Ja plaknē atrodas divas taisnes, tad ir iespējami trīs dažādi to relatīvā stāvokļa gadījumi: 1) taisnes krustojas (tas ir, tām ir viens 코피그 펑크츠), 2) taisnes ir paralēlas un nesakrīt, 3) taisnes sakrīt.
Noskaidrosim, kā noskaidrot, kurš no šiem gadījumiem notiek, ja taisnes ir dotas ar to vienādojumiem
Ja taisnes krustojas, tas ir, tām ir viens kopīgs punkts, tad šī punkta koordinātām jāapmierina abi vienādojumi (15). Līdz ar to, lai atrastu taisnu līniju krustošanās punkta koordinātas, nepieciešams kopā atrisināt to vienādojumus. Šim nolūkam mēs vispirms izslēdzam nezināmo x, kuram mēs reizinām pirmo vienādojumu ar, bet otro ar A un atņemam pirmo no otrā. 버스를:
Lai izslēgtu nezināmo y no vienādojumiem (15), mēs reizinim pirmo no tiem ar un otro ar un atņemam otro no pirma. 예를 들어:
Ja tad no vienādojumiem (15) un (15") iegūstam sistēmas (15) risinājumu:
공식 (16) uzrāda divu taisnu līniju krustošanās punkta x, y koordinātas.
Tādējādi, ja tad līnijas krustojas. Ja tad formulām (16) nav jēgas. Kā šajā gadījumā ir taisnās līnijas? Ir viegli redzēt, ka šajā gadījumā līnijas ir paralēlas. Patiešām, no nosacījuma izriet, ka (ja, tad taisnes ir paralēlas asij Oy un līdz ar to ir paralēlas viena otrai).
Tātad, ja tad taisnes ir paralēlas. Aplūkoto nosacījumu var uzrakstīt tādā formā, kā varam teikt, ka, ja taisnes vienādojumos atbilstošie koeficienti Pie pašreizējām koordinātām ir proorcionāli, tad taisnes ir paralēlas.
Jo īpaši paralēlas līnijas var sakrist. Noskaidrosim, kāds ir taisnu līniju sakritības anītiskais kritērijs. Lai to izdarītu, apsveriet vienādojumus (15) un). Ja šo vienādojumu brīvie vārdi abi ir vienādi ar nulli, t.i.
tas ir, nezināmo koeficienti un (15) vienādojumu brīvie elementi ir proporcionāli. Šajā gadījumā vienu no sistēmas vienādojumiem iegūst no otra, visus tā vārdus reizinot ar kādu kopīgu koeficientu, t.i., vienādojumi (15) ir līdzvērtīgi. Līdz ar to aplūkojamās paralēlās līnijas sakrīt.
Ja vismaz viens no (15) un) vienādojumu brīvajiem nosacījumiem nav nulle (vai vai
tad vienādojumiem (15) un (15") un līdz ar to (15) vienādojumiem nebūs atrisinājumu (vismaz viens no vienādībām (15) vai (15") nebūs iespējams). Šajā gadījumā paralēlās līnijas nesakritīs.
Tātad nosacījums (nepieciešams un Pietiekams) divu taisnu līniju sakritībai ir to vienādojumu atbilstošo koeficientu proorcionalitāte:
Piemērs 1. Atrodiet taisnu līniju krustošanās punktu
Atrisinot vienādojumus kopā, reiziniet otro ar 3.
Divām taisnām līnijām telpā ir iespējami četri gadījumi:
Taisnās līnijas sakrīt;
Līnijas ir paralēlas(bet ne vienādas);
Taisnas līnijas krustojas;
Tiek šķērsotas taisnas līnijas, t.i. Tiem nav kopīgu punktu un Tie nav paralēli.
Apsveriet divus veidus, kā aprakstīt taisnas līnijas: kanoniskie vienādojumi un vispārīgie vienādojumi... Ļaujiet taisnēm L 1 un L 2 dot ar kanoniskajiem vienādojumiem:
L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 = (z - z 2) / n 2 (6.9)
Katrai taisnei no tās kanoniskajiem vienādojumiem mēs nekavējoties nosakām punktu M 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 un koordinātas. virziena vektoru s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2.
Ja taisnes sakrīt vai ir paralēlas, tad to virziena vektori s 1 un s 2 ir kolineāri, kas ir ekvivalents šo vektoru koordinātu attiecību vienādībai:
l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)
Ja taisnes sakrīt, tad virziena vektori ir kolineāri un vektors M 1 M 2:
(x 2 - x 1) / l 1 = (y 2 - y 1) / m 1 = (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)
Šī dubultā vienādība nozīmē arī to, ka punkts M 2 Pieder līnijai L 1. Līdz ar to rindu sakritības nosacījums ir vienādību(6.10) un(6.11) izpilde vienlaicīgi.
Ja taisnes krustojas vai krustojas, tad to virziena vektori ir nekolineāri, t.i. nosacījums(6.10) ir pārkāpts. Krustojošās līnijas atrodas vienā plaknē, un tāpēc 벡터 s 1, s 2 un M 1 M 2 ir 코플라나르trešās kārtas noteicējs sastāv no to koordinātām (sk. 3.2.):
Nosacījums(6.12) ir izpildīts trīs no četriem gadījumiem, jo pie Δ ≠ 0 taisnes nepieder vienai plaknei un tāpēc krustojas.
Apvienosim visus nosacījumus:
Taisnu līniju savstarpējo izvietojumu raksturo atrisinājumu skaits sistēmai(6.13). Ja taisnes sakrīt, tad sistēmai ir bezgala daudz risinājumu. 당신이 그것을 알고 있다면, 당신은 하나의 risinājums에 도달할 것입니다. Paralēlu vai krustojošu Tiešo risinājumu gadījumā Tiešo risinājumu nav. Pēdējos divus gadījumus var atdalīt, atrodot taisnu līniju virziena vektorus. Lai to izdarītu, Pietiek ar divu aprēķinu 벡터 제품 n 1 × n 2 un n 3 × n 4, kur n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3, 4. Pretējā gadījumā viņi krustojas.
피머스 6.4.
Taisnes L 1 virziena vektoru s 1 atrod ar šīs taisnes kanoniskajiem vienādojumiem: s 1 = (1; 3; -2). Taisnes L 2 virziena vektoru s 2 aprēķina, izmantojot plakņu normalo vektoru vektorreizinājumu, kuru krustpunkts ir:
Tā kā s 1 = -s 2, līnijas ir paralēlas vai sakrīt. Noskaidrosim, kura no šīm situācijām ir realizēta dotajām rindām. Lai to izdarītu, punkta M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 koordinātas aizstājam taisnes L 2 vispārīgajos vienādojumos. Pirmajam no tiem iegūstam 1 = 0. Līdz ar to punkts M 0 nepieder Pie taisnes L 2 un apskatāmās taisnes ir paralēlas.
Leņķis starp taisnām līnijām... Leņķi starp divām līnijām var atrast, izmantojot 비르초시 벡터 Tiesā veidā. 또는 leņķis starp taisnēm ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem (6.5. att.) vai ir papildus tam, ja leņķis starp virziena vektoriem ir neass. Tātad, ja taisnēm L 1 un L 2 ir zināmi to virziena vektori s x un s 2, tad akūto leņķi ψ starp šīm līnijām nosaka caur skalāro reizinājumu:
cos Φ = | 에스 1 에스 2 | / | S 1 || 에스 2 |
Piemēram, Pieņemsim, ka s i = (l i; m i; n i), i = 1, 2. Izmantojot 공식 (2.9) un (2.14), lai aprēķinātu 벡터 가룸 un skalārais reizinājums koordinātās, mēs iegūstam
Ja caur datiem Novelk paralēlas līnijas AB un C 디 plaknes, kas ir perpendikulāras horizontālajai projekcijas plaknei, tad šīs divas plaknes būs paralēlas, un to krustpunktā ar H plakni tiks iegūtas divas savstarpēji paralēlas taisnes ㅏ"비" 유엔 씨"디", kas ir taisnes AB un datu ortogonālās projekcijas CD uz horizontālās projekcijas plaknes (25. att.).
Līdzīgā veidā var iegūt šo taisnu līniju ortogonālās projekcijas uz frontālo plakni V.
Sarežģītā zīmējumā paralēlu līniju projekcijas ar tādu pašu nosaukumu ir paralēlas: ㅏ"비"씨"디" 유엔 ㅏ""비""씨""디""(25. att.).
크루스토샤스 타이스나스 리니야스
Savstarpēji krustojošām līnijām ir kopīgs punkts, Piemēram, līniju 세그먼트i AB유엔 CD크루스토야스 펑크타 UZ... Krustošas taisnes projekcijas krustojas, un to krustošanās punkti ( 케이" 유엔 케이"") atrodas uz tās pašas sakaru līnijas - perpendikulāri asij 엑스(26. att.).
Šķērsotas taisnas līnijas
Tās ir taisnas līnijas, kas nav paralēlas vai krustojas. Sarežģītā zīmējumā krustojošo taisnu līniju(taisnumu) projekcija AB유엔 CD) var krustoties, bet krustošanās punkti ( 1 ,2 유엔 3 ,4 ) atrodas uz dažādām sakaru līnijām (27. att.). Tāda paša nosaukuma krustojošo taisnu līniju projekciju krustošanās punkti telpā atbilst diviem punktiem: vienā gadījumā - 1 유엔 2 , un otrā - 3 유엔 4 atrodas uz taisnām līnijām. Zīmējumā taisnu līniju horizontālo projekciju krustpunkts atbilst divām punktu frontālajām projekcijām 1 "" 유엔 2 "". Līdzīgi - ar punktiem 3 유엔 4 .
Taisnas līnijas un telpas Organizācija
Taisnas līnijas - vienkāršas, bet ļotiizteiksmīgs 요소:
-리니자 사달라 플라크니
atsevišķi
달리아스;
-līnija palīdz apvienot
사스타부
vienā veselumā;
-līnija, vairāk nekā
타이슨스투리스
ietekmē ritmisko struktūru
Kompozīcijas. Frontālās un dziļās līniju kompozīcijas
운 타이슨스투리 pat ar visvienkāršākajiem līdzekļiem
jus varat sasniegt emocionālu
텔레니바 Līnija nav "planāka"
taisnstūris ", unneatkarīgs
피규어 요소 Līnija dod
비자 kompozīcijas izteiksmīgums. V
darbojas tur, kur līnija iet cauri(말라스 없음 līdz 말라이 없음)
lapa), šķiet, ka viņa iztur
attēla darbība ārpus darbības jomas un
padara kompozīciju atvērtu, atvērtu
un vēl interesantāk.
플라나스, 가라스 유엔
티에크 노그리에즈타스 타이스나스 리니야스
우즈 리네랄라 다르보자스
처녀
페크비뉴
콤포지자,
panākt atšķirības plānu lielumā,
조 타스 라다 아텔루
폴리포니자, 인토나시자 바가티바 운
attiecīgi vairāk izteiksmīguma
Kompozīcijas. 우즈데부미
Taisnas līnijas - plakanās Organizācijas 요소
Kompozīcijas.
1. 3-4 taisnu līniju atrašanās vieta un savstarpējais krustojums
panākt harmonisku dažāda biezuma dalījumu
atstarpe(izmantojiet līnijas Tieši cauri).
2. Izveidojiet kompozīciju no 2-3 taisnstūriem un 3-4 līnijām
līnijas, kas pēc to izkārtojuma savieno elementus
vienots kompozīcijas veselums. Izveidot: a) 정면
사스타프스; b) dziļais sastāvs.
3. No patvaļīga elementu skaita izveidojiet interesantu
사스타부.
Ritmiski sakārtojot elementus plaknē, sasniegt
emocionāli-figurāls iespaids (piemēram, "lidojums", sašaurināšanās "," palēnināšanās "u.c.).
Uzdevumus var veikt datorā.
Ja taisnes ir paralēlas, tad to projekcijas ar tādu pašu nosaukumu 파랄레리.
Ja taisnas līnijas krustojas, tad to projekcijas ar tādu pašu nosaukumu 크루스토야스 viens otru punktos, kas ir šo līniju krustošanās punkta projekcijas.
