펑크투스 x_0\in \mathbb(R), un tajā ir atšķirīgs: f \in \mathcal(D)(x_0). Funkcijas grafika pieskare 에프푼타 x_0 sauc par lineāras funkcijas grafiku, kas dots ar vienādojumu y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R).

  • 자 펑크자 에프이르 펑크타 x_0베즈갈릭 atvasinājums f"(x_0) = \pm\infty, tad pieskares līnija šajā punktā ir vienādojuma dotā vertikālā līnija x = x_0.

    • 코멘트

    No definīcijas tieši izriet, ka pieskares līnijas grafiks iet caur punktu (x_0,f(x_0)). 스투리스 알파 starp liknes pieskari un x asi apmierina vienādojumu

    \operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,

    쿠르 \operatora nosaukums(tg)압지메 탄겐수 운 \operatora nosaukums (k)- pieskares slīpuma koeficients. Atvasinājums punktā x_0 vienads ar funkcijas grafika pieskares slīpumu 와이 = 에프(엑스)샤자 브리디.

    Tangenss kā sekanta ierobežojošais stāvoklis

    아우지에 f\kolons U(x_0) \līdz \R운 x_1\inU(x_0). Tad taisna līnija, kas iet caur punktiem (x_0,f(x_0))운 (x_1,f(x_1)) ko dod vienadojums

    y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).

    Šī līnija iet caur punktu (x_0,f(x_0))젭쿠람 x_1\in U(x_0),운 타 슬리푸마 레니 \alpha(x_1)압미에리나 비엔나도주무

    \operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).

    Funkcijas atvasinājuma esamības dēļ 에프푼타 x_0, pārejot uz robežu plkst x_1\lidz x_0, mes saprotam, ka ir robeža

    \lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),

    un loka tangensas un ierobežojošā leņķa nepārtrauktības dēļ

    \alpha = \operatora nosaukums(arctg)\,f"(x_0).

    Līnija, kas iet caur punktu (x_0,f(x_0)) un kam ir ierobežojošs slīpuma leņķis, kas atbilst \operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0), tiek dots ar tangensu vienādojumu:

    y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).

    피에스카레스 앱림

    Taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar riņķi ​​un kura atrodas vienā plaknēar to, sauc par riņķa pieskari.

    이파시바스

    1. Apļa piskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.
    2. No viena punkta novilktā riņķa pieskares segmenti ir vienādi un veido vienādus leņķus ar līniju, kas iet caur šo punktu, un apļa centru.
    3. Pieskares segmenta garums, kas novilkts uz riņķa vienības rādiusu, kas ņemts starp pieskares punktu un pieskares krustpunktu ar staru, kas novilkts no apļa centra, ir pieskares leņķim starp šo staru. un virziens no apļa centra līdz pieskares punktam. "Tangens" no lat. 피스카레스- "접선".

    Variācijas un vispārinājumi

    Vienpusējas pustangences

    • Ja ir pareizais atvasinājums 에프"_+(x_0)< \infty,따스 라바이스 반접선 uz funkcijas 그래픽 에프푼타 x_0소스 파 스타루
    y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.
    • Ja ir kreisais atvasinājums 에프"_-(x_0)< \infty,따스 크라이사 푸스탕가 uz funkcijas 그래픽 에프푼타 x_0소스 파 스타루
    y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.
    • Ja ir bezgalīgs labais atvasinājums f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), 에프푼타 x_0소스 파 스타루
    x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y\leqslant f(x_0)).
    • Ja ir bezgalīgs kreisais atvasinājums f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), tad labais pustangenss funkcijas grafikam 에프푼타 x_0소스 파 스타루
    x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y\geqslant f(x_0)).

    스카티트 아리

    • 노멀, 바이노멀

    Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "접선"

    문학

    • Toponogovs V.A. Līkņu un virsmu diferenciālģeometrija. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
    • // Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). - 상트페테르부르가. , 1890-1907.

    Pieskares līniju raksturojoss 파편

    - 베트남! - kliedza jauns virsnieks ap Pjēru sapulcētajiem karavīriem. Šis jaunais virsnieks, acīmredzot, pildīja savu amatu pirmo vai otro reizi, tāpēc gan pret karavīriem, gan komandieri izturējās īpaši skaidri un viendabīgi.
    Visā laukā pastiprinājās neregulāra lielgabalu un šauteņu šaušana, īpaši pa kreisi, kur bija Bagrationa zibšņi, bet šāvienu dūmu dēļ no vietas, kur atradās Pjērs, bija gandrīz neiespējami kaut. Turklāt visu Pjēra uzmanību piesaistīja novērojumi, kā it kā ģimenes (no visiem pārējiem atdalīts) cilvēku loks, kas atradās uz akumulatora. Viņa pirmais neapzināti priecīgais satraukums, ko radija kaujas lauka skats un skaņas, tagad tika aizstāts ar citu sajūtu, it īpaši pēc šī vientuļā pļavā guļošā karavīra skata. Tagad sēdēdams grāvja nogāzē, viņš vēroja sev apkārt esošās sejas.
    Līdz pulksten desmitiem no akumulatora jau bija aiznesti divdesmit cilvēki; divi lielgabali tika salauzti, arvien vairāk lādiņu trāpīja akumulatorā un lidoja, zumējot un svilpojot, tālas darbības lodes. Bet cilvēki, kas atradās uz akumulatora, to nepamanīja; no visām pusēm skanēja jautra saruna un joki.
    -치넨코! - karavīrs kliedza uz tuvojošos, svilpojošo granātu. - 그래! Uz kajniekiem! - cits smejoties piebilda, pamanot, ka granāta pārlidoja un atsitās pret aizsegu rindām.
    - 코, 마약? - pasmējās cits karavīrs par tupošo zemnieku zem lidojošās lielgabala lodes.
    Vairāki karavīri sapulcējās pie vaļņa, skatoties uz priekšā notiekošo.
    "Un viņi noņēma ķēdi, redziet, viņi atgriezās," viņi teica, norādot uz vārpstu.
    "Paskatieties uz savu biznesu," vecais apakšvirsnieks kliedza viņiem. - Viņi atgriezās, kas nozīmē, ka ir darbs atpakaļ. - Un apakšvirsnieks, paņēmis vienu no karavīriem aiz pleca, pagrūda viņu ar ceļgalu. Bija dzirdami smiekli.
    - Rit pie piekta lielgabala! kliedza no vienas puses.
    "Kopā, draudzīgāk, burlatski," bija dzirdami pistoles nomainītāju jautrie saucieni.
    "Jā, es gandrīz nogāzu mūsu kunga cepuri," sarkans jokdaris pasmējās Pjēram, rādot zobus. "Ak, neveikls," viņš pārmetoši piebilda bumbiņai, kas bija iekritusi vīrieša ritenī un kājā.
    - 뉴 주스 랍사스! cits smējās par čīkstošajiem miličiem, kas iegāja ievainoto baterijā.
    - Al nav garšīga putra? Ak, vārnas, šūpojas! - viņi kliedza uz miličiem, kuri vilcinājās karavīra ar nogrieztu kāju priekšā.
    "Kaut kas tamlīdzīgs, mazais," zemnieki atdarināja. – Viņiem nepatīk kaislība.
    Pjērs pamanīja, kā pēc katra sitiena, pēc katra zaudējuma, vispārēja atmoda uzliesmoja arvien vairāk.
    Kā no pērkona mākoņa uz priekšu arvien biežāk visu šo cilvēku sejās uzplaiksnīja arvien spožāki un spožāki (it kā atgrūžoties pret notiekošo) slēptas, uzliesmojošas uguns zibens.
    Pjērs neskatījās uz priekšu kaujas laukā un neinteresējās zināt, kas tur notiek: viņš bija pilnībā pārdomāts par šo, arvien degošāku uguni, kas tāpat (viņš juta) uzliesmoja viņēsel dvēsel.
    Pulksten desmitos kājnieku karavīri, kas bija pa priekšu bateriju krūmos un gar Kamenkas upi, atkāpās. No baterijas bija redzams, kā viņi skrēja tai garām, nesot ievainotos uz ieročiem. Kāds ģenerālis ar savu svītu iegāja pilskalnā un, sarunājies ar pulkvedi, dusmīgi paskatījies uz Pjēru, atkal nokāpa lejā, pavēlēdams kājnieku pārsegu, kas stāvēja aiz baterijas, apgulties, lai būtu mazāk šāiems ļvieniem. Pēc tam kājnieku rindās pa labi no baterijas atskanēja bungas, komandas saucieni, un no baterijas bija skaidrs, kā kājnieku rindas virzās uz priekšu.
    Pjērs paskatijās pāri šahtai. Viena seja īpaši piesaistīja viņa uzmanību. Tas bija virsnieks, kurš ar bāli jaunu seju gāja atmuguriski, nesot nolaistu zobenu un nemierīgi skatījās apkārt.
    Kājnieku karavīru rindas pazuda dūmos, bija dzirdams viņu ilgstošais sauciens un bieža ieroču šaušana. Dažas minutes vēlāk no turienes gāja daudz ievainoto un nestuvju. Čaulas sāka trāpīt akumulatorā vēl biežāk. Vairāki cilvēki gulēja neiztīrīti. Pie lilgabaliem karavīri kustējās rosīgāk un dzīvīgāk. Pjēram neviens vairs nepievērsa nekādu uzmanību. Reizi vai divas uz viņu dusmīgi kliedza par to, ka viņš bija ceļā. Vecākais virsnieks ar sarauktu seju lieliem, ātriem soļiem virzījās no viena ieroča pie otra. Jaunais virsnieks, vēl vairāk pietvīcis, vēl cītīgāk komandēja karavīrus. Karavīri šauj, griezās, lādēja un darīja savu darbu ar intensīvu aizrautību. Viņi pa ceļam lēca kā uz atsperēm.

