Kā noteikt pāra un nepāra funkcijas. Pāra un nepāra funkcijas Pāra funkcijas grafiks

Mainīgā y atkarību no mainīgā x, kurā katra x vērtība atbilst vienai y vērtībai, sauc par funkciju. Apzīmēšanai izmantojiet apzīmējumu y=f(x). Katrai funkcijai ir vairākas pamatīpašības, piemēram, monotoniskums, paritāte, periodiskums un citas.

Sīkāk apskatiet paritātes īpašumu.

Funkcija y=f(x) tiek izsaukta pat tad, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

2. Funkcijas vērtībai punktā x, kas ietilpst funkcijas definīcijas jomā, jābūt vienādai ar funkcijas vērtību punktā -x. Tas nozīmē, ka jebkuram punktam x ir jāizpilda šāda vienādība no funkcijas definīcijas apgabala: f(x) = f(-x).

Pāra funkcijas grafiks

Ja uzzīmējat pāra funkcijas grafiku, tas būs simetrisks attiecībā pret Oy asi.

Piemēram, funkcija y=x^2 ir pāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemsim patvaļīgu x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Tāpēc f(x) = f(-x). Tādējādi abi nosacījumi ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir funkcijas y=x^2 grafiks.

Attēlā redzams, ka grafiks ir simetrisks pret Oy asi.

Nepāra funkcijas grafiks

Funkciju y=f(x) sauc par nepāra, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

1. Dotās funkcijas definīcijas apgabalam ir jābūt simetriskam attiecībā pret punktu O. Tas ir, ja kāds punkts a pieder funkcijas definīcijas apgabalam, tad arī atbilstošajam punktam -a ir jāiekļaujas definīcijas jomā. no dotās funkcijas.

2. Jebkuram punktam x no funkcijas definīcijas apgabala jāizpilda šāda vienādība: f(x) = -f(x).

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret punktu O - koordinātu sākumpunktu. Piemēram, funkcija y=x^3 ir nepāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemsim patvaļīgu x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Tāpēc f(x) = -f(x). Tādējādi abi nosacījumi ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir funkcijas y=x^3 grafiks.

Attēlā skaidri redzams, ka nepāra funkcija y=x^3 ir simetriska attiecībā pret izcelsmi.

Kas vienā vai otrā pakāpē jums bija pazīstami. Tur arī tika atzīmēts, ka funkciju īpašumu krājumi pakāpeniski tiks papildināti. Šajā sadaļā tiks apskatīti divi jauni īpašumi.

1. definīcija.

Funkcija y = f(x), x є X tiek izsaukta pat tad, ja jebkurai vērtībai x no kopas X ir spēkā vienādība f (-x) = f (x).

2. definīcija.

Funkciju y = f(x), x є X sauc par nepāra, ja jebkurai vērtībai x no kopas X ir spēkā vienādība f (-x) = -f (x).

Pierādīt, ka y = x 4 ir pāra funkcija.

Risinājums. Mums ir: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Bet (-x) 4 = x 4. Tas nozīmē, ka jebkuram x ir spēkā vienādība f(-x) = f(x), t.i. funkcija ir vienmērīga.

Līdzīgi var pierādīt, ka funkcijas y - x 2, y = x 6, y - x 8 ir pāra.

Pierādīt, ka y = x 3 ~ nepāra funkcija.

Risinājums. Mums ir: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Bet (-x) 3 = -x 3. Tas nozīmē, ka jebkuram x ir spēkā vienādība f (-x) = -f (x), t.i. funkcija ir nepāra.

Līdzīgi var pierādīt, ka funkcijas y = x, y = x 5, y = x 7 ir nepāra.

Jau ne reizi vien esam redzējuši, ka jaunajiem terminiem matemātikā visbiežāk ir “zemes” izcelsme, t.i. tos var kaut kā izskaidrot. Tas attiecas gan uz pāra, gan nepāra funkcijām. Skatiet: y - x 3, y = x 5, y = x 7 ir nepāra funkcijas, savukārt y = x 2, y = x 4, y = x 6 ir pāra funkcijas. Un vispār, jebkurai funkcijai formā y = x" (tālāk mēs īpaši pētīsim šīs funkcijas), kur n ir naturāls skaitlis, varam secināt: ja n ir nepāra skaitlis, tad funkcija y = x" ir nepāra; ja n ir pāra skaitlis, tad funkcija y = xn ir pāra skaitlis.

Ir arī funkcijas, kas nav ne pāra, ne nepāra. Tāda, piemēram, ir funkcija y = 2x + 3. Patiešām, f(1) = 5 un f (-1) = 1. Kā redzat, šeit tāpēc ne identitāte f(-x) = f (x), ne identitāte f(-x) = -f(x).

Tātad funkcija var būt pāra, nepāra vai neviena.

Pētot jautājumu par to, vai dotā funkcija pāra vai nepāra parasti sauc par paritātes funkcijas izpēti.

Definīcijas 1 un 2 attiecas uz funkcijas vērtībām punktos x un -x. Tas pieņem, ka funkcija ir definēta gan punktā x, gan punktā -x. Tas nozīmē, ka punkts -x ietilpst funkcijas definīcijas jomā vienlaikus ar punktu x. Ja skaitliskā kopa X kopā ar katru tās elementu x satur arī pretējo elementu -x, tad X sauc par simetrisko kopu. Pieņemsim, ka (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ir simetriskas kopas, kamēr ; (∞;∞) ir simetriskas kopas, un , [–5;4] ir asimetriskas.

– Vai pat funkcijām ir definīcijas apgabals, kas ir simetriska kopa? Savādi?
– ja D( f) ir asimetriska kopa, tad kāda ir funkcija?
– Tādējādi, ja funkcija plkst = f(X) – pāra vai nepāra, tad tā definīcijas apgabals ir D( f) ir simetriska kopa. Vai ir patiess apgrieztais apgalvojums: ja funkcijas definīcijas apgabals ir simetriska kopa, tad tā ir pāra vai nepāra kopa?
– Tas nozīmē, ka definīcijas apgabala simetriskas kopas klātbūtne ir nepieciešams nosacījums, bet nepietiekams.
– Tātad, kā izpētīt paritātes funkciju? Mēģināsim izveidot algoritmu.

Slaids

Paritātes funkcijas izpētes algoritms

1. Nosakiet, vai funkcijas definīcijas apgabals ir simetrisks. Ja nē, tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Ja jā, pārejiet uz algoritma 2. darbību.

2. Uzrakstiet izteiksmi priekš f(–X).

3. Salīdziniet f(–X).Un f(X):

Ja f(–X).= f(X), tad funkcija ir pāra;
Ja f(–X).= – f(X), tad funkcija ir nepāra;
Ja f(–X) ≠ f(X) Un f(–X) ≠ –f(X), tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

Piemēri:

Pārbaudiet funkciju a) paritāti plkst= x 5 +; b) plkst= ; V) plkst= .

Risinājums.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetriskā kopa.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + nepāra.

b) y =,

plkst = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetriska kopa, kas nozīmē, ka funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. iespēja

1. Vai dotā kopa ir simetriska: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Pārbaudiet paritātes funkciju:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Zīm. ir izveidots grafiks plkst = f(X), ikvienam X, apmierinot nosacījumu X? 0.
Grafiksējiet funkciju plkst = f(X), Ja plkst = f(X) ir vienmērīga funkcija.

3. Zīm. ir izveidots grafiks plkst = f(X), visiem x, kas atbilst nosacījumam x? 0.
Grafiksējiet funkciju plkst = f(X), Ja plkst = f(X) ir nepāra funkcija.

Salīdzinošā pārskatīšana slaidā.

6. Mājas darbs: Nr.11.11, 11.21, 11.22;

Paritātes īpašuma ģeometriskās nozīmes pierādījums.

***(Vienotā valsts pārbaudījuma varianta piešķiršana).

1. Nepāra funkcija y = f(x) ir definēta visā skaitļu rindā. Jebkurai mainīgā x vērtībai, kas nav negatīva, šīs funkcijas vērtība sakrīt ar funkcijas g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Atrodiet funkcijas h( X) = plkst X = 3.

7. Rezumējot

2020. gada jūlijā NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. Kosmosa kuģis uz Marsu nogādās elektronisku datu nesēju ar visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdiem.

Ja šī ziņa atrisināja jūsu problēmu vai jums tas vienkārši patika, kopīgojiet saiti uz to ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tūlīt aiz taga. Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski uzrauga un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro lejupielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas arī viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs ievietot matemātiskās formulas savas vietnes tīmekļa lapās.

Kārtējais Jaungada vakars... sals un sniegpārslas uz loga stikla... Tas viss pamudināja vēlreiz rakstīt par... fraktāļiem, un ko par to zina Volframs Alfa. Šajā gadījumā ir interesants raksts, kas satur divdimensiju fraktāļu struktūru piemērus. Šeit mēs apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri trīsdimensiju fraktāļi.

Fraktāli var vizuāli attēlot (aprakstīt) kā ģeometrisku figūru vai ķermeni (tas nozīmē, ka abi ir kopa, šajā gadījumā punktu kopa), kuras detaļām ir tāda pati forma kā pašai oriģinālajai figūrai. Tas ir, šī ir sev līdzīga struktūra, kuras detaļas, pārbaudot tās palielinātas, redzēsim tādu pašu formu kā bez palielinājuma. Tā kā parastā gadījumā ģeometriskā figūra(nevis fraktālis), pietuvinot, mēs redzēsim detaļas, kurām ir vairāk vienkārša forma nekā pati sākotnējā figūra. Piemēram, ar pietiekami lielu palielinājumu daļa elipses izskatās kā taisnas līnijas segments. Ar fraktāļiem tas nenotiek: ar to pieaugumu mēs atkal redzēsim to pašu sarežģīto formu, kas atkārtosies atkal un atkal ar katru pieaugumu.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fraktāļi un māksla zinātnes vārdā rakstīja: “Fraktāļi ir ģeometriskās formas, kas ir vienlīdz sarežģīti gan detaļās, gan vispārējā formā. Tas ir, ja daļa no fraktāļa tiek palielināta līdz veseluma izmēram, tā parādīsies kā veselums vai nu precīzi, vai varbūt ar nelielu deformāciju.

Funkciju sauc par pāra (nepāra), ja jebkurai un vienādībai

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret asi
.

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Piemērs 6.2.

1)
; 2)
; 3)
.

Pārbaudiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra.

Risinājums
1) Funkcija tiek definēta, kad
.

. Mēs atradīsim
Tie.

. Tas nozīmē, ka šī funkcija ir vienmērīga.

. Mēs atradīsim
2) Funkcija tiek definēta, kad

. Tādējādi šī funkcija ir nepāra.

,
3) funkcija ir definēta priekš , t.i. Par

. Tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Sauksim to par vispārējās formas funkciju.

3. Monotoniskuma funkcijas izpēte.
Funkcija

tiek saukta par palielināšanos (samazināšanos) noteiktā intervālā, ja šajā intervālā katra lielākā argumenta vērtība atbilst lielākai (mazākai) funkcijas vērtībai.

Funkcijas, kas palielinās (samazinās) noteiktā intervālā, sauc par monotoniskām.
Ja funkcija
diferencējams pēc intervāla
un tam ir pozitīvs (negatīvs) atvasinājums
, tad funkcija

palielinās (samazinās) šajā intervālā.

1)
; 3)
.

Pārbaudiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra.

Piemērs 6.3. Atrast funkciju monotonitātes intervālus

1) Šī funkcija ir definēta visā skaitļu rindā. Atradīsim atvasinājumu.
Atvasinājums ir vienāds ar nulli, ja
Un
,
. Definīcijas domēns ir skaitļu ass, kas dalīta ar punktiem

ar intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.
Intervālā

ar intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.
atvasinājums ir negatīvs, funkcija samazinās šajā intervālā.

atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc funkcija šajā intervālā palielinās.
2) Šī funkcija ir definēta, ja

vai

Mēs nosakām kvadrātiskā trinoma zīmi katrā intervālā.

Tādējādi funkcijas definīcijas joma
,
Atradīsim atvasinājumu
, Ja
, t.i.
, Bet
.

ar intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.
. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos
atvasinājums ir negatīvs, tāpēc funkcija samazinās uz intervāla
. Intervālā
.

atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās pa intervālu

4. Ekstrēma funkcijas izpēte.
sauc par funkcijas maksimālo (minimālo) punktu
, ja ir tāda punkta apkārtne tas ir visiem
no šīs apkārtnes pastāv nevienlīdzība

.

Funkcijas maksimālo un minimālo punktu sauc par ekstrēma punktiem.

Funkcijas, kas palielinās (samazinās) noteiktā intervālā, sauc par monotoniskām.
punktā ir ekstrēmums, tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir vienāds ar nulli vai neeksistē (nepieciešams nosacījums ekstrēmuma pastāvēšanai).

Punktus, kuros atvasinājums ir nulle vai tā nav, sauc par kritiskiem.

5. Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai.

1. noteikums. Ja pārejas laikā (no kreisās uz labo) caur kritisko punktu atvasinājums
maina zīmi no “+” uz “–”, pēc tam punktā funkciju
ir maksimums; ja no “–” līdz “+”, tad minimums; Ja
nemaina zīmi, tad nav ekstrēma.

2. noteikums. Ļaujiet pie punkta
pirmais funkcijas atvasinājums
vienāds ar nulli
, un otrais atvasinājums pastāv un atšķiras no nulles. Ja
, Tas – maksimālais punkts, ja
, Tas – funkcijas minimālais punkts.

Piemērs 6.4. Izpētiet maksimālās un minimālās funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Risinājums.

1) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā
.

Tādējādi funkcijas definīcijas joma
un atrisiniet vienādojumu
, Ja
.No šejienes
- kritiskie punkti.

Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos ,
.

Izejot cauri punktiem
Atvasinājums ir vienāds ar nulli, ja
atvasinājums maina zīmi no “–” uz “+”, tāpēc saskaņā ar 1. noteikumu
– punktu minimums.

Izejot caur punktu
atvasinājums maina zīmi no “+” uz “–”, tātad
- maksimālais punkts.

,
.

2) Funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā
. Atradīsim atvasinājumu
.

Atrisinot vienādojumu
, mēs atradīsim
Atvasinājums ir vienāds ar nulli, ja
- kritiskie punkti. Ja saucējs
, Ja
, tad atvasinājums neeksistē. Tātad,
– trešais kritiskais punkts. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos.