Sākotnējā tuvināšana. Skaitliskās metodes: nelineāru vienādojumu risināšana

Skolā cīnoties ar vienādojumu risināšanu matemātikas stundās, daudzi skolēni nereti pārliecinās, ka velti tērē savu laiku, un tomēr šāda prasme dzīvē noderēs ne tikai tiem, kas nolems iet Dekarta pēdās, Eilers vai Lobačevskis.

Praksē, piemēram, medicīnā vai ekonomikā, nereti ir situācijas, kad speciālistam ir jānoskaidro, kad konkrētā medikamenta aktīvās vielas koncentrācija pacienta asinīs sasniegs nepieciešamo līmeni vai arī jāaprēķina laiks, kas nepieciešams, lai pacienta asinīs. konkrēts bizness kļūtu rentabls.

Visbiežāk tas ir lēmuma jautājums nelineārie vienādojumi dažādu veidu. Skaitliskās metodes ļauj to izdarīt pēc iespējas ātrāk, īpaši izmantojot datoru. Tie ir labi pētīti un jau sen ir pierādījuši savu efektivitāti. Tie ietver Ņūtona tangentes metodi, kas ir šī raksta tēma.

Problēmas formulēšana

Šajā gadījumā ir funkcija g, kas ir definēta segmentā (a, b) un tajā ir noteiktas vērtības, t.i., katru x, kas pieder pie (a, b), var saistīt ar noteiktu skaitli g (x).

Ir nepieciešams noteikt visas vienādojuma saknes no intervāla starp punktiem a un b (ieskaitot galus), kuram funkcija ir iestatīta uz nulli. Acīmredzot tie būs y = g(x) un OX krustošanās punkti.

Dažos gadījumos ir ērtāk aizstāt g(x)=0 ar līdzīgu, piemēram, g 1 (x) = g 2 (x). Šajā gadījumā grafiku g 1 (x) un g 2 (x) krustošanās punktu abscises (x vērtība) darbojas kā saknes.

Nelineāra vienādojuma atrisinājums ir svarīgs arī optimizācijas problēmām, kurām lokālas ekstrēma nosacījums ir tāds, ka funkcijas atvasinājums kļūst par 0. Citiem vārdiem sakot, šādu problēmu var reducēt līdz vienādojuma p(x) = 0 sakņu atrašanai, kur p(x) ir identisks g"(x).

Risinājuma metodes

Dažiem nelineāru vienādojumu veidiem, piemēram, kvadrātvienādojumiem vai vienkāršiem trigonometriskiem vienādojumiem, saknes var atrast diezgan vienkāršā veidā. Jo īpaši katrs skolēns zina formulas, ar kurām var viegli atrast argumentu vērtības tiem punktiem, kuros izzūd kvadrātiskais trinomiāls.

Nelineāro vienādojumu sakņu iegūšanas metodes parasti iedala analītiskajā (tiešajā) un iteratīvajā. Pirmajā gadījumā vēlamajam risinājumam ir formulas forma, ar kuras palīdzību noteiktā skaitā aritmētisko darbību var atrast vēlamo sakņu vērtību. Līdzīgas metodes ir izstrādātas eksponenciālajiem, trigonometriskajiem, logaritmiskiem un vienkāršiem algebriskajiem vienādojumiem. Pārējā gadījumā jums ir jāizmanto īpašas skaitliskās metodes. Tos ir viegli ieviest, izmantojot datorus, kas ļauj ar nepieciešamo precizitāti atrast saknes.

Tie ietver tā saukto skaitlisko tangenšu metodi.Pēdējo ierosināja lielais zinātnieks Īzaks Ņūtons gadā XVII beigas gadsimtā. Turpmākajos gadsimtos šī metode tika vairākkārt uzlabota.

Lokalizācija

Skaitliskās metodes sarežģītu vienādojumu risināšanai, kuriem nav analītisko risinājumu, parasti tiek veiktas 2 posmos. Vispirms jums ir nepieciešams tos lokalizēt. Šī darbība sastāv no tādu segmentu atrašanas uz OX, uz kuriem ir viena atrisināmā vienādojuma sakne.

