Vienādojumus, kas satur nezināmas funkcijas, kas paaugstinātas ar jaudu, kas lielāka par vienu, sauc par nelineāriem.
Piemēram, y=ax+b ir lineārs vienādojums, x^3 – 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ir nelineārs(parasti rakstīts kā F(x)=0).
Nelineāru vienādojumu sistēma ir vairāku nelineāru vienādojumu vienlaicīga atrisināšana ar vienu vai vairākiem mainīgajiem.
Ir daudzas 방법 nelineāru vienādojumu risinājumi un nelineāro vienādojumu sistēmas, kuras parasti iedala 3 grupās: skaitliskās, grafiskās un analītiskās. Analītiskās metodes ļauj noteikt precīzas vienādojumu risināšanas vērtības. Grafiskās metodes ir vismazāk precīzas, taču tās ļauj noteikt aptuvenākās vērtības sarežģītos vienādojumos, no kuriem vēlāk var sākt meklēt precīzākus vienādojumu risināju mus. Nelineāro vienādojumu skaitliskais risinājums ietver divus posmus: saknes atdalīšanu un tās precizēšanu līdz noteiktai precizitātei.
Sakņu atdalīšana Tiek veikta dažādos veidos: grafiski, izmantojot dažādus Specializētus 데이트 프로그램유엔 utt.
Apsvērsim vairākas metodes sakņu attīrīšanai ar noteiktu precizitāti.
Nelineāro vienādojumu skaitliskās risināšanas metodes
Pusdalīšanas 메토데.
Pusēšanas metodes būtība ir sadalīt intervālu uz pusēm (c = (a+b)/2) un izmest to intervāla daļu, kurā trūkst saknes, t.i. nosacījums F(a)xF(b)
1. att. Pusdalīšanas metodes izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.
Apskatīsim Piemēru.
Sadalīsim 세그먼트 2개: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
Ja reizinājums F(a)*F(x)>0, tad 세그먼트a a sākums Tiek pārnests uz x (a=x), pretējā gadījumā 세그먼트a b beigas Tiek pārnestas uz punktu x (b=x). Atkal sadaliet iegūto 세그먼트u uz pusēm utt. Viss veiktais aprēķins ir atspoguļots zemāk esošajā tabulā.
2. att. Aprēķinu resultātu tabula
Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0.946
Akordu 방법
Izmantojot horda metodi, Tiek norādīts 세그먼트, kurā ir tikai viena sakne ar noteiktu precizitāti e. Caur nogriežņu a un b punktiem, kuriem ir koordinātes (x(F(a);y(F(b)))) Tiek novilkta līnija (horda). Tālāk šīs līnijas krustošanās punkti ar abscisu asi (punktā z) nosaka.
Ja F(a)xF(z)
3. att. Akordu metodes izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.
Apskatīsim Piemēru. Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu x^3 – 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ar precizitāti līdz e
Kopumā vienādojums izskatās šādi: F(x)= x^3 – 0.2x^2 + 0.5x + 1.5
Atradisim F(x) vērtības 세그먼트 크기:
F(-1) = -0.2>0;
Definesim otro atvasinājumu F''(x) = 6x-0.4.
F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4
Segmenta galos ir izpildīts nosacījums F(-1)F''(-1)>0, tāpēc, lai noteiktu vienādojuma sakni, mēs izmantojam formulu:
Viss veiktais aprēķins ir atspoguļots zemāk esošajā tabulā.
4. att. Aprēķinu resultātu tabula
Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0.946
Pieskares metode(Ņūtons)
Šīs metodes pamatā ir grafika pieskares konstruēšana, kas Tiek uzzīmēta vienā no intervāla galiem. Krustošanās punktā ar X asi (z1) tiek konstruēta jauna pieskare. Šī procedūra turpinās, līdz iegūtā vērtība ir salīdzināma ar vēlamo precizitātes parametru e (F(zi)
5. att. Pieskares metodes(Ņūtona) izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.
Apskatīsim Piemēru. Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu x^3 – 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ar precizitāti līdz e
Kopumā vienādojums izskatās šādi: F(x)= x^3 – 0.2x^2 + 0.5x + 1.5
정의: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;
F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
Nosacījums F(-1)F''(-1)>0 ir izpildīts, tāpēc aprēķini Tiek veikti, izmantojot formulu:
쿠르 x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2
Viss veiktais aprēķins ir atspoguļots zemāk esošajā tabulā.
6. att. Aprēķinu resultātu tabula
Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0.946
다르바 메리스
Iepazīsīties ar nelineāro vienādojumu risināšanas pamatmetodēm un to ieviešanu MathCAD pakotnē.
바들리니야스
Inženierim bieži ir jāsastāda un jāatrisina nelineāri vienādojumi, kas var butneatkarīga problēma vai daļa no lielākas. 사레지티 우즈데부미. Abos gadījumos risinājuma metodes praktisko vērtību nosaka iegūtā risinājuma ātrums un efektivitāte, un Piemērotas metodes izvēle ir atkarīga no aplūkojamās problēmas rakstura. Ir svarīgi atzīmēt, ka datoru aprēķinu rezultāti vienmēr ir jāuztver kritiski un jāanalizē, lai Tie būtu ticami. Lai izvairītos no kļūmēm, izmantojot jebkurustandarta pakotni, kurā Tiek ieviestas skaitliskās metodes, jums ir jābūt vismaz minimālai izpratnei par to, kāda veida 스카이틀리스카 방법 ieviests, lai atrisinātu konkrētu problēmu.
Nelineāros vienādojumus var iedalīt 2 klasēs – algebriskajā un transcendentālajā. 알제브리스키 비에나도주미 Viņi sauc vienādojumus, kas satur tikai algebriskas funkcijas (veselus skaitļus - jo īpaši polinomus, racionālos, iracionālos). Tiek izsaukti vienādojumi, kas satur citas funkcijas(trigonometriskās, eksponenciālās, logaritmiskās utt.). parpasaulīgs. Nelineāros vienādojumus var atrisināt 정밀바이 아이즈베리엣행동 양식. Precīzas 방법ļauj mums uzrakstīt saknes kādas galīgas attiecības (공식) 형식. Diemžēl lielākajai daļai transcendentālo vienādojumu, kā arī patvaļīgiem algebriskajiem vienādojumiem, kuru pakāpe ir lielāka par četriem, nav anītisko risinājumu. Turklāt vienādojuma koeficientus var zināt tikai aptuveni, un tāpēc pati sakņu precīzas noteikšanas problēma zaudē nozīmi. Tāpēc, lai atrisinātu, mēs izmantojam 반복 방법 seīga tuvināšana. 피르메스 이르 피르메스 atdaliet 사크네스(즉, atrodiet to aptuveno vērtību vai 세그먼트u, kurā Tie atrodas), un pēc tam precizējiet tos, izmantojot secīgu tuvinājumu metodi. Jūs varat atdalīt saknes, estatot funkcijas zīmes 에프(엑스) 괜찮아요 .
플라시 이즈플라티츠 그래픽 방법 reālo sakņu aptuveno vērtību noteikšana - funkcijas grafika konstruēšana 에프(엑스) un atzīmējiet tā krustošanās punktus ar asi 아크! Grafiku uzbūvi bieži var vienkāršot, aizstājot vienādojumu 에프(엑스)= 0 ar ekvivalentu vienādojumu , kur funkcijas 에프 1 (엑스) 운 에프 2 (엑스) - vienkāršāka nekā funkcija 에프(엑스). Šajā gadījumā jums vajadzētu meklēt šo grafiku krustošanās punktu.
1. 피머. Grafiski atdaliet vienādojuma saknes 엑스 LG x = 1. Pārrakstīsim에서 par vienādību lg로 x= 1/x un atrodiet logaritmiskās līknes krustošanās punktu abscisu 와이= 발리스 엑스유엔 히퍼볼라스 와이= 1/x (5. att.). Var redzēt, ka vienīgā vienādojuma sakne ir.
Klasisko aptuveno risinājumu metožu ieviešana MathCAD pakotnē.
Pusdalīšanas 메토데
세그먼트, kura galos funkcija iegūst vērtības atšķirīga zīme, sadala uz pusēm un, ja sakne atrodas pa labi no centrālā punkta, tad kreiso malu velk uz centru un, ja pa kreisi, tad labo malu. Jaunais sašaurinātais 세그먼트는 atkal Tiek sadalīts uz pusēm un procedūra Tiek atkārtota입니다. Šī metode ir vienkārša un uzticama, tā vienmēr saplūst (lai gan bieži vien lēni - cena, kas jāmaksā par vienkāršību!). 이 프로그램은 MathCAD pakotnē ir apskatīta šīs rokasgrāmatas labatorijas darbā Nr.7을 실행합니다.
Akordu 방법
Kā secīgus tuvinājumus vienādojuma saknei Tiek ņemtas šādas vērtības: 엑스 1 , X 2 , ..., xn아코르두 크루스토샤나스 펑크티 AB ar x asi (6. att.).
Akorda vienādojums AB ir šāda 형식: . Tā krustpunktam ar abscisu asi ( x=x 1 ,y= 0) 엄마는:
Noteiktības labad ļaujiet līknei 제발 = 에프(엑스) būs izliekta uz leju un tāpēc atrodas zem tā horda AB, 티. 세그멘타 에프²( 엑스)>0. Ir divi iespējamie gadījumi: 에프(ㅏ)>0 (6.att., ㅏ) 운 에프(ㅏ)<0 (рис. 6, 비).
Pirmajā gadījumā beigas ㅏ nekustīgs. Secīgas iterācijas veido ierobežotu monotoni dilstošu secību: un Tiek noteiktas saskaņā ar vienādojumiem:
엑스 0 = 비; . (4.1)
Otrajā gadījumā beigas ir nekustīgas 비, secīgas iterācijas veido ierobežotu monotoni Pieaugošu secību: un Tiek noteiktas saskaņā ar vienādojumiem:
엑스 0 = ㅏ; . (4.2)
Tādējādi ir jāizvēlas fiksētais gals, kuram funkcijas zīme 에프(엑스) un tā otrais atvasinājums 에프²( 엑스) sakrīt un secīgi tuvinājumi xn gulēt saknes x otrā pusē, kur šīs zīmes atrodas pretī. Iteratīvais 프로세스 turpinās, līdz starpības lielums starp diviem secīgiem tuvinājumiem kļūst mazāks par norādīto risinājuma precizitāti.
2. 피머. Atrodiet vienādojuma pozitīvo sakni 에프(엑스) º 엑스 3 –0,2엑스 2 –0,2엑스–1.2 = 0 ar precizitāti e= 0.01. (Precīza vienādojuma sakne ir x = 1.2).
Lai Organizētu iteratīvus aprēķinus MathCAD 문서, izmantojiet funkciju 리즈( 에이, 지), kas atgriež daudzuma vērtību 지, kamēr izteiksme ㅏ부정적인 말.
오토나 방법
Atšķirība starp šo metodi un iepriekšējo ir tāda, ka akorda vietā katrā solī Tiek uzzīmēta līknes pieskare. y=f(엑스) 부디 x=xi un Tiek meklēts tā krustošanās punkts ar abscisu asi (7. att.):
Šajā gadījumā nav nepieciešams norādīt 세그먼트u [a, b], kas satur vienādojuma sakni), bet Pietiek vienkārši norādīt saknes x = x 0 sākotnējo tuvinājumu, kam vajadzētu būt tajā pa šā galā. intervāla [a, b], kur sakrīt funkcijas un tās otrā atvasinājuma zīmes.
Liknes Piekares vienādojums 와이 = 에프(엑스) 카우르 펑크투 안에 0 아르 코디나탐 엑스 0un 에프(엑스 0), ir šāda 형식:
아니 šejienes mēs atrodam nākamo saknes tuvinājumu 엑스 1 kā pieskares un asi krustošanās punkta abscisu 아크(와이 = 0):
Līdzīgi turpmākos tuvinājumus var atrast kā punktos novilkto pieskares krustpunktus ar abscisu asi 1에,안에 2 운 타 딸락. 공식 ( 나+ 1) tuvinājumam ir šāda 형식:
Iteratīvā procesa beigu nosacījums ir nevienlīdzība ï 에프(x 나는)ï 3. 피머.
Ņūtona iteratīvās metodes realizācija. Vienkārša iterācijas metode( seīgas iterācijas)
Aizstāsim sākotnējo nelineāro vienādojumu 에프(엑스)=0 pēc formas ekvivalenta vienādojuma 엑스=j( 엑스). Ja ir zināms saknes sākotnējais tuvinājums x = x 0, tad jaunu tuvinājumu var iegūt, izmantojot formulu: 엑스 1 =j( 엑스 0). Pēc tam, katru reizi aizstājot jaunu saknes vērtību sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam vērtību seību: Metodes ģeometriskā Interpretācija ir tāda, ka katra vienādojuma reālā sakne ir krustošanās punkta abscisa 중그리즈 y=제이( 엑스) 아르 타이스누 리니주 y=x(8. att.). Sākot no patvaļīgas t. ㅏ 0 [엑스 0,j( 엑스 0)] sākotnējā tuvināšana ,
폴리리니야스 베이도샤나 ㅏ 0 안에 1 ㅏ 1 안에 2 ㅏ 2 .., kam ir “kāpņu telpas” 형식(8. att., ㅏ), ja atvasinājums j'(x) ir pozitīvs un ir “spirales” 형식 (8. att., 비) pretējā gadījumā. Ņemiet vērā, ka jums vajadzētu iepriekš pārbaudīt līknes j( 엑스), jo, ja tas nav Pietiekami plakans (>1), tad iterācijas process var būt diverģents (8. att., V). 4. 피머 .
아트리시니에트 비에나도주무 엑스 3 – 엑스– 1 = 0 pēc vienkāršas iterācijas metodes ar precizitāti e = 10 -3. MathCAD 문서에 대해 알아보십시오. Aptuveno risinājumu metožu ieviešana, izmantojot iebūvētās MathCAD funkcijas 이즈만토조트 펑크시주사크네 Formu vienādojumiem 에프(엑스) = 0 risinājums Tiek atrasts, izmantojot funkciju: 사크네( 에프(엑스
),x,a,b)
, kas atgriež vērtību 엑스
, 카스 피더 세그멘탐 [에, 비]
, kurā izteiksme vai funkcija 에프(엑스)
kļūst par 0. Abiem šīs funkcijas 논쟁 x un f(x) ir jābūt skalāriem, un 논쟁 에, 비
– ir neobligāti un, ja Tiek izmantoti, tiem jābūt reāliem skaitļiem, un ㅏ< 비.
Funkcija ļauj atrast ne tikai reālās, bet arī sarežģītās vienādojuma saknes (izvēloties sākotnējo tuvinājumu kompleksā formā). Ja vienādojumam nav sakņu, Tie atrodas pārāk tālu no sākotnējās aproksimācijas, sākotnējā tuvināšana bija reāla un saknes bija sarežģītas, funkcija 에프(엑스)
ir pārtraukumi(lokāls ekstrēms starp saknes sākotnējiem tuvinājumiem), tad parādīsies ziņojums(bez konverģences). Kļūdas cēloni var noskaidrot, izpētot grafiku 에프(엑스).
