Divu mainīgo lielo lielumu pilnās diferenciālās funkcijas ģeometriskā nozīme pie punkta (x 0, y 0) ir pieteikumu (Z koordinātu) pieaugums ar pieskares plakni uz virsmas, pārvietojoties no punkta (x 0, y 0) līdz punktam (x 0 + dx, 0 + du).

Augstāku pasūtījumu daļēji atvasinājumi. :Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā. Mēs izsauksim šos atvasinātos pirmās kārtas privātos atvasinājumus.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrā pasūtījuma daļēji atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem pasūtījumiem. Definīcija. Privātie atvasinājumi Sugas utt Sauc par jauktiem atvasinājumiem. Schwartz teorēma:

Ja privātie atvasinājumi augstāku pasūtījumu f.m.p. Nepārtraukta, tad jaukto atvasinājumu viena pasūtījuma, atšķiras tikai ar procedūru diferenciācijas \u003d viens otru.

Šeit N ir simbolisks atvasinājuma pakāpe, kas tiek aizstāts ar reālu pakāpi pēc konstrukcijas, kas atrodas tajā.

14. Pieskares plaknes vienādojums un normāls virsmai!

Ļaujiet n un n 0 būt šīs virsmas punktiem. Mēs tērēsim Direct NN 0. Lidmašīna, kas iet caur punktu N 0, tiek saukts tangentabla plakne Uz virsmas, ja leņķis starp vienību NN 0 un šī lidmašīna mēdz nulles, ja attālums Nn 0 mēdz nulles.

Definīcija. Normālslīdz virsmai N 0 apakšpunktā ir tieša, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri pieskares plaknē uz šo virsmu.

Dažā brīdī virsma ir vai ir tikai viena pieskares plakne vai vispār nav.

Ja virsma ir iestatīta ar vienādojumu z \u003d f (x, y), kur f (x, y) ir funkcija, kas ir diferencējama punkta m 0 (x 0, y 0), tangentabla plakne Punktā N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) pastāv un ir vienādojums:

Vienādojums ir normāls virsmai šajā brīdī.:

Ģeometriskā nozīme Divu mainīgo f (x, y) diferenciālā funkcija pie punkta (x 0, y 0) ir pieskares plaknes lietojumu pieaugums uz virsmu, pārvietojoties no punkta (x 0, y 0 ) līdz punktam (x 0 + DX, 0 + DU).

Kā redzams, ģeometriskā nozīme pilnīgas diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem ir telpisko analogu ģeometrisko nozīmi diferenciālo funkciju vienu mainīgo.

16. Scalar laukā un tās īpašības. Līnijas ULNI, atvasinājumi virzienā, gradients skalāra laukā.

Ja katrs vietas punkts tiek ievietots saskaņā ar skalāru vērtību, skalāra lauks notiek (piemēram, temperatūras lauks, elektriskais potenciālais lauks). Ja tiek ieviestas Dekarta koordinātas, tā ir arī apzīmēta vai Lauks var būt plakana, ja centrālā (sfērisks), ja cilindrisks, ja



Virsmas un līnija: Scalar lauku īpašības var vizuāli pētīt, izmantojot līmeņa virsmas. Šīs virsmas telpā, kurā tas notiek pastāvīgu vērtību. To vienādojums: . Plakanā skalāra laukā, līmeņa līnijas izsauc līknes, uz kurām laukums veic nemainīgu vērtību: Dažos gadījumos līmeņa līnija var deģenerēties punktā, un virsmas virsmas punktā un līkumos.

Scalar lauka virzienā un gradientā:

Ļaujiet vienam vektoram ar koordinātām - skalāra lauku. Atvasinātais virziens raksturo izmaiņas šajā virzienā, un to aprēķina pēc atvasinātās formulas virzienā, ir vektora un vektora skalāra produkts ar koordinātām ko sauc par gradienta funkciju un ir norādīts. Komunikācija Ja leņķis starp un, tad vektors norāda virzienu ātru pieaugumu laukā, un tā modulis ir vienāds ar atvasinājumu šajā virzienā. Tā kā gradienta komponenti ir daļēji atvasinājumi, nav grūti iegūt šādas gradienta īpašības:

17. Extremes F.M.P. Blind Extremum F.M., nepieciešamie un pietiekami nosacījumi tās pastāvēšanai. Lielākā un mazākā vērtība F.M.P. Ogranā. slēgta teritorija.