Apskatīsim segmentu. Ja g(x) uz tā nav pārrāvumu un tā gala punktos ņem dažādu zīmju vērtības, tad starp a un b vai tajos ir vismaz 1 vienādojuma sakne g(x) = 0. ir unikāls, ir nepieciešams, lai g(x) nebūtu monotons. Kā zināms, tam būs šī īpašība, ja g’(x) zīme ir nemainīga.

Citiem vārdiem sakot, ja g(x) nav pārtraukumu un monotoni palielinās vai samazinās, un tā vērtībām gala punktos nav vienādas zīmes, tad ir 1 un tikai 1 g(x) sakne.

Tomēr jums jāzina, ka šis kritērijs neattieksies uz vairāku vienādojumu saknēm.

Vienādojuma atrisināšana, sadalot uz pusi

Pirms apsvērt sarežģītākas skaitliskās pieskares un to šķirnes, ir vērts iepazīties ar visvairāk vienkāršā veidā sakņu identificēšana. To sauc par dihotomiju un attiecas uz intuitīvu sakņu atrašanas veidu, pamatojoties uz teorēmu, ka, ja g(x), nepārtraukts, ir izpildīts dažādu zīmju nosacījums, tad aplūkojamajā segmentā ir vismaz 1 sakne g( x) = 0.

Lai to atrastu, segments ir jāsadala uz pusēm un viduspunkts jānorāda kā x 2. Tad ir iespējami divi varianti: g(x 0) * g(x 2) vai g(x 2) * g(x 1) ir vienādi vai mazāki par 0. Izvēlamies to, kurai ir patiesa viena no šīm nevienādībām. Mēs atkārtojam iepriekš aprakstīto procedūru, līdz garums kļūst mazāks par noteiktu iepriekš atlasītu vērtību, kas nosaka vienādojuma saknes noteikšanas precizitāti uz .

Metodes priekšrocības ietver tās uzticamību un vienkāršību, bet trūkums ir nepieciešamība sākotnēji noteikt punktus, kuros g(x) notiek. dažādas zīmes, tāpēc to nevar izmantot saknēm ar vienmērīgu daudzveidību. Turklāt tas nav vispārināts vienādojumu sistēmas gadījumā vai, ja mēs runājam par sarežģītām saknēm.

1. piemērs

Vēlēsimies atrisināt vienādojumu g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Lai netērētu ilgu laiku, meklējot piemērotu segmentu, mēs veidojam grafiku, izmantojot, piemēram, labi zināmo Excel programmu. . Mēs redzam, ka labāk ir ņemt vērtības no intervāla kā segmentu saknes lokalizēšanai. Mēs varam būt pārliecināti, ka tajā pastāv vismaz viena vajadzīgā vienādojuma sakne.

g"(x) = 10x 4 + 1, t.i., tā ir monotoni augoša funkcija, tāpēc atlasītajā segmentā ir tikai 1 sakne.

Mēs aizstājam gala punktus vienādojumā. Mums ir attiecīgi 0 un 1. Pirmajā solī mēs ņemam punktu 0,5 kā risinājumu. Tad g(0,5) = -0,4375. Tas nozīmē, ka nākamais segments sadalīšanai uz pusēm būs . Tās viduspunkts ir 0,75. Tajā funkcijas vērtība ir 0,226. Mēs ņemam vērā segmentu un tā vidu, kas atrodas punktā 0.625. Mēs aprēķinām g(x) vērtību 0,625. Tas ir vienāds ar -0,11, t.i., negatīvs. Pamatojoties uz šo rezultātu, mēs izvēlamies segmentu. Mēs iegūstam x = 0,6875. Tad g(x) = -0,00532. Ja risinājuma precizitāte ir 0,01, tad varam pieņemt, ka vēlamais rezultāts ir 0,6875.

Teorētiskā bāze

Šī sakņu atrašanas metode, izmantojot Ņūtona tangentes metodi, ir populāra tās ļoti ātras konverģences dēļ.

Tas ir balstīts uz pierādītu faktu, ka, ja x n ir tuvinājums saknei f(x) = 0, tātad f" C 1, tad nākamā tuvināšana būs punktā, kur f(x) pieskares vienādojums ir nulle, t.i.

Nomainiet x = x n+1 un iestatiet y uz nulli.

Tad pieskares izskatās šādi:

2. piemērs

Mēģināsim izmantot klasiskā metodeŅūtona pieskares un atrast risinājumu jebkuram nelineāram vienādojumam, kuru ir grūti vai neiespējami atrast analītiski.

Lai x 3 + 4x - 3 = 0 saknes ir jānosaka ar zināmu precizitāti, piemēram, 0,001. Kā zināms, jebkuras funkcijas grafikam nepāra pakāpes polinoma formā vismaz vienu reizi ir jāšķērso OX asi, t.i., nav šaubu par sakņu esamību.

Pirms mūsu piemēra risināšanas, izmantojot pieskares metodi, mēs izveidojam grafiku f(x) = x 3 + 4x - 3 punktos. Tas ir ļoti vienkārši izdarāms, piemēram, izmantojot Excel izklājlapu procesoru. No iegūtā grafika būs skaidrs, ka tas nekrustojas ar OX asi un funkcija y = x 3 + 4x - 3 palielinās monotoni. Mēs varam būt pārliecināti, ka vienādojumam x 3 + 4x - 3 = 0 ir risinājums un tas ir unikāls.

Algoritms

Jebkurš vienādojumu risinājums ar tangentes metodi sākas ar f "(x) aprēķinu. Mums ir:

Tad otrais atvasinājums būs x * 6.

Izmantojot šīs izteiksmes, mēs varam uzrakstīt formulu vienādojuma sakņu identificēšanai, izmantojot tangentes metodi formā:

Tālāk jums jāizvēlas sākotnējā tuvināšana, t.i., jāsāk noteikt, kurš punkts tiek uzskatīts par iteratīvā procesa sākumpunktu (tilpums x 0). Mēs apsveram segmenta galus. Mēs izmantosim to, kuram ir patiess nosacījums, ka funkcijai un tās 2. atvasinājumam pie x 0 ir dažādas zīmes. Kā redzam, aizstājot x 0 = 0, tas ir salauzts, bet x 0 = 1 ir diezgan piemērots.

tad, ja mūs interesē pieskares metodes atrisināšana ar precizitāti e, tad vērtību x n var uzskatīt par apmierinošu uzdevuma prasībām, ja vien nevienādība |f(x n) / f’(x n)|< e.

Pirmajā pieskares solī mums ir:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1 - 0,2857 = 0,71429;
tā kā nosacījums nav izpildīts, mēs virzāmies tālāk;
mēs iegūstam jaunu vērtību x 2, kas ir vienāda ar 0,674;
mēs pamanām, ka funkcijas vērtības attiecība pret tās atvasinājumu x 2 ir mazāka par 0,0063, mēs pārtraucam procesu.

Tangentes metode programmā Excel

Iepriekšējo piemēru var atrisināt daudz vienkāršāk un ātrāk, ja neveicat aprēķinus manuāli (uz kalkulatora), bet gan izmantojat Microsoft izklājlapu procesora iespējas.

Lai to izdarītu, programmā Excel ir jāizveido jauna lapa un jāaizpilda tās šūnas ar šādām formulām:

C7 rakstām “= GRĀDS (B7;3) + 4 * B7 - 3”;
D7 ievadām “= 4 + 3 * GRĀDS (B7;2)”;
E7 ierakstām “= (DEGREE (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* DEGREE (B7;2) + 4)”;
D7 ievadām izteiksmi “=B7 - E7”;
B8 ievadām nosacījuma formulu “=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Konkrētā uzdevumā šūnā B10 parādīsies uzraksts “Pabeigt iterācijas”, un, lai atrisinātu problēmu, jums būs jāņem skaitlis, kas rakstīts šūnā, kas atrodas vienu rindiņu augstāk. Tam var izvēlēties arī atsevišķu “izstiepjamu” kolonnu, ievadot tur formulu-nosacījumu, saskaņā ar kuru tur tiks ierakstīts rezultāts, ja saturs vienā vai otrā ailes B šūnā iegūst formu “Iterāciju pabeigšana”.

Ieviešana Paskālā

Mēģināsim iegūt nelineārā vienādojuma y = x 4 - 4 - 2 * x atrisinājumu, izmantojot pieskares metodi Paskālā.

