Differenciālā sistēma vienādojumus sauc par formas sistēmu

kur x ir netkarīgais 주장,

y i - atkarīga funkcija, ,

응 나 | x=x0 =y i0 - sākuma nosacījumi.

펑크시하스이(x), pēc aizstāšanas Tiek izsaukta vienādojumu sistēma, kas pārvēršas par identitāti diferenciālvienādojumu sistēmas atrisināšana.

스카이틀리스카 방법 diferenciālvienādojumu sistēmu risināšana.

Otrās kārtas diferenciālvienādojums sauc par formas vienādojumu

Tiek izsaukta funkcija y(x), kuru aizvietojot vienādojums kļūst par identitāti diferenciālvienādojuma atrisināšana.

Skaitliski Tiek meklēts konkrēts (2) vienādojuma risinājums, kas apmierina dotos sākuma nosacījumus, tas ir, Tiek atrisināta Košī problēma.

Skaitliskam risinājumam otrās kārtas diferenciālvienādojums Tiek pārveidots par divu pirmas kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu un reducēts līdz 마시나 스커트 (삼). Lai to izdarītu, Tiek ieviesta jauna nezināma funkcija, pa kreisi katrā sistēmas vienādojumā ir atstāti tikai pirmie nezināmo funkciju atvasinājumi, un labajā pusē nevajadzētu būt atvasinājumiem.

.

(3)

Funkcija f 2 (x, y 1 , y) 형식은 evadīta sistēmā (3), lai metodes, kas tiks parādītas tālāk, varētu izmantot, lai atrisinātu patvaļīgu pirmas kārtas diferenciālvienādojumu sist ēmu입니다. Apskatīsim vairākas skaitliskās metodes sistēmas (3) risināšanai. Aprēķinātās atkarības i+1 integrācijas solim ir šādas. Lai atrisinātu n vienādojumu sistēmu, aprēķina 공식 ir dotas iepriekš. Lai atrisinātu divu vienādojumu sistēmu, ir ērti uzrakstīt aprēķinu 공식 bez dubultajiem indeksiem šādā formā:

1. 에일레라 방식.

   y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),

   y i+1 =y i +hf 2 (x i, y 1,i, y i),

2. Ceturtās kārtas Runge-Kutta 방법.

   y 1,i+1 =y 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,

   y i+1 =y i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,

   m 1 = hf 1 (x i, y 1, i, y i),

   k 1 = hf 2 (x i, y 1, i, y i),

   m 2 = hf 1 (x i + h/2, y 1, i + m 1/2, y i + k 1/2),

   k 2 = hf 2 (x i + h/2, y 1, i + m 1/2, y i + k 1/2),

   m 3 = hf 1 (x i + h/2, y 1, i + m 2/2, y i + k 2/2),

   k 3 = hf 2 (x i + h/2, y 1, i + m 2/2, y i + k 2/2),

   m 4 = hf 1 (x i + h, y 1, i + m 3, y i + k 3),

   k 4 = hf 2 (x i + h, y 1, i + m 3, y i + k 3),

   kur hi ir integrācijas solis. Sākotnējie nosacījumi skaitliskās integrācijas laikā Tiek ņemti vērā nulles solī: i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0.

파르바우데스 우즈데붐스 kredītdarbiem.

Svārstības ar vienu brīvības pakāpi

Mērķis. Otrās kārtas diferenciālvienādojumu risināšanas skaitlisko metožu un pirmas kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu izpēte.

Vingrinājums. Atrodiet skaitliski un analītiski:

1. materiāla punkta kustības likums uz atsperes x(t),
2. strāvas I(t) izmaiņu likums oscilācijas ķēdē (RLC ķēdē) 1. un 2. tabulā norādītajiem režīmiem. Izveidojiet nepieciešamo funkciju grafikus.

Uzdevumu iespējas.

레지무 테이블라

Uzdevuma opcijas un režīmu numuri:

1. 펑크투 쿠스티바
2. RLC - ķēde

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt procedūru diferenciālvienādojumu sastādīšanai un to iegūšanai mašīnas formā, lai aprakstītu ķermenņa kustību uz atsperes un RLC ķēdi.

