Rakstā sniegts detalizēts definīciju skaidrojums, ģeometriskā nozīme atvasinājums ar grafiskiem simboliem. Tiks aplūkots pieskares taisnes vienādojums ar Piemēriem, atrasti 2. kārtas līkņu pieskares vienādojumi.

1. 정의

Taisnes y = k x + b slīpuma leņķi sauc par leņķi α, ko mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei y = k x + b pozitīvajā virzienā.

Attēlā virziens o x ir norādīts ar zaļu bultiņu un zaļas loka formā, bet slīpuma leņķis ar sarkanu loku. Zilā līnija attiecas uz taisnu līniju.

2. 정의

Taisnes y = k x + b slīpumu sauc par skaitlisko koeficientu k.

Slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma tangensu, citiem vārdiem sakot, k = t g α.

• Taisnes slīpuma leņķis ir 0 tikai tad, ja tā ir paralēla x un slīpums ir vienāds ar nulli, jo nulles pieskare ir 0. Tādējādi vienādojuma forma būs y = b.
• Ja taisnes y = k x + b slīpums ir akūts, tad nosacījumi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, un grafikā ir piaugums.
• Ja α = π 2, tad taisnes atrašanās vieta ir perpendikulāra x. Vienādību nosaka, izmantojot vienādību x = c, kur c ir reāls skaitlis.
• Ja taisnes slīpuma leņķis y = k x + b ir neas, tad tas atbilst nosacījumiem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

3. 정의

Sekantu sauc par taisni, kas iet caur 2 funkcijas f(x) punktiem. Citiem vārdiem sakot, sekants ir taisna līnija, kas Tiek novilkta caur jebkuriem diviem Diagrammas punktiem. 도타 펑크자.

Attēlā redzams, ka A B ir nogrieznis, un f (x) ir melna līkne, α ir sarkans loks, kas nozīmē nogriezņa slīpuma leņķi.

Kad taisnes slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa pieskari, redzams, ka taisnleņķa trijstūra ABC Tangensu var atrast attiecībā pretējo kāju blakus esošajam.

4. 정의

Mēs iegūstam formulu formas sekanta atrašanai:

k = iedegums α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A, kur punktu A un B 가로축 ir vērtības x A, x B un f (x A), f (x) B) ir vērtību funkcijas šajos punktos.

Acīmredzot sekanta slīpumu nosaka, izmantojot vienādību k = f (x B) - f (x A) x B - x A vai k = f (x A) - f (x B) x A - x B, un vienādojums jāraksta šādi: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) vai
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekants sadala grafiku vizuāli 3 daļās : pa kreisi no punkta a, no a līdz b, pa labi no b. zemāk redzamajā attēlā redzams, ka ir trīs sekanti, kas tiek uzskatīti par sakritošiem, tas ir it ir it ir ititati vitati hi vitati it ir ititati it hi vitath ir it ir it ir itoutat. 도주.

Skaidrs에 대해 정의한 내용은 다음과 같습니다.

Sekants var krustot noteiktas funkcijas grafiku vairākas reizes. 실제로는 vienādojums ar formu y = 0, tad krustošanās punktu skaits ar sinusoīdu ir bezgalīgs입니다.

5. 정의

Funkcijas f(x) grafika pieskare punktā x 0; f (x 0) sauc par taisni, kas iet cauri 부동산 펑크 x0; f (x 0), ar 세그먼트u, kura x vērtību kopa ir tuvu x 0.

1. 피머

Apskatīsim tuvāk tālāk sniegto Piemēru. Tad var redzēt, ka ar funkciju y = x + 1 definētā taisne Tiek uzskatīta par pieskares y = 2 x punktā ar koordinātām (1; 2). Skaidrības labad ir jāņem vērā grafiki ar vērtībām, kas ir tuvu (1; 2). Funkcija y = 2 x ir parādīta melnā krāsā, zilā līnija ir pieskares līnija un sarkanais punkts ir krustošanās punkts.

Acīmredzot y = 2 x saplūst ar līniju y = x + 1.

Lai noteiktu tangensu, jāņem vērā pieskares AB uzvedība ar bezgalīgu punkta B tuvošanos punktam A. Skaidrības labad mēspiedāvājam attēlu.

Sekants AB, kas apzīmēts ar zilo līniju, Tiecas uz pašas pieskares stāvokli, un sekanta slīpuma leņķis α sāks sliecēties uz pašas pieskares slīpuma leņķi α x.

6. 정의

Funkcijas y = f (x) grafika pieskare punktā Air ierobežojošā 포즈 sekants A B 파이 B Tiecas uz A, tas ir, B → A.

Tagad mēs pivēršamies funkcijas atvasinājuma ģeometriskās nozīmes apsvēršanai punktā.

Pievērsīsimies funkcijas f (x) sekanta А В izskatīšanai, kur А un В ar koordinātām x 0, f (x 0) un x 0 + Δ x, f (x 0 + Δ x), un Δ x Tiek apzīmēts kā Argumenta Pieaugums. .. Tagad funkcija iegūst formu Δ y = Δ f (x) = f (x 0 + Δ x) - f (Δ x). Skaidrības labad sniegsim attēla Piemēru.

Aplūkosim iegūto taisnleņķa trīsstūri A B C. Izmantojam risinājuma pieskares definīciju, tas ir, iegūstam attiecību Δ y Δ x = t g α. izriet에 대한 정의는 없습니다. ka lim Δ x → 0 Δ y Δ x = t g α x. Saskaņā ar atvasinājuma noteikumu punktā, mēs iegūstam, ka atvasinājumu f (x) punktā x 0 sauc par funkcijas Pieauguma un Argumenta Pieauguma attiecības robežu, kur Δ x → 0, tad mēs apzīmējam kā f (x 0) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x ...

아니요, tā izriet, ka f "(x 0) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = t g α x = k x, kur k x Tiek apzīmēts kā pieskares slīpums.

tas ir, mēs iegūstam, ka f '(x) var pastāvēt punktā x 0 un, tāpat kā funkcijas dotā grafika pieskare pieskares punktā, kas vienāds ar x 0 (x 0), f 0 (x 0), kur vērtī pieskares slīpums punktā ir vienāds ar vienāds artvahdahta it punktā x 0. Tad mēs iegūstam, ka k x = f "(x 0).

Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā ir tāda, ka ir dots jēdziens par grafa pieskares esamību tajā pašā punktā.

Lai uzrakstītu jebkuras taisnas līnijas vienādojumu plaknē, ir jābūt slīpumam ar punktu, caur kuru tas iet. Tā apzīmējums Tiek Pieņemts kā x 0 krustojumā.

Funkcijas y = f (x) grafika pieskares vienādojums punktā x 0, f 0 (x 0) ir formā y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Tas nozīmē, ka atvasinājuma f galīgā vērtība "(x 0) var noteikt pieskares pozīciju, tas ir, vertikāli, ja lim x → x 0 + 0 f" (x) = π un lim x → x 0 - 0 f "(x ) = IGHT vai vispār nav nodrošināts lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Pieskares atrašanās vieta ir atkarīga no tās slīpuma vērtības kx = f "(x 0). Kad tā ir paralēla ox asij, mēs iegūstam, ka kk = 0, kad paralēli oy - kx = , un vienādojuma forma pieskares x = x 0 palie 리나스 파이 kx> 0, 사마지나스 파이 kx< 0 .

2. 피머

Sastādiet funkcijas y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafika pieskares vienādojumu punktā ar koordinātām (1; 3) ar leņķa noteikšanu. 슬리품.

