Divu mainīgo diferenciālā funkcijas ģeometriskā nozīme. Pilnīgs peeaugums un pilnīgs diferenciāls

Divu mainīgo lielo lielumu pilnās diferenciālās funkcijas ģeometriskā nozīme Pie punkta (x 0, y 0) ir Pieteikumu (Z koordinātu) Pieaugums ar pieskares plakni uz virsmas, pārvietojoties no punkta (x 0, y 0) l īdz punktam (x 0 + dx , 0 +du).

Augstāku paūtījumu daļēji atvasinājumi. : Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā를 정의합니다. Mēs izsauksim šos atvasinātos pirmās kārtas privātos atvasinājumus.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrā pasūtījuma daļēji atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem paūtījumiem. 정의. Privātie atvasinājumi Sugas utt Sauc par jauktiem atvasinājumiem. 슈워츠 이론:

Ja privātie atvasinājumi augstāku pasūtījumu f.m.p. Nepārtraukta, tad jaukto atvasinājumu viena pasūtījuma, atšķiras tikai ar procedūru diferenciācijas \u003d viens otru.

Šeit N ir simbolisks atvasinājuma pakāpe, kas Tiek aizstāts ar reālu pakāpi pēc konstrukcijas, kas atrodas tajā.

14. Pieskares plaknes vienādojums un normals virsmai!

Ļaujiet n un n 0 그러나 virsmas punktiem. Mēs tērēsim Direct NN 0. Lidmašīna, kas iet caur punktu N 0, Tiek saukts 탄젠타블라 플라크네 Uz virsmas, ja leņķis starp vienību NN 0 un šīlidmašīna mēdz nulles, ja attālums Nn 0 mēdz nulles.

정의. 법선 līdz virsmai N 0 apakšpunktā ir Tieša, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri pieskares plaknē uz šo virsmu.

Dažā brīdī virsma ir vai ir tikai viena pieskares plakne vai vispār nav.

Ja virsma ir iestatīta ar vienādojumu z \u003d f (x, y), kur f (x, y) ir funkcija, kas ir diferencējama punkta m 0 (x 0, y 0), 탄젠타블라 플라크네 Punktā N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) Pastāv un ir vienādojums:

Vienādojums ir normals virsmai šajā brīdī.:

Ģeometriskā nozīme Divu mainīgo f(x, y) diferenciālā funkcija Pie punkta(x 0, y 0) ir pieskares plaknes lietojumu Pieaugums uz virsmu, pārvietojoties no punkta(x 0, y 0) līdz punktam(x 0 + DX, 0 + DU).

Redzams, ģeometriskā nozīme pilnīgas diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem ir telpisko 아날로그 ģeometriskā nozīmi diferenciālo funkciāju vienu mainīgo.

16. 스칼라 laukā un tās īpašības. Līnijas ULNI, atvasinājumi virzienā, 그라데이션 skalāra laukā.

Ja katrs vietas punkts Tiek ievietots saskaņā ar skalāru vērtību, skalāra lauks notiek (piemēram, Temperatūras lauks, elektriskais potenciālais lauks). Ja Tiek ieviestas Dekarta koordinātas, tā ir arī apzīmēta vai Lauks var but plakana, ja centrālā (sfērisks), 자 실린드리스크, 자

Virsmas un līnija: Scalar lauku īpašības var vizuāli pētīt, izmantojot līmeņa virsmas. Šīs virsmas telpā, kurā tas notiek Pastāvīgu vērtību. vienādojums에게: . Plakanā skalāra laukā, līmeņa līnijas izsauc līknes, uz kurām laukums veic nemainīgu vērtību: Dažos gadījumos līmeņa līnija var deģenerēties punktā, un virsmas virsmas punktā un likumos.

Scalar lauka virzienā ungradientā:

Ļaujiet vienam vektoram ar koordinātām - skalāra lauku. Atvasinātais virziens raksturo izmaiņas šajā virzienā, un to aprēķina pēc atvasinātās Formulas virzienā, ir vektora un vektora skalāra 제품 ar koordinātām ko sauc pargradienta funkciju un ir norādīts. 코무니카시자 Ja leņķis starp un, tad vektors norāda virzienu ātru piaugumu laukā, un tā modulis ir vienāds ar atvasinājumu šajā virzienā. Tā kāgradienta komponti ir daļēji atvasinājumi, nav grūti iegūt šādasgradienta īpašības:

17. 익스트림 F.M.P. Blind Extremum F.M., nepieciešamie un Pietiekami nosacījumi tās Pastāvēšanai. Lielākā un mazākā vērtība F.M.P. 오그라나. slēgta teritorija.

Ļaujiet funkcijai z \u003d ¢ (x; y) ir defineti kādā reģionā D, N punktu (x0; y0)

Punktu (x0; u0) sauc par funkcijas maksimālo punktu z \u003d f (x; y), ja ir tāda D-kaimiņvalstis (X0; U0), kas ir katram punktam (x; y), izņemot (ho; uh), no šīs apkārtnes, nevienlīdzība ¡ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>§ (x0; u0). Funkcijas vērtību maksimālā punkta (minimālā) Tiek saukta par maksimālo (minimālo) funkciju. Maksimālās un minimālās funkcijas sauc par tās galējībām. Ņemiet vērā, ka pēc definīcijas funkcijas ekstrēmums ir funkcijas noteikšanas funkcija; Maksimālais un minimālais ir vietējais (vietējais) raksturs: funkcijas vērtība punkta (X0; U0), salīdzina ar tās vērtībām Pie punktiem tuvu (x0; u0). D reģionā funkcija var 그러나 vairākas ekstrēms vai nav neviena.

Nepieciešams (1) un Pietiekams (2) Pastāvēšanas nosacījumi:

(1) Ja punktā N (x0; y0), diferenciālo funkciju z \u003d ¢ (x; y) ir ekstrēmum, tad tās privātie atvasinājumi šajā brīdī ir nulle: 절 "x (x0; y0) \u003d 0, 절" y ( x0; y0) \u003d 0. Komentēt. Funkcijai var but ekstrēmums punktos, kur vismaz viens no daļējiem atvasinājumiem nepastāv. Punkts, kurā privātie atvasinājumi pirmas kārtas funkcijas z ≒ Ｆ (x; y) ir nulle, the.e. f "x \u003d 0, f" y \u003d 0, sauc par funkcijas stacionāro punktu z.

Station punkti un punkti, kuros vismaz viens privāts atvasinājums nepastāv, sauc par kritiskiem punktiem

(2) Pieņemsim, ka stacionārs punkts (ho; uh) un dažas tās apkārtni, funkcija ¡ (x; y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi otrās kārtas iekļaujošiem. Aprēķināt Pie punkta (X0; U0) vērtības A \u003d F "" XX (X0; Y0), B \u003d f "" XY (X0; U0), C \u003d f "" OY (X0; U0). 압지메트 약간:

1. Ja Δ\u003e 0, tad funkcija ¢ (x; y) 파이 펑크타 (x0; U0) ir ekstrēmums: maximālais, ja a< 0; минимум, если А > 0;

2. 자Δ.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Šajā gadījumā δ \u003d 0 ekstrēmums Pie punkta (X0; U0), iespējams, nav. Ir vajadzīgi papildu pētījumi.

Par vienu mainīgo funkciju 와이. = 에프.(엑스.) 펑크타 엑스. 0 diferenciālā ģeometriskā nozīme nozīmē sacenšņa pieskares Pieaugumu, ko veica funkcijas grafikā ar abscisu 엑스. 0 Pārslēdzoties uz punktu 엑스. 0 +  엑스.. Un divu mainīgo diferenciālā funkcija šajā plānā ir peeaugums 피에테이쿰피스카레 플라크네 veikts uz vienādojuma norādīto virsmu 지. = 에프.(엑스., 와이.) , 비에타 중. 0 (엑스. 0 , 와이. 0 ) pārslēdzoties uz punktu 중.(엑스. 0 +  엑스., 와이. 0 +  와이.). Mēs sniedzam pieskares plaknes definīciju uz kādu virsmu:

Df. . Lidmašīna, kas iet caur punktu 아르 자형 0 비르셰메스 에스., 사우카 탄젠타블라 플라크네Šajā bīdī, ja leņķis starp šo plakni un secīgu iet cauri diviem punktiem 아르 자형 0 유엔 아르 자형(jebkurš virsmas punkts 에스.) Tiecas uz nulli, kad punkts 아르 자형 meklē šo virsmu līdz punktam 아르 자형 0 .

Ļaujiet virsmai 에스. ievietojis vienādojumu 지. = 에프.(엑스., 와이.). Tad var pierādīt, ka šī virsma ir punktā 피. 0 (엑스. 0 , 와이. 0 , 지. 0 ) tangente plakne tad un tikai tad, ja funkcija 지. = 에프.(엑스., 와이.) atšķirība šajā brīdī. Šādā gadījumā pieskares plakne Tiek Piešķirta vienādojumā:

지. – 지. 0 = +
(6).

§다섯. Atvasinājums virzienā,gradienta funkcija.

Daļēja atvasinājumu funkcijas 와이.= 에프.(엑스. 1 , 엑스. 2 .. 엑스. N. ) pēc mainīgajiem lielumiem 엑스. 1 , 엑스. 2 . . . 엑스. N. Izsakiet ātrumu izmaiņām koordinātu asu virzienā. 피에메람, ir ātruma maina funkciju 시간. 1 - tas ir, Tiek Pieņemts, ka lauka definīcijas apgabala, kas Pieder Pie lauka, pārvietojas tikai paralēli asij 오 1 Un Visas citas koordinātas paliek nemainīgas. Tomēr var Pieņemt, ka funkcija var atšķirties kādā citā virzienā, kas nesakrīt ar kādu no asīm.

Apsveriet trīs mainīgo funkciju: 유.= 에프.(엑스., 와이., 지.).

Noteikt 펑크투 중. 0 (엑스. 0 , 와이. 0 , 지. 0 ) un daži vērsti taisni (엉덩이) 엘.šķērsojot šo punktu. 하지만 중 (엑스., 와이., 지.) - patvaļīgs punkts no tā taisni un  중. 0 중.- 아탈룸 OT 중. 0 아그라크 중.

유. = 에프. (엑스., 와이., 지.) – 에프.(엑스. 0 , 와이. 0 , 지. 0 ) - funkcijas peeaugums punktā 중. 0 .

Atrodiet objektivitātes attiecību vektora garumā
:

Df. . Atvasinātā funkcija 유. = 에프. (엑스., 와이., 지.) 우즈 엘. 펑크타 중. 0 Saukta par Pieauguma funkcijas attiecību ierobežojumu vektora garumam 중. 0 중. Pēdējo vēlmi 0 (vai tas pats, ar neierobežotu tuvināšanu 중.우즈 중. 0 ):

(1)

Šis atvasinājums raksturo funkcijas maiņas ātrumu punktā 중. 0 비르지에나 엘..

Ļaujiet asij 엘. (벡터 중. 0 중.) 베이도자스 아르 아심 구절., 아야., 온스.스투리
attiecīgi.

Apzīmējiet x-x 0 \u003d
;

y-y 0 \u003d
;

z - Z 0 \u003d
.

태드 벡터 중. 0 M\u003d (엑스. - 엑스. 0 , 와이. - 와이. 0 , 지. - 지. 0 )=
Un viņa ceļvedis?

;

(4).

(4) - atvasinājuma aprēķināšanas 공식 virzienā.

Apsveriet vektoru, kura koordinātas ir privātas atvasinātās funkcijas 유.= 에프.(엑스., 와이., 지.) 펑크타 중. 0 :

졸업생. 유. - 그라데이션 기능 유.= 에프.(엑스., 와이., 지.) 펑크타 중 (엑스., 와이., 지.)

그라데이션 īpašības:

이제야: Funkcija Gradienta garums 유.= 에프.(엑스., 와이., 지.) - Ir vislētākā vērtība 샤자 브리디 중 (엑스., 와이., 지.) 유엔 벡터 virziens 졸업생. 유. sakrīt ar virzienu vektoru nāk no punkta 중., pa kuru funkcija mainās ātrāk. Tas ir,gradienta funkcijas virziens 졸업생. 유. - Ir virziens definīcijas funkciju.

$ E apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka$F$ir vietējais 최대값 Punktā x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtne $ u $ punktiem $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība ir $ f \\ pa kreisi (x \\ t pa labi) leqlant f \ \pa kreisi(x_(0)labo)$.

Vietējā maximālā summa 찌르다 Ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ F \\ pa kreisi (x labo)< f\left(x_{0}\right)$.

정의
Ļaujiet $ f $ 그러나 faktiskā funkcija atvērtā 세트 $ \u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka$F$ir vietējais 최소값 Punktā $ x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtnē $ u $ punkti $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība $ f \\ pa kreisi (x \\ Pa labi) \\ GEQLANT F \\ T pa kreisi (x_ (0) labo) $.

Vietējo 최소 sauc par stingru, ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ f, pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ t Pa kreisi (x_ ( 0) 라바자) $.

Vietējā ekstrēmums apvieno vietējā maximuma jēdzienus un vietējo maximumu.

Teorēma(nepieciešamais nosacījums ekstrēmuma diferencējamas funkcijas)
Ļaujiet $ f $ 그러나 faktiskā funkcija atvērtā 세트 $ \u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ja punktu x_ (0) \\ t e $, $ F funkcija ir vietējais ekstrēmums un šajā brīdī, tad $$ teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$ Līdztiesība nulle atšķirība ir līdzvērtīga faktu, ka visi ir nulle, t.i. $$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji X_ (i)) \\ T pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$

Viendimensiju gadījumā tas ir. Apzīmējiet līdz $ phi \\ pa kreisi (t labajā) \u003d f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labā) $, kur $ h $ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $ phi $ ir definēts ar Pietiekami mazām modulo vērtībām $ t $. Turklāt, saskaņā ar, tas ir diferencējams, un $ (\\ Phi) '\\ pa kreisi (t labajā) \u003d teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labo) h $.
Ļaujiet $ F $ ir vietējais 최대 $ 0 $ punktu. Tas nozīmē, ka funkcija $ \\ Phi $ ar $ t \u003d 0 $ ir vietējais maksimums, un, saskaņā ar lauksaimniecības teorēmu, $ (Phi) '\\ pa kreisi (0 labajā) \u003d 0 $.
Tātad, mēs saņēmām, ka $ df \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0 $, ti.e. Funkcijas $ F $ 파이 펑크타 X_ (0) $ ir nulle par jebkuru vektoru $ h $.

정의
Punkti, kuros diferenciālis ir nulle, t.sk. Tāds, kuros visi privātie atvasinājumi ir nulle, Tiek saukti par stacionāru. 크리티스키에 펑크티 Funkcijas $ F $ sauc par tādiem punktiem, kuros $ F $ nav diferencēts vai vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tas vēl nav sekot, ka šajā brīdī funkcija ir ekstrēms.

1. 피머.
Ļaujiet $ F, pa kreisi (x, y labajā) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Tad $ \\ DOMYStyle FRAC (Daļēja f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) $, $ r displayStyle FRAC (Daļēja f) (Daļēji Y) \u003d 3 \\ T CDOT Y ^ (2 ) $, tāpēc $ \\ pa kreisi (0.0 labā) $ ir stacionārs punkts, bet šajā brīdī funkcija nav ekstrēmum. Patiešām, $ F \\ Pa Kreisi(0.0 Labā) \ U003D 0 $, Bet Tas Ir Viegli Redzēt, KA Jebkurā $ \\ Kreisā Punkta(0.0 Labā) $ funkcija ņem gan pozitīvas, Gan NEGGEGUS atīvas vērtības.

2. 피머.
Funkcija ir $ F \\ pa kreisi (x, y labā) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ start - stacionārs punkts, bet ir skaidrs, ka šajā brīdī nav ekstrēmum.

테오레마(pietiekams ekstrēmums).
Ļaujiet funkcijai $ F $ dubultā nepārtraukti diferencējama atvērtā komplektā $ e \\ tSamer MathBB (R) ^ (n) $. Ļaujiet $ x_ (0) e $ - stacionārs punkts un $$ dispystyle Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H labo) \\ t EQUIV SUM_ (I \u003d 1) ^ N \\ Sum_ (J \ u003d 1 ) ^n FRAC (Daļēji ^(2) f) (Daļēji X_(i) Daļēji x_(j)) \\ T pa kreisi(x_(0) labajā) h ^(i) h ^(j). $$태드

ja $ Q_ (x_ (0)) $ -, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ ir vietējais ekstrēmums, proti, vismaz, ja veidlapa ir pozitīvi definēta, un maksimālais, ja veidlapa negatīvi definēts;
ja kvadrātiskā 형식 $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikts, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ nav ekstrēmum.

Mēs izmantojam sadalīšanās ar Taylor formulu (12.7 p. 292). Ņemot vērā, ka pirmās kārtas individuālie atvasinājumi punkti X_ $ (0) $ ir nulle, mēs saņemam $$ displaystyle f \\ T pa kreisi (x_ (0) + h labajā) -f \\ T pa kreisi (x_ (0) \\ t ) \u003d FRAC (1) (2) \\ Sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ Sum_ (j \u003d 1) ^ n FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēji X_ (i) Daļēja X_ (j)) \\ T pa kreisi (x_ (0) + theta h labajā) h ^ (i) h ^ (j), $$, kur $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, un $ Epsilon \\ T pa kreisi (H labraismojums - 오른쪽 오른쪽 0 $ ar $ H, 오른쪽 오른쪽 0 $, tad labajā pusē būs pozitīvs ar jebkuru vektoru $ h $ Pietiekami maza garuma.
Tātad, mēs nonācām Pie tā, ka dažās robežās no punktiem $ x_ (0) $ tas bija nevienlīdzība $ F \\ pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t pa labi) $ , ja tikai $ x \\ NEQ X_ (0) $ (mēs likts $ x \u003d x_ (0) + h $ labajā). Tas nozīmē, ka Pie punkta X_ (0) $ funkcijai ir stingra vietējā maximum, un tādējādi pierādīja mūsu teorijas pirmo daļu.
Pieņemsim, ka tagad, ka $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikta forma. Tad ir vektori $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, Piemēram, $ Q_ (X_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (1) labajā) \u003d \\ LAMBDA_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (2) labā) \u003d \\ LAMBDA_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Tad mēs saņemam $ $ F \\ pa kreisi (x_ (0) + th_ (1) labajā) -f (x_ (0) labajā) \u003d FRAC (1) (2) \\ pa kreisi [t ^ (2) \\ LAMBDA_(1) + t^(2) | h_(1) | ^(2)\\t. Pa kreisi (th_ (1) labajā) \\ tEx] \u003d FRAC (1) (2) t^ (2) \\ LEXT [\\ LAMBDA_ (1) + | H_(1) | ^ (2) \\ 엡실론 \\ pa kreisi (th__ (1) labā) labā]. $$$ ar Pietiekami maza $ t\u003e 0 $ labās는 ir pozitīvs를 puses합니다. Tas nozīmē, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $, $ f $ funkcija ņem vērtības $ f \\ pa kreisi (x labo) $, kas ir liels par $ f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t 파라비)$.
Tāpat mēs iegūstam, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $ funkcija $ f $ ņem vērtības, kas ir mazākas par $ f, pa kreisi (x_ (0) labajā) $. Tas kopā ar iepriekšējo, nozīmē to, ka Pie punkta $ x_ (0) $ funkcija $ f $ nav ekstrēms.