Tas palīdzēs noskaidrot vienādojuma sakņu klātbūtni 에프(엑스) =
0 un, ja tādas Pastāv, tad aptuveni noteikt to vērtības. Jo precīzāk Tiek izvēlēts saknes sākotnējais tuvinājums, jo ātrāk funkcija konverģēs 사크네. 파 이즈테익스미 에프(엑스) 아르 지나무 사크니 ㅏ papildu sakņu atrašana 에프(엑스) ir līdzvērtīgs vienādojuma sakņu atrašanai 시간(엑스)=에프(엑스)/(x-a). Vieglāk ir atrast izteiksmes sakni 시간(엑스), nekā mēģināt meklēt citu vienādojuma sakni 에프(엑스)=0, izvēloties dažādus sākotnējos tuvinājumus. Līdzīgs paņēmiens ir noderīgs, lai atrastu saknes, kas atrodas tuvu viena otrai, un tas ir ieviests tālāk esošajā dokumentā. 5. 피머. Atrisiniet algebrisko vienādojumus, izmantojot saknes funkciju: 조각. Ja palielināt TOL(관용) sistēmas mainīgā vērtību, tad funkcija 사크네 saplūdīs ātrāk, bet atbilde būs mazāk precīza, un, samazinoties TOL, lēnāka konverģence nodrošina attiecīgi lielāku precizitāti. Pēdējais ir nepieciešams, ja nepieciešams atšķirt divas cieši izvietotas saknes vai ja ir funkcija 에프(엑스) ir neliels slīpums netālu no vēlamās saknes, jo iteratīvais process šajā gadījumā var saplūst līdz rezultātam, kas ir diezgan tālu no saknes. Pēdējā gadījumā alternatīva precizitātes palielināšanai ir vienādojuma aizstāšana 에프(엑스) = 0ieslēgts g(엑스) = 0, 쿠르 . 이즈만토조트 펑크시주다우즈삭네스 Ja funkcija f(x) ir n pakāpes 다항식, tad vienādojuma f(x)=0 risināšanai labāk izmantot funkciju 다우즈삭네스 a) 네카 사크네, jo tas neprasa sākotnējo tuvinājumu un atgriež Visas saknes, gan reālās, gan kompleksās, uzreiz. 벡터에 대한 논쟁은 kas sastāv no sākotnējā polinoma koeficientiem입니다. To var ģenerēt manuāli vai izmantojot komandu 심볼리 Þ 폴리노마 계수(polinoma mainīgais x Tiek iezīmēts ar kursoru). Funkcijas izmantošanas Piemērs daudzsaknes: 이즈만토조트 펑크시주아트리시나트운 레무무 블록스 Risinājumu bloks ar atslēgvārdiem ( 도트 – 아트라스트바이 Ņemot vērā - Minerr) 바이 펑크시주 아트리시나트ļauj atrast risinājumu patvaļīgam nelineāram vienādojumam, ja sākotnējā aproksimācija ir norādīta iepriekš. Ņemiet vērā, ka starp funkcijām 아트라스트유엔 사크네 Ir kaut kāda konkurence. 비엔나는 고뇌하지 않습니다. 아트라스트ļauj meklēt gan vienādojumu, gan sistēmu saknes. 괜찮아요 사크네그것은 kā tas nebūtu vajadzīgs입니다. 내기, 아니 otras puses, dizains Dota-Atrast nevar ievietot MathCAD 프로그램. Līdz ar to programmās ar aizstāšanu nepieciešams reducēt sistēmu līdz vienam vienādojumam un izmantot funkciju 사크네. Simbolisks vienādojumu risinājums MathCAD pakotnē Daudzos gadījumos MathCAD ļauj atrast vienādojuma anītisko risinājumu. Lai anītiskā formā atrastu vienādojuma risinājumu, ir nepieciešams pierakstīt izteiksmi un izvēlēties tajā mainīgo. Pēc tam atlasiet izvēlnes vienumu 심볼스키 apakšpunktu 아트리시니에트 마이니고 .
Citas iespējas atrast risinājumu simboliskā formā ir (tiek doti viena un tā paša vienādojuma risināšanas Piemēri) - izmantojot funkciju 아트리시나트 no matemātisko darbību paletes 심볼리 (심볼스키). izmantojot risinājumu bloku (ar atslēgvārdiem) Ņemot vērā - 아트라스트) Dažādu parādību vai procesu izpēte, izmantojot matemātiskās metodes, Tiek veikta, izmantojot matemātisko modeli .
Matemātiskais modelis ir formatizēts pētāmā objekta apraksts, izmantojot lineāru, nelineāru vai diferenciālvienādojumu sistēmas, nevienādību sistoman, noteiktu intel Rāli, Polinomu ar nezināmiem koEthicientiem utt. Matemātiskajam modelim ir jāaptver svarīgākie objekta raksturlielumi. pētāmās un atspoguļo saiknes starp tām. Kad matemātiskais modelis ir apkopots, pārejiet Pie skaitļošanas problēmas formulēšanas .
Tajā pašā laikā Tiek noteikts, kuri matemātiskā modeļa raksturlielumi ir sākotnējie (ievades) dati ,
kas - 모드 매개변수 ,
un kurš - izvaddati. Rezultātā radušos problēmu analyzeizē no risinājuma esamības un unikalitātes viedokļa. Nākamajā posmā Tiek izvēlēta problēmas risināšanas metode. Daudzos konkrētos gadījumos problēmas risinājumu nav iespējams attrast skaidrā formā, jo tas netiek izteikts ar elementārām funkcijām. Šādas problēmas var atrisināt tikai aptuveni. Skaitļošanas (skaitliskās) metodes nozīmē aptuvenas procedūras, kas ļauj iegūt risinājumu konkrētu skaitlisko vērtību veidā. Aprēķinu metodes parasti tiek realizētas datorā. Lai atrisinātu vienu un to pašu protoblēmu, var Izmantot dažādas skaitļošanas metodes, tāpēc jāprot novēt Lane dažādu Metožu kvalitātošanasy TAI PROBLēMAI. Pēc tam, lai realizētu izvēlēto skaitļošanas metodi, tiek sastādīts algoritms un datorprogramma .
Mūsdienīgam inženierim ir svarīgi prast problēmu pārveidot datorā realizēšanai ērtā formā un izveidot algoritmu šādas problēmas risināšanai. Pašlaik tās tiek plaši izmantotas kā pakotnes, kas ievieš vispārīgākās metodes dažādu problēmu risināšanai(piemēram, Mathcad, Aprēķinu rezultāti tiek analyzeizēti un explainēti. 예를 들어, 문제가 발생하면 문제가 발생할 수 있으므로 매개변수를 측정하고 모델을 결정해야 합니다. 1.1. 문제 공식 Ļaujiet dot kādu funkciju, un jums jāatrod Visas vai dažas vērtības, kurām . Vertība, kurā Tiek izsaukta 사크네(바이 레무무) 비에나도주미. Bieži Tiek Pieņemts, ka funkcija saknes tuvumā ir divreiz nepārtraukti diferencējama. 비에나도주마 사크니 사우크 비엔카르스, ja funkcijas pirmais atvasinājums punktā nav vienāds ar nulli, t.i. 예, tad tiek izsaukta sakne vairākas saknes. Ģeometriski vienādojuma sakne ir funkcijas grafika krustošanās punkts ar abscisu asi. Attēlā 1. attēlā parādīts funkcijas grafiks, kam ir četras saknes: divas vienkāršas un divas daudzkārtējas. Lielākā daļa vienādojumu risināšanas metožu ir vērstas uz vienkāršu sakņu atrašanu. 1.2. Risinājuma atrašanas galvenie posmi Aptuveni vienādojuma sakņu atrašanas procesā parasti izšķir divus posmus: 현지화(바이 atdalīšana) 사크네스유엔 사크네스 노스카이드로사나. Saknes lokalizācija ietver 세그먼트가 정의된 경우, kas satur vienu un tikai vienu sakni. Nav universāla sakņu lokalizācijas algoritma. Dažreiz ir ērti lokalizēt sakni, izveidojot funkciju vērtību grafiku vai tabulu. Par saknes klātbūtni Segmentā norāda funkcijas zīmju atšķirība Segmenta galos. Pamats는 거기에 있습니다. 테오레마 .