    노다르비바스 메리기

    • Izglītojoši - zināšanu atkārtošana, vispārināšana un pārbaude par tēmu: “Pieskares lokam”; pamatprasmju attīstīšana.
    • Attīstīt - attīstīt audzēkņu uzmanību, 닛타이디부, 닛타이디부, 로이스카 도마샤나, matemātiskā runa.
    • Izglītojoši – ar mācību stundu izkopt uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību,neatkarību.
    • Ieviest pieskares, saskares punkta jēdzienu.
    • Apsveriet pieskares un tās zīmes īpašību un paradiet to pielietojumu dabas un tehnoloģiju problēmu risināšanā.

    노다르비바스 메리기

    • Veidot prasmes pieskares veidošanā, izmantojot mēroga lineālu, transportieri un zīmēšanas trīsstūri.
    • Pārbaudiet studentu spēju risināt problēmas.
    • Nodrošināt apļa pieskares konstruēšanas pamata algoritmisko paņēmienu apguvi.
    • Veidot prasmi pielietot teorētiskās zināšanas problēmu risināšanā.
    • Attīstīt skolēnu domāšanu un runu.
    • Strādājiet pie prasmju veidošanas novērot, pamanīt modeļus, vispārināt, spriest pēc analoģijas.
    • Izkopt interesi par matematiku.

    노다르비바스 계획

    1. Pieskares jēdziena rašanās.
    2. Pieskares paradīšanās vēsture.
    3. Ģeometriskās definīcijas.
    4. 파마테오레마.
    5. Apļa pieskares konstruēšana.
    6. Konsolidacija.

    Pieskares jēdziena rašanās

    Pieskares jēdziens ir viens no vecākajiem matemātikā. Ģeometrijā riņķa līnijas pieskare tiek definēta kā taisna līnija, kurai ir tieši viens krustošanās punkts ar šo apli. Senie cilvēki ar kompasa un taisnes palīdzību spēja uzzīmēt pieskares riņķim, bet vēlāk arī konusveida griezumiem: elipsēm, hiperbolām un parabolām.

    Pieskares paradīšanās vēsture

    Interese par tangentēm atdzima mūsdienas. Tad tika atklātas liknes, kas senatnes zinātniekiem nebija zināmas. Piemēram, Galileo ieviesa cikloīdu, un Dekarts un Fermā izveidoja tam tangensu. XVII gadsimta pirmajā trešdaļā. Viņi sāka saprast, ka pieskare ir taisna līnija, kas "vistuvāk atrodas" līknei noteiktā punkta nelielā apkārtnē. Ir viegli iedomāties situāciju, kad nav iespējams izveidot līknes pieskari noteiktā punktā (attēlā).

    Ģeometriskās definīcijas

    아플리스- plaknes punktu atrašanās vieta, kas attrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par tās centru.

    아플리스.

    Saistītās definīcijas

    • 모든 세그먼트를 살펴보십시오. kas savieno apļa centru ar jebkuru punktu uz tā(un arī šī posma garumu). 반지름 aprindas.
    • Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc 아프카트.
    • Tiek saukts līnijas 세그먼트, kas savieno divus riņķa punktus 협정. Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc 직경.
    • Jebkuri divi punkti, kas nesakrīt uz apļa, sadala to divās daļās. Katra no šīm daļām tiek saukta 로카 aprindas. Loka mērs var būt tai atbilstošā centrālā leņķa mērs. Loku sauc par pusloku, ja 세그먼트, kas savieno tā galus, ir 직경.
    • Tiek saukta taisne, kurai ir tieši viens kopīgs punkts ar apli 피스카레스 uz apli, 유엔 코피그 펑크츠 sauc par saskares punktu starp līniju un apli.
    • Tiek saukta taisne, kas iet caur diviem riņķa punktiem 세칸트.
    • Centrālais leņķis aplī ir plakans leņķis ar virsotni tā centrā.
    • Tiek saukts leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas krustojas ar apli ierakstītais leņķis.
    • Tiek saukti divi apļi, kuriem ir kopīgs centrs 집중 위험.

    피에스카레스 리니자- taisna līnija, kas iet caur kādu līknes punktu un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai.

    피에스카레스 앱림 Tiek saukta taisne, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli.

    Taisna līnija, kas iet caur apļa punktu tajā pašā plaknē, kas ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam, 소스 파르 탕겐수. 쿠라 도트 펑크 Apli sauc par pieskares punktu.

    Ja mūsu gadījumā "a" ir taisne, kas pieskaras dotajam aplim, punkts "A" ir saskares punkts. Šajā gadījumā a ⊥ OA (līnija a ir perpendikulāra rādiusam OA).

    비니 투 사카 divi apļi pieskaras ja tiem ir viens kopīgs punkts. 그래서 펑투 소스 apļu pieskares punkts. Caur pieskares punktu var uzzīmēt pieskares vienam no apļiem, kas ir arī pieskares otram aplim. Apļu pieskares ir iekšēja un ārēja.

    Pieskares sauc par iekšējo, ja apļu centri atrodas tajā pašā pieskares pusē.

    Pieskares sauc par ārējo, ja apļu centri atrodas pretējās pieskares pusēs

    ir divu apļu kopējā pieskare, K ir saskares punkts.

    파마테오레마

    테오레마 par tangensu un sekantu

    Ja no punkta, kas atrodas ārpus riņķa, novilkta pieskare un atzars, tad pieskares garuma kvadrāts ir vienāds ar atzares un tās ārējās daļas reizinājumu: MC 2 = MA MB.

    정리. Apļa pieskares punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs pieskarei.

    정리. Ja rādiuss ir perpendikulārs līnijai apļa krustošanās punktā, tad šī taisne ir pieskares šim riņķim.

    Pierādījums.

    Lai pierādītu šīs teorēmas, mums jāatceras, kas ir perpendikuls no punkta uz taisni. Tas ir īsākais attālums no šī punkta līdz šai līnijai. Pieņemsim, ka OA nav perpendikulāra pieskarei, bet ir taisne OC, kas ir perpendikulāra tangensei. OS garums ietver rādiusa garumu un noteiktu segmentu BC, kas noteikti ir lielāks par rādiusu. Tādējādi var pierādīt jebkurai līnijai. Secinām, ka rādiuss, rādiuss, kas novilkts līdz saskares punktam, ir mazākais attālums līdz pieskarei no punkta O, t.i. OS ir perpendikulara pieskarei. Apgrieztās teorēmas pierādīšanā mēs balstīsimies uz faktu, ka pieskarei ir tikai viens kopīgs punkts ar apli. Dotajai taisnei ir vēl viens kopīgs punkts B ar apli. Trijstūris AOB ir taisnleņķis, un tā abas malas ir vienādas ar rādiusiem, kas nevar būt. Tādējādi iegūstam, ka dotajai taisnei ar apli nav vairāk kopīgu punktu, izņemot punktu A, t.i. 접선.