Apsveriet konkrētu šīs teorijas gadījumu par funkciju $ F \\ pa kreisi (x, y labo) $ diviem mainīgajiem, kas definēti dažās $ kreisajā punkta apkārtnē (x_ (0), y_ (0) \\ t pa labi) $ un šī pirma un otrā pasūtījuma Pastāvīgā privātā atvasinājumu apkārtne. Pieņemsim, ka $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labā) $ ir stacionārs punkts, un apzīmē $$ displaystyle a_ (11) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēja x ^ ( 2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labajā), A_ (12) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (x_ ( 0 ), y_ (0) labajā pusē), A_ (22) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ tad iepriekšējā teorēma veiks šādu formu.

테오레마
Ļaujiet $ deltta \u003d a_ (11) \\ cdot a_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Tad:

ja $ deltta\u003e 0 $, tad $ F funkcijai ir $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labo) $ vietējo ekstrēmumu, proti, vismaz, ja $ a_ (11)\u003e 0 $, un 막시말리, 자 $ A_ (11)<0$;
자델타<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problēmu risināšanas Piemēri

알고리즘, lai atrastu ekstrēmum funkcijas daudziem mainīgajiem:

Mēs atrodam stacionārus punktus;
Mēs atrodam 2. Pasūtījumu diferenciālus visos stacionārajos punktos
Izmantojot Pietiekamu nosacījumu daudzu mainīgo ekstrēmuma funkcijām, mēs uzskatām, ka 2. kārtas diferenciālis katrā stacionārajā punktā

Izpētiet funkciju Extremum $ F \\ T pa kreisi (x, y labo) \u003d x ^ (3) + 8 \\ cdot y ^ (3) + 18 \\ cdot x - 30 \\ cdot y $.
레뭄스
Mēs atradisim privātus atvasinājumus 1. kārtas: $$ 디스플레이 스타일 FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) - 6 \\ CDOT Y; $$$$ DisplayStyle FRAC ( F) (daļēji y) \u003d 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x. $$ marka un atrisināt sistēmu: $$ displaystyle \\ sāk sākt (gadījumi) \\frac (daļēji f) (daļēji x) \u003d 0 0. \\ T FRAC (Daļēja f) (daļēji y) \u003d 0 - Beigas (gadījumi) \\ t Rindo Sākt (gadījumi) 3 \\ cdot x ^ (2) - 6 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 24 Cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x \u003d 0 \ \ galdati (gadījumi) \\ tRowrowrow sākiet (lietas) x ^ (2) - 2 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 4 \\ cdot y ^ (2) - x \u003d 0 - 0 - end (gadījumi ) $$ 아니오 2. vienādojuma Express $ x \u003d 4 \\ cdot y ^ (2) $ - mēs aizstājam 1. vienādojumu: $$ displaystyle \\ pa kreisi (4 \\ cdot y ^ (2) \\ t Pa labi) ^ (2) -2 \\ cdot y \u003d 0 $$$ 16 \\ cdot y ^ (4) - 2 \\ cdot y \u003d 0 $$$$ 8 \\ cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ gadi (8 \\ T pa labi) \u003d 0 $$ Rezultātā 2 stacionārie punkti tika iegūti:
1) $ y \u003d 0 rightrow x \u003d 0, m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0, 0 labā) $;
2) $ \\ t DisplayStyle 8 \\ cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ LAZĀCIJA Y ^ (3) \u003d FRAC (1) (8) Rietojošais Y \u003d FRAC (1) (2) Riteņa x \u003d 1 , M_ (2) \u003d \\ pa kreisi (FRAC (1) (2), 1 labā) $
Pārbaudiet Pietiekamu ekstrēmuma apstākļu īstenošanu:
$$ digitStyle FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji X ^ (2)) \u003d 6 \\ CDOT X; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji y) \u003d - 6; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \u003d 48 \\ cdot y $$
1) Par punktu $ m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0.0 labā) $:
$$ digitstyle a_ (1) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (0,0 labā) \u003d 0; B_ (1) \u003d FRAC (daļējs ^ (2) f) (daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d - 6; C_ (1) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d 0; $$
$ A_ (1) \\ cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) 파 $ m_ (2) 펑크투 $:
$$ digitStyle a_ (2) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļējs x ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 6; B_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d - 6; C_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 24; $$
$ A_ (2) \\ cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, tas nozīmē, vietā $ m_ (2) $ ir ekstrēms, un kopš $ a_ (2)\ u003e 0 $, tas ir 최소값.
설명: 포인트 $ 디스플레이스타일 m_ (2) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) $ ir punkts minimālā funkcija $ f $.
Izpētiet funkciju uz Extremum $ f \u003d y ^ (2) + 2 \\ cdot x \\ cdot y - 4 \\ cdot x - 2 \\ cdot y - $ 3.
레뭄스
Atrast stacionāros punktus: $$ 접시 스타일 FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 2 \\ CDOT Y - 4; $$$$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji Y) \u003d 2 \\CDOT Y + 2 \\cdot x - 2. $$
Mēs arī atrisināsim sistēmu: $$ dessertstyle (gadījumi) FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 0 \\\\\\ frac (daļēji f) (daļēji y) \u003d 0 - beigas (lietas) ) Rietojošais sākums ( gadījumi) 2 cdot y - 4 \u003d 0 \\\\ 2 \\ t + 2 \\ t x \u003d 1 \\ galdati (gadījumi) Riteņbraukšana x \u003d -1 $$
$ M_ (0) \\ T pa kreisi (-1, 2 labā) $ - stacionārs punkts.
Pārbaudiet Pietiekamu ekstrēmuma stāvokļa izpildi: $$ DisplayStyle A \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) F) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 0; B \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; C \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji Y ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; $$
$ A \\ cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
내용: galējības nav klāt.

라이카 이에로베조줌: 0

Navigācija(tikai darba numuri)

0 no 4 uzdevumiem beidzās

정보

Pabeigt šo testu, lai pārbaudītu savas zināšanas par daudzu daudzveidīgo funkciju vietējo elementu tēmām.

Jūs jau esat iepriekš izturējis pārbaudi. Jūs nevarat palaist에서 vēlreiz까지.

테스트 ir ielādēts...

Lai sāktu parbaudi, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Lai sāktu to, jums ir jāpabeidz šādi testi:

결과

Pareizās atbildes: 0 no 4

타브스는 다음을 좋아합니다:

Laiks ir beidzies

Jūs ieguva 0 no 0 펑크티엠 (0)

Jūsu rezultāts tika ierakstīts līderu tabulā

아르 아트빌디
아르 마리에리

4. 우즈데붐

1 .

펑크투 스키트: 1

Izpētiet funkciju $ f $ ekstrēmiem: $ F \u003d E ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \\ cdot y ^ (2)) $

파 라비

네파레이즈

2. uzdevums 4번

2 .
펑크투 스키트: 1
Vai ir ekstrēmums funkcijas $ F \u003d 4 + \\ SQRT ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2) $

파 라비

Vairāku mainīgo funkciju diferenciālais aprēķins.

Pamatjēdzieni un definīcijas.

Apsverot vairāku mainīgo lielumu funkcijas, mēs ierobežosim detalizētu divu mainīgo funkciju aprakstu, jo Visi iegūtie rezultāti būs derīgi patvaļīgas mainīgo lielumu funkcijām.

Ja katrsneatkarīgo numuru (X, Y) pāris no noteiktā noteikuma kopuma tiek ievietots saskaņā ar vienu vai vairākām mainīgās Z vērtībām, tad mainīgais Z Tiek saukts par mainīgo divu mainīgo funkcija.

Ja skaitļu pāris (x, y) atbilst vienai vērtībai Z, tad funkcija Tiek saukta 네파르프로탐, 유엔, ja vairāk nekā viens, tad - daudzvērtīgs.

정의네샤나스(Definēšanas) 구역 Funkcijas Z sauc par pāru kopu (X, Y), kurā Pastāv funkcija z Pastāv.

Apkaimes 펑크 M 0 (x 0, y 0) 반경 r sauc visu punktu kopums (x, y), kas atbilst stāvoklim.

누무루 소스 파 로베자 F funkcijas f (x, y), kad punkts m (x, y) līdz punktam M 0 (x 0, y 0), ja par katru numuru E\u003e 0 ir tāds skaits R\u003e 0, kas ir jebkuram m ( x, y) punktam, par kuru nosacījums ir taisnība

아리 파티에스 운 스타보클리스 .

이에라크스트:

Ļaujiet punktam m 0 (x 0, y 0) Pieder Pie funkcijas f (x, y) noteikšanas. Tad Tiek saukts par funkciju z \u003d f (x, y) 네파르트라우크트파이 펑크타 m 0(x 0, y 0), ja

(1)

turklāt m (x, y) punkts mēdz punktam M 0 (x 0, y 0) patvaļīgs veids.

Ja kādā brīdī nosacījums (1) nav izpildīts, tad šo punktu sauc par izsmidzināšanas 펑크츠 funkcijas f(x, y)입니다. Tas var but šādos gadījumos:

1) Funkcija Z \u003d F (x, y) nav는 punktā M 0 (x 0, y 0)을 정의합니다.

2) Nav ierobežojuma.

3) Šis ierobežojums Pastāv, bet tas nav vienāds ar f (x 0, y 0).

Vairāku mainīgo funkciju īpašības, kas saistītas ar to nepārtrauktību.

