Tiem, kas vēlas uzzināt, kā attrast ierobežojumus, šajā rakstā mēs par to Pastāstīsim. Mēs neiedziļināsimies teorijā; skolotāji parasti에서 lasa lekcijās까지. Tāpēc “garlaicīgā teorija” ir jāpieraksta Piezīmju grāmatiņās. Ja tas tā nav, tad var lasīt no bibliotēkas aizņemtās mācību grāmatas. 이즈글리티바스 에스타데 vai citos interneta resoursos.

Tātad robežas jēdziens ir diezgan svarīgs augstākās matemātikas izpētē, it īpaši, ja jūs saskaraties ar integrāļa aprēķinu un saprotat saistību starp robežu un integrāli. Pašreizējā materiālā mēs apsvērsim vienkāršus Piemērus, kā arī to risināšanas veidi.

리시나주무 피에메리

1. 피머

Aprēķināt a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

리시나줌스

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Cilvēki bieži sūta mums šos ierobežojumus ar lūgumu palīdzēt tos atrisināt. Mēs nolēmām tos izcelt kā atsevišķu Piemēru un paskaidrot, ka šīs robežas parasti ir jāatseras. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs nodrošināsim detalizētu risinājumu. Varēsiet apskatīt aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs jums laikus saņemt atzīmi no skolotāja!

아트빌데

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

형식은 다음과 같습니다: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. 피머

Atrisiniet $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

리시나줌스

Kā vienmēr, mēs sākam, aizstājot vērtību $ x $ izteiksmē zem ierobežojuma zīmes. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Kas tagad būs tālāk? Kam beigās jānotiek? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā vēl nav atbilde, un mēs turpinām aprēķinu. Tā kā skaitītājos mums ir polynoms, mēs to faktorizēsim, izmantojot formulu, kas visiem pazīstama no skolas $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vai tu atceries? 리엘리스키! Tagad uz priekšu un izmantojiet to kopā ar dziesmu :) Mēs atklājam, ka skaitītājs $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minētoTransformāciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

아트빌데

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Palielināsim robežu pēdējos divos Piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. 피머

Aprēķināt $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

리시나줌스

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ 왜요? 왜요? Nekrīti panikā, jo neiespējamais ir iespējams. Ir nepieciešams izņemt x gan skaitītājā, gan saucējā un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķinātlimitu. 파메이나심... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac ) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Izmantojot definīciju no 2. Piemēra un aizstājot bezgalību ar x, mēs iegūstam: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

아트빌데

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

알고리즘 제한 aprēķināšanai

Tātad, īsi apkoposim Piemērus un izveidosim algoritmu ierobežojumu risināšanai:

1. Aizstāj punktu x izteiksmē aiz robežzīmes. Ja Tiek iegūts noteikts skaitlis vai bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: “nulle dalīta ar nulli” vai “bezgalība dalīta ar bezgalību” un pāriet uz nākamajām instrukciju darbībām.
2. Lai novērstu nenoteiktību “nulle dalīta ar nulli”, jums ir jāņem vērā skaitītājs un saucējs. Samaziniet līdzīgus. Aizstāj punktu x izteiksmē zem ierobežojuma zīmes.
3. Ja nenoteiktība ir “bezgalība dalīta ar bezgalību”, tad mēs izņemam gan skaitītāju, gan saucēju x līdz lielākajai pakāpei. Mēs saīsinām X. Mēs aizstājam x vērtības no robežvērtības atlikušajā izteiksmē.

Šajā rakstā jūs uzzinājāt robežvērtību risināšanas pamatus, ko bieži izmanto kursā Calculus. 물론, nav visi eksaminētāju pinedāvātie problēmu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Par cita veida uzdevumiem mēs runāsim nākamajos rakstos, taču vispirms jums ir jāapgūst šī mācība, lai virzītos uz priekšu. Apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, pētīsim bezgalīgi mazas ekvivalentas funkcijas, ievērojamas robežas, L'Hopitāla likumu.

Ja jūs pats nevarat noteikt ierobežojumus, nekrītiet panikā. Mēs vienmēr esam priecīgi palīdzēt!

Funkcijas galīgo un bezgalīgo robežu definīcijas bezgalībā saskaņā ar Košī를 정의합니다. Divpusējo un vienpusējo ierobežojumu definīcijas(pa kreisi un pa labi). Problēmu risinājumu Piemēri, kuros, izmantojot Košī definīciju, ir jāparāda, ka bezgalības robeža ir vienāda ar noteiktu vērtību, .

토성

설명: 펑크타 아프카르네
Funkcijas robežas universāla definīcija saskaņā ar Heine un Cauchy

Funkcijas ierobežota robeža bezgalībā

Funkcijas robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

코시 로브자스 노트샤나
Skaitli a sauc par funkcijas robežu에프 (엑스) kā x Tiecas uz bezgalību (), ja
1) ir tāds |x| >
2) jebkuram, lai arī mazam, pozitīvam skaitlim ε > 0 , ir skaitlis N ε >K, atkarībā no ε, kas visiem x, |x| > N ε, funkcijas vērtības Pieder punkta a ε apkārtnei:
|f (x)-a|< ε .
Funkcijas robežu bezgalībā apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Bieži Tiek izmantots arī šāds apzīmējums:
.

Rakstīsim šo definīciju, izmantojot loģiskos esamības un universāluma simbolus:
.
Tas Pieņem, ka vērtības Pieder funkcijas domēnam.

비엔푸세지 이에로베조주미

Funkcijas kreisā robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Bieži vien ir gadījumi, kad funkcija Tiek definēta tikai mainīgā x pozitīvām vai negatīvām vērtībām (precīzāk, punkta vai tuvumā). Arī x pozitīvo un negatīvo vērtību bezgalības robežas var būt 다자다스 노지메스. Tad Tiek izmantoti vienpusēji ierobežojumi.

Kreisā robeža bezgalībā vai robeža, kā x Tiecas uz minus bezgalību (), Tiek definēta šādi:
.
Tiesības ierobežojums bezgalībā vai robeža kā x mēdz plus bezgalība ():
.
Vienpusējās robežas bezgalībā bieži Tiek apzīmētas šādi:
; .

Funkcijas bezgalīga robeža bezgalībā

Funkcijas bezgalīgā robeža bezgalībā:
|f(x)| > M - |x| > 엔

Bezgalīgās robežas definīcija saskaņā ar Košī
Funkcijas f. 로베자 (엑스) kā x Tiecas uz bezgalību (), ir vienāds ar bezgalību,자
1) ir tāda punkta apkārtne bezgalībā |x| > K, uz kura ir definēta funkcija (šeit K ir pozitīvs skaitlis);
2) jebkuram patvaļīgi lielam skaitlim M > 0 , ir tāds skaitlis N M >K, atkarībā no M, kas visiem x, |x| > N M, funkcijas vērtības Pieder bezgalības punkta apkārtnei:
|f (엑스) | >남.
Bezgalīgo robežu, kad x Tiecas uz bezgalību, apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, funkcijas bezgalīgās robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.

Līdzīgi Tiek ieviestas noteiktu zīmju bezgalīgo robežu definīcijas, kas vienādas ar un:
.
.

Bezgalības vienpusējo ierobežojumu definīcijas.
Kreisās 가운.
.
.
.
Pareizās robežas.
.
.
.

Funkcijas robežas noteikšana pēc Heines

Skaitli a (galīgs vai bezgalībā) sauc par funkcijas f robežu (엑스)펑크타 x 0 :
,
자
1) bezgalībā ir tāda punkta x apkārtne 0 , kurā funkcija ir defineta (šeit vai vai);
2) 젭쿠라이 세이바이 (xn), kas saplūst ar x 0 : ,
쿠라스 요소 피더 apkārtnei, secībai (에프(xn))필요한 경우:
.

