1. 정의 : Virsmas pieskares plakne dotajā punktā P (x 0, y 0, z 0) ir plakne, kas iet caur punktu P un satur Visas pieskares, kas konstruētas punktā P visām iespējamām līknēm uz šīs virsmas, kas iet caur punktu P.

Ļaujiet virsmu s norādīt ar vienādojumu 에프 (엑스, 제발, 지) = 0개 펑크 피 (엑스 0 , g 0 , z 0) 피더 샤이 비르스마이(pieder šai virsmai). Ļaujiet mums izvēlēties kādu līkni uz virsmas 엘그렇죠 카우르 펑크투 아르 자형.

Ļaujiet 엑스 = 엑스(티), 제발 = 제발(티), 지 = 지(티) - 파라메트루 비에나도주미리니야스 엘.

Pieņemsim, ka: 1) funkcija 에프(엑스, 제발, 지) ir diferencējams punktā 아르 자형 un ne visi tā daļējie atvasinājumi šajā brīdī ir vienādi ar nulli; 2) 펑크시자 엑스(티), 제발(티), 지(티) ir arī diferencējami.

Tā kā līkne Pieder virsmai s, jebkura šīs līknes punkta koordinātas, kas aizvietotas ar virsmas vienādojumu, pārvērtīs to par identitāti. Tādējādi identitātes vienlīdzība ir patiesa: 에프 [엑스(티), 제발(티), 지 (티)]= 0.

Šīs identitātes diferencēšana attiecībā uz mainīgo 티 izmantojot ķēdes noteikumu, iegūstam jaunu identitāti, kas ir derīga visos līknes punktos, arī punktā 피 (엑스 0 , g 0 , z 0):

Ļaujiet punktam Р atbilst parametra vērtībai 티 0,타스 ir 엑스 0 = 엑스 (티 0), 와이 0 = 와이 (티 0), 지 0 = 지 (티 0). Tad pēdējā punktā aprēķinātā attiecība 아르 자형, piņems 형식

Šī 공식 ir divu vektoru punktveida reizinājums. Pirmais no tiem ir 상수 벡터

netkarīgi no virsmas līknes izvēles.

Otrais vektors ir pieskare punktā 아르 자형우즈 리니주 엘, kas nozīmē, ka tas ir atkarīgs no līnijas izvēles uz virsmas, tas ir, tas ir mainīgs vektors.

Ar ieviesto apzīmējumu vienlīdzība:

파라크스티트 카.

Tā nozīme ir šāda: punktu reizinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc vektori un ir perpendikulāri. Visu veidu līkņu izvēle, kas iet caur punktu 아르 자형 uz virsmas s mums būs dažādi pieskares vektori, kas konstruēti punktā 아르 자형šīm līnijām; 벡터 탐색 atkarīgs no šīs izvēles un būs perpendikulārs jebkuram no tiem, tas ir, visi pieskares vektori atrodas vienā plaknē, kas pēc definīcijas ir pieskares virsmai s, un punkts 아르 자형šajā gadījumā to sauc par pieskares punktu. Vektors ir virsmas norāļa virziena vektors.

정의 2: Normāls pret virsmu s punktā P ir taisne, kas iet caur punktu P un ir perpendikulāra šajā punktā izveidotajai pieskares plaknei.

Mēs esam pierādījuši pieskares plaknes esamību un līdz ar to arī virsmas norālu. Pierakstīsim에서 vienādojumus까지:

Pieskares plaknes vienādojums, kas konstruēts punktā P(x0, y0, z0) virsmai s, kas dots ar vienādojumu F(x, y, z) = 0;

Punktā novilktas normas vienādojums 아르 자형 uz virsmu s.

피머스: Atrodiet virsmas vienādojumu, ko veido parabolas rotācija:

지 2 = 2p (와이 +2)

ap asi oy, aprēķina ar nosacījumu, ka punkts 남(3, 1, - 3)피더 비스마이. Atrodiet virsmas norās un pieskares plaknes vienādojumus punktā M.