1. Nosaukums, darba mērķis un uzdevums.
2. Matemātiskais는 apraksts, 알고리즘(struktogramma) 및 프로그래밍 텍스트입니다.
3. Seši atkarības grafiki (trīs precīzi un trīs aptuveni) x(t) vai I(t), secinājumi par darbu.

Eilera diferenciālvienādojuma definīcija. Aplūkotas metodes tās risināšanai.

토성

Eilera diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
ㅏ 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ 엔- 1 xy' + an y = f(x).

Vispārīgākā formā Eilera vienādojumam ir šāda forma:
.
Šis vienādojums Tiek reducēts ar aizstāšanu t = ax+b uz vienkāršāku formu, ko mēs apsvērsim.

Eilera diferenciālvienādojuma reducēšana uz vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem.

Apsveriet Eilera vienādojumu:
(1) .
Tas Tiek reducēts līdz lineāram vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem, aizstājot:
x = 이자형
파티셤, 좀
;
;
;

;
;
..........................

Tādējādi faktori, kas satur x m, Tiek atcelti. Atlikušie termini ir Tie, kuriem ir nemainīgi koeficienti. 그게 다야.

Homogēnā Eilera vienādojuma atrisinājums

Apsveriet viendabīgo Eilera vienādojumu:
(2) .
Mēs meklējam vienādojuma (2) risinājumu formā
.
;
;
........................
.
Mēs aizvietojam ar (2) un samazinām par x k. Mēs iegūstam raksturīgo vienādojumu:
.
Mēs to atrisinām un iegūstam n saknes, kas var but sarežģītas.

Apskatīsim īstās saknes. Pieņemsim, ka k i ir daudzkārtības m daudzkārtēja sakne. Šīs m saknes atbilst m lineāri netkarīgiem risinājumiem:
.

Apskatīsim sarežģītas saknes. Tie parādās pa pāriem kopā ar sarežģītiem konjugātiem. Pieņemsim, ka k i ir daudzkārtības m daudzkārtēja sakne. Izteiksim komplekso sakni k i reālās un iedomātās daļas izteiksmē:
.
Šīs m saknes un m kompleksās konjugācijas saknes atbilst 2m lineāri netkarīgi risinājumi:
;
;
..............................
.

Pēc n lineārineatkarīgu risinājumu iegūšanas iegūstam (2) vienādojuma vispārīgo risinājumu:
(3) .

피에메리

Atrisiniet vienādojumus:


Piemēru risinājums >>>

Nehomogēnā Eilera vienādojuma atrisinājums

Apsveriet nehomogēnu Eilera vienādojumu:
.
Konstantu variācijas metode(Lagranža metode) ir Piemērojama arī Eilera vienādojumiem.

Vispirms atrisinām viendabīgo vienādojumu (2) un iegūstam tā vispārīgo risinājumu (3). Tad mēs uzskatām konstantes par mainīgā x funkcijām. 차이점 (3) n - 1 vienreiz. Mēs iegūstam izteiksmes n - 1 y atvasinājumi attiecībā pret x. Ar katru diferenciāciju termini, kas satur atvasinājumus, Tiek pielīdzināti nullei. Tātad mēs iegūstam n - 1 vienādojumi, kas attiecas uz atvasinājumiem. Tālāk mēs atrodam n-to atvasinājumu no y. Mēs aizstājam iegūtos atvasinājumus ar (1) un iegūstam n-to vienādojumu, kas attiecas uz atvasinājumiem. No šiem vienādojumiem mēs nosakām. Pēc tam, integrējot, mēs iegūstam (1) vienādojuma vispārīgu risinājumu.

피머스

Atrisiniet vienādojumu:

리시나줌 >>>

Nehomogēns Eilera vienādojums ar īpašu nehomogēnu daļu

Ja neviendabīgajai daļai ir noteikta forma, tad vispārīgu risinājumu ir vieglāk iegūt, atrodot konkrētu nehomogēnā vienādojuma risinājumu. Šajā klasē ietilpst vienādojumi šādā 형식:
(4)
,
kur ir polinomi pilnvaras un, Attiecīgi.

