Ja plaknē atrodas divas taisnes, tad ir iespējami trīs dažādi to relatīvā stāvokļa gadījumi: 1) taisnes krustojas (tas ir, tām ir viens kopīgs punkts), 2) taisnes ir paralēlas un nesakrīt, 3) taisnes sakrīt.

Noskaidrosim, kā noskaidrot, kurš no šiem gadījumiem notiek, ja taisnes ir dotas ar to vienādojumiem

Ja taisnes krustojas, tas ir, tām ir viens kopīgs punkts, tad šī punkta koordinātām jāapmierina abi vienādojumi (15). Līdz ar to, lai atrastu taisnu līniju krustošanās punkta koordinātas, nepieciešams kopā atrisināt to vienādojumus. Šim nolūkam mēs vispirms izslēdzam nezināmo x, kuram mēs reizinām pirmo vienādojumu ar, bet otro ar A un atņemam pirmo no otrā. Būs:

Lai izslēgtu nezināmo y no vienādojumiem (15), mēs reizinim pirmo no tiem ar un otro ar un atņemam otro no pirmā. Mēs iegūstam:

Ja tad no vienādojumiem (15) un (15 ") iegūstam sistēmas (15) risinājumu:

Formulas (16) uzrāda divu taisnu līniju krustošanās punkta x, y koordinātas.

Tādējādi, ja tad līnijas krustojas. Ja tad formulām (16) nav jēgas. Kā šajā gadījumā ir taisnās līnijas? Ir viegli redzēt, ka šajā gadījumā līnijas ir paralēlas. Patiešām, no nosacījuma izriet, ka (ja, tad taisnes ir paralēlas asij Oy un līdz ar to ir paralēlas viena otrai).

Tātad, ja tad taisnes ir paralēlas. Aplūkoto nosacījumu var uzrakstīt tādā formā, kā varam teikt, ka, ja taisnes vienādojumos atbilstošie koeficienti pie pašreizējām koordinātām ir proporcionāli, tad taisnes ir paralēlas.

Jo īpaši paralēlas līnijas var sakrist. Noskaidrosim, kāds ir taisnu līniju sakritības analītiskais kritērijs. Lai to izdarītu, apsveriet vienādojumus (15) un). Ja šo vienādojumu brīvie vārdi abi ir vienādi ar nulli, t.i.

tas ir, nezināmo koeficienti un (15) vienādojumu brīvie elementi ir proporcionāli. Šajā gadījumā vienu no sistēmas vienādojumiem iegūst no otra, visus tā vārdus reizinot ar kādu kopīgu koeficientu, t.i., vienādojumi (15) ir līdzvērtīgi. Līdz ar to aplūkojamās paralēlās līnijas sakrīt.

Ja vismaz viens no (15) un) vienādojumu brīvajiem nosacījumiem nav nulle (vai vai

tad vienādojumiem (15) un (15") un līdz ar to (15) vienādojumiem nebūs atrisinājumu (vismaz viens no vienādībām (15) vai (15") nebūs iespējams). Šajā gadījumā paralēlās līnijas nesakritīs.

Tātad nosacījums (nepieciešams un pietiekams) divu taisnu līniju sakritībai ir to vienādojumu atbilstošo koeficientu proporcionalitāte:

Piemērs 1. Atrodiet taisnu līniju krustošanās punktu

Atrisinot vienādojumus kopā, reiziniet otro ar 3.

Divām taisnām līnijām telpā ir iespējami četri gadījumi:

Taisnās līnijas sakrīt;

Līnijas ir paralēlas (bet ne vienādas);

Taisnas līnijas krustojas;

Tiek šķērsotas taisnas līnijas, t.i. tiem nav kopīgu punktu un tie nav paralēli.

Apsveriet divus veidus, kā aprakstīt taisnas līnijas: kanoniskie vienādojumi un vispārīgie vienādojumi... Ļaujiet taisnēm L 1 un L 2 dot ar kanoniskajiem vienādojumiem:

L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 = (z - z 2) / n 2 (6,9)

Katrai taisnei no tās kanoniskajiem vienādojumiem mēs nekavējoties nosakām punktu M 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 un koordinātas. virziena vektoru s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2.

Ja taisnes sakrīt vai ir paralēlas, tad to virziena vektori s 1 un s 2 ir kolineāri, kas ir ekvivalents šo vektoru koordinātu attiecību vienādībai:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Ja taisnes sakrīt, tad virziena vektori ir kolineāri un vektors M 1 M 2:

(x 2 - x 1) / l 1 = (y 2 - y 1) / m 1 = (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

Šī dubultā vienādība nozīmē arī to, ka punkts М 2 pieder līnijai L 1. Līdz ar to rindu sakritības nosacījums ir vienādību (6.10) un (6.11) izpilde vienlaicīgi.

Ja taisnes krustojas vai krustojas, tad to virziena vektori ir nekolineāri, t.i. nosacījums (6.10) ir pārkāpts. Krustojošās līnijas atrodas vienā plaknē, un tāpēc vektori s 1, s 2 un M 1 M 2 ir koplanārstrešās kārtas noteicējs sastāv no to koordinātām (sk. 3.2.):

Nosacījums (6.12) ir izpildīts trīs no četriem gadījumiem, jo ​​pie Δ ≠ 0 taisnes nepieder vienai plaknei un tāpēc krustojas.

Apvienosim visus nosacījumus:

Taisnu līniju savstarpējo izvietojumu raksturo atrisinājumu skaits sistēmai (6.13). Ja taisnes sakrīt, tad sistēmai ir bezgala daudz risinājumu. Ja līnijas krustojas, tad šai sistēmai ir unikāls risinājums. Paralēlu vai krustojošu tiešo risinājumu gadījumā tiešo risinājumu nav. Pēdējos divus gadījumus var atdalīt, atrodot taisnu līniju virziena vektorus. Lai to izdarītu, pietiek ar divu aprēķinu vektoru produkti n 1 × n 2 un n 3 × n 4, kur n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3, 4. Ja iegūtie vektori ir kolineāri, tad šīs taisnes ir paralēlas. Pretējā gadījumā viņi krustojas.

Piemērs 6.4.

Taisnes L 1 virziena vektoru s 1 atrod ar šīs taisnes kanoniskajiem vienādojumiem: s 1 = (1; 3; -2). Taisnes L 2 virziena vektoru s 2 aprēķina, izmantojot plakņu normālo vektoru vektorreizinājumu, kuru krustpunkts ir:

Tā kā s 1 = -s 2, līnijas ir paralēlas vai sakrīt. Noskaidrosim, kura no šīm situācijām ir realizēta dotajām rindām. Lai to izdarītu, punkta M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 koordinātas aizstājam taisnes L 2 vispārīgajos vienādojumos. Pirmajam no tiem iegūstam 1 = 0. Līdz ar to punkts М 0 nepieder pie taisnes L 2 un apskatāmās taisnes ir paralēlas.

Leņķis starp taisnām līnijām... Leņķi starp divām līnijām var atrast, izmantojot virzošie vektori tiešā veidā. Akūts leņķis starp taisnēm ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem (6.5. att.) vai ir papildus tam, ja leņķis starp virziena vektoriem ir neass. Tātad, ja taisnēm L 1 un L 2 ir zināmi to virziena vektori s x un s 2, tad akūto leņķi φ starp šīm līnijām nosaka caur skalāro reizinājumu:

cosφ = | S 1 S 2 | / | S 1 || S 2 |

Piemēram, pieņemsim, ka s i = (l i; m i; n i), i = 1, 2. Izmantojot formulas (2.9) un (2.14), lai aprēķinātu vektora garums un skalārais reizinājums koordinātās, mēs iegūstam

Ja caur datiem novelk paralēlas līnijas AB un C D plaknes, kas ir perpendikulāras horizontālajai projekcijas plaknei, tad šīs divas plaknes būs paralēlas, un to krustpunktā ar H plakni tiks iegūtas divas savstarpēji paralēlas taisnes A"B" un C"D", kas ir taisnes AB un datu ortogonālās projekcijas CD uz horizontālās projekcijas plaknes (25. att.).