Izmantojam palīgfunkciju, kas palīdzēs veikt aptuvenu aprēķinu f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta. Kā nosacījumu iteratīvā procesa pabeigšanai izvēlamies izpildi nevienādība |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Programma ir ievērojama ar to, ka tai nav nepieciešams manuāli aprēķināt atvasinājumu.

Akordu metode

Apskatīsim citu veidu, kā noteikt nelineāro vienādojumu saknes. Iterācijas process sastāv no tā, ka kā secīgi tuvinājumi vēlamajai saknei f(x) = 0 tiek ņemtas hordas krustošanās punktu vērtības ar gala punktu a un b abscisu ar OX, apzīmē ar x 1, ..., x n. Mums ir:

Punktam, kur horda krustojas ar OX asi, izteiksme tiks uzrakstīta šādi:

Lai otrais atvasinājums ir pozitīvs x £ (pretējais gadījums tiks reducēts uz aplūkojamo, ja rakstīsim f(x) = 0). Šajā gadījumā grafiks y = f(x) ir līkne, kas ir izliekta apakšā un atrodas zem hordas AB. Var būt 2 gadījumi: kad funkcijai ir pozitīva vērtība punktā a vai negatīva punktā b.

Pirmajā gadījumā mēs izvēlamies galu a kā fiksēto un punktu b pieņemsim kā x 0. Tad secīgie tuvinājumi saskaņā ar iepriekš sniegto formulu veido secību, kas monotoni samazinās.

Otrajā gadījumā beigas b ir fiksētas pie x 0 = a. Katrā iterācijas posmā iegūtās x vērtības veido secību, kas monotoni palielinās.

Tādējādi mēs varam teikt, ka:

akordu metodē segmenta fiksētais gals ir tas, kur nesakrīt funkcijas un tās otrā atvasinājuma zīmes;
tuvinājumi saknei x - x m - atrodas no tā pusē, kur f(x) ir zīme, kas nesakrīt ar f"" (x) zīmi.

Iterācijas var turpināt, līdz ir izpildīti nosacījumi par sakņu tuvumu šajā un iepriekšējā iterācijas solī modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Modificēta metode

Akordu un pieskares kombinētā metode ļauj noteikt vienādojuma saknes, tuvojoties tām no dažādām pusēm. Šī vērtība, pie kuras grafiks f(x) krustojas ar OX, ļauj precizēt risinājumu daudz ātrāk, nekā izmantojot katru no metodēm atsevišķi.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrod f(x)=0 saknes, ja tās pastāv uz . Varat izmantot jebkuru no iepriekš aprakstītajām metodēm. Tomēr labāk ir izmēģināt to kombināciju, kas ievērojami uzlabos saknes precizitāti.

Mēs aplūkojam gadījumu ar sākotnējo tuvinājumu, kas atbilst nosacījumam, ka pirmais un otrais atvasinājums ir ar dažādām zīmēm noteiktā punktā x.

Šādos apstākļos nelineāro vienādojumu atrisināšana ar tangences metodi ļauj atrast sakni ar pārpalikumu, ja x 0 =b, un metode, izmantojot akordus ar fiksētu galu b, ļauj atrast aptuvenu sakni ar deficītu.

Izmantotās formulas:

Tagad intervālā ir jāmeklē nepieciešamā sakne x. Nākamajā solī šim segmentam ir jāpiemēro kombinētā metode. Šādi rīkojoties, mēs iegūstam šādas formas formulas:

Ja pirmajam un otrajam atvasinājumam ir dažādas zīmes, tad, spriežot līdzīgi, saknes precizēšanai iegūstam šādas atkārtotas formulas:

Izmantotais nosacījums ir aprēķinātā nevienlīdzība| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Ja iepriekš minētā nevienlīdzība ir patiesa, tad kā nelineārā vienādojuma sakni noteiktā segmentā ņemiet punktu, kas atrodas tieši pusceļā starp risinājumiem, kas atrasti konkrētā iterācijas solī.

Kombinētā metode ir viegli realizējama TURBO PASCAL vidē. Ja patiešām vēlaties, varat mēģināt veikt visus aprēķinus, izmantojot tabulas metodi programmā Excel.

