11.1. Pamatjēdzieni

Apskatīsim līnijas, kas noteiktas ar otrās pakāpes vienādojumiem attiecībā pret pašreizējām koordinātām

Vienādojuma koeficienti ir reāli skaitļi, bet vismaz viens no skaitļiem A, B vai C nav nulle. Šādas līnijas sauc par otrās kārtas līnijām(līknēm). Zemāk tiks konstatēts, ka vienādojums (11.1) definē apli, elipsi, hiperbolu vai parabolu plaknē를 정의합니다. Pirms pāriet uz šo apgalvojumu, izpētīsim uzskaitīto līkņu īpašības.

11.2. 압리스

Vienkāršākā otrās kārtas līkne ir aplis. Atgādinām, ka aplis ar rādiusu R ar centru kādā punktā ir visu plaknes punktu M kopa, kas atbilst nosacījumam . Pieņemsim, ka punktam taisnstūra koordinātu sistēmā ir koordinātes x 0, y 0 un - patvaļīgs punkts uz riņķa līnijas (skat. 48. att.).

Tad no nosacījuma iegūstam vienādojumu

(11.2)

Vienādojumu(11.2) apmierina jebkura punkta koordinātas uz dotā riņķa, un to neapmierina neviena punkta koordinātas, kasneatrodas uz apļa.

Tiek izsaukts vienādojums(11.2). Apļa kanoniskais vienādojums

Jo īpaši, nosakot un , Mēs iegūstam apļa vienādojumu ar centru izcelsmē .

Apļa vienādojums (11.2) pēc vienkāršām pārveidojumiem iegūs formu. Salīdzinot šo vienādojumu ar otrās kārtas līknes vispārējo vienādojumu (11.1), ir viegli pamanīt, ka apļa vienādojumam ir izpildīti divi nosacījumi:

1) koeficienti x 2 un y 2 ir vienādi;

2) nav neviena elementa, kas satur pašreizējo koordinātu reizinājumu xy.

Apskatīsim apgriezto 문제. Ievietojot vērtības un vienādojumā (11.1), mēs iegūstam

Pārveidosim šo vienādojumu:

(11.4)

No tā izriet, ka vienādojums (11.3) define apli saskaņā ar nosacījumu . Tās centrs atrodas punktā ,UN 반경

.

자 , tad vienādojumam(11.3) ir 형식

.

Apmierina viena punkta koordinātas에게 . Šajā gadījumā viņi saka: "aplis ir deģenerējies par punktu"(ir nulles rādiuss).

자 , TAD Vienādojums (11.4) un līdz ar of arī ekvivalentais vienādojums (11.3) nedefinēs nevienu taisni, JO (11.4) vienādjuma labason, bet kreisā nava navatīva (Teiksim: “Iedomāts aplis”).

11.3. 일립스

Kanoniskais는 vienādojums를 생략합니다.

일립스 ir visu plaknes punktu kopa, kuru attālumu summa no katra līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, t.s. 트리키 , ir nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.

Apzīmēsim fokusus ar F 1유엔 F 2, attālums starp tiem ir 2 씨, un attālumu summa no patvaļīga elipses punkta līdz fokusam - 2 ㅏ(skat. 49. att.). Pēc 정의 2 ㅏ > 2씨, 티. ㅏ > 씨.

Lai iegūtu는 vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss를 생략합니다. F 1유엔 F 2 gulēja uz ass, un izcelsme sakrita ar 세그먼트a vidu 여 1 여 2. Tad fokusiem būs šādas koordinātas: un .

Ļaut ir patvaļīgs는 punkts를 생략합니다. Tad saskaņā ar elipses definīciju, t.i.

Tas būtībā ir는 vienādojums를 생략합니다.

Pārveidosim vienādojumu (11.5) uz vienkāršāku formu šādi:

조 ㅏ>아르곤, 타스. 리캄

(11.6)

Tad pēdējais vienādojums būs formā vai

(11.7)

Var pierādīt, ka vienādojums (11.7) ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam. 소크하려면 카노니스카이스 elipses vienādojums .

Elipse ir otrās kārtas līkne.

생략 형식 izpēte, izmantojot tās vienādojumu

Nosakīsim은 formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu를 생략합니다.

1. Vienādojums(11.7) satur x un y tikai pāra pakāpēs, tātad, ja punkts Pieder elipsei, tad tai Pieder arī punkti ,,. No tā izriet, ka elipse ir simeriska attiecībā pret un asīm, kā arī pret punktu, ko sauc par elipses centru.

2. Atrodiet는 krustošanās punktus ar koordinātu asīm을 생략합니다. Liekot, atrodam divus punktus un, kuros ass krustojas ar elipsi (skat. 50. att.). Ievietojot vienādojumu (11.7) , atrodam elipses krustošanās punktus ar asi: un . 펑크티 ㅏ 1 , A 2 , 비 1, 비 2티크 사우크티 elipses virsotnes. 세그멘티 ㅏ 1 A 2유엔 비 1 비 2, 카아리에서 가루미로 2 ㅏ유엔 2 비티에크 아티에치기 사우크티 lielās un mazās asis타원. 스카이티 ㅏ유엔 비 Tiek saukti attiecīgi par lieliem un maziem 아수 바르프스타스타원.

3. 아니오(11.7) vienādojuma izriet, ka katrs loceklis kreisajā pusē nepārsniedz vienu, t.i. nevienlīdzības un vai un notiek. Līdz ar to visi는 punkti atrodas taisnstūrī, ko veido taisnas līnijas를 생략합니다.

4. Vienādojumā (11.7) nenegatīvo vārdu un summa ir vienāda ar vienu. Līdz ar to vienam termiņam peaugot, otrs samazināsies, t.i., ja palielinās, tad samazinās un otrādi.

No iepriekš minētā izriet, ka elipsei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 50 (ovāla slēgta līkne).

Vairāk informācijas par elipsi

생략문 형식은 atkarīga no attiecības입니다. Kad elipse pārvēršas par apli, elipses vienādojums (11.7) iegūst formu. Attiecību bieži izmanto, lai raksturotu elipses formu. Puses attāluma attiecību starp fokusiem un elipses daļēji galveno asi sauc par elipses ekscentriskumu, un o6o apzīmē ar burtu ε (“epsilons”):

아르 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Tas parāda, ka, jo mazāka ir elipses ekscentriskums, jo mazāk saplacināta būs elipse; ja uzstādām ε = 0, tad elipse pārvēršas aplī.

Lai M(x;y) ir patvaļīgs elipses punkts ar fokusiem F 1 un F 2 (skat. 51. att.). Nogriežņu garumus F 1 M = r 1 un F 2 M = r 2 sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Acīmredzot

공식 투라스

티에샤스 리니야스 사우크

정리 11.1. Ja ir attālums no patvaļīga elipses punkta līdz kādam fokusam, d ir attālums no tā paša punkta līdz virzienam, kas atbilst šim fokusam, tad attiecība ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar elipses eks centriskumu:

아니요 vienlīdzības (11.6) izriet, ka . Ja, tad vienādojums (11.7) definē elipsi, kuras galvenā ass atrodas uz Oy ass, bet mazā ass uz Ox ass (skat. 52. att.). Šādas는 perēkļi atrodas punktos un, kur를 생략합니다. .

11.4. 히퍼볼라

Kanoniskais hiperbolas vienādojums

히퍼볼라 ir visu plaknes punktu kopa, attālumu starpības modulis no katra no tiem līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, t.s. 트리키 , ir nemainīga vērtība, kas ir mazāka par attālumu starp fokusiem.

Apzīmēsim fokusus ar F 1유엔 F 2 attālums starp tiem ir 2초, un attāluma starpības modulis no katra hiperbolas punkta līdz perēkļiem cauri 2a. 이전 2a < 2초, 티. ㅏ < 씨.

Lai iegūtu hiperbolas vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss F 1유엔 F 2 gulēja uz ass, un izcelsme sakrita ar 세그먼트a vidu 여 1 여 2(skat. 53. att.). Tad perēkļiem būs koordinātes un

Ļaut ir patvaļīgs hiperbolas punkts. Tad saskaņā ar hiperbolas definīciju vai, t.i., pēc vienkāršošanas, kā tas tika darīts, atvasinot elipses vienādojumu, mēs iegūstam 카노니스카이스 히페르볼라스 비에나도줌스

(11.9)

(11.10)

Hiperbola ir otrās kārtas rinda.

Hiperbolas formas izpēte, izmantojot tās vienādojumu

Noteiksim hiperbolas formu, izmantojot tās kakonisko vienādojumu.

1. Vienādojums(11.9) satur x un y tikai pāra pakāpēs. Līdz ar to hiperbola ir simeriska pret asīm un, kā arī pret punktu, ko sauc par 히퍼볼라 센터.

2. Atrodiet hiperbolas krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Ievietojot vienādojumu (11.9), mēs atrodam divus hiperbolas krustošanās punktus ar asi: un. Ievietojot (11.9), iegūstam, kas nevar būt. Tāpēc hiperbola nekrustojas ar Oy asi.

푼티 티에크 사우크티 비르소트네스 hiperbolas 유엔 세그먼트

진짜 엉덩이 , 선분 - 이스타 푸사스 쌍곡선.

Tiek saukts 세그먼트, kas savieno punktus 이에도마타 엉덩이 , 숫자 b - 이에도마타 푸사스 . 타이슨스투리스 아르 말람 2a유엔 2b사우카 히퍼볼라스 파마타 타이슨스투리스 .

3. 아니오(11.9) vienādojuma izriet, ka minuend ir ne mazāks par vienu, t.i., ka vai. Tas nozīmē, ka hiperbolas punkti atrodas pa labi no līnijas(hiperbolas labais atzars) un pa kreisi no līnijas(hiperbolas kreisais atzars).

4. hiperbolas vienādojuma(11.9) ir skaidrs, ka, palielinoties, tas palielinās가 없습니다. Tas izriet no fakta, ka starpība saglabā nemainīgu vērtību, kas vienāda ar vienu.

No iepriekš minētā izriet, ka hiperbolai ir 54. attēlā parādītā forma (līkne, kas sastāv no diviem neierobežotiem zariem).

히퍼볼라스 점근선

Taisni L sauc par asimptotu neierobežotas līknes K, ja attālumam d no līknes K punkta M līdz šai taisnei ir tentence uz nulli, ja punkta M attālums gar līkni K no sākuma ir neierobežots. 55. attēlā ir parādīts asimptotes jēdziens: taisne L ir līknes K asimptote.

Parādīsim, ka hiperbolai ir divi asimptoti:

(11.11)

Tā kā taisnes(11.11) un hiperbola(11.9) ir simetriskas attiecībā pret koordinātu asīm, Pietiek ņemt vērā tikai tos norādīto līniju punktus, kas atrodas pirmajā ceturksnī.

Ņemsim punktu N uz taisnes, kam ir tāda pati abscise x kā hiperbolas punktam (skat. 56. att.), un atrodiet atšķirību ΜΝ starp taisnes un hiperbolas atzara ordinātām:

Kā redzat, palielinoties x, palielinās daļas saucējs; skaitītājs ir nemainīga vērtība. Tāpēc 세그먼트가룸 ΜΝ ir 경향은 uz nulli입니다. Tā kā MΝ ir lielāks par attālumu d no punkta M līdz taisnei, tad d Tiecas uz nulli. Tātad līnijas ir hiperbolas (11.9) asimptotes.

Konstruējot hiperbolu (11.9), vēlams vispirms izveidot hiperbolas galveno taisnstūri (skat. 57. att.), novilkt taisnas līnijas, kas iet caur šī taisnstūra pretējām virsotnēm - hiperbolas asimptotus un atzī mēt virsotnes un, 히퍼볼라 없음.

Vienādmalu hiperbolas vienādojums.

쿠루 asimptoti ir koordinātu asis

Hiperbolu (11.9) sauc par vienādmalu, ja tās pusasis ir vienādas ar (). Tā kanoniskais vienādojums

(11.12)

Vienādmalu hiperbolas asimptotiem ir vienādojumi, un tāpēc Tie ir koordinātu leņķu bisektrise.

Apskatīsim šīs hiperbolas vienādojumu jaunā koordinātu sistēmā (skat. 58. att.), kas iegūts no vecās, pagriežot koordinātu asis par leņķi. Mēs izmantojam 공식 koordinātu asu rotēšanai:

Mēs aizstājam x un y vērtības vienādojumā(11.12):

Vienādmalu hiperbolas vienādojumam, kuram Ox un Oy asis ir asimptotes, būs forma.

Vairāk informācijas par hiperbolu

엑센트리스쿰 hiperbola(11.9) ir attāluma starp fokusiem attiecība pret hiperbolas reālās ass vērtību, ko apzīmē ar ε:

Tā kā hiperbolai hiperbolas ekscentricitāte ir lielāka par vienu: . Ekscentriskums raksturo hiperbolas formu. Patiešām, no vienlīdzības (11.10) izriet, ka t.i. 유엔 .

No tā var redzēt, ka jo mazāka ir hiperbolas ekscentriskums, jo mazāka ir tās pusasu attiecība un līdz ar to, jo garāks ir tās galvenais taisnstūris.

Vienādmalu hiperbolas ekscentriskums ir. 티에샴,

포쿠사 반경 유엔 labā zara punktiem hiperbolām ir forma un, bet kreisajam zaram - 유엔 .

Tiešās līnijas sauc par hiperbolas virzieniem. Tā kā hiperbolai ε > 1, tad . Tas nozīmē, ka labais virziens atrodas starp hiperbolas centru un labo virsotni, kreisais - starp centru un kreiso virsotni.

Hiperbolas virzieniem ir tāda pati īpašība kā elipses virzieniem.

Ar vienādojumu definetā līkne ir arī hiperbola, kuras reālā ass 2b atrodas uz Oy ass, bet iedomātā ass 2 ㅏ- uz Vērša 엉덩이. 59. attēlā tas ir parādīts kā punktēta līnija.

Ir acīmredzams, ka hiperbolām ir kopīgi asimptoti. Šādas hiperbolas sauc par konjugātiem.

11.5. 포물선

Kanoniskais parabolas vienādojums

Parabola ir visu plaknes punktu kopa, no kuriem katrs atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par fokusu, un noteiktas līnijas, ko sauc par virzienu. Attālumu no fokusa F līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p (p > 0).

Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu Oxy tā, lai Ox ass iet caur fokusu F perpendikulāri virzienam virzienā no virziena uz F, un koordinātu sākumpunkts O atrodas vidū starp fokuss un virziens (sk. 60. att. ). Izvēlētajā sistēmā fokusam F ir koordinātas, bet virziena vienādojumam ir forma vai.

1. (11.13) vienādojumā mainīgais y parādās vienmērīgā pakāpē, kas nozīmē, ka parabola ir simeriska pret Vērša asi; Vērša 엉덩이 ir parabolas simetrijas 엉덩이.

2. Tā kā ρ > 0, 아니오(11.13) izriet, ka . Līdz ar to parabola atrodas pa labi no Oy ass.

3. Kad mums ir y = 0. Tāpēc parabola iet caur izcelsmi.

4. Pieaugot x bezgalīgi, arī modulis y bezgalīgi palielinās. Parabolai ir tāda forma (forma), kas parādīta 61. attēlā. Punktu O(0; 0) sauc par parabolas virsotni, 세그먼트u FM = r sauc par punkta M fokusa rādiusu.

비엔나도주미 , , ( p>0) 정의 아리 포물선, tās parādītas 62. attēlā

Ir viegli parādīt, ka kvadrātveida trinoma grafiks, kur , B un C ir jebkuri reāli skaitļi, ir parabola iepriekš sniegtās definīcijas nozīmē.

11.6. Otrās kārtas līniju vispārīgais vienādojums

Otrās kārtas līkņu vienādojumi ar simetrijas asīm, kas ir paralēlas koordinātu asīm

Vispirms atradisim vienādojumu elipsei ar centru punktā, kura simetrijas asis ir paralēlas koordinātu asīm Ox un Oy un pusasis ir attiecīgi vienādas ㅏ유엔 비. Novietosim elipses O 1 centrā jaunas koordinātu sistēmas sākumu, kuras asis un pusasis ㅏ유엔 비(sk. 64. att.):

Visbeidzot, 65. attēlā parādītajām parabolām ir atbilstoši vienādojumi.

비에나도줌스

타원, 히퍼볼라, 포물선 jumus) var uzrakstīt, izmantojot vienu vienādojumu formā

kur koeficienti A un C vienlaikus nav vienādi ar nulli.

Rodas jautājums: vai katrs formas (11.14) vienādojums nosaka kādu no otrās kārtas līknēm (aplis, elipse, hiperbola, parabola)? Atbildi sniedz šāda teorēma.

테오레마 11.2. Vienādojums (11.14) vienmēr 정의: vai nu apli (ja A = C), vai elipsi (ja A C > 0), vai hiperbolu (ja A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Vispārējais otrās kārtas vienādojums

Tagad apskatīsim otrās pakāpes vispārīgo vienādojumu ar diviem nezināmiem:

Tas atšķiras no vienādojuma (11.14) ar termina klātbūtni ar koordinātu reizinājumu (B1 0). Ir iespējams, pagriežot koordinātu asis par leņķi a, pārveidot šo vienādojumu tā, ka termina ar koordinātu reizinājumu nav.

Izmantojot asu rotācijas 공식

Izteiksim vecās koordinātas ar jaunajām:

Izvēlēsimies leņķi a tā, lai koeficients x" · y" būtu nulle, t.i., lai vienādība

Tādējādi, kad asis Tiek pagrieztas par leņķi a, kas atbilst nosacījumam(11.17), vienādojums(11.15) Tiek reducēts uz vienādojumu(11.14).

세시나줌스: vispārīgais otrās kārtas vienādojums (11.15) definē plaknē (izņemot deģenerācijas un sabrukšanas gadījumus) šādas līknes: aplis, elipse, hiperbola, parabola.

Piezīme: Ja A = C, tad vienādojums (11.17) zaudē nozīmi. Šajā gadījumā cos2α = 0 (sk. (11.16)), tad 2α = 90°, t.i., α = 45°. Tātad, ja A = C, koordinātu sistēma jāpagriež par 45°.

Otrās kārtas rindas.
Elipse un tās kanoniskais vienādojums. 압리스

Pēc rūpīgas izpētes 타이나스 리니야스 플라크네 Mēs turpinām pētīt divdimensiju pasaules ģeometriju. Likmes Tiek dubultotas un aicinu apmeklēt gleznainu elipsi, hiperbolu, parabolu galeriju, kas irtipiski pārstāvji 오트라스 카르타스 린다스. Ekskursija jau ir sākusies, un vispirms īsa informācija par visu izstādi dažādos muzeja stāvos:

Algebrriskās līnijas jēdziens un tā secība

Tiek saukta līnija plaknē 대수학, 자 이케샤 afīna koordinātu sistēma tā vienādojumam ir forma, kur ir polinoms, kas sastāv no formas vārdiem ( – reālais skaitlis, – nenegatīvi veseli skaitļi ).

Kā redzat, algebriskās līnijas vienādojumā nav sinusu, kosinusu, logaritmu un citu funkcionālu beau monde. Tikai X un Y ir iekšā nenegatīvi veseli skaitļi그래디엠.

리니주 세이바 vienāda ar tajā ietverto terminu maksimālo vērtību.

Saskaņā ar atbilstošo teorēmu algebriskās līnijas jēdziens, kā arī tās secība nav atkarīga no izvēles afīna koordinātu sistēma, tādēļ, lai atvieglotu Pastāvēšanu, mēs Pieņemam, ka visi turpmākie aprēķini notiek 데카르타 코디나타스.

Vispārējais vienādojums otrās kārtas rindā ir forma, kur – patvaļīgi reālie skaitļi (Ir ierasts to rakstīt ar koeficientu divi), un koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli.

예, tad vienādojums Tiek vienkāršots līdz , 유엔, ja koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli, tad tas irtieši tā “plakanas” līnijas vispārīgais vienādojums, 카스 파르스타브 피르마스 카르타스 린다.

Daudzi ir sapratuši jauno terminu nozīmi, bet tomēr, lai 100% apgūtu materiālu, iebāzam pirkstus rozetē. Lai noteiktu rindu secibu, jums ir jāatkārto 터미널을 방문하세요 tā vienādojumus un atrodiet katram no tiem 그래두 숨마 ienākošie mainīgie.

피에메람:

용어 satur “x” līdz 1. pakāpei;
용어 포화 “Y” līdz 1. pakāpei;
Terminā nav mainīgo, tāpēc to spēku summa ir nulle.

Tagad izdomāsim, kāpēc vienādojums nosaka līniju 오트라이분명히:

용어 satur “x” līdz 2. pakāpei;
summai ir mainīgo pakāpju summa: 1 + 1 = 2;
용어 포화 “Y” līdz 2. pakāpei;
visi pārējie noteikumi - 마자크그래디엠.