Šajā gadījumā ir vieglāk veikt aizstāšanu
,
유엔

예바드

Risinot zinātniskās un inženiertehniskās problēmas, bieži vien ir nepieciešams matemātiski aprakstīt kādu dinamisku sistēmu. To vislabāk var izdarīt diferenciālvienādojumu veidā ( D.U.) vai diferenciālvienādojumu sistēmas. 더 보기 āvēšanu, adsorbciju, aprakstot makro- un mikrodaļiņu kustību.

Dažos gadījumos diferenciālvienādojumu var pārveidot formā, kurā ir skaidri izteikts augstākais atvasinājums. Šo rakstīšanas veidu sauc par vienādojumu, kas atrisināts attiecībā pret augstāko atvasinājumu (šajā gadījumā vienādojuma labajā pusē nav augstākā atvasinājuma):

Parasta diferenciālvienādojuma risinājums ir funkcija y(x), kas jebkuram x apmierina šo vienādojumu noteiktā ierobežotā vai bezgalīgā intervālā. Diferenciālvienādojuma risināšanas procesu sauc par diferenciālvienādojuma integrāciju.

Vēsturiski pirmais un vienkāršākais veids, kā skaitliski atrisināt Košī problēmu pirmās kārtas ODE, ir Eilera metode. Tas ir balstīts uz atvasinājuma aproksimāciju ar atkarīgo (y) unneatkarīgo (x) mainīgo galīgo Pieauguma attiecību starp vienota režģa mezgliem:

kur y i+1 ir vēlamā funkcijas vērtība punktā x i+1.

Eilera metodes precizitāti var uzlabot, ja integrāļa tuvināšanai izmanto precīzāku integrācijas formulu - 사다리꼴 공식.

Šī 공식 izrādās netieša attiecībā uz y i+1 (šī vērtība ir gan izteiksmes kreisajā, gan labajā pusē), tas ir, tas ir vienādojums attiecībā uz y i+1, ko var atrisināt, Piem ēram, skaitliski, izmantojot kādu iteratī vu 메토디( šādā formā to var uzskatīt par vienkāršās iterācijas metodes iteratīvu formulu).

Kursa darba sastāvs: 쿠르사 다브스 sastāv no Trim daļām. Pirmajā daļā ir īss metožu apraksts. Otrajā daļā problēmas formulējums un risinājums. Trešajā daļā - programmatūras realizācija datorvalodā

Kursa darba mērķis: izpētīt divas diferenciālvienādojumu risināšanas metodes - Eilera-Košī metodi un pilnveidoto Eilera metodi.

1. 테오레티스카 다야

Skaitliskā diferenciācija

Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas satur vienu vai vairākus atvasinājumus. Atkarībā no netkarīgo mainīgo skaita diferenciālvienādojumi Tiek iedalīti divās kategorijās.

Parastie diferenciālvienādojumi(ODE)

Daļēji diferenciālvienādojumi.

Parastie diferenciālvienādojumi ir vienādojumi, kas satur vienu vai vairākus vajadzīgās funkcijas atvasinājumus. Tos var rakstīt kā

니트카리가이스 마이니가이스

(1) vienādojumā iekļauto augstāko secību sauc par diferenciālvienādojuma secību.

Vienkāršākais (lineārais) ODE ir (1) vienādojums, kas atrisināts attiecībā pret atvasinājumu

Diferenciālvienādojuma (1) risinājums ir jebkura funkcija, kas pēc tās aizstāšanas vienādojumā pārvērš to par identitāti.

Galvenā problēma, kas saistīta ar lineāro ODE, ir pazīstama kā Kasha problēma:

Atrodiet (2) vienādojuma risinājumu tādas funkcijas veidā, kas atbilst sākotnējam nosacījumam (3)

Ģeometriski tas nozīmē, ka ir jāatrod integrāllīkne, kas iet caur punktu ), kad ir izpildīta vienādība (2).

Skaitlis no Kasha problēmas viedokļa nozīmē: Segmentā ar noteiktu soli ir nepieciešams izveidot funkciju vērtību tabulu, kas apmierina vienādojumu (2) un sākotnējo nosacījumu (3). Parasti Tiek Pieņemts, ka tas ir, sākotnējais nosacījums ir norādīts 세그먼트a kreisajā galā.