리시나줌스

Saskaņā ar hipotēzi mums ir, ka funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem. Iegūstam, ka punkts ar nosacījuma (1; 3) dotajām koordinātām ir pieskares punkts, tad x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Ir jāatrod atvasinājums punktā ar vērtību - 1. Mēs to sapratām

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vērtība f '(x) pieskares punktā ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar slīpuma tangensu.

Tad k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

아니 tā izriet, ka α x = a r c t g 3 3 = π 6

설명: pieskares vienādojums iegūst formu

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Skaidrības labad mēs sniegsim Piemēru grafiskā ilustrācijā.

Melnā krāsa Tiek izmantota sākotnējās funkcijas grafikam, 질라 크라사- pieskares attēls, sarkanais punkts - pieskares punkts. Attēlā labajā pusē ir parādīts palielināts skats.

3. 피머

Noskaidrojiet dotās funkcijas grafika pieskares esamību
y = 3 x - 1 5 + 1 punktā ar koordinātām (1; 1). Izveidojiet vienādojumu un nosakiet slīpuma leņķi.

리시나줌스

Saskaņā ar hipotēzi mums ir tāds, ka dotās funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa.

Pāriesim 파이 atvasinājuma atrašanas

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ja x 0 = 1, tad f '(x) nav 정의, bet robežas raksta kā lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + limit un lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + , kas nozīmē vertikālās pieskares esamību Pie punkts (1 ; 1).

설명: vienādojums būs x = 1, kur slīpuma leņķis būs vienāds ar π 2.

Skaidrības labad mēs to attēlosim grafiski.

4. 피머

Atrodiet funkcijas y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafikā punktus, kur

1. Pieskares neeksistē;
2. Pieskares līnija ir paralēla x;
3. Pieskare ir paralēla taisnei y = 8 5 x + 4.

리시나줌스

Ir jāpievērš uzmanība definīcijas jomai. Saskaņā ar hipotēzi mums ir, ka funkcija ir definēta visu reālo skaitļu kopā. Izvērst moduli un atrisināt sistēmu ar intervāliem x ∈ - ; 2 유엔 [- 2; + ). 메스에서 사프라탐까지

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + )

Irre nepieciešams diferencēt funkciju. 엄마는 아빠야

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + )

Ja x = - 2, tad atvasinājums neeksistē, jo vienpusējās robežas šajā punktā nav vienādas:

림 x → - 2 - 0 y "(x) = 림 x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 림 x → - 2 + 0 y "(x) = 림 x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x = - 2, kur mēs to iegūstam

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tas ir, pieskare punktā ( - 2; - 2) 네파스타베스.
2. Pieskare ir paralēla x, kad slīpums ir nulle. Tad kx = tan α x = f "(x 0). Tas ir, ir jāatrod šāda x vērtības, kad funkcijas atvasinājums to pārvērš uz nulli. Tas ir, f vērtības. (x) būs pieskares punkti, kur pieskare ir paralēla x. ..

카드 x ∈ - ; - 2, 조금 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, un x ∈ (- 2; + ) mēs iegūstam 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + Infini

Aprēķiniet atbilstošās funkcijas vērtības

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( - 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Līdz ar to - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 Tiek uzskatīti par nepieciešamajiem funkcijas grafika punktiem.

Apsveriet risinājuma grafisko attēlojumu.

Melnā līnija ir funkcijas grafiks, sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

1. Ja līnijas ir paralēlas, slīpumi ir vienādi. Pēc tam funkcijas grafikā jāmeklē punkti, kur slīpums būs vienāds ar vērtību 8 5. Lai to izdarītu, mums jāatrisina vienādojums ar formu y "(x) = 8 5. Tad, ja x ∈ - ; - 2, mē s iegūstam, ka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, un, ja x ∈ ( - 2; + ), tad 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pirmajam vienādojumam nav sakņu, jo criminants ir mazāks par nulli. Pierakstīsim ~에

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Tad citam vienādojumam ir divas reālas saknes

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + Infini

Pāriesim 파이 funkcijas vērtību atrašanas. 메스에서 사프라탐까지

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkti ar vērtībām - 1; 4 15.5; 8 3 ir punkti, kuros pieskares ir paralēlas taisnei y = 8 5 x + 4.

설명: melnā līnija - funkcijas 그래픽, sarkanā līnija - 그래픽 y = 8 5 x + 4, zilā līnija - pieskares punktos - 1; 4 15.5; 8 3.

Dotajām funkcijām var būt bezgalīgi daudz tangenšu.

5. 피머

Uzrakstiet visu Pieejamo pieskares funkciju y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 vienādojumus, kas atrodas perpendikulāri taisnei y = - 2 x + 1 2.

리시나줌스

Lai sastādītu pieskares vienādojumu, ir jāatrod pieskares punkta koeficients un koordinātas, pamatojoties uz taisnu līniju perpendikularitātes nosacījumu. 정의: slīpuma koeficientu reizinājums, kas ir perpendikulārs taisnēm, ir vienāds ar - 1, tas ir, to raksta kā k x k ⊥ = - 1. No nosacījuma iegūstam, ka slīpums ir perpendikul ārs taisnei un ir vienāds 방주 ⊥ = - 2 , tad k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Tagad jums jāatrod pieskares punktu koordinātas. Jums jāatrod x, pēc kura tā vērtība noteiktai funkcijai. Ņemiet vērā, ka no atvasinājuma ģeometriskās nozīmes punktā
x 0 mēs iegūstam, ka k x = y "(x 0). No šīs vienādības mēs atrodam x vērtības pieskares punktiem.

메스에서 사프라탐까지

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 죄 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 죄 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ 죄 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Šis trigonometriskais vienādojums tiks izmantots, lai aprēķinātu pieskāriena punktu ordinātas.

3 2 x 0 - π 4 = 아크 사인 - 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π - 아크 사인 - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - 아크 사인 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π + 아크 사인 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - 아크 사인 1 9 + 2 πk vai x 0 = 2 3 5 π 4 + 아크 사인 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z ir veselu skaitļu kopa.

Atrasti x pieskares punkti. Tagad jums jādodas uz y vērtību meklēšanu:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 vai y 0 = - 4 5 + 1 3

Tādējādi iegūstam, ka 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + 아크사인 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ir pieskāriena punkti.

설명: nepieciešamie vienādojumi tiks uzrakstīti kā

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - 로카 죄 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + 로카 죄 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizuālam attēlojumam apsveriet funkciju un pieskari koordinātu taisnē.

Attēlā redzams, ka funkcijas atrašanās vieta ir intervālā [- 10; 10]. Sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

2. kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi nav vienas vērtības funkcijas. Tiem pieskares vienādojumi Tiek sastādīti pēc labi zināmām shēmām.

Apļa 탄젠트

Noteikt apli, kura centrs ir punktā x center; y center r un rādiuss R tiek peemērota 공식 x - x c e n t e r 2 + y - y center 2 = R 2.

Šo vienlīdzību var uzrakstīt kā divu funkciju savienību:

y = R 2 - x - x 중심 2 + y 중심 y = - R 2 - x - x 중심 2 + y 중심

Pirmā funkcija atrodas augšpusē, bet otrā - apakšā, kā parādīts attēlā.

Sastādīt apļa vienādojumu punktā x 0; y 0, kas atrodas augšējā vai apakšējā puslokā, jāatrod 형식 y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter vai y = - R 2 - x - xcenter 2 + funkcijas grafika vienādojums. ycentrā norādītajā punktā.

Kad punktos x center; y center + R un x center; y center - R pieskares var iegūt ar vienādojumiem y = y center + R un y = y center - R, un punktos x center + R; Y 센터 유엔
x 중심 - R; y center būs paralēla ap y, tad iegūstam vienādojumus formā x = x c e n t e r + R un x = x c e n t e r - R.