Pēdējā gadījumā problēmas risināšanai, izmantojot akordus, un atsevišķi Īzaka Ņūtona piedāvātajai metodei ir piešķirtas vairākas kolonnas.

Šajā gadījumā katra rinda tiek izmantota, lai reģistrētu aprēķinus noteiktā iterācijas posmā, izmantojot divas metodes. Pēc tam risinājuma apgabala kreisajā pusē aktīvajā darba lapā tiek iezīmēta kolonna, kurā katrai no metodēm tiek ievadīts nākamā iteratīvā posma vērtību starpības moduļa aprēķina rezultāts. Citu var izmantot, lai ievadītu aprēķinu rezultātus, pamatojoties uz loģiskās konstrukcijas “IF” aprēķināšanas formulu, ko izmanto, lai noskaidrotu, vai nosacījums ir patiess vai nē.

Tagad jūs zināt, kā atrisināt sarežģītus vienādojumus. Pieskares metode, kā jūs jau redzējāt, tiek ieviesta diezgan vienkārši gan Pascal, gan Excel. Tāpēc jūs vienmēr varat noteikt saknes vienādojumam, kuru ir grūti vai neiespējami atrisināt, izmantojot formulas.

Atdala vienādojuma sakni f(x)=0 segmentā ar pirmo un otro atvasinājumu f’(x) un f""(x) ir nepārtraukti un ar nemainīgu zīmi xÎ.

Ļaujiet, lai kādā saknes precizēšanas solī tiktu iegūts nākamais tuvinājums saknei x n (atlasīts) . Tad pieņemsim, ka nākamā aproksimācija iegūta, izmantojot korekciju h n , noved pie precīzas saknes vērtības

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Skaitīšana h n maza vērtība, mēs attēlojam f(х n + h n) Teilora sērijas formā, ierobežojot sevi ar lineāriem vārdiem

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Ņemot vērā, ka f(x) = f(x n + h n) = 0, mēs iegūstam f(x n) + h n f ’(x n) » 0.

Tādējādi h n » - f(x n)/ f’(x n). Aizstāsim vērtību h n in (1.2.3-6) un precīzas saknes vērtības vietā x mēs iegūstam citu tuvinājumu

Formula (1.2.3-8) ļauj iegūt tuvinājumu secību x 1, x 2, x 3 ..., kas noteiktos apstākļos saplūst ar precīzu saknes vērtību x, tas ir

Ņūtona metodes ģeometriskā interpretācija ir šāds
(1.2.3.-6. att.). Ņemsim segmenta b labo galu kā sākotnējo aproksimāciju x 0 un funkcijas y = f(x) grafika atbilstošajā punktā B 0 konstruēsim tangensu. Pieskares krustpunkts ar x asi tiek ņemts par jaunu, precīzāku tuvinājumu x 1. Šīs procedūras atkārtošana daudzas reizes ļauj iegūt tuvinājumu secību x 0, x 1, x 2 , . . ., kas tiecas uz precīzu saknes vērtību x.

Ņūtona metodes aprēķina formulu (1.2.3-8) var iegūt no ģeometriskas konstrukcijas. Tātad taisnleņķa trijstūrī x 0 B 0 x 1 kāja
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Ņemot vērā, ka punkts B 0 atrodas funkcijas grafikā f(x), un hipotenūzu veido grafa f(x) pieskare punktā B 0, iegūstam

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Šī formula sakrīt ar (1.2.3-8) n-tajam tuvinājumam.

No 1.2.3.-6. att. ir skaidrs, ka punkta a izvēle kā sākotnējais tuvinājums var novest pie tā, ka nākamais tuvinājums x 1 būs ārpus segmenta, uz kura sakne ir atdalīta. x. Šajā gadījumā procesa konverģence netiek garantēta. Vispārīgā gadījumā sākotnējās aproksimācijas izvēle tiek veikta saskaņā ar šādu noteikumu: sākotnējais tuvinājums jāņem par punktu x 0 О, pie kura f(x 0)×f''(x 0)>0 , tas ir, funkcijas un tās otrā atvasinājuma zīmes sakrīt.

Ņūtona metodes konverģences nosacījumi formulēti sekojošā teorēmā.