막시말라 vērtība: 2

Ja mēs papildus Pievienosim, teiksim, savam vienādojumam, tad tas jau noteiks 트레샤스 카르타스 린다. Ir acīmredzams, ka 3. kārtas rindas vienādojuma vispārējā forma satur “pilnu terminu kopu”, kurā mainīgo pakāpju summa ir vienāda ar trīs:
, kur koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli.

Ja Pievienojat vienu vai vairākus Piemērotus terminus, kas satur , tad jau runāsim par 4. 카르타스 린다스어.

Ar 3., 4. un augstākas kārtas algebriskajām rindām nāksies saskarties ne reizi vien, jo īpaši iepazīstoties ar 폴라로 코오디나투 시스테마.

Tomēr atgriezīsimies Pie vispārējā vienādojuma un atcerēsimies tā vienkāršākās skolas variācijas. Kā Piemēri Rodas parabola, kuras vienādojumu var viegli reducēt uz vispārīgu formu, un hiperbola ar līdzvērtīgu vienādojumu. Tomēr ne viss ir tik gludi...

Būtisks vispārējā vienādojuma trūkums ir tas, ka gandrīz vienmēr nav skaidrs, kuru līniju tas definē. Pat visvienkāršākajā gadījumā jūs uzreiz nesapratīsit, ka tā ir hiperbola. Šādi izkārtojumi ir Piemēroti tikai Maskarādes laikā, tāpēc esiet uzmanīgi anītiskā ģeometrija Tiek apsvērtatipiska 문제 ienesot 2. kārtas līnijas vienādojumu kanoniskā formā.

Kāda ir vienādojuma kanoniskā forma?

Šī ir vispārpieņemtā vienādojuma standarta forma, kad dažu sekunžu laikā kļūst skaidrs, kurš ģeometrisks 개체타스 노사카. Turklāt kanoniskā forma ir ļoti ērta daudzu praktisku uzdevumu risināšanai. Tā, Piemēram, saskaņā ar kanonisko vienādojumu "플라칸" 타이슨, pirmkārt, uzreiz ir skaidrs, ka šī ir taisne, otrkārt, tai Piederošais punkts un virziena vektors ir viegli saskatāmi.

Ir skaidrs, ka jebkura 1. 카르타스 린다 ir taisna līnija. Otrajā stāvā mūs sagaida vairs nevis sargs, bet daudz daudzveidīgāka deviņu statusuju kompānija:

Otrās kārtas līniju klasifikācija

Izmantojot īpašu darbību kopu, jebkurš otrās kārtas līnijas vienādojums Tiek reducēts uz vienu no šīm formām:

(un ir pozitīvi reālie skaitļi)

1) – elipses kanoniskais vienādojums;

2) – hiperbolas kanoniskais vienādojums;

3) – 포물선 kanoniskais vienādojums;

4) – 이에도마트타원;

5) – krustojošu līniju pāris;

6) – 파리 이에도마트 krustojošās līnijas (ar vienu derīgu krustošanās punktu sākuma punktā);

7) – paralēlu līniju pāris;

8) – 파리 이에도마트 paralēlas līnijas;

9) – sakrītošu līniju pāris.

Dažiem lasītājiem var rasties iespaids, ka saraksts ir nepilnīgs. Piemēram, 7. punktā vienādojums norāda pāri 티에샤 베이다, paralēli asij, un rodas jautājums: kur ir vienādojums, kas nosaka taisnes, kas ir paralēlas ordinātu asij? 아트빌디에서 netiek uzskatīts par kanonisku. Taisnas līnijas apzīmē to pašustandarta korpusu, pagrieztu par 90 grādiem, un papildu ieraksts klasifikācijā ir lieks, jo tas nedod neko principiāli jaunu.

Tādējādi ir deviņi un tikai deviņi 다자디 베이디 2. kārtas rindas, bet praksē tās sastopamas visbiežāk 타원, 히퍼볼라 및 포물선.

Vispirms apskatīsim elipsi. Kā parasti, es koncentrējos uz tiem punktiem, kas ir 리엘라 노지메문제가 발생하면 세부 사항을 공식화하여 atvasinājums, teorēmu pierādījumi, lūdzu, skatiet, Piemēram, Baziļeva/Atanasjana vai Aleksandrova mācību grāmatu.

Elipse un tās kanoniskais vienādojums

Pareizrakstība... lūdzu,neatkārtojiet dažu Yandex lietotāju kļūdas, kuras interesējas par to, “kā izveidot elipsi”, “atšķirība starp elipsi un ovālu” un “elipses ekscentriskums”.

Elipses kanoniskajam vienādojumam ir forma, kur ir pozitīvi reālie skaitļi un. Pašu는 definīciju es formulēšu vēlāk를 생략하고, bet tagad ir pienācis laiks atpūsties no sarunu veikala un atrisināt izplatītu problēmu:

어떻게 해야 할까요?

Jā, vienkārši ņemiet to un vienkārši uzzīmējiet to. Uzdevums Tiek veikts bieži, un ievērojama daļa skolēnu nepareizi Tiek galā ar zīmējumu:

1. 피머

Izveidojiet vienādojuma doto elipsi

리시나줌스: Vispirms izveidosim vienādojumu kanoniskā formā:

Kāpēc은 무엇입니까? Viena no kanoniskā vienādojuma priekšrocībām ir tā, ka tas ļauj uzreiz noteikt elipses virsotnes, 카스 아트로다스 펑크토스. Ir viegli redzēt, ka katra no šiem punktiem koordinātas atbilst vienādojumam.

샤자 가디주마:


Līnijas 세그먼트사우카 갈베나 엉덩이타원;
선분 – 마자 엉덩이;
누무르 사우카 daļēji galvenā vārpsta타원;
누무르 – 마자 엉덩이.
무수 피에메라: .

Lai ātri iedomāties, kā izskatās konkrēta elipse, vienkārši apskatiet tās kanoniskā vienādojuma "a" un "be" vērtības.

Viss ir labi, gludi un skaisti, taču ir viens brīdinājums: zīmējumu veidoju, izmantojot programmu. Un jūs varat izveidot zīmējumu, izmantojot jebkuru lietojumprogrammu. Taču skarbajā realitātē uz galda stāv rūtains papīrs, un uz mūsu rokām peles dejo apļos. Cilvēki ar māksliniecisku talantu, protams, var strīdēties, bet jums ir arī peles (lai arī mazākas). 모든 것이 안전하고, 교통이 편리하며, 도시의 이동 경로도 다릅니다.

Šī iemesla dēļ maz ticams, ka mēs spēsim precīzi uzzīmēt elipsi, zinot tikai virsotnes. Tas ir labi, ja elipse ir maza, Piemēram, ar pusasīm. Varat arī samazināt zīmējuma mērogu un attiecīgi izmērus. Bet kopumā ļoti vēlams attrast papildu punktus.

Elipses konstruēšanai ir divas Pieejas – ģeometriskā un algebriskā. Man nepatīk konstruēt, izmantojot kompasu un lineālu, jo algoritms nav tas īsākais un zīmējums ir ievērojami pārblīvēts. Ārkārtas gadījumā, lūdzu, skatiet mācību grāmatu, taču patiesībā daudz racionālāk ir izmantot algebras rīkus. 생략 없음 vienādojuma uzmetumā mēs ātri izsakām:

Pēc tam vienādojums sadalās divās funkcijās:
– nosaka는 augšējo loku를 생략합니다.
– nosaka는 apakšējo loku를 생략합니다.

Kanoniskā vienādojuma definetā elipse ir simeriska attiecībā pret koordinātu asīm, kā arī attiecībā uz izcelsmi. Un tas ir lieliski - simetrija gandrīz vienmēr ir bezmaksas priekšvēstnesis. Acīmredzot Pietiek ar 1. koordinātu ceturksni, tāpēc mums ir vajadzīga funkcija . Tas prasa atrast papildu punktus ar abscisēm . Pieskarieties kalkulatora 트림 īsziņām:

Protams, patīkami ir arī tas, ka, ja aprēķinos Tiek Pieļauta nopietna kļūda, tas uzreiz kļūs skaidrs būvniecības laikā.

Atzīmēsim punktus zīmējumā (sarkanā krāsā), simetriskus punktus uz atlikušajiem lokiem ( 질라 크라사) un uzmanīgi savienojiet visu uzņēmumu ar līniju:


Sākotnējo skici labāk uzzīmēt ļoti plāni un tikai pēc tam izdarīt spiedienu ar zīmuli. Rezultātam vajadzētu būt diezgan Pieklājīgai elipsei. Starp citu, vai vēlaties uzzināt, kas ir šī līkne?

생략문은 정의되어 있습니다. Elipses perēkļi un elipses ekscentriskums

Elipse ir īpašs ovāla gadījums. Vārds “ovāls” nav jāsaprot filistiskā nozīmē (“bērns uzzīmēja ovālu” utt.). Šis ir matemātisks 용어, kam ir 세부 사항 formulējums. Šīs nodarbības mērķis nav aplūkot ovālu un to dažādo veidu teoriju, kam anāītiskās ģeometrijasstandarta kursā praktiski netiek Pievērsta uzmanība. Un saskaņā ar aktuālākām vajadzībām mēs nekavējoties pārejam Pie stingras elipses definīcijas:

일립스 ir visu plaknes punktu kopa, kuru attālumu summa līdz katram no diviem dotajiem punktiem, ko sauc 트리키 elipse ir nemainīgs lielums, kas skaitliski vienāds ar šīs elipses galvenās ass garumu: .
Tajā pašā laikā attālumi starp fokusiem ir mazāki 도타 베르티바: .

Tagad viss kļūs skaidrāks:

Iedomājieties, ka zilais punkts “ceļo” pa elipsi. Tātad, netkarīgi no tā, kuru elipses punktu mēs ņemtu, 세그먼트u garumu summa vienmēr būs vienāda:

Pārliecināsimies, ka mūsu Piemērā summas vērtība Tiešām ir vienāda ar astoņiem. Garīgi novietojiet punktu “um”은 labajā virsotnē, pēc tam: , kas ir jāpārbauda를 생략합니다.