리시나줌스. Izmantojot revolūcijas virsmas reģistrēšanas noteikumu, mēs iegūstam:

지 2 + 엑스 2 = 2p (와이 +2) .

Aizvietojot šajā vienādojumā punkta M koordinātas, mēs aprēķinām parametra p vērtību: 9 + 9 = 2p (1 + 2) ... Pierakstiet galīgo skatu uz apgriezienu virsmu, kas iet caur punktu 중:

지 2 + 엑스 2 = 6(년 +2).

Tagad mēs atradisim normalās un pieskares plaknes vienādojumus pēc formulām, kurām vispirms aprēķinām funkcijas daļējos atvasinājumus:

에프(x,y) = 지 2 + 엑스 2- 6(g +2):

Tad pieskares plaknes vienādojums iegūst formu 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z) + 3) = 0 vai x - y - z - 5 = 0;

Apsveriet vairāku mainīgo funkcijas atvasinājuma ģeometriskos lietojumus. Ļaujiet divu mainīgo funkciju norādīt netieši:. Savā definīcijas jomā šī funkcija ir attēlota ar kādu virsmu(5.1.sadaļa). Paņemiet patvaļīgu punktu uz šīs virsmas , kurā Pastāv un ir nepārtraukti visi trīs daļējie atvasinājumi, un vismaz viens no tiem nav vienāds ar nulli.

Punktu ar šādām īpašībām sauc 파라스트 Virsmas 펑크. Ja nav izpildīta vismaz viena no iepriekš minētajām prasībām, tad punkts Tiek izsaukts 이파스 Virsmas 펑크.

Caur virsmas izvēlētu punktu var novilkt līkņu kopu, kurai katram var novilkt pieskares punktu.

정의 5.8.1 . Plakni, kurā atrodas Visas pieskares līnijas līnijām uz virsmas, kas iet caur kādu punktu, sauc par pieskares plakni šai virsmai punktā. .

Lai uzzīmētu noteiktu plakni, Pietiek ar divām pieskares līnijām, tas ir, divām līknēm uz virsmas. Tās var būt līknes, kas iegūtas, sadalot doto virsmu pa plaknēm (5.8.1. attēls).

Uzrakstīsim pieskares līnijas vienādojumu līknei, kas atrodas virsmas un plaknes krustpunktā. Tā kā šī līkne atrodas koordinātu sistēmā, tās pieskares vienādojumam punktā saskaņā ar 2.7. Iedaļu ir šāda 형식:

. (5.8.1)

Attiecīgi līknes pieskares vienādojumam, kas atrodas virsmas un plaknes krustpunktā koordinātu sistēmā vienā un tajā pašā punktā, ir šāda forma:

. (5.8.2)

Mēs izmantosim izteiksmi netieši definetas funkcijas atvasinājumam (5.7. sadaļa). 태드, 아. Aizvietojot šos atvasinājumus (5.8.1) un (5.8.2), mēs iegūstam attiecīgi:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Tā kā iegūtās izteiksmes nav nekas cits kā taisnu vienādojumi kanoniskā formā (15. sadaļa), tad no (5.8.3) iegūstam virziena vektoru , 아니오 (5.8.4) - ... Vektora reizinājums dos norālu vektoru dotajām pieskares līnijām un līdz ar to arī pieskares plaknei:

No tā izriet, ka virsmas pieskares plaknes vienādojums punktā ir šāda veidlapa(14. pozīcija):

정의 5.8.2 . Caur punktu novilkta līnija virsma, kas šajā punktā ir perpendikulāra pieskares plaknei, ko sauc par virsmas normalu.

Tā kā normas virziena vektors pret virsmu sakrīt ar normalu pieskares plaknei, norrmalvienādojumam ir šāda forma:

.

Skalārais lauks

Ļaujiet telpā norādīt laukumu, kas aizņem daļu vai visu šo vietu. Ļaujiet katram šī apgabala punktam pēc kāda likuma Piešķirt noteiktu skalāru lielumu(skaitli).