Ja vienādojuma sakne ir atdalīta segmentā, un f’(x0) un f’’(x) atšķiras no nulles un saglabā savas zīmes, kad xО, tad, ja izvēlamies šādu punktu kā sākotnējo tuvinājumu x 0 О , Kas f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , tad vienādojuma sakne f(x)=0 var aprēķināt ar jebkuru precizitātes pakāpi.

Ņūtona metodes kļūdu aprēķinu nosaka ar šādu izteiksmi:

(1.2.3-11)

Kur... mazākā vērtība plkst

Augstākā vērtība plkst

Aprēķinu process apstājas, ja ,

kur ir norādītā precizitāte.

Turklāt šādas izteiksmes var kalpot kā nosacījums noteiktās precizitātes sasniegšanai, precizējot sakni, izmantojot Ņūtona metodi:

Ņūtona metodes algoritma diagramma ir parādīta attēlā. 1.2.3-7.

Sākotnējā vienādojuma f(x) kreisā puse un tā atvasinājums f’(x) algoritmā ir veidoti kā atsevišķi programmatūras moduļi.

Rīsi. 1.2.3-7. Ņūtona metodes algoritma diagramma

Piemērs 1.2.3-3. Precizējiet vienādojuma saknes x-ln(x+2) = 0, izmantojot Ņūtona metodi, ar nosacījumu, ka šī vienādojuma saknes ir atdalītas uz segmentiem x 1 О[-1.9;-1.1] un x 2 О [-0,9;2 ].

Pirmais atvasinājums f’(x) = 1 – 1/(x+2) saglabā savu zīmi katrā no segmentiem:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 pie xО [-0,9; 2].

Otrais atvasinājums f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 jebkuram x.

Tādējādi konverģences nosacījumi ir izpildīti. Tā kā f""(x)>0 visā pieļaujamo vērtību diapazonā, tad lai precizētu sākotnējās tuvinājuma sakni x 1 izvēlieties x 0 = -1,9 (jo f(-1,9) × f”(-1,9)>0). Mēs iegūstam tuvinājumu secību:

Turpinot aprēķinus, iegūstam šādu pirmo četru tuvinājumu secību: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Funkcijas f(x) vērtība punktā x=-1,8414 ir vienāda ar f(-1,8414)=-0,00003 .

Saknes x 2 О[-0.9;2] precizēšanai kā sākotnējo tuvinājumu izvēlamies 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Pamatojoties uz x 0 = 2, iegūstam tuvinājumu secību: 2,0;1,1817; 1,1462; 1.1461. Funkcijas f(x) vērtība punktā x=1.1461 ir vienāda ar f(1.1461)= -0.00006.

Ņūtona metodei ir augsts konverģences ātrums, taču katrā solī tā prasa aprēķināt ne tikai funkcijas vērtību, bet arī tās atvasinājumu.

Akordu metode

Akordu metodes ģeometriskā interpretācija ir šāds
(1.2.3.-8. att.).

Nozīmēsim taisnes nogriezni caur punktiem A un B. Nākamā tuvināšana x 1 ir hordas krustošanās punkta ar 0x asi abscisa. Izveidosim taisnas līnijas segmenta vienādojumu:

Iestatīsim y=0 un atrodam vērtību x=x 1 (nākamā tuvināšana):

Atkārtosim aprēķina procesu, lai iegūtu nākamo tuvinājumu saknei - x 2 :

Mūsu gadījumā (1.2.11. att.) un aprēķina formula horda metodei izskatīsies

Šī formula ir derīga, ja punkts b tiek pieņemts kā fiksēts punkts, un punkts a darbojas kā sākotnējais tuvinājums.

Apskatīsim citu gadījumu (1.2.3.-9. att.), kad .

Šajā gadījumā taisnās līnijas vienādojumam ir forma

Nākamā tuvināšana x 1 pie y = 0

Tad akordu metodes atkārtotajai formulai šajā gadījumā ir forma

Jāņem vērā, ka fiksētais punkts horda metodē ir izvēlēts kā segmenta beigas, kuram ir izpildīts nosacījums f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Tādējādi, ja punkts a tiek ņemts par fiksētu punktu , tad x 0 = b darbojas kā sākotnējā tuvināšana un otrādi.