    정리. Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi, un taisne, kas savieno šo punktu ar apļa centru, sadala leņķi starp pieskarēm trāpījumos.

    Pierādījums.

    Pierādījums irļoti vienkāršs. Izmantojot iepriekšējo teorēmu, mēs apgalvojam, ka OB ir perpendikulāra AB, un OS ir perpendikulāra AC. Taisnleņķa trijstūri ABO un ACO ir vienādi kājā un hipotenūzā (OB = OS - rādiusi, AO - kopā). Tāpēc to kājas AB = AC un leņķi OAC un OAB arī ir vienādi.

    정리. Leņķa vērtība, ko veido pieskares un horda ar kopīgu punktu uz apļa, ir vienāda ar pusi no loka leņķa vērtības, kas atrodas starp tā malām.

    Pierādījums.

    Apsveriet leņķi NAB, ko veido tangenss un horda. Uzzīmējiet diametru AC. Pieskare ir perpendikulāra diametram, kas novilkts līdz saskares punktam, tāpēc ∠CAN=90 o. Zinot teorēmu, redzam, ka leņķis alfa (a) ir vienāds ar pusi no loka BC leņķa lieluma vai pusi no leņķa BOC. ∠NAB=90 o -a, tādējādi iegūstam ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB vai = puse no loka BA leņķa vērtības. h.t.d.

    정리. Ja no punkta uz riņķi ​​novelk tangensu un atdalītāju, tad pieskares segmenta kvadrāts no dotā punkta lidz pieskares punktam ir vienāds ar atdalīšanas segmentu garumu reizinājumu no dotā punkta. norāda uz punktiem, kur tā krustojas ar apli.

    Pierādījums.

    Attēlā šī teorēma izskatās šādi: MA 2 \u003d MV * MS. Pierādīsim to. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu leņķis MAC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķa lieluma, bet arī leņķis ABC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķalieluma, saskaņā ar teorēmu, tāpēši šie. Ņemot vērā to, ka trijstūriem AMC un VMA ir kopīgs leņķis virsotnē M, mēs nosakām šo trīsstūru līdzību divos leņķos (otrā zīme). no lidzības mums ir: MA / MB = MC / MA, no kura mēs iegūstam MA 2 \u003d MB * MC

    Apļa pieskares konstruēšana

    Un tagad mēģināsim to izdomāt un noskaidrot, kas jādara, lai izveidotu riņķa pieskari.

    Šajā gadījumā uzdevumā parasti tiek dots aplis un punkts. Un jums un man ir jāizveido apļa pieskare, lai šī pieskare iet caur noteiktu punktu.

    Gadījumā, ja mēs nezinām punkta atrašanās vietu, tad aplūkosim punktu iespējamās atrašanās vietas gadījumus.

    Pirmkārt, punkts var atrasties apļa iekšpusē, kuru ierobežo dotais aplis. Šajā gadījumā caur šo apli nav iespējams izveidot tangensu.

    Otrajā gadījumā punkts atrodas uz apļa, un mēs varam izveidot pieskari, novelkot rādiusam perpendikulāru līniju, kas tiek novilkta uz mums zināmo punktu.

    Treškārt, pieņemsim, ka punkts atrodas ārpus apļa, kuru ierobežo aplis. Šajā gadījumā pirms pieskares konstruēšanas ir jāatrod punkts uz apļa, caur kuru jāiziet pieskare.

    Pirmajā gadījumā es ceru, ka jūs visu saprotat, bet, lai atrisinātu otro iespēju, mums ir jāveido segment uz taisnes, uz kuras atrodas rādiuss. Šim segmentam jābūt vienādam ar rādiusu un segmentu, kas atrodas uz apļa pretējā pusē.



    Redzams, ka apļa punkts ir segmenta viduspunkts, kas ir vienāds ar divkāršu rādiusu. Nākamais solis ir uzzīmēt divus apļus. Šo apļu rādiuss būs vienāds ar divkāršu sākotnējā apļa rādiusu ar centriem segmenta galos, kas ir vienāds ar divkāršu rādiusu. Tagad mēs varam novilkt taisnu līniju caur jebkuru šo apļu un dotā punkta krustošanās punktu. Šāda taisne ir mediāna, kas ir perpendikulāra apļa rādiusam, kas tika novilkta sākumā. Tādējādi mēs redzam, ka šī līnija ir perpendikulāra aplim, un no tā izriet, ka tā ir pieskares riņķim.

    Trešajā variantā mums ir punkts, kas atrodas ārpus apļa, un to ierobežo aplis. Šajā gadījumā mēs vispirms izveidojam segmentu, kas savienos paredzētā apļa centru un doto punktu. Un tad mēs atrodam tā vidu. Bet sim nolūkam ir jāizveido perpendikulāra bisektrise. Un jūs jau zināt, kā to izveidot. Tad mums ir jāuzzīmē aplis vai vismaz tā daļa. Tagad mēs redzam, ka dotā riņķa un jaunizveidotā riņķa krustošanās punkts ir punkts, caur kuru iet pieskare. Tas arī iet caur punktu, ko noteica problēmas stāvoklis. Un visbeidzot, izmantojot divus punktus, kurus jūs jau zināt, varat novilkt pieskares līniju.

    Un visbeidzot, lai pierādītu, ka mūsu konstruētā taisne ir pieskare, jums jāpievērš uzmanība leņķim, ko veido riņķa rādiuss un segment, kas pazīstams ar nosacījumu un savieno apļa krustošanās. apļi ar punktu, ko dod uzdevuma nosacījums. Tagad mēs redzam, ka iegūtais leņķis balstās uz pusloku. Un no tā izriet, ka šis leņķis ir pareizs. Tāpēc rādiuss būs perpendikulārs jaunizveidotajai līnijai, un šī līnija ir tangenss.

    Pieskares uzbūve.

    Pieskares konstruēšana ir viena no tām problēmām, kas izraisīja diferenciālrēķina rašanos. Pirmais publicētais darbs, kas attiecas uz diferenciālrēķinu un ko uzrakstīja Leibnics, bija ar nosaukumu" 자우나 방식 maximumi un minimumi, kā arī pieskares, kurām par šķērsli nekalpo ne daļskaitļi, ne iracionālie lielumi, un tam īpašs aprēķinu veids.

    Seno ēģiptiešu ģeometriskās zināšanas.

    Ja neņem vērā seno ielejas starp Tigri un Eifratu un Mazāzijuļoti pieticīgo ieguldījumu, tad ģeometrija radās g. 세나 이팁테 pirms 1700.g.pmē Tropu lietus sezonas laikā Nīla papildināja ūdens krājumus un applūda. Ūdens klāja apstrādātās zemes gabalus, un nodokļu nolūkos bija jānosaka, cik daudz zemes tika zaudētas. Mērnieki kā mērinstrumentu izmantoja cieši nostieptu virvi. Vēl viens 자극

    Par ģeometrisko zināšanu līmeni var spriest pēc seniem rokrakstiem, kas ir īpaši veltīti matemātikai un ir kaut kas līdzīgs mācību grāmatām, pareizāk sakot, problēmu grāmatām, kur sākuris puri da mi

    Vecāko ēģiptiešu matemātisko manuskriptu kāds 학생 nokopēja laikā no 1800. lidz 1600. gadam. 기원전. 아니 베카카 텍스타. Papirusu atrada krievu ēģiptologs Vladimirs Semenovičs Goļeņičevs. Tas glabājas Maskavā - Tēlotājmākslas muzejā, kas nosaukts A.S. Puskins는 Maskavas Papirusu와 같은 소스입니다.

    Londonā glabājas vēl viens matemātisks papiruss, kas uzrakstīts divus vai tris simtus gadus vēlāk nekā Maskavā. 소스에: "Instrukcija, kā iegūt zināšanas par visām tumšajām lietām, visiem noslēpumiem, kas slēpj lietas sevī... Saskaņā ar vecajiem pieminekļiem, rakstu mācītājs Ahmess to rakstīja." un nopirka šo papirusu Ēģiptē. Ahmesa papiruss sniedz 84 uzdevumu risinājumu dažādiem aprēķiniem, kas var būt nepieciešami praksē.

    Taisnā līnija attiecībā pret apli var būt šādās tris pozīcijās:

    1. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu.Šajā gadījumā visi līnijas punkti atrodas ārpus apļa.

    2. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu.Šajā gadījumā līnijai ir punkti, kas atrodas apļa iekšpusē, un, tā kā līnija ir bezgalīga abos virzienos, tā krusto apli 2 punktos.

    3. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu. Taisna līnija - tangenss.

    Tiek saukta taisne, kurai ar apli ir tikai viens kopīgs punkts 피스카레스 uz apli.

    Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts pieskariena punkts.

    Pieskares pastāvēšanas iespējamību, turklāt izvilktu caur jebkuru riņķa punktu kā saskares punktu, pierāda šāda teorēma.

    정리. Ja līnija ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz apļa, tad šī taisne ir pieskares.

    Lai O (rīsi) ir kāda apļa centrs, bet OA ir kāds no tā rādiusa. Izvelciet MN ^ OA caur tā galu A.

    Nepieciešams pierādīt, ka līnija MN ir pieskares, t.i. ka šai taisnei ir tikai viens kopīgs punkts A ar apli.

    Pieņemsim pretējo: lai MN ir vēl viens kopīgs punkts ar apli, piemēram, B.

    Tad līnija OB būtu rādiuss un līdz ar to vienāda ar OA.

    Bet tā nevar būt, jo, ja OA ir perpendikuls, tad OB jābūt slīpam pret MN, un slīpums ir lielāks par perpendikulu.

    아프그리에스타 이론. Ja līnija ir pieskares riņķim, tad pieskares punktam novilktais rādiuss ir tai perpendikulārs.

    Ļaujiet MN apļa pieskarei, Air pieskares punkts un O ir riņķa centrs.

    Ir jāpierāda, ka OA^MN.

    Pieņemsim pretejo, t.i. pieņemsim, ka no O līdz MN nomestais perpendikuls nav OA, bet kāda cita taisne, piemēram, OB.

    Ņemsim BC = AB un uzzīmēsim OC.

    Tad OA un OS būs slīpi, vienādā attālumā no perpendikulārā OB, un līdz ar to OS = OA.

    No tā izriet, ka aplim, ņemot vērā mūsu pieņēmumu, ar taisni MN būs divi kopīgi punkti: A un C, t.i. MN nebūs tangenss, bet gan sekants, kas ir pretrunā ar nosacījumu.

    세카스. Caur jebkuru doto riņķa punktu var uzzīmēt pieskares šim riņķim, un tikai vienu, jo caur šo punktu var novilkt perpendikulu un turklāt tikai vienu tajā ievilktajam rādiusam.

    정리. Pieskare, kas ir paralēla hordai, saskares punktā sadala loku uz pusēm, ko atņem horda.

    Ļaujiet taisnei AB (att.) pieskarties riņķim punktā M un būt paralēli akordam CD.

    Mums jāpierāda, ka ÈCM = ÈMD.

    Zīmējot diametru ME caur saskares punktu, mēs iegūstam: EM ^ AB un līdz ar to EM ^ CB.

    타펙 CM = MD.

    Uzdevums. Caur doto punktu uzzīmējiet pieskares dotam riņķim.

    Ja dotais punkts atrodas uz apļa, tad caur to tiek novilkts rādiuss un caur rādiusa galu - perpendikulāra līnija. Šī līnija būs vēlamā tangensa.

    Apsveriet gadījumu, kad punkts ir dots ārpus apļa.

    Pieprasiet (att.) caur punktu A novilkt pieskares riņķim ar centru O.

    Lai to izdarītu, no punkta A, tāpat kā no centra, mēs aprakstam loku ar rādiusu AO, un no punkta O kā centru mēs krustojam šo loku punktos B un C ar kompasa atveri, kas vienāda ar šī apļa diametru. .

    OB와 OC는 OB와 OC의 savienojam punktu A ar punktiem D un E, kuros šīs hordas krustojas ar doto apli.

    Līnijas AD un AE ir riņķa O pieskares.

    Patiešām, no konstrukcijas var redzēt, ka caurules AOB un AOC ir vienādsānu (AO = AB = AC), kuru pamatnes OB un OS ir vienādas ar apļa O diametru.

    Tā kā OD un OE ir rādiusi, tad D ir OB viduspunkts un E ir OS viduspunkts, kas nozīmē, ka AD un AE ir mediānas, kas novilktas uz vienādsānu celiņu pamatiem, un tāpēc ir perpendikulāras šīm bāzēm. Ja taisnes DA un EA ir perpendikulāras rādiusiem OD un OE, tad tās ir pieskares.

    세카스. Divas pieskares, kas novilktas no viena un tā paša punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar līniju, kas savieno šo punktu ar centru.

    Tātad AD=AE un ÐOAD = ÐOAE(att.), jo taisnstūrveida caurules AOD un AOE, kurām ir kopīga hipotenūza AO un vienādas kājas OD un OE(kā rādiusi), ir vienādas.

    Ņemiet vērā, ka šeit vārds "tangence" nozīmē faktisko "pieskares segmentu" no dotā punkta līdz pieskares punktam.

    Uzdevums. Uzzīmējiet pieskares dotam riņķim O paralēli noteiktai taisnei AB (att.).

    Perpendikulu OC nolaižam uz AB no centra O un novelkam EF || AB.

    Vēlamā tangensa būs EF.


    Patiešām, kopš OS ^ AB 및 EF || AB, tad EF ^ OD, un līnija, kas ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz riņķa līnijas, ir tangenss.

    Uzdevums. Uzzīmējiet kopīgu piesari diviem apļiem O un O 1 (Zīm.).

    분석하다. Pieņemsim, ka problēma ir atrisinata.

    Ļaujiet AB ir kopējā pieskare, A un B ir pieskares punkti.

    Acīmredzot, ja mēs atrodam vienu no šiem punktiem, piemēram, A, tad mēs varam viegli atrast arī otru.

    Nozīmēsim rādiusus OA un O 1 B. Šie rādiusi, būdami perpendikulāri kopējai pieskarei, ir paralēli viens otram.

    Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA, tad ceļš uz OCO 1 virsotnē C būs taisnstūrveida.

    Rezultātā, ja no O kā centru aprakstam apli ar rādiusu OS, tad tas pieskarsies taisnei O 1 C punktā C.

    Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA - SA = OA - O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar starpību starp doto apļu rādiusiem.

    부브니에시바. No centra O mēs aprakstam apli, kura rādiuss ir vienāds ar starpību starp šiem rādiusiem.

    No O 1 šim aplim novelkam tangensu O 1 C (tā, kā norādīts iepriekšējā uzdevumā).

    Caur pieskares punktu C novelkam rādiusu OS un turpinām, līdz tas sastopas ar doto riņķi ​​punktā A. Visbeidzot no A novelkam AB paralēli CO 1.

    Tieši tādā pašā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu kopīgu pieskari A 1 B 1 (Zīm.). Tiek izsauktas līnijas AB un A 1 B 1 아레자 kopējas pieskares.

    Jūs varat darīt vēl divus iekšzemes pieskares šādi:

    분석하다 Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta (att.). Lai AB ir vajadzigā tangense.

    Pieskares punktos A un B uzzīmējiet rādiusus OA un O 1 B. Tā kā šie rādiusi abi ir perpendikulāri kopējai pieskarei, tie ir paralēli viens otram.

    Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA un turpiniet OA līdz punktam C, tad OS būs perpendikulāra O 1 C.

    Rezultātā aplis, kas aprakstīts ar rādiusu OS no punkta O, kā centrs, pieskaras taisnei O 1 C punktā C.

    Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA+AC = OA+O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar doto apļu rādiusu summu.

    부브니에시바. No O kā centra mēs aprakstām apli, kura rādiuss ir vienāds ar šo rādiusu summu.

    No O 1 šim riņķim novelkam pieskares O 1 C.

    Mēs savienojam pieskares punktu C ar O.

    Visbeidzot, caur punktu A, kurā OC krustojas ar doto apli, novelkam AB = O 1 C.

    Līdzīgā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu iekšējo tangenti A 1 B 1 .

    Pieskares vispārīgā definīcija

    Pieskares AT un kādu sekantu AM novelk uz apli ar centru (att.) caur punktu A.

    Pagriezīsim šo sekantu ap punktu A tā, lai otrs krustojuma punkts B virzītos arvien tuvāk un tuvāk A.

    Tad perpendikulārais OD, kas nomests no centra uz sekantu, arvien vairāk tuvosies rādiusam OA, un leņķis AOD var kļūt mazāks par jebkuru mazu leņķi.

    Leņķis MAT, ko veido sekants un tangenss, ir vienāds ar leņķi AOD (to malu perpendikulitātes dēļ).

    Tāpēc, punktam B tuvojoties A neierobežoti ilgi, arī leņķis MAT var kļūt patvaļīgi mazs.

    Tas ir izteikts citos vārdos šādi:

    pieskares ir robežpozīcija, uz kuru tiecas caur kontaktpunktu novilktais sekants, kad otrais krustošanās punkts neierobežoti tuvojas saskares punktam.

    Šī īpašība tiek uzskatīta par pieskares definīciju, ja runa ir par jebkāda veida līkni.

    Tātad, līknes AB pieskare (att.) ir robežstāvoklis MT, uz kuru tiecas sekants MN, kad krustojuma punkts P tuvojas M bezgalīgi.

    Ņemiet vērā, ka šādā veidā definētajai pieskarei var būt vairāk nekā viens kopīgs punkts ar līkni (kā redzams attēlā).

    \[(\Large(\text(Centralais un ierakstītie leņķi)))\]

    정의

    Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā.

    Ierakstītais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa.

    Apļa loka pakāpes mērs ir uz tā balstītā centrālā leņķa pakāpes mērs.

    테오레마

    Ierakstītā leņķa mērs ir puse no loka, ko tas pārtver.

    피에라디줌스

    Pierādīšanu veiksim divos posmos: pirmkārt, pierādīsim apgalvojuma derīgumu gadījumam, kad viena no ierakstītā leņķa malām satur diametru. Lai punkts \(B\) ir ierakstītā leņķa \(ABC\) virsotne un \(BC\) ir apļa 직경:

    Trijstūris \(AOB\) ir vienādsānu, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ir ārējais, tad \(\각도 AOC = \각도 OAB + \각도 ABO = 2\각도 ABC\), 쿠르 \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

    Tagad apsveriet patvaļīgu ierakstītu leņķi \(ABC\) . Uzzīmējiet apļa diametru \(BD\) no ierakstītā leņķa virsotnes. Ir iespējami divi gadījumi:

    1) 직경 sagriež leņķi divos leņķos \(\angle ABD, \angle CBD\) (katram no kuriem teorēma ir patiesa, kā pierādīts iepriekš, tāpēc tā ir patiesa arī sākotnējam leņķim, kas ir šo summu summa divi cs ar vidāpus ēi no loku summas, uz kurām tie balstās, tas ir, ir vienāda ar pusi no loka, uz kuru tie balstās). 리시. 1.

    2) 직경 nesagrieza leņķi divos leņķos, tad mums ir vēl divi jauni ierakstīti leņķi \(\angle ABD, \angle CBD\) , kuru pusē ir 직경, tāpēc tiem ir patiesa teorēma, tad tas ir taisnība arī sākotnējas ir (\angle CBD\) ar šo divu leņķu starpību, kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar pusi starpības lokiem, uz kuriem tie balstās, tas ir, tas ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas atrodas atpūšas). 리시. 2.


    세카스

    1. Ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viens un tas pats loks, ir vienādi.

    2. Ierakstīts leņķis, kas balstīts uz pusloku, ir taisns leņķis.

    3. Ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa, pamatojoties uz to pašu loku.

    \[(\Large(\text(Tangente aplim)))\]

    정의

    Ir tris veidi 상대 위치 taisna līnija un aplis:

    1) taisne \(a\) krusto apli divos punktos. Šādu līniju sauc par sekantu. Šajā gadījumā attālums \(d\) no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu \(R\) (3. att.).

    2) taisne \(b\) krusto apli vienā punktā. Šāda taisne tiek saukta par tangensu, un to kopīgo punktu \(B\) sauc par pieskares punktu. Šajā gadījumā \(d=R\) (4. att.).


    테오레마

    1. Apļa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.

    2. Ja taisne iet caur riņķa rādiusa galu un ir perpendikulāra šim rādiusam, tad tā ir riņķa līnijas pieskare.

    세카스

    Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi.

    피에라디줌스

    Uzzīmējiet divas pieskares \(KA\) un \(KB\) aplim no punkta \(K\):


    Tātad \(OA\perp KA, OB\perp KB\) kā rādiusi. Taisnstūra trīsstūri \(\trijstūris KAO\) un \(\trijstūris KBO\) ir vienādi kājā un hipotenūzā, tātad \(KA=KB\) .

    세카스

    Apļa centrs \(O\) atrodas uz leņķa \(AKB\) bisektrise, ko veido divas pieskares, kas novilktas no viena punkta \(K\) .

    \[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar leņķiem)))\]

    Teorēma par leņķi starp sekantiem

    Leņķis starp diviem sekantiem, kas novilkti no viena un tā paša punkta, ir vienāds ar to izgriezto lielāko un mazāko loku pakāpju mēru pusi.

    피에라디줌스

    Lai \(M\) ir punkts, no kura tiek novilkti divi sekanti, kā parādīts attēlā:


    Ļaujiet mums to paradīt \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

    \(\angle DAB\) ir trijstūra \(MAD\) ārējais stūris, tad \(\각도 DAB = \각도 DMB + \각도 MDA\), 쿠르 \(\각도 DMB = \각도 DAB - \각도 MDA\), bet leņķi \(\angle DAB\) un \(\angle MDA\) ir ierakstīti, tad \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), kas bija jāpierāda.

    Leņķa teorēma starp krustojošām akordiem

    Leņķis starp divām krustojošām hordām ir vienāds ar pusi no to izgriezto loku grādu mēru summas: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

    피에라디줌스

    \(\각도 BMA = \각도 CMD\) 또는 수직입니다.


    아니요 \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

    내기 \(\각도 AMD = 180^\circ - \각도 CMD\), no kā mēs to secinām \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smaids\over(CD)).\]

    Teorēma par leņķi starp akordu un pieskari

    Leņķis starp pieskares punktu un hordu, kas iet caur pieskares punktu, ir vienāds ar pusi no loka pakāpes, ko atņem horda.

    피에라디줌스

    Ļaujiet līnijai \(a\) pieskarties aplim punktā \(A\) , \(AB\) ir šī apļa horda, \(O\) ir tā centrs. Ļaujiet līnijai, kurā ir \(OB\), krustojas ar \(a\) punktā \(M\) . 에 Pierādīsim \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).


    Apzīmējiet \(\angle OAB = \alpha\) . Tā kā \(OA\) un \(OB\) ir rādiusi, tad \(OA = OB\) un \(\각도 OBA = \각도 OAB = \알파\). 타데자디 \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

    Tā kā \(OA\) ir pieskares punkta rādiuss, tad \(OA\perp a\) , t.i., \(\angle OAM = 90^\circ\) , tāpēc \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

    Teorēma par lokiem, kas savilkti ar vienādām akordām

    Vienlīdzīgi akordi pakļaujas 비엔나디 로키, 마자키 푸슬로키.

    Un otrādi: vienādus lokus sarauj vienādi akordi.

    피에라디줌스

    1) Ļaujiet \(AB=CD\) . Pierādīsim, ka loka mazākie pusloki.