타원 탄젠트

Kad elipsei ir centers punktā x center; y center ar pusasīm a un b, tad to var norādīt, izmantojot vienādojumu x - x center 2 a 2 + y - y center 2 b 2 = 1.

응용 프로그램에 따라 응용 프로그램을 선택하고, 응용 프로그램을 실행하고, 응용 프로그램을 실행하세요. Tad mēs to saņemam

y = b a a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심 y = - b a a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심

Ja pieskares atrodas elipses virsotnēs, tad tās ir paralēlas ap x vai ap y. Tālāk skaidrības labad apsveriet attēlu.

6. 피머

Uzrakstiet는 pieskares vienādojumu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktos ar x vērtībām, kas vienādas ar x = 2를 생략합니다.

리시나줌스

Ir jāatrod saskares punkti, kas atbilst vērtībai x = 2. Mēs aizvietojam esošo elipses vienādojumu un iegūstam to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

태드 2; 5 3 2 + 5 유엔 2; - 5 3 2 + 5 ir pieskares punkti, kas Pieder augšējai un apakšējai puselipsei.

Pievērsīsimies는 vienādojuma atrašanai un atrisināšanai attiecībā pret y를 생략합니다. 메스에서 사프라탐까지

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 g - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 g - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 g = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Acīmredzot augšējā puselipse Tiek norādīta, izmantojot funkciju y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, bet apakšējā - y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Pielietosimstandarta algoritmu, lai kādā punktā izveidotu funkcijas grafika pieskares vienādojumu. Mēs pierakstām, ka vienādojums pirmajai tangentei 2. punktā; 5 3 2 + 5 버스 베이들라파

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Mēs iegūstam, ka otrās pieskares vienādojums ar vērtību punktā
2; - 5 3 2 + 5 즉 형식

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiski pieskares apzīmē šādi:

피에스카레스 히페르볼라이

Kad hiperbolai ir centers punktā x center; y center un virsotnes x center + α; y center un x center - α; y center, nevienādība ir norādīta x - x center 2 α 2 - y - y center 2 b 2 = 1, ja ar virsotnēm x center; y 센터 + b un x 센터; y center - b, tad Tiek dota ar nevienādību x - x center 2 α 2 - y - y center 2 b 2 = - 1.

Hiperbolu var attēlot kā divas apvienotas formas funkcijas

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentrs = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentrs vai y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentrs = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycentrs

Pirmajā gadījumā pieskares ir paralēlas y, bet otrajā - paralēlas x.

No tā izriet, ka, lai atrastu hiperbolas pieskares vienādojumu, ir jānoskaidro, kurai funkcijai Pieder pieskares punkts. Lai to noteiktu, vienādojumos ir jāveic aizstāšana un jāpārbauda to identitāte.

7. 피머

Uzrakstiet 7. punktā hiperbolas pieskares vienādojumu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1; - 3 3 - 3.

리시나줌스

Ir nepieciešams pārveidot hiperbolas atrašanas risinājuma ierakstu, izmantojot 2 funkcijas. 메스에서 사프라탐까지

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 un l un y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ir nepieciešams noteikt, kura funkcija Pieder 도트 펑크 ar koordinātām 7; - 3 3 - 3.

Acīmredzot, lai pārbaudītu pirmo funkciju, jums ir nepieciešams y (7) = 3 2

Otrajai funkcijai ir, ka y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kas nozīmē, ka punkts Pieder dotajam grafikam . šejienes ir jāatrod slīpum은 없습니다.

메스에서 사프라탐까지

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

설명: pieskares vienādojumu var attēlot kā

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Tas ir skaidri attēlots šādi:

포물선 접선

Lai sastādītu parabolas y = ax 2 + bx + c pieskares vienādojumu punktā x 0, y (x 0), jāizmanto 표준 알고리즘, tad vienādojums būs y = y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0).Tāda pieskare virsotnē ir paralēla x.

포물선 x = a y 2 + b y + c jānorāda kā divu funkciju savienība. Tāpēc ir jāatrisina y vienādojums. 메스에서 사프라탐까지

x = ay 2 + ar + c ⇔ ay 2 + ar + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiski attēlosim šādi:

Lai noskaidrotu, vai punkts x 0, y (x 0) Pieder funkcijai, ir saudzīgi rīkoties pēcstandarta algoritma. Šāda tangensa attiecībā pret parabolu būs paralēla aptuveni y.

8. 피머

Uzrakstiet grafika pieskares vienādojumu x - 2 y 2 - 5 y + 3, ja mums ir pieskares slīpuma leņķis 150 °.

리시나줌스

Mēs sākam risinājumu, attēlojot parabolu kā divas funkcijas. 메스에서 사프라탐까지

2g 2–5 g + 3–x = 0 D = (-5) 2–4 (-2) (3–x) = 49–8 xy = 5 + 49–8 x–4 y = 5–49 - 8x-4

Slīpuma vērtība ir vienāda ar atvasinājuma vērtību šīs funkcijas punktā x 0 un ir vienāda ar slīpuma tangensu.

예를 들어:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

아니 šejienes mēs nosakām x vērtību pieskares punktiem.

Pirmā funkcija tiks uzrakstīta kā

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Acīmredzot īstu sakņu nav, jo tām ir negatīva vērtība. Mēs secinām, ka šādai funkcijai nav pieskares ar 150 ° leņķi.

Otrā funkcija tiks uzrakstīta kā

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

엄마는 ir, ka saskares punkti ir 23 4; - 5 + 3 4.

설명: pieskares vienādojums iegūst formu

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiski attēlosim에서 šādi로:

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Taisnā līnija attiecībā pret apli var 그러나 šādās trīs pozīcijās:

1. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu.Šajā gadījumā visi taisnes punkti atrodas ārpus apļa.


2. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu.Šajā gadījumā līnijai ir punkti, kas atrodas apļa iekšpusē, un, tā kā līnija ir bezgalīga abos virzienos, tā krustojas ar apli 2 punktos.


3. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu. Taisna līnija - tangenss.

Taisna līnija ar tikai vienu apli 코피그 펑크츠티크 소크츠 피스카레 uz 적용됩니다.

Šajā gadījumā Tiek saukts kopējais punkts Pieskāriena punkts.

Pieskares Pastāvēšanas iespējamību, turklāt izvilktu caur jebkuru riņķa punktu, kā pieskares punktu pierāda šāda teorēma.

테오레마. Ja taisne ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz apļa, tad šī taisne ir pieskares.

Lai O (att.) ir kāda apļa centers un OA ir kāds no tā rādiusa. Zīmējiet MN ^ OA caur tā gala punktu A.

Ir jāpierāda, ka līnija MN ir pieskares, tas ir, ka šai taisnei ir tikai viens kopīgs punkts A ar apli.

Pieņemsim pretējo: lai MN ir vēl viens kopīgs punkts ar apli, Piemēram, B.

Tad līnija OB būtu rādiuss un līdz ar to vienāda ar OA.

Bet tā nevar but, jo, ja OA ir perpendikuls, tad OB ir jābūt slīpam pret MN, un slīpumam jābūt lielākam par perpendikulu.

Apgrieztā teorēma. Ja līnija ir pieskares riņķim, tad pieskares punktam novilktais rādiuss ir tai perpendikulārs.

Lai MN ir apļa pieskares līnija, A ir pieskares punkts un O ir šī riņķa centers.

Ir jāpierāda, ka OA ^ MN.

Pieņemsim pretējo, t.i. Pieņemsim, ka no O uz MN nomestais perpendikuls nav OA, bet kāda cita taisne, Piemēram, OB.

Ņem BC = AB un uzzīmē OC.