Ja funkcija ir nepārtraukta 세그먼트a un tās galos ņem dažādu zīmju vērtības tā, lai, 세그먼트ā ir vismaz viena vienādojuma sakne. Tomēr pat daudzkārtības sakni šādā veidā nevar lokalizēt, jo šādas saknes tuvumā funkcijai ir nemainīga zīme. Saknes precizēšanas stadijā ar noteiktu precizitāti Tiek aprēķināta aptuvenā saknes vērtība. Aptuvenā saknes vērtība Tiek precizēta, izmantojot dažādas iteratīvas metodes. Šo metožu būtība ir secīgi aprēķināt vērtības, kas ir tuvinājumi saknei. 1.3. Pusdalīšanas 메토데 Pusmetode ir vienkāršākais un uzticamākais veids, kā atrisināt nelineāru vienādojumu. Lai no sākotnējās는 būtu zināms, ka vienādojuma sakne atrodas 세분화, t.i., lai를 분석합니다. Lai funkcija ir nepārtraukta Segmentā un Segmenta galos ņem dažādu zīmju vērtības, t.i. . Sadaliet 세그먼트u uz pusēm. Pieņemsim punktu. Aprēķināsim funkcijas vērtību šajā punktā: . 예, tad ir vēlamā sakne, un problēma ir atrisināta. Ja, tad - noteiktas zīmes skaitlis: nu. Tad vai nu segmenta galos, vai segmenta galos funkcijas vērtībām ir dažādas zīmes. Apzīmēsim šādu 세그먼트입니다. Acīmredzot 세그먼트a garums ir divas는 mazāks par 세그먼트a garumu를 reizes합니다. Darīsim에서 pašu ar 세그먼트로. Rezultātā mēs iegūstam vai nu sakni, vai jaunu 세그먼트u utt. (2. att.). th 세그먼트 vidusdaļa. Acīmredzot 세그먼트a garums būs vienāds ar , Un kopš , Tad Beigu kritērijs.아니 attiecības (1) izriet, ka noteiktai tuvinājuma precizitātei
aprēķins beidzas, kad ir izpildīta nevienlīdzība vai nevienlīdzība. Tādējādi iterāciju skaitu var noteikt iepriekš. Vērtība Tiek Pieņemta kā aptuvenā saknes vērtība. 피머스. Atradisim to aptuveni ar precizitāti. Šī problēma ir līdzvērtīga vienādojuma atrisināšanai vai funkcijas nulles atrašanai. Ņemsim 세그먼트 kā sākotnējo 세그먼트. Šī Segmenta beigās funkcija ņem vērtības ar dažādām zīmēm: . Ļaujiet mums atrast 세그먼트의 dalījumu skaitu, kas nepieciešams, lai sasniegtu nepieciešamo precizitāti. 엄마는: Tāpēc ne vēlāk kā 6. divīzijā ar nepieciešamo precizitāti atradīsim, . Aprēķinu rezultāti ir parādīti 1. tabulā. 1. 표 1.4. Vienkārša iterācijas metode Aizvietosim vienādojumu ar tā ekvivalento vienādojumu Ļaujiet mums kaut kādā veidā izvēlēties sākotnējo tuvinājumu. Aprēķināsim funkcijas vērtību Pie un atradīsim precizēto vērtību. Tagad aizvietosim vienādojumu (1) un iegūsim jaunu aproksimāciju utt. Turpinot šo procesu bezgalīgi, iegūstam saknes tuvinājumu seību: 식(3) ir aprēķina 공식 vienkārša iterācijas metode. Ja secība saplūst 파이, t.i. 파스타 un funkcija ir nepārtraukta, tad, pārejot uz robežu (3) un ņemot vērā (4), iegūstam: . Tādējādi (2) vienādojuma sakne. 메토데스 수렴. Vienkāršās iterācijas metodes konverģence Tiekta ar šādu teorēmu. 테오레마.Ļaujiet funkcijai definēt un diferencēt intervālā, un Visas tās vērtības ir . Pēc tam, ja nosacījums ir izpildīts: 1) iterācijas 프로세스 saplūstneatkarīgi no sākotnējās vērtības; 2) robežvērtība ir vienīgā vienādojuma sakne Segmentā. Pierādījums. Kopš un, mēs varam rakstīt Saskaņā ar vidējās vērtības teorēmu (tā nosaka, ka, ja funkcijas atvasinājums ir nepārtraukts noteiktā intervālā, tad starp punktiem un novilktās hordas slīpuma leņķa tangenss (t.i. ir vien āds ar funkcijas atvasinā) jumu).ar, kur ir kāds starppunkts saknes meklēšanas intervālā. Ja mēs ieviešam apzīmējumu Visam meklēšanas intervālam, tad iepriekšējo vienādību var pārrakstīt šādi: 타팟. Tad nevienlīdzība būs patiesa: utt. Turpinot šos aprēķinus tālāk, rezultāts ir, kur ir naturāls skaitlis. Tādējādi, lai metode saplūstu, ir jāapmierina šāda nevienādība: . No tā izriet, ka tam jābūt mazākam par vienu. Savukārt visām pārējām vērtībām, kas mazākas par , varam rakstīt: . Mēs nosakām skaitli no attiecības. Tad ir patiesa šāda nevienādība (skat. atvasinājumu zemāk): . Ja izvirzām nosacījumu, ka saknes patiesajai vērtībai ir jāatšķiras no aptuvenās vērtības par summu, t.i. , tad aproksimācijas jāaprēķina, līdz Tiek izpildīta nevienādība 정말 그렇지요. Nevienādības atvasināšana Aplūkosim divus secīgus tuvinājumus: un . 셰지에네스는 없어요. Izmantojot vidējās vērtības teorēmu, mēs iegūstam: tad, pamatojoties uz nosacījumu, mēs varam rakstīt: 다른 사람은 걱정하지 마세요, ļaujiet. Ir saidrs, 카. 아니 šejienes, ņemot vērā to, mēs iegūstam 타드바이. Izmantojot iepriekšējo formulu, jūs varat iegūt: Pārejam uz robežu vienādībā (3), pateicoties iegūtās funkcijas nepārtrauktībai, tas ir, vienādojuma (2) saknei. Citu sakņu nav, jo ja, tad, tad, kur. Vienlīdzība ar nulli tiks sasniegta, ja . Tas ir, ir tikai viena sakne. Teorēma ir pierādīta. Vienādojuma samazināšana līdz formai Vispārīgā gadījumā Piemērotu iteratīvo formu iespējams iegūt, veicot sākotnējā vienādojuma ekvivalentuTransformāciju, Piemēram, reizinot ar koeficientu: . Pēc tam Pievienojot abām vienādojuma pusēm un apzīmējot, mēs varam Pieprasīt Pietiekama nosacījuma izpildi. 아니 šejienes Tiek noteikta nepieciešamā vērtība. Tā kā nosacījumam ir jābūt izpildītam visā 세분화, atlasei jāizmanto šī 세그먼트a lielākā vērtība, t.i. Šī attiecība nosaka koeficientu vērtību diapazonu, mainot vērtību robežās. Parasti Pieņemts. Attēlā 3-6 parādīti četri līniju relatīvo pozīciju gadījumi un atbilstošie iteratīvie processi. 리시. 3 un 4 atbilst gadījumam, un iteratīvais process saplūst. Šajā gadījumā, ja (3. att.), konverģence ir vienpusēja, un, ja (4. att.), konverģence ir divpusēja, svārstīga. 리시. 5 un 6 atbilst gadījumam - iterācijas 프로세스 atšķiras. Šajā gadījumā var būt vienpusēja (5. att.) un divpusēja (6. att.) diverģence. Metodes kļūda. Kļūdas novērtējums ir pierādīts (5). Beigu kritērijs.아니 aplēses (5) izriet, ka aprēķini jāturpina, līdz Tiek izpildīta nevienlīdzība. 예, vienkāršota에 대해 알아보세요: . 1. 피머. Mēs izmantojam vienkāršo iterācijas metodi, lai atrisinātu vienādojumu ar precizitāti. Pārveidosim vienādojumu 형식: ,
티.아이. .
Ir viegli pārbaudīt, vai vienādojuma sakne atrodas 세그먼트바. Aprēķinot vērtības 세그먼트a galos, mēs iegūstam: , a, t.i., funkcijai 세그먼트a galos ir dažādas zīmes, tāpēc 세그먼트a iekšpusē ir sakne. Saknes atrašanās vieta ir skaidri parādīta attēlā. 7. Aprēķināsim funkcijas pirmo un otro atvasinājumu: Tā kā Segmentā, atvasinājums šajā Segmentā palielinās monotoni un iegūst maksimālo vērtību Segmenta labajā galā, t.i., punktā. .
Tāpēc šāds novērtējums ir taisnīgs: Tādējādi nosacījums ir izpildīts, un var izmantot aprēķinu pabeigšanas kritēriju. Tabulā 2 parāda tuvinājumus, kas iegūti, izmantojot aprēķina formulu. Vērtība, kas izvēlēta kā sākotnējā tuvināšana, ir . 2. 표 Izbeigšanas kritērijs ir izpildīts, ja .
융합 ir divvirzienu; šādas konverģences kvalitatīvais raksturs ir parādīts attēlā. 4. Aptuvenā saknes vērtība ar nepieciešamo precizitāti. 2. 피머. Atrisiniet vienādojumu Segmentā, izmantojot vienkāršu iterāciju ar precizitāti 0.025. Lai atrisinātu, sākotnējais vienādojums Tiek reducēts līdz formai. Lai izvēlētos vērtību, mēs izmantojam iepriekš minēto formulu. Tad aprēķina 공식 izskatās šādi. Kā sākotnējo tuvinājumu varat izvēlēties noteiktā 세그먼트a augšējo robežu. Kopš tā laika. 1.5. Ņūtona 방법(접선 메토드) Ņūtona metode ir visefektīvākā metode nelineāru vienādojumu risināšanai. Ļaujiet saknei, t.i. Mēs Pieņemam, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā un divreiz nepārtraukti diferencējama šajā intervālā. 리캄 .
Uzzīmēsim pieskares funkcijas grafikam punktā (8. att.). Pieskares vienādojums izskatīsies šādi: . Pirmo krustpunktu iegūstam, ņemot šīs pieskares krustpunkta ar asi abscisi, t.i., liekot: . Mēs darīsim to pašu ar punktu, pēc tam ar punktu utt., kā rezultātā iegūstam tuvinājumu secību un 식(6)ir Ņūtona 방법 aprēķina 공식. Ņūtona metodi var uzskatīt par vienkāršās iterācijas metodes īpašu gadījumu, kurai. 메토데스 수렴. Ņūtona metodes konverģenci nosaka sekojošā teorēma. 테오레마.그러나 vienkāršai vienādojuma saknei, un kādā šīs saknes tuvumā funkcija ir divreiz nepārtraukti diferencējama. Tad ir tik maza saknes apkārtne, ka, patvaļīgi izvēloties sākotnējo tuvinājumu no šīs apkārtnes, ar formulu (6) definētā iterācijas secība nepārsniedz šo apkārtni un aprēķins ir derīgs: Ņūtona metodes konverģence ir atkarīga no tā, cik tuvu saknei ir izvēlēts sākotnējais minējums. Sākotnējās tuvinājuma izvēle.Ļaut ir 세그먼트, kurā ir sakne. Ja kā sākotnējo tuvinājumu izvēlamies 세그먼트a beigas, kurām, tad iterācijas (6) saplūst un monotoni. 리시. 8 atbilst gadījumam, kad kā sākotnējais tuvinājums tika izvēlēts 세그먼트a labais gals: (Šeit). Metodes kļūda. Tāme (7) ir neērta praktiskai lietošanai. Praksē Tiek izmantoti šādi kļūdu aprēķini: 베이구 크리테리지 .
Aprēķins (8) ļauj formulēt šādu Ņūtona metodes iterāciju beigu kritēriju. Ar noteiktu precizitāti aprēķini jāveic, līdz Tiek izpildīta nevienlīdzība 피머스. Aprēķiniet vienādojuma negatīvo sakni, izmantojot Ņūtona metodi ar precizitāti 0.0001. Atdalot sakni, jūs varat pārliecināties, ka sakne ir lokalizēta intervālā. Šajā intervālā un. Kopš un, tad varam ņemt. .
Tāpec. Tātad, kā rezultātā mēs iegūstam šādu, un uz, Tāpēc. 코프슈 타 라이카 Nelineāra vienādojuma sakņu atrašana 쿠르수 다브스 Datorzinātne, kibernētika un programmēšana Skaitliskās metodes realizējošas blokshēmas - dihotomijas metodei: Blokshēma horda metodei: Plūsmas Diagramma Ņūtona metodei: Programmu uzskaites vienība Unit1; 인터페이스 Windows 메시지 SysUtils Vrints Clsses 그래픽 제어 Veidlapas Dilogi TeEngine 시리즈 ExtCtrls TeeProcs Chrt izvēlnes OleCtnrs StdCtrls xCtrls OleCtrls VCF1 Mth; 팁 TForm1 = clssTForm GroupBox1: TGroupBox; OleContiner2: TOleContiner; MinMenu1: TMinMenu; N1: TMenuItem; Chrt1: TChrt; 1. 세리자:... KRIEVIJAS VALSTS NAFTAS UN GĀZES UNIVERSITĀTE. VIŅI. 거브킨스 Datorzinātņu katedra 쿠르사 다브스 훈련 "Informātika". 주제: " Nelineāra vienādojuma sakņu atrašana" Pabeidza: 학생 마네포바 A.M 그룹: GI-12-05 Parbaudīts: 마스카바 2013 1. 푸시슈 메토데(dihotomija) 2.아코르다 방식 3. 오우토나 방법 Aprēķini Mat lab matemātiskajā paketē Aprēķinu rezultāti, izmantojot parametru atlasi 프로그램 사라크스트 Lai funkcija ir dota , nepārtraukts kopā ar vairākiem tā atvasinājumiem. Jums jāatrod Visas vai dažas vienādojuma reālās saknes . Apskatīsim trīs metodes: 1) dihotomijas metodi(jeb 세그먼트a sadalīšanu uz pusēm); 2) vienkāršā iterācijas metode un 3) metodeŅūtons. Atrisinot nelineāru vienādojumu ar horda metodi, Tiek norādīti intervāli, kuros ir tikai viens risinājums, un precizitāte SON. Tad caur diviem punktiem ar koordinātām (a,F(a)) un (b,F(b)) Novelkam taisnes nogriezni (hordu) un nosakām šīs līnijas krustpunktu ar abscisu asi. Ja tajā pašā laikā F(a)*F(b)<0, то праву границу интервала пееносиим в точку x (b=x). Если указанное условие не выполняется, то в точку
엑스 Tiek pārvietota intervāla kreisā robeža (a=x). Risinājuma meklēšana Tiek pārtraukta, kad Tiek sasniegta norādītā precizitāte |F(x)|>SON. Aprēķinus veic, līdz Tiek izpildīta nevienlīdzība: 라이 스키틀리스키 아트리시나투 비에나도주무아르 vienkāršu iterācijas metodi, tas ir jāsagatavo šādā 형식:,쿠르 사스피에샤나스 카르테샤나.
라바카이 콘베렝세이(Labākai konverģencei) metodi nākamās tuvināšanas punktānosacījums ir jāizpilda. Šī vienādojuma risinājums Tiek meklēts formā약간: Pieņemot, ka Pieejas punkts ir "pietiekami tuvu" saknei, un ka dotā funkcija네파르트라우크트 , 갈리가 공식당신은 다음과 같습니다: Ņemot to vērā, funkcija 당신의 메모를 확인하세요: Šī funkcija veic saspiešanas kartēšanu saknes tuvumā운 아트라사나스 알고리즘(un atrašanas algoritmu) 스키틀리스크 리시나줌스비에나도주미samazina līdz iteratīvai aprēķina procedūrai: Matemātiskā paketē atbilstoši uzdevuma nosacījumiem tika uzzīmēts funkcijas grafiks un, izmantojot simbolisku risinājumu, tika atrasta vienādojuma sakne (아트리시나트 ) un skaitliski, izmantojot iebūvētās funkcijas: fzero un 풀기 . Lai aprakstītu savu funkciju, es izmantoju falla funkciju. Nākamajā attēlā parādīts funkcijas 그래픽: r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = 8.0000
r5 = 7.9979 -8.0000
MS 엑셀 Aptuvenā vienādojuma saknes vērtība tika aprēķināta, izmantojot iebūvētās iespējas “Parametru izvēle” un “Risinājumu meklēšana”. Lai izvēlētos sākotnējo tuvinājumu, es vispirms izveidoju Diagrammu. 엑스 =-9 (pamatojoties uz Diagrammu) Parametru 아틀라스 izmantošanas rezultātā tika atrasta sakne x = -8.01. Tika izvēlēta sākotnējā tuvināšana엑스 =-9 (pamatojoties uz Diagrammu) Risinājuma atrašana man deva jēgu x = -8.00002 Veidojot aplikāciju vidē델포스 Interfeiss nodrošināja funkcijas veida un grafika displeju. Nelineāra vienādojuma saknes atrašana tika īstenota, izmantojot trīs metodes: dihotomijas metodi, Horda metodi un Ņūtona metodi. Atšķirībā no aprēķina iekšā뛰어나다 kur tika attrastas saknes, izvēloties parametrus un meklējot risinājumu, programma nodrošina lietotājam iespēju ievadīt aprēķina precizitāti. Aprēķinu rezultāti Tiek parādīti gan lietojumprogrammas logā, gan teksta fallā. Dihotomijas metodes blokshēma: vienība Unit1; 사스카르네 리에토주미엠 Windows, ziņojumi, SysUtils, Varianti, klases, grafika, vadīklas, veidlapas, Dialogi, TeEngine, sērijas, ExtCtrl, TeeProcs, Diagramma, izvēlnes, OleCtnrs, StdCtrls, AxCtrls, OleCtrls, VCF1, 수학; 통로 TForm1 = 클래스(TForm) 그룹박스1: T그룹박스; OleContainer2: TOleContainer; 메인메뉴1: TMainMenu; N1: TMenuItem; Diagramma1:T다이어그램; 시리즈1: TPointSeries; N2: TMenuItem; N3: TMenuItem; N4: TMenuItem; N5: TMenu항목; 라벨1: TLabel; 편집1: T편집; 그룹박스2: T그룹박스; 그룹박스3: T그룹박스; 그룹박스4: T그룹박스; 라벨2: TLabel; 라벨3: TLabel; 편집2: T편집; 편집3: T편집; 편집4: T편집; 라벨4: TLabel; 편집5: T편집; 라벨5: TLabel; 편집7: T편집; Label7: TLabel; F1Book1: TF1Book; F1Book2: TF1Book; F1Book3: TF1Book; F1Book4: TF1Book; 절차 N1Click(Sūtītājs: TObject); 절차 N3Click(Sūtītājs: TObject); 절차 FormCreate(Sūtītājs: TObject); 절차 N4Click(Sūtītājs: TObject); 절차 N5Click(Sūtītājs: TObject); 음부 (Privātas deklarācijas) 출판물 (Publiskās deklarācijas) 베이가스; 콘스트 xmin:실제=-20; xmax:실수=20; Form1: TForm1; X,y,t,a,b,cor:실제; I,n:정수; 실패:텍스트파일; 이스테노샤나 ($R *.dfm) funkcija f(x:real):real; 삭트 f:=(8+x)/(x*sqrt(sqr(x)-4)); 베이가스; funkcija f1(x:real):real; 삭트 f1:=(-jauda(x,3)-16*x*x+32)/(x*X*sqrt(jauda(x*x-4,3))); 베이가스; procedura metoddix(ta,tb,eps:real;var xk:real;var kolvo: 정수); 삭트 콜보:=0; atkārtojiet xk:=(ta+tb)/2; 콜보:=콜보+1; Form1.F1book1.NumberRC:=xk; Form1.F1book1.NumberRC:=f(xk); 자 f(타)*f(xk)<0 then tb:=xk
그렇지 않으면 ta:=xk; līdz (abs(f(xk)))<=eps);
베이가스; 절차 metodhord(ta,tb,eps:real;var xk:real;var kolvo: 정수); 삭트 콜보:=0; atkārtojiet xk:= ta-f(ta)*(ta-tb)/(f(ta)-f(tb)); 콜보:=콜보+1; Form1.F1book2.NumberRC:=xk; Form1.F1book2.NumberRC:=f(xk); 자 f(타)*f(xk)<0 then tb:=xk
그렇지 않으면 ta:=xk; līdz (abs(f(xk)))<=eps);
베이가스; procedūra metodnyutona(ta,eps:real;var xk:real;var kolvo: 정수); 삭트 콜보:=0; atkārtojiet xk:= ta-f(ta)/f1(ta); 타:=xk; 콜보:=콜보+1; Form1.F1book3.NumberRC:=xk; Form1.F1book3.NumberRC:=f(xk); līdz (abs(f(xk)))<=eps);
베이가스; 절차 TForm1.N1Click(Sūtītājs: TObject); 삭트 x:=xmin; 나는:=0; 카메르 x<=xmax do
삭트 자 절대(x)>5, 조금 사시엣 나:=i+1; Y:=f(x); Series1.Addxy(x,y); F1book4.NumberRC:=x; F1book4.NumberRC:=y; 베이가스; x:=x+0.5; 베이가스; 베이가스; 절차 TForm1.N3Click(Sūtītājs: TObject); // Saknes aprēķināšana ar pusizīšanas metodi 삭트 F1book1.ClearRange(1,1,100,2,3); t:=strtofloat(Rediģēt1.Teksts); a:=strtofloat(Rediģēt2.Teksts); b:=strtofloat(Rediģēt3.Teksts); metoddix(a,b,t,cor,n); F1book4.TextRC:="디호토미자"; F1book4.TextRC:=" 루트 = "; F1book4.NumberRC:=cor; F1book4.TextRC:="y="; F1book4.NumberRC:=f(cor); F1book4.TextRC:=" iterāciju skaits = "; F1book4.NumberRC:=n; Pievienot(neizdevās); Writeln(neizdevās); Writeln(neizdevās," Aprēķins pēc dihotomijas metodes "); aizvērtfails(neveiksmīgs); 베이가스; 절차 TForm1.FormCreate(Sender: TObject); 삭트 Assignfile(실패, .txt 보고"); Pārrakstīt (neizdevās); 파일 닫기(neizdevās); 베이가스; 절차 TForm1.N4Click(Sūtītājs: TObject); // Saknes aprēķināšana, izmantojot horda metodi 삭트 F1book2.ClearRange(1,1,100,2,3); t:=strtofloat(Rediģēt1.Teksts); a:=strtofloat(Rediģēt5.Teksts); b:=strtofloat(Rediģēt4.Teksts); metodhord(a,b,t,cor,n); F1book4.TextRC:="코드"; F1book4.TextRC:=" 루트 = "; F1book4.NumberRC:=cor; F1book4.TextRC:="y="; F1book4.NumberRC:=f(cor); F1book4.TextRC:=" iterāciju skaits = "; F1book4.NumberRC:=n; Assignfile(실패, .txt 보고"); Pievienot(neizdevās); Writeln(neizdevās); Writeln(neizdevās," Aprēķins, izmantojot horda metodi "); writeln(fail,"Aprēķinu precizitāte = ",t:10:7); Writeln(neizdevās,"Sākotnējā tuvināšana:a = ",a:8:3," b = ",b:8:3); writeln(실패, " 사크네 아트라스타 : x = ",cor:8:3, " y=f(x)= ",f(cor):8:6); writeln(fail, "Iterāciju skaits = ",n); aizvērtfails(neveiksmīgs); 베이가스; 절차 TForm1.N5Click(Sender: TObject); // Saknes aprēķināšana, izmantojot Ņūtona metodi 삭트 F1book3.ClearRange(1,1,100,2,3); t:=strtofloat(Rediģēt1.Teksts); a:=strtofloat(Rediģēt7.Teksts); metodnyutona(a,t,cor,n); F1book4.TextRC:="오톤"; F1book4.TextRC:=" 루트 = "; F1book4.NumberRC:=cor; F1book4.TextRC:="y="; F1book4.NumberRC:=f(cor); F1book4.TextRC:=" iterāciju skaits = "; F1book4.NumberRC:=n; Assignfile(실패, .txt 보고"); Pievienot(neizdevās); Writeln(neizdevās); Writeln(neizdevās," Aprēķins pēc Ņūtona metodes "); writeln(fail,"Aprēķinu precizitāte = ",t:10:7); Writeln(neizdevās,"Sākotnējā tuvināšana:a = ",a:8:3," b = ",b:8:3); writeln(실패, " 사크네 아트라스타 : x = ",cor:8:3, " y=f(x)= ",f(cor):8:6); writeln(fail, "Iterāciju skaits = ",n); 파일 닫기(neizdevās); 베이가스; 베이가스. Sākotnējais interfeiss izskatās šādi: Pēc aprēķinu veikšanas plkst이자형<= 0,001:
“Ziņojums. txt.": Saskaņā ar kursa darba uzdevumu matemātiskajā paketē atradu nelineārā vienādojuma sakni (엑스 =-8) un tika izveidots 그래픽. Izklājlapās vienādojuma sakne tika atrasta, izmantojot divas iebūvētās iespējas “매개변수 선택” 및 “솔루션 검색”, savukārt “솔루션 검색” joprojām sniedza precīzāku vērtību. Rezultāti praktiski sakrita ar rezultātiem Matlab. Atrast sakni vidē델포스 lietotājam ir iespēja ievadīt aprēķina precizitāti no tastatūras. Programmas testēšana parādīja, ka ar to pašu doto aprēķinu precizitāti Ņūtona metode atrod vēlamo vērtību mazākā iterāciju skaitā. Tādējādi aprēķini parādīja, ka nelineāro vienādojumu var atrisināt dažādos medijos. Darbietilpīgākais aprēķins izrādījās vidē델포스. 3. 볼켄바스 D . 마이크로소프트 오피스 엑셀 2007.Lietotāja Bībele 볼코프 V.B. Skaidra apmācība 프로그램 Excel 2010 Nodaļa: ASOIIU Laboratorijas 다르비 주제: NELINEĀRA VIENĀDOJUMA SAKNES ATRAŠANĀS. NELINEĀRU VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS RISINĀŠANAS METODES 마스카바, 2008 NELINEĀRA VIENĀDOJUMA SAKNES ATRAŠANĀS 1. 문제의 문제 Dota funkcija, kas ir nepārtraukta kopā ar vairākiem tās atvasinājumiem. Jums jāatrod Visas vai dažas vienādojuma reālās saknes Šis uzdevums ir sadalīts vairākos apakšuzdevumos. Pirmkārt, ir jānosaka sakņu skaits, jāpārbauda to raksturs un atrašanās vieta. Otrkārt, atrodiet aptuvenās sakņu vērtības. Treškārt, atlasiet mūs interesējošās saknes un aprēķiniet tās ar nepieciešamo precizitāti e. 