    트림 pusēm tāpēc 없음 \(\angle AOB=\angle COD\) . 내기 kopš \(\각도 AOB, \각도 COD\) - 중앙 집중식, kuru pamatā ir loki \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) attiecigi, tad \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

    2) 자 \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), 따스 \(\trijstūris AOB=\trijstūris COD\) gar divām malām \(AO=BO=CO=DO\) un leņķi starp tām \(\angle AOB=\angle COD\) . 타펙 \(AB=CD\) .

    테오레마

    Ja rādiuss sadala hordu uz pusēm, tad tas ir tai perpendikulārs.

    Ir arī otrādi: ja rādiuss ir perpendikulārs hordai, tad krustošanās punkts to sadala uz pusēm.


    피에라디줌스

    1) Ļaujiet \(AN=NB\) . Pierādīsim, ka \(OQ\perp AB\) .

    Apsveriet \(\trijstūri AOB\) : tas ir vienādsānu, jo \(OA=OB\) – apļa rādiusi. Jo \(ON\) ir mediāna, kas novilkta uz pamatni, tad tā ir arī augstums, tātad \(ON\perp AB\) .

    2) Pieņemsim \(OQ\perp AB\) . Pierādīsim, ka \(AN=NB\) .

    Tāpat \(\trijstūris AOB\) ir vienādsānu, \(ON\) ir augstums, tāpēc \(ON\) ir mediāna. 타펙 \(AN=NB\) .

    \[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar segmentu garumiem)))\]

    Teorēma par akordu segmentu reizinājumu

    Ja krustojas divi riņķa akordi, tad vienas hordas segmentu reizinājums ir vienāds ar otra horda posmu reizinājumu.

    피에라디줌스

    Ļaujiet akordiem \(AB\) un \(CD\) krustoties punktā \(E\) .

    Apsveriet trisstūrus \(ADE\) un \(CBE\) . Šajos trisstūros leņķi \(1\) un \(2\) ir vienādi, jo tie ir ierakstīti un balstās uz vienu un to pašu loku \(BD\) , un leņķi \(3\) un \(4\) ir vienādi 아르 수직. Trijstūri \(ADE\) un \(CBE\) ir līdzīgi (saskaņā ar pirmo trisstūra līdzības kritēriju).

    약간 \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), 쿠리엔 없음 \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

    Pieskares un sekantes 이론

    Pieskares segmenta kvadrāts ir vienāds ar sekanta un tā ārējās daļas reizinājumu.

    피에라디줌스

    Ļaujiet pieskarei iet caur punktu \(M\) un pieskarieties aplim punktā \(A\) . Ļaujiet sekantam iziet caur punktu \(M\) un krustot apli punktos \(B\) un \(C\) tā, lai \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .


    Apsveriet trisstūrus \(MBA\) un \(MCA\) : \(\angle M\) ir vispārīgs, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Saskana ar leņķa teorēmu starp tangensu un sekantu, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Tādējādi trīsstūri \(MBA\) un \(MCA\) ir līdzīgi divos leņķos.

    아니요 trisstūru \(MBA\) un \(MCA\) lidzības mums ir: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), kas ir 등가물 \(MB\cdot MC = MA^2\) .

    세카스

    No punkta \(O\) un tā ārējās daļas novilktā sekanta reizinājums nav atkarīgs no no punkta \(O\) novilktā sekanta izvēles.

    Rakstā sniegts detalizēts definīciju skaidrojums, 시아메트리스카 사주타 atvasinājums ar grafiskiem simboliem. Pieskares līnijas vienādojums tiks apskatīts ar piemēriem, tiks atrasti 2. kārtas līkņu pieskares vienādojumi.

    1. 정의

    Taisnās līnijas y \u003d k x + b slīpuma leņķi sauc par leņķi α, ko mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei y \u003d k x + b pozitīvajā virzienā.

    Attēlā virzienu vērsis norāda ar zaļu bultiņu un zaļu loku, bet slīpuma leņķi ar sarkanu loku. Zilā līnija attiecas uz taisnu līniju.

    2. 정의

    Taisnās līnijas slīpumu y \u003d k x + b sauc par skaitlisko koeficientu k.

    Slīpums ir vienāds ar taisnes slīpumu, citiem vārdiem sakot, k = t g α .

    • Taisnes slīpums ir 0 tikai tad, ja o x ir paralēls un slīpums ir vienāds ar nulli, jo nulles pieskare ir 0. Tātad vienādojuma forma būs y = b.
    • Ja taisnes y = k x + b slīpuma leņķis ir ass, tad nosacījumi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , un grafika ir pieaugums.
    • Ja α \u003d π 2, tad līnijas atrašanās vieta ir perpendikulāra x. Vienādību nosaka vienādība x = c, un vērtība c ir reāls skaitlis.
    • Ja taisnes slīpuma leņķis y = k x + b ir neass, tad tas atbilst nosacījumiem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
    3. 정의

    Sekants ir taisne, kas iet caur 2 funkcijas f (x) punktiem. Citiem vārdiem sakot, sekants ir taisna līnija, kas iet caur jebkuriem diviem diagrammas punktiem. 도타 펑크자.

    Attēlā redzams, ka A B ir nogrieznis, un f (x) ir melna līkne, α ir sarkans loks, kas norāda nogriezņa slīpuma leņķi.

    Kad taisnes slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa Pieskari, ir skaidrs, ka taisnleņķa trijstūra A B C pieskare ir atrodama attiecībā pret blakus esošo kāju.

    4. 정의

    Mēs iegūstam 공식 formas sekanta atrašanai:

    k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kur punktu A un B abscises ir vērtības x A , x B un f (x A) , f (x B) ir vērtību funkcijas šajos punktos.

    Acīmredzot sekanta slīpums tiek noteikts, izmantojot vienādību k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A vai k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, un vienādojums jāraksta šādi: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) vai
    y = f(xA) - f(xB) xA - xB x - xB + f(xB) .

    Sekants vizuāli sadala grafiku 3 daļās: pa kreisi no punkta A, no A līdz B, pa labi no B.

    Pēc definīcijas ir skaidrs, ka līnija un tās sekants šajā gadījumā sakrīt.

    Sekants var krustot noteiktas funkcijas grafiku vairākas reizes. 형식 y \u003d 0인 경우에는 0이 될 수 있습니다.

    5. 정의

    Funkcijas f (x) grafika pieskare punktā x 0 ; f(x 0) sauc par taisni, kas iet caur doto punktu x 0; f (x 0) , ar segmentu, kurā ir daudz x vērtību, kas ir tuvu x 0.

    1. 피어머

    Apskatīsim tuvāk tālāk sniegto piemēru. Tad redzams, ka ar funkciju y = x + 1 dotā taisne tiek uzskatīta par pieskares y = 2 x punktā ar koordinātām (1 ; 2) . Skaidrības labad ir jāņem vērā grafiki ar vērtībām, kas ir tuvu(1; 2). Funkcija y = 2 x ir atzīmēta ar melnu krāsu, zilā līnija ir tangenss, sarkanais punkts ir krustošanās punkts.

    Acīmredzot y \u003d 2 x saplūst ar līniju y \u003d x + 1.

    Lai noteiktu tangensu, jāņem vērā pieskares A B uzvedība, kad punkts B bezgalīgi tuvojas punktam A. Skaidrības labad mēs piedāvājam attēlu.

    Sekants A B, kas norādīts ar zilo līniju, tiecas uz pašas pieskares stāvokli, un sekanta α slīpuma leņķis sāks tuvoties pašas pieskares slīpuma leņķim α x.

    6. 정의

    Funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskare punktā A ir sekanta A B ierobežojošais stāvoklis punktā B, kas tiecas uz A, tas ir, B → A.

    Tagad mēs pievēršamies funkcijas atvasinājuma ģeometriskās nozīmes apsvēršanai punktā.

    Pāriesim pie funkcijas f (x) sekanta A B izskatīšanas, kur A un B ar koordinātām x 0, f (x 0) un x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) un ∆ x tiek apzīmēts kā argumenta pieaugums. ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Skaidribas labad ņemsim attēlu kā piemēru.