Vēl viena tā zīmēšanas metode ir balstīta uz elipses definīciju. Augstākā matemātika dažkārt ir spriedzes un stresa cēlonis, tāpēc ir pienācis laiks veikt vēl vienu izkraušanas sesiju. Lūdzu, paņemiet vatmana papīru vai lielu kartona loksni un piespraudiet to Pie galda ar divām naglām. 타이 버스 트리키. Piesieniet zaļu pavedienu uz izvirzītajām naglu galviņām un izvelciet to līdz galam ar zīmuli. Zīmuļa vads nonāks noteiktā punktā, kas Pieder elipsei. Tagad sāciet pārvietot zīmuli pa papīra lapu, turot zaļo pavedienu cieši nostieptu. Turpiniet procesu līdz atgriežaties sākuma punktā... lieliski... zīmējumu var pārbaudīt ārsts un skolotājs =)

Kā atrast는 perēkļus를 생략합니까?

Iepriekš minētajā Piemērā es attēloju “gatavus” fokusa punktus, un tagad mēs uzzināsim, kā tos iegūt no ģeometrijas dziļumiem.

Ja elipse ir dota ar kanonisku vienādojumu, tad tās fokusiem ir koordinātas ,쿠르타스 이르 attālums no katra fokusa līdz elipses simetrijas centram.

Aprēķini ir vienkāršāki par vienkāršu:

! Konkrētās fokusa koordinātas nevar identificēt ar “tse” nozīmi! Es atkārtoju, ka tas ir ATTĀLUMS no katra fokusa līdz centram(kam vispārīgā gadījumā nav jāatrodas Tieši izcelsmē).
Un tāpēc attālumu starp perēkļiem arī nevar saistīt ar elipses kanonisko stāvokli. Citiem vārdiem sakot, elipsi var pārvietot uz citu vietu, un vērtība paliks nemainīga, savukārt fokuss dabiski mainīs savas koordinātas. Lūdzu, ņemiet to vērā, turpinot pētīt šo tēmu.

Elipses ekscentriskums un tās ģeometriskā nozīme

Elipses ekscentriskums ir attiecība, kas var iegūt vērtības diapazonā.

무수 가디주마:

Noskaidrosim, kā elipses forma ir atkarīga no tās ekscentriskuma. 프리크슈시 살라보트 크라이소 유엔 라보 비르소트니 no aplūkojamās elipses, tas ir, puslielākās ass vērtība paliks nemainīga. Tad ekscentricitātes 공식 būs šāda: .

Sāksim tuvināt ekscentriskuma vērtību vienotībai. Tas ir iespējams tikai tad, ja. Ko tas nozīmē? ...atceries trikus . Tas nozīmē, ka는 perēkļi "pārvietosies atsevišķi" pa abscisu asi uz sānu virsotnēm을 생략합니다. 예, "zaļie 세그먼트i nav gumija", elipse neizbēgami sāks saplacināt, pārvēršoties plānākā un plānākā desā, kas savērta uz ass.

타데자디 jo tuvāk elipses ekscentricitātes vērtība ir vienotībai, jo garāka ir elipse.

Tagad modelēsim pretējo procesu: elipses perēkļus gāja viens otram pretī, tuvojoties centram. Tas nozīmē, ka “ce” vērtība kļūst arvien mazāka un attiecīgi ekscentriskums Tiecas uz nulli: .
Šajā gadījumā “zaļie 세그먼트i”, gluži pretēji, “kļūs pārpildīti” un sāks “bīdīt”는 līniju uz augšu un uz leju에서 생략됩니다.

타데자디 Jo tuvāk ekscentricitātes vērtība ir nullei, jo līdzīgāka ir elipse... apskatiet ierobežojošo gadījumu, kad perēkļi Tiek veiksmīgi apvienoti izcelsmē:

Aplis ir īpašs elipses gadījums

Patiešām, pusasu vienādības gadījumā elipses kanoniskais vienādojums iegūst formu , kas refleksīvi pārveidojas par vienādojumu aplim ar centru rādiusa “a” sākumā, kas labi zināms no skolas.

Praksē biežāk Tiek lietots apzīmējums ar “runājošo” burtu “er”: . Rādiuss ir 세그먼트a garums, katrs apļa punkts ir noņemts no centra ar rādiusa attālumu.

Ņemiet vērā, ka는 definīcija paliek pilnīgi pareiza: perēkļi sakrīt, un sakrītošo 세그먼트u garumu summa katram apļa punktam ir konstante를 생략합니다. Tā kā attālums starp perēkļiem ir, Tad jebkura apļa ekscentriskums ir nulle.

Apļa izveidošana ir vienkārša un ātra, vienkārši izmantojiet kompasu. Tomēr dažreiz ir nepieciešams noskaidrot dažu tā punktu koordinātas, šajā gadījumā mēs ejam pazīstamo ceļu - vienādojumu pārnesam uz jautro Matanova formu:

– augšējā pusloka funkcija;
– apakšējā pusloka funkcija.

Tad mēs atrodam vajadzīgās vērtības, atšķirt, 통합 un darīt citas labas lietas.

Rakstam, protams, ir tikai atsauce, bet kā gan var dzīvot pasaulē bez mīlestības? Radošs uzdevums patstāvīgam risinājumam

2. 피머

Sastādiet는 kanonisko vienādojumu, ja ir zināms viens no tās perēkļiem un daļēji mazā ass (centrs atrodas sākumā)를 생략합니다. Atrodiet virsotnes, papildu punktus un Novelciet zīmējumā līniju. Aprēķiniet ekscentriskumu.

Risinājums un zīmējums nodarbības beigās

피에비에노심 다비부:

Pagriezt un paralēli tulkot elipsi

Atgriezīsimies 파이는 kanoniskā vienādojuma, proti, 파이 stāvokļa, kura noslēpums ir mocījis zinātkāros prātus kopš šīs līknes pirmās Pieminēšanas를 생략합니다. Tātad mēs skatījāmies uz elipsi , bet vai praksē nav iespējams izpildīt šo vienādojumu ? Galu galā, šķiet, ka arī šeit tā ir elipse!

Šāds vienādojums ir reti sastopams, taču tas ir sastopams. Un tas faktiski는 elipsi를 정의합니다. Demisticēsim:

Konstrukcijas rezultātā tika iegūta mūsu dzimtā elipse, pagriezta par 90 grādiem. 타스 ir, -그래서 네카노니스크 ieraksts타원 . 이에락스티에트!- vienādojums nedefinē nevienu citu elipsi, jo uz ass nav tādu punktu (foci), kas atbilstu elipses definīcijai.

1. Otrās kārtas līnijas Eiklīda plaknē.

2. Otrās kārtas līniju vienādojumu invarianti.

3. Otrās kārtas līniju veida noteikšana no tā vienādojuma invariantiem.

4. Otrās kārtas līnijas afīnā plaknē. Unikalitātes teorēma.

5. Otrās kārtas līniju centri.

6. Otrās kārtas līniju asimptotes un diametri.

7. Otrās kārtas līniju vienādojumu reducēšana uz vienkāršākajiem.

8. Otrās kārtas līniju galvenie virzieni un diametri.

BIBLIOGRAFIJA

1. Otrās kārtas līnijas Eiklīda plaknē.

정의:

에이클리다 플라크네 ir 2. 텔파 치수,

(divdimensiju reālā telpa).

당신이 원하는 모든 것이 당신의 목표가 될 수 있기를 바랍니다.

Šīs līnijas bieži sastopamas dažādos dabaszinātņu jautājumos. Piemēram, kustība 재료 펑크 centrālā gravitācijas lauka ietekmē notiek pa vienu no šīm līnijām.

Ja griešanas plakne šķērso Visas viena konusa dobuma taisnvirziena ģenerācijas, tad griezumā tiks izveidota līnija ar nosaukumu 타원(1.1. att., a). Ja griešanas plakne šķērso konusa abu dobumu ģenerācijas, tad griezumā tiks izveidota līnija ar nosaukumu 히퍼볼라(1.1.,6. att.). Un visbeidzot, ja griešanas plakne ir paralēla vienai no konusa ģenerācijām (pie 1.1, V- tas ir ģenerators AB), tad sadalļa izveidos līniju ar nosaukumu 포물선.리시. 1.1 sniedz vizuālu attiecīgo līniju formas attēlojumu.

1.1.attēls

Otrās kārtas rindas vispārīgais vienādojums ir šāds:

(1)

(1*)

일립스 ir plaknes punktu kopa, kurai attālumu summa ir divi픽세티 펑크티에프 1 유엔에프 2 šī plakne, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība.

Šajā gadījumā nav izslēgta는 perēkļu sakritība를 생략합니다. Acīmredzot ja perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis.

Lai iegūtu는 kanonisko vienādojumu, mēs izvēlamies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O 세그먼트a vidū를 생략합니다. 에프 1 에프 2 , UN Cirvji 아크유엔 OU Novirzīsim to, kā parādīts attēlā. 1.2(자트리키 에프 1 유엔 에프 2 sakrīt, tad O sakrīt ar 에프 1 유엔 에프 2,아시지 아크 jūs varat ņemt jebkuru asi, kas iet cauri 평가).

Ļaujiet 세그먼트a 가루맘 에프 1 에프 2 에프 1 유엔 에프 2 attiecīgi ir koordinātas (-с, 0) un (с, 0). Apzīmēsim ar 2a Konstante, kas minēta는 definīcijā를 생략합니다. Acīmredzot 2a > 2c, t.i. a > c (자 중- 생략 펑크 (skat. 1.2. att.), tad | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 ㅏ, 운 타 카 디부 푸슈 수마(un tā kā divu pušu summa) M.F. 1 유엔 M.F. 2 트리스투리스 M.F. 1 에프 2 vairāk tresās 푸세스 에프 1 에프 2 = 2c, 약간 2a > 2c. Ir dabiski izslēgt gadījumu 2a = 2c, kopš tā laika punkts 중아트로다스 세그멘타 에프 1 에프 2 un elipse deģenerējas 세그먼트. ).

Ļaujiet 중 (x, y)(1.2. att.). Ar r 1 un r 2 apzīmēsim attālumus no punkta 중우즈 펑크티엠 에프 1 유엔 에프 2 attiecīgi. Saskaņā ar elipses definīciju 비엔리지바

아르 자형 1 + 아르 자형 2 = 2a(1.1)

ir nepieciešams un Pietiekams nosacījums punkta M (x, y) atrašanās vietai uz dotās elipses.

Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs iegūstam

(1.2)

아니요 (1.1) 및 (1.2) izriet, ka 아티에시바

(1.3)

ir nepieciešams un Pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai ar koordinātām x un y uz dotās elipses. Tāpēc attiecību(1.3) var uzskatīt par elipses vienādojums. Izmantojot standarta metodi “radikāļu iznīcināšanai”, šis vienādojums Tiek reducēts līdz formai

(1.4) (1.5)

Tā kā (1.4) vienādojums ir 대수학 세시나줌스 elipses vienādojums (1.3), tad koordinātas x와 y젭쿠루 펑크투 중 elipse apmierinās arī (1.4) vienādojumu. Tā kā algebriskoTransformāciju laikā, kas saistītas ar atbrīvošanos no radikāļiem, var parādīties “papildus saknes”, mums ir jāpārliecinās, ka jebkurš punkts 중, kura koordinātas atbilst vienādojumam (1.4), atrodas uz šīs elipses. Lai to izdarītu, acīmredzot ir Pietiekami pierādīt, ka r vērtības 1 유엔 2 katram punktam atbilst attiecība(1.1). Tātad ļaujiet koordinātas 엑스유엔 제발펑크투스 중 izpildīt vienādojumu(1.4). Vertības aizstāšana plkst.2아니요(1.4) uz izteiksmes(1.2) labo pusi r 1, pēc vienkāršāmTransformācijām mēs atklājam, ka Līdzīgi mēs atklājam, ka(1.6)

티.아이. 아르 자형 1 + 아르 자형 2 = 2a, un tāpēc punkts M atrodas uz elipses. Tiek izsaukts vienādojums(1.4). elipses kanoniskais vienādojums.다우주미 ㅏ유엔 비티에크 아티에치기 사우크티 elipses lielās un mazās pusasis(nosaukumi “lielais” un “mazais” ir izskaidrojami ar to, ka a>b).

코멘테트. Ja는 pusasis를 생략합니다. ㅏ유엔 비 ir vienādi, tad elipse ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar 아르 자형 = ㅏ = 비, un centrs sakrīt ar izcelsmi.

히퍼볼라 ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālumu starpības absolūtā vērtība līdz diviem fiksētiem punktiem에프 1 유엔에프 2 šai plaknei, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība (트리키 에프 1 유엔 에프 2 dabiski hiperbolas uzskatīt par atšķirīgām, jo, ja hiperbolas definīcijā norādītā konstante nav vienāda ar nulli, tad, ja tās sakrīt, nav neviena plaknes punkta 에프 1 유엔 에프 2 , kas atbilstu hiperbolas definīcijas prasībām. Ja šī konstante ir nulle un 에프 1 사크리트 아르 에프 2 , tad jebkurš punkts plaknē atbilst hiperbolas definīcijas prasībām. ).

Lai iegūtu hiperbolas kanonisko vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu izcelsmi 세그먼트a vidū 에프 1 에프 2 , UN Cirvji 아크유엔 OU Novirzīsim to, kā parādīts attēlā. 1.2. Ļaujiet 세그먼트a 가루맘 에프 1 에프 2 vienāds ar 2s. Tad izvēlētajā koordinātu sistēmā punkti 에프 1 유엔 에프 2 attiecīgi ir koordinātas (-с, 0) un (с, 0) Apzīmēsim ar 2 ㅏ hiperbolas definīcijā minētā konsante. Acīmredzot 2a< 2с, т. е. ㅏ< с.

Ļaujiet 중- plaknes punkts ar koordinātām (x, y)(1.,2. att.). Ar r 1 un r 2 apzīmēsim attālumus M.F. 1 유엔 M.F. 2 . Saskaņā ar hiperbolas definīciju 비엔리지바

(1.7)

ir nepieciešams un Pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai uz dotās hiperbolas.

Izmantojot izteiksmes(1.2) r 1 un r 2 un sakarību(1.7), iegūstam sekojošo nepieciešams un Pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai ar koordinātām x un y uz dotās hiperbolas:

. (1.8)

Izmantojot “radikāļu iznīcināšanas”standarta metodi, vienādojumu(1.8) reducējam līdz formai

(1.9) (1.10)

Jāpārliecinās, ka vienādojums (1.9), kas iegūts ar (1.8) vienādojuma algebriskāmTransformācijām, nav ieguvis jaunas saknes. 라이에서 izdarītu, Pietiek ar에서 pierādīt katram punktam 중,코디나타스 엑스유엔 제발 kas apmierina(1.9) vienādojumu, r 1 un r 2 vērtības apmierina sakarību(1.7). Veicot 논쟁, kas līdzīgi Tiem, kas tika izvirzīti, atvasinot 공식(1.6), mēs atrodam šādas izteiksmes mums interesējošajiem lielumiem r 1 un r 2:

(1.11)

Tādējādi par attiecīgo punktu 중엄마들

, un tāpēc tas atrodas uz hiperbolas.

Tiek izsaukts vienādojums(1.9). hiperbolas kanoniskais vienādojums.다우주미 ㅏ유엔 비 Tiek saukti attiecīgi par reāliem un iedomātiem 히퍼볼라스 푸사스.

포물선 ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālums līdz kādam fiksētam punktam에프šī plakne ir vienāda ar attālumu līdz kādai fiksētai taisnei, kas arī atrodas aplūkojamajā plaknē.

앗시프레줌스

1개 OTRĀ RĪCĪBA LIDMAŠĪNĀ.1. 타원, 히퍼볼라, 포물선 정의. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kuriem attālumu summa līdz diviem dotajiem punktiem F 1 un F ir nemainīga vērtība a, kas pārsniedz attālumu starp F 1 un. M(, x) F 1 О F x Zīm. Punktus F 1 un F sauc par elipses fokusiem, un attālums FF 1 starp tiem ir fokusa attālums, ko apzīmē c. Pieņemsim, ka punkts M Pieder elipsei. Nogriežņus F1 M un F M sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Pieņemsim, ka F1F = c. a > c로 정의됩니다. Apskatīsim taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu Ox, kurā fokusi F 1 un F atrodas uz abscisu ass simetriski attiecībā pret izcelsmi. Šajā koordinātu sistēmā elipsi apraksta ar kanonisko vienādojumu: x + = 1, a b 1

2. kur b= a c Parametrus a un b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo pusasi. Elipses ekscentriskums ir skaitlis ε, kas vienāds ar tās fokusa attāluma puses attiecību pret puslielāko asi, t.i. ε =. Elipses a ekscentriskums apmierina nevienādības 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Hiperbolas kanoniskajam vienādojumam ir 형식 x a = b 1,. kur b= c a Skaitļus a un b sauc attiecīgi par hiperbolas reālo un iedomāto pusasi. Apgabalā, ko nosaka punktu nevienlīdzība, nav hiperbolas. x a b 정의. Hiperbolas asimptotes ir taisnes b b, kas dotas ar vienādojumu = x, = x. a a Hiperbolas punkta M(x,) fokusa rādiusus var atrast, izmantojot 공식 r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Hiperbolas ekscentriskumu, tāpat kā elipsei, nosaka pēc 공식 ε =. Ir viegli pārbaudīt, vai nevienādība ε a >1 ir patiesa hiperbolas ekscentricitātei. 정의. Parabola ir visu plaknes punktu kopa, kurai attālums līdz noteiktam punktam F ir vienāds ar attālumu līdz noteiktai taisnei d, kas neiet caur punktu F. Punktu F sauc par parabolas fokusu, un taisne d ir virziens. Attālumu no fokusa līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p. d M (x,) F x Zīm. 4 3

4 Nogriežņa FD vidū izvēlēsimies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O, kas ir no punkta F uz taisni d nomests perpendikuls. Šajā koordinātu sistēmā fokusam F ir koordinātes F p p ;0, un virziens d Tiek dots ar vienādojumu x + = 0. Parabolas kanoniskais vienādojums ir: = px. 포물선 ir simeriska ap asi OF, ko sauc par parabolas asi. Punktu O, kur šī ass krustojas ar parabolu, sauc par parabolas virsotni. Punkta M(x,) fokusa rādiuss t.i. tā p attālumu līdz fokusam nosaka pēc 공식 r = x+. 10B.. Otrās kārtas taisnes vispārīgais vienādojums Otrās kārtas taisne ir plaknes punktu kopa, kuras koordinātes ir x un kas apmierina vienādojumu a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​​11 1, kur a11, a1, a, a10, a0, a00 daži reāli skaitļi un a, a, a vienlaikus nav vienādi ar nulli. Šo vienādojumu sauc par vispārējo otrās kārtas līknes vienādojumu, un to var uzrakstīt arī vektora formā rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kur 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ; a0) , x = (x;). T Tā kā A = A, tad A ir kvadrātiskās 형식 matrica r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Elipse, hiperbola un parabola ir otrās kārtas līkņu Piemēri plaknē. Papildus iepriekš minētajām līknēm ir arī citi otrās kārtas līkņu veidi, kas ir saistīti ar x taisnām līnijām. Tā, Piemēram, vienādojums = 0, kur a 0, b 0, a b 4

5는 플라크네스 krustojošu līniju pāri를 정의합니다. Koordinātu sistēmas, kurās līknes vienādojums iegūst visvienkāršāko formu, sauc par kanoniskām. Izmantojot pārveidojumu kompozīciju: asu pagriešana ar leņķi α, koordinātu sākuma paralēla translācija uz punktu (x0; 0) un atstarošana attiecībā pret abscisu asi, otrās kārtas līknes vienādojums Tiek samazināts līdz viénam . 아니 kanoniskajiem vienādojumiem, 아니 kuriem galvenie bija uzskaitīti iepriekš. 11BPiemēri 1. Sastādiet kanonisko vienādojumu elipsei, kuras centrs atrodas izcelsmē un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja zināms, ka tās ekscentricitāte ε = un punkts N(3;) atrodas uz 3. elipses. x a b 생략어 vienādojums: + = 1. Mums ir, ka =. a b a 3 9 No šejienes mēs aprēķinām, ka a = b. Aizvietojot vienādojumā punkta N(3;) koordinātas, iegūstam + = 1 un tad b = 9 un a b 81 a = = 16,. Līdz ar to elipses kanoniskais vienādojums 5 x + = 1. 16, 9. Sastādiet kanonisko vienādojumu hiperbolai, kuras centrs atrodas sākumā un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja dots punkts M 1 (5; 3) hiperbolas un ekscentricitātes ε =. x Hiperbolas kanoniskais vienādojums = 1. No vienādības a b a + b = mums ir b = a 5 9. Tātad = 1 un a =16. Tāpēc은 kanoniskais vienādojums = a a a x 16 5를 생략합니다.

6 3. Atrodiet punktus uz parabolas = 10x, kuru fokusa rādiuss ir 1.5. Ņemiet vērā, ka parabola atrodas labajā pusplaknē. Ja M (x; atrodas uz parabolas, tad x 0. Parametrs p = 5. Lai (;)) M x ir vēlamais punkts, F fokuss, () parabolas virziens. 태드 F,5; 0, d: x=.5. Tā kā FM = ρ(M, d), tad x +.5 = 1.5, 10 Atbilde: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Tātad, mēs saņēmām divus punktus. 남 10; 10 M, () 4. Hiperbolas labajā zarā, 코도 비에나도줌스 x = 1, atrodiet punktu, kura attālums no labā fokusa ir 16 9 divas reizes mazāks nekā tā attālums no kreisā fokusa. Hiperbolas labā atzara fokusa rādiusus nosaka pēc 공식 r 1 = ε x a un r = ε x + a. Līdz ar to iegūstam vienādojumu ε x + a = (ε x a). Dotai hiperbolai a = 4, 5 c = = 5 un ε =. Tāpēc x = 9.6. Tātad mums ir =± x 16 =± d Atbilde: divi punkti M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. Atrodiet taisnes vienādojumu jebkuram punktam, kura attāluma attiecība pret punkts F (3;0) līdz attālumam līdz taisnei 1 x 8= 0 ir vienāds ar ε =. Norādiet līnijas nosaukumu un tā parametrus. MX; vēlamo līniju, vienādība ir patiesa: Patvaļīgam punktam () FM (x 3) + 1 = =. ρ(ML,) x 8 6

7 아니요 šejienes mums ir [(x 3) + ] = (x 8). Atverot iekavas un pārkārtojot terminus, iegūstam (x+) + = 50, t.i. (x+) + = Atbilde: vajadzīgā taisne ir elipse, kuras centrs atrodas punktā un pusass a = 5 un b = Atrast hiperbolas vienādojumu Vecās koordinātas O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 jaunajā sistēmā (x ;) un new (zt ;)) ir saistīti ar matricas vienādību 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Tas nozīmē, ka vienādojums x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. 표시: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 līdz kanoniskajam 7. Novietojiet līkni kanoniskā formā. jaunajās koordinātēs ir forma Aplūkosim kvadrātisko formu () q x, = 4x 4x+. 4 형식 q matricai ir īpašvērtības 5 un 0 un atbilstošie ortonormālie vektori un pāriesim uz jaunu koordinātu sistēmu: 7

8z 1 1x. t = 5 1 Izteikt vecās koordinātas (x;) caur jaunajām (zt); : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t nozīmē, x = z+ t, = z+ t () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 .Tas nozīmē, ka jaunajās koordinātēs līkne γ ir dota ar vienādojumu 1 3 γ: z z =. Iestatījums = z, x = t, iegūstam γ: =, 1, no kura atrodam līknes γ kanonisko vienādojumu: = 0 kanoniskajās koordinātēs = 5 x 1 1 x Ievērojiet, ka līkne γ ir paralēlu līniju pāris. 1BApielikumi ekonomiskajām un finanšu problēmām 8. Ļaujiet Anijai, Borisam un Dmitrijam katram pa 150 rubļiem augļu iegādei. Ir zināms, ka 1kg bumbieru maksā 15 naudas vienības, 1kg ābolu maksā 10 naudas vienības를 베팅합니다. Turklāt katrs 트림 없음 8

9 ir sava utilīta funkcija, kurai tā vēlas nodrošināt maksimālu, iegādājoties. Lai pērk x1 kg bumbieru un x kg ābolu. Šīs lietderības funkcijas ir šādas: u = x + x Anyai, 1 A 1 x u B = +x Borisam un ud = x1 x Dmitrijam. Ir jāatrod pirkuma plans (x1, x) Anijai, Borisam un Dmitrijam, saskaņā ar kuru viņi maksimāli nodrošina savu lietderības funkciju. x 짐. 5 Aplūkojamo uzdevumu var atrisināt ģeometriski. Lai atrisinātu šo problēmu, jāievieš līmeņa līnijas jēdziens. x x 1 att. 6 Funkcijas z = f(x,) līmeņa līnija ir visu plaknes punktu kopa, kurā funkcija saglabā nemainīgu vērtību, kas vienāda ar h. x 9

10 Šajā gadījumā sākotnējās idejas par ģeometriski 압가발리노라디타자 리드마시나 리네아라스 네비에나디바스(skat. 1.4.apakšnodaļu). x x 1 att. 7 Funkciju ua, u B un u D līmeņa līnijas ir taisnas līnijas, elipses un hiperbolas attiecīgi Anijai, Borisam un Dmitrijam. Atbilstoši uzdevuma jēgai Pieņemam, ka x1 0, x 0. Savukārt budžeta ierobežojumu raksta kā nevienādību 15x1+ 10x 150. Pēdējo nevienādību dalot ar 10, iegūstam 3x1+ x 30 j eb + 1 Ir viegli redzēt, ka x1 x ir šīs nevienādības atrisinājumu apgabals kopā ar nenegatīvisma nosacījumiem ir trīsstūris, ko ierobežo taisnes x1 = 0, x = 0 un 3x1+ x =

11 X * X * 짐. 8 att. 9 Pamatojoties uz ģeometriskajiem zīmējumiem, tagad ir viegli noteikt, ka uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 un udmax = ud(Q). Hiperbolas pieskares punkta Q koordinātas budžeta trīsstūra Malas līmenī ir jāaprēķina anītiski. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka punkts Q apmierina trīs vienādojumus: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Att.

12 Izslēdzot no vienādojumiem h, iegūstam punkta koordinātas Q= (x, x) = (5;7,5). 1 그림: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Uzņēmuma izmaksu un peļņas nelineārais modelis. Ļaujiet uzņēmumam ražot divu veidu A un B daudzfunkcionālas iekārtas attiecīgi x daudzumā un izlaides vienībās. Šajā gadījumā uzņēmuma gada ienākumus izsaka ar ienākumu funkciju Rx (,) = 4x+, bet razošanas izmaksas izsaka ar izmaksu funkciju 1 1 Cx (,) = 7.5+ x + 4, kurā uzņēmums saņ em maximalo. peļņa.. Nosakiet ražošanas plānu (x, ) 파이 3

13 Peļņas funkciju veido starpība starp ienākumu funkciju un izmaksu funkciju: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 Veicot 변환, pēdējo izteiksmi reducējam līdz formai 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Peļņas funkcijas līmeņa līnijas izskatās šādi (x 8) (1) = h. 4 Katra līmeņa līnija 0 h 9 ir elipse, kuras centrs ir sākuma punktā. No iegūtās izteiksmes var viegli redzēt, ka peļņas funkcijas maksimums ir 9 un Tiek sasniegts Pie x = 8, = 1. 표시: x = 8, = 1. 13BEuzdevumi un testa jautājumi.1. Uzrakstiet apļa norrmalo vienādojumu. Atrodi apļa centra un rādiusa koordinātas: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kas iet caur punktiem M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu를 정의하십시오. Uzrakstiet elipses kanonisko vienādojumu, ja 1 tās ekscentriskums ir vienāds ar ε = un puslielākā ass ir vienāda ar Uzrakstiet vienādojumu elipsei, kuras fokuss atrodas uz ordinātu ass simetriski ap izcelsmi, turklāt zinot, ka attālums starp tās fokusiem ir c = 4 un ekscentricitāte ir ε = Norādiet는 ekscentricitāti를 생략합니다. Atrodiet는 ekscentriskumu를 생략하고, ja tās puslielākā ass ir četras는 lielāka par mazo asi를 reizes합니다. 33

14.6. 정의된 힙합은 uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu입니다. Caur punktu M (0; 0.5) un hiperbolas labo virsotni, kas dota ar vienādojumu = 1, Tiek novilkta taisna līnija. Atrodiet taisnes un hiperbolas otrā krustošanās punkta koordinātas Definējiet hiperbolas ekscentriskumu. Uzrakstiet tā kanonisko vienādojumu, ja a = 1, b = 5. Kāda ir šīs hiperbolas ekscentricitāte?.8. Uzrakstiet vienādojumus jūsu kanoniskā vienādojuma dotās hiperbolas asimptotiem. Uzrakstiet vienādojumu hiperbolai 3, ja tās asimptoti ir doti ar vienādojumiem =± x un hiperbola 5 iet caur punktu M (10; 3 3)..9. 정의는 parabolu un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu입니다. Uzrakstiet parabolas kanonisko vienādojumu, ja x ass ir tās simetrijas ass, tās virsotne atrodas sākuma punktā un parabolas horda garums, kas ir perpendikulārs Vērša asij, ir 8, un šīs hordas attālums no virsotnes ir Uz parabolas = 1x atrodiet punktu, kura fokusa rādiuss ir Priekšlikums un Pieprasījums pēc kāda produkta ir norādīts ar funkcijām p = 4q 1, p = +. Atrodiet tirgus līdzsvara punktu. 1 q Izveidot 그래픽..1. Andrejs, Katja un Nikolajs gatavojas pirkt apelsīnus un banānus. Pērciet x1 kg apelsīnu un x kg banānu. Katram no Trim ir sava lietderības funkcija, kas parāda, cik noderīgs viņš uzskata savu pirkumu. Šīs lietderības funkcijas ir: u = x + x Andrejam, 1 4 A 4 1 u K = x + x Katjai un un = x1 x Nikolajam. a) Izveidojiet lietderības funkcijas līmeņa līnijas līmeņu vērtībām h = 1, 3. b) Katram sakārtojiet pirkumu izvēles secībā r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Analītiskās ģeometrijas 계수. Analītiskā ģeometrija plaknē un telpā 7. lekcija Anotācija Otrās kārtas līnijas plaknē: elipse, hiperbola, parabola. 정의, vispārīgie raksturlielumi.

렉치야 N15. Otras kārtas līknes. 1.Aplis... 1.Elipse... 1 3.Hiperbola.... 4.Parabola.... 4 1.Aplis Otrās kārtas līkne ir taisne, ko nosaka otrās pakāpes vienādojums attiecībā uz

8 Otrās kārtas līknes 81 Aplis Punktu kopu plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par centru, attālumā, ko sauc par rādiusu, sauc par apli. 라이 아파 센터 IR

13. lekcija Tēma: Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes plaknē: elipse, hiperbola, parabola. Vienādojumu atvasināšana otrās kārtas līknēm, pamatojoties uz to ģeometriskajām īpašībām. 생략 형식은 izpēte,

LEKCIJA Otrās kārtas taisnes hiperbola Kā Piemēru atradisim vienādojumus, kas definē apli, parabolu, elipsi un apli Aplis ir punktu kopa plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dotā.

Otrās kārtas līknes Aplis Elipse Hiperbola Parabola Ļaujiet plaknē norādīt taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu. Otrās kārtas līkne ir punktu kopa, kuru koordinātas atbilst

Taisne un plakne telpā Lineārā algebra (11. lekcija) 24.11.2012 2 / 37 Taisne un plakne telpā Attālums starp diviem punktiem M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y) 2, z 2 )

Izglītības un zinātnes ministrija 크리에비야스 페데라시야 Nosaukta Jaroslavļas Valsts universitāte. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra Otrās kārtas līknes I daļa Metodiskie norādījumi

3. Hiperbola un tās īpašības Definīcija 3. Hiperbola ir līkne, kas definēta kādā taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu 0. (3.) un Vienādību (3.) sauc par kanonisko vienādo jumu.

1. praktiskā nodarbība Tēma: Hiperbolas plans 1 Hiperbolas definīcija un kanoniskais vienādojums Hiperbolas ģeometriskās īpašības Savstarpēja vienošanās hiperbola un līnija, kas iet caur tās centru Asimptote

Lekciju konspekts 13 ELIPSE, HIPERBOLA UN PARABOLA 0. Lekcijas plans Lekcija Elipse, hiperbola un parabola. 1. 일립스. 1.1. 생략문 정의; 1.2. Kanonisko koordinātu sistēmas definīcija; 1.3. 비에나도주마 아트바시나샤나

MODULIS ELIPES HIPERBOLA PARABOLA Praktiskā nodarbība Tēma: Elipses plans Elipses definīcija un kanoniskais vienādojums Elipses ģeometriskās īpašības Ekscentriskums Elipses formas atkarība no ekscentriskuma

OTRAIS UZDEVUMS 1. Taisna līnija plaknē. 1. Divas taisnes ir dotas ar vektoru vienādojumiem (, rn) = D un r= r + a, un (an,) 0. Atrodiet taisnes krustošanās punkta rādiusa vektoru. 0t. 도트 펑크 M 0 ar rādiusa vektoru

Otras kārtas līknes. 정의: Otrās kārtas līknes līnija ir plaknes punktu kopa (M), kuras Dekarta koordinātas X, Y) apmierina otrās pakāpes algebrisko vienādojumu:,

ALGEBRAISKĀS LĪNIJAS LAKNĒ.. PIRMĀS KĀRTĪBAS LĪDNIJAS (LĪNIJAS PLAKNĒ... LAKMENES LĪNIJAS VIENĀDĀJUMU PAMATVEIDI. Nenulles vektoru n, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, sauc par Norm ālu

Elipse un tās īpašības Definīcija.. Elipse ir otrās kārtas līkne, kas definēta kādā taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu b, b 0. (.) Vienādību (.) sauc par kanonis ko.

0.5 setgrey0 0.5 setgray1 1 9. lekcija ELIPSE, HIPERBOLA UN PARABOLA 1. Elipses kanoniskais vienādojums Definīcija 1. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, attālumu summa no katra.

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJĀS ELEMENTI PLAKNES KLASIFIKĀCIJA TRĪSDIMENSIJU TELPĀ Uzrakstiet plaknes vektora vienādojumu un izskaidrojiet šajā vienādojumā ietverto lielumu nozīmi Uzrakstiet vispārī gu plaknes vienādojumu

12. nodarbība Elipse, hiperbola un parabola. Kanoniskie vienādojumi. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, kurā attālumu summa no diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 Tiek saukta.

LINEĀRĀ ALĢEBRA Lekcija Otrās kārtas līkņu vienādojumi Apļa definīcija Aplis ir tādu punktu lokuss, kuri atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par apļa centru, attālumā r

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu instituts, Algebras un discrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā Tiek pētīta otrās kārtas parabolas trešā līkne.

Lekcija 9.30 Nodaļa Analītiskā ģeometrija plaknē Koordinātu sistēmas plaknē Taisnstūra un polāro koordinātu sistēmas Koordinātu sistēma plaknē ir metode, kas ļauj noteikt

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Jaroslavļas Valsts universitātes vārdā. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra S. I. Jablokova Otrās kārtas līkņu daļas darbnīca

Tēma ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ UN TELSOS Lekcija. Taisnes plaknē 계획. Koordinātu noteikšanas metode plaknē. Taisne Dekarta koordinātās. Paralelitātes un perpendikularitātes nosacījums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore Rožkova S.V. 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

11. lekcija 1. KONUSIJAS IEDAĻAS 1.1. 정의. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. 플크스트 다자다스 노지메스 leņķis α virsotnē aksiāli

9. lekcija 1. KONIJAS IEDAĻAS 1.1. 정의. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. Dažādām leņķa α vērtībām virsotnē aksiāli

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu instituts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā Tiek pētīta vēl viena otrās kārtas hiperbolu līkne.

14. praktiskā nodarbība Tēma: Parabolas 계획 1. Parabolas definīcija un kanoniskais vienādojums Parabolas ģeometriskās īpašības. Parabolas un līnijas, kas iet caur tās centru, relatīvais novietojums. 파마타

Otrās kārtas SHIMANCHUK ANALĪTISKĀS G E O METRY līknes Dmitrijs Viktorovičs [aizsargāts ar e-pastu] Sanktpēterburgas Valsts universitātes Procesu lietišķās matemātikas fakultāte

Matricas 1 Dotas matricas un atrodiet: a) A + B; b) 2B; 다) 티; d) AB T; e) T A Risinājumā a) Pēc matricu summas definīcijas b) Pēc matricas un skaitļa reizinājuma definīcijas c) Pēc transponētās matricas definīcijas

1. IESPĒJA 1 Atrodiet slīpumu k tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (18) un M (1); uzrakstiet taisnes vienādojumu parametriskā formā Sastādiet trijstūra malu un mediānu vienādojumus ar virsotnēm A()

파르보데. Dotās matricas A, B un D. Atrodiet AB 9D, ja: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Reiziniet matricas A 3 un B 3. jābūt C izmēram 3 3, kas sastāv no elementiem

9. nodaļa Liknes uz plaknes. Otrās kārtas līknes 9. Pamatjēdzieni Saka, ka līknei G taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir vienādojums F (,) = 0, ja punkts M(x, y) Pieder līknei tajā.

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore E.G.Pahomova 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu instituts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Trīs iepriekšējās lekcijās tika pētītas līnijas un plaknes, t. i.

1. nodaļa Otrās kārtas līknes un virsmas Visas sadaļās, izņemot 1.9., koordinātu sistēma ir taisnstūrveida. 1.1. Otrās kārtas līkņu un citu līkņu vienādojumu sastādīšana 1. p) Pierādīt, ka kopa

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumaņa fakultātes "Fundamentālo zinātņu" nodaļa " Matemātiskā modelēšana» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

5. 노다야. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA 5.. Plaknes taisnes vienādojums Vienādojumu formā F(x, y) 0 sauc par taisnes vienādojumu, ja šo vienādojumu izpilda jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz dotas plaknes.

Balakovo inženierzinātņu un tehnoloģiju instithts - Federālās zemes autonomās augstās izglības estādes "nacionālālālās kodolpētniecības universitāte "Mephi" filiāle

Otrās kārtas līnijas Ju.L.Kalinovskis Augstākās matemātikas katedra Universitātes "Dubna" Plans 2 3 4 5 6 7 Otrās kārtas līnijas: punktu lokuss, kuru Dekarta koordinātas atbilst vienādojumam

44. Hiperbolas 정의. Hiperbola ir visu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas atbilstošā koordinātu sistēmā apmierina vienādojumu 2 2 y2 = 1, (1) b2 kur, b > 0. Šis vienādojums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes (turpinājums) Lektore E.G.Pahomova 01 4. Elipses, hiperbolas un parabolas vispārīgā definīcija DEFINĪCIJA. Tiešās līnijas a m sauc par Tiešajām

1 렉치야 1.4. Otrās kārtas līknes un virsmas Anotācija: No definīcijām Tiek iegūti līkņu kanoniskie vienādojumi: elipse, hiperbola un parabola. 티에크 도타스 파라메트루 비에나도주미 elipse un hiperbola.

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija, federālais valsts budžets 이즈글리티바스 에스타데아우그스타크 profesionālā izglītība"Sibīrijas Valsts rūpniecības universitāte"

Praktiskais darbs Otrās kārtas līniju un līkņu vienādojumu sastādīšana Darba mērķis: nostiprināt prasmi sastādīt otrās kārtas taisnu un līkņu vienādojumus Darba saturs. Pamatjēdzieni. B C 0 벡터

Uzdevumi nokavēto nodarbību kompensēšanai Saturs Tēma: Matricas, darbības ar tām. Aprēķins 결정.... 2 Tēma: Apgrieztā matrica. Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot apgriezto matricu. 방식

Analītiskā ģeometrija 5.. Taisne plaknē Dažādi veidi, kā definēt taisni plaknē. Plaknes taisnes vispārīgais vienādojums. Līnijas atrašanās vieta attiecībā pret koordinātu sistēmu. Ģeometriskā nozīme

11. IESPĒJA 1 Punkts M() ​​​​ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta N(1-1) uz taisni l. Uzrakstiet taisnes l vienādojumu; atrast attālumu no punkta N līdz taisnei l Sastādiet vienādojumus garāmejošajām taisnēm

49. Cilindriskās un koniskās virsmas 1. Cilindriskās virsmas Definīcija. Telpā ir dota līnija l un vektors a, kas nav nulles. Virsma, ko veido taisnas līnijas, kas iet cauri visiem iespējamajiem

Analītiskā ģeometrija Analītiskā ģeometrija plaknē. Analītiskās ģeometrijas risinājums ģeometriskā 문제 izmantojot algebru, kurai izmanto koordinātu metodi. Saskaņā ar koordinātu sistēmulidmašīnā

1. 변형 1. uzdevums. Sniedziet는 ģeometrisku definīciju를 생략합니다. 2. uzdevums. Izmantojot Dandelin lodītes, pierādiet, ka elipse Rodas kā konusa griezums. 3. uzdevums. Pierādīt, ka punktu kopa P, no kuras

Sekaeva L.R., Tyuleņeva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJĀ LADĒN Kazaņa 008 0 Kazaņas Valsts universitātes Vispārējās matemātikas katedra Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA LADĒNĀ

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes minstrija Kazaņas Valsts Arhitektūras un būvniecības universitāte Augstākās matemātikas katedra Vektoru un lineārās algebras elementi. Analītiskā ģeometrija.

