Funkcijas Tiek izsauktas 리니어리 니트카릭,자

(ir Pieļaujama tikai triviāla lineāra funkciju kombinācija, kas identiski vienāda ar nulli). Atšķirībā no vektoru lineārāsneatkarības, šeit lineārās kombinācijas identitāte ir nulle, bet ne vienādība. Tas ir saprotams, jo jebkurai Argumenta vērtībai ir jāizpilda lineārās kombinācijas vienādība ar nulli.

Funkcijas Tiek izsauktas 리네아리 아트카리기, ja Pastāv nulles konstantu kopa(ne Visas konstantes ir vienādas ar nulli), tā ka(pastāv netriviāla lineāra funkciju kombinācija, kas identiski vienāda ar nulli).

테오레마.Lai funkcijas būtu lineāri atkarīgas, ir nepieciešams un Pietiekami, lai kāda no tām būtu lineāri izteikta ar pārējām (attēlota kā to lineāra kombinācija).

Pierādi šo teorēmu pats, tā Tiek pierādīta tāpat kā Analogā teorēma par vektoru lineāro atkarību.

Vronska noteicējs.

Vronska 행렬식 funkcijām Tiek ieviests kā 행렬식, kura kolonnas ir šo funkciju atvasinājumi no nulles (pašas funkcijas) līdz n-1 secībai.

.

테오레마...그렇군요 tad ir lineāri atkarīgi

Pierādījums. 타카 펑크시자스 ir lineāri atkarīgi, tad jebkurš no tiem ir lineāri izteikts ar citiem, Piemēram,

Tāpēc identitāti var atšķirt

Tad Vronska 결정 요인은 콜론 라인의 선형 결정 요인과 동일하며, Vronska 결정 요인은 nulli와 동일합니다.

테오레마.Lai n-tās kārtas lineāra homogēna diferenciālvienādojuma risinājumi būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un Pietiek.

Pierādījums. Nepieciešamība izriet no iepriekšējās teorēmas.

Atbilstība. Labosim kādu punktu. Tā kā šajā punktā aprēķinātā determinanta kolonnas ir lineāri atkarīgi vektori.

카 아티에시바스

Tā kā lineāra viendabīga vienādojuma risinājumu lineāra kombinācija ir tā atrisinājums, mēs varam ieviest formas risinājumu

Risinājumu lineāra kombinācija ar vienādiem koeficientiem.

Ņemiet vērā, ka šis risinājums atbilst nulles sākuma nosacījumiem, tas izriet no iepriekš minētās vienādojumu sistēmas. Bet triviālais risinājums lineāram viendabīgam vienādojumam atbilst arītiem pašiem nulles sākuma nosacījumiem. Tāpēc no Košī teorēmas izriet, ka ieviestais risinājums ir identiski vienāds ar triviālo; 타펙

tāpēc risinājumi ir lineāri atkarīgi.

세카스.Ja Vronska 행렬식, kas konstruēts uz lineāra viendabīga vienādojuma atrisinājumiem, izzūd vismaz vienā punktā, tad tas ir identiski vienāds ar nulli.

Pierādījums. Ja, tad risinājumi ir lineāri atkarīgi, tāpēc,.

테오레마.1. Risinājumu lineārai atkarībai tas ir nepieciešams un Pietiekams(바이).

2. Lineārai netkarībai risinājumi ir nepieciešami un Pietiekami.

Pierādījums. Pirmais apgalvojums izriet no iepriekš pierādītās teorēmas un izrietošās sekas. Otrais apgalvojums ir viegli pierādāms ar pretrunu.

Lai risinājumi ir lineāri netkarīgi. 예, tad risinājumi ir lineāri atkarīgi. 프레트루나. 타펙 .

Ļaujiet . Ja risinājumi ir lineāri atkarīgi, tad , 타타드 프리트루나. Tāpēc risinājumi ir lineāri netkarīgi.

세카스.Vronska determinanta izzušana vismaz vienā punktā ir kritērijs risinājumu lineārajai atkarībai no lineāra homogēna vienādojuma.

