Šajā rakstā mēs aplūkosim plaknes taisnes parametrisko vienādojumu. Sniegsim taisnes parametriskā vienādojuma konstruēšanas Piemērus, ja ir zināmi divi šīs taisnes punkti vai ir zināms viens punkts un šīs taisnes virziena vektors. Iesniegsim metodes vienādojuma pārveidošanai parametriskā formā kanoniskā un vispārīgā formā.

Taisnes parametru vienādojums 엘 plaknē Tiek attēlots ar šādu 공식:

쿠르 엑스 1 , 와이 1 kāda punkta koordinātas 중 1 우즈 타이나스 리니야스 엘... 벡터 큐={중, lpp) ir līnijas virziena 벡터 엘, 티- kāds 매개변수.

Ņemiet vērā, ka rakstot taisnes vienādojumu parametriskā formā, taisnes virzošais vektors nedrīkst būt nulles vektors, tas ir, vismaz viena virzošā vektora koordināte. 큐 nedrīkst 그러나 nulle.

Lai izveidotu taisni uz plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā, kas noteikta ar parametru vienādojumu (1), Pietiek ar parametra iestatīšanu 티 divas dažādas vērtības, aprēķiniet 엑스유엔 와이 un Novelciet taisnu līniju caur šiem punktiem. 플크스트 티= 엄마는 0명이에요 중 1 (엑스 1 , 와이 1) 부탁드려요 티= 1, mēs iegūstam punktu 중 2 (엑스 1 +중, 와이 1 +lpp).

Sastādīt plaknes taisnes parametrisku vienādojumu 엘피에티크 아르 펑크투 우즈 타이네스 엘 un taisnes vai divu punktu, kas Pieder Pie taisnes, virziena vektors 엘... Pirmajā gadījumā, lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, vienādojumā (1) jāievieto punkta koordinātas un virziena vektors. Otrajā gadījumā vispirms ir jāatrod taisnes virziena vektors 큐={중, lpp), aprēķinot punktu atbilstošo koordinātu atšķirības 중 1유 중 2: 중=엑스 2 −엑스 1 , lpp=와이 2 −와이 1 (1. att.). Tālāk, līdzīgi kā pirmajā gadījumā, viena punkta koordinātas (nav svarīgi, kurš) aizstāj ar virziena vektoru. 큐 taisna līnija iekšā (1).

Piemers 1. Taisne iet caur punktu 중= (3, −1) un tam ir virziena 벡터 큐= (-3, 5). Izveidojiet taisnes parametrisko vienādojumu.

리시나줌스. Lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, mēs aizstājam punkta koordinātas un virziena vektoru vienādojumā (1):

Vienkāršosim iegūto vienādojumu:

아니요 izteiksmēm (3) mēs varam pierakstīt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē:

Novietojiet šo taisnās līnijas vienādojumu kanoniskajā formā.

Risinājums: izsakiet parametru 티카우르 마이가지엠 엑스유엔 와이:

(5)

No izteiksmēm (5) mēs varam rakstīt.

Taisnes parametru vienādojumi ir elementāri iegūti no šīs taisnes kanoniskā vienādojuma, kuram ir forma. Ņemsim par parametru vērtību, ar kuru var reizināt kanoniskā vienādojuma kreiso un labo pusi.

Tā kā viens no saucējiem noteikti nav nulle un atbilstošais skaitītājs var iegūt jebkuras vērtības, parametru variācijas diapazons ir Visa reālo skaitļu ass:.

Mēs saņemsim vai beidzot

Vienādojumi (1) ir meklētie taisnes parametru vienādojumi. Šos vienādojumus var는 mehāniski를 해석합니다. Ja Pieņemam, ka parametrs ir laiks, kas mērīts no kāda sākuma momenta, tad parametru vienādojumi nosaka kustības likumu 재료 펑크 taisnā līnijā ar nemainīgu ātrumu (šāda kustība notiek pēc inerces).

1. 피머. Uzrakstiet parametru vienādojumus uz plaknes taisnei, kas iet caur punktu un kurai ir virziena vektors.

리시나줌스. Mēs aizstājam doto punktu un virziena vektoru (1) un iegūstam:

Bieži vien uzdevumos ir nepieciešams pārveidot taisnes parametriskos vienādojumus cita veida vienādojumos un no cita veida vienādojumiem iegūt taisnes parametriskos vienādojumus. Apskatīsim dažus no šiem Piemēriem. Pārveidot taisnas līnijas parametriskos vienādojumus par līnijas vispārējais vienādojums vispirms 넥타이 jāsamazina līdz kanoniskajai formai un pēc tam no kanoniskā vienādojuma jāiegūst vispārīgais līnijas vienādojums

2. 피머. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu

vispār.

리시나줌스. Pirmkārt, taisnās līnijas parametriskos vienādojumus ievietojam kanoniskajā vienādojumā:

PapilduTransformācijas vienādojumu veido vispārējā formā:

Ir nedaudz grūtāk pārveidot vispārējo vienādojumu taisnas līnijas parametriskajos vienādojumos, taču šai darbībai varat izveidot skaidru algoritmu. Vispirms varat pārvērst vispārējo vienādojumu uz 슬리푸마 비에나도줌스 un attrast no tā punkta koordinātas, kas Pieder Pie taisnes, Piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Kad ir zināmas punkta koordinātas un virziena vektors (no vispārējā vienādojuma), var uzrakstīt taisnes parametriskos vienādojumus.

3. 피머. Pierakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametrisku vienādojumu veidā.

리시나줌스. Mēs ievietojam taisnas līnijas vispārējo vienādojumu vienādojumā ar slīpumu:

Atrodiet kāda taisnei Piederoša punkta koordinātas. Piešķirsim vienai no punkta koordinātām patvaļīgu vērtību

No taisnes vienādojuma ar slīpumu mēs iegūstam citu punkta koordinātu:

Tādējādi mēs zinām punkta un virziena vektoru. Mēs aizstājam to datus (1) un iegūstam vajadzīgos taisnes parametru vienādojumus:

4. 피머. Atrodiet ar parametru vienādojumu doto taisnes slīpumu

리시나줌스. Taisnas līnijas parametriskie vienādojumi vispirms ir jāpārveido kanoniskajā, tad vispārīgajā un, visbeidzot, vienādojumā ar slīpumu.

Tādējādi dotās līnijas slīpums ir:

5. 피머. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu un ir perpendikulāra taisnei

Ļaujiet 엘- dažas taisnas telpas līnijas. Tāpat kā planimetrijā, jebkurš 벡터

ㅏ = / = 0, 콜리나르 타이슨 엘티크 소크츠 virziena 벡터šī taisnā līnija.

Taisnes pozīciju telpā pilnībā nosaka, norādot virziena vektoru un punktu, kas Pieder Pie taisnes.

라이 타스 이르 타이스니 엘아르 비르치에나 벡터 ㅏ Iet caur punktu M 0, un M ir patvaļīgs telpas punkts. Acīmredzot punkts M (197. att.) Pieder Pie taisnes 엘 tad un tikai tad, ja vektors \ (\ virslabā bultiņa (M_0 M) \) ir kolineārs pret vektoru ㅏ , 티.

\(\augšējā labā bultiņa (M_0 M)\) = 티 ㅏ , 티\(\안에\) 아르 자형. (1)

Ja punkti M un M 0 ir doti ar to rādiusa vektoriem 아르 자형 유엔 아르 자형 0 (198. att.) attiecībā pret kādu telpas punktu O, tad \ (\ augšējā bultiņa (M_0 M) \) = 아르 자형 - 아르 자형 0, un vienādojums (1) iegūst formu

아르 자형 = 아르 자형 0 + 티 ㅏ , 티\(\안에\) 아르 자형. (2)

Vienādojumus (1) un (2) sauc taisnes vektora parametru vienādojumi. 마이니그스 티벡터 파라메트루 vienādojumos līniju sauc 매개변수.

라이 펑크츠 M 0 ir taisne 엘 un virziena vektoru a nosaka ar to koordinātām:

남 0 ( 엑스 0 ; 제발 0 , z 0), ㅏ = (ㅏ 1 ; ㅏ 2 ; ㅏ 3).

따자( 엑스; 와이; 지) - taisnes patvaļīga punkta M koordinātas 엘, 좀

\ (\augšējā labā bultiņa (M_0 M)\) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

un vektora vienādojums (1) ir līdzvērtīgs šādiem Trim vienādojumiem:

x - x 0 = 타 1 , y - y 0 = 타 2 , z - z 0 = 타 3

$$ \ sākums (gadījumi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t\in R\end (gadījumi) (3) $$

Vienādojumus (3) sauc 타이네스 파라메트루 비에나도주미 코스모사.

1. 메리스. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu

M 0 (-3; 2; 4) un kam ir virziena 벡터 ㅏ = (2; -5; 3).

샤자 가디주마 엑스 0 = -3, 제발 0 = 2, 지 0 = 4; ㅏ 1 = 2; ㅏ 2 = -5; ㅏ 3 = 3.

$$ \ sākums (gadījumi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t,​​\; \; t\in R\end(gadījumi)$$

Izslēgsim 파라메트루 티아니 vienādojumiem (3). var izdarīt kopš에게 ㅏ = / = 0, un tāpēc viena no vektora koordinātām ㅏ ir zināms, ka tas atšķiras no nulles.

Pirmkārt, lai Visas koordinātas nav nulle. 약간

$$ t = \frac (x-x_0) (a_1), \; \; t = \frac(y-y_0)(a_2),\; \; t=\frac(z-z_0)(a_3)$$

운 타펙

$$\frac (x-x_0) (a_1) = \frac (y-y_0) (a_2) = \frac (z-z_0) (a_3)\; \; (4) $$

소스 비에나도주무스 사우크 타이네스 카노스키에 비에나도주미 .

Ņemiet vērā, ka vienādojumi (4) veido divu vienādojumu sistēmu ar Trim mainīgajiem 엑스, 와이유엔 지.

Ja vienādojumos (3) viena no vektora koordinātām ㅏ , 피에람 ㅏ 1 ir vienāds ar nulli, tad, izņemot parametru 티, mēs atkal iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar Trim mainīgajiem 엑스, 와이유엔 지:

\ (x = x_0, \; \; \frac (y-y_0) (a_2) = \frac (z-z_0) (a_3)\)

Šos vienādojumus sauc arī par kanoniskajiem līniju vienādojumiem. Konsekvences labad Tie parasti Tiek rakstīti formā (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Pieņemot, ka, ja saucējs ir nulle, tad arī atbilstošais skaitītājs ir nulle. Šie vienādojumi ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( 엑스 0 ; 제발 0 , z 0) 파랄레리 코디나투 플라크네 yOz, jo šī plakne ir paralēla tās virziena vektoram (0; ㅏ 2 ; ㅏ 3).

Visbeidzot, ja vienādojumos (3) divas vektora koordinātas ㅏ , 피에람 ㅏ 1유 ㅏ 2 ir vienādi ar nulli, tad šie vienādojumi iegūst formu

엑스 = 엑스 0 , 와이 = 제발 0 , z = z 0 + 티 ㅏ 3 , 티\(\안에\) 아르 자형.

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( 엑스 0 ; 제발 0 ; 지 0) 파랄레리 아시즈 온스... Par tādu taisnu līniju 엑스 = 엑스 0 , 와이 = 제발 0,a 지- jebkurš skaitlis. Un šajā gadījumā vienveidības labad taisnās līnijas vienādojumus var uzrakstīt (ar tādu pašu atrunu) formā (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Tādējādi jebkurai taisnai telpai var uzrakstīt kanoniskos vienādojumus (4) un, gluži pretēji, jebkuru formas (4) vienādojumu ar nosacījumu, ka vismaz viens no koeficientiem ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 nav vienāds ar nulli, norāda kādu taisnu telpas līniju.

2. 메리스. Uzrakstiet kanoniskos vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu M 0 (- 1; 1, 7) paralēli vektoram ㅏ = (1; 2; 3).

Vienādojumus (4) šajā gadījumā raksta šādi:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Atvasināsim vienādojumus taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem M 1 ( 엑스 1 ; 제발 1 ; 지 1) 유엔

M2( 엑스 2 ; 제발 2 ; 지 2). Acīmredzot šīs līnijas virziena vektoram mēs varam ņemt vektoru ㅏ = (엑스 2 - 엑스 1 ; 제발 2 - 제발 1 ; 지 2 - 지 1), un aiz punkta M 0, caur kuru taisne iet, Piemēram, punkts M 1. Tad vienādojumi (4) tiks uzrakstīti šādi:

\ (\frac (x-x_1) (x_2 - x_1) = \frac (y-y_1) (y_2 - y_1) = \frac (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem punktiem M 1 ( 엑스 1 ; 제발 1 ; 지 1) 유엔

M2( 엑스 2 ; 제발 2 ;지 2).

3. 메리스. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (-4; 1; -3) un M 2 (-5; 0; 3).

샤자 가디주마 엑스 1 = -4, 제발 1 = 1, 지 1 = -3, 엑스 2 = -5, 제발 2 = 0, 지 2 = 3. Šīs vērtības aizstājot formulās (5), mēs iegūstam

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

4. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (3; -2; 1) un

M 2 (5; -2; 1/2).

Pēc punktu M 1 un M 2 koordināšu aizstāšanas vienādojumos (5), iegūstam

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Lai taisne iet caur punktu M1 (x1, y1, z1) un ir paralēla vektoram (m, n, l). Izveidosim šīs taisnes vienādojumu.

Paņemiet patvaļīgu punktu M (x, y, z) uz šīs taisnes un atrodiet sakarību starp x, y, z. Konstruēsim 벡터

벡터는 kolineāri입니다.

- taisnas līnijas kanoniskais vienādojums telpā.

44 타이네스 파라메트루 비에나도주미

Jo šo vienādojumu apmierina jebkura taisnes punkta koordinātas, tad iegūtais vienādojums ir taisnes parametrisks vienādojums.

Šo vektora vienādojumu var attēlot koordinātu formā:

Pārveidojot šo sistēmu un pielīdzinot parametra t vērtības, mēs iegūstam taisnas līnijas kanoniskos vienādojumus telpā:

정의. Taisnās līnijas virziena kosinusi ir vektora virziena kosinusi, kurus var aprēķināt pēc formulām:

아니요 šejienes mēs iegūstam: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Skaitļus m, n, p sauc par līnijas slīpumiem. Tā kā tas nav nulles vektors, tad m, n un p nevar vienlaikus būt nulle, bet viens vai divi no šiem skaitļiem var būt nulle. Šajā gadījumā taisnās līnijas vienādojumā attiecīgie skaitītāji ir jāpielīdzina nullei.

45 Taisnes līnijas vienādojums telpā, kas iet caur diviem dažādiem dotiem punktiem.

Analītiskā ģeometrija

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

M1(x1y1) 및 M2(x2y2) 도트 uz 플라크를 확인하세요. Sastādīsim kanonisko vienādojumu taisnei, kas iet caur šiem diviem punktiem, kā virziena vektoru S mēs ņemam M1M2

트리조네.

Šis ir taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotajiem punktiem (x1 y1) un (x2, y2)

Tagad mēs pivēršamies līnijas un plaknes vienādojumiem telpā.

Analītiskā ģeometrija 3-dimensiju telpā

Līdzīgi kā divdimensiju gadījumā, jebkurš pirmas pakāpes vienādojums attiecībā uz Trim mainīgajiem lielumiem x, y, z ir plaknes vienādojums telpā Oxyz .. Plaknes vispārējais vienādojums AX + ВY + СZ + D = 0, kur vektors N = (A, B, C) ir plaknes Normalāls. Kanoniskais vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M (x0, y0, z0) un kurai ir normals N (A, B, C) A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0 — tas apzīmē šo vienādojumu?

Vērtības x –x0, y – y0 un z –z0 ir starpība starp pašreizējā punkta un fiksētā punkta koordinātām. Tāpēc 벡터 a (x-x 0, y-y0, z-z0) ir 벡터, kas atrodas aprakstītajā plaknē, un 벡터 N ir 벡터, kas ir perpendikulārs plaknei, kas nozīmē, ka Tie ir perpendikulāri viens otram.

Tad to punktu reizinājumam jābūt vienādam ar nulli.

Koordinātu formā (N, a) = 0 izscatās šādi:

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Telpā ir vektoru labās un kreisās puses threeti. Ne-kopplanāru vektoru a, b, c threetu sauc par labo, ja novērotājs no to kopīgās izcelsmes vektoru a, b, c galu šķērsošanu norādītajā secībā šķiet veikts pulksteņrādītāja virzienā. 시타디 가디줌스 a, b, c-파 크라이시.

46 Leņķis starp līnijām telpā

Leņķis starp taisnēm telpā tiks saukts par jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un. Tā kā tad saskaņā ar formulu leņķa kosinusam starp vektoriem mēs iegūstam

Divu taisnu līniju paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumiem un:

Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja tām atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l1 ir paralēla l2 tad un tikai tad, ja tā ir paralēla .

Divas taisnes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli:.

Atrodiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktu M1 (1; 2; 3), kas ir paralēla taisnei l1:

Tā kā meklētā taisne l ir paralēla l1, tad taisnes l1 virziena vektoru var uzskatīt par meklējamās taisnes l virziena vektoru.