Dažreiz uzdevumos B15 ir "sliktas" funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas bija tikai zondēs, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties šim eksāmenam, tos vairs nevarignorēt.

Šajā gadījumā darbojas citi triki, no kuriem viens ir - 단조로운.

Funkciju f (x) sauc par monotoni Pieaugošu Segmentā, ja jebkuram šī Segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkciju f (x) sauc par monotoni samazinošu 세그먼트ā, ja jebkuram šī 세그먼트a punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > 에프 ( x2).

Citiem vārdiem sakot, Pieaugošai funkcijai, jo lielāks ir x, jo lielāks ir f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo vairāk x , jo 마자크에프엑스(f(x)).

Piemēram, 로그 palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f(x) = 로그 a x(a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmētiskā kvadrātsakne (un ne tikai kvadrātsakne) monotoni palielinās visā definīcijas jomā:

Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā 로그: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās, ja 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f(x) = ax(a > 0)

Visbeidzot, grādi ar negatīvu ekspontu. Jūs varat tos rakstīt kā daļu. Viņiem ir pārtraukuma punkts, kurātiek pārtraukta monotonija.

Visas šīs funkcijas nekad nav atrodamas tīrā veidā. Tiem Tiek Pievienoti Polinomi, daļskaitļi un citas muļķības, kuru dēļ ir grūti aprēķināt atvasinājumu. Kas notiek šajā gadījumā - tagad mēs analyzerizēsim.

포물선 virsotņu koordinātas

Visbiežāk funkcijas 인수 Tiek aizstāts ar 크바드라트베이다 트리노말스형식 y = ax 2 + bx + c . Tās grafiks irstandarta parabola, kas mūs interesē:

1. 포물선 자리 - var iet uz augšu (> 0) vai uz leju (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolas virsotne ir kvadrātfunkcijas galējais punkts, kurā šī funkcija iegūst mazāko (ja > 0) vai lielāko (a< 0) значение.

Vislielākā interese ir 포물선 augšdaļa, kuras abscisu aprēķina pēc 공식:

그래서, mēs esam atraduši kvadrātiskās funkcijas galējo punktu. 내기, ja sākotnējā funkcija ir monotona, tai punkts x 0 būs arī galējais punkts. Tādējādi mēs formulējam galveno noteikumu:

Kvadrātveida trinoma ekstremālie punkti un sarežīta funkcija, kurā tas nonāk, ir vienādi. Tāpēc kvadrātveida trinomālam varat meklēt x 0 un aizmirst par funkciju.

No iepriekš minētā sprieduma paliek neskaidrs, kādu punktu mēs iegūstam: maximumu vai miniu. Taču uzdevumi ir īpaši izstrādāti, lai tam nebūtu nozīmes. Spriediet 파시:

1. Problēmas stāvoklī nav 세그먼트a. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus;
2. Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas Tiek aprēķinātas burtiski mutiski un bez jebkādiem atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risinājums ir ievērojami vienkāršots un samazināts līdz diviem soļiem:

1. Uzrakstiet parabolas vienādojumu y = ax 2 + bx + c un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: x 0 = −b /2a;
2. Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nav papildu nosacījumu, šī būs atbilde.

어떤 알고리즘도 알고리즘에 따라 달라지는 것은 아닙니다. Es apzināti nepublicēju "pliku" risinājuma shēmu, jo šādu noteikumu nepārdomāta Piemērošana ir pilna ar kļūdām.

Apskatīsim patiesās 문제는 없습니다 izmēģinājuma eksāmens matemātikā - šeit šī tehnika notiek visbiežāk. Tajā pašā laikā mēs parūpēsimies, lai šādā veidā daudzas B15 problēmas kļūtu gandrīz verbālas.

Zem saknes ir kvadrātfunkcija y \u003d x 2 + 6x + 13. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a \u003d 1\u003e 0.

포물선 augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu, punktā x 0 \u003d −3, funkcija y \u003d x 2 + 6x + 13 iegūst mazāko vērtību.

Sakne monotoni Pieaug, tāpēc x 0 ir Visas funkcijas minimālais punkts. 엄마는:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = 로그 2 (x 2 + 2x + 9)

Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0.

포물선 augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Tātad punktā x 0 = −1 kvadrātiskā funkcija iegūst mazāko vērtību. 내기 funkcija y = log 2 x ir monotona, tāpēc:

y 최소 = y (-1) = 로그 2 ((-1) 2 + 2 (-1) + 9) = ... = 로그 2 8 = 3

EksComponents ir kvadrātfunkcija y = 1 − 4x − x 2 . Pārrakstīsim에서 Normalālā 형식으로: y = −x 2 − 4x + 1.

Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, kas sazarojas uz leju (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Sākotnējā funkcija ir eksponenciāla, tā ir monotona, tāpēc lielākā vērtība būs atrastajā punktā x 0 = −2:

Uzmanīgs lasītājs noteikti pamanīs, ka mēs neesam izrakstījuši saknes un logaritma Pieļaujamo vērtību apgabalu. Bet tas nebija vajadzīgs: iekšpusē ir funkcijas, kuru vērtības vienmēr ir pozitīvas.

Sekas no funkcijas darbības jomas

Dažreiz, lai atrisinātu uzdevumu B15, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vēlamā vērtība var būt 세그멘타 베이가스, 내기 네 galējā punktā. Ja uzdevumā 세그먼트 vispār nav norādīts, skatiet 피엘레이드 다이아파존 oriģinālā funkcija. 프로티:

Vēlreiz Pievērsiet uzmanību: nulle var būt zem saknes, bet nekad nav logaritmā vai daļskaitļa saucējā. Apskatīsim, kā tas darbojas, izmantojot konkrētus Piemērus:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību:

Zem saknes atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d 3 - 2x - x 2. Tās grafiks ir parabola, bet sazarojas uz leju, jo a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Mēs izrakstām Pieļaujamo vērtību apgabalu (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Tagad atrodiet parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkts x 0 = −1 피더 ODZ 세그먼트암 - un tas ir labi. Tagad mēs ņemam vērā funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos:

y(−3) = y(1) = 0

Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums Tiek lūgts attrast lielāko - tas ir skaitlis 2.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = 로그 0.5(6x - x 2 - 5)

Logaritma iekšpusē ir kvadrātiskā funkcija y \u003d 6x - x 2 - 5. Šī ir parabola ar zariem uz leju, bet logaritmā nevar būt negatīvi skaitļi, tāpēc mēs izrakstām ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tādā veidā logaritms atšķiras no saknes, kur 세그먼트a gali mums piestāv diezgan labi.

Meklē parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

포물선 augšdaļa iederas gar ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet, tā kā 세그먼트a gali mūs neinteresē, mēs ņemam vērā funkcijas vērtību tikai punktā x 0:

y 최소 = y (3) = 로그 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = 로그 0.5 (18 - 9 - 5) = 로그 0.5 4 = -2

Ļaujiet funkcijai y=에프(엑스) nepārtraukts intervālā [ 에, 비]. Kā zināms, šāda funkcija šajā intervālā sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Funkcija var ņemt šīs vērtības vai nu 세그먼트a iekšējā punktā [ 에, 비] vai uz 세그먼트a robežas.

Lai atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības intervālā [ 에, 비]네피에시샘:

1) atrodiet funkcijas kritiskos punktus intervālā ( 에, 비);

2) aprēķina funkcijas vērtības atrastajos kritiskajos punktos;

3) aprēķina funkcijas vērtības 세그먼트a galos, tas ir, par 엑스=ㅏ유엔 x = 비;

4) no visām aprēķinātajām funkcijas vērtībām izvēlieties lielāko un mazāko.

피머스. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

세그먼트.

Kritisko punktu atrašana:

Šie punkti atrodas 세그먼트a iekšpusē; 와이(1) = ‒ 3; 와이(2) = ‒ 4; 와이(0) = ‒ 8; 와이(3) = 1;

펑크타 엑스= 3 un punktā 엑스= 0.

Funkcijas izliekuma un lēciena punkta izpēte.

펑크치야 와이 = 에프 (엑스) 사우카 이즈리크타스타프 (ㅏ, 비) , ja tā grafiks atrodas zem pieskares, kas novilkta jebkurā šī intervāla punktā, un Tiek izsaukta izliekta uz leju(ieliekta) ja tā grafiks atrodas virs pieskares.

Tiek saukts pārejas punkts, caur kuru izliekums Tiek aizstāts ar ieliekumu vai otrādi 레시에나 펑크츠.

알고리즘 izliekuma un lēciena punkta izpētei:

1. Atrodiet otrā veida kritiskos punktus, tas ir, punktus, kuros otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

2. Ievietojiet kritiskos punktus uz skaitļu līnijas, sadalot to intervālos. Atrodi katrā intervālā otrā atvasinājuma zīmi; 예, tad funkcija ir izliekta uz augšu, ja, tad funkcija ir izliekta uz leju.

3. Ja, ejot cauri otra veida kritiskajam punktam, tas maina zīmi un šajā punktā otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad šis punkts ir lēciena punkta abscisa. Atrodi tās ordinātas.

Funkcijas grafika asimptotes. Funkcijas izpēte asimptotos.

정의. Funkcijas grafika asimptoti sauc 타이스니, kam ir tāda īpašība, ka attālumam no jebkura grafika punkta līdz šai līnijai ir trendence uz nulli, neierobežoti noņemot grafika punktu no sākuma.

Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli un slīpi.

정의.티에샤이스 즈반스 수직 점근선펑키주 그래픽 y = f(x), ja vismaz viena no funkcijas vienpusējām robežām šajā punktā ir vienāda ar bezgalību, tas ir

kur ir funkcijas pārtraukuma punkts, tas ir, tā neietilpst definīcijas jomā.

피머스.

디( 와이) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

엑스= 2 - 루즈마 펑크.

정의.타이스니 y=ㅏ사우카 수평 점근선펑키주 그래픽 y = f(x)파이, 자

피머스.

엑스
와이

정의.타이스니 y=케이엑스+비 (케이≠ 0) 타이크 이즈소크츠 점근적으로 미끄러지다펑키주 그래픽 y = f(x)쿠르

Vispārīga shēma funkciju izpētei un uzzīmēšanai.

Funkciju izpētes 알고리즘y = f(x) :

1. Atrodiet funkcijas domēnu 디 (와이).

2. Atrodiet(ja iespējams) grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm(ar 엑스= 0 안 해주세요 와이 = 0).

3. Izpētiet pāra un nepāra funkcijas( 와이 (‒ 엑스) = 와이 (엑스) ‒ paritāte; 와이(‒ 엑스) = ‒ 와이 (엑스) ‒ 네파라).

4. Atrodiet funkcijas grafa asimptotus.

5. Atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6. Atrodiet funkcijas galējību.

7. Atrodiet funkcijas grafika izliekuma (ieliekuma) un lēciena punktu intervālus.

8. Pamatojoties uz veikto pētījumu, sastādiet funkcijas grafiku.

피머스. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

1) 디 (와이) =

엑스= 4 - 루즈마 펑크.

2) 카드 엑스 = 0,

(0; – 5) – krustošanās punkts ar 오이.

플크스트 와이 = 0,

3) 와이(‒ 엑스)= vispārējā funkcija(ne pāra, ne nepāra).

4) Mēs izmeklējam asimptotus.

가) 수직

b) 수평적

c) atrast slīpi asimptotus kur

Šlīpu asimptotu vienādojums

5) Šajā vienādojumā nav nepieciešams attrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6)

Šie kritiskie punkti sadala visu funkcijas domēnu intervālā (˗무; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) un (10; +무). Iegūtos rezultātus ir ērti attēlot šādas tabulas veidā:

				베즈 파필두스.

테이블 없음 var redzēt, ka punkts 엑스= ‐2‐maksimālais punkts, punktā 엑스= 4 - 베즈 갈레지밤, 엑스= 10 – 최소 펑크.

Aizvietojiet vērtību (~ 3) vienādojumā:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Šīs funkcijas 최대값 ir

(– 2; – 4) – maximālais ekstrēms.

Šīs funkcijas 최소값 ir

(10; 20) ir minimālais ekstrēmums.

7) pārbauda funkcijas grafika izliekuma un lēciena punktu

Apskatīsim, kā izpētīt funkciju, izmantojot grafiku. Izrādās, ka, aplūkojot grafiku, jūs varat uzzināt visu, kas mūs interesē, proti:

• funkciju darbības 조마
• 펑크시주 디아파존
• 펑크시주 널레스
• Pieauguma un Samazināšanās periodi
• augstie un zemākie punkti
• 세그먼트의 funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

정확한 용어 정의:

가로좌표 ir punkta horizontālā koordināte.
오르디나타- vertikālā koordināte.
가로좌표- horizontālā ass, ko visbiežāk sauc par asi.
응 엉덩이-vertikālā 엉덩이 vai 엉덩이.

인수 irneatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas funkcijas vērtības. Visbiežāk norādīts.
Citiem vārdiem sakot, mēs paši izvēlamies, aizstājam funkcijas formulā un iegūstam.

도메인 funkcijas - to (un tikai to) Argumenta vērtību kopa, kurai funkcija Pastāv.
Apzīmēts: vai.

Mūsu attēlā funkcijas domēns ir 세그먼트. Tieši šajā Segmentā Tiek uzzīmēts funkcijas grafiks. Tikai šeit šī funkcija 파스타.

Funkciju 다이아파존 ir vērtību kopa, ko iegūst mainīgais. Mūsu attēlā tas ir 세그먼트 - no zemākās līdz augstākajai vērtībai.

Funkcijas 널레스- punkti, kuros funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli, t.i., . Mūsu attēlā šie ir punkti un.

Funkcijas vērtības ir pozitīvas쿠르. Mūsu attēlā Tie ir intervāli un.
Funkciju vērtības ir negatīvas쿠르. Mums ir šis intervāls (vai intervāls) no līdz.

Vissvarīgākie jēdzieni - funkciju palielināšana un samazināšana kādā komplektā. 모든 것이 세그먼트에 포함되어 있고, 간격이 있고, 간격이 savienību vai visu skaitļu līniju입니다.

펑크치야 팔리에리나스

Citiem vārdiem sakot, jo vairāk, jo vairāk, tas ir, grafiks iet pa labi un uz augšu.

펑크치야 삼마지나스 uz kopas, ja kādai un Piederot kopai, nevienlīdzība nozīmē nevienlīdzību.

Samazinošai funkcijai lielāka vērtība atbilst mazākai vērtībai. Grafiks iet pa labi un uz leju.

Mūsu attēlā funkcija palielinās uz intervālu un samazinās uz intervāliem un.

정의, kas ir funkcijas maximālie un minimālie punkti.

막시말라이스 펑크츠- šis ir definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir lielāka nekā visos punktos, kas tam ir Pietiekami tuvu.
Citiem vārdiem sakot, maksimālais punkts ir tāds punkts, funkcijas vērtība, kurā 바이락네카 카이미뇨스. Šis Diagrammā ir vietējais "kalns".

Mūsu attēlā - maksimālais punkts.

Zemais 펑크츠- definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir mazāka nekā visos punktos, kas tam ir Pietiekami tuvu.
Tas ir, minimālais punkts ir tāds, ka funkcijas vērtība tajā ir mazāka nekā blakus esošajās. Diagrammā tas ir vietējais “caurus”.

Mūsu attēlā - minimālais punkts.

Punkts ir robeža. 비나 내비게이션 iekšējais 펑크츠 definīcijas jomā un tāpēcneatbilst maksimālā punkta definīcijai. Galu galā viņai nav kaimiņu kreisajā pusē. Tādā pašā veidā mūsu Diagrammā nevar 그러나 minimālā punkta.

Maksimālais un minimālais punktu skaits Tiek saukti kopā funkcijas galējie punkti. Mūsu gadījumā tas ir un.

Bet ko darīt, ja jums ir jāatrod, Piemēram, funkcijas 최소값으 그리에주마? Šajā gadījumā atbilde ir: Jo funkcijas 최소값 ir tā vērtība minimālajā punktā.

Tāpat mūsu funkcijas maksimums ir. Tas Tiek sasniegts punktā.

Var teikt, ka funkcijas galējības ir vienādas ar un .

Dažreiz uzdevumos jums ir jāatrod funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā 세그먼트. Tie ne vienmēr sakrīt ar galējībām.

무수 가디주마 마자카 펑크치야스 vērtība uz intervāla ir vienāds ar funkcijas miniu un sakrīt ar to. Bet tā lielākā vērtība šajā 세그먼트ā ir vienāda ar. Tas Tiek sasniegts Segmenta kreisajā galā.

Jebkurā gadījumā lielākās un mazākās vērtības nepārtraukta funkcija세그먼트를 결정하는 것은 매우 중요합니다.

Un, lai to atrisinātu, jums ir nepieciešamas minimālas zināšanas par tēmu. 나카마이스 akadēmiskais 갓즈, visi vēlas doties atvaļinājumā, un, lai tuvinātu šo brīdi, es nekavējoties ķeros Pie lietas:

Sāksim ar apgabalu. Nosacījumā minētā teritorija ir 이에로베조츠 슬레그츠 punktu kopums plaknē. Piemēram, punktu kopa, ko ierobežo trīsstūris, ieskaitot VISU trīsstūri (그렇지 않아 로브자스“Izbāzt” vismaz vienu punktu, tad zona vairs netiks slēgta). Praksē ir arī taisnstūra, apaļu un nedaudz sarežģītāku formmu apgabali. Jāatzīmē, ka matemātiskās는 teorijā ir dotas stingras definīcijas를 분석합니다. ierobežojumi, izolācija, robežas utt., bet es domāju, ka visi ir informēti par šiem jēdzieniem intuitīvā līmenī, un vairāk tagad nav vajadzīgs.

Plakano laukumu parasti apzīmē ar burtu, un parasti to norāda anītiski - ar vairākiem vienādojumiem (nav obligāti lineāra); retāk nevienlīdzības. Tipisks verbāls apgrozījums: "slēgta zona, ko ierobežo līnijas".

Neatņemama sastāvdaļa Apskatāmais uzdevums ir laukuma izveidošana uz zīmējuma. 카에서 이즈다릿으로? Ir jānozīmē Visas uzskaitītās līnijas (šajā gadījumā 3 타이스니) 분석 결과가 없습니다. Vēlamais laukums parasti ir viegli izsvītrots, un tā robeža Tiek iezīmēta ar treknu līniju:


다양한 방법으로 pašu laukumu 리네아라스 네비에나디바스: , kas nez kāpēc biežāk Tiek rakstīti kā uzskaitījumu saraksts, 네비스 체계.
Tā kā robeža Pieder reģionam, tad Visas nevienlīdzības, protams, 네비게이션 스팅리.