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā un ierobežotā vietā D, ir vismaz viens punkts šajā jomā.

N (x 0, y 0, ...), ka citiem punktiem ir patiesa nevienlīdzība

f(x0, y0, ...) ³ F(x, y, ...)

kā arī n 1 (x 01, y 01, ...), Piemēram, ka visiem pārējiem punktiem ir uzticīga nevienlīdzība

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

tad f (x 0, y 0, ...) \u003d m - lielākā vērtība Funkcijas un f (x 01, y 01, ...) \u003d m - 마자카 베르티바 f(X, Y, ...) Reģionā D.

Nepārtraukta funkcija slēgtā un ierobežotā rajonā D sasniedz vismaz vienu reizi lielāko vērtību un vienu mazāko.

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā reģionā D, un M un M - attiecīgi, lielākās un mazākās vērtības funkciju šajā jomā, tad ir punkts jebkuram punktam m î

N 0 (x 0, y 0, ...) tāds, ka f (x 0, y 0, ...) \u003d m.

Vienkārši sakot, nepārtraukta funkcija veic Visas starpposma vērtības starp m un m reģionā D. Šī īpašuma sekas var būt secinājums, ka, ja dažādu rakstzīmju skaitļi m un m, tad D reģionā, fun kcija vismaz vienu reizi aicina uz 널리.

Īpašums. Funkcija f (x, y, ...), nepārtraukti slēgtā ierobežotā rajonā D, 이에로베조츠Šajā jomā, ja ir tik vairāki skaitļi, lai visiem reģiona punktiem, nevienlīdzība ir taisnība .

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā vietā D, tad tā vienmērīgi nepārtrauktiŠajā jomā, t.i. Attiecībā uz jebkuru pozitīvu skaitli E, ir tik vairāki d\u003e 0, kas jebkuriem diviem punktiem (x 1, y 1) un (x 2, 2) teritorijās atrodas attālumā mazāk D, nevienlīdzība

2. 개인 정보 보호 atvasinājumi. Augstāku paūtījumu daļēji atvasinājumi.

Pieņemsim, ka kādā reģionā ir iestatīts funkcija z \u003d f (x, y). Veikt patvaļīgu m (x, y) punktu un iestatiet DX Pieaugumu uz mainīgo x. Tad Tiek saukts par D X Z \u003d F vērtību (X + DX, Y) - F (X, Y) privāts funkcijas Pieaugums ar x.

Var ierakstīt

태드 사우카 프라이빗 아트바시나줌스 funkcijas Z \u003d F (x, y) ar x.

Apzīmējums:

Tāpat Tiek noteikta privāta programmatūras funkciju atvasinājums.

Ģeometriskā nozīme privāts atvasinājums (piemēram) ir pieskares pieskares leņķa pieskare, ko veica N 0 apakšpunktā (x 0, y 0, Z 0) uz plaknes y \u003d y 0.

Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā를 정의합니다.

Mēs izsauksim šos atvasinājumus privātie pirmas kārtas atvasinājumi.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrās kārtas privātie atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem paūtījumiem.

Privātie atvasinājumi Sugas 어이쿠츠 jauktie atvasinājumi.

테오레마. Ja funkcija f(x, y) un tās privātie atvasinājumitiekti un nepārtraukti m(x, y) un tās apkārtnē, tad attiecība ir taisnība:

티엠. Augstāko pasūtījumu privātie atvasinājumi nav atkarīgi no diferenciācijas kārtības.

Tāpat Tiek noteikti augstāku pasūtījumu atšķirības.

…………………

Šeit N ir simbolisks atvasinājuma pakāpe, kas Tiek aizstāts ar reālu pakāpi pēc konstrukcijas, kas atrodas tajā.

필른스 디페렌시알리스. Pilnīgas diferenciālā ģeometriskā nozīme. Pieskares plakne un Normalāla Virsma.

Izteiksmi sauc par 필른 피에오검 funkcijas f (x, y) kādā brīdī (x, y), kur 1 un 2 ir bezgalīgi nelielas funkcijas ar DX ® 0 un DU ® 0, attiecīgi.

필니가 디페렌치알라 funkcijas Z \u003d F (x, y) sauc galvenā lineārā daļa, salīdzinot ar DX un DU palielinājuma funkciju DZ Pie punkta (x, y).

Par patvaļīgas skaita mainīgo lielumu funkciju:

3.1. 피머스.. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju.

정의 Par funkciju f (x, y), izteiksme dz \u003d F (x + dx, y + dy) - f (x, y) tiek saukta 필른 피에오검 .

Ja funkcija f (x, y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi, tad

Tad mēs saņemam, Piemērojot Lagrange teorēmu

Jo Privātie atvasinājumi ir nepārtraukti, jus varat rakstīt vienlīdzības:

정의. Izteiksmi sauc par 필른 피에오검 funkcijas f (x, y) kādā brīdī (x, y), kur 1 un 2 ir bezgalīgi nelielas funkcijas ar DX ® 0 un DU ® 0, attiecīgi.

정의:필니가 디페렌치알라 funkcijas Z \u003d F (X, Y) sauc par galveno lineāro attiecībā uz DX un DU palielinājuma funkcijas dziļu DZ Pie punkta (x, y).

Par patvaļīgas skaita mainīgo lielumu funkciju:

피머스. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju.

피머스. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju

Pilnīgas diferenciālā ģeometriskā nozīme.

Pieskares plakne un Normalāla Virsma.

노멀

탄젠타블라 플라크네

Ļaujiet n un n 0 그러나 virsmas punktiem. Mēs tērēsim Direct NN 0. Lidmašīna, kas iet caur punktu N 0, Tiek saukts 탄젠타블라 플라크네 Uz virsmas, ja leņķis starp vienību NN 0 un šīlidmašīna mēdz nulles, ja attālums Nn 0 mēdz nulles.

정의. 법선 līdz virsmai N 0 apakšpunktā ir Tieša, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri pieskares plaknē uz šo virsmu.

Dažā brīdī virsma ir vai ir tikai viena pieskares plakne vai vispār nav.

Ja virsmu nosaka Z \u003d F (X, Y) vienādojums, kur f (x, y) ir funkcija, kas ir diferencējama punkta m 0 (x 0, y 0), pieskares plakne N 0 punktā (x 0, y 0, (x 0, y 0)) 파스타 un ir vienādojums:

Vienādojums ir normals virsmai šajā brīdī:

Redzams, ģeometriskā nozīme pilnīgas diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem ir telpisko 아날로그 ģeometriskā nozīmi diferenciālo funkciāju vienu mainīgo.

피머스 Atrodiet pieskares plaknes vienādojumus un normalu virsmu

엠 펑크타(1, 1, 1).

Pieskares plaknes vienādojums:

Vienādojums Normāls:

Augstāku paūtījumu daļēji atvasinājumi.

Pieņemsim, ka ir daži iestatījumi x kosmosā. Katru šī komplekta punktu nosaka skaitļu kopums, kas ir šā punkta koordinātas. Mēs sakām, ka N-mainīgo funkcija ir iestatīta uz SET X, ja katrs punkts Saskaņā ar noteiktu likumu Tiek ievietots viens numurs z, t.sk. .

피머스:Ļaujiet x 1, x 2, x 3 - baseina garums, platums un dziļums. Tad mēs atrodam baseina virsmu.

N-mainīgā funkcija Sauc nepārtraukti Ja funkcijas ierobežojums šajā brīdī ir vienāda ar funkcijas vērtību robežvērtības punktā, t.i. .

정의: Privata atvasināto funkciju Saskaņā ar mainīgo, tos sauc par atvasinājumu no funkcijas z pa mainīgo, aprēķinot, ka visi pārējie mainīgie joprojām Pastāvīgi.

Privāts atvasinājums.

피머스

Par divu mainīgo lielumu funkciju, jūs varat ievadīt četrus daļējus atvasinājumus otrā kārtībā, tad

1. Lasīšana: divas Z ir divreiz.

테오레마 Jaukti atvasinājumi, kur Tie ir nepārtraukti, nav atkarīgi no atvasinājumu aprēķināšanas kārtības. Tas attiecas uz jauktiem atvasinājumiem jebkuru pasūtījumu un funkciju jebkuru mainīgo lielumu.

Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā를 정의합니다.

Mēs izsauksim šos atvasinājumus privātie pirmas kārtas atvasinājumi.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrās kārtas privātie atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem paūtījumiem.

정의 Privātie atvasinājumi Sugas 어이쿠츠 jauktie atvasinājumi.

테오레마 Ja funkcija f(x, y) un tās privātie atvasinājumi Tiekti un nepārtraukti m(x, y) un tās apkārtnē, tad attiecība ir taisnība :.

태드 m 0 소스 파 최소.

Teorēma (nepieciešamie ekstrēmuma apstākļi) Ja funkcija f(x, y) 파이 펑크타(x 0, y 0) ir ekstrēms, tad šajā brīdī vai nu gan tās privātie atvasinājumi no pirmās kārtas ir nulle, vai vismaz viens no tiem nepastāv.

Šis punkts (x 0, y 0) tiks saukts 크리티스카이스 펑크츠.

테오레마(pietiekami ekstrēmums)Ļaujiet kritiskā punkta tuvumā (x 0, y 0), funkcija F (x, y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi otrā kārtībā. Apsveriet izteiksmi:

1) ja D (x 0, y 0)\u003e 0, tad pi punkta (x 0, y 0) Funkcija f (x, y) ir ekstrēmums, ja

2) - 0, tad Pie punkta (x 0, y 0) Funkcija f (x, y) nav ekstrēmuma

Lietā D\u003d 0, secinājumu par klātbūtni ekstrēmu nevar izdarīt.