Līdzīgā veidā var iegūt šo taisnu līniju ortogonālās projekcijas uz frontālo plakni V.

Sarežģītā zīmējumā paralēlu līniju projekcijas ar tādu pašu nosaukumu ir paralēlas: A"B"C"D" un A""B""C""D"" (25. att.).

Krustošas ​​taisnas līnijas

Savstarpēji krustojošām līnijām ir kopīgs punkts, piemēram, līniju segmenti AB un CD krustojas punktā UZ... Krustošas ​​taisnes projekcijas krustojas, un to krustošanās punkti ( K" un K"") atrodas uz tās pašas sakaru līnijas - perpendikulāri asij x(26. att.).

Šķērsotas taisnas līnijas

Tās ir taisnas līnijas, kas nav paralēlas vai krustojas. Sarežģītā zīmējumā krustojošo taisnu līniju (taisnumu) projekcija AB un CD) var krustoties, bet krustošanās punkti ( 1 ,2 un 3 ,4 ) atrodas uz dažādām sakaru līnijām (27. att.). Tāda paša nosaukuma krustojošo taisnu līniju projekciju krustošanās punkti telpā atbilst diviem punktiem: vienā gadījumā - 1 un 2 , un otrā - 3 un 4 atrodas uz taisnām līnijām. Zīmējumā taisnu līniju horizontālo projekciju krustpunkts atbilst divām punktu frontālajām projekcijām 1 "" un 2 "". Līdzīgi - ar punktiem 3 un 4 .

Taisnas līnijas un telpas organizācija

Taisnas līnijas - vienkāršas, bet ļoti
izteiksmīgs elements:
-līnija sadala plakni
atsevišķi
daļas;
-līnija palīdz apvienot
sastāvu
vienā veselumā;
-līnija, vairāk nekā
taisnstūris
ietekmē ritmisko struktūru
kompozīcijas.

Frontālās un dziļās līniju kompozīcijas
un taisnstūri

pat ar visvienkāršākajiem līdzekļiem
jūs varat sasniegt emocionālu
tēlainība

Līnija nav "plānāka
taisnstūris ", un neatkarīgs
figurāls elements Līnija dod
visa kompozīcijas izteiksmīgums. V
darbojas tur, kur līnija iet cauri (no malas līdz malai
lapa), šķiet, ka viņa iztur
attēla darbība ārpus darbības jomas un
padara kompozīciju atvērtu, atvērtu
un vēl interesantāk.
Plānas, garas un
tiek nogrieztas taisnas līnijas
uz lineāla

Darbojas
virs
pēc viņu
kompozīcijas,
panākt atšķirības plānu lielumā,
jo tas rada attēlu
polifonija, intonācijas bagātība un
attiecīgi vairāk izteiksmīguma
kompozīcijas.

UZDEVUMI
Taisnas līnijas - plakanās organizācijas elements
kompozīcijas.
1. 3-4 taisnu līniju atrašanās vieta un savstarpējais krustojums
panākt harmonisku dažāda biezuma dalījumu
atstarpe (izmantojiet līnijas tieši cauri).
2. Izveidojiet kompozīciju no 2-3 taisnstūriem un 3-4 līnijām
līnijas, kas pēc to izkārtojuma savieno elementus
vienots kompozīcijas veselums. Izveidot: a) frontālo
sastāvs; b) dziļais sastāvs.
3. No patvaļīga elementu skaita izveidojiet interesantu
sastāvu.
Ritmiski sakārtojot elementus plaknē, sasniegt
emocionāli-figurāls iespaids (piemēram, "lidojums", sašaurināšanās "," palēnināšanās "u.c.).
Uzdevumus var veikt datorā.