Tad OA un OS būs slīpi, vienādā attālumā no perpendikulāra OB, un tāpēc OS = OA.

No tā izriet, ka aplim, ņemot vērā mūsu Pieņēmumu, ar taisni MN būs divi kopīgi punkti: A un C, t.i. MN nebūs tangenss, bet gan sekants, kas ir pretrunā ar nosacījumu.

세카스. Caur jebkuru doto riņķa punktu jus varat uzzīmēt pieskari šim aplim un turklāt tikai vienu, jo caur šo punktu jūs varat uzzīmēt perpendikulu un turklāt tikai vienu tajā ievilktajam rādiusam.

테오레마. Pieskare, kas ir paralēla hordai, pieskares punktā sadala uz pusēm loku, ko horda sarauj.

Ļaujiet taisnei AB (att.) Pieskarieties aplim punktā M un ir paralēli horda CD.

Ir jāpierāda, ka ÈCM = ÈMD.

Izvelkot diametru ME caur pieskares punktu, mēs iegūstam: EM ^ AB un līdz ar to EM ^ CB.

Tāpēc CM = MD.

Uzdevums. Caur šo punktu uzzīmējiet šī apļa pieskari.

Ja šis punkts atrodas uz apļa, tad caur to Tiek novilkts rādiuss un caur rādiusa galu - perpendikulāra taisna līnija. Šī līnija būs vajadzīgā tangensa.

Apsveriet gadījumu, kad punkts ir dots ārpus apļa.

Pieņemsim, ka ir nepieciešams (att.), lai caur punktu A uzzīmētu pieskari aplim ar centru O.

Lai to izdarītu, no punkta A, tāpat kā no centra, mēs aprakstām loku ar rādiusu AO, un no punkta O kā centru mēs krustojam šo loku punktos B un C ar kompasa atveri, kas vienāda ar šī punkta diametru. aplis.

OS에 OB가 있으면, D와 E에 저장해야 하며, 앱을 실행하는 것이 좋습니다.

Līnijas AD un AE ir pieskares līnijas riņķošanai O.

Patiešām, konstrukcijas var redzēt, ka sliedes AOB un AOC ir vienādsānu (AO = AB = AC) ar bāzēm OB un OC, kas vienādas ar apļa O diametru.

Tā kā OD un OE ir rādiusi, D ir OB vidus un E ir OS vidusdaļa, kas nozīmē, ka AD un AE ir mediānas, kas novilktas uz vienādsānu sliežu ceļiem, un tāpēc ir perpendikulāras šīm bāzēm. Ja taisnes DA un EA ir perpendikulāras rādiusiem OD un OE, tad tās ir pieskares.

세카스. Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar līniju, kas savieno šo punktu ar centru.

Tātad AD = AE un ÐOAD = ÐOAE (att.), Jo taisnstūra는 AOD un AOE, kurām ir kopīga hipotenūza AO un vienādas kājas OD un OE (kā rādiusi), ir vienādas를 추적합니다.

Ņemiet vērā, ka šeit vārds “tangence” nozīmē faktisko “pieskares 세그먼트” no šī punkta līdz pieskares punktam.

Uzdevums. Uzzīmējiet pieskares līniju dotajam riņķim O paralēli noteiktai taisnei AB (att.).

Nometiet perpendikulu OS uz AB no centra O un caur punktu D, kurā šis perpendikuls krustojas ar apli, uzzīmējiet EF || AB.

Meklējamā tangensa ir EF.

Patiešām, kopš OS ^ AB un EF || AB, tad EF ^ OD, un līnija, kas ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz riņķa līnijas, ir pieskares.

Uzdevums. Uzzīmējiet kopīgu pieskares diviem apļiem O un O 1 (Zīm.).

분석하다... Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta.

Ļaujiet AB ir kopējā pieskares līnija, A un B ir pieskares punkti.

Acīmredzot, ja mēs atrodam vienu no šiem punktiem, Piemēram, A, tad mēs varam viegli atrast citu.

Nozīmēsim rādiusus OA un O 1 B. Šie rādiusi, būdami perpendikulāri kopējai pieskarei, ir paralēli viens otram.

Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 C || BA, 약간 tr-to OSO 1 버스 taisnstūrveida C augšpusē.

Rezultātā, ja mēs aprakstam apli no O, kā centru, ar rādiusu OS, tad tas pieskarsies taisnei O 1 C punktā S.

Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA - CA = OA - O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar šo apļu rādiusu starpību.

Būvniecība. No centra O mēs aprakstam apli, kura rādiuss ir vienāds ar starpību starp šiem rādiusiem.

No O 1 šim aplim Novelkam pieskares līniju O 1 C (iepriekšējā uzdevumā norādītajā veidā).

Novelciet rādiusu OC caur saskares punktu C un turpiniet to, līdz tas saskaras ar doto apli punktā A. Visbeidzot no A uzzīmējiet AB paralēli CO 1.

Tieši tādā pašā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu kopīgu pieskares līniju A 1 B 1 (Zīm.). Tiek izsauktas līnijas AB un A 1 B 1 아레자 kopējās pieskares.

Jūs joprojām varat iztērēt divus iekšējais pieskares šādi:

분석하다. Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta (att.). Lai AB ir vajadzīgā pieskares līnija.

Pieskares punktiem A un B 소설 kam rādiusus OA un O 1 B. Tā kā šie rādiusi abi ir perpendikulāri kopējai pieskarei, Tie ir paralēli viens otram.

Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 C || BA un turpiniet OA līdz punktam C, tad OS būs perpendikulāri O 1 S.

Rezultātā aplis, kas aprakstīts ar rādiusu OS no punkta O, kā centrs, pieskarsies taisnei O 1 With punktā S.

Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA + AC = OA + O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar doto apļu rādiusu summu.

Būvniecība. No O kā centra mēs aprakstām apli, kura rādiuss ir vienāds ar šo rādiusu summu.

No O 1 šim aplim Novelkam pieskares līniju O 1 S.

Savienojiet pieskāriena punktu C ar O.

Visbeidzot, caur punktu A, kurā OS krustojas ar šo apli, uzzīmējiet AB = O 1 C.

Līdzīgā veidā mēs varam izveidot citu iekšējo pieskares līniju A 1 B 1.

Pieskares vispārīgā 정의

Pieskares AT un kādu sekantu AM 소설 uz apli ar centru (att.) Caur punktu A.

Mēs sāksim griezt šo sekantu ap punktu A, lai otrs krustojuma punkts B virzītos tuvāk un tuvāk A.

Tad perpendikulārais OD, kas nolaists no centra uz sekantu, arvien vairāk tuvosies radiusam OA, un leņķis AOD var kļut mazāks par jebkuru mazu leņķi.

Leņķis MAT, ko veido sekanta un pieskares līnija, ir vienāds ar leņķi AOD (tomalu perpendikulitātes dēļ).

Tāpēc, neierobežoti tuvojoties punktam B līdz A, arī leņķis MAT var kļūt patvaļīgi mazs.

Tas ir izteikts citos vārdos šādi:

pieskares ir robežpozīcija, uz kuru Tiecas sekants, kas novilkts caur pieskares punktu, kad otrais krustošanās punkts neierobežoti tuvojas pieskares punktam.

Šī īpašība Tiek uzskatīta par pieskares definīciju, kad runa ir par jebkuru līkni.

Tādējādi līknes AB pieskares (att.) Ir robežstāvoklis MT, uz kuru Tiecas sekants MN, kad P krustošanās punkts neierobežoti tuvojas M.

Ņemiet vērā, ka šādā veidā definētajai pieskarei var 그러나 vairāk nekā viens kopīgs punkts ar līkni (kā redzams attēlā).

Nodarbības mērķi

• Izglītojoši - zināšanu atkārtošana, vispārināšana un pārbaude par tēmu: "Pieskares lokam"; pamatprasmju attīstīšana.
• Attīstīt - attīstīt Studentu uzmanību,neatlaidību,neatlaidību, 로키스카 도마샤나, matemātikas runa.
• Izglītojoši - nodarbības laikā audzināt uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību,neatkarību.
• Ieviest pieskares jēdzienu, pieskares punktu.
• Apsveriet pieskares un tās zīmes īpašību un parādiet to Pielietojumu dabas un tehnikas problēmu risināšanā.

Nodarbības mērķi

• Attīstiet pieskares veidošanas prasmes, izmantojot mēroga lineālu, Transportieri un zīmēšanas trīsstūri.
• Pārbaudi skolēnu spēju risināt problēmas.
• Apgūstiet pamata algoritmiskās metodes apļa pieskares konstruēšanai.
• Veidot spēju Pielietot teorētiskās zināšanas problēmu risināšanā.
• Attīstīt Studentu domāšanu un runu.
• Strādājiet Pie spējas novērot, pamanīt modeļus, vispārināt, vadīt spriešanu pēc anoloģijas veidošanās.
• Ieaudzināt interesi par matemātiku.

노다르비바 계획

1. Pieskares jēdziena rašanās.
2. Pieskares parādīšanās vēsture.
3. Ģeometriskā는 정의됩니다.
4. Pamatteorēmas.
5. Uzzīmē riņķa pieskari.
6. 노엔쿠로사나스.

Pieskares jēdziena rašanās

Pieskares līnijas jēdziens ir viens no vecākajiem matemātikā. Ģeometrijā riņķa līnijas pieskare tiek definēta kā taisna līnija, kurai irtieši viens krustošanās punkts ar šo apli. Senie cilvēki ar kompasa un lineāla palīdzību spēja uzzīmēt pieskares aplim, bet vēlāk arī konusveida griezumiem: elipsēm, hiperbolām un parabolām.

Pieskares parādīšanās vēsture

Interese par tangentēm atdzima mūsdienās. Tad tika atklātas līknes, kuras senatnes zinātnieki nezināja. Piemēram, Galileo ieviesa cikloīdu, un Dekarts un Fermā izveidoja tam pieskārienu. 17. gadsimta pirmajā trešdaļā. Viņi sāka saprast, ka pieskares līnija ir taisna līnija, kas "vistuvāk atrodas" līknei noteiktā punkta nelielā apkārtnē. Ir viegli iedomāties situāciju, kad nav iespējams izveidot līknes pieskares līniju noteiktā punktā(attēlā).

eometriskas 정의

압리스- plaknes punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par tā centru.

응용.

Saistītās 정의

• Tiek saukts 세그먼트, kas savieno apļa centru ar kādu no tā punktiem (kā arī šī posma garumu). 반경 aprindās.
• Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc 앱아트.
• Par to sauc 세그먼트u, kas savieno divus riņķa punktus 악코드... Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc 직경.
• Jebkuri divi netbilstoši apļa punkti sadala to divās daļās. Katra no šīm daļām Tiek saukta 로카 aprindās. Loka mērs var 그러나 atbilstošā centrālā leņķa mērs. Loku sauc par pusloku, ja līnijas 세그먼트, kas savieno tā galus, ir 직경.
• Tiek saukta taisne, kurai irtieši viens kopīgs punkts ar apli 피스카레물론, kopīgo punktu sauc par taisnes un apļa pieskares punktu에 대해서도 마찬가지입니다.
• Tiek saukta taisne, kas iet caur diviem riņķa punktiem 시컨트.
• 중앙 집중식은 중앙 집중식으로 진행됩니다.
• Tiek saukts leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un malas šķērso šo apli ierakstītais leņķis.
• Tiek saukti divi apļi ar kopīgu centru 동심원.

피에스카레스 리니자- taisna līnija, kas iet caur līknes punktu un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai.

피에스카레스 압림 sauc par taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli.

Taisna līnija, kas iet caur apļa punktu tajā pašā plaknē, kas ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam, 소스 파 탄겐수... Šajā gadījumā šo apļa punktu sauc par pieskares punktu.

Ja mūsu gadījumā "a" ir taisne, kas pieskaras noteiktam riņķim, punkts "A" ir pieskares punkts. Šajā gadījumā a⊥OA (taisne a ir perpendikulāra rādiusam OA).

비니 타 사카 divi apļi 피에카라스 ja tiem ir viens kopīgs punkts. 쇼 펑크투 사우크 Apļu pieskares punkts... Caur pieskares punktu var uzzīmēt pieskares vienam no apļiem, kas vienlaikus ir pieskares otram aplim. Apļu pieskares ir iekšēja un ārēja.

Tangenci sauc par iekšējo, ja apļu centri atrodas vienā pieskares pusē.

Pieskares sauc par ārējo, ja apļu centri atrodas pretējās pieskares pusēs

a - divu apļu kopējā pieskare, K - pieskares punkts.

Pamatteorēmas

테오레마파 탄겐수 운 세칸투

Ja no punkta, kas atrodas ārpus riņķa, novilkta pieskare un atzars, tad pieskares garuma kvadrāts ir vienāds ar atzares un tās ārējās daļas reizinājumu: MC 2 = MA MB.

테오레마. Rādiuss, kas novilkts uz riņķa līnijas pieskares punktu, ir perpendikulārs pieskarei.

테오레마.당신의 반경은 당신의 목표에 따라 결정될 것입니다.

Pierādījums.

Lai pierādītu šīs teorēmas, mums jāatseras, kas ir perpendikuls no punkta uz taisni. Tas ir īsākais attālums no šī punkta līdz šai taisnei. Pieņemsim, ka OA nav perpendikulāra pieskarei, bet ir taisne OS, kas ir perpendikulāra tangensei. OS는 BC 세그먼트에 대한 정보를 확인하고, 정보를 확인합니다. Tādējādi var pierādīt jebkurai taisnei. Mēs secinām, ka rādiuss, rādiuss, kas novilkts līdz pieskares punktam, ir mazākais attālums līdz pieskarei no punkta O, t.i. OS ir perpendikulāra tangenses līnijai. Apgrieztās teorēmas pierādīšanā mēs balstīsimies uz to, ka pieskares taisnei ir tikai viens kopīgs punkts ar apli. Lai šai taisnei ir vēl viens kopīgs punkts B ar apli. Trijstūris AOB ir taisnstūrveida, un tā abas malas ir vienādas ar radiusiem, kas nevar but. Tādējādi mēs atklājam, ka šai taisnei nav vairāk kopīgu punktu ar apli, izņemot punktu A, t.i. IR 탄젠트.

테오레마. Pieskares 세그먼트, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi, un līnija, kas savieno šo punktu ar aapļa centru, sadala leņķi starp pieskarēm.

Pierādījums.

Pierādījums ir ļoti vienkāršs. Izmantojot iepriekšējo teorēmu, mēs apgalvojam, ka OB ir perpendikulāra AB, un OS ir AC. Taisnstūra trīsstūri ABO un ASO ir vienādi kājā un hipotenūzā (OB = OS - rādiusi, AO - kopīgs). Tāpēc에서 kājas AB로 = AC un leņķi OAS un OAV ir vienādi.

테오레마. Leņķa lielums, ko veido pieskares un horda ar kopīgu punktu uz apļa, ir vienāds ar pusi no loka leņķa lieluma starp tāmalām.

Pierādījums.

Apsveriet leņķi NAB, ko veido tangenss un horda. Uzzīmēsim skaļruņa 직경. Pieskares līnija ir perpendikulāra diametram, kas novilkts līdz pieskares punktam, tāpēc ∠CAN = 90 o. Zinot teorēmu, redzam, ka leņķis alfa (a) ir vienāds ar pusi un pusi no BC loka leņķiskās vērtības vai pusi no BOC leņķa. ∠NAB = 90 о -a, tādējādi iegūstam ∠NAB = 1/2 (180 о -∠BOC) = 1 / 2∠AOB vai = puse no loka BA leņķiskās vērtības. h.t.d.

테오레마. Ja no punkta uz riņķi ​​​​novelk tangensu un atzaru, tad pieskares 세그먼트 kvadrāts no šī punkta līdz pieskares punktam ir vienāds ar atdalošo 세그먼트u garumu reizinājumu no šī punkta līdz tā krustojuma punktiem ar apli .

Pierādījums.

Attēlā šī teorēma izskatās šādi: MA 2 = MV * MS. Pierādīsim to. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu leņķis MAC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķiskās vērtības, bet arī leņķis ABC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķiskās vērtības saskaņā ar teorēmu, tāpēc šie leņ 나는 vienādi ar katru cits입니다. Ņemot vērā to, ka trijstūriem AMC un BMA ir kopīgs leņķis virsotnē M, mēs nosakām šo trīsstūru līdzību divos leņķos(otrā iezīme). līdzības mums ir 없음: MA / MB = MC / MA, no kurienes mēs iegūstam MA 2 = MV * MS

Apļa pieskares zīmēšana

Tagad mēģināsim to izdomāt un noskaidrot, kas jādara, lai izveidotu apļapieskari.

Šajā gadījumā uzdevumā parasti Tiek dots aplis un punkts. Un jums un man ir jāizveido apļa pieskare, lai šī pieskare iet caur noteiktu punktu.

Gadījumā, ja mēs nezinām punkta atrašanās vietu, tad aplūkosim punktu iespējamās atrašanās vietas gadījumus.

Pirmkārt, punkts var atrasties apļa iekšpusē, kuru ierobežo šis aplis. Šajā gadījumā caur šo apli nav iespējams izveidot tangensu.

Otrajā gadījumā punkts atrodas uz apļa, un mēs varam izveidot pieskares līniju, Novelkot rādiusam perpendikulāru līniju, kas Tiek novilkta uz zināmu punktu.

Treškārt, Pieņemsim, ka punkts atrodas ārpus apļa ejām, kuras ierobežo aplis. Šajā gadījumā pirms pieskares zīmēšanas ir jāatrod punkts uz apļa, caur kuru tangensei jāiziet.

Pirmajā gadījumā es ceru, ka jus visu saprotat, bet, lai atrisinātu otro iespēju, mums ir jāveido 세그먼트 uz taisnes, uz kuras atrodas rādiuss. Šim 세그먼트am jābūt vienādam ar rādiusu un 세그먼트u, kas atrodas uz apļa pretējā pusē.

Redzams, ka apļa punkts ir nogriežņa viduspunkts, kas ir vienāds ar dubultoto rādiusu. Nākamais solis ir uzzīmēt divus apļus. 당신이 원하는 반경에 대해 더 자세히 알아보십시오. Tagad mēs varam novilkt taisnu līniju caur jebkuru šo apļu un dotā punkta krustošanās punktu. Šāda taisna līnija ir mediāna perpendikulāra apļa rādiusam, kas tika novilkts sākumā. Tādējādi mēs varam redzēt, ka šī līnija ir perpendikulāra aplim, un no tā izriet, ka tā ir pieskares riņķim.

Trešajā versijā mums ir punkts, kas atrodas ārpus apļa ejām, ko ierobežo aplis. Šajā gadījumā mēs vispirms uzzīmējam līnijas 세그먼트, kas savieno paredzētā apļa centru un norādīto punktu. Un tad mēs atrodam vidu. Bet šim nolūkam ir nepieciešams izveidot vidējo perpendikulu. Un jūs jau zināt, kā to izveidot. Tad mums ir jāuzzīmē aplis vai vismaz tā daļa. Tagad mēs redzam, ka dotā riņķa un jaunizveidotā riņķa krustošanās punkts ir punkts, caur kuru iet pieskare. 문제가 발생하면 문제가 발생할 수 있습니다. Un visbeidzot, jūs varat novilkt pieskares līniju caur diviem jums zināmiem punktiem.

Un visbeidzot, lai pierādītu, ka mūsu konstruētā taisne ir pieskare, jums jāpievērš uzmanība leņķim, ko veido riņķa rādiuss un 세그먼트, kas pazīstams ar nosacījumu un kas savieno apļu k Rustošanās punktu ar punk ts, ko dod problēmas nosacījums. Tagad mēs redzam, ka izveidotais stūris balstās uz pusloku. Un no tā izriet, ka šis leņķis ir taisns. Tāpēc rādiuss būs perpendikulārs jaunizveidotajai līnijai, un šī līnija ir pieskares līnija.

Pieskares līnijas konstruēšana.

Pieskares konstruēšana ir viena no problēmām, kas izraisīja diferenciālrēķina rašanos. Pirmais publicētais darbs, kas saistīts ar diferenciālrēķinu un ko uzrakstījis Leibnics, bija ar nosaukumu " Jauna 방법 maksimumi un minii, kā arī pieskares, kurām ne daļējas, ne iracionālas vērtības nav šķērslis, un tam īpašs aprēķinu veids.

Seno ēģiptiešu ģeometriskās zināšanas.

Ja neņem vērā seno ielejas starp Tigri un Eifratu un Mazāziju ļoti Pieticīgo ieguldījumu, tad ģeometrija dzima g. 세나 이입테 līdz 1700.g.pmē Tropu lietus sezonas laikā Nīla papildināja ūdens krājumus un pārplūda. Ūdens klāja apstrādātās zemes gabalus, un nodokļu nolūkos bija nepieciešams noteikt, cik daudz zemes tika zaudētas. Mērnieki kā mērinstrumentu izmantoja cieši nostieptu virvi. Vēl viens는 ēģiptiešu ģeometrisko zināšanu uzkrāšanai bija tādi viņu darbības veidi kā piramīdu celtniecība un vizuālā māksla를 자극합니다.

Par ģeometrisko zināšanu līmeni var spriest pēc seniem rokrakstiem, kas ir īpaši veltīti matemātikai un ir kaut kas līdzīgs mācību grāmatām vai, pareizāk sakot, problēmu grāmatām, kur sniegti dažādu praktisku problēmu risinā 주미.

Vecāko ēģiptiešu matemātisko manuskriptu kāds 학생 pārrakstīja laikā no 1800. līdz 1600. gadam. 기원전 vecāka teksta가 없습니다. Papirus atrada krievu ēģiptologs Vladimirs Semenovičs Goļeņičevs. Tas glabājas Maskavā - Tēlotājmākslas muzejā, kas nosaukts A.S. Puškins, un to sauc par Maskavas papirusu.

Londonā glabājas vēl viens matemātisks papiruss, kas uzrakstīts divus vai trīs simtus gadus vēlāk nekā Maskavā. 설명: "Norādījumi, kā iegūt zināšanas par visām tumšajām lietām, visiem noslēpumiem, ko lietas slēpj sevī... Saskaņā ar vecajiem Pieminekļiem rakstvedis Ahmes to uzrakstīja." un iegādājās šo papirusu Ēģiptē. Ahmesa papirusā ir dotas 84 problēmas dažādiem aprēķiniem, kas var būt nepieciešami praksē.

펑크티 $x\_0\backslash in\backslash mathbb(R)$, un tajā atšķiras: $f\backslash in\backslash mathcal\; (D)\; (x\_0)$... Funkcijas grafika Piekares līnija $에프$펑크타 $x\_0$ sauc par lineāras funkcijas grafiku, ko dod vienādojums $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\backslash mathbb(R)$.

자 펑크치자 $에프$이르 푼타 $x\_0$베즈갈릭 아트바시나줌스 $f\; "(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$ tad pieskares līniju šajā punktā sauc par vienādojuma doto vertikālo līniju $x\; =\; x\_0.$

코멘테트

어떤 정의도 내리지 않았으며, 어떤 경우에는 그래픽 그래픽이 손상될 수도 있습니다. $(x\_0,\; f(x\_0))$...인젝치자 $\backslash 알파$ starp līknes Pieskari un Vērša asi apmierina vienādojumu

$\backslash operatora\; nosaukums\; (tg)\backslash ,\backslash alfa\; =\; f\; "(x\_0)\; =\; k,$

쿠르 $\backslash \; 오퍼레이터\; 노사우쿰(tg)$ apzīmē tangensu un $\backslash \; 연산자\; vārds\; (k)$- pieskares slīpuma koeficients. 아트바시나줌스 펑크타 $x\_0$ ir vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu $y\; =\; f(x)$샤자 브리디.

Tangenss kā sekanta ierobežojošais stāvoklis

Ļaujiet $f\backslash kols\; U(x\_0)\backslash līdz\backslash R$유엔 $x\_1\backslash U(x\_0).$ Tad taisna līnija, kas iet caur punktiem $(x\_0,\; f(x\_0))$유엔 $(x\_1,\; f(x\_1))$타이크 도트 아르 비에나도주무

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; \backslash frac\; (f\; (x\_1)\; -\; f\; (x\_0))\; (x\_1\; -\; x\_0)\; (x-x\_0).$

Šī līnija iet caur punktu $(x\_0,\; f(x\_0))$젭쿠람 $x\_1\backslash U(x\_0),$운 타 슬리푸마 LEņķi $\backslash 알파(x\_1)$압미에리나 비에나도주무

$\backslash operatora\; nosaukums\; (tg)\backslash ,\backslash alfa\; (x\_1)\; =\; \backslash frac\; (f\; (x\_1)\; -\; f\; (x\_0))\; (x\_1\; -\; x\_0).$

Funkcijas atvasinājuma esamības dēļ $에프$펑크타 $x\_0,$ pārejot uz robežu plkst $x\_1\backslash lidz\; x\_0,$ mēs saprotam, ka ir ierobežojums

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\backslash to\; x\_0)\backslash operatora\; nosaukums(tg)\backslash ,\backslash alfa(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

un arktangenta un ierobežojošā leņķa nepārtrauktības dēļ

$\backslash alfa\; =\; \backslash operatora\; nosaukums\; (arctg)\backslash ,\; f\; "(x\_0).$

Līnija caur punktu $(x\_0,\; f(x\_0))$운 캄 이르 apmierinošs ierobežojošais slīpuma leņķis $\backslash operatora\; nosaukums\; (tg)\backslash ,\backslash alfa\; =\; f"(x\_0),$ Tiek dots ar pieskares līnijas vienādojumu:

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Apļa 탄젠트

Taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar riņķi ​​​​un kura atrodas ar to vienā plaknē, sauc par riņķa pieskari.

이파시바스

1. Apļa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts uz pieskares punktu.
2. No viena punkta novilkta riņķa pieskares 세그먼트는 vienādi un veido vienādus leņķus ar taisni, kas iet caur šo šo punktu un apļa centru입니다.
3. Pieskares 세그먼트가 룸, kas novilkts uz riņķa vienības rādiusu, kas ņemts starp pieskares punktu un pieskares krustpunktu ar staru, kas novilkts no aapļa centra, ir pieskares leņķim starp šo staru un staru. virziens no apļa centra uz pieskares punktu. "Tangens"(위도 없음) 접선- "탄젠트".

Variācijas un vispārinājumi

Vienpusējs pustangenss

• Ja ir pareizais atvasinājums 약간 라바이스 푸스탄겐스 uz funkciju 그래픽 $에프$펑크타 $x\_0$사우크 파 스타루

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "\_\; +\; (x\_0)\; (x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\backslash geqslant\; x\_0.$

• Ja ir kreisais atvasinājums 약간 크라이사이 푸탄겐스 uz funkciju 그래픽 $에프$펑크타 $x\_0$사우크 파 스타루

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "\_-\; (x\_0)\; (x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\backslash leqslant\; x\_0.$

• Ja ir bezgalīgs labais atvasinājums $f\; "\_\; +\; (x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $에프$펑크타 $x\_0$사우크 파 스타루

$x\; =\; x\_0,\backslash ;\; y\backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Ja ir bezgalīgs kreisais atvasinājums $f\; "\_-\; (x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ tad funkcijas grafika labais pustangenss $에프$펑크타 $x\_0$사우크 파 스타루

$x\; =\; x\_0,\backslash ;\; y\backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

스카티 아리

• 법선, 종법선

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "접선"

문학

• Toponogovs V.A. Līkņu un virsmu diferenciālģeometrija. - Fizmatkniga, 2012.-- ISBN 9785891552135.
• // Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). -SPb. , 1890-1907.

조각에는 접선이 없습니다.

