11.1. Pamatjēdzieni

Apskatīsim līnijas, kas noteiktas ar otrās pakāpes vienādojumiem attiecībā pret pašreizējām koordinātām

Vienādojuma koeficienti ir reāli skaitļi, bet vismaz viens no skaitļiem A, B vai C nav nulle. Šādas līnijas sauc par otrās kārtas līnijām (līknēm). Zemāk tiks konstatēts, ka vienādojums (11.1) definē apli, elipsi, hiperbolu vai parabolu plaknē. Pirms pāriet uz šo apgalvojumu, izpētīsim uzskaitīto līkņu īpašības.

11.2. Aplis

Vienkāršākā otrās kārtas līkne ir aplis. Atgādinām, ka aplis ar rādiusu R ar centru kādā punktā ir visu plaknes punktu M kopa, kas atbilst nosacījumam . Pieņemsim, ka punktam taisnstūra koordinātu sistēmā ir koordinātes x 0, y 0 un - patvaļīgs punkts uz riņķa līnijas (skat. 48. att.).

Tad no nosacījuma iegūstam vienādojumu

(11.2)

Vienādojumu (11.2) apmierina jebkura punkta koordinātas uz dotā riņķa, un to neapmierina neviena punkta koordinātas, kas neatrodas uz apļa.

Tiek izsaukts vienādojums (11.2). apļa kanoniskais vienādojums

Jo īpaši, nosakot un , Mēs iegūstam apļa vienādojumu ar centru izcelsmē .

Apļa vienādojums (11.2) pēc vienkāršām pārveidojumiem iegūs formu . Salīdzinot šo vienādojumu ar otrās kārtas līknes vispārējo vienādojumu (11.1), ir viegli pamanīt, ka apļa vienādojumam ir izpildīti divi nosacījumi:

1) koeficienti x 2 un y 2 ir vienādi;

2) nav neviena elementa, kas satur pašreizējo koordinātu reizinājumu xy.

Apskatīsim apgriezto problēmu. Ievietojot vērtības un vienādojumā (11.1), mēs iegūstam

Pārveidosim šo vienādojumu:

(11.4)

No tā izriet, ka vienādojums (11.3) definē apli saskaņā ar nosacījumu . Tās centrs atrodas punktā , un rādiuss

.

Ja , tad vienādojumam (11.3) ir forma

.

To apmierina viena punkta koordinātas . Šajā gadījumā viņi saka: "aplis ir deģenerējies par punktu" (ir nulles rādiuss).

Ja , tad vienādojums (11.4) un līdz ar to arī ekvivalentais vienādojums (11.3) nedefinēs nevienu taisni, jo (11.4) vienādojuma labā puse ir negatīva, bet kreisā nav negatīva (teiksim: “iedomāts aplis”).

11.3. Elipse

Kanoniskais elipses vienādojums

Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kuru attālumu summa no katra līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, t.s. triki , ir nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.

Apzīmēsim fokusus ar F 1 Un F 2, attālums starp tiem ir 2 c, un attālumu summa no patvaļīga elipses punkta līdz fokusam - 2 a(skat. 49. att.). Pēc definīcijas 2 a > 2c, t.i. a > c.

Lai iegūtu elipses vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss F 1 Un F 2 gulēja uz ass, un izcelsme sakrita ar segmenta vidu F 1 F 2. Tad fokusiem būs šādas koordinātas: un .

Ļaut ir patvaļīgs elipses punkts. Tad saskaņā ar elipses definīciju, t.i.

Tas būtībā ir elipses vienādojums.

Pārveidosim vienādojumu (11.5) uz vienkāršāku formu šādi:

Jo a>Ar, Tas. Liekam

(11.6)

Tad pēdējais vienādojums būs formā vai

(11.7)

Var pierādīt, ka vienādojums (11.7) ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam. To sauc kanoniskais elipses vienādojums .

Elipse ir otrās kārtas līkne.

Elipses formas izpēte, izmantojot tās vienādojumu

Nosakīsim elipses formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu.

1. Vienādojums (11.7) satur x un y tikai pāra pakāpēs, tātad, ja punkts pieder elipsei, tad tai pieder arī punkti ,,. No tā izriet, ka elipse ir simetriska attiecībā pret un asīm, kā arī pret punktu, ko sauc par elipses centru.

2. Atrodiet elipses krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Liekot , atrodam divus punktus un , kuros ass krustojas ar elipsi (skat. 50. att.). Ievietojot vienādojumu (11.7) , atrodam elipses krustošanās punktus ar asi: un . Punkti A 1 , A 2 , B 1, B 2 tiek saukti elipses virsotnes. Segmenti A 1 A 2 Un B 1 B 2, kā arī to garumi 2 a un 2 b tiek attiecīgi saukti lielās un mazās asis elipse. Skaitļi a Un b tiek saukti attiecīgi par lieliem un maziem asu vārpstas elipse.

3. No (11.7) vienādojuma izriet, ka katrs loceklis kreisajā pusē nepārsniedz vienu, t.i. nevienlīdzības un vai un notiek. Līdz ar to visi elipses punkti atrodas taisnstūrī, ko veido taisnas līnijas.

4. Vienādojumā (11.7) nenegatīvo vārdu un summa ir vienāda ar vienu. Līdz ar to vienam termiņam pieaugot, otrs samazināsies, t.i., ja palielinās, tad samazinās un otrādi.

No iepriekš minētā izriet, ka elipsei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 50 (ovāla slēgta līkne).

Vairāk informācijas par elipsi

Elipses forma ir atkarīga no attiecības. Kad elipse pārvēršas par apli, elipses vienādojums (11.7) iegūst formu . Attiecību bieži izmanto, lai raksturotu elipses formu. Puses attāluma attiecību starp fokusiem un elipses daļēji galveno asi sauc par elipses ekscentriskumu, un o6o apzīmē ar burtu ε (“epsilons”):

ar 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Tas parāda, ka, jo mazāka ir elipses ekscentriskums, jo mazāk saplacināta būs elipse; ja uzstādām ε = 0, tad elipse pārvēršas aplī.

Lai M(x;y) ir patvaļīgs elipses punkts ar fokusiem F 1 un F 2 (skat. 51. att.). Nogriežņu garumus F 1 M = r 1 un F 2 M = r 2 sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Acīmredzot

Formulas turas

Tiešās līnijas sauc

Teorēma 11.1. Ja ir attālums no patvaļīga elipses punkta līdz kādam fokusam, d ir attālums no tā paša punkta līdz virzienam, kas atbilst šim fokusam, tad attiecība ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar elipses ekscentriskumu:

No vienlīdzības (11.6) izriet, ka . Ja, tad vienādojums (11.7) definē elipsi, kuras galvenā ass atrodas uz Oy ass, bet mazā ass uz Ox ass (skat. 52. att.). Šādas elipses perēkļi atrodas punktos un , kur .

11.4. Hiperbola

Kanoniskais hiperbolas vienādojums

Hiperbola ir visu plaknes punktu kopa, attālumu starpības modulis no katra no tiem līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, t.s. triki , ir nemainīga vērtība, kas ir mazāka par attālumu starp fokusiem.

Apzīmēsim fokusus ar F 1 Un F 2 attālums starp tiem ir 2s, un attāluma starpības modulis no katra hiperbolas punkta līdz perēkļiem cauri 2a. A-prior 2a < 2s, t.i. a < c.

Lai iegūtu hiperbolas vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss F 1 Un F 2 gulēja uz ass, un izcelsme sakrita ar segmenta vidu F 1 F 2(skat. 53. att.). Tad perēkļiem būs koordinātes un

Ļaut ir patvaļīgs hiperbolas punkts. Tad saskaņā ar hiperbolas definīciju vai , t.i., pēc vienkāršošanas, kā tas tika darīts, atvasinot elipses vienādojumu, mēs iegūstam kanoniskais hiperbolas vienādojums

(11.9)

(11.10)

Hiperbola ir otrās kārtas rinda.

Hiperbolas formas izpēte, izmantojot tās vienādojumu

Noteiksim hiperbolas formu, izmantojot tās kakonisko vienādojumu.

1. Vienādojums (11.9) satur x un y tikai pāra pakāpēs. Līdz ar to hiperbola ir simetriska pret asīm un , kā arī pret punktu, ko sauc par hiperbolas centrs.

2. Atrodiet hiperbolas krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Ievietojot vienādojumu (11.9), mēs atrodam divus hiperbolas krustošanās punktus ar asi: un. Ievietojot (11.9), iegūstam , kas nevar būt. Tāpēc hiperbola nekrustojas ar Oy asi.

Punkti tiek saukti virsotnes hiperbolas un segments

reālā ass , līnijas segments - īsta pusass hiperbola.

Tiek saukts segments, kas savieno punktus iedomātā ass , numurs b - iedomāta pusass . Taisnstūris ar malām 2a Un 2b sauca hiperbolas pamata taisnstūris .

3. No (11.9) vienādojuma izriet, ka minuend ir ne mazāks par vienu, t.i., ka vai . Tas nozīmē, ka hiperbolas punkti atrodas pa labi no līnijas (hiperbolas labais atzars) un pa kreisi no līnijas (hiperbolas kreisais atzars).

4. No hiperbolas vienādojuma (11.9) ir skaidrs, ka, palielinoties, tas palielinās. Tas izriet no fakta, ka starpība saglabā nemainīgu vērtību, kas vienāda ar vienu.

No iepriekš minētā izriet, ka hiperbolai ir 54. attēlā parādītā forma (līkne, kas sastāv no diviem neierobežotiem zariem).

Hiperbolas asimptotes

Taisni L sauc par asimptotu neierobežotas līknes K, ja attālumam d no līknes K punkta M līdz šai taisnei ir tendence uz nulli, ja punkta M attālums gar līkni K no sākuma ir neierobežots. 55. attēlā ir parādīts asimptotes jēdziens: taisne L ir līknes K asimptote.

Parādīsim, ka hiperbolai ir divi asimptoti:

(11.11)

Tā kā taisnes (11.11) un hiperbola (11.9) ir simetriskas attiecībā pret koordinātu asīm, pietiek ņemt vērā tikai tos norādīto līniju punktus, kas atrodas pirmajā ceturksnī.

Ņemsim punktu N uz taisnes, kam ir tāda pati abscise x kā hiperbolas punktam (skat. 56. att.), un atrodiet atšķirību ΜΝ starp taisnes un hiperbolas atzara ordinātām:

Kā redzat, palielinoties x, palielinās daļas saucējs; skaitītājs ir nemainīga vērtība. Tāpēc segmenta garums ΜΝ ir tendence uz nulli. Tā kā MΝ ir lielāks par attālumu d no punkta M līdz taisnei, tad d tiecas uz nulli. Tātad līnijas ir hiperbolas (11.9) asimptotes.

Konstruējot hiperbolu (11.9), vēlams vispirms izveidot hiperbolas galveno taisnstūri (skat. 57. att.), novilkt taisnas līnijas, kas iet caur šī taisnstūra pretējām virsotnēm - hiperbolas asimptotus un atzīmēt virsotnes un , no hiperbolas.

Vienādmalu hiperbolas vienādojums.

kuru asimptoti ir koordinātu asis

Hiperbolu (11.9) sauc par vienādmalu, ja tās pusasis ir vienādas ar (). Tā kanoniskais vienādojums

(11.12)

Vienādmalu hiperbolas asimptotiem ir vienādojumi, un tāpēc tie ir koordinātu leņķu bisektrise.

Apskatīsim šīs hiperbolas vienādojumu jaunā koordinātu sistēmā (skat. 58. att.), kas iegūts no vecās, pagriežot koordinātu asis par leņķi. Mēs izmantojam formulas koordinātu asu rotēšanai:

Mēs aizstājam x un y vērtības vienādojumā (11.12):

Vienādmalu hiperbolas vienādojumam, kuram Ox un Oy asis ir asimptotes, būs forma .

Vairāk informācijas par hiperbolu

Ekscentriskums hiperbola (11.9) ir attāluma starp fokusiem attiecība pret hiperbolas reālās ass vērtību, ko apzīmē ar ε:

Tā kā hiperbolai hiperbolas ekscentricitāte ir lielāka par vienu: . Ekscentriskums raksturo hiperbolas formu. Patiešām, no vienlīdzības (11.10) izriet, ka t.i. Un .

No tā var redzēt, ka jo mazāka ir hiperbolas ekscentriskums, jo mazāka ir tās pusasu attiecība un līdz ar to, jo garāks ir tās galvenais taisnstūris.

Vienādmalu hiperbolas ekscentriskums ir . Tiešām,

Fokusa rādiusi Un labā zara punktiem hiperbolām ir forma un , bet kreisajam zaram - Un .

Tiešās līnijas sauc par hiperbolas virzieniem. Tā kā hiperbolai ε > 1, tad . Tas nozīmē, ka labais virziens atrodas starp hiperbolas centru un labo virsotni, kreisais - starp centru un kreiso virsotni.

Hiperbolas virzieniem ir tāda pati īpašība kā elipses virzieniem.

Ar vienādojumu definētā līkne ir arī hiperbola, kuras reālā ass 2b atrodas uz Oy ass, bet iedomātā ass 2 a- uz Vērša ass. 59. attēlā tas ir parādīts kā punktēta līnija.

Ir acīmredzams, ka hiperbolām ir kopīgi asimptoti. Šādas hiperbolas sauc par konjugātiem.

11.5. Parabola

Kanoniskais parabolas vienādojums

Parabola ir visu plaknes punktu kopa, no kuriem katrs atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par fokusu, un noteiktas līnijas, ko sauc par virzienu. Attālumu no fokusa F līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p (p > 0).

Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu Oxy tā, lai Ox ass iet caur fokusu F perpendikulāri virzienam virzienā no virziena uz F, un koordinātu sākumpunkts O atrodas vidū starp fokuss un virziens (sk. 60. att.). Izvēlētajā sistēmā fokusam F ir koordinātas , bet virziena vienādojumam ir forma vai .

1. (11.13) vienādojumā mainīgais y parādās vienmērīgā pakāpē, kas nozīmē, ka parabola ir simetriska pret Vērša asi; Vērša ass ir parabolas simetrijas ass.

2. Tā kā ρ > 0, no (11.13) izriet, ka . Līdz ar to parabola atrodas pa labi no Oy ass.

3. Kad mums ir y = 0. Tāpēc parabola iet caur izcelsmi.

4. Pieaugot x bezgalīgi, arī modulis y bezgalīgi palielinās. Parabolai ir tāda forma (forma), kas parādīta 61. attēlā. Punktu O(0; 0) sauc par parabolas virsotni, segmentu FM = r sauc par punkta M fokusa rādiusu.

Vienādojumi , , ( p>0) definē arī parabolas, tās parādītas 62. attēlā

Ir viegli parādīt, ka kvadrātveida trinoma grafiks, kur , B un C ir jebkuri reāli skaitļi, ir parabola iepriekš sniegtās definīcijas nozīmē.

11.6. Otrās kārtas līniju vispārīgais vienādojums

Otrās kārtas līkņu vienādojumi ar simetrijas asīm, kas ir paralēlas koordinātu asīm

Vispirms atradīsim vienādojumu elipsei ar centru punktā, kura simetrijas asis ir paralēlas koordinātu asīm Ox un Oy un pusasis ir attiecīgi vienādas a Un b. Novietosim elipses O 1 centrā jaunas koordinātu sistēmas sākumu, kuras asis un pusasis a Un b(sk. 64. att.):

Visbeidzot, 65. attēlā parādītajām parabolām ir atbilstoši vienādojumi.

Vienādojums

Elipses, hiperbolas, parabolas un apļa vienādojumu pēc pārveidojumiem (atvērt iekavas, pārvietot visus vienādojuma nosacījumus uz vienu pusi, pārnest līdzīgus vārdus, ieviest jaunus koeficientu apzīmējumus) var uzrakstīt, izmantojot vienu vienādojumu formā

kur koeficienti A un C vienlaikus nav vienādi ar nulli.

Rodas jautājums: vai katrs formas (11.14) vienādojums nosaka kādu no otrās kārtas līknēm (aplis, elipse, hiperbola, parabola)? Atbildi sniedz šāda teorēma.

Teorēma 11.2. Vienādojums (11.14) vienmēr definē: vai nu apli (ja A = C), vai elipsi (ja A C > 0), vai hiperbolu (ja A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Vispārējais otrās kārtas vienādojums

Tagad apskatīsim otrās pakāpes vispārīgo vienādojumu ar diviem nezināmiem:

Tas atšķiras no vienādojuma (11.14) ar termina klātbūtni ar koordinātu reizinājumu (B¹ 0). Ir iespējams, pagriežot koordinātu asis par leņķi a, pārveidot šo vienādojumu tā, ka termina ar koordinātu reizinājumu nav.

Izmantojot asu rotācijas formulas

Izteiksim vecās koordinātas ar jaunajām:

Izvēlēsimies leņķi a tā, lai koeficients x" · y" būtu nulle, t.i., lai vienādība

Tādējādi, kad asis tiek pagrieztas par leņķi a, kas atbilst nosacījumam (11.17), vienādojums (11.15) tiek reducēts uz vienādojumu (11.14).

Secinājums: vispārīgais otrās kārtas vienādojums (11.15) definē plaknē (izņemot deģenerācijas un sabrukšanas gadījumus) šādas līknes: aplis, elipse, hiperbola, parabola.

Piezīme: Ja A = C, tad vienādojums (11.17) zaudē nozīmi. Šajā gadījumā cos2α = 0 (sk. (11.16)), tad 2α = 90°, t.i., α = 45°. Tātad, ja A = C, koordinātu sistēma jāpagriež par 45°.

Otrās kārtas rindas.
Elipse un tās kanoniskais vienādojums. Aplis

Pēc rūpīgas izpētes taisnas līnijas plaknē Mēs turpinām pētīt divdimensiju pasaules ģeometriju. Likmes tiek dubultotas un aicinu apmeklēt gleznainu elipsi, hiperbolu, parabolu galeriju, kas ir tipiski pārstāvji otrās kārtas rindas. Ekskursija jau ir sākusies, un vispirms īsa informācija par visu izstādi dažādos muzeja stāvos:

Algebriskās līnijas jēdziens un tā secība

Tiek saukta līnija plaknē algebriskā, ja iekšā afīna koordinātu sistēma tā vienādojumam ir forma , kur ir polinoms, kas sastāv no formas vārdiem ( – reālais skaitlis, – nenegatīvi veseli skaitļi).

Kā redzat, algebriskās līnijas vienādojumā nav sinusu, kosinusu, logaritmu un citu funkcionālu beau monde. Tikai X un Y ir iekšā nenegatīvi veseli skaitļi grādiem.

Līniju secība vienāda ar tajā ietverto terminu maksimālo vērtību.

Saskaņā ar atbilstošo teorēmu algebriskās līnijas jēdziens, kā arī tās secība nav atkarīga no izvēles afīna koordinātu sistēma, tādēļ, lai atvieglotu pastāvēšanu, mēs pieņemam, ka visi turpmākie aprēķini notiek Dekarta koordinātas.

Vispārējais vienādojums otrās kārtas rindā ir forma , kur – patvaļīgi reālie skaitļi (Ir ierasts to rakstīt ar koeficientu divi), un koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli.

Ja , tad vienādojums tiek vienkāršots līdz , un, ja koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli, tad tas ir tieši tā “plakanas” līnijas vispārīgais vienādojums, kas pārstāv pirmās kārtas rinda.

Daudzi ir sapratuši jauno terminu nozīmi, bet tomēr, lai 100% apgūtu materiālu, iebāzam pirkstus rozetē. Lai noteiktu rindu secību, jums ir jāatkārto visi termini tā vienādojumus un atrodiet katram no tiem grādu summa ienākošie mainīgie.

Piemēram:

termins satur “x” līdz 1. pakāpei;
termins satur “Y” līdz 1. pakāpei;
Terminā nav mainīgo, tāpēc to spēku summa ir nulle.

Tagad izdomāsim, kāpēc vienādojums nosaka līniju otrais pasūtīt:

termins satur “x” līdz 2. pakāpei;
summai ir mainīgo pakāpju summa: 1 + 1 = 2;
termins satur “Y” līdz 2. pakāpei;
visi pārējie noteikumi - mazāk grādiem.

