplektus: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Summēsim cilvēku skaitu visos reģionos: 7+6+3+2+4+1+5=28. Līdz ar to pulciņus no klases apmeklē 28 cilvēki.

Tas nozīmē, ka pulciņus neapmeklē 36-28 = 8 skolēni.

Cik cilvēku ir bijuši kinoteātrī, teātrī un cirkā?

Lai x ir to bērnu skaits, kuri ir bijuši kinoteātrī, teātrī un cirkā.

Pēc tam varat izveidot šādu diagrammu un saskaitīt puišu skaitu katrā apgabalā:

Kino un teātri apmeklēja 6 cilvēki, kas nozīmē, ka kino un teātri apmeklēja tikai 6 cilvēki.

Līdzīgi tikai kino un cirkā (10.) cilvēki.

Tikai teātrī un cirkā (4) cilvēki.

25 cilvēki apmeklēja kino, kas nozīmē, ka 25 no viņiem apmeklēja tikai kino - (10.) - (6.) - x = (9+x).

Tāpat tikai teātrī bija (1+x) cilvēki.

Tikai cirkā bija (3+x) cilvēki.

Neesmu bijis teātrī, kino vai cirkā – 2 cilvēki.

Tas nozīmē 36-2=34 cilvēkus. apmeklēja pasākumus.

No otras puses, mēs varam apkopot to cilvēku skaitu, kuri bija teātrī, kino un cirkā:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6)+(4)+x = 34

No tā izriet, ka visus trīs pasākumus apmeklēja tikai viena persona.

Literatūra

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Loģika datorzinātnēs. M.: Informātika un izglītība, 2006. 155 lpp.
L.L. Bosova. Datoru aritmētiskie un loģiskie pamati. M.: Informātika un izglītība, 2000. 207 lpp.
L.L. Bosova, A.Ju. Bosova. Mācību grāmata. Datorzinātnes un IKT 8. klasei: BINOM. Zināšanu laboratorija, 2012. 220 lpp.
L.L. Bosova, A.Ju. Bosova. Mācību grāmata. Datorzinātnes un IKT 9. klasei: BINOM. Zināšanu laboratorija, 2012. 244 lpp.
FIPI vietne: http://www.fipi.ru/

Eilera-Vena diagrammas ir kopu ģeometriski attēlojumi. Diagrammas uzbūve sastāv no liela taisnstūra uzzīmēšanas, kas attēlo universālo kopu U, un tā iekšpusē - apļus (vai kādas citas slēgtas figūras), kas attēlo kopas.

Formām ir jākrustojas visvispārīgākajā veidā, kā to prasa problēma, un tām jābūt attiecīgi marķētām. Punktus, kas atrodas dažādās diagrammas zonās, var uzskatīt par atbilstošo kopu elementiem. Kad diagramma ir izveidota, varat ēnot noteiktus apgabalus, lai norādītu jaunizveidotās kopas.

Tiek uzskatīts, ka kopu darbības iegūst jaunas kopas no esošajām.

Definīcija. Kopu A un B savienība ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A, B (1. att.):

Definīcija. Kopu A un B krustpunkts ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B (2. att.):

Definīcija. Atšķirība starp kopām A un B ir visu to un tikai to A elementu kopa, kas nav ietverti B (3. att.):