Funkcijas tiek izsauktas lineāri neatkarīgs, ja

(ir pieļaujama tikai triviāla lineāra funkciju kombinācija, kas identiski vienāda ar nulli). Atšķirībā no vektoru lineārās neatkarības, šeit lineārās kombinācijas identitāte ir nulle, bet ne vienādība. Tas ir saprotams, jo jebkurai argumenta vērtībai ir jāizpilda lineārās kombinācijas vienādība ar nulli.

Funkcijas tiek izsauktas lineāri atkarīgi, ja pastāv nulles konstantu kopa (ne visas konstantes ir vienādas ar nulli), tā ka (pastāv netriviāla lineāra funkciju kombinācija, kas identiski vienāda ar nulli).

Teorēma.Lai funkcijas būtu lineāri atkarīgas, ir nepieciešams un pietiekami, lai kāda no tām būtu lineāri izteikta ar pārējām (attēlota kā to lineāra kombinācija).

Pierādi šo teorēmu pats, tā tiek pierādīta tāpat kā analogā teorēma par vektoru lineāro atkarību.

Vronska noteicējs.

Vronska determinants funkcijām tiek ieviests kā determinants, kura kolonnas ir šo funkciju atvasinājumi no nulles (pašas funkcijas) līdz n-1 secībai.

.

Teorēma... Ja funkcijas tad ir lineāri atkarīgi

Pierādījums. Tā kā funkcijas ir lineāri atkarīgi, tad jebkurš no tiem ir lineāri izteikts ar citiem, piemēram,

Tāpēc identitāti var atšķirt

Tad Vronska determinanta pirmā kolonna tiek lineāri izteikta pārējo kolonnu izteiksmē, tāpēc Vronska determinants ir identiski vienāds ar nulli.

Teorēma.Lai n-tās kārtas lineāra homogēna diferenciālvienādojuma risinājumi būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiek.

Pierādījums. Nepieciešamība izriet no iepriekšējās teorēmas.

Atbilstība. Labosim kādu punktu. Tā kā šajā punktā aprēķinātā determinanta kolonnas ir lineāri atkarīgi vektori.

ka attiecības

Tā kā lineāra viendabīga vienādojuma risinājumu lineāra kombinācija ir tā atrisinājums, mēs varam ieviest formas risinājumu

Risinājumu lineāra kombinācija ar vienādiem koeficientiem.

Ņemiet vērā, ka šis risinājums atbilst nulles sākuma nosacījumiem, tas izriet no iepriekš minētās vienādojumu sistēmas. Bet triviālais risinājums lineāram viendabīgam vienādojumam atbilst arī tiem pašiem nulles sākuma nosacījumiem. Tāpēc no Košī teorēmas izriet, ka ieviestais risinājums ir identiski vienāds ar triviālo; tāpēc

tāpēc risinājumi ir lineāri atkarīgi.

Sekas.Ja Vronska determinants, kas konstruēts uz lineāra viendabīga vienādojuma atrisinājumiem, izzūd vismaz vienā punktā, tad tas ir identiski vienāds ar nulli.

Pierādījums. Ja, tad risinājumi ir lineāri atkarīgi, tāpēc,.

Teorēma.1. Risinājumu lineārai atkarībai tas ir nepieciešams un pietiekams(vai ).

2. Lineārai neatkarībai risinājumi ir nepieciešami un pietiekami.

Pierādījums. Pirmais apgalvojums izriet no iepriekš pierādītās teorēmas un izrietošās sekas. Otrais apgalvojums ir viegli pierādāms ar pretrunu.

Lai risinājumi ir lineāri neatkarīgi. Ja, tad risinājumi ir lineāri atkarīgi. Pretruna. Tāpēc .

Ļaujiet . Ja risinājumi ir lineāri atkarīgi, tad , tātad pretruna. Tāpēc risinājumi ir lineāri neatkarīgi.

Sekas.Vronska determinanta izzušana vismaz vienā punktā ir kritērijs risinājumu lineārajai atkarībai no lineāra homogēna vienādojuma.

Vronska determinanta atšķirība no nulles ir lineāra homogēna vienādojuma atrisinājumu lineāras neatkarības kritērijs.

Teorēma.Lineāra viendabīga n-tās kārtas vienādojuma atrisinājumu telpas dimensija ir vienāda ar n.

Pierādījums.

a) Parādīsim, ka lineāram homogēnam n-tās kārtas diferenciālvienādojumam ir n lineāri neatkarīgi atrisinājumi. Apsveriet risinājumus atbilst šādiem sākotnējiem nosacījumiem:

...........................................................

Tādi risinājumi pastāv. Patiešām, pēc Košī teorēmas caur punktu iet vienīgā integrālā līkne - risinājums. Caur punktu risinājums iet caur punktu

- risinājums caur punktu - risinājums.

Šie risinājumi ir lineāri neatkarīgi, jo .

b) Parādīsim, ka jebkurš lineāra viendabīga vienādojuma risinājums ir lineāri izteikts šo risinājumu izteiksmē (ir to lineārā kombinācija).

Apskatīsim divus risinājumus. Viens ir patvaļīgs risinājums ar sākotnējiem nosacījumiem ... Attiecība ir godīga

Ļaujiet L - lineāra telpa virs lauka R ... Ļaujiet A1, a2, ..., an (*) ierobežota vektoru sistēma no L ... Vektors V = a1 × A1 + a2 × A2 + ... + × An (16) sauc Lineāra vektoru kombinācija ( *), vai saki, ka vektors V izteikts lineāri caur vektoru sistēmu (*).

14. definīcija. Tiek saukta vektoru sistēma (*). Lineāri atkarīgi , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neviendabīga koeficientu kopa a1, a2, ..., tāda, ka a1 × A1 + a2 × A2 + ... + × An = 0. Ja a1 × A1 + a2 × A2 + ... + × An = 0 Û a1 = a2 =… = an = 0, tad tiek izsaukta sistēma (*). Lineāri neatkarīgs.

Lineārās atkarības un neatkarības īpašības.

10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Patiešām, ja sistēmā (*) vektors A1 = 0, Pēc tam 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × Аn = 0 .

20. Ja vektoru sistēmā ir divi proporcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.

Ļaujiet A1 = L× a2. Pēc tam 1 × A1 –L × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Galīga vektoru sistēma (*) n ³ 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir šīs sistēmas atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir koeficientu kopa, kas atšķiras no nulles a1, a2, ..., an, kurai a1 × A1 + a2 × A2 + ... + × An = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad pastāv un A1 = × a2 × A2 + ... + × un × A N. Tātad vektors A1 ir pārējo vektoru lineāra kombinācija.

X Lai viens no vektoriem (*) ir pārējo vektoru lineāra kombinācija. Varam pieņemt, ka šis ir pirmais vektors, t.i. A1 = B2 A2+ ... + miljardi A N, tātad (–1) × A1 + b2 A2+ ... + miljardi A N = 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.

komentēt. Izmantojot pēdējo īpašību, var dot bezgalīgas vektoru sistēmas lineārās atkarības un neatkarības definīciju.

15. definīcija. Vektoru sistēma A1, a2, ..., an , ... (**) tiek saukts Lineāri atkarīgi Ja vismaz viens no tā vektoriem ir lineāra kombinācija no kāda ierobežota skaita citu vektoru. Pretējā gadījumā tiek izsaukta sistēma (**). Lineāri neatkarīgs.

40. Galīga vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar pārējiem vektoriem.

50. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.

60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Dotas divas vektoru sistēmas A1, a2, ..., an , ... (16) un В1, в2, ..., вs, ... (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad viņi saka, ka sistēma (17) tiek lineāri izteikta caur sistēmu (16).

16. definīcija. Abas vektoru sistēmas sauc Līdzvērtīgs ja katrs no tiem ir lineāri izteikts otra izteiksmē.

9. teorēma (galvenā teorēma par lineāro atkarību).

Ļaujiet jums - divas ierobežotas vektoru sistēmas no L ... Ja pirmā sistēma ir lineāri neatkarīga un lineāri izteikta ar otro, tad N£ s.

Pierādījums. Izliksimies tā N> S. Pēc teorēmas hipotēzes

(21)

Tā kā sistēma ir lineāri neatkarīga, vienādība (18) Û X1 = x2 = ... = xN = 0. Aizvietosim šeit vektoru izteiksmes:… + = 0 (19). Tādējādi (20). Nosacījumi (18), (19) un (20) acīmredzami ir līdzvērtīgi. Bet (18) attiecas tikai uz X1 = x2 = ... = xN = 0. Noskaidrosim, kad vienādība (20) ir patiesa. Ja visi tā koeficienti ir vienādi ar nulli, tad tā acīmredzami ir taisnība. Pielīdzinot tos nullei, iegūstam sistēmu (21). Tā kā šai sistēmai ir nulle, tad tā

locītavu. Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle X10, x20, ..., xN0... Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Tātad mūsu pieņēmums nav pareizs. Tāpēc N£ s.

Sekas. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri neatkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.

17. definīcija. Vektoru sistēmu sauc Maksimālā lineāri neatkarīgā vektoru sistēma Lineāra telpa L ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet pievienojot tam jebkuru vektoru no L nav iekļauta šajā sistēmā, tā kļūst lineāri atkarīga.

10. teorēma. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas no L Satur tādu pašu vektoru skaitu.

Pierādījums izriet no tā, ka jebkuras divas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .

Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineāri neatkarīga vektoru sistēma telpā L var pabeigt līdz maksimāli lineāri neatkarīgai šīs telpas vektoru sistēmai.

Piemēri:

1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri neatkarīga.

2. Visu koplanāro ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri neatkarīgu sistēmu.

3. Trīsdimensiju Eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri neatkarīga.

4. Maksimāli visu pakāpes polinomu kopā N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, ..., xn Tas ir maksimāli lineāri neatkarīgs.

5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri neatkarīgas sistēmas piemēri ir

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...

6. Dimensiju matricu kopa M´ N ir lineāra telpa (pārbaudiet to). Maksimālas lineāri neatkarīgas sistēmas piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12 =, ..., EMn = .

Dota vektoru sistēma C1, c2, ..., sk. (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineāri neatkarīgs Apakšsistēma Sistēmas ( *) , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, ja tam pievieno jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineāri neatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (Pierādi sevi). Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineāri neatkarīgajā apakšsistēmā (*). Pēc ranga Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.

Vektoru sistēmas lineārās atkarības un neatkarības jēdzieni vektoru algebras izpētē ir ļoti svarīgi, jo uz tiem balstās telpas dimensijas un bāzes jēdzieni. Šajā rakstā mēs sniegsim definīcijas, apsvērsim lineārās atkarības un neatkarības īpašības, iegūsim algoritmu vektoru sistēmas izpētei uz lineāras attiecības un mēs detalizēti analizēsim piemēru risinājumus.

Lapas navigācija.

Vektoru sistēmas lineārās atkarības un lineārās neatkarības noteikšana.

Aplūkosim p n-dimensiju vektoru kopu, apzīmējiet tos šādi. Sastādīsim šo vektoru un patvaļīgu skaitļu lineāru kombināciju (reāls vai komplekss):. Pamatojoties uz n-dimensiju vektoru darbību definīciju, kā arī vektoru saskaitīšanas un vektora reizināšanas ar skaitli operāciju īpašībām, var apgalvot, ka uzrakstītā lineārā kombinācija attēlo kādu n-dimensiju vektoru, ka ir,.

Tā mēs nonākam pie vektoru sistēmas lineārās atkarības definīcijas.

Definīcija.

Ja lineāra kombinācija var attēlot nulles vektoru, tad starp skaitļiem ir vismaz viena nulle, tad tiek izsaukta vektoru sistēma lineāri atkarīgi.

Definīcija.

Ja lineārā kombinācija ir nulles vektors tikai tad, kad visi skaitļi ir vienādi ar nulli, tad sauc vektoru sistēmu lineāri neatkarīgs.

Lineārās atkarības un neatkarības īpašības.

Pamatojoties uz šīm definīcijām, mēs formulējam un pierādam vektoru sistēmas lineārās atkarības un lineārās neatkarības īpašības.

Ja lineāri atkarīgai vektoru sistēmai pievienojat vairākus vektorus, tad iegūtā sistēma būs lineāri atkarīga.

Pierādījums.

Tā kā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vienlīdzība ir iespējama, ja no skaitļiem ir vismaz viens skaitlis, kas nav nulle ... Ļaujiet .

Pievienojiet sākotnējai vektoru sistēmai vairāk vektoru , šajā gadījumā mēs iegūstam sistēmu. Kopš un, tad šīs formas sistēmas vektoru lineāra kombinācija

apzīmē nulles vektoru, un. Tāpēc iegūtā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

Ja no lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas izslēdzam vairākus vektorus, tad iegūtā sistēma būs lineāri neatkarīga.

Pierādījums.

Pieņemsim, ka iegūtā sistēma ir lineāri atkarīga. Pievienojot šai vektoru sistēmai visus izmestos vektorus, mēs iegūstam sākotnējo vektoru sistēmu. Pēc nosacījuma tas ir lineāri neatkarīgs, un iepriekšējās lineārās atkarības īpašības dēļ tam ir jābūt lineāri atkarīgam. Mēs esam nonākuši pretrunā, tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs.

Ja vektoru sistēmā ir vismaz viens nulles vektors, tad šāda sistēma ir lineāri atkarīga.

Pierādījums.

Lai vektors šajā vektoru sistēmā ir nulle. Pieņemsim, ka sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Tad vektoru vienlīdzība ir iespējama tikai tad, kad. Tomēr, ja ņemat jebkuru citu, nevis nulli, tad vienlīdzība joprojām būs patiesa, jo. Tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs, un sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

Ja vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vismaz viens no tās vektoriem ir lineāri izteikts pārējos. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad neviens no vektoriem nav izteikts ar pārējiem.

Pierādījums.

Pirmkārt, mēs pierādām pirmo apgalvojumu.

Ļaujiet vektoru sistēmai būt lineāri atkarīgai, tad ir vismaz viens skaitlis, kas atšķiras no nulles, un vienādība ir patiesa. Šo vienlīdzību var atrisināt nosacīti, jo šajā gadījumā mums tā ir

Līdz ar to vektors pēc vajadzības tiek lineāri izteikts pārējo sistēmas vektoru izteiksmē.

Tagad pierādīsim otro apgalvojumu.

Tā kā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, vienlīdzība ir iespējama tikai.

Pieņemsim, ka kāds sistēmas vektors ir izteikts lineāri citiem vektoriem. Ļaujiet šim vektoram būt. Šo vienādību var pārrakstīt, jo tās kreisajā pusē ir sistēmas vektoru lineāra kombinācija, un vektora priekšā esošais koeficients nav nulle, kas norāda uz sākotnējās vektoru sistēmas lineāro atkarību. Tātad mēs nonācām pie pretrunas, kas nozīmē, ka īpašums ir pierādīts.

No pēdējām divām īpašībām izriet svarīgs paziņojums:
ja vektoru sistēma satur vektorus un kur ir patvaļīgs skaitlis, tad tas ir lineāri atkarīgs.

Lineārās atkarības vektoru sistēmas izpēte.

Izvirzīsim problēmu: mums ir jānosaka vektoru sistēmas lineāra atkarība vai lineāra neatkarība.

Loģisks jautājums: "kā to atrisināt?"

Kaut ko noderīgu no praktiskā viedokļa var uzzināt no vektoru sistēmas lineārās atkarības un neatkarības definīcijām un īpašībām, kas aplūkotas iepriekš. Šīs definīcijas un īpašības ļauj mums noteikt vektoru sistēmas lineāro atkarību šādos gadījumos:

Kā ir ar pārējiem gadījumiem, kas ir lielākā daļa?

Izdomāsim.

Atcerēsimies rakstā izklāstīto teorēmas formulējumu par matricas rangu.

Teorēma.

Ļaujiet r ir matricas A rangs pēc kārtas p pēc n, ... Lai M ir matricas A pamata minors. Visas matricas A rindas (visas kolonnas), kas nepiedalās pamata minora M veidošanā, ir lineāri izteiktas matricas rindu (kolonnu) izteiksmē, kas ģenerē pamata minora M.

Un tagad izskaidrosim saistību starp teorēmu par matricas rangu un lineārās atkarības vektoru sistēmas izpēti.

Sastādām matricu A, kuras rindas ir pētāmās sistēmas vektori:

Ko nozīmēs vektoru sistēmas lineārā neatkarība?

No vektoru sistēmas ceturtās lineārās neatkarības īpašības mēs zinām, ka neviens no sistēmas vektoriem nav izteikts pārējos. Citiem vārdiem sakot, neviena matricas A rinda netiks lineāri izteikta citu rindu izteiksmē, tāpēc vektoru sistēmas lineārā neatkarība būs līdzvērtīga nosacījumam Rank (A) = p.

Ko nozīmēs vektoru sistēmas lineārā atkarība?

Viss ir ļoti vienkārši: vismaz viena matricas A rinda tiks lineāri izteikta pārējās daļās, tāpēc vektoru sistēmas lineārā atkarība būs līdzvērtīga nosacījumam Rank (A)

.

Tātad, lineārās atkarības vektoru sistēmas izpētes problēma tiek samazināta līdz matricas ranga atrašanai, kas sastāv no šīs sistēmas vektoriem.

Jāņem vērā, ka p> n vektoru sistēma būs lineāri atkarīga.

komentēt: sastādot matricu A, sistēmas vektorus var ņemt nevis kā rindas, bet gan kā kolonnas.

Algoritms vektoru sistēmas izpētei lineārai atkarībai.

Analizēsim algoritmu, izmantojot piemērus.

Lineārās atkarības vektoru sistēmas izpētes piemēri.

Piemērs.

Ir dota vektoru sistēma. Pārbaudiet to, lai noteiktu lineāro atkarību.

Risinājums.

Tā kā vektors c ir nulle, sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga trešās īpašības dēļ.

Atbilde:

Vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

Piemērs.

Pārbaudiet vektoru sistēmu lineārai atkarībai.

Risinājums.

Nav grūti pamanīt, ka vektora c koordinātas ir vienādas ar atbilstošajām vektora koordinātām, kas reizinātas ar 3, tas ir,. Tāpēc sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga.

Lemma 1 : Ja matricā ar izmēru n n vismaz viena rinda (kolonna) ir vienāda ar nulli, tad matricas rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas.

Pierādījums:Ļaujiet pirmajai rindai būt nulle

kur a 10... Kas bija vajadzīgs.

Definīcija: Tiek izsaukta matrica, kuras elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli trīsstūrveida:

un ij = 0, i> j.

Lemma 2: Trīsstūrveida matricas determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

Pierādīšanu ir viegli veikt, indukējot matricas izmēru.

Teorēma vektoru lineārā neatkarība.

a)Vajag: lineāri atkarīgi D = 0 .

Pierādījums: Lai tie būtu lineāri atkarīgi, j =,

tas ir, ir j, ne visi ir vienādi ar nulli, j =, kas a 1 А 1 + a 2 А 2 + ... a n A n =, А j - matricas kolonnas A.Ļaujiet, piemēram, a n ¹0.

Mums ir a j * = a j / a n, j £ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n =.

Nomainiet matricas pēdējo kolonnu A uz

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n =.

Saskaņā ar iepriekš pierādīto determinanta īpašību (tas nemainās, ja matricā jebkurai kolonnai pievienojam citu, reizinot ar skaitli), jaunās matricas determinants ir vienāds ar sākotnējās determinantu. Bet jaunajā matricā viena kolonna ir nulle, kas nozīmē, ka, paplašinot determinantu pa šo kolonnu, mēs iegūstam D = 0, Q.E.D.

b)Atbilstība: Izmēru matrica n nar lineāri neatkarīgām stīgām vienmēr var reducēt līdz trīsstūrveida formai, izmantojot transformācijas, kas nemaina determinanta absolūto vērtību. Turklāt sākotnējās matricas rindu neatkarība nozīmē tās determinanta nevienlīdzību ar nulli.

1. Ja izmēru matricā n n ar lineāri neatkarīgu līniju elementu a 11 ir vienāds ar nulli, tad pirmā vieta jāaizstāj ar kolonnu ar elementu a 1 j ¹ 0... Saskaņā ar lemmu 1 šāds elements pastāv. Šajā gadījumā transformētās matricas determinants var atšķirties no sākotnējās matricas determinanta tikai ar zīmi.

2. No rindām ar cipariem i> 1 atņemiet pirmo rindu, kas reizināta ar daļskaitli a i 1/a 11... Turklāt pirmajā rindu kolonnā ar cipariem i> 1 jūs saņemat nulles elementus.

3. Sāksim aprēķināt iegūtās matricas determinantu ar sadalīšanu pirmajā kolonnā. Tā kā visi elementi tajā, izņemot pirmo, ir vienādi ar nulli,

D jauns = a 11 jauns (-1) 1 + 1 D 11 jauns,

kur d 11 jauns Ir mazākās matricas determinants.

Tālāk, lai aprēķinātu determinantu D 11 atkārtojiet 1., 2., 3. soļus, līdz pēdējais determinants izrādās lieluma matricas noteicējs 1 1. Tā kā 1. punkts maina tikai transformētās matricas determinanta zīmi, bet 2. determinanta vērtību nemaina vispār, tad līdz zīmei mēs galu galā iegūsim sākotnējās matricas determinantu. Šajā gadījumā, tā kā sākotnējās matricas rindu lineārās neatkarības dēļ 1. punkts vienmēr ir izpildīts, visi galvenās diagonāles elementi izrādīsies nulle. Tādējādi galīgais determinants saskaņā ar aprakstīto algoritmu ir vienāds ar nulles elementu reizinājumu galvenajā diagonālē. Tāpēc sākotnējās matricas determinants nav vienāds ar nulli. Q.E.D.

2. pielikums

1. teorēma (Par ortogonālo vektoru lineāro neatkarību). Ļaujiet Tad vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Sastādīsim lineāru kombināciju ∑λ i x i = 0 un ņemsim vērā skalāro reizinājumu (x j, ∑λ i x i) = λ j || x j || 2 = 0, bet || x j || 2 ≠ 0⇒λ j = 0.

1. definīcija. Vektoru sistēmavai (e i, e j) = δ ij ir Kronekera simbols, sauc par ortonormālu (ONS).

2. definīcija. Patvaļīgam bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpas patvaļīgam elementam x un patvaļīgai ortonormālai elementu sistēmai elementa x Furjē rinda sistēmā ir formāli izveidota bezgalīga formas summa (rinda). , kurā reālos skaitļus λ i sauc par elementa x Furjē koeficientiem attiecībā pret sistēmu, kur λ i = (x, e i).

Komentārs. (Protams, rodas jautājums par šīs sērijas konverģenci. Lai izpētītu šo problēmu, mēs labojam patvaļīgu skaitli n un uzzinām, kas atšķir n-tā daļēja jebkuras citas ortonormālās sistēmas pirmo n elementu lineāras kombinācijas Furjē rindas summa.)

2. teorēma. Jebkuram fiksētam skaitlim n starp visām formas summām elementa a Furjē rindas n-tajai daļējai summai ir vismazākā novirze no elementa x dotās Eiklīda telpas normā.

Ņemot vērā sistēmas ortonormalitāti un Furjē koeficienta definīciju, varam rakstīt

Šīs izteiksmes minimums tiek sasniegts pie c i = λ i, jo šajā gadījumā nenegatīvā pirmā summa labajā pusē vienmēr pazūd, un pārējie vārdi nav atkarīgi no c i.

Piemērs. Apsveriet trigonometrisko sistēmu

visu Rīmaņa integrējamo funkciju f (x) telpā uz segmenta [-π, π]. Ir viegli pārbaudīt, vai tā ir ONS, un tad funkcijas f (x) Furjē sērijai ir forma kur.

Komentārs. (Trigonometrisko Furjē sēriju parasti raksta formā Tad )

Patvaļīga ONS bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpā bez papildu pieņēmumiem, vispārīgi runājot, nav šīs telpas pamats. Intuitīvā līmenī, nesniedzot stingras definīcijas, mēs aprakstīsim lietas būtību. Patvaļīgā bezgalīgajā Eiklīda telpā E apsveriet ONS, kur (e i, e j) = δ ij ir Kronekera simbols. Lai M ir Eiklīda telpas apakštelpa, un k = M ⊥ apakštelpa, kas ir ortogonāla pret M tā, ka Eiklīda telpa E = M + M ⊥. Vektora x∈E projekcija apakštelpā M ir vektors ∈M, kur

Mēs meklēsim tās izplešanās koeficientu α k vērtības, kurām atlikums (atlikums kvadrātā) h 2 = || x- || 2 būs minimāls:

h 2 = || x- || 2 = (x-, x -) = (x-∑α kek, x-∑α kek) = (x, x) -2∑α k (x, ek) + (∑α kek, ∑α kek) = || x || 2 -2∑α k (x, e k) + ∑α k 2 + ∑ (x, e k) 2 -∑ (x, e k) 2 = || x || 2 + ∑ (α k - (x, e k)) 2 - ∑ (x, e k) 2.

Ir skaidrs, ka šai izteiksmei būs minimālā vērtība pie α k = 0, kas ir triviāla, un pie α k = (x, e k). Tad ρ min = || x || 2 -∑α k 2 ≥0. Tādējādi mēs iegūstam Besela nevienādību ∑α k 2 || x || 2. Ja ρ = 0 Ortonormālo vektoru sistēmu (ONS) sauc par pilnīgu ortonormālu sistēmu Steklova (PONS) izpratnē. Tādējādi mēs varam iegūt Steklova - Parseval vienādību ∑α k 2 = || x || 2 - "Pitagora teorēma" pilnīgai Steklova bezgalīgajiem eiklīda telpu izpratnē. Tagad būtu jāpierāda, ka, lai jebkurš telpas vektors būtu unikāli attēlots Furjē rindas veidā, kas tam saplūst, ir nepieciešams un pietiekami, lai tiktu izpildīta Steklova-Parsevala vienādība. Vektoru sistēma pic = ""> ONB veido vektoru sistēmu. Apsveriet rindas daļējo summu Tad kā saplūstošas ​​rindas aste. Tādējādi vektoru sistēma ir PONS un veido ONB.

Piemērs. Trigonometriskā sistēma

visu Rīmaņa integrējamo funkciju telpā f (x) segmentā [-π, π] ir PONS un veido ONB.