Pietiekamie nosacījumi, kas nodrošina vienādojuma saknes f(x) = 0 aprēķinu, izmantojot horda formulu, būs tādi paši kā tangentes metodei (Ņūtona metode), tikai sākotnējās aproksimācijas vietā tiek izvēlēts fiksēts punkts. Akordu metode ir Ņūtona metodes modifikācija. Atšķirība ir tāda, ka nākamais tuvinājums Ņūtona metodē ir pieskares krustpunkts ar 0X asi, un horda metodē - hordas krustošanās punkts ar 0X asi - tuvinājumi saplūst saknei no dažādām pusēm. .

Kļūdas aplēse horda metodei tiek dota ar izteiksmi

(1.2.3-15)

Nosacījums iterācijas procesa pabeigšanai, izmantojot horda metodi

(1.2.3-16)

Gadījumā M1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Piemērs 1.2.3-4. Precizējiet vienādojuma sakni e x – 3x = 0, kas atdalīta segmentā ar precizitāti 10 -4.

Pārbaudīsim konverģences nosacījumu:

Līdz ar to par fiksēto punktu jāizvēlas a=0 un par sākotnējo tuvinājumu jāuzņem x 0 =1, jo f(0)=1>0 un f(0)*f"(0)>0.

Funkcijas minimizēšanas problēmā ļoti svarīga ir veiksmīga sākotnējās aproksimācijas izvēle, protams, nav iespējams izdomāt vispārējs noteikums, kas būtu apmierinošs visos gadījumos, t.i., visām iespējamām nelineārajām funkcijām.Katru reizi jāmeklē savs risinājums. Zemāk mēs piedāvājam dažu metožu kopumu aptuvenu sākotnējo tuvinājumu atrašanai, kas praksē var kalpot par sākumpunktu apmierinošu tuvinājumu meklēšanai konkrētai problēmai.

9.6.1. Režģa meklēšana. Šī metode ir īpaši efektīva ar nelielu skaitu faktisko nelineāro parametru. Bieži vien funkcijas tiek veidotas tā, ka tad, kad dažu parametru vērtības (ko mēs saucam par nelineāru) ir fiksētas, pārējie parametri kļūst lineāri.

Pēc tam, kad ir norādīta nelineāro parametru apakšējā un augšējā robeža, ar noteiktu soli ir iespējams uzskaitīt opcijas pašu šo nelineāro parametru vērtību režģī un identificēt lineāro regresiju, kas noved pie minimālās kvadrātu summas. .

Kā piemēru apsveriet funkciju

Šeit faktiskais nelineārais parametrs būs . Pieņemsim, ka ir zināms, ka. Ļaujiet h ir parametra solis. Aprēķināsim lineārās regresijas

kur katram no tiem atrodam minimālo kvadrātu summu. Mazākais no tiem atbilst optimālajam sākotnējam tuvinājumam. Principā solis, no kura atkarīgs režģa “blīvums”, var atšķirties tā, ka, samazinot h vērtību, parametru vērtības var atrast ar jebkādu precizitāti.

9.6.2. Modeļa transformācija.

Dažkārt, veicot kādu transformāciju, modeli var samazināt līdz lineāram vai samazināt faktisko nelineāro parametru skaitu (sk. 6.2.3. sadaļu). Parādīsim, kā to var panākt, izmantojot loģistikas līknes piemēru

Veicot apgriezto transformāciju uz atbilstošajiem regresijas vienādojumiem, iegūstam

Apzīmējot, mēs nonākam pie jaunas funkcijas, kuras lineāro parametru skaits ir palielinājies no viena līdz diviem. Parametra novērtējumu jaunajā modelī var atrast, piemēram, izmantojot iepriekšējo metodi.

Šeit ir lietderīgi izteikt šādu piezīmi par regresijas modeļu transformācijām. Jāpatur prātā, ka kļūda, kas bija aditīva sākotnējā vienādojumā, pēc pārveidošanas vairs nebūs aditīva.

Izmantojot Teilora sērijas paplašinājumu un apzīmējot transformāciju ar, mēs iegūstam, neievērojot pasūtījuma noteikumus

No tā izriet, ka

Pēdējo vienādību var ņemt par pamatu problēmas analīzei ar pārveidotu modeli.