문제의 원인이 무엇인지 확인하려면 분석 방법을 확인하세요. Gadījumā, ja Tiek meklētas tikai (1) vienādojuma reālās saknes, ir lietderīgi sastādīt funkciju vērtību tabulu. Ja divos blakus esošajos tabulas mezglos funkcijai ir dažādas zīmes, tad starp šiem mezgliem atrodas nepāra vienādojuma sakņu skaits(vismaz viena). Ja šie mezgli ir tuvu, tad, visticamāk, starp tiem ir tikai viena sakne. Atrastās aptuvenās sakņu vērtības var precizēt, izmantojot dažādas iteratīvas metodes. Apskatīsim trīs metodes: 1) dihotomijas metodi(jeb 세그먼트a dalīšanu uz pusēm); 2) vienkāršā iterācijas metode un 3) Ņūtona metode. 2. 문제의 risināšanas metodes 2.1. Segmenta dalīšanas uz pusēm metode Vienkāršākā metode nelineārā vienādojuma (1) saknes atrašanai ir pusīšu metode. Ļaujiet Segmentam dot nepārtrauktu funkciju. Ja funkcijas vērtībām 세그먼트 galos ir dažādas zīmes, t.i. Tātad, dihotomijas metodes 알고리즘: 1. Iestatiet 세그먼트u un kļūdu e. 2. Ja f(a) un f(b) ir vienādas zīmes, parādiet ziņojumu par to, ka nav iespējams attrast sakni un apstāties. 1. att. Metode 세그먼트a dalīšanai uz pusēm, lai atrisinātu vienādojumu formā f(x)=0. 3. Pretējā gadījumā aprēķiniet c=(a+b)/2 4. Ja f(a) un f(c) ir dažādas zīmes, liec b=c, pretējā gadījumā a=c. 5. Ja jaunā 세그먼트a garums ir, tad aprēķiniet saknes vērtību c=(a+b)/2 un apstājieties, pretējā gadījumā pārejiet uz 3. darbību. Tā kā N soļos 세그먼트a garums Tiek samazināts 2 N reizes, norādītā kļūda saknes e atrašanā tiks sasniegta iterācijās. Redzat, konverģences līmenis ir zems, bet metodes priekšrocības ietver iteratīvā procesa vienkāršību un beznosacījumu konverģenci. Ja Segmentā ir vairāk nekā viena sakne (bet nepāra skaitlis), tad viena vienmēr tiks atrasta. Komentet. Lai noteiktu intervālu, kurā atrodas sakne, ir nepieciešama papildu funkcijas analīze, pamatojoties vai nu uz Analītiskām aplēsēm, vai uz grafiskā risinājuma metodes izmantošanu. Varat arīorganizēt funkciju vērtību uzskaiti dažādos punktos, līdz ir izpildīts funkcijas mainīgās zīmes nosacījums 2.2 Vienkārša iterācijas 방법론 Izmantojot šo metodi, sākotnējais nelineārais vienādojums (1) ir jāpārraksta formā Apzīmēsim šī vienādojuma sakni ar C *. Lai ir zināms saknes sākotnējais tuvinājums. Aizvietojot šo vērtību vienādojuma (2) labajā pusē, mēs iegūstam jaunu tuvinājumu 어. (n+1)-solim iegūstam šādu tuvinājumu Tādējādi pēc 공식 (3) iegūstam secību С 0, С 1,…, С n +1, kas Tiecas uz sakni С * kā n®¥. Iteratīvais 프로세스 apstājas, ja divu secīgu iterāciju rezultāti ir tuvi, t.i., nosacījums ir izpildīts Izpētīsim skaitliskās secības (C n ) stāvokli un konverģences ātrumu kā n®¥. Atcerēsimies konverģences ātruma definīciju. Secībai(C n), kas konverģē uz robežu C *, konverģences ātrums ir kārtībā a, ja Pie n®\ nosacījums ir izpildīts Pieņemsim, ka tai ir nepārtraukts atvasinājums, tad kļūdu (n+1) iterācijas solī e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) var attēlot kā sērijas e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼ Tādējādi mēs secinām, ka, ja nosacījums ir izpildīts çg¢(C *) ç<1(6) secība (3) konverģēs uz sakni ar lineāro ātrumu a=1. Nosacījums (6) ir vienkāršās iterācijas metodes konverģences nosacījums. Acīmredzot metodes panākumi ir atkarīgi no tā, cik labi ir izvēlēta funkcija. Piemēram, lai iegūtu kvadrātsakni, t.i., atrisinātu vienādojumu formā x =a 2, varat ievietot x=g1(x)=a/x(7a) x=g 2(x)=(x+a/x)/2.(7b) ir viegli parādīt에게 ½g 1"(C)½=1, ½g 2"(C)½<1. Tādējādi pirmais process (7a) nekonverģē vispār, un otrais (7b) konverģē jebkurai sākotnējai tuvināšanai C 0 >0. 리시. 2. Vienkāršās iterācijas metodes grafiskāinterpreācija vienādojuma formā x=g(x) risināšanai. Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana, izmantojot formulu (3) C0, C1, …, Cn = C * 패러디 2. attēlā. 2.3. 오토나 방법 Literatūrā šo metodi bieži sauc par tangentes metodi, kā arī par lineizācijas metodi. Izvēlamies sākotnējo tuvinājumu C 0. Pieņemsim, ka C 0 novirze no saknes C * patiesās vērtības ir maza, tad, izvēršot f(C *) Teilora rindā punktā C 0, iegūstam f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) + ¼ (8) Ja f¢(C 0) 1 0, tad (8) mēs varam ierobežot sevi ar terminiem, kas ir lineāri DC = C-C 0. Ņemot vērā, ka f(C *)=0, no (9) varam attrast šādu saknes tuvinājumu C 1 = C 0 - f(C 0) / f¢(C 0) 바이 (n+1) 투비나주맘 Cn+1 = Cn – f(Cn) / f ¢(Cn) (9) Lai beigtu iterācijas procesu, varat izmantot vienu no diviem nosacījumiem çC n +1 – C n ç çf(C n +1) ç Ņūtona metodes konverģences izpēte Tiek veikta līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā. Neatkarīgi iegūstiet to, kad nosacījums ir izpildīts ½f "" (C)/2f" (C)½<1. Ņūtona metodei ir kvadrātiskais konverģences ātrums (). 리시. 3. Ņūtona metodes grafiskāinterpretācija 형식 f(x)=0 vienādojuma atrisināšanai. Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana, izmantojot formulu (9) C0, C1, …, Cn = C * 패러디 3. attēlā. 1. 도타이 펑크시자이 f(x) · noteikt vienādojuma f(x)=0 reālo sakņu skaitu, to atrašanās vietu un aptuvenās vērtības (veidojiet grafiku vai izdrukājiet vērtību tabulu). · Aprēķināt vienu no atrastajām saknēm (jebkuru) ar precizitāti e=0.5*10 -3. Aprēķiniem izmantojiet metodi, lai 세그먼트u dalītu uz pusēm(noteiktu iterāciju skaitu), un pēc tam atrodiet to pašu sakni, izmantojot Ņūtona metodi(nosakot arī iterācijas soļu skaitu). Salīdziniet savus resultātus. Uzdevuma iespējas 1. x 3 – 3 x 2 + 6 x – 5 = 0 2. x 3 + sinx – 12x-1 = 0 3. x 3 – 3 x 2 – 14 x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0 5. x 2 +4sin x –1 = 0 6. 4x –ln x = 5 7. x 6 –3 x 2 + x – 1 = 0 8. x 3 – 0.1 x 2 +0.3 x –0.6 = 0 9. 11. 13. x 3 – 4 x 2 – 10 x –10 = 0 14. 15. 16. 19. 20. 23.24.x4 - 2.9 x 3 + 0.1 x 2 + 5.8 x x 4.2 =0 25. x 4 +2.83 x 3 - 4.5 x 2 -64x-20=0 26. NELINEĀRU VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS RISINĀŠANAS METODES 1.
문제 공식 Jāatrisina n nelineāru vienādojumu sistēma: Nav Tiešu metožu sistēmas (1) risināšanai. Tikai dažos gadījumos šo sistēmu var atrisināt Tieši. Piemēram, divu vienādojumu gadījumā dažreiz ir iespējams izteikt vienu nezināmu mainīgo ar citu un tādējādi reducēt problēmu līdz viena nelineāra vienādojuma atrisināšanai attiecībā pret vienu n ezinamo. Vienādojumu sistēmu (1) var īsi uzrakstīt vektora formā: Vienādojumam (2) var būt viena vai vairākas saknes definīcijas D jomā. Ir nepieciešams noteikt vienādojuma sakņu esamību un attrast šo sakņu aptuvenās vērtības. Sakņu atrašanai parasti Tiek izmantotas iteratīvās metodes, kurās sākotnējās aproksimācijas izvēlei irfundamentāla nozīme. Sākotnējā tuvināšana dažreiz ir zināma no fiziskiem apsvērumiem. Divu nezināmo gadījumā sākotnējo aproksimāciju var atrast grafiski: konstruē līknes f 1 (x 1 , x 2) = 0 un f 2 (x 1 , x 2) = 0 uz plaknes (x 1 , x 2) un attrodiet to krustpunktus. Trīs vai vairākiem mainīgajiem lielumiem (kā arī sarežģītām saknēm) nav apmierinošas metodes sākotnējās tuvinājuma izvēlei. Apskatīsim divas galvenās iteratīvās metodes (1), (2) vienādojumu sistēmas risināšanai - vienkāršās iterācijas metodi un Ņūtona metodi. 2. Nelineāru vienādojumu sistēmas risināšanas metodes 2.1.Vienkāršā iterācijas 방법 Sistēmu (1) attēlosim 형식 벡터 형식: Vienkāršās iterācijas는 알고리즘에 대해 설명합니다. Izvēlēsimies kādu nulles tuvinājumu Mēs atrodam nākamo tuvinājumu, izmantojot 공식: 바이 시카크: Iteratīvais 프로세스 (5) turpinās, līdz izmaiņas visos nezināmajos divās secīgās iterācijās kļūst mazas, t.i. Praksē pēdējā nosacījuma vietā bieži Tiek izmantota nevienlīdzība: kur ir n-dimensiju vektora vidējā kvadrātiskā norma Izmantojot šo metodi, panākumus lielā mērā nosaka veiksmīga sākotnējās tuvinājuma izvēle: tai jābūt Pietiekami tuvu patiesajam risinājumam. Pretējā gadījumā iteratīvais process var nesaplūst. Ja process saplūst, tad tā konverģences ātrums ir lineārs. 2.2. 오토나 방법 Tulkotajā literatūrā var atrast nosaukumu Ņūtona-Rafsona metode. Šai metodei ir daudz ātrāka konverģence nekā vienkāršajai iterācijas metodei. Ļaujiet zināmu kādu tuvinājumu saknei, tā ka Tad sākotnējo sistēmu (2) var uzrakstīt šādi: Izvēršot vienādojumu (7) Teilora sērijā punkta tuvumā un ierobežojot sevi ar lineāriem noteikumiem novirzē , mēs iegūstam: Vai koordinātu formā: Sistēmu (8) var pārrakstīt šādi: Iegūtā sistēma (9) ir lineāru algebrisko vienādojumu sistēma inkrementiem Funkciju F 1 , F 2 , …, F n un to atvasinājumu vērtību (9) aprēķina Jacobian J의 Sistēmas (9) 행렬식: Lai Pastāvētu unikāls vienādojumu sistēmas (9) risinājums, there ir jāatšķiras no nulles. Atrisinot sistēmu (9), Piemēram, izmantojot Gausa metodi, mēs atrodam jaunu tuvinājumu: Pārbaudīsim stāvokli (6). Ja tas nav apmierināts, atrodam Jakobu (10) ar jaunu tuvinājumu un vēlreiz atrisinām (9), tādējādi atrodot 2. tuvinājumu utt. Iterācijas apstājas, tiklīdz ir izpildīts nosacījums (6). Izmantojot Ņūtona metodi, atrodiet risinājumus nelineāru vienādojumu sistēmai ar noteiktu precizitāti. Izpētīt iteratīvā procesa konverģenci. Uzdevuma iespējas 1 3 5 7 9 11 13 15. 17. 19. 21.
V)
리시. 8. Vienkārša iterācijas 방법: 에, 비- konverģenta iterācija, V– atšķirīga iterācija.
MatLAB), kā arī paketes, kas ievieš metodes īpašu problēmu risināšanai.
1,0000
1,0000
1,0000
1,1250
1,1250
1,1406
1,1406
2,0000
1,5000
1,2500
1,2500
1,1875
1,1875
1,1562
1,5000
1,2500
1,1250
1,1875
1,1406
1,1562
1,1484
아연
-
-
-
-
-
-
-
아연
+
+
+
+
+
+
+
5,5938
0,7585
-0,2959
0,1812
-0,0691
0,0532
-0,0078
-
1,0000
0,5000
0,2500
0,1250
0,0625
0,0312
0,0156
nodrošināt nevienlīdzības Piepildīšanos
0,8415
0,8861
0,8712
0,8774
0,8765
0,8
0,78
-11
-5183
0,6662
-10,3336
307,3
4276,8
0,0718
-10,2618
3,496
4185,9
0,0008
-10,261
0,1477
-
-
Kursa darba uzdevums.
Nelineāra vienādojuma sakņu atrašanas teorija. Izmantoto skaitlisko metožu apraksts.
Ziņojums par vienādojuma saknes aptuvenās vērtības aprēķināšanas rezultātiem programmā MS Excel.
Aprēķinu rezultāti, izmantojot risinājumu 솔루션 검색
Delphi vidē izveidotās aplikācijas apraksts.
Bloku shēmas, kas realizē skaitliskās metodes
Lietojumpprogrammas loga attēls
Iegūto resultātu 분석
문학.
Kursa darba uzdevums.
Nelineāra vienādojuma sakņu atrašanas teorija. Izmantoto skaitlisko metožu apraksts.
Šis uzdevums ir sadalīts vairākos apakšuzdevumos. Pirmkārt, ir jānosaka sakņu skaits un jāpārbauda tās락투르 un atrašanās vieta. Otrkārt, atrodiet aptuvenās sakņu vērtības. Treškārt, atlasiet mūs interesējošās saknes un aprēķiniet tās ar nepieciešamo precizitāti e. 문제의 원인이 무엇인지 확인하려면 분석 방법을 확인하세요. Gadījumā, ja Tiek meklētas tikai vienādojuma reālās saknes, ir lietderīgi izveidot vērtību tabulu펑크자스 . 자 디보스 블라쿠스 메즈글로스도표 funkcijai ir dažādas zīmes, tad starp šiem mezgliem atrodas nepāra vienādojuma sakņu skaits(vismaz viena). Ja šie mezgli ir tuvu, tad, visticamāk, starp tiem ir tikai viena sakne.
Atrastās aptuvenās sakņu vērtības var precizēt, izmantojot dažādas iteratīvas metodes.1. 푸시슈 메토데(dihotomija)
Ļaujiet Segmentam dot nepārtrauktu funkcijuJa funkciju vērtībām 세그먼트 galos ir dažādas zīmes, t.i.tas nozīmē, ka šajā 세그먼트ā ir nepāra skaits sakņu. Noteiktības labad lai ir viena sakne. Metodes būtība ir katrā iterācijā uz pusi samazināt 세그먼트a garumu. Atrodiet Segmenta Vidu, izmantojot 공식:Aprēķiniet funkcijas vērtībuun atlasiet 세그먼트, kurā darbojas funkcija마이나 사부 지미 . Mēs atkal sadalām jauno 세그먼트u uz pusēm. 언니프로세스 Mēs turpinām, līdz 세그먼트 garums ir vienāds ar iepriekš noteikto kļūdu saknes E aprēķināšanā. 2.아코르다 방식
. Akordu metodes iteratīvajai formai ir šāda forma:
3. 오우토나 방법
Aprēķini matemātiskā paketē매트 연구실
에스 이즈만토주 코만두 락스티샤나이 M-실패:
Komandu logā tika iegūti šādi resultāti:
Ziņojums par vienādojuma saknes aptuvenās vērtības aprēķināšanas rezultātiem programmā MS Excel.Aprēķinu rezultāti, izmantojot parametru atlasi
Aprēķinu rezultāti, izmantojot risinājumu 솔루션 검색
Pēc izpildes tika iegūts šāds 결과:
Delphi vidē izveidotās aplikācijas apraksts.
Bloku shēmas, kas realizē skaitliskās metodes
Akordu metodes blokshēma:
Ņūtona metodes blokshēma:프로그램 사라크스트
Lietojumpprogrammas loga attēls
Iegūto resultātu 분석
문학.
tas nozīmē, ka šajā 세그먼트ā ir nepāra skaits sakņu. Noteiktības labad lai ir viena sakne. Metodes būtība ir katrā iterācijā uz pusi samazināt 세그먼트a garumu. Atrodiet Segmenta vidu (sk. 1. att.) 
Mēs aprēķinām funkcijas vērtību un atlasām 세그먼트u, kurā funkcija maina savu zīmi. Mēs atkal sadalām jauno 세그먼트u uz pusēm. Un mēs turpinām šo procesu, līdz 세그먼트 garums ir vienāds ar iepriekš noteikto kļūdu saknes e aprēķināšanā. Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana, izmantojot formulu (3), parādīta 1. attēlā.
(3)
(4)
10. (x -1) 3 + 0.5e x = 0
12. x 5 – 3 x 2 + 1 = 0
(1)
. (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
, 티.
(8)
(9)
.
(10)
.
2
4
6
8
10
12
14. 
16. 
18. 
20. 
22. 