    Aplūkosim iegūto taisnleņķa trisstūri A B C. Izmantojam risinājuma pieskares definīciju, tas ir, iegūstam attiecību ∆ y ∆ x = t g α . No pieskares definīcijas izriet, ka lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Saskaņā ar atvasinājuma noteikumu punktā, mums ir tāds, ka atvasinājumu f (x) punktā x 0 sauc par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kur ∆ x → 0, tad apzīmēts kā f (x 0) = lim ∆ x y ∆ x .

    No tā izriet, ka f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x tiek apzīmēts kā pieskares slīpums.

    Tas ir, mēs iegūstam, ka f '(x) var eksistēt punktā x 0 un, kā arī pieskares dotajam funkcijas grafikam saskares punktā, kas vienāds ar x 0 , kur f 0 (x 0) , kur pieskares slīpuma vērtība en punktā atvasinājumu punktā x 0 . Tad mēs iegūstam, ka k x = f "(x 0) .

    Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā ir tāda, ka ir dots jēdziens par grafa pieskares esamību tajā pašā punktā.

    Lai plaknē ierakstītu jebkuras taisnes vienādojumu, ir nepieciešams slīpums ar punktu, caur kuru tā iet. Tā apzīmējums tiek pieņemts kā x 0 krustojumā.

    Funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskares vienādojums punktā x 0, f 0 (x 0) ir formā y \u003d f "(x 0) x-x 0 + f (x) 0) .

    Tas nozīmē, ka atvasinājuma f "(x 0) galīgā vērtība var noteikt pieskares pozīciju, tas ir, vertikāli pie nosacījuma lim x → x 0 + 0 f"(x) = ∞ un lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ vai vispār nav ar nosacījumu lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

    Pieskares atrašanās vieta ir atkarīga no tās slīpuma vērtības k x \u003d f "(x 0). 형식 x \u003d x 0 palielinās ar k x > 0, samazinās kā k x< 0 .

    2. 피어머

    Sastādiet funkcijas y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafika pieskares vienādojumu punktā ar koordinātām (1; 3) ar leņķa definīciju slīpums.

    리시나줌스

    Pieņemot, ka funkcija ir definēta visiem realajiem skaitļiem. Iegūstam, ka punkts ar nosacījuma (1 ; 3) norādītajām koordinātām ir saskares punkts, tad x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

    Ir jāatrod atvasinājums punktā ar vērtību - 1 . 메스 투 사네맘

    y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

    F'(x) vērtība saskares punktā ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar slīpuma pieskari.

    태드 k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 · 3

    No tā izriet, ka α x = arc t g 3 3 = π 6

    표시: pieskares vienādojums iegūst formu

    y \u003d f "(x 0) x-x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1)-3 y \u003d 3 3 x-9-3 3

    Skaidrības labad mēs sniedzam piemēru grafiskā ilustrācijā.

    Sākotnējās funkcijas sižetam izmantota melnā krāsa, 질라 크라사- pieskares attēls, sarkanais punkts - saskares punkts. Attēlā labajā pusē ir parādīts palielināts skats.

    3. 피어머

    Noskaidrojiet dotas funkcijas grafika pieskares esamību
    y = 3 x - 1 5 + 1 punktā ar koordinātām (1 ; 1) . Uzrakstiet vienādojumu un nosakiet slīpuma leņķi.

    리시나줌스

    Pieņemot, ka dotās funkcijas domēns ir visu realo skaitļu kopa.

    Pāriesim pie atvasinājuma atrašanas

    y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

    Ja x 0 = 1, tad f '(x) nav definēts, bet robežas raksta kā lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ un lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , kas nozīmē vertikālās pieskares esamību pie punkts (1 ; 1) .

    표시: vienādojums būs x \u003d 1, kur slīpuma leņķis būs vienāds ar π 2.

    Skaidribas labad izveidosim to grafiku.

    4. 파이머

    y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 펑크투스, kur

    1. Pieskares neeksistē;
    2. Pieskare ir paralēla x;
    3. Pieskare ir paralēla taisnei y = 8 5 x + 4 .

    리시나줌스

    Ir jāpievērš uzmanība definīcijas jomai. Pieņemot, ka funkcija ir definēta visu realo skaitļu kopā. Izvērsiet moduli un atrisinet sistēmu ar intervāliem x ∈ - ∞ ; 2un[-2; +∞) . 메스 투 사네맘

    y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 21 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +무한)

    Funkcija ir jādiference. 국화

    y " = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2115 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12" , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 21 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +무한)

    Ja x = - 2, tad atvasinājums neeksistē, jo vienpusējās robežas tajā brīdī nav vienādas:

    한계 x → - 2 - 0 y "(x) = 한계 x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

    Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x \u003d - 2, kur mēs to iegūstam

    1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, tas ir, pieskare pie punkts ( - 2; - 2) 네파스타베스.
    2. Pieskare ir paralēla x, ja slīpums ir nulle. Tad k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Tas ir, ir jāatrod šāda x vērtības, kad funkcijas atvasinājums to pārvērš par nulli. Tas ir, vērtības f' (x) un būs pieskāriena punkti, kur pieskare ir 병렬 ap x.

    카드 x ∈ - ∞ ; - 2 , tad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, un x ∈ (- 2 ; + ∞) mēs iegūstam 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

    1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +무한

    Mēs aprēķinām atbilstošās funkcijas vērtības

    y 1 = y - 5 = 115 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y(- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

    Līdz ar to - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 tiek uzskatīti par vēlamajiem funkcijas grafika punktiem.

    Apsveriet risinājuma grafisko attēlojumu.

    당신이 좋아하는 것 중 하나는 당신이 좋아하는 것입니다.

    1. Ja līnijas ir paralēlas, slīpumi ir vienādi. Tad jāmeklē funkcijas grafika punkti, kur slīpums būs vienāds ar vērtību 8 5 . Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums ar formu y "(x) = 8 5. Tad, ja x ∈ - ∞; - 2, mēs iegūstam, ka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, un , ja x ∈ ( - 2 ; + ∞) , tad 15 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

    Pirmajam vienādojumam nav sakņu, jo discriminants ir mazāks par nulli. Pierakstisim to

    1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

    Tad citam vienādojumam ir divas reālas saknes

    1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +무한

    Pāriesim pie funkcijas vērtību atrašanas. 메스 투 사네맘

    y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

    Punkti ar vērtībām - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 ir punkti, kur pieskares ir paralēlas taisnei y = 8 5 x + 4 .

    표시: melnā līnija - funkcijas grafiks, sarkanā līnija - grafiks y \u003d 8 5 x + 4, zilā līnija - pieskares punktos - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

    Ir iespējama bezgalīgi daudz tangenšu esamība dotajām funkcijām.

    5. 피어머

    Uzrakstiet visu pieejamo funkcijas y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 pieskares vienādojumus , kas ir perpendikulāri taisnei y = - 2 x + 1 2 .

    리시나줌스

    Lai sastādītu pieskares vienādojumu, ir jāatrod saskares punkta koeficients un koordinātas, pamatojoties uz līniju perpendikularitātes nosacījumu. Definīcija izklausās šādi: taisnēm perpendikulāro slīpumu reizinājums ir vienāds ar -1, tas ir, tas ir uzrakstīts kā k x · k ⊥ = - 1. No nosacījuma iegūstam, ka slīpums ir perpendikulārs taisnei un ta k ir vienāds 2 x ⥥ ir vienāds = - 1k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

    Tagad mums jāatrod pieskāriena punktu koordinātas. Jums jāatrod x, pēc kura tā vērtība noteiktai funkcijai. Ņemiet vērā, ka no atvasinājuma ģeometriskās nozīmes punktā
    x 0 mēs iegūstam, ka k x \u003d y "(x 0) . No šīs vienādības mēs atrodam pieskāriena punktu x vērtības.

    메스 투 사네맘

    y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d-9 2 죄 3 2 x 0-π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔-9 2 죄 3 2 x 0-π 4 \u003d 1 2 ⇒ 죄-3 π 2 4 = - 19

    Šis trigonometriskais vienādojums tiks izmantots, lai aprēķinātu pieskāriena punktu ordinātas.