Ļaujiet funkcijai z \u003d ƒ (x; y) ir definēti kādā reģionā D, N punktu (x0; y0)

Punktu (x0; u0) sauc par funkcijas maksimālo punktu z \u003d ƒ (x; y), ja ir tāda D-kaimiņvalstis (X0; U0), kas ir katram punktam (x; y) , izņemot (ho; uh), no šīs apkārtnes, nevienlīdzība ƒ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (x0; u0). Funkcijas vērtību maksimālā punkta (minimālā) tiek saukta par maksimālo (minimālo) funkciju. Maksimālās un minimālās funkcijas sauc par tās galējībām. Ņemiet vērā, ka pēc definīcijas funkcijas ekstrēmums ir funkcijas noteikšanas funkcija; Maksimālais un minimālais ir vietējais (vietējais) raksturs: funkcijas vērtība punkta (X0; U0), salīdzina ar tās vērtībām pie punktiem tuvu (x0; u0). D reģionā funkcija var būt vairākas ekstrēms vai nav neviena.



Nepieciešams (1) un pietiekams (2) pastāvēšanas nosacījumi:

(1) Ja punktā N (x0; y0), diferenciālo funkciju z \u003d ƒ (x; y) ir ekstrēmum, tad tās privātie atvasinājumi šajā brīdī ir nulle: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y ( x0; y0) \u003d 0. Komentēt. Funkcijai var būt ekstrēmums punktos, kur vismaz viens no daļējiem atvasinājumiem nepastāv. Punkts, kurā privātie atvasinājumi pirmās kārtas funkcijas z ≈ ƒ (x; y) ir nulle, the.e. f "x \u003d 0, f" y \u003d 0, sauc par funkcijas stacionāro punktu z.

Stacionārie punkti un punkti, kuros vismaz viens privāts atvasinājums nepastāv, sauc par kritiskiem punktiem

(2) Pieņemsim, ka stacionārs punkts (ho; uh) un dažas tās apkārtni, funkcija ƒ (x; y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi otrās kārtas iekļaujošiem. Aprēķināt pie punkta (X0; U0) vērtības A \u003d F "" XX (X0; Y0), B \u003d ƒ "" XY (X0; U0), C \u003d ƒ "" OY (X0; U0). Apzīmēt Tad:

1. Ja Δ\u003e 0, tad funkcija ƒ (x; y) pie punkta (x0; U0) ir ekstrēmums: maksimālais, ja a< 0; минимум, если А > 0;

2. Ja Δ.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Šajā gadījumā δ \u003d 0 ekstrēmums pie punkta (X0; U0), iespējams, nav. Ir vajadzīgi papildu pētījumi.

Par vienu mainīgo funkciju y. = f.(x.) punktā x. 0 diferenciālā ģeometriskā nozīme nozīmē sacenšņa pieskares pieaugumu, ko veica funkcijas grafikā ar abscisu x. 0 Pārslēdzoties uz punktu x. 0 + x.. Un divu mainīgo diferenciālā funkcija šajā plānā ir pieaugums pieteikumspieskare plakneveikts uz vienādojuma norādīto virsmu z. = f.(x., y.) , vietā M. 0 (x. 0 , y. 0 ) pārslēdzoties uz punktu M.(x. 0 + x., y. 0 + y.). Mēs sniedzam pieskares plaknes definīciju uz kādu virsmu:

Df. . Lidmašīna, kas iet caur punktu R 0 Virszemes S., sauca tangentabla plakneŠajā brīdī, ja leņķis starp šo plakni un secīgu iet cauri diviem punktiem R 0 un R(jebkurš virsmas punkts S.) tiecas uz nulli, kad punkts Rmeklē šo virsmu līdz punktam R 0 .

Ļaujiet virsmai S.ievietojis vienādojumu z. = f.(x., y.). Tad var pierādīt, ka šī virsma ir punktā P. 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) tangente plakne tad un tikai tad, ja funkcija z. = f.(x., y.) atšķirība šajā brīdī. Šādā gadījumā pieskares plakne tiek piešķirta vienādojumā:

z. – z. 0 = +
(6).

§Five. Atvasinājums virzienā, gradienta funkcija.

Daļēja atvasinājumu funkcijas y.= f.(x. 1 , x. 2 .. x. n. ) pēc mainīgajiem lielumiem x. 1 , x. 2 . . . x. n. Izsakiet ātrumu izmaiņām koordinātu asu virzienā. Piemēram, ir ātruma maiņa funkciju h. 1 - tas ir, tiek pieņemts, ka lauka definīcijas apgabala, kas pieder pie lauka, pārvietojas tikai paralēli asij Oh 1 Un visas citas koordinātas paliek nemainīgas. Tomēr var pieņemt, ka funkcija var atšķirties kādā citā virzienā, kas nesakrīt ar kādu no asīm.

Apsveriet trīs mainīgo funkciju: u.= f.(x., y., z.).

Noteikt punktu M. 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) un daži vērsti taisni (ass) l.šķērsojot šo punktu. Ļaut būt M (x., y., z.) - patvaļīgs punkts no tā taisni un  M. 0 M.- attālums OT M. 0 agrāk M.

u. = f. (x., y., z.) – f.(x. 0 , y. 0 , z. 0 ) - funkcijas pieaugums punktā M. 0 .