Analītiskā ģeometrija plaknē Līnijas vienādojums ir vissvarigākais anītiskās ģeometrijas jēdziens. y M(x, y) 0 x 정의. Līnijas (līknes) vienādojums Oxy plaknē ir vienādojums, kuram

LA Gausa metodes pamatuzdevumu paraugi Dažas lineāro vienādojumu sistēmas Atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 6

16. IESPĒJA 1 Caur punktiem M 1 (3 4) un M (6) Tiek novilkta taisne. Atrodiet šīs līnijas krustošanās punktus ar koordinātu asīm Sastādiet trijstūra malu vienādojumus, kuriem punkti A (1) ) B (3 1) C (0 4) ir

3. 테스트 1. IESPĒJA Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas ir perpendikulāra un iet caur līniju krustošanās punktu un .. Pierakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem, un un atrodiet attālumu no punkta

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ. Taisne 1. Aprēķini perimetru trijstūrim, kura virsotnes ir punkti A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Atrodiet punktu vienādā attālumā no punktiem A(7;

Analītiskā ģeometrija 1. 계수 Matricas 대수학 Vektora 대수학 5. teksts (patstāvīgs pētījums) Abstrakta Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma plaknē un telpā Attāluma 공식

Krievijas Federācijas Rostovas Izglītības ministrija 발스트 대학교 Mehānikas un matemātikas fakultāte Ģeometrijas katedra Kazaks V.V. Analītiskās ģeometrijas seminārs pirma kursa Studentiem

ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJS PLAKNES VISPĀRĒJAIS VIENĀDĀJUMS. OPR Plakne ir virsma, kurai ir tāda īpašība, ka, ja divi punkti uz taisnes Pieder plaknei, tad visi līnijas punkti Pieder šai plaknei.

LEKCIJA 5 ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI. 1 1. Virsmas vienādojums un līnijas vienādojums telpā. Vienādojumu ģeometriskā nozīme Analītiskajā ģeometrijā jebkura virsma Tiek uzskatīta par kopu

1. nodaļa TAISNĒJUMI UN LAKMES n R. 1.1. Punktu telpas Iepriekš aplūkojām virkņu aritmētisko telpu Matemātikā ierobežotu sakārtotu koordinātu kopu var explainēt ne tikai

Pārbaudes uzdevums anītiskajā ģeometrijā. 2. 학기. 1. 변형 1. Atrodiet apļa pieskares vienādojumus (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, kas ir paralēli taisnei 5x 12y + 1 = 0. 2. Uzrakstiet vienādojumu pieskares

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts autonomā augstākās profesionālās izglītības estāde "Kazaņas (Volgas apgabala) Federālā universitāte"

Augsto paūtījumu atšķirības. Eksāmena biļete. Matricas, pamatjēdzieni un definīcijas.. Uzraksti riņķa vienādojumu, ja punkti A(;) un B(-;6) ir viena diametra gali.. Ir dotas virsotnes

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumana Fundamentālo zinātņu fakultāte Matemātiskās modelēšanas katedra A.N. 카시코프,

Otras kārtas virsmas. Virsmu trīsdimensiju telpā apraksta ar vienādojumu formā F(x; y; z) = 0 vai z = f(x; y). Divu virsmu krustpunkts nosaka līniju telpā, t.i. 리니자 텔파

(MIF-2, 3호, 2005)

Otrās kārtas līnijas plaknē

P. 1. Otrās kārtas rindas definīcija

Apsveriet plakni, uz kuras ir norādīta taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma (XOY). Tad jebkuru punktu M unikāli nosaka tā koordinātas(x, y). Turklāt jebkurš skaitļu pāris (x, y) nosaka noteiktu plaknes punktu. Punktu koordinātas var atbilst noteiktiem nosacījumiem, Piemēram, kāds vienādojums f(x, y) = 0 attiecībā pret nezināmajiem (x, y). Šajā gadījumā viņi saka, ka vienādojums f(x, y)=0 definē noteiktu figūru plaknē. Apskatīsim Piemērus.

1. 피머.압스베리에트 펑크시주 와이= 에프( 엑스). Punktu koordinātas šīs funkcijas grafikā apmierina vienādojumu 와이– 에프( 엑스) = 0.

2. 피머. Vienādojums (*), 쿠르 ㅏ, 비, 씨– daži skaitļi는 noteiktu taisni plaknē를 정의합니다. (Tiek izsaukti (*) formas vienādojumi 라이너).

3. 피머. Hiperbolas grafiks sastāv no punktiem, kuru koordinātas atbilst vienādojumam https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

1. 정의합니다. Formas vienādojums(**), kur vismaz viens no koeficientiem ir DIV_ADBLOCK53">

Mēs apsvērsim iepriekš minēto līniju ģeometriskās un fizikālās īpašības. Sāksim ar elipsi.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

비에나도주무 (1) sauc 카노니스크 elipses vienādojums.

Par elipses formu var spriest pēc 1. attēla.

Liekam. 푼티 티에크 사우크티 트리키타원. Ar trikiem ir saistītas vairākas interesantas īpašības, par kurām mēs runāsim tālāk.

4. 정의합니다. 히퍼볼라 ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

(2).

비에나도주무(2) sauc 카노니스크 hiperbolas vienādojums. Par hiperbolas veidu var spriest pēc 2. attēla.

Liekam. 푼티 티에크 사우크티 트리키쌍곡선. 매개변수 ㅏ사우카 데릭,un 매개변수 비- 이에도마타 푸사스히퍼볼라스, attiecīgi 베르시스- īsts un 아크– hiperbolas iedomātā 엉덩이.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, 타이크 사크티 asimptoti. Lielām parametru vērtībām 엑스 asimptotu punkti tuvojas hiperbolas zariem bezgalīgi tuvu. 2. attēlā asimptoti ir attēloti ar punktētām līnijām.

5. 정의하십시오. Parabola ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. LVP fokusu īpašības

카트라이 LVP A.2. tika norādīti īpaši punkti - 트리키. Šiem punktiem ir liela nozīme elipses, hiperbolas un parabolas svarigo īpašību izskaidrošanā. Mēs formulējam šīs īpašības teorēmu veidā.

테오레마. 1. Elipse ir punktu kopa중, lai attālumu summa no šiem punktiem līdz fokusam būtu vienāda ar 2ㅏ:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Lai formulētu līdzīgu īpašību parabolai, mēs definējam 감독. 타스 이르 타이스니 디, kas dots ar vienādojumu https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

P. 4. 포쿠시 운 피에카레스

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 " src="> Pieder attiecīgajam ABL. Zemāk ir vienādojumi pieskarēm, kas iet caur šo punktu:

– elipsei, (7)

– 히페르볼라이, (8)

- 포물선. (9)

Ja no abiem fokusiem līdz pieskares punktamnovelkamsegmentus ar elipsi vai hiperbolu(tos sauc 포쿠사 반경 punktu), tad atklāsies kas ievērības cienīgs 이파숨스(sk. 5. un 6. att.): fokusa rādiusi veido vienādus leņķus ar šajā punktā novilkto pieskari.

Šim īpašumam ir interesanta fiziskāinterpretācija. Piemēram, ja mēs uzskatām elipses kontūru par spoguļattēlu, tad gaismas stari no punktveida avota, kas atrodas vienā fokusā, pēc atstarošanas no ķēdes sienām noteikti izies cauri otrajam fokusam.

리엘스 프라크티스카 이즈만토샤나 ieguva līdzīgu īpašību parabolai. 사실은 무엇입니까? jebkura parabolas punkta fokusa rādiuss veido leņķi ar pieskari, kas novilkta uz šo punktu, vienādu ar leņķi starp pieskari un parabolas asi.

Fiziski tas tiek은 다음을 해석합니다: parabolas fokusā novietota punkta stari pēc atstarošanas no tās sienām izplatās paralēli parabolas simetrijas asij. Tāpēc laternu un prožektoru spoguļiem ir paraboliska forma. Starp citu, ja tajā ieplūst gaismas straume (radio viļņi), kas ir paralēla parabolas asij, tad pēc atstarošanas no sienām visi tās stari izies cauri fokusam. Kosmosa sakaru stacijas, kā arī Radari darbojas pēc šāda principa.

P. 5. Vēl nedaudz fizikas

ABL ir plaši izmantoti fizikā un astronomijā. Tādējādi konstatēts, ka viens salīdzinoši viegls ķermenis(piemēram, satelīts) pārvietojas masīvāka ķermenņa(planetas vai zvaigznes) gravitācijas laukā pa trajektoriju, kas attēlo vie nu no LVP. Šajā gadījumā masīvākais ķermenis ir šīs trajektorijas fokusā.

Pirmo reizi šīs īpašības tika Detailizēti izpētītas 요하네스 케플러 un tos sauca par Keplera likumiem.

Ieskaite Nr.1 ​​10.klases skolēniem

Pašpārbaudes jautājumi (5 punkti par uzdevumu)

M.10.1.1. ABL을 정의합니다. Sniedziet dažus vienādojumu Piemērus, kas definē LVP.

M.10.1.2. Aprēķināt a) 생략, b) hiperbolas fokusa koordinātas, ja ㅏ=13, 비=5.

M.10.1.3. Sastādiet a) 생략, b) hiperbolas kanonisko vienādojumu, ja ir zināms, ka šī taisne iet caur punktiem ar koordinātām (5, 6) un (-8, 7).

M.10.1.4. Pārbaudiet, vai (9) vienādojumā norādītā taisne faktiski krustojas ar (3) vienādojuma doto parabolu tikai punktā ar koordinātām . ( 피에짐: vispirms aizvietojiet pieskares vienādojumu parabolas vienādojumā un pēc tam pārliecinieties, ka iegūtā kvadrātvienādojuma 판별식 ir nulle.)

M.10.1.5. Uzrakstiet vienādojumu pieskarei hiperbolai ar reālo pusasi 8 un iedomāto pusasi – 4 punktā ar koordinātu 엑스=11, ja punkta otrā koordināta ir negatīva.

Praktiskais 다브(10 푼티)

M.10.1.6. Izveidojiet vairākas elipses, izmantojot šādu metodi: Piestipriniet papīra lapu Pie saplākšņa un ielīmējiet papīrā pāris pogas (bet ne līdz galam). Paņemiet diega gabalu un sasieniet galus. Izmetiet iegūto cilpu pāri abām pogām (nākotnes elipses fokusa punktiem), pavelciet pavedienu ar zīmuļa asu galu un uzmanīginovelciet līniju, pārliecininoties, ka pavediens ir nostiepts. Mainot cilpas izmērus, varat izveidot vairākas konfokālās elipses. Mēģiniet izskaidrot, izmantojot 1. teorēmu, ka iegūtās līnijas patiešām ir elipses, un paskaidrojiet, kā, zinot attālumu starp pogām un vītnes garumu, varat aprēķināt elipses pusasis.