Vienkāršākā skaitliskā metode diferenciālvienādojuma risināšanai ir Eilera metode. Tās pamatā ir ideja grafiski konstruēt diferenciālvienādojuma risinājumu, taču šī metode nodrošina arī veidu, kā atrast vajadzīgo funkciju skaitliskā formā vai tabulā.

Dots vienādojums (2) ar sākotnējo nosacījumu, tas ir, ir izvirzīta Kasha 문제. Vispirms atrisināsim šādu problēmu. Vienkāršākā veidā atrodiet risinājuma aptuveno vērtību noteiktā punktā, kur ir diezgan mazs solis. Vienādojums (2) kopā ar sākotnējo nosacījumu (3) norāda vajadzīgās integrāllīknes pieskares virzienu punktā ar koordinātām

Pieskares vienādojumam ir forma

Pārvietojoties pa šo tangensu, mēs iegūstam aptuvenu risinājuma vērtību punktā:

Ja punktā ir aptuvens risinājums, varat atkārtot iepriekš aprakstīto procedūru: izveidojiet taisnu līniju, kas iet caur šo punktu ar leņķa koeficientu, un no tā atrodiet aptuveno risinājuma vērtību punkt ā.

. Ņemiet vērā, ka šī līnija nav pieskares reālajai integrāļa līknei, jo punkts mums nav Pieejams, bet, ja tas ir Pietiekami mazs, iegūtās aptuvenās vērtības būs tuvu precīzām ris inājuma vērtībām.

Turpinot šo ideju, izveidosim vienādi izvietotu punktu sistēmu

Nepieciešamās funkcijas vērtību tabulas iegūšana

Eilera metode sastāv 공식 없음 cikliskas Piemērošanas

1. 아텔. Eilera metodes grafiskā 해석

Diferenciālvienādojumu skaitliskās integrācijas metodes, kurās risinājumus iegūst no viena mezgla uz otru, sauc par soli pa solim. Eilera metode ir vienkāršākais soli pa solim metožu pārstāvis. Jebkuras pakāpeniskas metodes iezīme ir tāda, ka, sākot no otrā posma, sākotnējā vērtība formulā (5) pati par sevi ir aptuvena, tas ir, kļūda katrā nākamajā solī sistemātiski palielin ās. Visbiežāk izmantotā metode, lai novērtētu soli pa solim metožu precizitāti aptuvenam ODE skaitliskajam risinājumam, ir metode, ar kuru Tiek iziets noteikts 세그먼트 divreiz ar soli un ar soli.

1.1 우즐라보타 에일레라 방법

Šīs metodes galvenā ideja: nākamā vērtība, kas aprēķināta pēc 공식 (5), būs precīzāka, ja atvasinājuma vērtība, tas ir, taisnes leņķiskais koeficients, kas aizstāj integrālo līkni 세그먼트, netiek aprēķināts gar kreiso malu (tas ir, punktā), 내기 세그먼트a 센트라. 내기, tā kā atvasinājuma vērtība starp punktiem netiek aprēķināta, mēs pārejam uz dubultajām sekcijām ar centru, kurā atrodas punkts, un taisnes vienādojums iegūst šādu formu:

Un 공식 (5) iegūst 공식

Formula (7) Tiek Piemērota tikai, tāpēc no tās nevar iegūt vērtības, tāpēc tās Tiek atrastas, izmantojot Eilera metodi, un, lai iegūtu precīzāku rezultātu, viņi rīkojas šādi: no sākuma , izmantojot formulu (5) viņi at 로드 버티부

(8)

Punktā un pēc tam atrodami pēc 공식 (7) ar soļiem

(9)

Kad atrada turpmākos aprēķinus plkst ražots pēc 공식 (7)

Eilera metode attiecas uz skaitliskām metodēm, kas sniedz risinājumu vajadzīgās funkcijas aptuveno vērtību tabulas veidā 와이(엑스). Tas ir salīdzinoši aptuvens un Tiek izmantots galvenokārt aptuveniem aprēķiniem. Tomēr idejas, kas ir Eilera metodes pamatā, ir sākumpunkts vairākām citām metodēm.