9.6.3. Parauga sadalīšana apakšizlasēs.

Lai atrastu sākotnējo tuvinājumu, visu paraugu var sadalīt apakšizlasēs (ar aptuveni vienādiem apjomiem), kur ir nezināmo parametru skaits. Katrai apakšizlasei mēs atrodam vidējos lielumus virs y un virs X, kurus apzīmējam attiecīgi ar m. Atrisināsim nelineāro vienādojumu sistēmu

Šīs sistēmas risinājums būs parametru sākotnējā tuvināšana. Acīmredzot, lai šī metode "darbotos", šī nelineāro vienādojumu sistēma ir jāatrisina diezgan vienkārši, piemēram, analītiski.

9.6.4. Teilora sērijas paplašināšana neatkarīgos mainīgajos.

Kvadrātu summas iteratīvās minimizēšanas pamats ir Teilora sērijas regresijas funkcijas paplašināšana līdz lineāriem parametriem. Lai atrastu aptuvenu sākotnējo tuvinājumu, dažreiz ir noderīga regresijas aproksimācijas procedūra, paplašinot to Teilora sērijā neatkarīgos mainīgajos. Vienkāršības labad mēs pieņemsim, ka tas ir viendimensionāls. Ļaut ir vidējā vērtība, tad aptuveni

Mēs apzīmējam , tādējādi nonākam pie lineārā modeļa

Ļaut ir šīs lineārās regresijas parametru mazāko kvadrātu aprēķini. Kā sākotnējos tuvinājumus ņemsim nelineāras vienādojumu sistēmas atrisinājumu attiecībā pret

Tas pats, kas tuvinājums. Termins P. dažreiz tiek lietots tādā nozīmē, lai tuvinātu objektu (piemēram, sākuma P.) ... Matemātiskā enciklopēdija

Ņūtona metode- Ņūtona metode, Ņūtona algoritms (pazīstams arī kā tangences metode) ir iteratīva skaitliska metode saknes (nulles) atrašanai. dotā funkcija. Šo metodi pirmais ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons... ... Wikipedia

Viena tangentes metode

Gausa-Ņūtona metode- Ņūtona metode (pazīstama arī kā tangentes metode) ir iteratīva skaitliska metode noteiktas funkcijas saknes (nulles) atrašanai. Pirmo reizi šo metodi ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons (1643, 1727) ar nosaukumu ... ... Wikipedia

Ņūtona-Rafsona metode- Ņūtona metode (pazīstama arī kā tangentes metode) ir iteratīva skaitliska metode noteiktas funkcijas saknes (nulles) atrašanai. Pirmo reizi šo metodi ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons (1643, 1727) ar nosaukumu ... ... Wikipedia

Pieskares metode- Ņūtona metode (pazīstama arī kā tangentes metode) ir iteratīva skaitliska metode noteiktas funkcijas saknes (nulles) atrašanai. Pirmo reizi šo metodi ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons (1643, 1727) ar nosaukumu ... ... Wikipedia

Tangentes metode (Ņūtona metode)- Ņūtona metode (pazīstama arī kā tangentes metode) ir iteratīva skaitliska metode noteiktas funkcijas saknes (nulles) atrašanai. Pirmo reizi šo metodi ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons (1643, 1727) ar nosaukumu ... ... Wikipedia

Vienādojumu skaitlisks risinājums- un to sistēmas sastāv no aptuvenas vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes vai sakņu noteikšanas un tiek izmantotas gadījumos, kad nav iespējams vai ļoti darbietilpīgi aprēķināt precīzu vērtību. Saturs 1 Uzdevuma izklāsts 2 Skaitliskās metodes ... Wikipedia

Secīgās tuvināšanas metode- metode matemātisko problēmu risināšanai, izmantojot tuvinājumu secību, kas saplūst risinājumam un tiek konstruēta rekursīvi (t.i., katrs jauns tuvinājums tiek aprēķināts, pamatojoties uz iepriekšējo; sākotnējā aproksimācija tiek izvēlēta ... ... Lielā padomju enciklopēdija