Ja par apkaimi ņemam bezgalībā esoša bezgalības punkta apkārtni: , tad iegūstam funkcijas robežas definīciju kā x Tiecas uz bezgalību, . Ja ņemam bezgalības punkta x kreisās vai labās puses apkārtni 0 : vai, tad mēs iegūstam robežas definīciju, jo x Tiecas attiecīgi uz minus bezgalību un plus bezgalību.

Heine un Cauchy robežas는 līdzvērtīgas를 정의합니다.

피에메리

1. 피머

Izmantojot Košī definīciju, lai to parādītu
.

Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
.
Atradisim funkcijas definīcijas apgabalu. Tā kā daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi, funkcija ir definēta visiem x, izņemot punktus, kuros saucējs pazūd. Atradisim šos punktus. Kvadrātvienādojuma atrisināšana. ;
.
Vienādojuma saknes:
; .
Kopš, 조금 더.
Tāpēc funkcija ir defineta. Mēs to izmantosim vēlāk.

Pierakstīsim funkcijas galīgās robežas definīciju bezgalībā saskaņā ar Košī:
.
Pārveidosim atšķirību:
.
Daliet skaitītāju un saucēju ar un reiziniet ar -1 :
.

Ļaujiet.
약간
;
;
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
.
아니, 그렇지 않아, 카
파이, 유엔.

Tā kā jūs vienmēr varat to palielināt, piņemsim. 태드 젭쿠람,
plkst.
Tas nozīmē, 카 .

2. 피머

Ļaujiet.
Izmantojot Košī robežas definīciju, parādiet, ka:
1) ;
2) .

1) Risinājums kā x Tiecas uz minus bezgalību

Kopš, funkcija ir definēta visiem x.
Pierakstīsim funkcijas robežas definīciju, kas vienāda ar minus bezgalību:
.

Ļaujiet. 약간
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
No tā izriet, ka jebkuram pozitīvam skaitlim M ir skaitlis, lai,
.

Tas nozīmē, 카 .

2) Risinājums kā x Tiecas uz plus bezgalību

Pārveidosim sākotnējo funkciju. Reiziniet frakcijas skaitītāju un saucēju un izmantojiet kvadrātu starpības formulu:
.
엄마는:

.
정의된 내용은 다음과 같습니다:
.

Ieviesīsim apzīmējumu: .
Pārveidosim atšķirību:
.
Reiziniet skaitītāju un saucēju ar:
.

Ļaujiet
.
약간
;
.

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
.
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
아니, 그렇지 않아, 카
유엔.

Tā kā tas attiecas uz jebkuru pozitīvu skaitli, tad
.

출처:
센티미터. 니콜스키스. Matemātiskās는 kurss를 분석합니다. 1. 세줌. 마스카바, 1983년.

설명:

Tipa un sugas nenoteiktība ir visizplatītākās nenoteiktības, kas jāatklāj, risinot ierobežojumus.

Lielākā daļa ierobežojumu problēmu, ar kurām saskaras Studenti, satur Tieši šādas neskaidrības. Lai tos atklātu vai, precīzāk, izvairītos no neskaidrībām, ir vairāki mākslīgi paņēmieni izteiksmes veida pārveidošanai zem robežzīmes. Šie paņēmieni ir šādi: skaitītāja un saucēja sadalīšana pa vienam ar mainīgā lielumu, reizināšana ar konjugāta izteiksmi un faktorizācija turpmākai samazināšanai, izmantojot kvadrāt vienādojumu risinājumus un saīsinātas reiz ināšanas 공식.

슈가스 네노틱티바

1. 피머.

N ir vienāds ar 2. Tāpēc mēs dalām skaitītāja un saucēja vārdu ar terminu ar:

.

Komentējiet izteiksmes labajā pusē. Bultiņas un cipari norāda, kādas frakcijas mēdz būt pēc aizstāšanas N kas nozīmē bezgalību. Šeit, tapat kā 2. 피에메라, grāds N Saucējā ir vairāk nekā skaitītājā, kā rezultātā Visa daļa mēdz 그러나 bezgalīgi maza vai “īpaši maza”.

Mēs saņemam atbildi: šīs funkcijas robeža ar mainīgo, kas Tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar.

2. 피머. .

리시나줌스. Šeit ir mainīgā lielākā jauda 엑스 ir vienāds ar 1. Tāpēc mēs dalām skaitītāja un saucēja vārdu ar vārdu ar 엑스:

.

Komentārs par lēmuma Pieņemšanas gaitu. Skaitītājā mēs iedzinām “x” zem trešās pakāpes saknes, un tā, lai tā sākotnējā pakāpe (1) paliktu nemainīga, Piešķiram tai tādu pašu pakāpi kā saknei, tas ir, 3. Nav bultiņu vai papildu skaitļu . 그래서, tāpēc izmēģiniet to prātā, bet pēc Analoģijas ar iepriekšējo peemēru nosakiet, kāda ir izteiksme skaitītājā un saucējā pēc bezgalības aizstāšanas ar “x” vietā.

Mēs saņēmām at bildi: šīs funkcijas robeža ar mainīgo, kas Tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar nulli.

슈가스 네노틱티바

3. 피머. Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu.

리시나줌스. Skaitītājs ir kubu starpība. Faktorizēsim to, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu no skolas matemātikas kursa:

Saucējs satur kvadrātvienādojumu risināšanu, ko mēs faktorizēsim, atrisinot kvadrātvienādojumu (kārtējo reizi saite uz kvadrātvienādojumu risināšanu):

Pierakstīsim Transformāciju rezultātā iegūto izteiksmi un atradisim funkcijas robežu:

4. 피머. Atbrīvojieties no nenoteiktības un atrodiet robežu

리시나줌스. Koeficientulimita teorēma šeit nav Piemērojama, jo

Tāpēc mēs pārveidojam daļu identiski: reizinot skaitītāju un saucēju ar binoma konjugātu ar saucēju un samazinot ar 엑스+1. Saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu mēs iegūstam izteiksmi, kuru atrisinot atrodam vēlamo robežu:

5. 피머. Atbrīvojieties no nenoteiktības un atrodiet robežu

리시나줌스. Tiešā vērtības aizstāšana 엑스= 0V 도타 펑크자새로운 파이 형식은 0/0 nenoteiktības입니다. Lai to atklātu, mēs veicam identiskas Transformācijas un galu galā iegūstam vēlamo robežu:

6. 피머. Aprēķināt

리시나줌: Izmantosim teorēmas par robežām

설명: 11

7. 피머. Aprēķināt

리시나줌:šajā Piemērā skaitītāja un saucēja robežas ir vienādas ar 0:

; . Mēs esam saņēmuši, tāpēc teorēmu par koeficienta robežu nevar Piemērot.

Faktorizēsim skaitītāju un saucēju, lai samazinātu daļskaitli ar kopīgu koeficientu, kas Tiecas uz nulli, un tādējādi dotu iespēju Piemērot 3. teorēmu.

Izvērsīsim kvadrātveida trinomu skaitītājā, izmantojot formulu, kur x 1 un x 2 ir trinoma saknes. Pēc faktorizācijas un saucēja samaziniet daļu par (x-2), pēc tam izmantojiet 3. teorēmu.

설명:

8. 피머. Aprēķināt

리시나줌: Kad skaitītājam un saucējam ir 경향 uz bezgalību, tad, Tieši Piemērojot 3. teorēmu, iegūstam izteiksmi, kas apzīmē nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šāda veida nenoteiktības, skaitītājs un saucējs jāsadala ar 인수 augstāko jaudu. Šajā Piemērā jums ir jādala ar 엑스:

설명:

9. 피머. Aprēķināt

리시나줌: x 3:

설명: 2

10. 피머. Aprēķināt

리시나줌: Kad skaitītājs un saucējs Tiecas uz bezgalību. Dalīsim skaitītāju un saucēju ar Ar Argumenta lielāko pakāpju, t.i. x 5:

Daļas skaitītājs Tiecas uz 1, saucējs Tiecas uz 0, tātad daļai ir 경향 uz bezgalību.