Ja taisnes ir paralēlas, tad to projekcijas ar tādu pašu nosaukumu paralēli.

Ja taisnas līnijas krustojas, tad to projekcijas ar tādu pašu nosaukumu krustojas viens otru punktos, kas ir šo līniju krustošanās punkta projekcijas.

Šķērsotas taisnas līnijas nekrustojas un nav paralēli viens otru, lai gan to projekcijas var krustoties vai būt paralēlas.

Šo projekciju krustošanās punkti neatrodas vienā sakaru līnijā. Viens punkts 1 v atbilst diviem punktiem 1 n un 1" n... Šie punkti atrodas vienā perpendikulāri plaknei V(2.9.a, b, c att.).

Rīsi. 2.9. Segmentu relatīvais novietojums diagrammā:

A) paralēli; b) krustojas; c) šķērsošana

2.3.1. Konkurējošie punkti

Tiek saukti punkti, kas atrodas vienā perpendikulāri projekcijas plaknei sacenšas attiecībā pret šo plakni (2.10.a, b att.).

Konkurējošie punkti nosaka ģeometrisko attēlu redzamību zemes gabalā. Šajā projekcijā vienmēr būs redzams viens no konkurējošajiem punktiem tālāk no šīs projekcijas plaknes, tāpēc tuvāk skatītājam. Punkti A un V frontāli sacenšas. Frontālās projekcijas plaknē būs redzams punkts A kopš viņa ir tālāk no lidmašīnas V un tuvāk novērotājam. Punkti A un AR- horizontāli sacenšas. Punkts būs redzams arī horizontālajā projekcijas plaknē A kopš tas atrodas prom no lidmašīnas N tālāk par punktu AR.

Rīsi. 2.10. Sacensību punkti: a) dimetrijā; b) diagrammā

2.4. Plaknes leņķa projekcijas

Divas krustojošas taisnas līnijas veido plakanu leņķi.

Ja leņķis atrodas plaknē, kas ir paralēla projekcijas plaknei, tad tas tiek projicēts uz to pilnā izmērā.

Vispārīgā gadījumā plaknes leņķis, kura malas nav paralēlas projekcijas plaknei, tiek projicēts uz šo plakni ar deformāciju.

2.4.1. Taisnā leņķa projekcijas teorēma

Lai taisnais leņķis tiktu projicēts formā ortogonāli pareizā leņķī, ir nepieciešams un pietiekami, lai būtu vismaz viena no tā pusēm paralēli projekcijas plaknei un otrais ir nav perpendikulāra šai plaknei(2.11.a, b att.).

Rīsi. 2.11. Taisnā leņķa projekcijas uz zemes gabala:

A) frontālās projekcijas plaknē; b) uz horizontālās projekcijas plaknes

Pierādījums: Ļaujiet mums izveidot taisnu leņķi telpā TU. Projicējam to uz plaknes. N ortogonāls. Pieņemsim, ka puse ABšis leņķis ir paralēls plaknei N... Tad mums ir:  TU= 90˚; AB || N; AA n N... Pierādīsim, ka  V n A n AR n= 90º (2.12. att.).  A n AB= 90 °, jo figūra AA n BB n- taisnstūris. Tāpēc taisnā līnija AB perpendikulāri projekcijas plaknei J kā perpendikulāra divām šīs plaknes līnijām ( ABAS; ABAA n). Tātad ABJ, bet A n V n || AB no šejienes un A n V n J, kas nozīmē, ka  V n A n AR n= 90º.

2.12. att. Taisnā leņķa projekcija

Uzdevums: Nosakiet attālumu no punkta A uz priekšu (2.13. attēls).

Risinājums... Taisns leņķis starp vēlamo perpendikulu un frontālo Saule projicēts pilnā izmērā plaknē V... Perpendikula dabiskā vērtība AK var atrast ar taisnleņķa trijstūra metodi.

Rīsi. 2.13. Attāluma noteikšana no punkta A līdz lidmašīnas priekšpusei