Apskatīsim taisnes, kas noteiktas ar otrās pakāpes vienādojumu attiecībā pret pašreizējām koordinātām

Vienādojuma koeficienti ir reāli skaitļi, bet vismaz viens no tiem cipari A, B vai C atšķiras no 0. tādas līnijas sauc par otrās kārtas līnijām (līknēm). Zemāk mēs parādīsim, ka vienādojums (1) definē elipsi, hiperbolu vai parabolu plaknē.

Aplis

Vienkāršākā otrās kārtas līkne ir aplis. Atgādinām, ka apli ar rādiusu R, kura centrs atrodas punktā M 0, sauc par plaknes punktu kopu M, kas atbilst nosacījumam MM 0 =R. Lai punktam M 0 sistēmā Oxy ir koordinātas x 0 ,y 0 un M(x,y) ir patvaļīgs apļa punkts. Tad vai

-apļa kanoniskais vienādojums . Pieņemot, ka x 0 =y 0 =0, mēs iegūstam x 2 +y 2 =R 2

Parādīsim, ka apļa vienādojumu var uzrakstīt kā otrās pakāpes vispārīgo vienādojumu (1). Lai to izdarītu, mēs apļa vienādojuma labo pusi kvadrātā un iegūstam:

Lai šis vienādojums atbilstu (1), ir nepieciešams, lai:

1) koeficients B=0,

2) . Tad mēs iegūstam: (2)

Pēdējais vienādojums tiek saukts vispārējs apļa vienādojums . Sadalot abas vienādojuma puses ar A ≠0 un pievienojot terminus, kas satur x un y pilnam kvadrātam, iegūstam:

(2)

Salīdzinot šo vienādojumu ar apļa kanonisko vienādojumu, mēs atklājam, ka (2) vienādojums patiešām ir apļa vienādojums, ja:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Ja šie nosacījumi ir izpildīti, apļa centrs atrodas punktā O un tā rādiuss .

Elipse

y

x

F 2 (c, o)

F1 (-c,o)

Pēc definīcijas 2 >2c, tas ir, >c. Lai iegūtu elipses vienādojumu, pieņemsim, ka fokusi F 1 un F 2 atrodas uz Ox ass un t.O sakrīt ar segmenta F 1 F 2 vidu. , tad F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0).

Lai M(x,y) ir patvaļīgs elipses punkts, tad saskaņā ar elipses definīciju MF 1 +MF 2 =2

Šis ir elipses vienādojums. Varat to pārveidot par vienkāršāku formu šādi:

Kvadrātveida:

kvadrātā

Tā kā 2 -c 2 >0 mēs ievietojam 2 -c 2 =b 2

Tad pēdējais vienādojums būs šāds:

ir elipses vienādojums kanoniskā formā.

Elipses forma ir atkarīga no attiecības: kad b= elipse pārvēršas aplī. Vienādojumam būs forma . Attiecību bieži izmanto kā elipses raksturlielumu. Šo lielumu sauc par elipses ekscentriskumu un 0< <1 так как 0

Elipses formas izpēte.

1) elipses vienādojums satur x un y, tikai vienmērīgā pakāpē, tāpēc elipse ir simetriska attiecībā pret asīm Ox un Oy, kā arī pret TO (0,0), ko sauc par centru no elipses.

2) atrast elipses krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Uzstādot y=0, atrodam A 1 ( ,0) un A 2 (- ,0), kuros elipse krustojas ar Ox. Liekot x=0, atrodam B 1 (0,b) un B 2 (0,-b). Punktus A 1 , A 2 , B 1 , B 2 sauc par elipses virsotnēm. Segmentus A 1 A 2 un B 1 B 2, kā arī to garumus 2 un 2b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo asi. Skaitļi un b ir attiecīgi galvenās un mazās pusass.

A 1 (,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Līdz ar to visi elipses punkti atrodas taisnstūra iekšpusē, ko veido līnijas x=± ,y=±b. (2. att.)

4) Elipses vienādojumā nenegatīvo vārdu summa ir vienāda ar vienu. Līdz ar to, vienam terminam palielinoties, otrs samazināsies, tas ir, ja |x| palielinās, tad |y| - samazinās un otrādi. No visa teiktā izriet, ka elipsei ir tāda forma, kāda parādīta 2. attēlā. (ovāla slēgta līkne).

(MIF-2, Nr. 3, 2005)

Otrās kārtas līnijas plaknē

P. 1. Otrās kārtas rindas definīcija

Apsveriet plakni, uz kuras ir norādīta taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma (XOY). Tad jebkuru punktu M unikāli nosaka tā koordinātas (x, y). Turklāt jebkurš skaitļu pāris (x, y) nosaka noteiktu plaknes punktu. Punktu koordinātas var atbilst noteiktiem nosacījumiem, piemēram, kāds vienādojums f(x, y) = 0 attiecībā pret nezināmajiem (x, y). Šajā gadījumā viņi saka, ka vienādojums f(x, y)=0 definē noteiktu figūru plaknē. Apskatīsim piemērus.

1. piemērs. Apsveriet funkciju y= f( x). Punktu koordinātas šīs funkcijas grafikā apmierina vienādojumu y– f( x) = 0.

2. piemērs. Vienādojums (*), kur a, b, c– daži skaitļi definē noteiktu taisni plaknē. (Tiek izsaukti (*) formas vienādojumi lineārs).

3. piemērs. Hiperbolas grafiks sastāv no punktiem, kuru koordinātas atbilst vienādojumam https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

1. definīcija. Formas vienādojums (**), kur vismaz viens no koeficientiem ir DIV_ADBLOCK75">

Mēs apsvērsim iepriekš minēto līniju ģeometriskās un fizikālās īpašības. Sāksim ar elipsi.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Vienādojumu (1) sauc kanonisks elipses vienādojums.

Par elipses formu var spriest pēc 1. attēla.

Liekam. Punkti tiek saukti triki elipse. Ar trikiem ir saistītas vairākas interesantas īpašības, par kurām mēs runāsim tālāk.

4. definīcija. Hiperbola ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

(2).

Vienādojumu (2) sauc kanonisks hiperbolas vienādojums. Par hiperbolas veidu var spriest pēc 2. attēla.

Liekam. Punkti tiek saukti triki hiperbola. Parametrs a sauca derīgs, un parametrs b- iedomāta pusass hiperbolas, attiecīgi vērsis- īsts un ak– hiperbolas iedomātā ass.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, tiek saukti asimptoti. Lielām parametru vērtībām x asimptotu punkti tuvojas hiperbolas zariem bezgalīgi tuvu. 2. attēlā asimptoti ir attēloti ar punktētām līnijām.

5. definīcija. Parabola ir figūra plaknē, kuras visu punktu koordinātas atbilst vienādojumam

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. LVP fokusu īpašības

Katrai LVP A.2. tika norādīti īpaši punkti - triki. Šiem punktiem ir liela nozīme elipses, hiperbolas un parabolas svarīgo īpašību izskaidrošanā. Mēs formulējam šīs īpašības teorēmu veidā.

Teorēma. 1. Elipse ir punktu kopaM, lai attālumu summa no šiem punktiem līdz fokusam būtu vienāda ar 2a:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Lai formulētu līdzīgu īpašību parabolai, mēs definējam direktore. Tas ir taisni d, kas dots ar vienādojumu https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

P. 4. Fokusi un pieskares

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24" src="> pieder attiecīgajam ABL. Zemāk ir vienādojumi pieskarēm, kas iet caur šo punktu:

– elipsei, (7)

– hiperbolai, (8)

- parabolai. (9)

Ja no abiem fokusiem līdz pieskares punktam novelkam segmentus ar elipsi vai hiperbolu (tos sauc fokusa rādiusi punktu), tad atklāsies kas ievērības cienīgs īpašums(sk. 5. un 6. att.): fokusa rādiusi veido vienādus leņķus ar šajā punktā novilkto pieskari.

Šim īpašumam ir interesanta fiziskā interpretācija. Piemēram, ja mēs uzskatām elipses kontūru par spoguļattēlu, tad gaismas stari no punktveida avota, kas atrodas vienā fokusā, pēc atstarošanas no ķēdes sienām noteikti izies cauri otrajam fokusam.

Liels praktiska izmantošana ieguva līdzīgu īpašību parabolai. Fakts ir tāds jebkura parabolas punkta fokusa rādiuss veido leņķi ar pieskari, kas novilkta uz šo punktu, vienādu ar leņķi starp pieskari un parabolas asi.

Fiziski tas tiek interpretēts šādi: parabolas fokusā novietota punkta stari pēc atstarošanas no tās sienām izplatās paralēli parabolas simetrijas asij. Tāpēc laternu un prožektoru spoguļiem ir paraboliska forma. Starp citu, ja tajā ieplūst gaismas straume (radio viļņi), kas ir paralēla parabolas asij, tad pēc atstarošanas no sienām visi tās stari izies cauri fokusam. Kosmosa sakaru stacijas, kā arī radari darbojas pēc šāda principa.

P. 5. Vēl nedaudz fizikas

ABL ir plaši izmantoti fizikā un astronomijā. Tādējādi tika konstatēts, ka viens salīdzinoši viegls ķermenis (piemēram, satelīts) pārvietojas masīvāka ķermeņa (planētas vai zvaigznes) gravitācijas laukā pa trajektoriju, kas attēlo vienu no LVP. Šajā gadījumā masīvākais ķermenis ir šīs trajektorijas fokusā.

Pirmo reizi šīs īpašības tika detalizēti izpētītas Johanness Keplers un tos sauca par Keplera likumiem.

Ieskaite Nr.1 ​​10.klases skolēniem

Pašpārbaudes jautājumi (5 punkti par uzdevumu)

M.10.1.1. Definējiet ABL. Sniedziet dažus vienādojumu piemērus, kas definē LVP.

M.10.1.2. Aprēķināt a) elipses, b) hiperbolas fokusa koordinātas, ja a=13, b=5.

M.10.1.3. Sastādiet a) elipses, b) hiperbolas kanonisko vienādojumu, ja ir zināms, ka šī taisne iet caur punktiem ar koordinātām (5, 6) un (-8, 7).

M.10.1.4. Pārbaudiet, vai (9) vienādojumā dotā taisne faktiski krustojas ar (3) vienādojuma doto parabolu tikai punktā ar koordinātām . ( Piezīme: vispirms aizvietojiet pieskares vienādojumu parabolas vienādojumā un pēc tam pārliecinieties, ka iegūtā kvadrātvienādojuma diskriminants ir nulle.)

M.10.1.5. Uzrakstiet vienādojumu pieskarei hiperbolai ar reālo pusasi 8 un iedomāto pusasi – 4 punktā ar koordinātu x=11, ja punkta otrā koordināta ir negatīva.

Praktiskais darbs (10 punkti)

M.10.1.6. Izveidojiet vairākas elipses, izmantojot šādu metodi: piestipriniet papīra lapu pie saplākšņa un ielīmējiet papīrā pāris pogas (bet ne līdz galam). Paņemiet diega gabalu un sasieniet galus. Izmetiet iegūto cilpu pāri abām pogām (nākamās elipses fokusa punktiem), pavelciet diegu ar zīmuļa asu galu un uzmanīgi novelciet līniju, pārliecinoties, ka pavediens ir nostiepts. Mainot cilpas izmērus, varat izveidot vairākas konfokālas elipses. Mēģiniet izskaidrot, izmantojot 1. teorēmu, ka iegūtās līnijas patiešām ir elipses, un paskaidrojiet, kā, zinot attālumu starp pogām un vītnes garumu, varat aprēķināt elipses pusasis.

Apkārtmērs ir visu plaknes punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no viena dotā punkta, ko sauc apļa centrs. Tiek saukts attālums no apļa centra līdz jebkuram apļa punktam . apļa rādiuss.

- apļa kanoniskais vienādojums (16) - apļa centrs.

Ja apļa centrs atrodas sākuma punktā, tad apļa vienādojums ir (16 .)

Elipse ir visu plaknes punktu kopa, attālumu summa no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem (saukta triki no šīs elipses) ir nemainīga vērtība.

In (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (a; 0) X

Apzīmēsim īsumā a 2 -b 2 =c 2 (*), tad elipses vienādojums ir: (17)

Ja ievietojat y=0, jūs saņemat , un, ja ievietojat x=0, jūs saņemat ; tas nozīmē, ka un ir elipses pusasu garumi – liels() Un mazs(). Turklāt katrs vārds kreisajā pusē nevar būt lielāks par vienu, tātad , , un tāpēc visa elipse atrodas taisnstūra iekšpusē. Punkti A, B, C, D, kurā elipse krusto tās simetrijas asis, sauc elipses virsotnes.

Attieksme sauc par elipses ekscentriskumu.

Hiperbola ir visu plaknes punktu kopa, attālumu starpības modulis no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem (saukta triki no šīs hiperbolas) ir nemainīga vērtība. Attāluma viduspunktu starp perēkļiem sauc hiperbolas centrs.

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

Apzīmēsim a 2 -c 2 = -b 2 (**), hiperbolas vienādojumu: (18)

No šī vienādojuma ir skaidrs, ka hiperbolai ir divas simetrijas asis (galvenās asis), kā arī simetrijas centrs (hiperbolas centrs).

Attieksme sauc par hiperbolas ekscentriskumu.

Ja ievietojat y=0, jūs iegūstat , un, ja ievietojat x=0, jūs saņemat .

Tas nozīmē, ka Vērša ass krusto hiperbolu divos punktos (hiperbolas virsotnēs), tas ir - reālā ass; Oy ass nekrustojas ar hiperbolu - tas ir " iedomātā ass. "Jebkurš segments, kas savieno divus hiperbolas punktus, ja tas iet caur centru, tiek saukts hiperbolas diametrs.

Tiek saukta taisna līnija, kurai izliekta līnija tuvojas tik tuvu, cik vēlas, bet nekad to nešķērso līknes asimptote. Hiperbolai ir divi asimptoti. Viņu vienādojumi ir: (19)

Parabola ir visu plaknes punktu kopums, attālums no katra no tiem līdz noteiktam punktam (saukts fokuss) vienāds ar attālumu līdz noteiktai taisnei (saukta direktore).

- parabolas parametrs.

Parabolai ir viena simetrijas ass. Tiek saukts parabolas krustošanās punkts ar simetrijas asi parabolas virsotne.

Kanoniskajam vienādojumam parabolai ar virsotni sākumpunktā, kuras simetrijas ass ir Vērša ass un zari, kas vērsti pa labi, ir formā (20)

Viņas direktores vienādojums:

Kanoniskajam vienādojumam parabolai ar virsotni, kuras simetrijas ass ir Vērša ass un zari, kas vērsti pa kreisi, ir šāda forma (20 ,)

Viņas direktores vienādojums:

Kanoniskajam vienādojumam parabolai ar virsotni sākumpunktā, kuras simetrijas ass ir Oy ass un zari, kas vērsti uz augšu, ir formā (20 ,)

Viņas direktores vienādojums:

Kanoniskajam vienādojumam parabolai ar virsotni sākumpunktā, kuras simetrijas ass ir Oy ass un zari vērsti uz leju, ir formā (20 ,)

Viņas direktores vienādojums:

g g

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y g

p/2

–p/2
Tēma 2.1. 7. lekcija. 10. nodarbība

Tēma: Viena neatkarīga mainīgā funkcijas, to grafiki.

Funkcijas jēdziens

Viens no matemātiskajiem pamatjēdzieniem ir funkcijas jēdziens. Funkcijas jēdziens ir saistīts ar atkarības (savienojuma) noteikšanu starp divu kopu elementiem.

Dotas divas netukšas kopas X un Y. Atbilstība ƒ, kas katram elementam xО X atbilst vienam un tikai vienam elementam уО Y, tiek saukta par funkciju un tiek uzrakstīta y=ƒ(x), xО X vai ƒ : X→Y. Viņi arī saka, ka funkcija ƒ kartē kopu X ar kopu Y.

Piemēram, 98. a un b attēlā redzamās atbilstības ƒ un g ir funkcijas, bet 98. c un d attēlā nav. Gadījumā in - ne katrs elements xÎX atbilst elementam yÎY. Gadījumā d unikalitātes nosacījums nav izpildīts.

Kopu X sauc par funkcijas ƒ definīcijas apgabalu un apzīmē ar D(f). Visu уОY kopu sauc par funkcijas ƒ vērtību kopu un apzīmē ar E(ƒ).

Skaitliskās funkcijas. Funkciju grafiks. Funkciju noteikšanas metodes

Dota funkcija ƒ : X→Y.

Ja kopu X un Y elementi ir reāli skaitļi (t.i., XÌ R un YÌ R), tad funkciju ƒ sauc par skaitļa funkciju. Nākotnē mēs pētīsim (parasti) skaitliskās funkcijas, īsuma labad mēs tās vienkārši sauksim par funkcijām un rakstīsim y = ƒ (x).

Mainīgo x sauc par argumentu vai neatkarīgu mainīgo, un y sauc par funkciju vai atkarīgo mainīgo (no x). Runājot par pašiem lielumiem x un y, tiek teikts, ka tie ir funkcionāli atkarīgi. Dažreiz y funkcionālo atkarību no x raksta formā y = y (x), neieviešot jaunu burtu (ƒ), lai apzīmētu atkarību.

Privāta vērtība funkcijas ƒ(x) pie x=a raksta šādi: ƒ(a). Piemēram, ja ƒ(x)=2x 2 -3, tad ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Funkciju grafiks y=(x) ir visu Oxy plaknes punktu kopa, katram no kuriem x ir argumenta vērtība, bet y ir atbilstošā funkcijas vērtība.

Piemēram, funkcijas y=√(1-2) grafiks ir rādiusa R=1 augšējais pusloks ar centru O(0;0) (sk. 99. att.).

Lai iestatītu funkciju y=ƒ(x), nepieciešams norādīt noteikumu, kas ļauj, zinot x, atrast atbilstošo y vērtību.

Visizplatītākie trīs funkcijas norādīšanas veidi ir: analītisks, tabulas un grafisks.

Analītiskā metode: funkcija ir norādīta kā viena vai vairākas formulas vai vienādojumi.

Ja funkcijas y = ƒ(x) definīcijas apgabals nav norādīts, tad tiek pieņemts, ka tas sakrīt ar visu argumenta vērtību kopu, kurai atbilstošā formula ir jēga. Tādējādi funkcijas y = √(1-x2) definīcijas apgabals ir segments [-1; 1].

Funkcijas noteikšanas analītiskā metode ir vismodernākā, jo tā ietver matemātiskās analīzes metodes, kas ļauj pilnībā izpētīt funkciju y=ƒ(x).

Grafiskā metode: tiek norādīts funkcijas grafiks.

Bieži vien diagrammas tiek zīmētas automātiski ar ierakstīšanas instrumentiem vai tiek parādītas displeja ekrānā. Funkcijas y vērtības, kas atbilst noteiktām argumenta x vērtībām, ir tieši atrodamas no šī grafika.

Grafiskā uzdevuma priekšrocība ir tā skaidrība, trūkums ir tā neprecizitāte.

Tabulas metode: funkciju norāda argumentu vērtību un atbilstošo funkciju vērtību sērijas tabula. Piemēram, labi zināmās vērtību tabulas trigonometriskās funkcijas, logaritmiskās tabulas.

Praksē bieži ir jāizmanto eksperimentāli vai novērojumu rezultātā iegūto funkciju vērtību tabulas.

Otrās kārtas līknes plaknē ir līnijas, kas noteiktas ar vienādojumiem, kuros mainīgā koordinātas x Un y ir ietverti otrajā pakāpē. Tie ietver elipsi, hiperbolu un parabolu.

Otrās kārtas līknes vienādojuma vispārējā forma ir šāda:

Kur A, B, C, D, E, F- skaitļi un vismaz viens no koeficientiem A, B, C nav vienāds ar nulli.

Risinot uzdevumus ar otrās kārtas līknēm, visbiežāk tiek ņemti vērā elipses, hiperbolas un parabolas kanoniskie vienādojumi. Uz tiem ir viegli pāriet no vispārējiem vienādojumiem; tam tiks veltīts elipses problēmu 1. piemērs.

Elipse, kas dota ar kanonisko vienādojumu

Elipses definīcija. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kurā attālumu summa līdz punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.

Fokusi ir norādīti, kā parādīts attēlā zemāk.

Elipses kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:

Kur a Un b (a > b) - pusasu garumi, t.i., puse no elipses nogriezto segmentu garumiem uz koordinātu asīm.

Taisnā līnija, kas iet caur elipses perēkļiem, ir tās simetrijas ass. Vēl viena elipses simetrijas ass ir taisna līnija, kas iet caur segmenta vidu, kas ir perpendikulāra šim segmentam. Punkts PARšo līniju krustpunkts kalpo kā elipses simetrijas centrs vai vienkārši elipses centrs.

Elipses abscisu ass krustojas punktos ( a, PAR) Un (- a, PAR), un ordinātu ass ir punktos ( b, PAR) Un (- b, PAR). Šos četrus punktus sauc par elipses virsotnēm. Segmentu starp elipses virsotnēm uz x ass sauc par tās galveno asi, bet uz ordinātu asi - par tās mazo asi. To segmentus no elipses augšdaļas līdz centram sauc par pusasīm.

Ja a = b, tad elipses vienādojums iegūst formu . Šis ir apļa ar rādiusu vienādojums a, un aplis ir īpašs elipses gadījums. Elipsi var iegūt no rādiusa apļa a, ja to saspiežat a/b reizes pa asi Oy .

1. piemērs. Pārbaudiet, vai līnija, kas dota ar vispārīgu vienādojumu, ir , elipse.

Risinājums. Mēs pārveidojam vispārējo vienādojumu. Mēs izmantojam brīvā vārda pārnešanu uz labo pusi, vienādojuma dalījumu pa jēdzieniem ar to pašu skaitli un daļskaitļu samazināšanu:

Atbilde. Pārveidojumu rezultātā iegūtais vienādojums ir elipses kanoniskais vienādojums. Tāpēc šī līnija ir elipse.

2. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās pusasis ir attiecīgi 5 un 4.

Risinājums. Mēs aplūkojam elipses un aizvietotāja kanoniskā vienādojuma formulu: puslielākā ass ir a= 5, pusmazākā ass ir b= 4. Mēs iegūstam elipses kanonisko vienādojumu:

Punkti un , kas norādīti zaļā krāsā uz galvenās ass, kur

tiek saukti triki.

sauca ekscentriskums elipse.

Attieksme b/a raksturo elipses “noplakšanu”. Jo mazāka šī attiecība, jo vairāk elipse ir izstiepta gar galveno asi. Tomēr elipses pagarinājuma pakāpi biežāk izsaka ar ekscentriskumu, kuras formula ir dota iepriekš. Dažādām elipsēm ekscentricitāte svārstās no 0 līdz 1, vienmēr paliekot mazāka par vienību.

3. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja attālums starp fokusiem ir 8 un galveno asi ir 10.

Risinājums. Izdarīsim dažus vienkāršus secinājumus:

Ja galvenā ass ir vienāda ar 10, tad tās puse, t.i., pusass a = 5 ,

Ja attālums starp perēkļiem ir 8, tad skaitlis c fokusa koordinātas ir vienādas ar 4.

Mēs aizstājam un aprēķinām:

Rezultāts ir elipses kanoniskais vienādojums:

4. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās galvenā ass ir 26 un ekscentricitāte ir .

Risinājums. Kā izriet gan no galvenās ass lieluma, gan no ekscentricitātes vienādojuma, elipses puslielākā ass a= 13. No ekscentricitātes vienādojuma izsakām skaitli c, kas nepieciešams, lai aprēķinātu mazākās pusass garumu:

.

Mēs aprēķinām mazākās pusass garuma kvadrātu:

Mēs sastādām elipses kanonisko vienādojumu:

5. piemērs. Nosakiet elipses fokusus, kas doti ar kanonisko vienādojumu.

Risinājums. Atrodiet numuru c, kas nosaka elipses fokusa pirmās koordinātas:

.

Mēs iegūstam elipses fokusus:

6. piemērs. Elipses perēkļi atrodas uz ass Vērsis simetriski attiecībā uz izcelsmi. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja:

1) attālums starp fokusiem ir 30, un galvenā ass ir 34

2) mazā ass 24, un viens no fokusiem atrodas punktā (-5; 0)

3) ekscentriskums, un viens no fokusiem atrodas punktā (6; 0)

Turpināsim kopīgi risināt elipses uzdevumus

Ja ir patvaļīgs elipses punkts (zīmējumā elipses augšējā labajā daļā norādīts zaļā krāsā) un ir attālums līdz šim punktam no fokusa, tad attālumu formulas ir šādas:

Katram elipsei piederošajam punktam attālumu summa no fokusiem ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar 2 a.

Līnijas, ko nosaka vienādojumi

tiek saukti direktores elipse (zīmējumā gar malām ir sarkanas līnijas).

No diviem iepriekš minētajiem vienādojumiem izriet, ka jebkuram elipses punktam

,

kur un ir šī punkta attālumi līdz virzieniem un .

7. piemērs. Dota elipse. Uzrakstiet vienādojumu tā virzieniem.

Risinājums. Apskatām virziena vienādojumu un atklājam, ka jāatrod elipses ekscentricitāte, t.i. Mums ir visi dati par to. Mēs aprēķinām:

.

Iegūstam elipses virzienu vienādojumu:

8. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās perēkļi ir punkti un virzieni ir taisnes.

Atšifrējums

1 nodaļa OTRĀ RĪCĪBA LIDMAŠĪNĀ.1. Elipse, hiperbola, parabola Definīcija. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kuriem attālumu summa līdz diviem dotajiem punktiem F 1 un F ir nemainīga vērtība a, kas pārsniedz attālumu starp F 1 un. M(, x) F 1 О F x Zīm. Punktus F 1 un F sauc par elipses fokusiem, un attālums FF 1 starp tiem ir fokusa attālums, ko apzīmē c. Pieņemsim, ka punkts M pieder elipsei. Nogriežņus F1 M un F M sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Pieņemsim, ka F1F = c. Pēc definīcijas a > c. Apskatīsim taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu Ox, kurā fokusi F 1 un F atrodas uz abscisu ass simetriski attiecībā pret izcelsmi. Šajā koordinātu sistēmā elipsi apraksta ar kanonisko vienādojumu: x + = 1, a b 1

2. kur b= a c Parametrus a un b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo pusasi. Elipses ekscentriskums ir skaitlis ε, kas vienāds ar tās fokusa attāluma puses attiecību pret puslielāko asi, t.i. ε =. Elipses a ekscentriskums apmierina nevienādības 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Hiperbolas kanoniskajam vienādojumam ir forma x a = b 1,. kur b= c a Skaitļus a un b sauc attiecīgi par hiperbolas reālo un iedomāto pusasi. Apgabalā, ko nosaka punktu nevienlīdzība, nav hiperbolas. x a b Definīcija. Hiperbolas asimptotes ir taisnes b b, kas dotas ar vienādojumu = x, = x. a a Hiperbolas punkta M(x,) fokusa rādiusus var atrast, izmantojot formulas r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Hiperbolas ekscentriskumu, tāpat kā elipsei, nosaka pēc formulas ε =. Ir viegli pārbaudīt, vai nevienādība ε a >1 ir patiesa hiperbolas ekscentricitātei. Definīcija. Parabola ir visu plaknes punktu kopa, kurai attālums līdz noteiktam punktam F ir vienāds ar attālumu līdz noteiktai taisnei d, kas neiet caur punktu F. Punktu F sauc par parabolas fokusu, un taisne d ir virziens. Attālumu no fokusa līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p. d M (x,) F x Zīm. 4 3

4 Nogriežņa FD vidū izvēlēsimies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O, kas ir no punkta F uz taisni d nomests perpendikuls. Šajā koordinātu sistēmā fokusam F ir koordinātes F p p ;0, un virziens d tiek dots ar vienādojumu x + = 0. Parabolas kanoniskais vienādojums ir: = px. Parabola ir simetriska ap asi OF, ko sauc par parabolas asi. Punktu O, kur šī ass krustojas ar parabolu, sauc par parabolas virsotni. Punkta M(x,) fokusa rādiuss t.i. tā p attālumu līdz fokusam nosaka pēc formulas r = x+. 10B.. Otrās kārtas taisnes vispārīgais vienādojums Otrās kārtas taisne ir plaknes punktu kopa, kuras koordinātes ir x un kas apmierina vienādojumu a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​11 1, kur a11, a1, a, a10, a0, a00 daži reāli skaitļi un a, a, a vienlaikus nav vienādi ar nulli. Šo vienādojumu sauc par vispārējo otrās kārtas līknes vienādojumu, un to var uzrakstīt arī vektora formā rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kur 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ; a0) , x = (x;). T Tā kā A = A, tad A ir kvadrātiskās formas matrica r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Elipse, hiperbola un parabola ir otrās kārtas līkņu piemēri plaknē. Papildus iepriekš minētajām līknēm ir arī citi otrās kārtas līkņu veidi, kas ir saistīti ar x taisnām līnijām. Tā, piemēram, vienādojums = 0, kur a 0, b 0, a b 4

5 definē plaknes krustojošu līniju pāri. Koordinātu sistēmas, kurās līknes vienādojums iegūst visvienkāršāko formu, sauc par kanoniskām. Izmantojot pārveidojumu kompozīciju: pagriežot asis par leņķi α, paralēla pārsūtīšana punkta koordinātu izcelsme (x0; 0) un atstarošana attiecībā pret abscisu asi, otrās kārtas līknes vienādojums tiek reducēts uz vienu no kanoniskajiem vienādojumiem, no kuriem galvenie tika uzskaitīti iepriekš. 11BPiemēri 1. Sastādiet kanonisko vienādojumu elipsei, kuras centrs atrodas izcelsmē un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja zināms, ka tās ekscentricitāte ε = un punkts N(3;) atrodas uz 3. elipses. x a b Elipses vienādojums: + = 1. Mums ir, ka =. a b a 3 9 No šejienes mēs aprēķinām, ka a = b. Aizvietojot vienādojumā punkta N(3;) koordinātas, iegūstam + = 1 un tad b = 9 un a b 81 a = = 16,. Līdz ar to elipses kanoniskais vienādojums 5 x + = 1. 16, 9. Sastādiet kanonisko vienādojumu hiperbolai, kuras centrs atrodas sākumā un perēkļi atrodas uz abscisu ass, ja dots punkts M 1 (5; 3) hiperbolas un ekscentricitātes ε =. x Hiperbolas kanoniskais vienādojums = 1. No vienādības a b a + b = mums ir b = a 5 9. Tātad = 1 un a =16. Tāpēc elipses kanoniskais vienādojums = a a a x 16 5

6 3. Atrodiet punktus uz parabolas = 10x, kuru fokusa rādiuss ir 1,5. Ņemiet vērā, ka parabola atrodas labajā pusplaknē. Ja M (x; atrodas uz parabolas, tad x 0. Parametrs p = 5. Lai (;)) M x ir vēlamais punkts, F fokuss, () parabolas virziens. Tad F,5; 0, d: x=.5. Tā kā FM = ρ(M, d), tad x +.5 = 1.5, 10 Atbilde: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Tātad, mēs saņēmām divus punktus. M 10; 10 M, () 4. Hiperbolas labajā zarā, kas dota ar vienādojumu x = 1, atrodiet punktu, kura attālums no labā fokusa ir 16 9 divas reizes mazāks nekā tā attālums no kreisā fokusa. Hiperbolas labā atzara fokusa rādiusus nosaka pēc formulas r 1 = ε x a un r = ε x + a. Līdz ar to iegūstam vienādojumu ε x + a = (ε x a). Dotai hiperbolai a = 4, 5 c = = 5 un ε =. Tāpēc x = 9,6. Tātad mums ir =± x 16 =± d Atbilde: divi punkti M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Atrodiet taisnes vienādojumu jebkuram punktam, kura attāluma attiecība pret punkts F (3;0) līdz attālumam līdz taisnei 1 x 8= 0 ir vienāds ar ε =. Norādiet līnijas nosaukumu un tā parametrus. Mx; vēlamo līniju, vienādība ir patiesa: Patvaļīgam punktam () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 No šejienes mums ir [(x 3) + ] = (x 8). Atverot iekavas un pārkārtojot terminus, iegūstam (x+) + = 50, t.i. (x+) + = Atbilde: vajadzīgā taisne ir elipse, kuras centrs atrodas punktā un pusass a = 5 un b = Atrast hiperbolas vienādojumu Vecās koordinātas O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 jaunajā sistēmā (x ;) un new (zt ;)) ir saistīti ar matricas vienādību 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Tas nozīmē, ka vienādojums x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Atbilde: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 līdz kanoniskajam 7. Novietojiet līkni kanoniskā formā. jaunajās koordinātēs ir forma Aplūkosim kvadrātisko formu () q x, = 4x 4x+. 4 Formas q matricai ir īpašvērtības 5 un 0 un atbilstošie ortonormālie vektori un pāriesim uz jaunu koordinātu sistēmu: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Izteikt vecās koordinātas (x;) caur jaunajām (zt); : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t nozīmē, x = z+ t, = z+ t Ievietojot norādītās izteiksmes līknes γ vienādojumā, iegūstam 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Tas nozīmē, ka jaunajās koordinātēs līkne γ ir dota ar vienādojumu 1 3 γ: z z =. Iestatījums = z, x = t, iegūstam γ: =, 1, no kura atrodam līknes γ kanonisko vienādojumu: = 0 kanoniskajās koordinātēs = 5 x 1 1 x Ievērojiet, ka līkne γ ir paralēlu līniju pāris. 1BApielikumi ekonomiskajām un finanšu problēmām 8. Ļaujiet Anijai, Borisam un Dmitrijam katram pa 150 rubļiem augļu iegādei. Ir zināms, ka 1 kg bumbieru maksā 15 naudas vienības, bet 1 kg ābolu maksā 10 naudas vienības. Turklāt katrs no trim 8

9 ir sava utilīta funkcija, kurai tā vēlas nodrošināt maksimālu, iegādājoties. Lai pērk x1 kg bumbieru un x kg ābolu. Šīs lietderības funkcijas ir šādas: u = x + x Anyai, 1 A 1 x u B = +x Borisam un ud = x1 x Dmitrijam. Ir jāatrod pirkuma plāns (x1, x) Anijai, Borisam un Dmitrijam, saskaņā ar kuru viņi maksimāli nodrošina savu lietderības funkciju. x Zīm. 5 Aplūkojamo uzdevumu var atrisināt ģeometriski. Lai atrisinātu šo problēmu, jāievieš līmeņa līnijas jēdziens. x x 1 att. 6 Funkcijas z = f(x,) līmeņa līnija ir visu plaknes punktu kopa, kurā funkcija saglabā nemainīgu vērtību, kas vienāda ar h. x 9

10 Šajā gadījumā sākotnējās idejas par ģeometriski apgabali norādītajā lidmašīnā lineārās nevienādības(skat. 1.4. apakšnodaļu). x x 1 att. 7 Funkciju ua, u B un u D līmeņa līnijas ir taisnas līnijas, elipses un hiperbolas attiecīgi Anijai, Borisam un Dmitrijam. Atbilstoši uzdevuma jēgai pieņemam, ka x1 0, x 0. Savukārt budžeta ierobežojumu raksta kā nevienādību 15x1+ 10x 150. Pēdējo nevienādību dalot ar 10, iegūstam 3x1+ x 30 jeb + 1 Ir viegli redzēt, ka x1 x ir šīs nevienādības atrisinājumu apgabals kopā ar nenegatīvisma nosacījumiem ir trīsstūris, ko ierobežo taisnes x1 = 0, x = 0 un 3x1+ x =

11 X * X * Zīm. 8 att. 9 Pamatojoties uz ģeometriskajiem zīmējumiem, tagad ir viegli noteikt, ka uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 un udmax = ud(Q). Hiperbolas pieskares punkta Q koordinātas budžeta trīsstūra malas līmenī ir jāaprēķina analītiski. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka punkts Q apmierina trīs vienādojumus: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Att.

12 Izslēdzot no vienādojumiem h, iegūstam punkta koordinātas Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Atbilde: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Uzņēmuma izmaksu un peļņas nelineārais modelis. Ļaujiet uzņēmumam ražot divu veidu A un B daudzfunkcionālas iekārtas attiecīgi x daudzumā un izlaides vienībās. Šajā gadījumā uzņēmuma gada ienākumus izsaka ar ienākumu funkciju Rx (,) = 4x+, bet ražošanas izmaksas izsaka ar izmaksu funkciju 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, kurā uzņēmums saņem maksimālo. peļņa.. Nosakiet ražošanas plānu (x, ) pie 3

13 Peļņas funkciju veido starpība starp ienākumu funkciju un izmaksu funkciju: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Veicot transformācijas, pēdējo izteiksmi reducējam līdz formai 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Peļņas funkcijas līmeņa līnijas izskatās šādi (x 8) (1) = h. 4 Katra līmeņa līnija 0 h 9 ir elipse, kuras centrs ir sākuma punktā. No iegūtās izteiksmes var viegli redzēt, ka peļņas funkcijas maksimums ir 9 un tiek sasniegts pie x = 8, = 1. Atbilde: x = 8, = 1. 13BEuzdevumi un testa jautājumi.1. Uzrakstiet apļa normālo vienādojumu. Atrodi apļa centra un rādiusa koordinātas: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kas iet caur punktiem M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. Definējiet elipsi un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Uzrakstiet elipses kanonisko vienādojumu, ja 1 tās ekscentriskums ir vienāds ar ε = un puslielākā ass ir vienāda ar Uzrakstiet vienādojumu elipsei, kuras fokuss atrodas uz ordinātu ass simetriski ap izcelsmi, turklāt zinot, ka attālums starp tās fokusiem ir c = 4 un ekscentricitāte ir ε = Norādiet elipses ekscentricitāti. Atrodiet elipses ekscentriskumu, ja tās puslielākā ass ir četras reizes lielāka par mazo asi. 33

14.6. Definējiet hiperbolu un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Caur punktu M (0; 0,5) un hiperbolas labo virsotni, kas dota ar vienādojumu = 1, tiek novilkta taisna līnija. Atrodiet taisnes un hiperbolas otrā krustošanās punkta koordinātas Definējiet hiperbolas ekscentriskumu. Uzrakstiet tā kanonisko vienādojumu, ja a = 1, b = 5. Kāda ir šīs hiperbolas ekscentricitāte?.8. Uzrakstiet vienādojumus jūsu kanoniskā vienādojuma dotās hiperbolas asimptotiem. Uzrakstiet vienādojumu hiperbolai 3, ja tās asimptoti ir doti ar vienādojumiem =± x un hiperbola 5 iet caur punktu M (10; 3 3)..9. Definējiet parabolu un uzrakstiet tās kanonisko vienādojumu. Uzrakstiet parabolas kanonisko vienādojumu, ja x ass ir tās simetrijas ass, tās virsotne atrodas sākuma punktā un parabolas horda garums, kas ir perpendikulārs Vērša asij, ir 8, un šīs hordas attālums no virsotnes ir Uz parabolas = 1x atrodiet punktu, kura fokusa rādiuss ir Priekšlikums un pieprasījums pēc kāda produkta ir norādīts ar funkcijām p = 4q 1, p = +. Atrodiet tirgus līdzsvara punktu. 1 q Izveidot grafikus..1. Andrejs, Katja un Nikolajs gatavojas pirkt apelsīnus un banānus. Pērciet x1 kg apelsīnu un x kg banānu. Katram no trim ir sava lietderības funkcija, kas parāda, cik noderīgs viņš uzskata savu pirkumu. Šīs lietderības funkcijas ir: u = x + x Andrejam, 1 4 A 4 1 u K = x + x Katjai un un = x1 x Nikolajam. a) Izveidojiet lietderības funkcijas līmeņa līnijas līmeņu vērtībām h = 1, 3. b) Katram sakārtojiet pirkumu izvēles secībā r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Analītiskās ģeometrijas modulis. Analītiskā ģeometrija plaknē un telpā 7. lekcija Anotācija Otrās kārtas līnijas plaknē: elipse, hiperbola, parabola. Definīcija, vispārīgie raksturlielumi.

LEKCIJA N15. Otrās kārtas līknes. 1.Aplis... 1.Elipse... 1 3.Hiperbola.... 4.Parabola.... 4 1.Aplis Otrās kārtas līkne ir taisne, ko nosaka otrās pakāpes vienādojums attiecībā uz

8 Otrās kārtas līknes 81 Aplis Punktu kopu plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par centru, attālumā, ko sauc par rādiusu, sauc par apli. Lai apļa centrs ir

13. lekcija Tēma: Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes plaknē: elipse, hiperbola, parabola. Vienādojumu atvasināšana otrās kārtas līknēm, pamatojoties uz to ģeometriskajām īpašībām. Elipses formas izpēte,

LEKCIJA Otrās kārtas taisnes hiperbola Kā piemēru atradīsim vienādojumus, kas definē apli, parabolu, elipsi un apli Aplis ir punktu kopa plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dotā.

Otrās kārtas līknes Aplis Elipse Hiperbola Parabola Ļaujiet plaknē norādīt taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu. Otrās kārtas līkne ir punktu kopa, kuru koordinātas atbilst

Taisne un plakne telpā Lineārā algebra (11. lekcija) 24.11.2012 2 / 37 Taisne un plakne telpā Attālums starp diviem punktiem M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y) 2, z 2)

Izglītības un zinātnes ministrija Krievijas Federācija Nosaukta Jaroslavļas Valsts universitāte. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra Otrās kārtas līknes I daļa Metodiskie norādījumi

3. Hiperbola un tās īpašības Definīcija 3. Hiperbola ir līkne, kas definēta kādā taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu 0. (3.) un Vienādību (3.) sauc par kanonisko vienādojumu.

1. praktiskā nodarbība Tēma: Hiperbolas plāns 1 Hiperbolas definīcija un kanoniskais vienādojums Hiperbolas ģeometriskās īpašības Savstarpēja vienošanās hiperbola un līnija, kas iet caur tās centru Asimptote

Lekciju konspekts 13 ELIPES, HIPERBOLA UN PARABOLA 0. Lekcijas konspekts Lekcija Elipse, hiperbola un parabola. 1. Elipse. 1.1. Elipses definīcija; 1.2. Kanonisko koordinātu sistēmas definīcija; 1.3. Vienādojuma atvasināšana

MODULIS ELIPES HIPERBOLA PARABOLA Praktiskā nodarbība Tēma: Elipses plāns Elipses definīcija un kanoniskais vienādojums Elipses ģeometriskās īpašības Ekscentriskums Elipses formas atkarība no ekscentriskuma

OTRAIS UZDEVUMS 1. Taisna līnija plaknē. 1. Divas taisnes ir dotas ar vektoru vienādojumiem (, rn) = D un r= r + a, un (an,) 0. Atrodiet taisnes krustošanās punkta rādiusa vektoru. 0 t. Dots punkts M 0 ar rādiusa vektoru

Otrās kārtas līknes. Definīcija: Otrās kārtas līknes līnija ir plaknes punktu kopa (M), kuras Dekarta koordinātas X, Y) apmierina otrās pakāpes algebrisko vienādojumu:

ALGEBRAISKĀS LĪNIJAS LAKNĒ.. PIRMĀS KĀRTĪBAS LĪDNIJAS (LĪNIJAS PLAKNĒ... LAKMENES LĪNIJAS VIENĀDĀJUMU PAMATVEIDI. Nenulles vektoru n, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, sauc par normālu

Elipse un tās īpašības Definīcija.. Elipse ir otrās kārtas līkne, kas definēta kādā taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumu b, b 0. (.) Vienādību (.) sauc par kanonisko.

0,5 setgrey0 0,5 setgray1 1 9. lekcija ELIPSE, HIPERBOLA UN PARABOLA 1. Elipses kanoniskais vienādojums Definīcija 1. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, attālumu summa no katra.

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJĀS ELEMENTI PLAKNES KLASIFIKĀCIJA TRĪSDIMENSIJU TELPĀ Uzrakstiet plaknes vektora vienādojumu un izskaidrojiet šajā vienādojumā ietverto lielumu nozīmi Uzrakstiet vispārīgu plaknes vienādojumu

12. nodarbība Elipse, hiperbola un parabola. Kanoniskie vienādojumi. Elipse ir punktu M ģeometriskais lokuss plaknē, kurā attālumu summa no diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 tiek saukta.

LINEĀRĀ ALĢEBRA Lekcija Otrās kārtas līkņu vienādojumi Apļa definīcija Aplis ir tādu punktu lokuss, kuri atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par apļa centru, attālumā r

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā tiek pētīta otrās kārtas parabolas trešā līkne.

Lekcija 9.30 Nodaļa Analītiskā ģeometrija plaknē Koordinātu sistēmas plaknē Taisnstūra un polāro koordinātu sistēmas Koordinātu sistēma plaknē ir metode, kas ļauj noteikt

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Jaroslavļas Valsts universitātes vārdā. P. G. Demidova Algebras un matemātiskās loģikas katedra S. I. Jablokova Otrās kārtas līkņu daļas darbnīca

Tēma ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ UN TELSOS Lekcija. Taisnes plaknē Plāns. Koordinātu noteikšanas metode plaknē. Taisne Dekarta koordinātās. Paralēlitātes un perpendikularitātes nosacījums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore Rožkova S.V. 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

11. lekcija 1. KONUSIJAS IEDAĻAS 1.1. Definīcija. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. Plkst dažādas nozīmes leņķis α virsotnē aksiāli

9. lekcija 1. KONIJAS IEDAĻAS 1.1. Definīcija. Apskatīsim taisna riņķveida konusa griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra šī konusa ģenerātoram. Dažādām leņķa α vērtībām virsotnē aksiāli

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Šajā lekcijā tiek pētīta vēl viena otrās kārtas hiperbolu līkne.

14. praktiskā nodarbība Tēma: Parabolas plāns 1. Parabolas definīcija un kanoniskais vienādojums Parabolas ģeometriskās īpašības. Parabolas un līnijas, kas iet caur tās centru, relatīvais novietojums. Pamata

ANALĪTISKĀ G E O METRY otrās kārtas līknes SHIMANCHUK Dmitrijs Viktorovičs [aizsargāts ar e-pastu] Sanktpēterburgas Valsts universitātes Procesu lietišķās matemātikas fakultāte

Matricas 1 Dotas matricas un atrodiet: a) A + B; b) 2B; c) T; d) AB T ; e) T A Risinājumā a) Pēc matricu summas definīcijas b) Pēc matricas un skaitļa reizinājuma definīcijas c) Pēc transponētās matricas definīcijas

1. IESPĒJA 1 Atrodiet slīpumu k tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (18) un M (1); ierakstiet līnijas vienādojumu parametriskā forma Sastādiet trijstūra malu un mediānu vienādojumus ar virsotnēm A()

Pārbaude. Dotās matricas A, B un D. Atrodiet AB 9D, ja: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Reiziniet matricas A 3 un B 3. jābūt C izmēram 3 3, kas sastāv no elementiem

9. nodaļa Līknes uz plaknes. Otrās kārtas līknes 9. Pamatjēdzieni Saka, ka līknei Г taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir vienādojums F (,) = 0, ja punkts M(x, y) pieder līknei tajā.

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes Lektore E.G.Pahomova 01 15. Otrās kārtas līknes Otrās kārtas līknes iedala 1) deģenerētās un) nedeģenerētās deģenerētās

Urālas federālā universitāte, Matemātikas un datorzinātņu institūts, Algebras un diskrētās matemātikas katedra Ievadpiezīmes Trīs iepriekšējās lekcijās tika pētītas līnijas un plaknes, t.i.

1. nodaļa Otrās kārtas līknes un virsmas Visās sadaļās, izņemot 1.9., koordinātu sistēma ir taisnstūrveida. 1.1. Otrās kārtas līkņu un citu līkņu vienādojumu sastādīšana 1. p) Pierādīt, ka kopa

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumana Fundamentālo zinātņu fakultāte Matemātiskās modelēšanas katedra A.N. Kasikovs,

5. NODAĻA. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA 5.. Plaknes taisnes vienādojums Vienādojumu formā F(x, y) 0 sauc par taisnes vienādojumu, ja šo vienādojumu izpilda jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz dotas plaknes.

Balakovo Inženierzinātņu un tehnoloģiju institūts - federālās zemes autonomās augstākās izglītības iestādes "Nacionālās pētniecības kodolpētniecības universitāte "MEPhI" filiāle

Otrās kārtas līnijas Ju.L.Kalinovskis Augstākās matemātikas katedra Universitātes "Dubna" Plāns 2 3 4 5 6 7 Otrās kārtas līnijas: punktu lokuss, kuru Dekarta koordinātas atbilst vienādojumam

44. Hiperbolas definīcija. Hiperbola ir visu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas atbilstošā koordinātu sistēmā apmierina vienādojumu 2 2 y2 = 1, (1) b2 kur, b > 0. Šis vienādojums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija Tēma: Otrās kārtas līknes (turpinājums) Lektore E.G.Pahomova 01 4. Elipses, hiperbolas un parabolas vispārīgā definīcija DEFINĪCIJA. Tiešās līnijas a m sauc par tiešajām

1 Lekcija 1.4. Otrās kārtas līknes un virsmas Anotācija: No definīcijām tiek iegūti līkņu kanoniskie vienādojumi: elipse, hiperbola un parabola. Ir doti elipses un hiperbolas parametriskie vienādojumi.

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija, federālais valsts budžets izglītības iestāde augstāks profesionālā izglītība"Sibīrijas Valsts rūpniecības universitāte"

Praktiskais darbs Otrās kārtas līniju un līkņu vienādojumu sastādīšana Darba mērķis: nostiprināt prasmi sastādīt otrās kārtas taisnu un līkņu vienādojumus Darba saturs. Pamatjēdzieni. B C 0 vektors

Uzdevumi nokavēto nodarbību kompensēšanai Saturs Tēma: Matricas, darbības ar tām. Determinantu aprēķins.... 2 Tēma: Apgrieztā matrica. Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot apgriezto matricu. Formulas

Analītiskā ģeometrija 5.. Taisne plaknē Dažādi veidi, kā definēt taisni plaknē. Plaknes taisnes vispārīgais vienādojums. Līnijas atrašanās vieta attiecībā pret koordinātu sistēmu. Ģeometriskā nozīme

11. IESPĒJA 1 Punkts M() ​​ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta N(1-1) uz taisni l. Uzrakstiet taisnes l vienādojumu; atrast attālumu no punkta N līdz taisnei l Sastādiet vienādojumus garāmejošajām taisnēm

49. Cilindriskās un koniskās virsmas 1. Cilindriskās virsmas Definīcija. Telpā ir dota līnija l un vektors a, kas nav nulles. Virsma, ko veido taisnas līnijas, kas iet cauri visiem iespējamajiem

Analītiskā ģeometrija Analītiskā ģeometrija plaknē. Analītiskās ģeometrijas risinājums ģeometriskās problēmas izmantojot algebru, kurai izmanto koordinātu metodi. Saskaņā ar koordinātu sistēmu lidmašīnā

1. variants 1. uzdevums. Sniedziet elipses ģeometrisku definīciju. 2. uzdevums. Izmantojot Dandelin lodītes, pierādiet, ka elipse rodas kā konusa griezums. 3. uzdevums. Pierādīt, ka punktu kopa P, no kuras

Sekaeva L.R., Tyuleņeva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJĀ LADĒN Kazaņa 008 0 Kazaņas Valsts universitātes Vispārējās matemātikas katedra Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA LADĒNĀ

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Kazaņas Valsts Arhitektūras un būvniecības universitāte Augstākās matemātikas katedra Vektoru un lineārās algebras elementi. Analītiskā ģeometrija.

Analītiskā ģeometrija plaknē Līnijas vienādojums ir vissvarīgākais jēdziens analītiskā ģeometrija. y M(x, y) 0 x Definīcija. Līnijas (līknes) vienādojums Oxy plaknē ir vienādojums, kuram

LA Gausa metodes pamatuzdevumu paraugi Dažas lineāro vienādojumu sistēmas Atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 6

16. IESPĒJA 1 Caur punktiem M 1 (3 4) un M (6) tiek novilkta taisne. Atrodiet šīs līnijas krustošanās punktus ar koordinātu asīm Sastādiet trijstūra malu vienādojumus, kuriem punkti A (1) ) B (3 1) C (0 4) ir

3. tests 1. IESPĒJA Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas ir perpendikulāra un iet caur līniju krustošanās punktu un .. Pierakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem, un un atrodiet attālumu no punkta

ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI PLAKNĒ. Taisne 1. Aprēķini perimetru trijstūrim, kura virsotnes ir punkti A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Atrodiet punktu vienādā attālumā no punktiem A(7;

Analītiskā ģeometrija 1. modulis Matricas algebra Vektora algebra 5. teksts (patstāvīgs pētījums) Abstrakta Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma plaknē un telpā Attāluma formulas

Krievijas Federācijas Rostovas Izglītības ministrija Valsts universitāte Mehānikas un matemātikas fakultāte Ģeometrijas katedra Kazaks V.V. Analītiskās ģeometrijas seminārs pirmā kursa studentiem

ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJS PLAKNES VISPĀRĒJAIS VIENĀDĀJUMS. OPR Plakne ir virsma, kurai ir tāda īpašība, ka, ja divi punkti uz taisnes pieder plaknei, tad visi līnijas punkti pieder šai plaknei.

LEKCIJA 5 ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS ELEMENTI. 1 1. Virsmas vienādojums un līnijas vienādojums telpā. Vienādojumu ģeometriskā nozīme Analītiskajā ģeometrijā jebkura virsma tiek uzskatīta par kopu

1. nodaļa TAISNĒJUMI UN LAKMES n R. 1.1. Punktu telpas Iepriekš aplūkojām virkņu aritmētisko telpu Matemātikā ierobežotu sakārtotu koordinātu kopu var interpretēt ne tikai

Pārbaudes uzdevums analītiskajā ģeometrijā. 2. semestris. 1. variants 1. Atrodiet apļa pieskares vienādojumus (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, kas ir paralēli taisnei 5x 12y + 1 = 0. 2. Uzrakstiet vienādojumu pieskares

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts autonomā augstākās profesionālās izglītības iestāde "Kazaņas (Volgas apgabala) Federālā universitāte"

Augsto pasūtījumu atšķirības. Eksāmena biļete. Matricas, pamatjēdzieni un definīcijas.. Uzraksti riņķa vienādojumu, ja punkti A(;) un B(-;6) ir viena diametra gali.. Ir dotas virsotnes

Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumana Fundamentālo zinātņu fakultāte Matemātiskās modelēšanas katedra A.N. Kasikovs,

Otrās kārtas virsmas. Virsmu trīsdimensiju telpā apraksta ar vienādojumu formā F(x; y; z) = 0 vai z = f(x; y). Divu virsmu krustpunkts nosaka līniju telpā, t.i. līnija telpā