Vronska determinanta atšķirība no nulles ir lineāra homogēna vienādojuma atrisinājumu lineārasneatkarības kritērijs.

테오레마.Lineāra viendabīga n-tās kārtas vienādojuma atrisinājumu telpas dimensija ir vienāda ar n.

Pierādījums.

a) Parādīsim, ka lineāramhomogēnam n-tās kārtas diferenciālvienādojumam ir n lineāri netkarīgi atrisinājumi. 압스베리에트 리시나주무스 atbilst šādiem sākotnējiem nosacījumiem:

...........................................................

Tādi risinājumi 파스타. Patiešām, pēc Košī teorēmas caur punktu 즉 vienīgā integrālā līkne - risinājums. 카우르 펑크투 risinājums iet caur punktu

- risinājums caur punktu - 리시나줌.

Šie risinājumi ir lineāri netkarīgi, jo .

b) Parādīsim, ka jebkurš lineāra viendabīga vienādojuma risinājums ir lineāri izteikts šo risinājumu izteiksmē (ir to lineārā kombinācija).

Apskatīsim divus risinājumus. Viens ir patvaļīgs risinājums ar sākotnējiem nosacījumiem ... Attiecība ir godīga

Ļaujiet 엘 -lineāra telpa virs lauka 아르 자형 ... Ļaujiet A1, a2, ..., (*) ierobežota vektoru sistēma no 엘 ... 벡터 V = a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × 안 (16) 소스 Lineāra vektoru kombinācija( *), vai saki, ka 벡터 V izteikts lineāri caur vektoru sistēmu (*).

14. 정의하다. Tiek saukta vektoru sistēma (*). 리네아리 아트카리기 , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neviendabīga koeficientu kopa a1, a2, ..., tāda, ka a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × 안 = 0. 자 a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × 안 = 0 Û a1 = a2 =… = an = 0, tad Tiek izsaukta sistēma (*). Lineāri netkarīgs.

Lineārās atkarības unneatkarības īpašības.

10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Patiešām, ja sistēmā (*) 벡터 A1 = 0, 펙 탐 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × 안 = 0 .

20. Ja vektoru sistēmā ir divi proorcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.

Ļaujiet A1 = 엘×a2. 펙 탐 1 × A1 -L × A2 + 0× A3 + … + 0× ㅏ 아니= 0.

30. Galīga vektoru sistēma (*) n ³ 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir šīs sistēmas atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir koeficientu kopa, kas atšķiras no nulles a1, a2, ..., an, kurai a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × 안 = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam Pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad Pastāv un A1 = × A2 × A2 + ... + × 안 × ㅏ N. Tātad 벡터 A1 ir pārējo vektoru lineāra kombinācija.

X Lai viens no vektoriem (*) ir pārējo vektoru lineāra kombinācija. Varam Pieņemt, ka šis ir pirais vektors, t.i. A1 = 지하 2층 A2+ ... + 밀자르디 ㅏ N, 타타드(-1) × A1 + B2 A2+ ... + 밀자르디 ㅏ 아니= 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.

Komentet. Izmantojot pēdējo īpašību, var dot bezgalīgas vektoru sistēmas lineārās atkarības unneatkarības definīciju.

15. 정의. 벡터 시스템 A1, a2, ..., , ... (**) 티크 소크츠 리네아리 아트카리기 Ja vismaz viens no tā vektoriem ir lineāra kombinācija no kāda ierobežota skaita citu vektoru. Pretējā gadījumā Tiek izsaukta sistēma (**). Lineāri netkarīgs.

40. Galīga vektoru sistēma ir lineāri netkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar pārējiem vektoriem.

50. Ja vektoru sistēma ir lineāri netkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri netkarīga.

60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī Visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Dotas divas vektoru sistēmas A1, a2, ..., , ... (16) 유엔 B1, B2, ..., bs, ... (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad viņi saka, ka sistēma (17) Tiek lineāri izteikta caur sistēmu (16).

16. 정의. Abas vektoru sistēmas sauc Līdzvērtīgs ja katrs no tiem ir lineāri izteikts otra izteiksmē.

9. 이론 (galvenā teorēma par lineāro atkarību).

Ļaujiet jums - divas ierobežotas vektoru sistēmas no 엘 ... Ja pirma sistēma ir lineāri netkarīga un lineāri izteikta ar otro, tad N£s.

Pierādījums. Izliksimies 타 N> 에스. Pēc teorēmas hipotēzes

(21)

Tā kā sistēma ir lineāri netkarīga, vienādība (18) Û X1 = x2 = ... = xN = 0. Aizvietosim šeit vektoru izteiksmes:… + = 0 (19). Tādējādi (20). Nosacījumi (18), (19) un (20) acīmredzami ir līdzvērtīgi. 베트 (18) attiecas tikai uz X1 = x2 = ... = xN = 0. Noskaidrosim, kad vienādība (20) ir patiesa. Ja visi tā koeficienti ir vienādi ar nulli, tad tā acīmredzami ir taisnība. Pielīdzinot tos nullei, iegūstam sistēmu (21). Tā kā šai sistēmai ir nulle, tad tā

locītavu. Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle X10, x20, ..., xN0... Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri netkarīga. Tātad mūsu Pieņēmums nav pareizs. 타펙 N£s.

세카스. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri netkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.

17. 정의. 벡터 sistēmu sauc Maksimālā lineārineatkarīgā vektoru sistēma 리네아라 텔파 엘 ja tas ir lineārineatkarīgs, bet Pievienojot tam jebkuru vektoru no 엘 nav iekļauta šajā sistēmā, tā kļūst lineāri atkarīga.

10. 이론. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineārineatkarīgas vektoru sistēmas no 엘 Satur tādu pašu vektoru skaitu.

피에라디줌스 izriet no tā, ka jebkuras divas maksimāli lineāri netkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .

Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineārineatkarīga vektoru sistēma telpā 엘 var pabeigt līdz maksimāli lineārineatkarīgai šīs telpas vektoru sistēmai.

피에메리:

1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri netkarīga.

2. Visu koplanāro ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri netkarīgu sistēmu.

3. Trīsdimensiju Eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri netkarīga.

4. 막시말리 비수 파카페스 폴리노무 코파 N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, ..., xn Tas ir maksimāli lineārineatkarīgs.

5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri netkarīgas sistēmas Piemēri ir

ㅏ) 1, x, x2, ..., xn, ...;

비) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. 디멘시주 마트리쿠 코파 중´ N ir lineāra telpa (pārbaudiet to). Maksimālas lineāri netkarīgas sistēmas Piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12 =, ..., E망 = .

도타 벡터 시스템 C1, c2, ..., sk. (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineārineatkarīgs Apakšsistēma시스테마스( *) , ja tas ir lineāri netkarīgs, bet, ja tam Pievieno jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineārineatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (피에라디 세비). Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineārineatkarīgajā apakšsistēmā (*). 페크 랑가 Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.

벡터 시스템 라인은 깔끔하게 정리된 jēdzieni vektoru 대수학 izpētē ir ļoti svarīgi, jo uz tiem balstās telpas dimensijas un bāzes jēdzieni. Šajā rakstā mēs sniegsim definīcijas, apsvērsim lineārās atkarības unneatkarības īpašības, iegūsim algoritmu vektoru sistēmas izpētei uz 리네아라스 아티에시바스 un mēs detalizēti analizēsim Piemēru risinājumus.

Lapas navigācija.

벡터 시스템은 lineārās atkarības un lineārāsneatkarības noteikšana입니다.

Aplūkosim p n-dimensiju vektoru kopu, apzīmējiet tos šādi. Sastādīsim šo vektoru un patvaļīgu skaitļu lineāru kombināciju (reals vai komplekss):. Pamatojoties uz n-dimensiju vektoru darbību definīciju, kā arī vektoru saskaitīšanas un vektora reizināšanas ar skaitli operāciju īpašībām, var apgalvot, ka uzrakstītā lineārā kombinā cija attēlo kādu n-dimensiju vektoru , 카 이르,.