Atrodiet objektivitātes attiecību vektora garumā
:

Df. . Atvasinātā funkcija u. = f. (x., y., z.) uz l. punktā M. 0 Saukta par pieauguma funkcijas attiecību ierobežojumu vektora garumam M. 0 M. Pēdējo vēlmi 0 (vai tas pats, ar neierobežotu tuvināšanu M.uz M. 0 ):

(1)

Šis atvasinājums raksturo funkcijas maiņas ātrumu punktā M. 0 virzienā l..

Ļaujiet asij l. (vektors M. 0 M.) veidojas ar asīm Vērsis., Oy., Oz.stūri
attiecīgi.

Apzīmējiet x-x 0 \u003d
;

y - y 0 \u003d
;

z - Z 0 \u003d
.

Tad vektors M. 0 M \u003d (x. - x. 0 , y. - y. 0 , z. - z. 0 )=
un viņa ceļvedis?

;

;

.

(4).

(4) - atvasinājuma aprēķināšanas formula virzienā.

Apsveriet vektoru, kura koordinātas ir privātas atvasinātās funkcijas u.= f.(x., y., z.) punktā M. 0 :

grads. u. - Gradienta funkcija u.= f.(x., y., z.) punktā M (x., y., z.)

Gradienta īpašības:


Izeja: Funkcija Gradienta garums u.= f.(x., y., z.) - Ir vislētākā vērtība Šajā brīdī M (x., y., z.) un vektora virziens grads. u.sakrīt ar virzienu vektoru nāk no punkta M., pa kuru funkcija mainās ātrāk. Tas ir, gradienta funkcijas virziens grads. u. - Ir virziens definīcijas funkciju.

$ E apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka $ F $ ir vietējais maksimums Punktā x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtne $ u $ punktiem $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība ir $ f \\ pa kreisi (x \\ t pa labi) leqlant f \\ pa kreisi (x_ (0) labo) $.

Vietējā maksimālā summa stingrs Ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ F \\ pa kreisi (x labo)< f\left(x_{0}\right)$.

Definīcija
Ļaujiet $ f $ būt faktiskā funkcija atvērtā Set $ \u200b\u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka $ F $ ir vietējais minimums Punktā $ x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtnē $ u $ punkti $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība $ f \\ pa kreisi (x \\ Pa labi) \\ GEQLANT F \\ T pa kreisi (x_ (0) labo) $.

Vietējo minimumu sauc par stingru, ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ f, pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ t Pa kreisi (x_ (0) labajā) $.

Vietējā ekstrēmums apvieno vietējā minimuma jēdzienus un vietējo maksimumu.

Teorēma (nepieciešamais nosacījums ekstrēmuma diferencējamas funkcijas)
Ļaujiet $ f $ būt faktiskā funkcija atvērtā Set $ \u200b\u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ja punktu x_ (0) \\ t e $, $ F funkcija ir vietējais ekstrēmums un šajā brīdī, tad $$ teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$ Līdztiesība nulle atšķirība ir līdzvērtīga faktu, ka visi ir nulle, t.i. $$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji X_ (i)) \\ T pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$

Viendimensiju gadījumā tas ir. Apzīmējiet līdz $ phi \\ pa kreisi (t labajā) \u003d f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labā) $, kur $ h $ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $ phi $ ir definēts ar pietiekami mazām modulo vērtībām $ t $. Turklāt, saskaņā ar, tas ir diferencējams, un $ (\\ Phi) '\\ pa kreisi (t labajā) \u003d teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labo) h $.
Ļaujiet $ F $ ir vietējais maksimums $ 0 $ punktu. Tas nozīmē, ka funkcija $ \\ Phi $ ar $ t \u003d 0 $ ir vietējais maksimums, un, saskaņā ar lauksaimniecības teorēmu, $ (Phi) '\\ pa kreisi (0 labajā) \u003d 0 $.
Tātad, mēs saņēmām, ka $ df \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0 $, ti.e. Funkcijas $ F $ pie punkta X_ (0) $ ir nulle par jebkuru vektoru $ h $.

Definīcija
Punkti, kuros diferenciālis ir nulle, t.sk. Tāds, kuros visi privātie atvasinājumi ir nulle, tiek saukti par stacionāru. Kritiskie punkti Funkcijas $ F $ sauc par tādiem punktiem, kuros $ F $ nav diferencēts vai vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tas vēl nav sekot, ka šajā brīdī funkcija ir ekstrēms.

1. piemērs.
Ļaujiet $ F, pa kreisi (x, y labajā) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Tad $ \\ DOMYStyle FRAC (Daļēja f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) $, $ r displayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji Y) \u003d 3 \\ T CDOT Y ^ (2 ) $, tāpēc $ \\ pa kreisi (0.0 labā) $ ir stacionārs punkts, bet šajā brīdī funkcija nav ekstrēmum. Patiešām, $ F \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d 0 $, bet tas ir viegli redzēt, ka jebkurā apkārtnē $ \\ kreisā punkta (0.0 labā) $ funkcija ņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

2. piemērs.
Funkcija ir $ F \\ pa kreisi (x, y labā) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ start - stacionārs punkts, bet ir skaidrs, ka šajā brīdī nav ekstrēmum.

Teorēma (pietiekams ekstrēmums).
Ļaujiet funkcijai $ F $ dubultā nepārtraukti diferencējama atvērtā komplektā $ e \\ tSamer MathBB (R) ^ (n) $. Ļaujiet $ x_ (0) e $ - stacionārs punkts un $$ dispystyle Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H labo) \\ t EQUIV SUM_ (I \u003d 1) ^ N \\ Sum_ (J \u003d 1 ) ^ n FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēji X_ (i) Daļēji x_ (j)) \\ T pa kreisi (x_ (0) labajā) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Tad

  1. ja $ Q_ (x_ (0)) $ -, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ ir vietējais ekstrēmums, proti, vismaz, ja veidlapa ir pozitīvi definēta, un maksimālais, ja veidlapa negatīvi definēts;
  2. ja kvadrātiskā forma $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikts, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ nav ekstrēmum.

Mēs izmantojam sadalīšanās ar Taylor formulu (12.7 p. 292). Ņemot vērā, ka pirmās kārtas individuālie atvasinājumi punkti X_ $ (0) $ ir nulle, mēs saņemam $$ displaystyle f \\ T pa kreisi (x_ (0) + h labajā) -f \\ T pa kreisi (x_ (0) \\ t ) \u003d FRAC (1) (2) \\ Sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ Sum_ (j \u003d 1) ^ n FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēji X_ (i) Daļēja X_ ( j)) \\ T pa kreisi (x_ (0) + theta h labajā) h ^ (i) h ^ (j), $$, kur $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, un $ Epsilon \\ T pa kreisi (H labraismojums - Right Right 0 $ ar $ H, Right Right 0 $, tad labajā pusē būs pozitīvs ar jebkuru vektoru $ h $ pietiekami maza garuma.
Tātad, mēs nonācām pie tā, ka dažās robežās no punktiem $ x_ (0) $ tas bija nevienlīdzība $ F \\ pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t pa labi) $, ja tikai $ x \\ NEQ X_ (0) $ (mēs likts $ x \u003d x_ (0) + h $ labajā). Tas nozīmē, ka pie punkta X_ (0) $ funkcijai ir stingra vietējā minimums, un tādējādi pierādīja mūsu teorijas pirmo daļu.
Pieņemsim, ka tagad, ka $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikta forma. Tad ir vektori $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, piemēram, $ Q_ (X_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (1) labajā) \u003d \\ LAMBDA_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (2) labā) \u003d \\ LAMBDA_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tad mēs saņemam $ $ F \\ pa kreisi (x_ (0) + th_ (1) labajā) -f (x_ (0) labajā) \u003d FRAC (1) (2) \\ pa kreisi [t ^ (2) \\ LAMBDA_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \\ t. Pa kreisi (th_ (1) labajā) \\ tEx] \u003d FRAC (1) (2) t ^ (2) \\ LEXT [\\ LAMBDA_ (1) + | H_ (1) | ^ (2) \\ epsilon \\ pa kreisi (th__ (1) labā) labā]. $$$ ar pietiekami maza $ t\u003e 0 $ labās puses ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $, $ f $ funkcija ņem vērtības $ f \\ pa kreisi (x labo) $, kas ir liels par $ f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t Pa labi) $.
Tāpat mēs iegūstam, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $ funkcija $ f $ ņem vērtības, kas ir mazākas par $ f, pa kreisi (x_ (0) labajā) $. Tas kopā ar iepriekšējo, nozīmē to, ka pie punkta $ x_ (0) $ funkcija $ f $ nav ekstrēms.

Apsveriet konkrētu šīs teorijas gadījumu par funkciju $ F \\ pa kreisi (x, y labo) $ diviem mainīgajiem, kas definēti dažās $ kreisajā punkta apkārtnē (x_ (0), y_ (0) \\ t pa labi) $ un šī pirmā un otrā pasūtījuma pastāvīgā privātā atvasinājumu apkārtne. Pieņemsim, ka $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labā) $ ir stacionārs punkts, un apzīmē $$ displaystyle a_ (11) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labajā), A_ (12) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (x_ ( 0), y_ (0) labajā pusē), A_ (22) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ tad iepriekšējā teorēma veiks šādu formu.

Teorēma
Ļaujiet $ deltta \u003d a_ (11) \\ cdot a_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Tad:

  1. ja $ deltta\u003e 0 $, tad $ F funkcijai ir $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labo) $ vietējo ekstrēmumu, proti, vismaz, ja $ a_ (11)\u003e 0 $, un Maksimāli, ja $ A_ (11)<0$;
  2. ja $ deltā<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problēmu risināšanas piemēri

Algoritms, lai atrastu ekstrēmum funkcijas daudziem mainīgajiem:

  1. Mēs atrodam stacionārus punktus;
  2. Mēs atrodam 2. Pasūtījumu diferenciālus visos stacionārajos punktos
  3. Izmantojot pietiekamu nosacījumu daudzu mainīgo ekstrēmuma funkcijām, mēs uzskatām, ka 2. kārtas diferenciālis katrā stacionārajā punktā
  1. Izpētiet funkciju Extremum $ F \\ T pa kreisi (x, y labo) \u003d x ^ (3) + 8 \\ cdot y ^ (3) + 18 \\ cdot x - 30 \\ cdot y $.
    Lēmums

    Mēs atradīsim privātus atvasinājumus 1. kārtas: $$ displaystyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) - 6 \\ CDOT Y; $$$$ DisplayStyle FRAC ( F) (daļēji y) \u003d 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x. $$ marka un atrisināt sistēmu: $$ displaystyle \\ sāk sākt (gadījumi) \\ frac (daļēji f) (daļēji x) \u003d 0 0. \\ T FRAC (Daļēja f) (daļēji y) \u003d 0 - Beigas (gadījumi) \\ t Rindo Sākt (gadījumi) 3 \\ cdot x ^ (2) - 6 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 24 Cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x \u003d 0 \\ galdati (gadījumi) \\ tRowrowrow sākiet (lietas) x ^ (2) - 2 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 4 \\ cdot y ^ (2) - x \u003d 0 - 0 - end (gadījumi) $$ no 2. vienādojuma Express $ x \u003d 4 \\ cdot y ^ (2) $ - mēs aizstājam 1. vienādojumu: $$ displaystyle \\ pa kreisi (4 \\ cdot y ^ (2) \\ t Pa labi) ^ (2) -2 \\ cdot y \u003d 0 $$$ 16 \\ cdot y ^ (4) - 2 \\ cdot y \u003d 0 $$$$ 8 \\ cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ gadi (8 \\ T pa labi) \u003d 0 $$ Rezultātā 2 stacionārie punkti tika iegūti:
    1) $ y \u003d 0 rightrow x \u003d 0, m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0, 0 labā) $;
    2) $ \\ t DisplayStyle 8 \\ cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ LAZĀCIJA Y ^ (3) \u003d FRAC (1) (8) Rietojošais Y \u003d FRAC (1) (2) Riteņa x \u003d 1 , M_ (2) \u003d \\ pa kreisi (FRAC (1) (2), 1 labā) $
    Pārbaudiet pietiekamu ekstrēmuma apstākļu īstenošanu:
    $$ digityStyle FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji X ^ (2)) \u003d 6 \\ CDOT X; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji y) \u003d - 6; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \u003d 48 \\ cdot y $$
    1) Par punktu $ m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0.0 labā) $:
    $$ digitystyle a_ (1) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (0,0 labā) \u003d 0; B_ (1) \u003d FRAC (daļējs ^ (2) f) (daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (0,0 labā) \u003d - 6; C_ (1) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) \\ cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) par $ m_ (2) punktu $:
    $$ digityStyle a_ (2) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļējs x ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 6; B_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d - 6; C_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) \\ cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, tas nozīmē, vietā $ m_ (2) $ ir ekstrēms, un kopš $ a_ (2)\u003e 0 $, tas ir minimums.
    Atbilde: Point $ displaystyle m_ (2) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) $ ir punkts minimālā funkcija $ f $.

  2. Izpētiet funkciju uz Extremum $ f \u003d y ^ (2) + 2 \\ cdot x \\ cdot y - 4 \\ cdot x - 2 \\ cdot y - $ 3.
    Lēmums

    Atrast stacionāros punktus: $$ dishstyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 2 \\ CDOT Y - 4; $$$$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji Y) \u003d 2 \\ CDOT Y + 2 \\ cdot x - 2. $$
    Mēs arī atrisināsim sistēmu: $$ dishstystyle (gadījumi) FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 0 \\\\\\ frac (daļēji f) (daļēji y) \u003d 0 - beigas (lietas) ) Rietojošais sākums (gadījumi) 2 cdot y - 4 \u003d 0 \\\\ 2 \\ t + 2 \\ t x \u003d 1 \\ galdati (gadījumi) Riteņbraukšana x \u003d -1 $$
    $ M_ (0) \\ T pa kreisi (-1, 2 labā) $ - stacionārs punkts.
    Pārbaudiet pietiekamu ekstrēmuma stāvokļa izpildi: $$ DisplayStyle A \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) F) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 0; B \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; C \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji Y ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; $$
    $ A \\ cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Atbilde: galējības nav klāt.

Laika ierobežojums: 0

Navigācija (tikai darba numuri)

0 no 4 uzdevumiem beidzās

Informācija

Pabeigt šo testu, lai pārbaudītu savas zināšanas par daudzu daudzveidīgo funkciju vietējo elementu tēmām.

Jūs jau esat iepriekš izturējis pārbaudi. Jūs nevarat palaist to vēlreiz.

Tests ir ielādēts ...

Lai sāktu pārbaudi, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Lai sāktu to, jums ir jāpabeidz šādi testi:

rezultāti

Pareizās atbildes: 0 no 4

Tavs laiks:

Laiks ir beidzies

Jūs ieguva 0 no 0 punktiem (0)

Jūsu rezultāts tika ierakstīts līderu tabulā

  1. Ar atbildi
  2. Ar marķieri

    4. uzdevums

    1 .
    Punktu skaits: 1

    Izpētiet funkciju $ f $ ekstrēmiem: $ F \u003d E ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \\ cdot y ^ (2)) $

    Pa labi

    Nepareizs

  1. 2. uzdevums no 4

    2 .
    Punktu skaits: 1

    Vai ir ekstrēmums funkcijas $ F \u003d 4 + \\ SQRT ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2) $

    Pa labi

Vairāku mainīgo funkciju diferenciālais aprēķins.

Pamatjēdzieni un definīcijas.

Apsverot vairāku mainīgo lielumu funkcijas, mēs ierobežosim detalizētu divu mainīgo funkciju aprakstu, jo Visi iegūtie rezultāti būs derīgi patvaļīgas mainīgo lielumu funkcijām.

Ja katrs neatkarīgo numuru (X, Y) pāris no noteiktā noteikuma kopuma tiek ievietots saskaņā ar vienu vai vairākām mainīgās Z vērtībām, tad mainīgais Z tiek saukts par mainīgo divu mainīgo funkcija.

Ja skaitļu pāris (x, y) atbilst vienai vērtībai Z, tad funkcija tiek saukta nepārprotams, un, ja vairāk nekā viens, tad - daudzvērtīgs.

Definēšanas zona Funkcijas Z sauc par pāru kopu (X, Y), kurā pastāv funkcija z pastāv.

Apkaimes punktsM 0 (x 0, y 0) Radius r sauc visu punktu kopums (x, y), kas atbilst stāvoklim.

Numuru sauc par robeža F funkcijas f (x, y), kad punkts m (x, y) līdz punktam M 0 (x 0, y 0), ja par katru numuru E\u003e 0 ir tāds skaits R\u003e 0, kas ir jebkuram m (x, y) punktam, par kuru nosacījums ir taisnība

arī patiess un stāvoklis .

Ieraksts:

Ļaujiet punktam m 0 (x 0, y 0) pieder pie funkcijas f (x, y) noteikšanas. Tad tiek saukts par funkciju z \u003d f (x, y) nepārtraukts Pie punkta m 0 (x 0, y 0), ja

(1)

turklāt m (x, y) punkts mēdz punktam M 0 (x 0, y 0) patvaļīgs veids.

Ja kādā brīdī nosacījums (1) nav izpildīts, tad šo punktu sauc par izsmidzināšanas punktsfunkcijas f (x, y). Tas var būt šādos gadījumos:

1) Funkcija Z \u003d F (x, y) nav definēts punktā M 0 (x 0, y 0).

2) Nav ierobežojuma.

3) Šis ierobežojums pastāv, bet tas nav vienāds ar f (x 0, y 0).

Vairāku mainīgo funkciju īpašības, kas saistītas ar to nepārtrauktību.

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā un ierobežotā vietā D, ir vismaz viens punkts šajā jomā.

N (x 0, y 0, ...), ka citiem punktiem ir patiesa nevienlīdzība

f (x 0, y 0, ...) ³ F (x, y, ...)

kā arī n 1 (x 01, y 01, ...), piemēram, ka visiem pārējiem punktiem ir uzticīga nevienlīdzība

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

tad f (x 0, y 0, ...) \u003d m - lielākā vērtība Funkcijas un f (x 01, y 01, ...) \u003d m - mazākā vērtībaf (X, Y, ...) Reģionā D.

Nepārtraukta funkcija slēgtā un ierobežotā rajonā D sasniedz vismaz vienu reizi lielāko vērtību un vienu mazāko.

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā reģionā D, un M un M - attiecīgi, lielākās un mazākās vērtības funkciju šajā jomā, tad ir punkts jebkuram punktam m î

N 0 (x 0, y 0, ...) tāds, ka f (x 0, y 0, ...) \u003d m.

Vienkārši sakot, nepārtraukta funkcija veic visas starpposma vērtības starp m un m reģionā D. Šī īpašuma sekas var būt secinājums, ka, ja dažādu rakstzīmju skaitļi m un m, tad D reģionā, funkcija vismaz vienu reizi aicina uz nulli.

Īpašums. Funkcija f (x, y, ...), nepārtraukti slēgtā ierobežotā rajonā D, ierobežots Šajā jomā, ja ir tik vairāki skaitļi, lai visiem reģiona punktiem, nevienlīdzība ir taisnība .

Īpašums. Ja funkcija f (x, y, ...) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā vietā D, tad tā vienmērīgi nepārtraukti Šajā jomā, t.i. Attiecībā uz jebkuru pozitīvu skaitli E, ir tik vairāki d\u003e 0, kas jebkuriem diviem punktiem (x 1, y 1) un (x 2, 2) teritorijās atrodas attālumā mazāk D, nevienlīdzība

2. Privātie atvasinājumi. Augstāku pasūtījumu daļēji atvasinājumi.

Pieņemsim, ka kādā reģionā ir iestatīts funkcija z \u003d f (x, y). Veikt patvaļīgu m (x, y) punktu un iestatiet DX pieaugumu uz mainīgo x. Tad tiek saukts par D X Z \u003d F vērtību (X + DX, Y) - F (X, Y) privāts funkcijas pieaugums ar x.

Var ierakstīt

.

Tad sauca privāts atvasinājumsfunkcijas Z \u003d F (x, y) ar x.

Apzīmējums:

Tāpat tiek noteikta privāta programmatūras funkciju atvasinājums.

Ģeometriskā nozīmeprivāts atvasinājums (piemēram) ir pieskares pieskares leņķa pieskare, ko veica N 0 apakšpunktā (x 0, y 0, Z 0) uz plaknes y \u003d y 0.

Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā.

Mēs izsauksim šos atvasinājumus privātie pirmās kārtas atvasinājumi.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrās kārtas privātie atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem pasūtījumiem.

Privātie atvasinājumi Sugas utt izsaukts jauktie atvasinājumi.

Teorēma. Ja funkcija f (x, y) un tās privātie atvasinājumi tiek noteikti un nepārtraukti m (x, y) un tās apkārtnē, tad attiecība ir taisnība:

Tiem. Augstāko pasūtījumu privātie atvasinājumi nav atkarīgi no diferenciācijas kārtības.

Tāpat tiek noteikti augstāku pasūtījumu atšķirības.

…………………

Šeit N ir simbolisks atvasinājuma pakāpe, kas tiek aizstāts ar reālu pakāpi pēc konstrukcijas, kas atrodas tajā.

Pilns diferenciālis. Pilnīgas diferenciālā ģeometriskā nozīme. Pieskares plakne un normāla virsma.

Izteiksmi sauc par pilns pieaugumsfunkcijas f (x, y) kādā brīdī (x, y), kur 1 un 2 ir bezgalīgi nelielas funkcijas ar DX ® 0 un DU ® 0, attiecīgi.

Pilnīga diferenciālafunkcijas Z \u003d F (x, y) sauc galvenā lineārā daļa, salīdzinot ar DX un DU palielinājuma funkciju DZ pie punkta (x, y).

Par patvaļīgas skaita mainīgo lielumu funkciju:

3.1. Piemērs.. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju.

DefinīcijaPar funkciju f (x, y), izteiksme dz \u003d F (x + dx, y + dy) - f (x, y) tiek saukta pilns pieaugums .

Ja funkcija f (x, y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi, tad

Tad mēs saņemam, piemērojot Lagrange teorēmu

Jo Privātie atvasinājumi ir nepārtraukti, jūs varat rakstīt vienlīdzības:

Definīcija. Izteiksmi sauc par pilns pieaugumsfunkcijas f (x, y) kādā brīdī (x, y), kur 1 un 2 ir bezgalīgi nelielas funkcijas ar DX ® 0 un DU ® 0, attiecīgi.

Definīcija: Pilnīga diferenciālafunkcijas Z \u003d F (X, Y) sauc par galveno lineāro attiecībā uz DX un DU palielinājuma funkcijas dziļu DZ pie punkta (x, y).

Par patvaļīgas skaita mainīgo lielumu funkciju:

Piemērs. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju.

Piemērs. Atrodiet pilnu diferenciālo funkciju

Pilnīgas diferenciālā ģeometriskā nozīme.

Pieskares plakne un normāla virsma.

normāls

tangentabla plakne

Ļaujiet n un n 0 būt šīs virsmas punktiem. Mēs tērēsim Direct NN 0. Lidmašīna, kas iet caur punktu N 0, tiek saukts tangentabla plakne Uz virsmas, ja leņķis starp vienību NN 0 un šī lidmašīna mēdz nulles, ja attālums Nn 0 mēdz nulles.

Definīcija. Normālslīdz virsmai N 0 apakšpunktā ir tieša, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri pieskares plaknē uz šo virsmu.

Dažā brīdī virsma ir vai ir tikai viena pieskares plakne vai vispār nav.

Ja virsmu nosaka Z \u003d F (X, Y) vienādojums, kur f (x, y) ir funkcija, kas ir diferencējama punkta m 0 (x 0, y 0), pieskares plakne N 0 punktā (x 0, y 0, (x 0, y 0)) pastāv un ir vienādojums:

Vienādojums ir normāls virsmai šajā brīdī:

Ģeometriskā nozīme Divu mainīgo f (x, y) diferenciālā funkcija pie punkta (x 0, y 0) ir pieskares plaknes lietojumu pieaugums uz virsmu, pārvietojoties no punkta (x 0, y 0 ) līdz punktam (x 0 + DX, 0 + DU).

Kā redzams, ģeometriskā nozīme pilnīgas diferenciālo funkciju diviem mainīgajiem ir telpisko analogu ģeometrisko nozīmi diferenciālo funkciju vienu mainīgo.

Piemērs Atrodiet pieskares plaknes vienādojumus un normālu virsmu

M punkta (1, 1, 1).

Pieskares plaknes vienādojums:

Vienādojums Normāls:

Augstāku pasūtījumu daļēji atvasinājumi.

Pieņemsim, ka ir daži iestatījumi x kosmosā. Katru šī komplekta punktu nosaka skaitļu kopums, kas ir šā punkta koordinātas. Mēs sakām, ka N-mainīgo funkcija ir iestatīta uz SET X, ja katrs punkts Saskaņā ar noteiktu likumu tiek ievietots viens numurs z, t.sk. .

Piemērs: Ļaujiet x 1, x 2, x 3 - baseina garums, platums un dziļums. Tad mēs atrodam baseina virsmu.

N-mainīgā funkcija Sauc nepārtraukti Ja funkcijas ierobežojums šajā brīdī ir vienāda ar funkcijas vērtību robežvērtības punktā, t.i. .

Definīcija: Privāta atvasināto funkciju Saskaņā ar mainīgo, tos sauc par atvasinājumu no funkcijas z pa mainīgo, aprēķinot, ka visi pārējie mainīgie joprojām pastāvīgi.

Privāts atvasinājums.

Piemērs

Par divu mainīgo lielumu funkciju, jūs varat ievadīt četrus daļējus atvasinājumus otrā kārtībā, tad

1. Lasīšana: divas Z ir divreiz.

Teorēma Jaukti atvasinājumi, kur tie ir nepārtraukti, nav atkarīgi no atvasinājumu aprēķināšanas kārtības. Tas attiecas uz jauktiem atvasinājumiem jebkuru pasūtījumu un funkciju jebkuru mainīgo lielumu.

Ja funkcija f (x, y) ir definēta dažos D reģionā, tās privātie atvasinājumi tiks definēti arī tajā pašā apgabalā vai tā daļā.

Mēs izsauksim šos atvasinājumus privātie pirmās kārtas atvasinājumi.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrās kārtas privātie atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūto vienlīdzību, mēs saņemsim privātus atvasinājumus augstākiem pasūtījumiem.

Definīcija Privātie atvasinājumi Sugas utt izsaukts jauktie atvasinājumi.

TeorēmaJa funkcija f (x, y) un tās privātie atvasinājumi tiek noteikti un nepārtraukti m (x, y) un tās apkārtnē, tad attiecība ir taisnība :.

tad m 0 sauc par minimums.

Teorēma (nepieciešamie ekstrēmuma apstākļi) Ja funkcija f (x, y) pie punkta (x 0, y 0) ir ekstrēms, tad šajā brīdī vai nu gan tās privātie atvasinājumi no pirmās kārtas ir nulle, vai vismaz viens no tiem nepastāv.

Šis punkts (x 0, y 0) tiks saukts kritiskais punkts.

Teorēma (pietiekami ekstrēmums) Ļaujiet kritiskā punkta tuvumā (x 0, y 0), funkcija F (x, y) ir nepārtraukti privātie atvasinājumi otrā kārtībā. Apsveriet izteiksmi:

1) ja D (x 0, y 0)\u003e 0, tad pie punkta (x 0, y 0) Funkcija f (x, y) ir ekstrēmums, ja

2) - 0, tad pie punkta (x 0, y 0) Funkcija f (x, y) nav ekstrēmuma

Lietā D \u003d 0, secinājumu par klātbūtni ekstrēmu nevar izdarīt.