Šķērsotas taisnas līnijas 네크루스토야스유엔 탐색 파랄레리 viens otru, lai gan to projekcijas var krustoties vai būt paralēlas.
프로젝트를 진행하는 동안에는 punktineatrodas vienā sakaru līnijā. 비엔나 펑크츠 1 V아트빌스트 디비엠 펑크티엠 1 N유엔 1" N... Šie punkti atrodas vienā perpendikulāri plaknei V(2.9.a, b, c att.).
리시. 2.9. 관련 관련 신규 다이어그램:
A) 파랄레리; b) 크루스토야스; c) šķērsošana
2.3.1. Konkurējošie punkti
Tiek saukti punkti, kas atrodas vienā perpendikulāri projekcijas plaknei 사센사스 attiecībā pret šo plakni (2.10.a, b att.).
Konkurējošie punkti nosaka ģeometrisko attēlu redzamību zemes gabalā. Šajā projekcijā vienmēr būs redzams viens no konkurējošajiem punktiem 탈락아니 šīs projekcijas plaknes, tāpēc tuvāk skatītājam. 펑크티 ㅏ유엔 V프론탈리 사센샤스. Frontālās projekcijas plaknē būs redzams punkts ㅏ kopš viņa ir tālāk nolidmašīnas V un tuvāk novērotājam. 펑크티 ㅏ유엔 아칸소- horizontāli sacenšas. Punkts būs redzams arī horizontālajā projekcijas plaknē ㅏ kopš tas atrodas prom nolidmašīnas N탈락 파 펑크투 아칸소.
리시. 2.10. Sacensību punkti: a) dimetrijā; b) 다이어그램
2.4. Plaknes leņķa projekcijas
Divas krustojošas taisnas līnijas veido plakanu leņķi.
Ja leņķis atrodas plaknē, kas ir paralēla projekcijas plaknei, tad tas Tiek projicēts uz to pilnā izmērā.
Vispārīgā gadījumā plaknes leņķis, kura Malas nav paralēlas projekcijas plaknei, Tiek projicēts uz šo plakni arTransformāciju.
2.4.1. Taisnā leņķa projekcijas teorēma
Lai taisnais leņķis tiktu projicēts formā ortogonāli 파레이자 LEņķī, ir nepieciešams un Pietiekami, lai būtu vismaz viena no tā pusēm paralēli projekcijas plaknei유엔 오타리스 ir nav perpendikulāra šai plaknei(2.11.a, b att.).
리시. 2.11. Taisnā leņķa projekcijas uz zemes gabala:
A) frontālās projekcijas plaknē; b) uz horizontālās projekcijas plaknes
피에라디줌스: Ļaujiet mums izveidot taisnu leņķi telpā T.U. Projicējam에서 uz plaknes까지. N직교. Pieņemsim, ka puse ABšis leņķis ir paralēls plaknei N... 태드 엄마 ir: T.U.= 90˚; AB || N; A.A. N N... Pierādīsim, 카 V N ㅏ N 아칸소 N= 90° (2.12. att.). ㅏ N AB= 90°, 조 그림 A.A. N BB N- 타이슨스투리스. Tāpēc taisnā līnija AB perpendikulāri projekcijas plaknei 제이 kā perpendikulāra divām šīs plaknes līnijām ( AB처럼; ABA.A. N). 타타드 AB제이, 내기 ㅏ N V N || AB아니 šejienes 유엔 ㅏ N V N 제이, 카스 노지메, 카 V N ㅏ N 아칸소 N= 90°.
2.12. att. Taisnā leņķa projekcija
우즈데붐: Nosakiet attālumu no punkta ㅏ uz priekšu (2.13. attēls).
리시나줌스... Taisns leņķis starp vēlamo perpendikulu un frontālo 사울레프로젝트 필나 이즈메라 플라크네 V... Perpendikula dabiskā vērtība A.K. var atrast ar taisnleņķa trijstūra metodi.
리시. 2.13. Attāluma noteikšana no punkta A līdzlidmašīnas priekšpusei