Apsveriet pirmas kārtas diferenciālvienādojumu

아르 사코트네조 스타보클리(ar sākotnējo stāvokli)

엑스= 엑스 0 , 와이(엑스 0 )= 와이 0 (3.2)

Ir jāatrod vienādojuma risinājums intervālā [ ㅏ, 비].

Sadalīsim 세그먼트 [ ㅏ, 비] n vienādās daļās un iegūstiet secību 엑스 0 , X 1 , X 2 ,…, 엑스 N, 쿠르 엑스 나 = 엑스 0 + 아크 (나=0,1,…, N), ㅏ 시간=(비- ㅏ)/ N- integrācijas solis.

Eilera metodē aptuvenās vērtības y(x 나 +1 )  와이 나 +1 Tiek aprēķināti secīgi, izmantojot šādas 공식:

와이 나+1 = 제발 나 +hf(x 나 , g 나 ) (i=0,1,2…) (3.3)

Šajā gadījumā nepieciešamā integrāļa līkne y=y(x), kas iet caur punktu 중 0 (엑스 0 , g 0 ), aizstāts ar pārtrauktu līniju 중 0 중 1 중 2 … 아르 비르소트넴 중 나 (엑스 나 , 와이 나 ) (나=0,1,2,…); 카트라 사이테 중 나 중 나 +1 šī pārtrauktā līnija sauca Eilera lauztā līnija, ir virziens, kas sakrīt ar vienādojuma (1) integrālās līknes virzienu, kas iet caur punktu 중 나(sk. 2. attēlu):

2. 아텔. 에일레라 폴리리니야스 스카츠

Modificēta Eilera 방법 precīzāk. Pirmkārt, Tiek aprēķinātas meklētās funkcijas palīgvērtības 제발 k+1/2펑크토스 엑스 k+1/2, pēc tam atrodiet vienādojuma (3.1) labās puses vērtību viduspunktā 와이 k+1/2 =f( xk+1/2 , g k+1/2 ) 유엔 노트 제발 케이+ :

거기에 있어요:
(3.4)

공식(3.4) ir Eilera metodes atkārtotas 공식.

Lai novērtētu kļūdu kādā punktā 엑스 우즈베이크트 아프리누스 제발 우즈파카페스 시간, pēc tam pa soļiem 2 시간 un ņem 1/3 no šo vērtību starpības:

,

쿠르 와이(엑스)- precīzs diferenciālvienādojuma risinājums.

Eilera metode viegli attiecināma uz diferenciālvienādojumu sistēmām un augstākas kārtas diferenciālvienādojumiem. Pēdējais vispirms ir jāreducē līdz pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmai.

3.2. Runge-Kutta 방법

Runge-Kutta metodēm ir šādas īpašības:

Šīs metodes ir vienpakāpes: atrast 제발 k+1 nepieciešama informācija par iepriekšējo punktu (엑스 우즈  와이 우즈 ) 

Metodes atbilst Teilora sērijai līdz pasūtījuma noteikumiem 시간 lpp kur ir grāds 아르 자형 atšķirīgs priekš 다자다스 방법 un to sauc par sērijas numuru vai 메토데스 세시바

Tiem nav jāaprēķina atvasinājumi 에프(엑스 와이) un prasa pašas funkcijas aprēķinu

Runge-Kutta 알고리즘 트레세분명히:

(3.5)

Runge-Kutta 알고리즘 케투르타이스분명히:

(3.6)

Trešās un ceturtās kārtas algoritmiem katrā solī ir nepieciešami attiecīgi trīs un četri funkciju aprēķini, taču Tie ir ļoti precīzi.

3.3. 아담사 방식

Adamsa metode attiecas uz 다우즈파카프주 DE 상승 ir atkarīgs 데이터 없음 vairāki blakus esošie mezgli.

Adamsa metožu ideja ir izmantot iepriekšējās darbībās aprēķinātās vērtības, lai palielinātu precizitāti

와이 케이 -1 , 와이 케이 -2 , 와이 케이 -3 …

Ja vērtības ir 케이 iepriekšējie mezgli, tad mēs runājam par vienādojuma integrēšanas k-step metodi. Viens no veidiem, kā izveidot daudzpakāpju metodes, ir šāds. Izmantojot funkciju vērtības, kas aprēķinātas k iepriekšējos mezglos, Tiek izveidots pakāpes interpolācijas 다항식 (k-1) –엘 케이 -1 (엑스) , ko izmanto, integrējot diferenciālvienādojumu ar izteiksmi:

Integrālis Tiek izteikts ar kvadrātveida 공식:

쿠르 λ 엘 – kvadratūras koeficienti.

Tādā veidā iegūto formulu saimi sauc 네파르프로타미케이 - Adamsa soļu Diagramma. Kā redzams, kad 케이=1 Eilera 공식은 iegūta kā īpašs gadījums입니다.

Piemēram, 4. kārtas 공식 mums ir:

(3.7)

와이 ( lpp ) 케이 +1 – “예측”, kas aprēķināta, izmantojot iepriekšējo punktu vērtības, 에프 ( lpp ) 케이 +1 – aptuvenā funkcijas vērtība, kas aprēķināta vietā, kur tika iegūta prognoze, 와이 ( 씨 ) 케이 +1 – prognozētās vērtības “korekcija”, 와이 케이 +1 – vēlamā vērtība pēc Adamsa.

Šīs DE risināšanas metodes priekšrocība ir tāda, ka katrā punktā Tiek aprēķināta tikai viena funkcijas vērtība F(x,y). Trūkumi ietver neiespējamību sākt daudzpakāpju metodi no viena sākuma punkta, jo aprēķiniem, izmantojot 케이-단계 공식 ir nepieciešama funkcijas vērtības vērtība in 케이메즈글리. Tāpēc tas ir nepieciešams (k-1)리시나줌스 피르마호스 메즈글로스 엑스 1 , x 2 , …, 엑스 k-1 iegūts, izmantojot jebkuru vienpakāpju metodi, Piemēram, 4. kārtas Runge-Kutta metodi.

Vēl viena problēma ir nespēja mainīt soli risinājuma procesa laikā, kas ir viegli realizējama vienpakāpju metodēs.

4. Īss C++ 프로그램은 실행 전에 실행됩니다.

이르 지남스, 카 피르마스 카르타스 파라스테이스 디페렌치알비에나도줌스 ir šāda 형식: .Šī vienādojuma risinājums ir diferencējama funkcija, kas, aizvietojot vienādojumā, pārvērš to par identitāti. Tiek saukts grafiks diferenciālvienādojuma atrisināšanai (1. attēls). 통합적이다.

Atvasinājumu katrā punktā var ģeometriski analyzeēt kā pieskares pieskarei risinājuma grafikam, kas iet caur šo punktu, t.i.:.

Sākotnējais vienādojums definē veselu risinājumu saimi. Lai izvēlētos vienu risinājumu, estatiet sākotnējais stāvoklis: , kur ir kāda Argumenta dotā vērtība, a– funkcijas sākotnējā vērtība.

코시 문제 ir tādas funkcijas atrašana, kas apmierina sākotnējo vienādojumu un sākotnējo nosacījumu. Parasti Košī problēmas risinājums Tiek noteiktsegmentā, kas atrodas pa labi no sākotnējās vērtības, t.i., par.

Pat vienkāršiem pirmas kārtas diferenciālvienādojumiem ne vienmēr ir iespējams iegūt anāītisko risinājumu. Tāpēc liela nozīme ir skaitlisko risinājumu metodēm. Skaitliskās metodes ļauj noteikt vēlamā risinājuma aptuvenās vērtības izvēlētajā 논쟁 vērtību režģī. 푼티 티에크 사우크티 레자 메즈글리, un vērtība ir režģa solis. Bieži Tiek uzskatīts 비엔베이딕스 시에츠, kuriem solis ir nemainīgs. Šajā gadījumā risinājums Tiek iegūts tabulas veidā, kurā katrs režģa mezgls atbilst aptuvenām funkcijas vērtībām režģa mezglos.

Skaitliskās metodes neļauj atrast risinājumu vispārīgā formā, bet tās ir Piemērojamas plašai diferenciālvienādojumu klasei.

Skaitlisko metožu konverģence Košī problēmas risināšanai.Ļaujiet 그러나 Košī 문제는 risinājumam입니다. 피에즈바니심 쿠다 skaitliskā metode ir funkcija, kas norādīta režģa mezglos. Pieņemsim vērtību kā appolūto kļūdu.

Tiek saukta skaitliskā metode Košī problēmas risināšanai 사과, ja viņam plkst. Tiek uzskatīts, ka metodei ir precizitātes secība, ja kļūdai ir šāds novērtējums: – 네마이닉,.

에일레라 방식

Vienkāršākā metode Košī problēmas risināšanai ir Eilera metode. Mēs atrisināsim Košī 문제

세그먼트. Atlasīsim soļus un izveidosim režģi ar mezglu sistēmu. Eilera metodē aptuvenās funkcijas vērtības Tiek aprēķinātas režģa mezglos:. Aizstājot atvasinājumu ar galīgām atšķirībām 세그먼트, iegūstam aptuveno vienādību:,, ko var pārrakstīt šādi:,.

Šīs 공식 un sākotnējais nosacījums ir Eilera 방법 aprēķinu 공식.

Viena Eilera metodes posma ģeometriskā explainācija ir tāda, ka atrisinājumsegmentā tiek aizstāts ar tangensu, kas novilkta integrālās līknes punktā, kas iet caur šo punktu. Pēc darbību pabeigšanas nezināmā integrāļa līkne Tiek aizstāta ar lauztu līniju (Eilera lauztā līnija).

Kļūdas aplēse. Lai novērtētu Eilera metodes kļūdu, mēs izmantojam šādu teorēmu.

테오레마.Ļaujiet funkcijai izpildīt nosacījumus:

.

Tad Eilera metodei ir derīgs šāds kļūdu novērtējums: , kur ir 세그먼트a garums. Mēs redzam, ka Eilera metodei ir pirmās kārtas precizitāte.

Eilera metodes kļūdu novērtēt bieži ir grūti, jo tas prasa funkcijas atvasinājumu aprēķinu. Sniedz aptuvenu kļūdas aplēsi Runges noteikums(dubultās skaitīšanas noteikums), ko izmanto dažādām vienpakāpju metodēm, kuru precizitāte ir -. Runges noteikums ir šāds. Ļaut būt tuvinājumiem, kas iegūti ar soli, un piņemt tuvinājumus, kas iegūti ar soli. Tad ir spēkā aptuvenā vienādība:

.

Tādējādi, lai novērtētu vienpakāpes metodes kļūdu ar soli, jums jāatrod tas pats risinājums ar soļiem un jāaprēķina labās puses vērtība pēdējā formulā, t.i., tā kā Eilera met odei ir pirma precizitātes pakāpe , t.i., aptuvenajai vienlīdzībai ir skats:.

Izmantojot Runges likumu, ir iespējams izveidot procedūru Košī problēmas risinājuma aptuvenai aprēķināšanai ar noteiktu precizitāti . Lai to izdarītu, jāsāk aprēķini no noteiktas soļa vērtības un secīgi jāsamazina šī vērtība uz pusi, katru reizi aprēķinot aptuveno vērtību, . Aprēķini Tiek pārtraukti, kad ir izpildīts nosacījums: . Eilera metodei šis nosacījums būs šādā formā:. Aptuvens risinājums būtu vērtības .

1. 피머.Ļaujiet mums attrast risinājumu šādas Košī problēmas 세그먼트am:,. 스페르심 솔리. 약간.

Eilera metodes aprēķina 공식 ir šāda:

, .

Iesniegsim risinājumu 1. tabulas veidā:

1. 표

Sākotnējais vienādojums ir Bernulli vienādojums. Tās risinājumu var atrast skaidrā formā: .

Lai salīdzinātu precīzus un aptuvenus risinājumus, mēspiedāvājam precīzu risinājumu 2. tabulas veidā:

2. 표

Tabulā redzams, ka kļūda ir