정의 5.9.1 . Apgabalu telpā, kura katram punktam saskaņā ar labi zināmu likumu ir Piešķirts noteikts skalārais lielums, sauc par skalāro lauku..

당신은 당신이 원하는 대로 시스템을 구축할 수 있고, 당신이 원하는 대로 시스템을 구축할 수 있습니다. Šajā gadījumā skalārs kļūst par koordinātu funkciju: plaknē -, trīsdimensiju telpā - ... Funkciju, kas apraksta noteiktu lauku, bieži sauc par skalāro lauku. Atkarībā no telpas izmēra skalārais lauks var but plakans, trīsdimensiju utt.

Jāuzsver, ka skalārā lauka lielums ir atkarīgs tikai no punkta stāvokļa reģionā, bet nav atkarīgs no koordinātu sistēmas izvēles.

정의 5.9.2 . Skalārais lauks, kas ir atkarīgs tikai no punkta stāvokļa reģionā, bet nav atkarīgs no laika, Tiek saukts par stacionāru.

Šajā sadaļā mēs neapskatīsim Nestacionārus skalārus laukus, tas ir, atkarīgus no laika.

Skalāro lauku Piemēri ir tempatūras lauks, spiediena lauks atmosfērā un augstuma lauks virs okeāna līmeņa.

Ģeometriski skalārie lauki bieži Tiek attēloti, izmantojot tā sauktās līmeņa līnijas vai virsmas.

정의 5.9.3 . Visu telpas punktu kopa, kurā atrodas skalārais lauks ir tāda pati nozīme, ko sauc par līdzenu virsmu vai ekvipotenciālu virsmu. V 플라칸 코퍼스 skalāram laukam šo kopu sauc par līmeņa līniju vai ekvipotenciāla līniju.

Acīmredzot līdzenās virsmas vienādojumam ir forma , līmeņa līnijas -. Dodot šajos vienādojumos konstanti 다자다스 노지메스, mēs iegūstam virsmu vai līmeņu līniju saimi. 피에메람, (ligzdotas sfēras ar dažādiem rādiusiem) vai (elipses saime).

Kā Piemērus līmeņu līnijām no fizikas var minēt izotermas(līnijas ar vienādu tempratūru), izobārus(līnijas ar vienādu spiedienu); no ģeodēzijas - vienāda augstuma līnijas utt.

Normālās plaknes vienādojums

1.

4.

Pieskares plakne un virsma normala

Dota kāda virsma, A ir virsmas fiksēts punkts un B ir virsmas mainīgais punkts,

(1. att.).

Null 벡터

→

N

사우카 법선 벡터 uz virsmu punktā A, ja

임 B→A j = π 2 .

Virsmas punktu F(x, y, z) = 0 sauc par parastu, ja šajā punktā

1. parciālie atvasinājumi F "x, F" y, F "z ir nepārtraukti;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Ja Tiek pārkāpts vismaz viens no šiem nosacījumiem, Tiek izsaukts punkts uz virsmas virsmas vienreizējais punkts .

1. 이론.자엠(x 0, y 0, z 0) ir parasts virsmas punkts F (x, y, z) = 0, tad vektors

→ N = 등급 F(x0, y0, z0) = F"x(x0, y0, z0) → 나 + F "y (x 0, y 0, z 0) → 제이 + F "z (x 0, y 0, z 0) → 케이

(1)

ir normals šai virsmai punktā M (x 0, y 0, z 0).

피에라디줌스 grāmatā dots I.M. LA 페트루스코 쿠즈네코프스, V.I. 프로호렌코, V.F. Safonova `` Augstākās matemātikas kurss: Integrālrēķins. Vairāku mainīgo funkcijas. Diferenciālvienādojumi. Maskava: MPEI 출판사, 2002(128. lpp.).

Normāls pret virsmu kādā punktā to sauc par taisni, kuras virziena vektors ir normals pret virsmu šajā punktā un kura iet caur šo punktu.

카노니스크 노말리 비에나도주미바르 아텔로트 카

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = 와이 - 와이 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

피에스카레스 플라크네 uz virsmu kādā punktā sauc par plakni, kas iet caur šo punktu perpendikulāri virsmas normai šajā punktā.

No šīs definīcijas izriet, ka 피에스카레스 플라크네스 비에나도줌스이즈스카타 카:

(3)

Ja virsmas punkts ir vienskaitlis, tad šajā punktā virsmai normals vektors var nepastāvēt, un tāpēc virsmai var nebūt norālās un pieskares plaknes.

Ģeometriskā nozīme 필른 디페렌시알리스디부 마이니고 펑크시자스

Lai funkcija z = f(x, y) ir diferencējama punktā a(x 0, y 0). Tās 그래픽 ir virsma

f(x,y) - z = 0.

Mēs ieliekam z 0 = f (x 0, y 0). Tad punkts A (x 0, y 0, z 0)는 매우 중요합니다.

Funkcijas F(x, y, z) = f(x, y) - z daļējie atvasinājumi ir

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

un punktā A (x 0, y 0, z 0)

1. 넥타이 ir nepārtraukti;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Tāpēc A ir parasts virsmas F punkts(x, y, z), un šajā punktā ir virsmas pieskares plakne. Saskaņā ar (3) pieskares plaknes vienādojumam ir šāda forma:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Punkta vertikālā nobīde pieskares plaknē, pārejot no punkta a (x 0, y 0) uz patvaļīgu punktu p (x, y), ir B Q (2. att.). Attiecīgais peeaugums ir

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Šeit labajā pusē ir diferenciālis 디 funkcijas z = f (x, y) z punktā a (x 0, x 0). 타펙
디 f(x0, y0). ir tādas plaknes pieskares punkta Pielietojuma palielinājums, kas pieskaras funkcijas f (x, y) grafikam punktā (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

다른 정의는 없습니다. ka attālums starp punktu P funkcijas grafikā un punktu Q pieskares plaknē ir bezgalīgi mazs un augstāks nekā attālums no punkta p līdz punktam a.

Lejupielādēt no vietnes Depositfiles

4. 비르스무 테오리자.

4.1. VIRSMU VIENĀDĀJUMI.

Virsmu 3D Telpā var norādīt:

1) 네티: 에프 ( 엑스 , 와이 , 지 ) =0 (4.1)

2) 스카이드리: 지 = 에프 ( 엑스 , 와이 ) (4.2)

3) 매개변수: (4.3)

바이:
(4.3’)

쿠르 스칼라리 인수
dažreiz sauc par līknes koordinātām. Piemēram, 스페라
ir ērti iestatīt sfēriskās koordinātās:
.

4.2. TANGENTES LAKNE UN NORMĀLA VIRSMAI.

Ja taisne atrodas uz virsmas (4.1), tad tās punktu koordinātas atbilst virsmas vienādojumam:

Atšķirot šo identitāti, mēs iegūstam:

(4.4)

바이
(4.4 ’ )

katrā virsmas līknes punktā. Tādējādigradienta vektors virsmas nevienskaitļa punktos(kuros funkcija(4.5) ir diferencējama un
중 0 (엑스 0 , 와이 0 , 지 0 )virsma

(4.6)

un kā virziena vektors parastajā vienādojumā:

(4.7)

Eksplicīta (4.2) gadījumā, kas norāda virsmu, pieskares plaknes un normalās vienādojumi ir attiecīgi šādā formā:

(4.8)

유엔
(4.9)

Virsmas parametriskajā attēlojumā (4.3.) vektori
atrodas pieskares plaknē, un pieskares plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(4.10)

un to krustojumu var uzskatīt par normas virziena vektoru:

un parasto vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(4.11)

쿠르
- parametru vērtības, kas atbilst punktam M 0 .

Tālāk mēs aprobežojamies ar to virsmas punktu ņemšanu vērā, kuros ir vektori

nav vienāds ar nulli un nav paralēls.

피머스 4.1 Sastādiet pieskares plaknes un norrmalās vienādojumus punktā M 0 (1,1,2) uz apgriezienu paraboloīda virsmu
.

Risinājums: tā kā paraboloīda vienādojums ir skaidri norādīts saskaņā ar (4.8) un (4.9), jums ir jāatrod
펑크타 M 0 :

, 펑크타 M 0
... Tad pieskares plaknes vienādojums punktā M 0 버스 šādā 형식:

2(엑스 -1)+2(와이 -1)-(지-2) = 0 vai 2 엑스 +2 와이 - z - 2 = 0, un parastais vienādojums
.

피머스 4.2 Sastādiet pieskares plaknes un norrmalās vienādojumus patvaļīgā helikoīda punktā
, .

리시나줌스. 세이트,

Pieskares plaknes vienādojums:

바이

Parastie vienādojumi:

.

4.3. PIRMĀ KVADUMA VIRSMAS FORMA.

Ja virsma ir dota ar vienādojumu

태드 리크네
uz에서 var dot ar vienādojumu로
(4.12)

Rādiusa vektora diferenciālis
pa līkni, kas atbilst nobīdei no punkta M 0 uz tuvējo punktu M ir vienāds ar

(4.13)

조
Vai līknes loka diferenciālis atbilst vienam un tam pašam pārvietojumam), tad

(4.14)

쿠르.

Izteiksme(4.14) labajā pusē Tiek saukta par pirmo kvadrātiskās virsmas formu, un tai ir milzīga loma virsmu teorijā.

Es integrēju diferenciāliDS사콧 아니 티 0 (atbilst punktam M 0) 리즈 t (atbilst punktam M), iegūstam atbilstošā līknes 세그먼트 가루무

(4.15)

Zinot pirmo kvadrātiskās virsmas formu, var atrast ne tikai garumus, bet arī leņķus starp līknēm.

자 뒤 , dv Vai līklīniju koordinātu diferenciāles atbilst bezgalīgi mazai nobīdei vienā līknē un
- otras puses 없음, ņemot vērā (4.13.):

(4.16)

Izmantojot 공식

(4.17)

pirma kvadrātiskā 형식 ļauj aprēķināt reģiona laukumu
Virsmas.

피머스 4.3 Uz helikoīda atrodiet spirāles garumu
스타프 디비엠 펑크티엠.

리시나줌스. Kopš uz 나선
, 좀. 아트로디 펑크타
pirma kvadrātiskā 형식. Apzīmējot unV = 티 , mēs iegūstam šīs spirālveida līnijas vienādojumu formā. 크바드라티스카 형식:

= ir pirmā kvadrātiskā 형식.

Šeit. Šajā gadījumā 공식(4.15.).
유엔 로카 가르룸:

=

4.4. OTRĀ KVADUMA VIRSMAS FORMA.

Mēs apzīmējam
Vai vienība ir normals vektors pret virsmu
:

(4.18) . (4.23)

Virsmas līniju sauc par izliekuma līniju, ja tās virziens katrā punktā ir galvenais virziens.

4.6. VIRSMAS ĢEODĒZISKO LĪNIJU KONCEPCIJA.

정의 4.1 ... Virsmas līkni sauc par ģeodēzisko, ja tā ir galvenā norma katrā punktā, kur izliekums atšķiras no nulles, sakrīt ar normalu uz virsmu.

Tas iet caur katru virsmas punktu jebkurā virzienā, turklāt tikai viens ģeodēzisks. Piemēram, uz sfēras lieli apļi ir ģeodēzija.

Virsmas parametrizāciju sauc par daļēji ģeodēzisku, ja viena koordinātu līniju saime sastāv no ģeodēzijas, bet otrā ir tai ortogonāla. Piemēram, uz sfēras meridiāniem(ģeodēziem) un paralēlēm.

Ģeodēzija uz Pietiekami maza 세그먼트a ir īsākā no visām līknēm, kas ir tuvu tam, kas savieno vienus un tos pašus punktus.