Ļaujiet 엘 ir lineārā telpa virs lauka 아르 자형 . Ļaujiet A1, a2, ... , (*) ierobežota vektoru sistēma no 엘 . 벡터 안에 = a1× A1 +a2× A2 + … + 안× 안 (16) 소스 Lineāra vektoru kombinācija( *), vai saki 벡터 안에 lineāri izteikts ar vektoru sistēmu (*).

14. 정의하다. Tiek saukta vektoru sistēma (*). 리네아리 아트카리기 , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neviendabīga koeficientu kopa a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 +a2× A2 + … + 안× 안 = 0. 자 a1× A1 +a2× A2 + … + 안× 안 = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tad Tiek izsaukta sistēma (*). lineāri 깔끔한 카릭.

이파시바스 리네라라 아트카리바깔끔해요.

10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Patiešām, ja sistēmā (*) 벡터 A1 = 0, 태드 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × = 0 .

20. Ja vektoru sistēmā ir divi proorcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.

Ļaujiet A1 = 엘×a2. 태드 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× ㅏ 아니= 0.

30. Galīga vektoru sistēma (*) n 3 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir pārējo šīs sistēmas vektoru lineāra kombinācija.

Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir tāda koeficientu kopa, kas nav nulle, a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 +a2× A2 + … + 안× 안 = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam Pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad Pastāv A1 = ×a2× A2 + … + ×찬× ㅏ N. 타타드, 벡터 A1 ir atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Ü Ļaujiet vienam no vektoriem (*) 그러나 citu vektoru lineārai kombinācijai. Varam Pieņemt, ka šis ir pirais vektors, t.i. A1 = 지하 2층 A2+ ... + 밀지아르디 ㅏ N, 타타드(-1) × A1 + B2 A2+ ... + 밀지아르디 ㅏ 아니= 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.

Komentet. Izmantojot pēdējo īpašību, var definet bezgalīgas vektoru sistēmas lineāro atkarību unneatkarību.

15. 정의. 벡터 시스템 A1, a2, ... , , … (**) 티크 소크츠 리네아리 아트카리기, Ja vismaz viens no tā vektoriem ir kāda ierobežota skaita citu vektoru lineāra kombinācija. Pretējā gadījumā Tiek izsaukta sistēma (**). lineāri 깔끔한 카릭.

40. Galīga vektoru sistēma ir lineārineatkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar citiem tās vektoriem.

50. Ja vektoru sistēma ir lineāri netkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri netkarīga.

60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī Visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Dotas divas vektoru sistēmas A1, a2, ... , , … (16) 유엔 В1, В2, …, Вs, … (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad mēs sakām, ka sistēma (17) ir lineāri izteikta caur sistēmu (16).

16. 정의. Abas vektoru sistēmas sauc 등가물 , ja katrs no tiem ir lineāri izteikts otra izteiksmē.

9. 이론 (pamata teorēma par lineāro atkarību).

Ļaujiet un ir divas ierobežotas vektoru sistēmas no 엘 . Ja pirmā sistēma ir lineāri netkarīga un lineāri izteikta ar otro, tad N£s.

Pierādījums. Izliksimies 타 N> 에스.사스카나 아르 테오레무

(21)

Tā kā sistēma ir lineāri netkarīga, vienādība (18) w X1=x2=…=xN=0. Aizstāsim šeit vektoru izteiksmes: …+=0 (19). 타타드(20). Nosacījumi (18), (19) un (20) acīmredzami ir līdzvērtīgi. 내기 (18) ir apmierināts tikai tad, kad X1=x2=…=xN=0. Noskaidrosim, kad vienādība (20) ir patiesa. Ja visi tā koeficienti ir vienādi ar nulli, tad tā acīmredzami ir taisnība. Pielīdzinot tos nullei, iegūstam sistēmu (21). Tā kā šai sistēmai ir nulle, tā

locītavu. Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle atšķirīga vērtība x10, x20, …, xN0. Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri netkarīga. Tātad mūsu Pieņēmums ir nepareizs. 타펙 N£s.

세카스. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri netkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.

17. 정의. 벡터 sistēmu sauc Maksimālā lineārineatkarīgā vektoru sistēma 리네아라 텔파 엘 , ja tas ir lineārineatkarīgs, bet Pievienojot tam jebkuru vektoru no 엘 nav iekļauta šajā sistēmā, tā kļūst lineāri atkarīga.

10. 이론. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineārineatkarīgas vektoru sistēmas no 엘 Satur tādu pašu vektoru skaitu.

피에라디줌스 izriet no fakta, ka jebkuras divas maksimāli lineāri netkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .

Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineāri netkarīga telpas vektoru sistēma 엘 var pabeigt līdz maksimāli lineārineatkarīgai šīs telpas vektoru sistēmai.

피에메리:

1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri netkarīga.

2. Visu koplanāru ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri netkarīgu sistēmu.

3. Trīsdimensiju eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri netkarīga.

4. Visu polinomu kopā pakāpe ir ne vairāk kā N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, …, xn Tas ir maksimāli lineārineatkarīgs.

5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri netkarīgas sistēmas Piemēri ir

ㅏ) 1, x, x2, … , xn, … ;

비) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. 디멘시주 마트리쿠 코파 중´ N ir lineāra telpa (pārbaudiet to). Maksimālas lineāri netkarīgas sistēmas Piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12\u003d, ..., E망 = .

도타 벡터 시스템 C1, c2, ..., sk (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineārineatkarīgs Apakšsistēma시스테마스( *) , ja tas ir lineāri netkarīgs, bet, ja tam Pievieno jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineārineatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (Pierādījums pats.) Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineāri netkarīgajā apakšsistēmā (*). 계급 Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.

모든 요소에 대한 정의가 있습니다. -벡터, 자:

* likums ir noteikts (+) atbilstoši kat. jebkuri divi elementi x, y no w ir saistīti ar elementu, ko sauc. [x + y]를 합산하려면

* dots likums (* par skaitli a), saskaņā ar kuru elementu x no w un a salīdzina ar elementu no w, ko sauc par x un a [ax] reizinājumu;

*파베이트

šādas prasības(바이 악시오마스):

c1을 추적합니다. null 벡터(ctv 0 1 un 0 2 . pēc a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 un 0 1 + 0 2 = 0 1 . ar a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(CTV,a4)

c3. 0 베크 (a7)

c4. a(스카이틀리스)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 벡터, pretēji x, t.i. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Atņemšanas darbība ir definēta ar w: vektoru x sauc par vektoru b un a starpību, ja x + a = b, un to apzīmē ar x = b - a.

누무르스 N사우카 디멘시주 린. 프라 엘 , 자 이케샤 엘 IR 시스템 N린. neprecējies vektori un jebkura sistēma N+1 벡터 - 린. atkarīgi. 블라브 엘= N. 코스모스 엘 sauc par n-dimensiju.

Sakārtota n līniju kopa. neprecējies vektori n dimensijasneatkarīgi. atstarpes - 파마트

테오레마. Katru vektoru X var unikāli attēlot kā līniju Bāzes vektoru kombinācijas

Pieņemsim, ka (1) ir n-dimensijas līnijas pamats. pr-va V, 티. lineāri netkarīgu vektoru kopa. Vektoru kopa būs lin. atkarīgs, 조 비뉴 아니오 1.

묶다. ir skaitļi, kas ne visi vienlaikus ir vienādi ar nulli, kas turklāt ir (pretējā gadījumā (1) ir lineāri atkarīgi).

약간 kur ir vektora dekompozīcija 엑스파마타(1) .

Šis izteiciens ir unikāls, jo ja Pastāv cita izteiksme(**)

atņemot no (*) vienādības (**),

메스 사네맘

Jo ir lineāri netkarīgi, tad . Chtd

테오레마. 자린. telpas Vneatkarīgus vektorus un katru vektoru x no V var attēlot caur , tad šie vektori veido V pamatu

Doc-in: (1) -lin.independent =>paliek doc-th, ka lin.dependent. Saskaņā ar konv. Katrs vektors a ir izteikts kā (1): , uzskata , rang≤n => starp kolonnām ne vairāk kā n ir lineāri netkarīgas, bet m > n=> m kolonnas ir lineāri atkarīgas => s=1, n

Tas ir, vektori ir lineāri atkarīgi

Tādējādi telpa V ir n-dimensionāla un (1) tās pamats

№4데프. Apakškopa L 린. pr-va V sauc par lin. 참조 no šīs telpas, ja attiecībā uz operācijām (+) un (*a), kas dotas V, apakštelpa L ir lineāra telpa

Teorēma Vektoru kopa l telpā V ir lin. Šīs telpas apakštelpa veic

(pietiekami) izpildīsim (1) un (2), jo faktam, ka L ir apakšvienkāršība V, atliek pierādīt, ka Visas lin aksiomas ir izpildītas. pr-va.

(-x): -x+x=0 디. a(x + y) = ax + y;

(a-b) un (e-h) izriet no derīguma V, mēs pierāda (c)

(nepieciešams) Lai L ir līnija. šīs telpas apakštelpa, tad (1) un (2) ir spēkā līniju definīcijas dēļ. pr-va

데프. Visu veidu līniju kolekcija. dažu elementu kombinācijas (x j) lin. pr-va sauc par lineāro apvalku

테오레마 patvaļīga visu līniju kopa. vektoru V kombinācijas ar darbību. Koeficients ir 린. Apakš-V (lineārais apvalks dotā vektoru sistēma lin. 홍보. ir šīs pr līnijas atbalsts. )

ODA.Līniju vektoru apakškopa L, kas nav tukša. pr-va V sauc par lin. Apakštelpa, 예:

a) jebkuru vektoru summa no L 피더 L

b) katra vektora reizinājums no L ar jebkuru skaitli Pieder L

Divu apakštelpu summa엘atkal ir apakštelpa엘

1) Ļaujiet y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x' 1 + x' 2, kur (x 1, x' 1) L 1, (x 2, x' 2) L 2. y 1 + y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), kur (x 1 +x' 1 ) L 1, ( x 2 +x' 2) L 2 => ir izpildīts pirais lineārās apakštelpas nosacījums.

ay 1 = ax 1 + ax 2, kur (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => jo (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => nosacījumi ir izpildīti => L 1 +L 2 ir lineāra apakštelpa.

Divu apakšpunktu krustojums.엘 1 유엔엘 2 린. pr-va엘 ir arī apakšgrupa. 그래 텔파.

Apsveriet divus patvaļīgus vektorus 엑스,와이 kas Pieder apakštelpu krustpunktam, un divi patvaļīgi skaitļi ㅏ,비:.

Saskaņā ar def. 노트크트 크루스토주무스:

=> pēc lineāras telpas apakštelpas definīcijas:,.

T.K.벡터 서비스 + 작가피더 콤플렉스 엘 1, 불안정 엘 2, tad tas pēc definīcijas Pieder Pie šo kopu krustpunkta. 타데자디:

ODA.Saka, ka V ir tā rekvizītu Tiešā summa. ja un b) šī sadalīšanās ir unikāla

비") Parādīsim, ka b) ir līdzvērtīgs b')

Ar b) 파티수 b')

젭쿠르시(중, N) 아니요 크루스토야스 티카이 파 널레스 벡터

Ļaujiet ∃z ∈

고디기. 오트라디엘=

프리트루나

테오레마 투 (*) ir nepieciešams un Pietiekams bāzu savienībai ( 베이도자 텔파스 파마투

(오블리가티 lai (*) un vektori ir apakškopu bāzes. un ir paplašinājums; x Tiek sadalīts pēc bāzes L, lai apgalvotu, ka ( veido bāzi, ir jāpierāda to lineārāneatkarība, visi satur 0 0=0+...+0. Sakarā ar 0 izplešanās unikalitāti : => bāzes lineārās netkarības dē ļ => ( – bāze

(내선) Pieņemsim (veido L unikālo sadalījumu (**)) vismaz vienu sadalījumu. Pateicoties unikalitātei (*) => unikalitāte (**)

Komentet. Tiešās summas izmērs ir vienāds ar apakštelpas izmēru summu

Jebkura nedeģenerēta kvadrātiskā matrica var kalpot kā pārejas matrica no viena pamata uz otru

Pieņemsim, ka n-dimensiju lineārajai telpai V ir divas bāzes un

(1) =A, kur šeit elementi * un ** nav skaitļi, bet mēs paplašināsim noteiktas darbības ar skaitlisko matricu uz šādām rindām.

Jo pretējā gadījumā vektori ** būtu lineāri atkarīgi

Atpakaļ. Ja tad kolonnas A ir lineāri netkarīgas => veido bāzi

코디나타스 유엔 카스 saistīti ar attiecību , 쿠르 파레자 마트리카스 엘레멘티(Pārejas matricas elementi)

Lai ir zināma "jaunās" bāzes elementu paplašināšanās attiecībā uz "veco" bāzi

Tad vienlīdzības

Bet, ja lineāri netkarīgu elementu lineārā kombinācija ir vienāda ar 0, tad =>

Pamata lineārās atkarības teorēma

자 (*) ir lineāri izteikts izteiksmē (**) 타스N<= 중

Pierādīt ar indukciju uz m

m=1: sistēma (*) satur 0 un lin. 갈바네이스페자미

라이 타 부투 파티에시바 m=k-1

피라디심, ka m=k

var izrādīties, ka 1) , t.i. 인리 (1) ir lin.comb. 린. grāvī (2) Sistēma (1) ir daļa no līnijas.nezav. 시스테마스(*). Jo sistēmā (2) ir tikai k-1 vektori, tad ar indukcijas Pieņēmumu iegūstam k+1 3.3. 벡터 lineārāneatkarība. 파마트.

선형 콤비나시자 벡터 시스템

소스 파 벡터

kur a 1 , a 2 , ..., an n -patvaļīgi skaitļi.

나는 내가 방문했다 = 0, tad Tiek izsaukta lineārā kombinācija 사소한 것 . Šajā gadījumā acīmredzami

5. 정의하십시오.

벡터 벡터 시스테마이 Pastāv netriviāla lineāra kombinācija(vismaz viena) 아이 ¹ 0) vienāds ar nulles 벡터: tad sauc 벡터 시스템 선형 아트카리기. Ja vienlīdzība (1) ir iespējama tikai tad, ja visi 나는 =0, 벡터 벡터를 확인하세요 선형 깔끔한 .

2. 이론 (Lineārās atkarības nosacījumi).

6. 정의하십시오.

3번. 이론 no tā izriet, ka, ja telpā ir dots pamats, tad Pievienojot tam patvaļīgu vektoru, iegūstam lineāri atkarīgu vektoru sistēmu. 사스카나 아르 2. 이론(1) , vienu no Tiem (var parādīt, ka vektoru) var attēlot kā pārējo lineāru kombināciju:

.

7. 정의하십시오.

스카이티 사우카 코디나타스 벡터 파마타 (apzīmēts

Ja vektorus aplūko plaknē, tad bāze būs sakārtots nekolineāru vektoru pāris

un vektora koordinātas šajā bāzē ir skaitļu paris:

3. 피에짐. 바라디트에게 dotajam pamatam vektora koordinātas ir unikāli noteiktas . 아니 tā jo īpaši izriet, ka ja vektori ir vienādi, tad to atbilstošās koordinātas ir vienādas un otrādi .

Tātad, ja telpā ir dots bāze, tad sakārtots skaitļu trīskāršs (šajā bāzē vektora koordinātes) atbilst katram telpas vektoram un otrādi: katrs skaitļu trīskāršs atbilst vekto ram.

Plaknē līdzīga atbilstība Tiek noteikta starp vektoriem un skaitļu pāriem.

4. 이론 (Lineāras operācijas caur vektoru koordinātām).

자 카다 파마타 유엔 ㅏ ir patvaļīgs skaitlis, tad šajā pamatā

Citiem vārdiem sakot:

카드 벡터 Tiek reizināts ar skaitli, tā koordinātas Tiek reizinātas ar šo skaitli ;

Pievienojot vektorus, Tiek Pievienotas to atbilstošās koordinātas .

1. 피머 . Dažos gadījumos vektori이르 코디나타스

Parādiet, ka vektori veido bāzi, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.

Vektori veido pamatu, ja Tie nav vienā plaknē, tāpēc(saskaņā ar테오레마 3(2) ) ir lineāri netkarīgi.

Pēc 정의 5 tas nozīmē, ka vienlīdzība

iespējams tikai tad, kad엑스 = 와이 = 지 = 0.

1. 정의합니다. 벡터 시스템은 라인의 위치에 있고, 시스템의 벡터 라인이 다른 방향으로 이동하는 경우에는 라인의 방향을 정할 수 없습니다.

정의 1'. Vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu, ja ir skaitļi 아르곤 1 , 아르곤 2 , …, 아르곤 k , ne visi ir vienādi ar nulli, lai lineārā vektoru kombinācija ar dotajiem koeficientiem būtu vienāda ar nulles vektoru: = , pretējā gadījumā sistēmu sauc par lineārineatkarīgu.

Parādīsim, ka šīs definīcijas ir līdzvērtīgas.

Ļaujiet, lai 1. definīcija būtu apmierināta, t.i., viens no sistēmas vektoriem ir vienāds ar pārējo lineāru kombināciju:

Lineāra vektoru sistēmas kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru, un ne visi šīs kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, t.i. 1. 정의하다 ir spēkā.

Ļaujiet, lai 1. definīcija tiktu apmierināta. Vektoru sistēmas lineārā kombinācija ir, un ne visi kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, Piemēram, vektora koeficienti.

Mēs prezentējām vienu no sistēmas vektoriem kā pārējo lineāru kombināciju, t.i. 1. 정의는 izpildīta입니다.

2. 정의합니다. Vienības vektoru jeb ort sauc n차원 벡터, 쿠르쉬 나 Koordināta ir vienāda ar vienu, bet pārējās ir nulle.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

1. 이론. Dažādi vienību vektori N-dimensiju telpa ir lineāri netkarīga.

Pierādījums. Lai šo vektoru lineārā kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem ir vienāda ar nulles vektoru.

No šīs vienādības izriet, ka visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Mums radās pretruna.

Katrs 벡터 N- 디멘시주 텔파 ā (ㅏ 1 , ㅏ 2 , ..., ㅏ n) var attēlot kā lineāru vienību vektoru kombināciju ar koeficientiem, kas vienādi ar vektora koordinātām

2. 이론. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Pierādījums. Dota vektoru sistēma un viens no vektoriem ir nulle, Piemēram = . Tad ar šīs sistēmas vektoriem ir iespējams izveidot lineāru kombināciju, kas vienāda ar nulles vektoru, un ne visi koeficienti būs nulle:

Tāpēc sistēma ir lineāri atkarīga.

3. 이론. 벡터를 확인하려면 선형으로 시스템을 설치하고, 선형으로 시스템을 설치하십시오.

Pierādījums.벡터를 확인하세요. Pieņemsim, ka sistēma ir lineāri atkarīga, t.i. IR 시파리 아르곤 1 , 아르곤 2 , …, 아르곤 아르 자형 , ne visi ir vienādi ar nulli, lai = .약간

Izrādījās, ka Visas sistēmas vektoru lineārā kombinācija ir vienāda, un ne visi šīs kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

세카스.벡터의 시스템은 lineāri netkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri netkarīga입니다.

Pierādījums.

Pieņemsim pretējo, t.i. dažas apakšsistēmas ir lineāri atkarīgas. No teorēmas izriet, ka Visa sistēma ir lineāri atkarīga. Mēs esam nonākuši 파이 pretrunas.

4. 이론 (슈테이니카 테오레마). Ja katrs no vektoriem ir lineāra kombinācija no vektoriem un 중>N, 벡터의 벡터는 lineāri atkarīga입니다.

세카스. Jebkurā n-dimensiju vektoru sistēmā nevar 그러나 vairāk par n lineāri netkarīgiem vektoriem.

Pierādījums.카트르 N-dimensiju vektoru izsaka kā n vienību vektoru lineāru kombināciju. Tāpēc, ja sistēma satur 중벡터 유엔 중>N, tad saskaņā ar teorēmu šī sistēma ir lineāri atkarīga.

1. teorēma(Par ortogonālo vektoru lineāroneatkarību). Pieņemsim, ka vektoru sistēma ir lineāri netkarīga.

Mēs sastādām lineāru kombināciju ∑λ i x i =0 un ņemam vērā skalāro reizinājumu (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, 내기 ||x j || 2 ≠0⇒λj =0.

1. 정의합니다. 벡터 시스템vai (ei ,e j)=δ ij — 크로네커 심볼, ONS(사우크 파 오르토노르말루).

2. 정의합니다. Patvaļīgam bezgalīgas dimenijas Eiklīda telpas patvaļīgam elementam x un patvaļīgai ortonormālai elementu sistēmai elementa x Furjē sēriju sistēmā sauc par formāli sastādītu formas bezgalīgu summu (sēriju). , kurā reālos skaitļus λ i sauc par Furjē koeficientiem elementa x sistēmā , kur λ i =(x,e i).

설명. (Protams, Rodas jautājums par šīs sērijas konverģenci. Lai izmeklētu šo problēmu, mēs labojam patvaļīgu skaitli n un noskaidrojam, kas atšķir n-tā daļēja Furjē rindas summa no jebkuras citas ortonormālas sistēmas pirmo n elementu lineāras kombinācijas.)

2. 이론. Jebkuram fiksētam skaitlim n starp visām formas summām mazākā novirze no elementa x noteiktā Eiklīda telpas norrma ir n-tā daļēja엘레멘타 푸르제 린다스 숨마

Ņemot vērā sistēmas ortonormalitāti un Furjē koeficienta definīciju, varam rakstīt

Šīs izteiksmes 최소값 Tiek sasniegts Pie c i =λ i, jo šajā gadījumā vienmēr nenegatīvā pirmā summa labajā pusē pazūd, un pārējie vārdi nav atkarīgi no c i.

피머스. 압스베리에트 삼각법 시스템(Apsveriet trigonometrisko sistēmu)

visu Rīmaņa integrējamo funkciju f(x) telpā uz 세그먼트a [-π,π]. Ir viegli pārbaudīt, vai tā ir ONS, un tad funkcijas f(x) Furjē sērijai ir forma kur .

설명. (Trigonometrisko Furjē sēriju parasti raksta kā 약간 )

Patvaļīga ONS bezgalīgas dimensija Eiklīda telpā bez papildu Pieņēmumiem, vispārīgi runājot, nav šīs telpas pamats. Intuitīvā līmenī, nesniedzot stingras definīcijas, mēs aprakstīsim lietas būtību. Patvaļīgā bezgalīgajā Eiklīda telpā E ņem vērā ONS , kur (e i ,e j)=δ ij ir Kronekera simbols. Lai M ir Eiklīda telpas apakštelpa, un k=M ⊥ apakštelpa, kas ir ortogonāla pret M tā, ka Eiklīda telpa E=M+M ⊥ . Vektora x∈E projekcija apakštelpā M ir 벡터 ∈M, kur

Meklēsim tās izplešanās koeficientu α k vērtības, kurāmneatbilstība (neatbilstības kvadrāts) h 2 =||x-|| 버스 최소 2개:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ir skaidrs, ka šai izteiksmei būs minimālā vērtība α k =0, kas ir triviāls, un α k =(x, ek). Tad ρ min =||x|| 2 -∑αk 2 ≥0. Tādējādi iegūstam Besela nevienādību ∑α k 2 ||x|| 2. 자 ρ=0 ONS(ortonormālu vektoru sistēmu)는 PONS(Ortonormālu sistēmu sistēmu) 시스템에 사용됩니다. No šejienes mēs varam iegūt Steklova - Parseval vienādību ∑α k 2 =||x|| 2 - "Pitagora teorēma" pilnām, Steklova izpratnē, bezgalīgajām Eiklīda telpām. Tagad būtu jāpierāda, ka, lai jebkurš telpas vektors tiktu unikāli attēlots kā Furjē rinda, kas tai saplūst, ir nepieciešams un Pietiekami, lai tiktu izpildīta Steklova-Parsevala vienādība. Vektoru sistēma pic="">ONB veido? 벡터 sistēma Apsveriet rindas daļējo summu 약간 kā konverģentas sērijas aste. Tādējādi vektoru sistēma ir PONS un veido BSS.

피머스.삼각법 시스테마

visu Rīmaņa integrējamo funkciju telpā f(x) Segmentā [-π,π] ir PONS un veido ONB.