설명:

11. 피머. Aprēķināt

리시나줌: Kad skaitītājs un saucējs Tiecas uz bezgalību. Dalīsim skaitītāju un saucēju ar Ar Argumenta lielāko pakāpju, t.i. x 7:

설명: 0

Atvasinājums.

Funkcijas y = f(x) atvasinājums attiecībā pret 논쟁 x sauc par tā piauguma y un 논거 x pieauguma x attiecības robežu, ja 논평 piaugumam ir 경향 uz nulli: . Ja šī robeža ir ierobežota, tad funkcija y = f(x) Tiek teikts, ka ir diferencējams punktā x. Ja šī robeža Pastāv, viņi saka, ka funkcija y = f(x) punktā x ir bezgalīgs atvasinājums.

Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi:

1. (상수)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Atšķiršanas noteikumi:

ㅏ)

V)

1. 피머. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

리시나줌: Ja otrā vārda atvasinājumu atrod, izmantojot daļskaitļu diferenciācijas likumu, tad pirmais terms ir kompleksa funkcija, kuras atvasinājumu atrod pēc 공식:

, 쿠르 약간

Risinot tika izmantotas šādas 공식: 1,2,10,a,c,d.

설명:

21. 피메르. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

리시나줌:아비 테르미니 - sarežītas funkcijas, kur pirmajam , , un otrajam , , tad

설명:

Atvasinātie Pieteikumi.

1. Ātrums un paātrinājums

Ļaujiet funkcijai s(t) aprakstīt 포지치주 objekts kādā koordinātu sistēmā laika t. Tad funkcijas s(t) pirmais atvasinājums ir momentāns 아트루무사물:
v=s′=f′(t)
Funkcijas s(t) otrais atvasinājums apzīmē momentāno 파트리나줌스사물:
w=v′=s′′=f′′(티)

2. 피에스카레스 비에나도줌스
y-y0=f′(x0)(x-x0),
kur (x0,y0) ir pieskares punkta koordinātas, f′(x0) ir funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība pieskares punktā.

3. 노르말스 비에나도줌스
y-y0=-1f′(x0)(x-x0),

kur (x0,y0) ir tā punkta koordinātas, kurā Tiek novilkta norma, f′(x0) ir funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība šajā punktā.

4. Funkciju palielināšana un samazināšanās
Ja f′(x0)>0, tad funkcija palielinās punktā x0. Zemāk redzamajā attēlā funkcija palielinās kā x x2.
Ja f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ja f′(x0)=0 vai atvasinājums neeksistē, tad šis kritērijs neļauj noteikt funkcijas monotonitātes raksturu punktā x0.

5. Funkcijas lokālā ekstremitāte
펑크자이 f(x) ir vietējais 최대값 punktā x1, ja ir tāda punkta x1 apkārtne, ka visiem x no šīs apkārtnes Pastāv nevienādība f(x1)≥f(x).
Līdzīgi ir funkcijai f(x). vietējais 최소값 punktā x2, ja ir tāda punkta x2 apkārtne, ka visiem x no šīs apkārtnes Pastāv nevienādība f(x2)≤f(x).

6. 크리티스키에 펑크티
펑크츠 x0 ir 크리티스카이스 펑크츠 funkcija f(x), ja atvasinājums f′(x0) tajā ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

7. Pirmā Pietiekamā ekstrēma esamības pazīme
Ja funkcija f(x) palielinās (f′(x)>0) visiem x kādā intervālā (a,x1] un samazinās (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiem x 간격 없음)