- 베트남! - kliedza jauns virsnieks ap Pjēru sapulcētajiem karavīriem. Šis jaunais virsnieks, acīmredzot, pirmo vai otro reizi pildīja savu amatu, un tāpēc īpaši skaidri un viendabīgi izturējās gan pret karavīriem, gan pret komandieri.
Lielgabalu un šauteņu ripošana Pastiprinājās visā laukā, īpaši pa kreisi, kur bija Bagrationa zibšņi, bet šāvienu dūmu dēļ no vietas, kur atradās Pjērs, bija gandrīz neiespējami kaut ko red zēt. Turklāt novērojumi par to, kā ģimenes (nošķirts no visiem pārējiem) cilvēku loks, kas atradās uz akumulatora,sorbēja visu Pjēra uzmanību. Viņa pirmais neapzināti priecīgais satraukums, ko radija kaujas lauka skats un skaņas, tagad ir nomainīts, it īpaši pēc skata, kad šis vientuļnieks guļ pļavā, ar citu sajūtu. Sēdēdams tagad grāvja nogāzē, viņš vēroja sev apkārt esošās sejas.
Pulksten desmitiem no akumulatora jau bija aiznesti divdesmit cilvēki; divi lielgabali tika iznīcināti, arvien vairāk lādiņu trāpīja akumulatoram un attālas lodes dūca un svilpa. Bet cilvēki, kas atradās uz akumulatora, to nepamanīja; no visām pusēm skanēja jautra runa un joki.
-치넨카! - uzkliedza karavīrs uz tuvojošos, svilpojošu granātu. - 안돼! Uz kājniekiem! - smejoties Piebilda vēl viens, pamanījis, ka granāta pārlidoja un trāpīja aizsegu rindās.
- 코, 끌고? - otrs karavīrs pasmējās par tupošo vīrieti zem lidojošā serdes.
Vairāki karavīri pulcējās Pie vaļņa, pētot, kas notiek uz priekšu.
"Un viņi noņēma ķēdi, redziet, viņi atgriezās," viņi teica, norādot uz vārpstu.
"Paskatieties uz savām lietām," vecais apakšvirsnieks kliedza viņiem. - Mēs atgriezāmē, tas nozīmē, ka esam atgriezāšies, un ir lieta. - Un apakšvirsnieks, paņēmis vienu no karavīriem aiz pleca, pagrūda viņu ar ceļgalu. Bija dzirdami smiekli.
- Ritiniet uz Piekto ieroci! - Kliedza no vienas puses.
- Uzreiz draudzīgāk, burlaku stilā, - atskanēja jautrie 권총 mainītāju saucieni.
"Ai, es gandrīz nogāzu mūsu kunga cepuri," sarkans jokdaris pasmējās Pjēram, rādot zobus. "Eh, neveikli," viņš pārmetoši Piebilda lielgabala lodei, kas skāra vīrieša riteni un kāju.
- Nu jūs lapsas! - otrs pasmējās par līkločiem miličiem, kas iekļuva ievainoto baterijā.
- 알 네가르소 푸트라? Ak, vārnas, tās nodūra! - viņi kliedza uz miličiem, kuri bija vilcinājušies kāda karavīra priekšā ar norautu kāju.
"Tas ir kaut kas, mazais puisis," zemnieki atdarināja. – Viņiem nepatīk kaisliba.
Pjērs pamanīja, kā pēc katras trāpītās bumbas, pēc katra zaudējuma vispārējā animācija uzliesmoja arvien vairāk.
당신이 당신의 시간을 잘 알고 있다면, 당신이 당신의 이야기를 듣고 싶어한다는 것을 알게 될 것입니다.
Pjērs nekatījās uz priekšu kaujas laukā un neinteresēja zināt, kas tur notiek: viņš bija pilnībā iegrimis pārdomās par šo, arvien vairāk uzliesmojošo uguni, kas tādā pašā veid ā (viņš juta) uzliesmoja viņa dvēselē.
Pulksten desmitos kājnieku karavīri, kas atradās baterijas priekšā krūmos un gar Kamenkas upi, atkāpās. No akumulatora bija redzams, kā viņi skrēja tai garām, nesot ievainotos uz ieročiem. Kāds ģenerālis ar savu svītu iegāja pilskalnā un, parunājis ar pulkvedi, dusmīgi paskatījies uz Pjēru, atkal nokāpa lejā, pavēlēdams kājnieku vākam, kas stāvēja aiz baterija s, apgulties, lai mazāk pak ļautu šāvieniem. Pēc tam kājnieku rindās pa labi no baterijas atskanēja bungas, komandas saucieni, un no baterijas varēja redzēt, kā jnieku rindas virzās uz priekšu.
Pjērs paskatījās pāri šahtai. Viena seja īpaši Piesaistīja viņa uzmanību. Tas bija virsnieks, kurš ar bāli jaunu seju gāja atmuguriski, nesot nolaistu zobenu, un nemierīgi skatījās apkārt.
Kājnieku karavīru rindas pazuda dūmos, bija dzirdami viņu ievilktie kliedzieni un biežās šautenes. Dažas minūtes vēlāk no turienes gāja daudz ievainoto un Nestuvju. Šāviņi sāka trāpīt akumulatorā vēl biežāk. Vairāki cilvēki gulēja neiztīrīti. Karavīri aktīvāk un dzīvīgāk rosījās Pie lielgabaliem. Pjēram neviens vairs nepievērsa uzmanību. Reizi vai divas viņam dusmīgi kliedza par atrašanos ceļā. Vecākais virsnieks ar sarauktu seju, lieliem, ātriem soļiem pārcēlās no viena ieroča uz otru. Jaunais virsnieks, vēl vairāk piesarcis, vēl cītīgāk komandēja karavīrus. Karavīri šāva, pagriezās, iekrauj un darīja savu darbu ar lielu aizrautību. Ejot viņi atlēca, it kā uz atsperēm.

Apļa pieskares jēdziens

Aplim ir trīs iespējamievariti savstarpējās dispozīcijas salīdzinoši 타이스니:

Ja attālums no aapļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Ja attālums no aapļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Tagad iepazīstināsim ar riņķa līnijas pieskares jēdzienu.

1. 정의

Riņķa pieskares līnija ir taisna līnija, kurai ir viens krustošanās punkts.

Apļa un pieskares kopīgo punktu sauc par pieskares punktu (1. attēls).

1. 아텔. Apļa 피에카레스

Teorēmas, kas saistītas ar riņķa pieskares jēdzienu

1. 이론

Pieskares īpašību teorēma: riņķa līnijas pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts uz pieskares punktu.

Pierādījums.

Apsveriet apli, kura centrs ir$O$. Novelciet pieskares līniju uz $ a $ punktā $ A $. $OA = r$(2.att.).

Pierādīsim, ka$a\bot r$

Teorēmu pierādīsim ar pretrunu. Pieņemsim, ka pieskares līnija $ a $ nav perpendikulāra apļa rādiusam.

2. 아텔. 1. 테오레마스 그림

Tas ir, $ OA $ ir slīps pret tangensu. Tā kā perpendikulārs taisnei $ a $ vienmēr ir mazāks par slīpo līniju pret to pašu taisni, attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu. Kā zināms, šajā gadījumā līnijai ir divi krustošanās punkti ar apli. Kas ir pretrunā ar pieskares līnijas definīciju.

Tāpēc pieskares līnija ir perpendikulāra apļa rādiusam.

Teorēma ir pierādīta.

2. 이론

Apgrieztā teorēma par tangentes īpašību: Ja taisne, kas iet caur riņķa rādiusa galu, ir perpendikulāra rādiusam, tad šī taisne ir pieskares šim riņķim.

Pierādījums.

Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir tāds, ka rādiuss ir perpendikuls, kas novilkts no apļa centra uz doto taisni. Tāpēc attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusa garumu. Kā zināms, šajā gadījumā aplim ir tikai viens krustpunkts ar šo taisni. Pēc 1. definīcijas mēs iegūstam, ka šī līnija ir pieskares riņķim.

Teorēma ir pierādīta.

3. 이론

No viena punkta novilkta riņķa pieskares 세그먼트는 vienādi un veido vienādus leņķus ar taisni, kas iet caur šo šo punktu un apļa centru입니다.

Pierādījums.

점 적용, kura centers ir punktā$O$. No punkta $ A $ (kas atrodas uz visiem apļiem) Tiek novilktas divas dažādas pieskares. pieskares punkta attiecīgi $ B $ un $ C $ (3. att.)가 없습니다.

Pierādīsim, ka$\leņķ는 BAO=\leņķ는 CAO$un ka$AB=AC$입니다.

3. 아텔스. 3. teorēmas 그림

Saskaņā ar 1. teorēmu mums ir:

Tāpēc trijstūri $ ABO $ un $ ACO $ ir taisnstūrveida. Tā kā $ OB = OC = r $ un $ OA $ hipotenūza ir izplatīta, šie trīsstūri ir vienādi hipotenūzā un kājā.

Tādējādi mēs iegūstam, ka$\leņķis BAO=\leņķis CAO$un$AB=AC$.

Teorēma ir pierādīta.

문제는 riņķa pieskares jēdzienu에서 발생합니다.

1. 피머

점을 중심으로 punktā$O$un rādiusu$r=3\cm$로 이동합니다. Pieskares līnijai $ AC $ ir pieskares punkts $ C $. $AO = 4\cm$. 아트로다이어트$AC$.

리시나줌스.

Vispirms attēlosim visu attēlā (4. att.).

4. 아텔.

Tā kā $ AC $ ir tangenss un $ OC $ ir rādiuss, tad ar 1. teorēmu iegūstam, ka $ \ leņķis ACO = (90) ^ (() ^ \ circ) $. Mēs sapratām, ka trīsstūris $ ACO $ ir taisnleņķa leņķis, kas nozīmē, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir:

\[(AC)^2 = (AO)^2 + r^2\]\[(AC)^2 = 16 + 9\]\[(AC)^2 = 25\]\