Maksimālā vērtība: 2

Ja mēs papildus pievienosim, teiksim, savam vienādojumam, tad tas jau noteiks trešās kārtas rinda. Ir acīmredzams, ka 3. kārtas rindas vienādojuma vispārējā forma satur “pilnu terminu kopu”, kurā mainīgo pakāpju summa ir vienāda ar trīs:
, kur koeficienti tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli.

Ja pievienojat vienu vai vairākus piemērotus terminus, kas satur , tad jau runāsim par 4. kārtas rindas utt.

Ar 3., 4. un augstākas kārtas algebriskajām rindām nāksies saskarties ne reizi vien, jo īpaši iepazīstoties ar polāro koordinātu sistēma.

Tomēr atgriezīsimies pie vispārējā vienādojuma un atcerēsimies tā vienkāršākās skolas variācijas. Kā piemēri rodas parabola, kuras vienādojumu var viegli reducēt uz vispārīgu formu, un hiperbola ar līdzvērtīgu vienādojumu. Tomēr ne viss ir tik gludi...

Būtisks vispārējā vienādojuma trūkums ir tas, ka gandrīz vienmēr nav skaidrs, kuru līniju tas definē. Pat visvienkāršākajā gadījumā jūs uzreiz nesapratīsit, ka tā ir hiperbola. Šādi izkārtojumi ir piemēroti tikai maskarādes laikā, tāpēc esiet uzmanīgi analītiskā ģeometrija tiek apsvērta tipiska problēma ienesot 2. kārtas līnijas vienādojumu kanoniskā formā.

Kāda ir vienādojuma kanoniskā forma?

Šī ir vispārpieņemtā vienādojuma standarta forma, kad dažu sekunžu laikā kļūst skaidrs, kurš ģeometrisks objekts tas nosaka. Turklāt kanoniskā forma ir ļoti ērta daudzu praktisku uzdevumu risināšanai. Tā, piemēram, saskaņā ar kanonisko vienādojumu "plakans" taisns, pirmkārt, uzreiz ir skaidrs, ka šī ir taisne, otrkārt, tai piederošais punkts un virziena vektors ir viegli saskatāmi.

Ir skaidrs, ka jebkura 1. kārtas rinda ir taisna līnija. Otrajā stāvā mūs sagaida vairs nevis sargs, bet daudz daudzveidīgāka deviņu statuju kompānija:

Otrās kārtas līniju klasifikācija

Izmantojot īpašu darbību kopu, jebkurš otrās kārtas līnijas vienādojums tiek reducēts uz vienu no šīm formām:

(un ir pozitīvi reālie skaitļi)

1) – elipses kanoniskais vienādojums;

2) – hiperbolas kanoniskais vienādojums;

3) – parabolas kanoniskais vienādojums;

4) – iedomāts elipse;

5) – krustojošu līniju pāris;

6) – pāris iedomāts krustojošās līnijas (ar vienu derīgu krustošanās punktu sākuma punktā);

7) – paralēlu līniju pāris;

8) – pāris iedomāts paralēlas līnijas;

9) – sakrītošu līniju pāris.

Dažiem lasītājiem var rasties iespaids, ka saraksts ir nepilnīgs. Piemēram, 7. punktā vienādojums norāda pāri tiešā veidā, paralēli asij, un rodas jautājums: kur ir vienādojums, kas nosaka taisnes, kas ir paralēlas ordinātu asij? Atbildi to netiek uzskatīts par kanonisku. Taisnas līnijas apzīmē to pašu standarta korpusu, pagrieztu par 90 grādiem, un papildu ieraksts klasifikācijā ir lieks, jo tas nedod neko principiāli jaunu.

Tādējādi ir deviņi un tikai deviņi dažādi veidi 2. kārtas rindas, bet praksē tās sastopamas visbiežāk elipse, hiperbola un parabola.

Vispirms apskatīsim elipsi. Kā parasti, es koncentrējos uz tiem punktiem, kas ir liela nozīme problēmu risināšanai un, ja nepieciešams detalizēts formulu atvasinājums, teorēmu pierādījumi, lūdzu, skatiet, piemēram, Baziļeva/Atanasjana vai Aleksandrova mācību grāmatu.

Elipse un tās kanoniskais vienādojums

Pareizrakstība... lūdzu, neatkārtojiet dažu Yandex lietotāju kļūdas, kuras interesējas par to, “kā izveidot elipsi”, “atšķirība starp elipsi un ovālu” un “elipses ekscentriskums”.

Elipses kanoniskajam vienādojumam ir forma , kur ir pozitīvi reālie skaitļi un . Pašu elipses definīciju es formulēšu vēlāk, bet tagad ir pienācis laiks atpūsties no sarunu veikala un atrisināt izplatītu problēmu:

Kā izveidot elipsi?

Jā, vienkārši ņemiet to un vienkārši uzzīmējiet to. Uzdevums tiek veikts bieži, un ievērojama daļa skolēnu nepareizi tiek galā ar zīmējumu:

1. piemērs

Izveidojiet vienādojuma doto elipsi

Risinājums: Vispirms izveidosim vienādojumu kanoniskā formā:

Kāpēc atnest? Viena no kanoniskā vienādojuma priekšrocībām ir tā, ka tas ļauj uzreiz noteikt elipses virsotnes, kas atrodas punktos. Ir viegli redzēt, ka katra no šiem punktiem koordinātas atbilst vienādojumam.

Šajā gadījumā :


Līnijas segments sauca galvenā ass elipse;
līnijas segments – mazā ass;
numuru sauca daļēji galvenā vārpsta elipse;
numuru – mazā ass.
mūsu piemērā: .

Lai ātri iedomāties, kā izskatās konkrēta elipse, vienkārši apskatiet tās kanoniskā vienādojuma "a" un "be" vērtības.

Viss ir labi, gludi un skaisti, taču ir viens brīdinājums: zīmējumu veidoju, izmantojot programmu. Un jūs varat izveidot zīmējumu, izmantojot jebkuru lietojumprogrammu. Taču skarbajā realitātē uz galda stāv rūtains papīrs, un uz mūsu rokām peles dejo apļos. Cilvēki ar māksliniecisku talantu, protams, var strīdēties, bet jums ir arī peles (lai arī mazākas). Ne velti cilvēce izgudroja lineālu, kompasu, transportieri un citas vienkāršas zīmēšanas ierīces.

Šī iemesla dēļ maz ticams, ka mēs spēsim precīzi uzzīmēt elipsi, zinot tikai virsotnes. Tas ir labi, ja elipse ir maza, piemēram, ar pusasīm. Varat arī samazināt zīmējuma mērogu un attiecīgi izmērus. Bet kopumā ļoti vēlams atrast papildu punktus.

Elipses konstruēšanai ir divas pieejas – ģeometriskā un algebriskā. Man nepatīk konstruēt, izmantojot kompasu un lineālu, jo algoritms nav tas īsākais un zīmējums ir ievērojami pārblīvēts. Ārkārtas gadījumā, lūdzu, skatiet mācību grāmatu, taču patiesībā daudz racionālāk ir izmantot algebras rīkus. No elipses vienādojuma uzmetumā mēs ātri izsakām:

Pēc tam vienādojums sadalās divās funkcijās:
– nosaka elipses augšējo loku;
– nosaka elipses apakšējo loku.

Kanoniskā vienādojuma definētā elipse ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm, kā arī attiecībā uz izcelsmi. Un tas ir lieliski - simetrija gandrīz vienmēr ir bezmaksas priekšvēstnesis. Acīmredzot pietiek ar 1. koordinātu ceturksni, tāpēc mums ir vajadzīga funkcija . Tas prasa atrast papildu punktus ar abscisēm . Pieskarieties kalkulatora trim īsziņām:

Protams, patīkami ir arī tas, ka, ja aprēķinos tiek pieļauta nopietna kļūda, tas uzreiz kļūs skaidrs būvniecības laikā.

Atzīmēsim punktus zīmējumā (sarkanā krāsā), simetriskus punktus uz atlikušajiem lokiem ( Zilā krāsa) un uzmanīgi savienojiet visu uzņēmumu ar līniju:


Sākotnējo skici labāk uzzīmēt ļoti plāni un tikai pēc tam izdarīt spiedienu ar zīmuli. Rezultātam vajadzētu būt diezgan pieklājīgai elipsei. Starp citu, vai vēlaties uzzināt, kas ir šī līkne?

Elipses definīcija. Elipses perēkļi un elipses ekscentriskums

Elipse ir īpašs ovāla gadījums. Vārds “ovāls” nav jāsaprot filistiskā nozīmē (“bērns uzzīmēja ovālu” utt.). Šis ir matemātisks termins, kam ir detalizēts formulējums. Šīs nodarbības mērķis nav aplūkot ovālu un to dažādo veidu teoriju, kam analītiskās ģeometrijas standarta kursā praktiski netiek pievērsta uzmanība. Un saskaņā ar aktuālākām vajadzībām mēs nekavējoties pārejam pie stingras elipses definīcijas:

Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kuru attālumu summa līdz katram no diviem dotajiem punktiem, ko sauc triki elipse ir nemainīgs lielums, kas skaitliski vienāds ar šīs elipses galvenās ass garumu: .
Tajā pašā laikā attālumi starp fokusiem ir mazāki dotā vērtība: .

Tagad viss kļūs skaidrāks:

Iedomājieties, ka zilais punkts “ceļo” pa elipsi. Tātad, neatkarīgi no tā, kuru elipses punktu mēs ņemtu, segmentu garumu summa vienmēr būs vienāda:

Pārliecināsimies, ka mūsu piemērā summas vērtība tiešām ir vienāda ar astoņiem. Garīgi novietojiet punktu “um” elipses labajā virsotnē, pēc tam: , kas ir jāpārbauda.

Vēl viena tā zīmēšanas metode ir balstīta uz elipses definīciju. Augstākā matemātika dažkārt ir spriedzes un stresa cēlonis, tāpēc ir pienācis laiks veikt vēl vienu izkraušanas sesiju. Lūdzu, paņemiet vatmana papīru vai lielu kartona loksni un piespraudiet to pie galda ar divām naglām. Tie būs triki. Piesieniet zaļu pavedienu uz izvirzītajām naglu galviņām un izvelciet to līdz galam ar zīmuli. Zīmuļa vads nonāks noteiktā punktā, kas pieder elipsei. Tagad sāciet pārvietot zīmuli pa papīra lapu, turot zaļo pavedienu cieši nostieptu. Turpiniet procesu līdz atgriežaties sākuma punktā... lieliski... zīmējumu var pārbaudīt ārsts un skolotājs =)

Kā atrast elipses perēkļus?

Iepriekš minētajā piemērā es attēloju “gatavus” fokusa punktus, un tagad mēs uzzināsim, kā tos iegūt no ģeometrijas dziļumiem.

Ja elipse ir dota ar kanonisku vienādojumu, tad tās fokusiem ir koordinātas , kur tas ir attālums no katra fokusa līdz elipses simetrijas centram.

Aprēķini ir vienkāršāki par vienkāršu:

! Konkrētās fokusa koordinātas nevar identificēt ar “tse” nozīmi! Es atkārtoju, ka tas ir ATTĀLUMS no katra fokusa līdz centram(kam vispārīgā gadījumā nav jāatrodas tieši izcelsmē).
Un tāpēc attālumu starp perēkļiem arī nevar saistīt ar elipses kanonisko stāvokli. Citiem vārdiem sakot, elipsi var pārvietot uz citu vietu, un vērtība paliks nemainīga, savukārt fokuss dabiski mainīs savas koordinātas. Lūdzu, ņemiet to vērā, turpinot pētīt šo tēmu.

Elipses ekscentriskums un tās ģeometriskā nozīme

Elipses ekscentriskums ir attiecība, kas var iegūt vērtības diapazonā.

Mūsu gadījumā:

Noskaidrosim, kā elipses forma ir atkarīga no tās ekscentriskuma. Priekš šī salabot kreiso un labo virsotni no aplūkojamās elipses, tas ir, puslielākās ass vērtība paliks nemainīga. Tad ekscentricitātes formula būs šāda: .

Sāksim tuvināt ekscentriskuma vērtību vienotībai. Tas ir iespējams tikai tad, ja. Ko tas nozīmē? ...atceries trikus . Tas nozīmē, ka elipses perēkļi “pārvietosies atsevišķi” pa abscisu asi uz sānu virsotnēm. Un, tā kā “zaļie segmenti nav gumija”, elipse neizbēgami sāks saplacināt, pārvēršoties plānākā un plānākā desā, kas savērta uz ass.

Tādējādi jo tuvāk elipses ekscentricitātes vērtība ir vienotībai, jo garāka ir elipse.

Tagad modelēsim pretējo procesu: elipses perēkļus gāja viens otram pretī, tuvojoties centram. Tas nozīmē, ka “ce” vērtība kļūst arvien mazāka un attiecīgi ekscentriskums tiecas uz nulli: .
Šajā gadījumā “zaļie segmenti”, gluži pretēji, “kļūs pārpildīti” un sāks “bīdīt” elipses līniju uz augšu un uz leju.

Tādējādi Jo tuvāk ekscentricitātes vērtība ir nullei, jo līdzīgāka ir elipse... apskatiet ierobežojošo gadījumu, kad perēkļi tiek veiksmīgi apvienoti izcelsmē:

Aplis ir īpašs elipses gadījums

Patiešām, pusasu vienādības gadījumā elipses kanoniskais vienādojums iegūst formu , kas refleksīvi pārveidojas par vienādojumu aplim ar centru rādiusa “a” sākumā, kas labi zināms no skolas.

Praksē biežāk tiek lietots apzīmējums ar “runājošo” burtu “er”: . Rādiuss ir segmenta garums, katrs apļa punkts ir noņemts no centra ar rādiusa attālumu.

Ņemiet vērā, ka elipses definīcija paliek pilnīgi pareiza: perēkļi sakrīt, un sakrītošo segmentu garumu summa katram apļa punktam ir konstante. Tā kā attālums starp perēkļiem ir , Tad jebkura apļa ekscentriskums ir nulle.

Apļa izveidošana ir vienkārša un ātra, vienkārši izmantojiet kompasu. Tomēr dažreiz ir nepieciešams noskaidrot dažu tā punktu koordinātas, šajā gadījumā mēs ejam pazīstamo ceļu - vienādojumu pārnesam uz jautro Matanova formu:

– augšējā pusloka funkcija;
– apakšējā pusloka funkcija.

Tad mēs atrodam vajadzīgās vērtības, atšķirt, integrēt un darīt citas labas lietas.

Rakstam, protams, ir tikai atsauce, bet kā gan var dzīvot pasaulē bez mīlestības? Radošs uzdevums patstāvīgam risinājumam

2. piemērs

Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja ir zināms viens no tās perēkļiem un daļēji mazā ass (centrs atrodas sākumā). Atrodiet virsotnes, papildu punktus un novelciet zīmējumā līniju. Aprēķiniet ekscentriskumu.

Risinājums un zīmējums nodarbības beigās

Pievienosim darbību:

Pagriezt un paralēli tulkot elipsi

Atgriezīsimies pie elipses kanoniskā vienādojuma, proti, pie stāvokļa, kura noslēpums ir mocījis zinātkāros prātus kopš šīs līknes pirmās pieminēšanas. Tātad mēs skatījāmies uz elipsi , bet vai praksē nav iespējams izpildīt šo vienādojumu ? Galu galā, šķiet, ka arī šeit tā ir elipse!

Šāds vienādojums ir reti sastopams, taču tas ir sastopams. Un tas faktiski definē elipsi. Demistificēsim:

Konstrukcijas rezultātā tika iegūta mūsu dzimtā elipse, pagriezta par 90 grādiem. Tas ir, -Šo nekanonisks ieraksts elipse . Ierakstiet!- vienādojums nedefinē nevienu citu elipsi, jo uz ass nav tādu punktu (foci), kas atbilstu elipses definīcijai.

1. Otrās kārtas līnijas Eiklīda plaknē.

2. Otrās kārtas līniju vienādojumu invarianti.

3. Otrās kārtas līniju veida noteikšana no tā vienādojuma invariantiem.

4. Otrās kārtas līnijas afīnā plaknē. Unikalitātes teorēma.

5. Otrās kārtas līniju centri.

6. Otrās kārtas līniju asimptotes un diametri.

7. Otrās kārtas līniju vienādojumu reducēšana uz vienkāršākajiem.

8. Otrās kārtas līniju galvenie virzieni un diametri.

BIBLIOGRĀFIJA

1. Otrās kārtas līnijas Eiklīda plaknē.

Definīcija:

Eiklīda plakne ir 2. dimensijas telpa,

(divdimensiju reālā telpa).

Otrās kārtas līnijas ir apļveida konusa krustošanās līnijas ar plaknēm, kas neiet cauri tā virsotnei.

Šīs līnijas bieži sastopamas dažādos dabaszinātņu jautājumos. Piemēram, kustība materiālais punkts centrālā gravitācijas lauka ietekmē notiek pa vienu no šīm līnijām.

Ja griešanas plakne šķērso visas viena konusa dobuma taisnvirziena ģenerācijas, tad griezumā tiks izveidota līnija ar nosaukumu elipse(1.1. att., a). Ja griešanas plakne šķērso konusa abu dobumu ģenerācijas, tad griezumā tiks izveidota līnija ar nosaukumu hiperbola(1.1.,6. att.). Un visbeidzot, ja griešanas plakne ir paralēla vienai no konusa ģenerācijām (pie 1.1, V- tas ir ģenerators AB), tad sadaļa izveidos līniju ar nosaukumu parabola. Rīsi. 1.1 sniedz vizuālu attiecīgo līniju formas attēlojumu.

1.1.attēls

Otrās kārtas rindas vispārīgais vienādojums ir šāds:

(1)

(1*)

Elipse ir plaknes punktu kopa, kurai attālumu summa ir divifiksētie punktiF 1 UnF 2 šī plakne, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība.

Šajā gadījumā nav izslēgta elipses perēkļu sakritība. Acīmredzot ja perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis.

Lai iegūtu elipses kanonisko vienādojumu, mēs izvēlamies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O segmenta vidū. F 1 F 2 , un cirvji Ak Un OU Novirzīsim to, kā parādīts attēlā. 1.2 (ja triki F 1 Un F 2 sakrīt, tad O sakrīt ar F 1 Un F 2, un asij Ak jūs varat ņemt jebkuru asi, kas iet cauri PAR).

Ļaujiet segmenta garumam F 1 F 2 F 1 Un F 2 attiecīgi ir koordinātas (-с, 0) un (с, 0). Apzīmēsim ar 2a konstante, kas minēta elipses definīcijā. Acīmredzot 2a > 2c, t.i. a > c ( Ja M- elipses punkts (skat. 1.2. att.), tad | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a, un tā kā divu pušu summa M.F. 1 Un M.F. 2 trīsstūris M.F. 1 F 2 vairāk trešās puses F 1 F 2 = 2c, tad 2a > 2c. Ir dabiski izslēgt gadījumu 2a = 2c, kopš tā laika punkts M atrodas segmentā F 1 F 2 un elipse deģenerējas segmentā. ).

Ļaujiet M (x, y)(1.2. att.). Ar r 1 un r 2 apzīmēsim attālumus no punkta M uz punktiem F 1 Un F 2 attiecīgi. Saskaņā ar elipses definīciju vienlīdzība

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

ir nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M (x, y) atrašanās vietai uz dotās elipses.

Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs iegūstam

(1.2)

No (1.1) un (1.2) izriet, ka attiecība

(1.3)

ir nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai ar koordinātām x un y uz dotās elipses. Tāpēc attiecību (1.3) var uzskatīt par elipses vienādojums. Izmantojot standarta metodi “radikāļu iznīcināšanai”, šis vienādojums tiek reducēts līdz formai

(1.4) (1.5)

Tā kā (1.4) vienādojums ir algebrisks secinājums elipses vienādojums (1.3), tad koordinātas x un y jebkuru punktu M elipse apmierinās arī (1.4) vienādojumu. Tā kā algebrisko transformāciju laikā, kas saistītas ar atbrīvošanos no radikāļiem, var parādīties “papildus saknes”, mums ir jāpārliecinās, ka jebkurš punkts M, kura koordinātas atbilst vienādojumam (1.4), atrodas uz šīs elipses. Lai to izdarītu, acīmredzot ir pietiekami pierādīt, ka r vērtības 1 un r 2 katram punktam atbilst attiecība (1.1). Tātad ļaujiet koordinātas X Un plkst punktus M izpildīt vienādojumu (1.4). Vērtības aizstāšana plkst.2 no (1.4) uz izteiksmes (1.2) labo pusi r 1, pēc vienkāršām transformācijām mēs atklājam, ka Līdzīgi mēs atklājam, ka (1.6)

t.i. r 1 + r 2 = 2a, un tāpēc punkts M atrodas uz elipses. Tiek izsaukts vienādojums (1.4). elipses kanoniskais vienādojums. Daudzumi A Un b tiek attiecīgi saukti elipses lielās un mazās pusasis(nosaukumi “lielais” un “mazais” ir izskaidrojami ar to, ka a> b).

komentēt. Ja elipses pusasis A Un b ir vienādi, tad elipse ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar R = a = b, un centrs sakrīt ar izcelsmi.

Hiperbola ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālumu starpības absolūtā vērtība līdz diviem fiksētiem punktiemF 1 UnF 2 šai plaknei, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība ( Triki F 1 Un F 2 dabiski hiperbolas uzskatīt par atšķirīgām, jo, ja hiperbolas definīcijā norādītā konstante nav vienāda ar nulli, tad, ja tās sakrīt, nav neviena plaknes punkta F 1 Un F 2 , kas atbilstu hiperbolas definīcijas prasībām. Ja šī konstante ir nulle un F 1 sakrīt ar F 2 , tad jebkurš punkts plaknē atbilst hiperbolas definīcijas prasībām. ).

Lai iegūtu hiperbolas kanonisko vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu izcelsmi segmenta vidū F 1 F 2 , un cirvji Ak Un OU Novirzīsim to, kā parādīts attēlā. 1.2. Ļaujiet segmenta garumam F 1 F 2 vienāds ar 2s. Tad izvēlētajā koordinātu sistēmā punkti F 1 Un F 2 attiecīgi ir koordinātas (-с, 0) un (с, 0) Apzīmēsim ar 2 A hiperbolas definīcijā minētā konstante. Acīmredzot 2a< 2с, т. е. a< с.

Ļaujiet M- plaknes punkts ar koordinātām (x, y)(1.,2. att.). Ar r 1 un r 2 apzīmēsim attālumus M.F. 1 Un M.F. 2 . Saskaņā ar hiperbolas definīciju vienlīdzība

(1.7)

ir nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai uz dotās hiperbolas.

Izmantojot izteiksmes (1.2) r 1 un r 2 un sakarību (1.7), iegūstam sekojošo nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M atrašanās vietai ar koordinātām x un y uz dotās hiperbolas:

. (1.8)

Izmantojot “radikāļu iznīcināšanas” standarta metodi, vienādojumu (1.8) reducējam līdz formai

(1.9) (1.10)

Jāpārliecinās, ka vienādojums (1.9), kas iegūts ar (1.8) vienādojuma algebriskām transformācijām, nav ieguvis jaunas saknes. Lai to izdarītu, pietiek ar to pierādīt katram punktam M, koordinātas X Un plkst kas apmierina (1.9) vienādojumu, r 1 un r 2 vērtības apmierina sakarību (1.7). Veicot argumentus, kas līdzīgi tiem, kas tika izvirzīti, atvasinot formulas (1.6), mēs atrodam šādas izteiksmes mums interesējošajiem lielumiem r 1 un r 2:

(1.11)

Tādējādi par attiecīgo punktu M mums ir

, un tāpēc tas atrodas uz hiperbolas.

Tiek izsaukts vienādojums (1.9). hiperbolas kanoniskais vienādojums. Daudzumi A Un b tiek saukti attiecīgi par reāliem un iedomātiem hiperbolas pusass.

Parabola ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālums līdz kādam fiksētam punktamFšī plakne ir vienāda ar attālumu līdz kādai fiksētai taisnei, kas arī atrodas aplūkojamajā plaknē.

Atšifrējums

1 nodaļa OTRĀ RĪCĪBA LIDMAŠĪNĀ.1. Elipse, hiperbola, parabola Definīcija. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kuriem attālumu summa līdz diviem dotajiem punktiem F 1 un F ir nemainīga vērtība a, kas pārsniedz attālumu starp F 1 un. M(, x) F 1 О F x Zīm. Punktus F 1 un F sauc par elipses fokusiem, un attālums FF 1 starp tiem ir fokusa attālums, ko apzīmē c. Pieņemsim, ka punkts M pieder elipsei. Nogriežņus F1 M un F M sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Pieņemsim, ka F1F = c. Pēc definīcijas a > c. Apskatīsim taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu Ox, kurā fokusi F 1 un F atrodas uz abscisu ass simetriski attiecībā pret izcelsmi. Šajā koordinātu sistēmā elipsi apraksta ar kanonisko vienādojumu: x + = 1, a b 1

2. kur b= a c Parametrus a un b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo pusasi. Elipses ekscentriskums ir skaitlis ε, kas vienāds ar tās fokusa attāluma puses attiecību pret puslielāko asi, t.i. ε =. Elipses a ekscentriskums apmierina nevienādības 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Hiperbolas kanoniskajam vienādojumam ir forma x a = b 1,. kur b= c a Skaitļus a un b sauc attiecīgi par hiperbolas reālo un iedomāto pusasi. Apgabalā, ko nosaka punktu nevienlīdzība, nav hiperbolas. x a b Definīcija. Hiperbolas asimptotes ir taisnes b b, kas dotas ar vienādojumu = x, = x. a a Hiperbolas punkta M(x,) fokusa rādiusus var atrast, izmantojot formulas r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Hiperbolas ekscentriskumu, tāpat kā elipsei, nosaka pēc formulas ε =. Ir viegli pārbaudīt, vai nevienādība ε a >1 ir patiesa hiperbolas ekscentricitātei. Definīcija. Parabola ir visu plaknes punktu kopa, kurai attālums līdz noteiktam punktam F ir vienāds ar attālumu līdz noteiktai taisnei d, kas neiet caur punktu F. Punktu F sauc par parabolas fokusu, un taisne d ir virziens. Attālumu no fokusa līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p. d M (x,) F x Zīm. 4 3

4 Nogriežņa FD vidū izvēlēsimies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O, kas ir no punkta F uz taisni d nomests perpendikuls. Šajā koordinātu sistēmā fokusam F ir koordinātes F p p ;0, un virziens d tiek dots ar vienādojumu x + = 0. Parabolas kanoniskais vienādojums ir: = px. Parabola ir simetriska ap asi OF, ko sauc par parabolas asi. Punktu O, kur šī ass krustojas ar parabolu, sauc par parabolas virsotni. Punkta M(x,) fokusa rādiuss t.i. tā p attālumu līdz fokusam nosaka pēc formulas r = x+. 10B.. Otrās kārtas taisnes vispārīgais vienādojums Otrās kārtas taisne ir plaknes punktu kopa, kuras koordinātes ir x un kas apmierina vienādojumu a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​11 1, kur a11, a1, a, a10, a0, a00 daži reāli skaitļi un a, a, a vienlaikus nav vienādi ar nulli. Šo vienādojumu sauc par vispārējo otrās kārtas līknes vienādojumu, un to var uzrakstīt arī vektora formā rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kur 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ; a0) , x = (x;). T Tā kā A = A, tad A ir kvadrātiskās formas matrica r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Elipse, hiperbola un parabola ir otrās kārtas līkņu piemēri plaknē. Papildus iepriekš minētajām līknēm ir arī citi otrās kārtas līkņu veidi, kas ir saistīti ar x taisnām līnijām. Tā, piemēram, vienādojums = 0, kur a 0, b 0, a b 4

5 definē plaknes krustojošu līniju pāri. Koordinātu sistēmas, kurās līknes vienādojums iegūst visvienkāršāko formu, sauc par kanoniskām. Izmantojot pārveidojumu kompozīciju: asu pagriešana ar leņķi α, koordinātu sākuma paralēla translācija uz punktu (x0; 0) un atstarošana attiecībā pret abscisu asi, otrās kārtas līknes vienādojums tiek samazināts līdz vienam. no kanoniskajiem vienādojumiem, no kuriem galvenie bija uzskaitīti iepriekš. 11BPiemēri 1. Sastādiet kanonisko vienādojumu elipsei, kuras centrs atrodas izcelsmē un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja zināms, ka tās ekscentricitāte ε = un punkts N(3;) atrodas uz 3. elipses. x a b Elipses vienādojums: + = 1. Mums ir, ka =. a b a 3 9 No šejienes mēs aprēķinām, ka a = b. Aizvietojot vienādojumā punkta N(3;) koordinātas, iegūstam + = 1 un tad b = 9 un a b 81 a = = 16,. Līdz ar to elipses kanoniskais vienādojums 5 x + = 1. 16, 9. Sastādiet kanonisko vienādojumu hiperbolai, kuras centrs atrodas sākumā un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja dots punkts M 1 (5; 3) hiperbolas un ekscentricitātes ε =. x Hiperbolas kanoniskais vienādojums = 1. No vienādības a b a + b = mums ir b = a 5 9. Tātad = 1 un a =16. Tāpēc elipses kanoniskais vienādojums = a a a x 16 5

6 3. Atrodiet punktus uz parabolas = 10x, kuru fokusa rādiuss ir 1,5. Ņemiet vērā, ka parabola atrodas labajā pusplaknē. Ja M (x; atrodas uz parabolas, tad x 0. Parametrs p = 5. Lai (;)) M x ir vēlamais punkts, F fokuss, () parabolas virziens. Tad F,5; 0, d: x=.5. Tā kā FM = ρ(M, d), tad x +.5 = 1.5, 10 Atbilde: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Tātad, mēs saņēmām divus punktus. M 10; 10 M, () 4. Hiperbolas labajā zarā, ko dod vienādojums x = 1, atrodiet punktu, kura attālums no labā fokusa ir 16 9 divas reizes mazāks nekā tā attālums no kreisā fokusa. Hiperbolas labā atzara fokusa rādiusus nosaka pēc formulas r 1 = ε x a un r = ε x + a. Līdz ar to iegūstam vienādojumu ε x + a = (ε x a). Dotai hiperbolai a = 4, 5 c = = 5 un ε =. Tāpēc x = 9,6. Tātad mums ir =± x 16 =± d Atbilde: divi punkti M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Atrodiet taisnes vienādojumu jebkuram punktam, kura attāluma attiecība pret punkts F (3;0) līdz attālumam līdz taisnei 1 x 8= 0 ir vienāds ar ε =. Norādiet līnijas nosaukumu un tā parametrus. Mx; vēlamo līniju, vienādība ir patiesa: Patvaļīgam punktam () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 No šejienes mums ir [(x 3) + ] = (x 8). Atverot iekavas un pārkārtojot terminus, iegūstam (x+) + = 50, t.i. (x+) + = Atbilde: vajadzīgā taisne ir elipse, kuras centrs atrodas punktā un pusass a = 5 un b = Atrast hiperbolas vienādojumu Vecās koordinātas O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 jaunajā sistēmā (x ;) un new (zt ;)) ir saistīti ar matricas vienādību 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Tas nozīmē, ka vienādojums x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Atbilde: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 līdz kanoniskajam 7. Novietojiet līkni kanoniskā formā. jaunajās koordinātēs ir forma Aplūkosim kvadrātisko formu () q x, = 4x 4x+. 4 Formas q matricai ir īpašvērtības 5 un 0 un atbilstošie ortonormālie vektori un pāriesim uz jaunu koordinātu sistēmu: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Izteikt vecās koordinātas (x;) caur jaunajām (zt); : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t nozīmē, x = z+ t, = z+ t Ievietojot norādītās izteiksmes līknes γ vienādojumā, iegūstam 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Tas nozīmē, ka jaunajās koordinātēs līkne γ ir dota ar vienādojumu 1 3 γ: z z =. Iestatījums = z, x = t, iegūstam γ: =, 1, no kura atrodam līknes γ kanonisko vienādojumu: = 0 kanoniskajās koordinātēs = 5 x 1 1 x Ievērojiet, ka līkne γ ir paralēlu līniju pāris. 1BApielikumi ekonomiskajām un finanšu problēmām 8. Ļaujiet Anijai, Borisam un Dmitrijam katram pa 150 rubļiem augļu iegādei. Ir zināms, ka 1 kg bumbieru maksā 15 naudas vienības, bet 1 kg ābolu maksā 10 naudas vienības. Turklāt katrs no trim 8

9 ir sava utilīta funkcija, kurai tā vēlas nodrošināt maksimālu, iegādājoties. Lai pērk x1 kg bumbieru un x kg ābolu. Šīs lietderības funkcijas ir šādas: u = x + x Anyai, 1 A 1 x u B = +x Borisam un ud = x1 x Dmitrijam. Ir jāatrod pirkuma plāns (x1, x) Anijai, Borisam un Dmitrijam, saskaņā ar kuru viņi maksimāli nodrošina savu lietderības funkciju. x Zīm. 5 Aplūkojamo uzdevumu var atrisināt ģeometriski. Lai atrisinātu šo problēmu, jāievieš līmeņa līnijas jēdziens. x x 1 att. 6 Funkcijas z = f(x,) līmeņa līnija ir visu plaknes punktu kopa, kurā funkcija saglabā nemainīgu vērtību, kas vienāda ar h. x 9

10 Šajā gadījumā sākotnējās idejas par ģeometriski apgabali norādītajā lidmašīnā lineārās nevienādības(skat. 1.4. apakšnodaļu). x x 1 att. 7 Funkciju ua, u B un u D līmeņa līnijas ir taisnas līnijas, elipses un hiperbolas attiecīgi Anijai, Borisam un Dmitrijam. Atbilstoši uzdevuma jēgai pieņemam, ka x1 0, x 0. Savukārt budžeta ierobežojumu raksta kā nevienādību 15x1+ 10x 150. Pēdējo nevienādību dalot ar 10, iegūstam 3x1+ x 30 jeb + 1 Ir viegli redzēt, ka x1 x ir šīs nevienādības atrisinājumu apgabals kopā ar nenegatīvisma nosacījumiem ir trīsstūris, ko ierobežo taisnes x1 = 0, x = 0 un 3x1+ x =

11 X * X * Zīm. 8 att. 9 Pamatojoties uz ģeometriskajiem zīmējumiem, tagad ir viegli noteikt, ka uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 un udmax = ud(Q). Hiperbolas pieskares punkta Q koordinātas budžeta trīsstūra malas līmenī ir jāaprēķina analītiski. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka punkts Q apmierina trīs vienādojumus: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Att.

12 Izslēdzot no vienādojumiem h, iegūstam punkta koordinātas Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Atbilde: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Uzņēmuma izmaksu un peļņas nelineārais modelis. Ļaujiet uzņēmumam ražot divu veidu A un B daudzfunkcionālas iekārtas attiecīgi x daudzumā un izlaides vienībās. Šajā gadījumā uzņēmuma gada ienākumus izsaka ar ienākumu funkciju Rx (,) = 4x+, bet ražošanas izmaksas izsaka ar izmaksu funkciju 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, kurā uzņēmums saņem maksimālo. peļņa.. Nosakiet ražošanas plānu (x, ) pie 3

13 Peļņas funkciju veido starpība starp ienākumu funkciju un izmaksu funkciju: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Veicot transformācijas, pēdējo izteiksmi reducējam līdz formai 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Peļņas funkcijas līmeņa līnijas izskatās šādi (x 8) (1) = h. 4 Katra līmeņa līnija 0 h 9 ir elipse, kuras centrs ir sākuma punktā. No iegūtās izteiksmes var viegli redzēt, ka peļņas funkcijas maksimums ir 9 un tiek sasniegts pie x = 8, = 1. Atbilde: x = 8, = 1. 13BEuzdevumi un testa jautājumi.1. Uzrakstiet apļa normālo vienādojumu. Atrodi apļa centra un rādiusa koordinātas: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kas iet caur punktiem M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. Definējiet elipsi un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Uzrakstiet elipses kanonisko vienādojumu, ja 1 tās ekscentriskums ir vienāds ar ε = un puslielākā ass ir vienāda ar Uzrakstiet vienādojumu elipsei, kuras fokuss atrodas uz ordinātu ass simetriski ap izcelsmi, turklāt zinot, ka attālums starp tās fokusiem ir c = 4 un ekscentricitāte ir ε = Norādiet elipses ekscentricitāti. Atrodiet elipses ekscentriskumu, ja tās puslielākā ass ir četras reizes lielāka par mazo asi. 33

14.6. Definējiet hiperbolu un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Caur punktu M (0; 0,5) un hiperbolas labo virsotni, kas dota ar vienādojumu = 1, tiek novilkta taisna līnija. Atrodiet taisnes un hiperbolas otrā krustošanās punkta koordinātas Definējiet hiperbolas ekscentriskumu. Uzrakstiet tā kanonisko vienādojumu, ja a = 1, b = 5. Kāda ir šīs hiperbolas ekscentricitāte?.8. Uzrakstiet vienādojumus jūsu kanoniskā vienādojuma dotās hiperbolas asimptotiem. Uzrakstiet vienādojumu hiperbolai 3, ja tās asimptoti ir doti ar vienādojumiem =± x un hiperbola 5 iet caur punktu M (10; 3 3)..9. Definējiet parabolu un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Uzrakstiet parabolas kanonisko vienādojumu, ja x ass ir tās simetrijas ass, tās virsotne atrodas sākuma punktā un parabolas horda garums, kas ir perpendikulārs Vērša asij, ir 8, un šīs hordas attālums no virsotnes ir Uz parabolas = 1x atrodiet punktu, kura fokusa rādiuss ir Priekšlikums un pieprasījums pēc kāda produkta ir norādīts ar funkcijām p = 4q 1, p = +. Atrodiet tirgus līdzsvara punktu. 1 q Izveidot grafikus..1. Andrejs, Katja un Nikolajs gatavojas pirkt apelsīnus un banānus. Pērciet x1 kg apelsīnu un x kg banānu. Katram no trim ir sava lietderības funkcija, kas parāda, cik noderīgs viņš uzskata savu pirkumu. Šīs lietderības funkcijas ir: u = x + x Andrejam, 1 4 A 4 1 u K = x + x Katjai un un = x1 x Nikolajam. a) Izveidojiet lietderības funkcijas līmeņa līnijas līmeņu vērtībām h = 1, 3. b) Katram sakārtojiet pirkumu izvēles secībā r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Analītiskās ģeometrijas modulis. Analītiskā ģeometrija plaknē un telpā 7. lekcija Anotācija Otrās kārtas līnijas plaknē: elipse, hiperbola, parabola. Definīcija, vispārīgie raksturlielumi.

LEKCIJA N15. Otrās kārtas līknes. 1.Aplis... 1.Elipse... 1 3.Hiperbola.... 4.Parabola.... 4 1.Aplis Otrās kārtas līkne ir taisne, ko nosaka otrās pakāpes vienādojums attiecībā uz

8 Otrās kārtas līknes 81 Aplis Punktu kopu plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par centru, attālumā, ko sauc par rādiusu, sauc par apli. Lai apļa centrs ir

13. lekcija Tēma: Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes plaknē: elipse, hiperbola, parabola. Vienādojumu atvasināšana otrās kārtas līknēm, pamatojoties uz to ģeometriskajām īpašībām. Elipses formas izpēte,

LEKCIJA Otrās kārtas taisnes hiperbola Kā piemēru atradīsim vienādojumus, kas definē apli, parabolu, elipsi un apli Aplis ir punktu kopa plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dotā.

Otrās kārtas līknes Aplis Elipse Hiperbola Parabola Ļaujiet plaknē norādīt taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu. Otrās kārtas līkne ir punktu kopa, kuru koordinātas atbilst

Taisne un plakne telpā Lineārā algebra (11. lekcija) 24.11.2012 2 / 37 Taisne un plakne telpā Attālums starp diviem punktiem M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y) 2, z 2)

Izglītības un zinātnes ministrija Krievijas Federācija Nosaukta Jaroslavļas Valsts universitāte. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra Otrās kārtas līknes I daļa Metodiskie norādījumi

3. Hiperbola un tās īpašības Definīcija 3. Hiperbola ir līkne, kas definēta kādā taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu 0. (3.) un Vienādību (3.) sauc par kanonisko vienādojumu.

1. praktiskā nodarbība Tēma: Hiperbolas plāns 1 Hiperbolas definīcija un kanoniskais vienādojums Hiperbolas ģeometriskās īpašības Savstarpēja vienošanās hiperbola un līnija, kas iet caur tās centru Asimptote

Lekciju konspekts 13 ELIPSE, HIPERBOLA UN PARABOLA 0. Lekcijas plāns Lekcija Elipse, hiperbola un parabola. 1. Elipse. 1.1. Elipses definīcija; 1.2. Kanonisko koordinātu sistēmas definīcija; 1.3. Vienādojuma atvasināšana

MODULIS ELIPES HIPERBOLA PARABOLA Praktiskā nodarbība Tēma: Elipses plāns Elipses definīcija un kanoniskais vienādojums Elipses ģeometriskās īpašības Ekscentriskums Elipses formas atkarība no ekscentriskuma

OTRAIS UZDEVUMS 1. Taisna līnija plaknē. 1. Divas taisnes ir dotas ar vektoru vienādojumiem (, rn) = D un r= r + a, un (an,) 0. Atrodiet taisnes krustošanās punkta rādiusa vektoru. 0 t. Dots punkts M 0 ar rādiusa vektoru

Otrās kārtas līknes. Definīcija: Otrās kārtas līknes līnija ir plaknes punktu kopa (M), kuras Dekarta koordinātas X, Y) apmierina otrās pakāpes algebrisko vienādojumu:,

ALGEBRAISKĀS LĪNIJAS LAKNĒ.. PIRMĀS KĀRTĪBAS LĪDNIJAS (LĪNIJAS PLAKNĒ... LAKMENES LĪNIJAS VIENĀDĀJUMU PAMATVEIDI. Nenulles vektoru n, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, sauc par normālu

Elipse un tās īpašības Definīcija.. Elipse ir otrās kārtas līkne, kas definēta kādā taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu b, b 0. (.) Vienādību (.) sauc par kanonisko.

0,5 setgrey0 0,5 setgray1 1 9. lekcija ELIPSE, HIPERBOLA UN PARABOLA 1. Elipses kanoniskais vienādojums Definīcija 1. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, attālumu summa no katra.

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJĀS ELEMENTI PLAKNES KLASIFIKĀCIJA TRĪSDIMENSIJU TELPĀ Uzrakstiet plaknes vektora vienādojumu un izskaidrojiet šajā vienādojumā ietverto lielumu nozīmi Uzrakstiet vispārīgu plaknes vienādojumu

12. nodarbība Elipse, hiperbola un parabola. Kanoniskie vienādojumi. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, kurā attālumu summa no diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 tiek saukta.

LINEĀRĀ ALĢEBRA Lekcija Otrās kārtas līkņu vienādojumi Apļa definīcija Aplis ir tādu punktu lokuss, kuri atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par apļa centru, attālumā r

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā tiek pētīta otrās kārtas parabolas trešā līkne.

Lekcija 9.30 Nodaļa Analītiskā ģeometrija plaknē Koordinātu sistēmas plaknē Taisnstūra un polāro koordinātu sistēmas Koordinātu sistēma plaknē ir metode, kas ļauj noteikt

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Jaroslavļas Valsts universitātes vārdā. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra S. I. Jablokova Otrās kārtas līkņu daļas darbnīca

Tēma ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ UN TELSOS Lekcija. Taisnes plaknē Plāns. Koordinātu noteikšanas metode plaknē. Taisne Dekarta koordinātās. Paralēlitātes un perpendikularitātes nosacījums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore Rožkova S.V. 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

11. lekcija 1. KONUSIJAS IEDAĻAS 1.1. Definīcija. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. Plkst dažādas nozīmes leņķis α virsotnē aksiāli

9. lekcija 1. KONIJAS IEDAĻAS 1.1. Definīcija. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. Dažādām leņķa α vērtībām virsotnē aksiāli

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā tiek pētīta vēl viena otrās kārtas hiperbolu līkne.

14. praktiskā nodarbība Tēma: Parabolas plāns 1. Parabolas definīcija un kanoniskais vienādojums Parabolas ģeometriskās īpašības. Parabolas un līnijas, kas iet caur tās centru, relatīvais novietojums. Pamata

Otrās kārtas SHIMANCHUK ANALĪTISKĀS G E O METRY līknes Dmitrijs Viktorovičs [aizsargāts ar e-pastu] Sanktpēterburgas Valsts universitātes Procesu lietišķās matemātikas fakultāte

Matricas 1 Dotas matricas un atrodiet: a) A + B; b) 2B; c) T; d) AB T ; e) T A Risinājumā a) Pēc matricu summas definīcijas b) Pēc matricas un skaitļa reizinājuma definīcijas c) Pēc transponētās matricas definīcijas

1. IESPĒJA 1 Atrodiet slīpumu k tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (18) un M (1); uzrakstiet taisnes vienādojumu parametriskā formā Sastādiet trijstūra malu un mediānu vienādojumus ar virsotnēm A()

Pārbaude. Dotās matricas A, B un D. Atrodiet AB 9D, ja: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Reiziniet matricas A 3 un B 3. jābūt C izmēram 3 3, kas sastāv no elementiem

9. nodaļa Līknes uz plaknes. Otrās kārtas līknes 9. Pamatjēdzieni Saka, ka līknei Г taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir vienādojums F (,) = 0, ja punkts M(x, y) pieder līknei tajā.

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore E.G.Pahomova 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Trīs iepriekšējās lekcijās tika pētītas līnijas un plaknes, t.i.

1. nodaļa Otrās kārtas līknes un virsmas Visās sadaļās, izņemot 1.9., koordinātu sistēma ir taisnstūrveida. 1.1. Otrās kārtas līkņu un citu līkņu vienādojumu sastādīšana 1. p) Pierādīt, ka kopa

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumaņa fakultātes "Fundamentālo zinātņu" nodaļa " Matemātiskā modelēšana» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

5. NODAĻA. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA 5.. Plaknes taisnes vienādojums Vienādojumu formā F(x, y) 0 sauc par taisnes vienādojumu, ja šo vienādojumu izpilda jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz dotas plaknes.

Balakovo Inženierzinātņu un tehnoloģiju institūts - federālās zemes autonomās augstākās izglītības iestādes "Nacionālās pētniecības kodolpētniecības universitāte "MEPhI" filiāle

Otrās kārtas līnijas Ju.L.Kalinovskis Augstākās matemātikas katedra Universitātes "Dubna" Plāns 2 3 4 5 6 7 Otrās kārtas līnijas: punktu lokuss, kuru Dekarta koordinātas atbilst vienādojumam

44. Hiperbolas definīcija. Hiperbola ir visu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas atbilstošā koordinātu sistēmā apmierina vienādojumu 2 2 y2 = 1, (1) b2 kur, b > 0. Šis vienādojums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes (turpinājums) Lektore E.G.Pahomova 01 4. Elipses, hiperbolas un parabolas vispārīgā definīcija DEFINĪCIJA. Tiešās līnijas a m sauc par tiešajām

1 Lekcija 1.4. Otrās kārtas līknes un virsmas Anotācija: No definīcijām tiek iegūti līkņu kanoniskie vienādojumi: elipse, hiperbola un parabola. Tiek dotas parametru vienādojumi elipse un hiperbola.

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija, federālais valsts budžets izglītības iestāde augstāks profesionālā izglītība"Sibīrijas Valsts rūpniecības universitāte"

Praktiskais darbs Otrās kārtas līniju un līkņu vienādojumu sastādīšana Darba mērķis: nostiprināt prasmi sastādīt otrās kārtas taisnu un līkņu vienādojumus Darba saturs. Pamatjēdzieni. B C 0 vektors

Uzdevumi nokavēto nodarbību kompensēšanai Saturs Tēma: Matricas, darbības ar tām. Determinantu aprēķins.... 2 Tēma: Apgrieztā matrica. Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot apgriezto matricu. Formulas

Analītiskā ģeometrija 5.. Taisne plaknē Dažādi veidi, kā definēt taisni plaknē. Plaknes taisnes vispārīgais vienādojums. Līnijas atrašanās vieta attiecībā pret koordinātu sistēmu. Ģeometriskā nozīme

11. IESPĒJA 1 Punkts M() ​​ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta N(1-1) uz taisni l. Uzrakstiet taisnes l vienādojumu; atrast attālumu no punkta N līdz taisnei l Sastādiet vienādojumus garāmejošajām taisnēm

49. Cilindriskās un koniskās virsmas 1. Cilindriskās virsmas Definīcija. Telpā ir dota līnija l un vektors a, kas nav nulles. Virsma, ko veido taisnas līnijas, kas iet cauri visiem iespējamajiem

Analītiskā ģeometrija Analītiskā ģeometrija plaknē. Analītiskās ģeometrijas risinājums ģeometriskās problēmas izmantojot algebru, kurai izmanto koordinātu metodi. Saskaņā ar koordinātu sistēmu lidmašīnā

1. variants 1. uzdevums. Sniedziet elipses ģeometrisku definīciju. 2. uzdevums. Izmantojot Dandelin lodītes, pierādiet, ka elipse rodas kā konusa griezums. 3. uzdevums. Pierādīt, ka punktu kopa P, no kuras

Sekaeva L.R., Tyuleņeva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJĀ LADĒN Kazaņa 008 0 Kazaņas Valsts universitātes Vispārējās matemātikas katedra Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA LADĒNĀ

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Kazaņas Valsts Arhitektūras un būvniecības universitāte Augstākās matemātikas katedra Vektoru un lineārās algebras elementi. Analītiskā ģeometrija.

Analītiskā ģeometrija plaknē Līnijas vienādojums ir vissvarīgākais analītiskās ģeometrijas jēdziens. y M(x, y) 0 x Definīcija. Līnijas (līknes) vienādojums Oxy plaknē ir vienādojums, kuram

LA Gausa metodes pamatuzdevumu paraugi Dažas lineāro vienādojumu sistēmas Atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 6

16. IESPĒJA 1 Caur punktiem M 1 (3 4) un M (6) tiek novilkta taisne. Atrodiet šīs līnijas krustošanās punktus ar koordinātu asīm Sastādiet trijstūra malu vienādojumus, kuriem punkti A (1) ) B (3 1) C (0 4) ir

3. tests 1. IESPĒJA Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas ir perpendikulāra un iet caur līniju krustošanās punktu un .. Pierakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem, un un atrodiet attālumu no punkta

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ. Taisne 1. Aprēķini perimetru trijstūrim, kura virsotnes ir punkti A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Atrodiet punktu vienādā attālumā no punktiem A(7;

Analītiskā ģeometrija 1. modulis Matricas algebra Vektora algebra 5. teksts (patstāvīgs pētījums) Abstrakta Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma plaknē un telpā Attāluma formulas

Krievijas Federācijas Rostovas Izglītības ministrija Valsts universitāte Mehānikas un matemātikas fakultāte Ģeometrijas katedra Kazaks V.V. Analītiskās ģeometrijas seminārs pirmā kursa studentiem

ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJS PLAKNES VISPĀRĒJAIS VIENĀDĀJUMS. OPR Plakne ir virsma, kurai ir tāda īpašība, ka, ja divi punkti uz taisnes pieder plaknei, tad visi līnijas punkti pieder šai plaknei.

LEKCIJA 5 ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI. 1 1. Virsmas vienādojums un līnijas vienādojums telpā. Vienādojumu ģeometriskā nozīme Analītiskajā ģeometrijā jebkura virsma tiek uzskatīta par kopu

1. nodaļa TAISNĒJUMI UN LAKMES n R. 1.1. Punktu telpas Iepriekš aplūkojām virkņu aritmētisko telpu Matemātikā ierobežotu sakārtotu koordinātu kopu var interpretēt ne tikai

Pārbaudes uzdevums analītiskajā ģeometrijā. 2. semestris. 1. variants 1. Atrodiet apļa pieskares vienādojumus (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, kas ir paralēli taisnei 5x 12y + 1 = 0. 2. Uzrakstiet vienādojumu pieskares

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts autonomā augstākās profesionālās izglītības iestāde "Kazaņas (Volgas apgabala) Federālā universitāte"

Augsto pasūtījumu atšķirības. Eksāmena biļete. Matricas, pamatjēdzieni un definīcijas.. Uzraksti riņķa vienādojumu, ja punkti A(;) un B(-;6) ir viena diametra gali.. Ir dotas virsotnes

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumana Fundamentālo zinātņu fakultāte Matemātiskās modelēšanas katedra A.N. Kasikovs,

Otrās kārtas virsmas. Virsmu trīsdimensiju telpā apraksta ar vienādojumu formā F(x; y; z) = 0 vai z = f(x; y). Divu virsmu krustpunkts nosaka līniju telpā, t.i. līnija telpā

(MIF-2, Nr. 3, 2005)

Otrās kārtas līnijas plaknē

P. 1. Otrās kārtas rindas definīcija

Apsveriet plakni, uz kuras ir norādīta taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma (XOY). Tad jebkuru punktu M unikāli nosaka tā koordinātas (x, y). Turklāt jebkurš skaitļu pāris (x, y) nosaka noteiktu plaknes punktu. Punktu koordinātas var atbilst noteiktiem nosacījumiem, piemēram, kāds vienādojums f(x, y) = 0 attiecībā pret nezināmajiem (x, y). Šajā gadījumā viņi saka, ka vienādojums f(x, y)=0 definē noteiktu figūru plaknē. Apskatīsim piemērus.

1. piemērs. Apsveriet funkciju y= f( x). Punktu koordinātas šīs funkcijas grafikā apmierina vienādojumu y– f( x) = 0.

2. piemērs. Vienādojums (*), kur a, b, c– daži skaitļi definē noteiktu taisni plaknē. (Tiek izsaukti (*) formas vienādojumi lineārs).

3. piemērs. Hiperbolas grafiks sastāv no punktiem, kuru koordinātas atbilst vienādojumam https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

1. definīcija. Formas vienādojums (**), kur vismaz viens no koeficientiem ir DIV_ADBLOCK53">

Mēs apsvērsim iepriekš minēto līniju ģeometriskās un fizikālās īpašības. Sāksim ar elipsi.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Vienādojumu (1) sauc kanonisks elipses vienādojums.

Par elipses formu var spriest pēc 1. attēla.

Liekam. Punkti tiek saukti triki elipse. Ar trikiem ir saistītas vairākas interesantas īpašības, par kurām mēs runāsim tālāk.

4. definīcija. Hiperbola ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

(2).

Vienādojumu (2) sauc kanonisks hiperbolas vienādojums. Par hiperbolas veidu var spriest pēc 2. attēla.

Liekam. Punkti tiek saukti triki hiperbola. Parametrs a sauca derīgs, un parametrs b- iedomāta pusass hiperbolas, attiecīgi vērsis- īsts un ak– hiperbolas iedomātā ass.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, tiek saukti asimptoti. Lielām parametru vērtībām x asimptotu punkti tuvojas hiperbolas zariem bezgalīgi tuvu. 2. attēlā asimptoti ir attēloti ar punktētām līnijām.

5. definīcija. Parabola ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. LVP fokusu īpašības

Katrai LVP A.2. tika norādīti īpaši punkti - triki. Šiem punktiem ir liela nozīme elipses, hiperbolas un parabolas svarīgo īpašību izskaidrošanā. Mēs formulējam šīs īpašības teorēmu veidā.

Teorēma. 1. Elipse ir punktu kopaM, lai attālumu summa no šiem punktiem līdz fokusam būtu vienāda ar 2a:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Lai formulētu līdzīgu īpašību parabolai, mēs definējam direktore. Tas ir taisni d, kas dots ar vienādojumu https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

P. 4. Fokusi un pieskares

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24" src="> pieder attiecīgajam ABL. Zemāk ir vienādojumi pieskarēm, kas iet caur šo punktu:

– elipsei, (7)

– hiperbolai, (8)

- parabolai. (9)

Ja no abiem fokusiem līdz pieskares punktam novelkam segmentus ar elipsi vai hiperbolu (tos sauc fokusa rādiusi punktu), tad atklāsies kas ievērības cienīgs īpašums(sk. 5. un 6. att.): fokusa rādiusi veido vienādus leņķus ar šajā punktā novilkto pieskari.

Šim īpašumam ir interesanta fiziskā interpretācija. Piemēram, ja mēs uzskatām elipses kontūru par spoguļattēlu, tad gaismas stari no punktveida avota, kas atrodas vienā fokusā, pēc atstarošanas no ķēdes sienām noteikti izies cauri otrajam fokusam.

Liels praktiska izmantošana ieguva līdzīgu īpašību parabolai. Fakts ir tāds jebkura parabolas punkta fokusa rādiuss veido leņķi ar pieskari, kas novilkta uz šo punktu, vienādu ar leņķi starp pieskari un parabolas asi.

Fiziski tas tiek interpretēts šādi: parabolas fokusā novietota punkta stari pēc atstarošanas no tās sienām izplatās paralēli parabolas simetrijas asij. Tāpēc laternu un prožektoru spoguļiem ir paraboliska forma. Starp citu, ja tajā ieplūst gaismas straume (radio viļņi), kas ir paralēla parabolas asij, tad pēc atstarošanas no sienām visi tās stari izies cauri fokusam. Kosmosa sakaru stacijas, kā arī radari darbojas pēc šāda principa.

P. 5. Vēl nedaudz fizikas

ABL ir plaši izmantoti fizikā un astronomijā. Tādējādi tika konstatēts, ka viens salīdzinoši viegls ķermenis (piemēram, satelīts) pārvietojas masīvāka ķermeņa (planētas vai zvaigznes) gravitācijas laukā pa trajektoriju, kas attēlo vienu no LVP. Šajā gadījumā masīvākais ķermenis ir šīs trajektorijas fokusā.

Pirmo reizi šīs īpašības tika detalizēti izpētītas Johanness Keplers un tos sauca par Keplera likumiem.

Ieskaite Nr.1 ​​10.klases skolēniem

Pašpārbaudes jautājumi (5 punkti par uzdevumu)

M.10.1.1. Definējiet ABL. Sniedziet dažus vienādojumu piemērus, kas definē LVP.

M.10.1.2. Aprēķināt a) elipses, b) hiperbolas fokusa koordinātas, ja a=13, b=5.

M.10.1.3. Sastādiet a) elipses, b) hiperbolas kanonisko vienādojumu, ja ir zināms, ka šī taisne iet caur punktiem ar koordinātām (5, 6) un (-8, 7).

M.10.1.4. Pārbaudiet, vai (9) vienādojumā norādītā taisne faktiski krustojas ar (3) vienādojuma doto parabolu tikai punktā ar koordinātām . ( Piezīme: vispirms aizvietojiet pieskares vienādojumu parabolas vienādojumā un pēc tam pārliecinieties, ka iegūtā kvadrātvienādojuma diskriminants ir nulle.)

M.10.1.5. Uzrakstiet vienādojumu pieskarei hiperbolai ar reālo pusasi 8 un iedomāto pusasi – 4 punktā ar koordinātu x=11, ja punkta otrā koordināta ir negatīva.

Praktiskais darbs (10 punkti)

M.10.1.6. Izveidojiet vairākas elipses, izmantojot šādu metodi: piestipriniet papīra lapu pie saplākšņa un ielīmējiet papīrā pāris pogas (bet ne līdz galam). Paņemiet diega gabalu un sasieniet galus. Izmetiet iegūto cilpu pāri abām pogām (nākotnes elipses fokusa punktiem), pavelciet pavedienu ar zīmuļa asu galu un uzmanīgi novelciet līniju, pārliecinoties, ka pavediens ir nostiepts. Mainot cilpas izmērus, varat izveidot vairākas konfokālās elipses. Mēģiniet izskaidrot, izmantojot 1. teorēmu, ka iegūtās līnijas patiešām ir elipses, un paskaidrojiet, kā, zinot attālumu starp pogām un vītnes garumu, varat aprēķināt elipses pusasis.