Tā mēs nonākam Pie vektoru sistēmas lineārās atkarības definīcijas.

정의.

Ja lineāra kombinācija var attēlot nulles vektoru, tad starp skaitļiem ir vismaz viena nulle, tad Tiek izsaukta vektoru sistēma 리네아리 아트카리기.

정의.

Ja lineārā kombinācija ir nulles vektors tikai tad, kad visi skaitļi ir vienādi ar nulli, tad sauc vektoru sistēmu 리니어리 니트카릭스.

Lineārās atkarības unneatkarības īpašības.

Pamatojoties uz šīm definīcijām, mēs formulējam un pierādam 벡터 sistēmas lineārās atkarības un lineārās netkarības īpašības.

Ja lineāri atkarīgai vektoru sistēmai Pievienojat vairākus vektorus, tad iegūtā sistēma būs lineāri atkarīga.

Pierādījums.

Tā kā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vienlīdzība ir iespējama, ja no skaitļiem ir vismaz viens skaitlis, kas nav nulle ... Ļaujiet.

Pievienojiet sākotnējai vektoru sistēmai vairāk vektoru , šajā gadījumā mēs iegūstam sistēmu. Kopš un, tad šīs formas sistēmas vektoru lineāra kombinācija

apzīmē nulles vektoru, un. Tāpēc iegūtā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

선형적인 깔끔한 벡터 벡터가 시스템의 izslēdzam vairākus vektorus에 없는 경우, 시스템에 대한 선형적인 깔끔한 디자인이 가능합니다.

Pierādījums.

Pieņemsim, ka iegūtā sistēma ir lineāri atkarīga. Pievienojot šai vektoru sistēmai visus izmestos vektorus, mēs iegūstam sākotnējo vektoru sistēmu. Pēc nosacījuma tas ir lineāri netkarīgs, un iepriekšējās lineārās atkarības īpašības dēļ tam ir jābūt lineāri atkarīgam. Mēs esam nonākuši pretrunā, tāpēc mūsu Pieņēmums ir nepareizs.

Ja vektoru sistēmā ir vismaz viens nulles vektors, tad šāda sistēma ir lineāri atkarīga.

Pierādījums.

Lai vektors šajā vektoru sistēmā ir nulle. Pieņemsim, ka sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri netkarīga. Tad vektoru vienlīdzība ir iespējama tikai tad, kad. Tomēr, ja ņemat jebkuru citu, nevis nulli, tad vienlīdzība joprojām būs patiesa, jo. Tāpēc mūsu Pieņēmums ir nepareizs, un sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

Ja vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vismaz viens no tās vektoriem ir lineāri izteikts pārējos. Ja vektoru sistēma ir lineārineatkarīga, tad neviens no vektoriem nav izteikts ar pārējiem.

Pierādījums.

Pirmkārt, mēs pierādām pirmo apgalvojumu.

Ļaujiet vektoru sistēmai 그러나 lineāri atkarīgai, tad ir vismaz viens skaitlis, kas atšķiras no nulles, un vienādība ir patiesa. Šo vienlīdzību var atrisināt nosacīti, jo šajā gadījumā mums tā ir

벡터에 대한 벡터 pēc vajadzības Tiek lineāri izteikts pārējo sistēmas vektoru izteiksmē.

Tagad pierādīsim otro apgalvojumu.

Tā kā vektoru sistēma ir lineārineatkarīga, vienlīdzība ir iespējama tikai.

Pieņemsim, ka kāds sistēmas vektors ir izteikts lineāri citiem vektoriem. Ļaujiet šim vektoram 그러나. 그래서 vienādību var pārrakstīt, jo tās kreisajā pusē ir sistēmas vektoru lineāra kombinācija, un vektora priekšā esošais koeficients nav nulle, kas norāda uz sākotnējās vektoru s istēmas lineāro atkarību. Tātad mēs nonācām Pie pretrunas, kas nozīmē, ka īpašums ir pierādīts.

No pēdējām divām īpašībām izriet svarīgs paziņojums:
ja vektoru sistēma satur vektorus un kur ir patvaļīgs skaitlis, tad tas ir lineāri atkarīgs.

Lineārās atkarības vektoru sistēmas izpēte.

Izvirzīsim 문제: mums ir jānosaka vektoru sistēmas lineāra atkarība vai lineāraneatkarība.

Loģisks jautājums: "kā to atrisināt?"

실제로는 어떤 벡터의 시스템도 정의되지 않았으나, 실제로는 그렇지 않은 경우도 있습니다. Šīs definīcijas un īpašības ļauj mums noteikt vektoru sistēmas lineāro atkarību šādos gadījumos:

Kā ir ar pārējiem gadījumiem, kas ir lielākā daļa?

Izdomāsim.

Atcerēsimies rakstā izklāstīto teorēmas formulējumu par matricas rangu.

테오레마.

Ļaujiet r ir matricas A rangs pēc kārtas p pēc n, ... Lai M ir matricas 파마타 미성년자. Visas matricas A rindas(visas kolonnas), kas nepiedalās pamata minora M veidošanā, ir lineāri izteiktas matricas rindu(kolonnu) izteiksmē, kas ģenerē pamata minora M.

Un tagad izskaidrosim saistību starp teorēmu par matricas rangu un lineārās atkarības vektoru sistēmas izpēti.

Sastādām matricu A, kuras rindas ir pētāmās sistēmas vektori:

Ko nozīmēs vektoru sistēmas lineārāneatkarība?

No vektoru sistēmas ceturtās lineārāsneatkarības īpašības mēs zinām, ka neviens no sistēmas vektoriem nav izteikts pārējos. Citiem vārdiem sakot, neviena matricas A rinda netiks lineāri izteikta citu rindu izteiksmē, tāpēc vektoru sistēmas lineārāneatkarība būs līdzvērtīga nosacījumam 순위(A) = p.

Ko nozīmēs vektoru sistēmas lineārā atkarība?

Viss ir ļoti vienkārši: vismaz viena matricas A rinda tiks lineāri izteikta pārējās daļās, tāpēc vektoru sistēmas lineārā atkarība būs līdzvērtīga nosacījumam Rank (A)

.

물론, 시스템에 대한 벡터 문제는 문제의 원인이 될 수 있지만, 시스템의 시스템에 대한 벡터는 없습니다.

Jāņem vērā, ka p> n vektoru sistēma būs lineāri atkarīga.

코멘테트: sastādot matricu A, sistēmas vektorus var ņemt nevis kā rindas, bet gan kā kolonnas.

알고리즘 벡터 시스템은 izpētei lineārai atkarībai입니다.

Analizēsim algoritmu, izmantojot Piemērus.

Lineārās atkarības vektoru sistēmas izpētes Piemēri.

피머스.

Ir dota vektoru sistēma. Pārbaudiet to, lai noteiktu lineāro atkarību.

리시나줌스.

Tā kā vektors c ir nulle, sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga trešās īpašības dēļ.

설명:

벡터 sistēma ir lineāri atkarīga.

피머스.

Pārbaudiet vektoru sistēmu lineārai atkarībai.

리시나줌스.

Nav grūti pamanīt, ka vektora c koordinātas ir vienādas ar atbilstošajām vektora koordinātām, kas reizinātas ar 3, tas ir,. Tāpēc sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

기본정리 1 : Ja matricā ar izmēru n n vismaz viena rinda (kolonna) ir vienāda ar nulli, tad matricas rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas.

피에라디줌:Ļaujiet pirmajai rindai 그러나 nulle

쿠르 10...Kas bija vajadzīgs.

정의: Tiek izsaukta matrica, kuras elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli 트리스투르베이다:

유엔 ij = 0, 나는> j.

기본정리 2: Trīsstūrveida matricas 행렬식 ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

Pierādīšanu ir viegli veikt, indukējot matricas izmēru.

테오레마 벡터 lineārāneatkarība.

ㅏ)바작: 리네아리 아트카리기 D=0 .

피에라디줌: Lai Tie butu lineāri atkarīgi, j =,

tas ir, ir j, ne visi ir vienādi ar nulli, j =,카스 a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... an A n =, A j -매트릭스 콜로나스 ㅏ.Ļaujiet, 피에메람, n²0.

엄마들아 a j * = a j / an n, j £ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... an -1 * An -1 + An =.

Nomainiet matricas pēdējo kolonnu ㅏ우즈

An * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... an -1 A n -1 + An =.

Saskaņā ar iepriekš pierādīto determinanta īpašību(tas nemainās, ja matricā jebkurai kolonnai Pievienojam citu, reizinot ar skaitli), jaunās matricas 행렬식은 vienāds ar sākotnējās 결정자입니다. Bet jaunajā matricā viena kolonna ir nulle, kas nozīmē, ka, paplašinot determinantu pa šo kolonnu, mēs iegūstam D = 0, Q.E.D.

비)Atbilstība:이즈메루 마트리카 n nar lineāri netkarīgām stīgām vienmēr var reducēt līdz trīsstūrveida formai, izmantojot 변환, kas nemaina determinanta absolūto vērtību. Turklāt sākotnējās matricas rinduneatkarība nozīmē tās determinanta nevienlīdzību ar nulli.

1. 자 이즈메루 마트리카(Ja izmēru matricā) n n ar lineāri netkarīgu līniju elementu 11 ir vienāds ar nulli, tad pirma vieta jāaizstāj ar kolonnu ar elementu a 1j ¹ 0... Saskaņā ar lemmu 1 šāds 요소 파스타v. Šajā gadījumā 변환 행렬 행렬식은 var atšķirties no sākotnējās 행렬식은 tikai ar zīmi입니다.

2. rindām ar cipariem 없음 나는>1 atņemiet pirmo rindu, kas reizināta ar daļskaitli 나는 1/a 11... Turklāt pirmajā rindu kolonnā ar cipariem 나는>1 jūs saņemat nulles elementus.

3. Sāksim aprēķināt iegūtās matricas determinantu ar sadalīšanu pirmajā kolonnā. Tā kā visi elementi tajā, izņemot pirmo, ir vienādi ar nulli,

D 자운스 = a 11 야운스 (-1) 1 + 1 D 11 야운스,

쿠르 d 11 황달 Ir mazākās matricas 결정 요인.

Tālāk, lai aprēķinātu 결정 디 11 atkārtojiet 1., 2., 3. soļus, līdz pēdējais 행렬식 izrādās lieluma matricas noteicējs 1 1. Tā kā 1. punkts maina tikaiTransformētās matricas determinanta zīmi, bet 2. determinanta vērtību nemaina vispār, tad līdz zīmei mēs galu galā iegūsim sākotnējās matricas determinantu. Šajā gadījumā, tā kā sākotnējās matricas rindu lineārāsneatkarības dēļ 1. punkts vienmēr ir izpildīts, visi galvenās diagonāles elementi izrādīsies nulle. Tādējādi galīgais 행렬식은 saskaņā ar aprakstīto algoritmu ir vienāds ar nulles elementu reizinājumu galvenajā diagonālē입니다. Tāpēc sākotnējās matricas 결정 요인 nav vienāds ar nulli. Q.E.D.

2. 피엘리쿰

1. teorēma(Par ortogonālo vektoru lineāroneatkarību). Ļaujiet Tad vektoru sistēma ir lineāri netkarīga.

Sastādīsim lineāru kombināciju ∑λ i x i = 0 un ņemsim vērā skalāro reizinājumu (x j, ∑λ i x i) = λ j || xj || 2 = 0, 내기 || xj || 2 ≠ 0⇒λ j = 0.

1. 정의합니다. 벡터 시스템vai (ei, e j) = δ ij ir Kronekera simbols, ONS(사우크 파 오르토노르말루).

2. 정의합니다. Patvaļīgam bezgalīgas dimenijas Eiklīda telpas patvaļīgam elementam x un patvaļīgai ortonormālai elementu sistēmai elementa x Furjē rinda sistēmā ir formāli izveidota bezgalīga formas summa(rinda). , kurā reālos skaitļus λ i sauc par elementa x Furjē koeficientiem attiecībā pret sistēmu, kur λ i = (x, ei).

설명. (Protams, Rodas jautājums par šīs sērijas konverģenci. Lai izpētītu šo problēmu, mēs labojam patvaļīgu skaitli n un uzzinām, kas atšķir n-tā daļēja jebkuras citas ortonormālās sistēmas pirmo n elementu lineāras kombinācijas Furjē rindas summa.)

2. 이론. Jebkuram fiksētam skaitlim n starp visām formas summām elementa a Furjē rindas n-tajai daļējai summai ir vismazākā novirze no elementa x dotās Eiklīda telpas norā.

Ņemot vērā sistēmas ortonormalitāti un Furjē koeficienta definīciju, varam rakstīt

Šīs izteiksmes 최소값 Tiek sasniegts 파이 c i = λ i, jo šajā gadījumā nenegatīvā pirmā summa labajā pusē vienmēr pazūd, un pārējie vārdi nav atkarīgi no c i.

피머스. 압스베리에트 삼각법 시스템(Apsveriet trigonometrisko sistēmu)

visu Rīmaņa integrējamo funkciju f (x) telpā uz 세그먼트a [-π, π]. Ir viegli pārbaudīt, vai tā ir ONS, un tad funkcijas f (x) Furjē sērijai ir forma kur.

설명. (Trigonometrisko Furjē sēriju parasti raksta formā 약간 )

Patvaļīga ONS bezgalīgas dimensija Eiklīda telpā bez papildu Pieņēmumiem, vispārīgi runājot, nav šīs telpas pamats. Intuitīvā līmenī, nesniedzot stingras definīcijas, mēs aprakstīsim lietas būtību. Patvaļīgā bezgalīgajā Eiklīda telpā E apsveriet ONS, kur (ei, e j) = δ ij ir Kronekera simbols. Lai M ir Eiklīda telpas apakštelpa, un k = M ⊥ apakštelpa, kas ir ortogonāla pret M tā, ka Eiklīda telpa E = M + M ⊥. Vektora x∈E projekcija apakštelpā M ir 벡터 ∈M, kur

Mēs meklēsim tās izplešanās koeficientu α k vērtības, kurām atlikums(atlikums kvadrātā) h 2 = || x- || 최소 2가지:

h 2 = || x- || 2 = (x-, x -) = (x-∑α 켁, x-∑α 켁) = (x, x) -2∑α k (x, ek) + (∑α 켁, ∑α 켁) = || 엑스 || 2 -2∑α k (x, e k) + ∑α k 2 + ∑ (x, e k) 2 -∑ (x, e k) 2 = || 엑스 || 2 + ∑ (α k - (x, e k)) 2 - ∑ (x, e k) 2.

Ir skaidrs, ka šai izteiksmei būs minimālā vērtība 파이 α k = 0, kas ir triviāla, un 파이 α k = (x, e k). 태드 ρ min = || 엑스 || 2 -∑αk 2 ≥0. Tādējādi mēs iegūstam Besela nevienādību ∑α k 2 || 엑스 || 2. 자 ρ = 0 ONS(Ortonormālo vektoru sistēmu)는 PONS(Ortonormālo vektoru sistēmu)의 기본 시스템입니다. Tādējādi mēs varam iegūt Steklova - Parseval vienādību ∑α k 2 = || 엑스 || 2 - "Pitagora teorēma" pilnīgai Steklova bezgalīgajiem eiklīda telpu izpratnē. Tagad būtu jāpierāda, ka, lai jebkurš telpas vektors būtu unikāli attēlots Furjē rindas veidā, kas tam saplūst, ir nepieciešams un Pietiekami, lai tiktu izpildīta Steklova-Parsevala vienādība. Vektoru sistēma pic = ""> ONB veido vektoru sistēmu. Apsveriet rindas daļējo summu 약간 kā saplūstošas ​​​​rindas aste. Tādējādi vektoru sistēma ir PONS un veido ONB.

피머스.삼각법 시스테마

visu Rīmaņa integrējamo funkciju telpā f (x) Segmentā [-π, π] ir PONS un veido ONB.