Un tagad lietas būtība. Iedomājieties, ka ass iettieši uz jums no koordinātu sākuma. Apsveriet funkciju, 카스 네파르트라우크트 카트라아프가발라 펑크츠. Šīs funkcijas 그래픽 ir 바이러스마스, un mazā laime ir tā, ka, lai atrisinātu šodienas problēmu, mums vispār nav jāzina, kā šī virsma izskatās. Tas var atrasties virs, zemāk, šķērsot plakni - tas viss nav svarīgi. Un svarīgi ir sekojošais: saskaņā ar Veierštrāsa teorēmas, 네파르트라우크트 V 이에로베조츠 슬레츠 zonā, funkcija sasniedz 최대치 ("augstākajiem" 없음)운 비스마자크 ("zemākā"는 아님) vērtības, kas jāatrod. Šīs vērtības Tiek sasniegtas 바이 V 스타시오나리 펑크티, 카스 피데르 레이오남디 , 바이 punktos, kas atrodas uz šī reģiona robežas. 아니요, izriet vienkāršs un pārskatāms risinājuma 알고리즘은 없습니다:

1. 피머

Ierobežotā, slēgtā teritorijā

리시나줌스: Pirmkārt, zīmējumā ir jāattēlo laukums. Diemžēl man ir tehniski sarežģīti izveidot problēmas interaktīvo modeli, tāpēc uzreiz došu beigu ilustrāciju, kurā redzami visi pētījuma laikā atrastie "aizdomīgie" punkti. Parasti tos noliek vienu pēc otra, kadtie Tiek atrasti:

Pamatojoties uz preambulu, lēmumu var ērti sadalīt divos punktos:

I) Atradisim stacionārus punktus. Šī irstandarta darbība, ko esam vairākkārt veikuši nodarbībā. par vairāku mainīgo galējībām:

Stacionārs punkts와 비교 피더압가발리: (atzīmējiet에서 zīmējumā로), kas nozīmē, ka mums jāaprēķina funkcijas vērtība noteiktā punktā:

- 카 락스타 Segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības, svarigos rezultātus izcelšu treknrakstā. Piezīmju grāmatiņā ir ērti tos apvilkt ar zīmuli.

Pievērsiet uzmanību mūsu otrajai laimei - nav jēgas pārbaudīt Pietiekams nosacījums ekstremitātei. 카펙? Pat tad, ja funkcija sasniedz, Piemēram, vietējais 최소값, tad tas NENOZĪMĒ, ka iegūtā vērtība būs 최소한의비자 레시오나 (skat. nodarbības sākumu par beznosacījuma galējībām) .

어떻게 해야 할까요? NAV가 압가발람에 도달할 수 있을까요? 간드리즈 네카! Jāatzīmē, ka un pārejiet uz nākamo punktu.

II) Mēs pētām reģiona robežu.

Tā kā apmale sastāv no trijstūra malām, pētījumu ir ērti sadalīt 3 apakšpunktos. nedarīt jebkurā gadījumā에 labāk을 걸어보세요. Manā skatījumā sākumā izdevīgāk ir aplūkot nogriežņus paralēli koordinātu asīm un pirmām kārtām tos, kas atrodas uz pašām asīm. Lai uztvertu visu darbību secību un loģiku, mēģiniet izpētīt beigas "vienā elpas vilcienā":

1) Tiksim galā ar trijstūra apakšējo malu. Lai to izdarītu, mēs Tieši aizstājam funkciju:

izdarīt šādi를 대체할 수 있는 varat:

Ģeometriski tas nozīmē, 카 코디나투 플라크네 (코 아리 도드 비에나도줌스)"izgriezt" 아니요 바이러스마스"telpiskā" 포물선, kuras virsotne uzreiz nonāk aizdomās. 노스카이드로심 쿠르 비나 이르:

- iegūtā vērtība "trāpīja" apgabalā, un tas var būt, ka punktā (atzīmē zīmējumā) funkcija sasniedz lielāko vai mazāko vērtību visā apgabalā. Jebkurā gadījumā veiksim aprēķinus:

Citi "kandidāti", protams, ir 세그먼트a gali. Aprēķiniet funkcijas vērtības punktos (atzīmē zīmējumā):

Šeit, starp citu, varat veikt mutisku mini-pārbaudi "noņemtajai" 버전:

2) 페티주미엠 라바 푸세 mēs funkcijā aizstājam trīsstūri un "sakārtojam lietas":

Šeit mēs nekavējoties veicam aptuvenu pārbaudi, “iezvanot” jau apstrādāto 세그먼트 갈라:
, 리엘리스키.

Ģeometriskā situācija ir saistīta ar iepriekšējo punktu:

- iegūtā vērtība arī “iekļuva mūsu interešu lokā”, kas nozīmē, ka mums ir jāaprēķina, ar ko funkcija ir vienāda parādītajā punktā:

Apskatīsim 세그먼트별 내용:

이즈만토조트 펑크시주 , parbaudīsim:

3) Ikviens droši vien zina, kā izpētīt atlikušo pusi. Mēs aizstājam funkciju un veicam vienkāršojumus:

리니자 비자스 jau ir izmeklēti, bet uz melnraksta vēl pārbaudām, vai funkciju atradām pareizi :
– sakrita ar 1. apakšpunkta rezultātu;
– sakrita ar 2.apakšpunkta rezultātu.

Atliek noskaidrot, vai 세그먼트ā ir kaut kas interesants:

- 투르르! Aizvietojot vienādojumā taisnu līniju, mēs iegūstam šīs “interesantās” ordinātas:

Mēs atzīmējam punktu zīmējumā un atrodam atbilstošo funkcijas vērtību:

aprēķinus pēc "budžeta" 변종 제어 :
, 파우티줌스.

Un pēdējais solis: UZMANĪGI apskatiet visus "resnos" skaitļus, pat iesācējiem iesaku izveidot vienu sarakstu:

no kuriem izvēlamies lielāko un mazāko vērtību. 아트빌데 rakstiet atrašanas problēmas stilā Segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības:

Katram gadījumam komentēšu vēlreiz. ģeometriskā nozīme결과:
– šeit ir reģiona augstākais virsmas punkts;
- šeit ir virsmas zemākais punkts apgabalā.

Analizētajā problēmā mēs atradām 7 “aizdomīgus” punktus, taču to skaits ir atšķirīgs atkarībā no uzdevuma. Trīsstūrveida reģionam minimālā "izpētes kopa" sastāv no Trim punktiem. Tas notiek, Piemēram, kad funkcija Tiek iestatīta 리드마시나- ir pilnīgi skaidrs, ka nav stacionāru punktu, un funkcija var sasniegt maksimālās / minimālās vērtības tikai trīsstūra virsotnēs. Bet vienreiz, otrreiz tādu Piemēru nav - parasti ar kaut kādām jātiek galā 2. 카르타스 비르스마.

Ja šādus uzdevumus risina nedaudz, tad trijstūri var likt galvai griezties, un tāpēc esmu sagatavojis jums neparastus Piemērus, lai tas būtu kvadrātveida :))

2. 피머

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību slēgtā zonā, ko ierobežo līnijas

3. 피머

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības ierobežotā slēgtā apgabalā.

Pievērsiet īpašu uzmanību apgabala robežu izpētes racionālajai kārtībai un tehnikai, kā arī starppārbaužu ķēdei, kas gandrīz pilnībā ļaus izvairīties no skaitļošanas kļūdām. Vispārīgi runājot, jūs varat to atrisināt, kā jums patīk, bet dažās problēmās, Piemēram, tajā pašā 2. Piemērā, ir Visas iespējas ievērojami sarežģīt jūsu dzīvi. Aptuvens Piemērs uzdevumu pabeigšanai nodarbības beigās.

Atrisinājuma algoritmu sistematizējam, citādi ar manu zirnekļa centību tas kaut kā pazuda garā 1.piemēra komentāru pavedienā:

- Pirmajā solī mēs izveidojam laukumu, vēlams to noēnot un izcelt apmali ar biezu līniju. Risinājuma laikā parādīsies punkti, kas jāuzliek uz zīmējuma.

– Atrodiet stacionārus punktus un aprēķiniet funkcijas vērtības 티카이 타호스, 카스 피더 압가발람 . Iegūtās vērtības tekstā Tiek izceltas(piemēram, apvilktas ar zīmuli). 당신이 NAV를 압도할 수 있다는 사실을 확인하고, 아이콘을 변경하는 것이 좋습니다. Ja stacionāru punktu vispār nav, tad izdarām rakstisku secinājumu, ka to nav. Jebkurā gadījumā šo vienumu nevar izlaist!

– Pierobežas zonas izpēte. Pirmkārt, ir izdevīgi rīkoties ar taisnēm, kas ir paralēlas koordinātu asīm (ja tādas ir). 이 경우에는 "aizdomīgos" punktos가 필요합니다. Par risinājuma tehniku ​​​​augstāk ir runāts daudz un tālāk tiks teikts kas cits - lasiet, pārlasiet, iedziļinieties!

- No atlasītajiem skaitļiem atlasiet lielāko un mazāko vērtību un sniedziet atbildi. Dažreiz gadās, ka funkcija sasniedz šādas vērtības vairākos punktos vienlaikus - šajā gadījumā atbildē ir jāatspoguļo visi šie punkti. Ļaujiet, 피에메람, un izrādījās, ka šī ir mazākā vērtība. Tad mēs to rakstām

Pēdējie Piemēri ir veltīti citiem 노데리가스 아이디어 praksē noderīgi:

4. 피머

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības slēgtā apgabalā .

Esmu saglabājis autora formulējumu, kurā laukums dots kā dubultnevienādība. Šo nosacījumu šai problēmai var uzrakstīt līdzvērtīgā sistēmā vai tradicionālākā formā:

Es jums atgādinu, ka ar 네리나르 mēs saskārāmies ar nevienlīdzību, un, ja jūs nesaprot ieraksta ģeometrisko nozīmi, lūdzu, nekavējieties un noskaidrojiet situāciju jau tagad ;-)

리시나줌스, kā vienmēr, sākas ar teritorijas apbūvi, kas ir sava veida "zole":

흠, reizēm jāgrauž ne tikai zinātnes granīts...

I) Atrodiet stacionāros punktus:

Idiotu sapņu sistēma :)

Stacionārais punkts peeder reģionam, proti, atrodas uz tā robežas.

Un tā, tas nekas... jautra nodarbība pagāja – lūk, ko nozīmē dzert pareizo tēju =)

II) Mēs pētām reģiona robežu. Sāksim ar x asi:

1) 응, 좀

Atrodiet, kur atrodas parabolas augšdaļa:
- Novērtējiet šādus momentus - "sitiet" Tieši uz punktu, no kura viss jau ir skaidrs. 내기 neaizmirstiet parbaudīt:

Aprēķināsim funkcijas vērtības 세그먼트의 갈로스:

2) Ar “zoles” apakšējo daļu tiksim galā “vienā sēdē” - bez jebkādiem kompleksiem to aizstājam funkcijā, turklāt mūs interesēs tikai 세그먼트:

제어:

Tagad tas jau atdzīvina monotonu braucienu pa rievotu trasi. Atradisim kritiskos punktus:

메스 이즈렘잼 크바드라트비에나도줌스 Vai tu atceries šo? ... Tomēr atcerieties, protams, pretējā gadījumā jūs nebūtu lasījis šīs rindas =) Ja divos iepriekšējos Piemēros aprēķini decimāldaļdaļās bija ērti (kas, starp citu, ir reti), tad šeit mēs gaidām kā parasti 파라스타스 프락치야스. Mēs atrodam “x” saknes un, izmantojot vienādojumu, nosakām atbilstošās “kandidāta” punktu “spēles” koordinātas:


Aprēķināsim funkcijas vērtības attrastajos punktos:

Pārbaudiet funkciju pats.

Tagad rūpīgi izpētām izcīnītās trophejas un pierakstām 앗빌디:

Šeit ir "kandidāti", tātad "kandidāti"!

Atsevišķam risinājumam:

5. 피머

Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību 슬레타 조나

Ieraksts ar cirtainiem lencēm skan šādi: "punktu kopums tāds, ka".

Dažreiz šādos Piemēros viņi izmanto Lagranža reizinātāja metode, taču reāla vajadzība to izmantot diez vai radisies. Tā, Piemēram, ja ir dota funkcija ar tādu pašu apgabalu "de", tad pēc aizstāšanas tajā - ar atvasinājumu bez grūtībām; turklāt viss ir sastādīts “vienā rindā” (ar zīmēm) bez nepieciešamības atsevišķi aplūkot augšējo un apakšējo pusloku. 내기, 프로탐, ir sarežģītāki gadījumi, kur bez Lagrange funkcijas (kur, peemēram, ir tas pats riņķa vienādojums) grūti iztikt - cik grūti iztikt bez kārtīgas atpūtas!

Visu to labāko, lai izturētu sesiju un uz drīzu tikšanos nākamajā sezonā!

Risinājumi un atbildes:

2 조각: 리시나줌스: uzzīmējiet laukumu uz zīmējuma:

Šajā rakstā es runāšu par 알고리즘 lielākās un mazākās vērtības atrašanai funkcija, minimālie un maksimālie punkti.

이론 없음 mums noteikti vajadzēs 아트바시나주무 타불라유엔 차별화된 노트이쿠미. Tas vis ir šajā dēlī:

알고리즘 lielāko un mazāko vērtību atrašanai.

Man šķiet vieglāk izskaidrot ar konkrētu Piemēru. 앱베리엣:

피머스: Atrodiet funkcijas y=x^5+20x^3–65x lielāko vērtību Segmentā [–4;0].

1. 다르비바. Mēs ņemam atvasinājumu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. 다르비바 Ekstrēmu punktu atrašana.

갈레자이스 펑크츠 mēs nosaucam punktus, kuros funkcija sasniedz maksimālo vai minimālo vērtību.

Lai atrastu galējos punktus, funkcijas atvasinājums ir jāpielīdzina nullei (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Tagad mēs atrisinām šo bikvadrātisko vienādojumu, un atrastās saknes ir mūsu galējie punkti.

Es atrisinu šādus vienādojumus, aizstājot t = x^2, tad 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Samaziniet vienādojumu 파 5, iegūstam: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + 크바드라트(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - 크바드라트(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Mēs veicam apgriezto aizstāšanu x^2 = t:

X_(1 un 2) = ± 크바드라트(1) = ±1
x_(3un4) = ±sqrt(-13)

Kopā: x_(1) = 1 un x_(2) = -1 - 연결하면 mūsu ekstrēma punkti가 됩니다.

3. 다르비바 Nosakiet lielāko un mazāko vērtību.

Aizvietošanas 메토데.

Stāvoklī mums tika dots 세그먼트 [b][–4;0]. Punkts x=1 nav iekļauts šajā 세그먼트. Tāpēc mēs to neuzskatām. Bet papildus punktam x=-1 mums jāņem vērā arī mūsu 세그먼트 kreisā un labā robeža, tas ir, punkti -4 un 0. Lai to izdarītu, mēs visus šos trīs punktus aizstājam ar sākotnējo funkciju. Ņemiet vērā, ka sākotnējais ir tas, kas norādīts nosacījumā (y=x^5+20x^3–65x), daži sāk aizstāt ar atvasinājumu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tas nozīmē, ka funkcijas maksimālā vērtība ir [b]44 un tā Tiek sasniegta punktos [b]-1, ko sauc par funkcijas maksimālo punktu 세그먼트 [-4; 0].

Nolēmām un saņēmām atbildi, esam lieliski, varat atpūsties. 그만둬! Vai jums nešķiet, ka y(-4) skaitīšana ir kaut kā pārāk sarežģīta? Ierobežota laika apstākļos labāk ir izmantot citu metodi, es to saucu šādi:

Caur noturības intervāliem.

Šīs nepilnības Tiek atrastas funkcijas atvasinājumam, tas ir, mūsu bikvadrātiskajam vienādojumam.

Es to daru šādā veidā. Es zīmēju virziena līniju. Es uzstādīju punktus: -4, -1, 0, 1. Neskatoties uz to, ka 1 nav iekļauts dotajā 세그먼트, tas joprojām ir jāņem vērā, lai pareizi noteiktu noturības intervālus. Ņemsim kādu skaitli, kas daudzkārt lielāks par 1, teiksim 100, prātīgi aizvietosim to mūsu bikvadrātiskajā vienādojumā 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Pat neskaitot neko, kļūst skaidrs, ka punktā 10 0 funkcijai ir pluszīme. Tas nozīmē, ka intervāliem no 1 līdz 100 tam ir plus zīme. Izejot cauri 1 (ejam no labās puses uz kreiso), funkcija mainīs zīmi uz minusu. Izejot caur punktu 0, funkcija saglabās savu zīmi, jo tā ir tikai 세그먼트a robeža, nevis vienādojuma sakne. Pārejot cauri -1, funkcija atkal mainīs zīmi uz plusu.

No teorijas mēs zinām, ka kur atrodas funkcijas atvasinājums (un mēs to uzzīmējām) 마이나 지미 노 플러스사 우즈 미누수 (mūsu gadījumā punkts -1)펑크시야 사스니에즈 tā vietējais 최대값 (y(-1)=44, kā aprēķināts iepriekš)šajā 세분화(tas ir loģiski ļoti skaidrs, funkcija ir pārstājusi palielināties, jo tā sasniedza maksimumu un sāka samazināties).

Attiecīgi, ja funkcijas atvasinājums 마이나 지미 노 미누사 우즈 플러스수, sasniegts funkcijas lokālais 최소값. Jā, jā, mēs atradām arī lokālo minimālo punktu, kas ir 1, un y(1) ir funkcijas minimālā vērtība intervālā, teiksim no -1 līdz + Infini. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tas ir tikai LOKĀLAIS MINIMUMS, tas ir, 최소 noteiktā 세그먼트. Tā kā faktiskā (globālā) 최소a funkcija sasniegs kaut kur tur, -무한.

Manuprāt, pirma metode ir teorētiski vieglāka, bet otrā ir vieglāka aritmētiskās darbības, teorijas ziņā daudz grūtāk에 베팅하세요. Galu galā dažreiz ir gadījumi, kad funkcija nemaina zīmi, izejot cauri vienādojuma saknei, un patiešām jūs varat sajaukt ar šiem lokālajiem, globālajiem maksimumiem un miniiem, lai gan, ja planojat, ta s būs labi jāapgūst. iestāties tehniskajā augstskolā (un kāpēc gan vēl kārtot profila eksāmenu un risināt šo uzdevumu). Bet pakse un tikai prakse iemācīs, kā šādas problēmas atrisināt vienreiz un uz visiem laikiem. Un jūs varat trenēties mūsu vietnē. Šeit.

Ja jums ir kādi jautājumi vai kaut kas nav skaidrs, noteikti jautājiet. Ar prieku jums atbildēšu un veiksim izmaiņas, papildinājumus rakstā. Atcerieties, ka mēs veidojam šo vietni kopā!