    3 2 x 0 - π 4 = 아크 사인 - 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π - 아크 사인 - 1 9 + 2 πk

    3 2 x 0 - π 4 = - 아크 사인 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π + 아크 사인 1 9 + 2 πk

    x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk vai x 0 = 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

    Z ir veselu skaitļu kopa.

    Atrasti x saskarsmes punkti. Tagad jums jādodas uz y vērtību meklēšanu:

    y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

    y 0 = 3 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

    y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

    y 0 = 4 5 - 1 3 vai y 0 = - 4 5 + 1 3

    No šejienes mēs iegūstam, ka 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ir Pieskāriena punkti.

    표시: nepieciešamie vienādojumi tiks uzrakstīti kā

    y = 1 2 x - 2 3 π 4 - 아크 사인 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + 아크 사인 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3, k ∈ Z

    Lai iegūtu vizuālu attēlojumu, apsveriet funkciju un pieskari koordinātu taisnē.

    Attēlā redzams, ka funkcijas atrašanās vieta ir uz intervāla [-10; 10] , kur melnā līnija ir funkcijas grafiks, zilās līnijas ir pieskares, kas ir perpendikulāras dotajai formas y = - 2 x + 1 2 taisnei. Sarkanie punkti ir pieskariena punkti.

    2. kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi nav vienas vērtības funkcijas. Pieskares vienādojumi tiem tiek sastādīti pēc labi zināmām shēmām.

    피에스카레스 앱림

    Uzstādīt apli, kura centrs ir punktā x center ; y c n t e r n rādiuss R, tiek izmantota 공식 x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

    So vienlīdzību var uzrakstīt kā divu funkciju savienību:

    y = R 2 - x - x 중심 2 + y 중심 y = - R 2 - x - x 중심 2 + y 중심

    Pirmā funkcija atrodas augšpusē, bet otrā - apakšā, kā paradīts attēlā.

    Sastādīt apļa vienādojumu punktā x 0 ; y 0 , kas atrodas augšējā vai apakšējā puslokā, jums jāatrod funkcijas grafika vienādojums formā y \u003d R 2 - x - x 중심 2 + y 중심 vai y \u003d - R 2 - x - ī t ar t y c e

    Kad punktos x cent e n e r ; y 중심 + 실행 x 중심 ; y c e n t e r - R pieskares var iegūt ar vienādojumiem y = y cent e r + Run y ​​= y cent e r - R , un punktos x cent e r + R ; y 센터 런
    x 중심 - R ; y cente r būs paralēla ap y, tad iegūsim vienādojumus formā x = x cent e r + R un x = x cent e r - R .

    피에스카레스 엘립세이

    Kad elipse ir centrēta x center ; y c n ter ar pusasīm a un b , tad to var dot, izmantojot vienādojumu x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n ter r 2 b 2 = 1 .

    Elipsi un apli var apzīmēt, apvienojot divas funkcijas, proti, augšējo un apakšējo puselipsi. Tad mes to saņemam

    y = b a a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심 = - b a a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심

    Ja pieskares atrodas elipses virsotnēs, tad tās ir paralēlas ap x vai ap y. Skaidrības labad apsveriet tālāk redzamo attēlu.

    6. 피어머

    Uzrakstiet elipses pieskares vienādojumu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktos ar x vērtībām, kas vienādas ar x = 2 .

    리시나줌스

    Jāatrod pieskāriena punkti, kas atbilst vērtībai x = 2. Mēs aizvietojam esošo elipses vienādojumu un iegūstam to

    x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

    태드 2; 5 3 2 + 5 un 2 ; - 5 3 2 + 5 ir pieskares punkti, kas pieder augšējai un apakšējai puselipsei.

    Pāriesim uz elipses vienādojuma atrašanu un atrisināšanu attiecībā pret y. 메스 투 사네맘

    x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1g - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4g - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4g = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

    Ir skaidrs, ka augšējā puselipse tiek norādīta, izmantojot funkciju y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , bet apakšējā y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

    Mēs izmantojam standarta algoritmu, lai 공식 funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā. Mēs rakstām, ka vienādojums pirmajai tangensei punktā 2 ; 5 3 2 + 5 이즈스카티시

    y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

    Mēs iegūstam, ka otrās pieskares vienādojums ar vērtību punktā
    2; - 5 3 2 + 5 키스트

    y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

    Grafiski pieskares apzīmē šādi:

    피에스카레스 히페르볼라이

    Kad hiperbolas centrs atrodas punktā x center ; y 중심 un virsotnes x 중심 + α ; y 중심 x 중심 - α ; y 중심 , nevienādība x - x 중심 2 α 2 - y -y 중심 2 b 2 = 1 ir dota , ja ar virsotnēm x 중심 ; y 중심 + b un x 중심 ; y c n t e r -b pēc tam tiek dota ar nevienādību x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

    Hiperbolu var attēlot kā divas apvienotas formas funkcijas

    y = ba (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y 중심

    Pirmajā gadījumā pieskares ir paralēlas y, bet otrajā tās ir paralēlas x.

    No tā izriet, ka, lai atrastu hiperbolas pieskares vienādojumu, ir jānoskaidro, kurai funkcijai pieder pieskares punkts. Lai to noteiktu, vienādojumos ir jāveic aizstāšana un jāpārbauda to identitāte.

    7. 피에머

    Uzrakstiet 7. punktā hiperbolas pieskares vienādojumu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1; - 3 3 - 3 .

    리시나줌스

    Ir nepieciešams pārveidot hiperbolas atrašanas risinājuma ierakstu, izmantojot 2 funkcijas. 메스 투 사네맘

    x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2-4 vai y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

    Ir nepieciešams noteikt, kura funkcija pieder 도트 펑크 ar koordinātām 7 ; - 3 3 - 3 .

    Acīmredzot, lai pārbaudītu pirmo funkciju, ir nepieciešams y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tad punkts nepieder grafikam, jo ​​vienlīdzība nav apmierināta.

    Otrajai funkcijai ir, ka y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , kas nozīmē, ka punkts pieder dotajam grafikam. No šejienes jums vajadzetu atrast slīpuma koeficientu.

    메스 투 사네맘

    y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

    표시: pieskares vienādojumu var attēlot kā

    y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

    Tas tiek vizualizets šādi:

    피에스카레스 포물선

    Lai sastādītu 포물선 y \u003d a x 2 + b x + c pieskares vienādojumu punktā x 0, y (x 0), jāizmanto standarta 알고리즘, tad vienādojums būs y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) Šāda pieskare virsotnē ir paralēla x.

    포물선 x = a y 2 + b y + c jādefine kā divu funkciju savienība. Tāpēc mums ir jāatrisina y vienādojums. 메스 투 사네맘

    x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a(c - x) y = - b + b 2 - 4 a(c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4a (c - x) 2a

    Grafikosim to šādi:

    Lai noskaidrotu, vai punkts x 0 , y (x 0) pieder funkcijai, uzmanīgi izpildiet standarta algoritmu. Šāda tangensa būs paralēla y attiecībā pret parabolu.

    8. 피어머

    Uzrakstiet diagrammas pieskares vienādojumu x - 2 y 2 - 5 y + 3, ja mums ir pieskares slīpums 150 °.

    리시나줌스

    Mēs sākam risinājumu, attēlojot parabolu kā divas funkcijas. 메스 투 사네맘

    2g 2-5g + 3-x = 0 D = (-5) 2-4 (-2) (3-x) = 49-8 x y = 5 + 49-8 x-4 y = 5-49 8x -4

    Slīpuma vērtība ir vienāda ar atvasinājuma vērtību šīs funkcijas punktā x 0 un ir vienāda ar slīpuma tangensu.

    메스 이에구스탐:

    k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d-1 3

    No šejienes mēs nosakām x vērtību pieskāriena punktiem.

    Pirmā funkcija tiks uzrakstīta kā

    y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

    Acīmredzot īstu sakņu nav, jo mes ieguvām negatīvu vērtību. 150도 각도로 탐색할 수 있습니다.

    Otrā funkcija tiks uzrakstīta kā

    y"= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

    Mums ir, ka Pieskāriena punkti - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

    표시: pieskares vienādojums iegūst formu

    y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

    Grafikosim to šādi:

    Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter