Attālumu starp punktiem aprēķināšana pēc to koordinātām plaknē ir elementāra, uz Zemes virsmas tas ir nedaudz sarežģītāk: mēs apsvērsim attāluma un sākotnējā azimuta starp punktiem mērīšanu bez projekcijas transformācijām. Pirmkārt, sapratīsim terminoloģiju.

Ievads

Lielisks apļa loka garums- īsākais attālums starp jebkuriem diviem punktiem uz sfēras virsmas, ko mēra pa līniju, kas savieno šos divus punktus (šādu līniju sauc par ortodromiju) un iet gar sfēras virsmu vai citu apgriezienu virsmu. Sfēriskā ģeometrija atšķiras no parastās Eiklīda, un attāluma vienādojumi arī iegūst citu formu. Eiklīda ģeometrijā īsākais attālums starp diviem punktiem ir taisna līnija. Uz sfēras nav taisnu līniju. Šīs līnijas uz sfēras ir daļa no lieliem apļiem – apļiem, kuru centri sakrīt ar sfēras centru. Sākotnējais azimuts- azimuts, kuru ņemot kustības sākumā no punkta A, sekojot lielajam aplim visīsākajā attālumā līdz punktam B, beigu punkts būs punkts B. Pārejot no punkta A uz punktu B pa lielo apli, azimuts no plkst. Pašreizējā situācija līdz gala punktam B nepārtraukti mainās. Sākotnējais azimuts atšķiras no nemainīgā, pēc kura azimuts no pašreizējā punkta līdz gala punktam nemainās, bet maršruts, kas jāievēro, nav mazākais attālums starp diviem punktiem.

Caur jebkuriem diviem sfēras virsmas punktiem, ja tie neatrodas tieši viens otram pretī (tas ir, tie nav antipodi), var novilkt unikālu lielu apli. Divi punkti sadala lielo apli divos lokos. Īsa loka garums ir īsākais attālums starp diviem punktiem. Starp diviem antipodu punktiem var novilkt bezgalīgi daudz lielu apļu, taču attālums starp tiem būs vienāds uz jebkura apļa un vienāds ar pusi no apļa apkārtmēra jeb π * R, kur R ir sfēras rādiuss.

Plaknē (taisnstūra koordinātu sistēmā) lieli apļi un to fragmenti, kā minēts iepriekš, ir loki visās projekcijās, izņemot gnomonisko, kur lielie apļi ir taisnas līnijas. Praksē tas nozīmē, ka lidmašīnas un cits gaisa transports vienmēr izmanto minimālā attāluma maršrutu starp punktiem, lai taupītu degvielu, tas ir, lidojums tiek veikts liela apļa attālumā, plaknē tas izskatās pēc loka.

Zemes formu var raksturot kā sfēru, tāpēc vienādojumi attālumu aprēķināšanai uz liela apļa ir svarīgi, lai aprēķinātu īsāko attālumu starp punktiem uz Zemes virsmas, un tos bieži izmanto navigācijā. Attāluma aprēķināšana ar šo metodi ir efektīvāka un daudzos gadījumos precīzāka nekā tā aprēķināšana projicētajām koordinātām (taisnstūra koordinātu sistēmās), jo, pirmkārt, šim nolūkam nav jāpārvērš ģeogrāfiskās koordinātas taisnstūra koordinātu sistēmā (veiciet projekcijas transformācijas) un, otrkārt, daudzas projekcijas, ja tās ir nepareizi izvēlētas, projekcijas kropļojumu īpatnību dēļ var radīt ievērojamus garuma izkropļojumus. Zināms, ka tā nav sfēra, kas precīzāk raksturo Zemes formu, bet gan elipsoīds, tomēr šajā rakstā apskatīts attālumu aprēķins uz sfēras, aprēķiniem tiek izmantota sfēra ar rādiusu 6372795 metri, kas var radīt kļūdu attālumu aprēķināšanā par 0,5%.

Formulas

Ir trīs veidi, kā aprēķināt lielā apļa sfērisko attālumu. 1. Sfēriskā kosinusa teorēma Nelielu attālumu un neliela aprēķina bitu dziļuma (citu aiz komata) gadījumā formulas izmantošana var radīt būtiskas kļūdas, kas saistītas ar noapaļošanu. φ1, λ1; φ2, λ2 - divu punktu platums un garums radiānos Δλ - koordinātu garuma atšķirība Δδ - leņķiskā atšķirība Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Lai leņķisko attālumu pārvērstu par daudzmetrisko, leņķa starpība pēc Zemes rādiusa (6372795 metri), gala attāluma mērvienības būs vienādas ar vienībām, kurās rādiuss ir izteikts (šajā gadījumā metri). 2. Haversines formula Izmanto, lai izvairītos no problēmām nelielā attālumā. 3. Modifikācija antipodiem Iepriekšējā formula ir jutīga arī pret antipodu punktu problēmu, lai to atrisinātu, tiek izmantota šāda modifikācija.

Mana ieviešana PHP

// Zemes rādiusa definēšana ("EARTH_RADIUS", 6372795); / * * Attālums starp diviem punktiem * $ φA, $ λA - platums, 1. punkta garums, * $ φB, $ λB - platums, 2. punkta garums * Rakstīts, pamatojoties uz http://gis-lab.info/ qa / great-circles.html * Mihails Kobzarevs< >* * / funkcija aprēķinātAttālums ($ φA, $ λA, $ φB, $ λB) (// pārvērš koordinātas radiānos $ lat1 = $ φA * M_PI / 180; $ lat2 = $ φB * M_PI / 180; $ long1 = $ λA * M_PI / 180; $ long2 = $ λB * M_PI / 180; // platuma grādu kosinuss un sinuss un garumu atšķirības $ cl1 = cos ($ lat1); $ cl2 = cos ($ lat2); $ sl1 = sin ($ lat1) ; $ sl2 = sin ($ lat2); $ delta = $ long2 - $ long1; $ cdelta = cos ($ delta); $ sdelta = sin ($ delta); // aprēķina lielā apļa garumu $ y = sqrt (pow ( $ cl2 * $ sdelta, 2) + pow ($ cl1 * $ sl2 - $ sl1 * $ cl2 * $ cdelta, 2)); $ x = $ sl1 * $ sl2 + $ cl1 * $ cl2 * $ cdelta; // $ ad = atan2 ($ y, $ x); $ dist = $ ad * EARTH_RADIUS; return $ dist;) Funkcijas izsaukuma piemērs: $ lat1 = 77.1539; $ long1 = -139,398; $ lat2 = -77,1804; $ long2 = -139,55; atbalss aprēķināšanaAttālums ($ lat1, $ long1, $ lat2, $ long2). "metri"; // Atgriež "17166029 metri"

Raksts ņemts no vietnes

Dota taisnstūra koordinātu sistēma.

Teorēma 1.1. Jebkuriem diviem plaknes punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2) attālumu d starp tiem izsaka ar formulu

Pierādījums. No punktiem M 1 un M 2 izlaidīsim attiecīgi perpendikulu M 1 B un M 2 A

uz ass Oy un Ox un ar K apzīmē līniju M 1 B un M 2 A krustošanās punktu (1.4. att.). Ir iespējami šādi gadījumi:

1) Punkti M 1, M 2 un K ir atšķirīgi. Acīmredzot punktam K ir koordinātes (x 2; y 1). Ir viegli redzēt, ka M 1 K = ôx 2 - x 1 ô, M 2 K = ôy 2 - y 1 ô. Jo ∆М 1 КМ 2 taisnstūrveida, tad pēc Pitagora teorēmas d = М 1 М 2 = = .

2) Punkts K sakrīt ar punktu M 2, bet atšķiras no punkta M 1 (1.5. att.). Šajā gadījumā y 2 = y 1

un d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 - x 1 ô = =

3) Punkts K sakrīt ar punktu M 1, bet atšķiras no punkta M 2. Šajā gadījumā x 2 = x 1 un d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôy 2 - pie 1 ô = = .

4) Punkts M 2 sakrīt ar punktu M 1. Tad x 1 = x 2, y 1 = y 2 un

d = M 1 M 2 = O =.

Segmenta sadalījums šajā ziņā.

Ļaujiet plaknē dot patvaļīgu nogriezni M 1 M 2 un lai M ─ ir jebkurš šī punkta punkts

segments, kas atšķiras no punkta M 2 (1.6. att.). Skaitlis l, definēts ar vienādību l = tiek saukts attieksme, kurā punktā M dala nogriezni M 1 M 2.

Teorēma 1.2. Ja punkts M (x; y) dala segmentu M 1 M 2 attiecībā pret l, tad tā koordinātas nosaka pēc formulas

x = , y = , (4)

kur (x 1; y 1) ir punkta M 1 koordinātas, (x 2; y 2) ir punkta M 2 koordinātas.

Pierādījums. Pierādīsim pirmo no formulas (4). Otrā formula ir pierādīta līdzīgā veidā. Ir divi iespējamie gadījumi.

x = x 1 = = = .

2) Taisne М 1 М 2 nav perpendikulāra Vērša asij (1.6. att.). Nometīsim perpendikulus no punktiem M 1, M, M 2 uz Ox asi un apzīmēsim to krustošanās punktus ar Ox asi attiecīgi Р 1, Р, Р 2. Pēc proporcionālās līnijas segmenta teorēmas = l.

Jo P 1 P = ôx - x 1 ô, PP 2 = ôx 2 - xô un skaitļiem (x - x 1) un (x 2 - x) ir vienāda zīme (x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 ir negatīvi), tad

l = = ,

x - x 1 = l (x 2 - x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Secinājums 1.2.1. Ja M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2) ir divi patvaļīgi punkti un punkts M (x; y) ir segmenta M 1 M 2 vidusdaļa, tad

x = , y = (5)

Pierādījums. Tā kā M 1 M = M 2 M, tad l = 1 un pēc formulām (4) iegūstam formulas (5).

Trijstūra laukums.

Teorēma 1.3. Jebkuriem punktiem A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) un C (x 3; y 3), kas neatrodas vienā

taisne, trijstūra ABC laukumu S izsaka ar formulu

S = ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Pierādījums. Apgabals ∆ ABC parādīts attēlā. 1.7, mēs aprēķinām šādi

S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Mēs aprēķinām trapeces laukumus:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Tagad mums ir

S ABC = ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - - x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) = (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) = ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) = ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Citai vietai ∆ ABC formula (6) tiek pierādīta līdzīgi, taču tā var izrādīties ar “-” zīmi. Tāpēc moduļa zīme tiek ievietota formulā (6).

2. lekcija.

Taisnes vienādojums plaknē: taisnes vienādojums ar galveno koeficientu, vispārējais taisnes vienādojums, taisnes vienādojums nogriežņos, vienādojums taisnei, kas iet caur diviem punktiem. Leņķis starp taisnēm, paralēlisma nosacījumi un taisnes perpendikularitāte plaknē.

2.1. Uz plaknes ir dota taisnstūra koordinātu sistēma un kāda taisne L.

Definīcija 2.1. Tiek saukts vienādojums ar formu F (x; y) = 0, kas savieno mainīgos x un y taisnes L vienādojums(noteiktā koordinātu sistēmā), ja šo vienādojumu apmierina jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz taisnes L, un jebkura punkta koordinātas, kas neatrodas uz šīs taisnes, neatbilst.

Vienādojumu piemēri taisnēm plaknē.

1) Aplūkosim taisnstūra koordinātu sistēmas Oy asij paralēlu taisni (2.1. att.). Ar burtu A apzīmēsim šīs taisnes krustpunktu ar Vērša asi (a; o) ─ tā vai-

dinates. Vienādojums x = a ir dotās taisnes vienādojums. Patiešām, šo vienādojumu apmierina jebkura šīs taisnes punkta M (a; y) koordinātas, un jebkura punkta koordinātas, kas neatrodas uz taisnes, neapmierina. Ja a = 0, tad taisne sakrīt ar Oy asi, kurai ir vienādojums x = 0.

2) Vienādojums x - y = 0 nosaka plaknes punktu kopu, kas veido I un III koordinātu leņķa bisektrise.

3) Vienādojums x 2 - y 2 = 0 ─ ir divu koordinātu leņķu bisektoru vienādojums.

4) Vienādojums x 2 + y 2 = 0 definē vienu punktu O (0; 0) plaknē.

5) Vienādojums x 2 + y 2 = 25 ─ vienādojums riņķim ar rādiusu 5, kura centrs ir sākuma punktā.

Lekcija: Attāluma formula starp diviem punktiem; sfēras vienādojums

Attālums starp diviem punktiem

Lai atrastu attālumu starp diviem punktiem uz taisnes iepriekšējā jautājumā, mēs izmantojām formulu d = x 2 - x 1.

Bet, kas attiecas uz lidmašīnu, lietas ir atšķirīgas. Nepietiek tikai atrast koordinātu atšķirību. Lai atrastu attālumu starp punktiem pēc to koordinātām, izmantojiet šādu formulu:

Piemēram, ja jums ir divi punkti ar dažām koordinātām, attālumu starp tiem varat atrast šādi:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Tas ir, lai aprēķinātu attālumu starp diviem plaknes punktiem, jums jāatrod koordinātu atšķirību kvadrātu summas sakne.

Ja jums ir jāatrod attālums starp diviem plaknes punktiem, jums vajadzētu izmantot līdzīgu formulu ar papildu koordinātu:

Sfēras vienādojums

Lai definētu sfēru telpā, jums jāzina tās centra koordinātas, kā arī tās rādiuss, lai izmantotu šādu formulu:

Šis vienādojums atbilst sfērai, kuras centrs ir sākuma punktā.

Ja sfēras centrs ir nobīdīts par noteiktu vienību skaitu pa asīm, tad jāizmanto šāda formula.

Matemātikas uzdevumu risināšana skolēniem bieži vien ir saistīta ar daudzām grūtībām. Mūsu vietnes galvenais mērķis ir palīdzēt studentam tikt galā ar šīm grūtībām, kā arī iemācīt viņam pielietot esošās teorētiskās zināšanas konkrētu problēmu risināšanā visās mācību priekšmeta "Matemātika" sadaļās.

Uzsākot uzdevumu risināšanu par kādu tēmu, skolēniem jāprot uzbūvēt punktu plaknē pēc tā koordinātām, kā arī atrast dotā punkta koordinātas.

Attāluma aprēķins starp diviem punktiem A (x A; y A) un B (x B; y B), kas ņemts plaknē, tiek veikts pēc formulas d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kur d ir līnijas segmenta garums, kas savieno šos plaknes punktus.

Ja viens no segmenta galiem sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, bet otram ir koordinātas M (x M; y M), tad d aprēķināšanas formula būs OM = √ (x M 2 + y M 2) ).

1. Attāluma starp diviem punktiem aprēķins pēc dotajām šo punktu koordinātēm

1. piemērs.

Atrodiet nogriežņa garumu, kas koordinātu plaknē savieno punktus A (2; -5) un B (-4; 3) (1. att.).

Risinājums.

Problēmas formulējumā dots: x A = 2; x B = -4; y A = -5 un y B = 3. Atrodiet d.

Izmantojot formulu d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), mēs iegūstam:

d = AB = √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) = 10.

2. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienādā attālumā no trim dotajiem punktiem

2. piemērs.

Atrodiet koordinātas punktam O 1, kas atrodas vienādā attālumā no trim punktiem A (7; -1) un B (-2; 2) un C (-1; -5).

Risinājums.

No uzdevuma formulējuma izriet, ka О 1 А = О 1 В = О 1 С Lai vajadzīgajam punktam О 1 ir koordinātes (a; b). Pēc formulas d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mēs atrodam:

О 1 А = √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

О 1 С = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sastādām divu vienādojumu sistēmu:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pēc vienādojumu kreisās un labās puses kvadrātošanas mēs rakstām:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vienkāršojot, mēs rakstām

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Atrisinot sistēmu, iegūstam: a = 2; b = -1.

Punkts О 1 (2; -1) atrodas vienādā attālumā no trim nosacījumā norādītajiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Šis punkts ir apļa centrs, kas iet cauri trim noteikti punkti (2. att.).

3. Abscisas (ordinātas) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisas (ordinātas) un atrodas noteiktā attālumā no šī punkta

3. piemērs.

Attālums no punkta B (-5; 6) līdz punktam A, kas atrodas uz Vērša ass, ir 10. Atrodiet punktu A.

Risinājums.

No uzdevuma formulējuma izriet, ka punkta A ordināta ir vienāda ar nulli un AB = 10.

Apzīmējot punkta A abscisu caur a, rakstām A (a; 0).

AB = √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) = √ ((a + 5) 2 + 36).

Mēs iegūstam vienādojumu √ ((a + 5) 2 + 36) = 10. Vienkāršojot, mēs iegūstam

a 2 + 10a - 39 = 0.

Šī vienādojuma saknes ir a 1 = -13; a 2 = 3.

Iegūstam divus punktus A 1 (-13; 0) un A 2 (3; 0).

Pārbaude:

A 1 B = √ ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10.

A 2 B = √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10.

Abi iegūtie punkti atbilst uzdevuma formulējumam (3. att.).

4. Abscisas (ordinātas) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisas (ordinātas) un atrodas vienādā attālumā no diviem dotajiem punktiem.

4. piemērs.

Atrodiet uz Oy ass punktu, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A (6; 12) un B (-8; 10).

Risinājums.

Lai uz Oy ass esošā punkta koordinātas, kuras prasa uzdevuma formulējums, ir O 1 (0; b) (punktā, kas atrodas uz Oy ass, abscisa ir vienāda ar nulli). No nosacījuma izriet, ka O 1 A = O 1 B.

Pēc formulas d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mēs atrodam:

О 1 А = √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) = √ (36 + (b - 12) 2);

О 1 В = √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) = √ (64 + (b - 10) 2).

Mums ir vienādojums √ (36 + (b - 12) 2) = √ (64 + (b - 10) 2) vai 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2.

Pēc vienkāršošanas mēs iegūstam: b - 4 = 0, b = 4.

Punkts O 1 (0; 4), ko prasa uzdevuma izklāsts (4. att.).

5. Tāda punkta koordinātu aprēķins, kas atrodas vienādā attālumā no koordinātu asīm un kāda dotā punkta

5. piemērs.

Atrodiet punktu M, kas atrodas koordinātu plaknē vienādā attālumā no koordinātu asīm un no punkta A (-2; 1).

Risinājums.

Nepieciešamais punkts M, tāpat kā punkts A (-2; 1), atrodas otrajā koordinātu leņķī, jo atrodas vienādā attālumā no punktiem A, P 1 un P 2 (5. att.)... Punkta M attālumi no koordinātu asīm ir vienādi, tāpēc tā koordinātas būs (-a; a), kur a> 0.

No uzdevuma nosacījuma izriet, ka MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = | -a |,

tie. | -a | = a.

Pēc formulas d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mēs atrodam:

MA = √ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Pēc kvadrātošanas un vienkāršošanas mums ir: a 2 - 6a + 5 = 0. Atrisinām vienādojumu, atrodam a 1 = 1; a 2 = 5.

Iegūstam divus punktus M 1 (-1; 1) un M 2 (-5; 5), apmierinot uzdevuma nosacījumu.

6. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienā noteiktā attālumā no abscisas (ordinātas) un no dotā punkta.

6. piemērs.

Atrodiet punktu M, lai tā attālums no ordinātu ass un punkta A (8; 6) būtu vienāds ar 5.

Risinājums.

No uzdevuma formulējuma izriet, ka MA = 5 un punkta M abscisa ir 5. Lai punkta M ordināta ir vienāda ar b, tad M (5; b) (6. att.).

Pēc formulas d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mums ir:

MA = √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. To vienkāršojot, iegūstam: b 2 - 12b + 20 = 0. Šī vienādojuma saknes ir b 1 = 2; b 2 = 10. Līdz ar to ir divi punkti, kas apmierina uzdevuma nosacījumu: M 1 (5; 2) un M 2 (5; 10).

Ir zināms, ka daudziem skolēniem, patstāvīgi risinot problēmas, ir nepieciešami pastāvīgi padomi par to risināšanas paņēmieniem un metodēm. Bieži vien skolēns nevar atrast veidu, kā atrisināt problēmu bez skolotāja palīdzības. Skolēns var saņemt nepieciešamos padomus problēmu risināšanā mūsu mājaslapā.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai neesat pārliecināts, kā atrast attālumu starp diviem plaknes punktiem?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Šīs nodaļas 5., 6. un 10. sadaļā ir aplūkotas dažas no vienkāršākajām analītiskās ģeometrijas problēmām, uz kurām bieži vien tiek reducētas daudzas sarežģītākas problēmas. Viena no šādām problēmām ir attāluma problēma starp diviem punktiem.

Plaknē izvēlētā taisnstūra koordinātu sistēmā doti divi punkti, kuru koordinātēs izteiksim attālumu d starp šiem diviem punktiem.

Atradīsim punktu A un B projekcijas uz koordinātu asīm (8. att.). Būs:

Caur vienu no šiem punktiem, piemēram, A, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij līdz krustojumam punktā C ar taisni

No taisnleņķa trīsstūra ACB iegūstam:

(šeit AC un CB ir trijstūra ACB malu garumi). Bet kopš

(1. nodaļa, 3. sadaļa), tad

Ir skaidrs, ka šeit ir jāņem saknes aritmētiskā vērtība.

Tādējādi attālums starp diviem dotajiem punktiem ir vienāds ar kvadrātsakni no šo punktu vienādu koordinātu atšķirību kvadrātu summas.

komentēt. Ja šie punkti A līdz B atradīsies uz taisnes, kas ir paralēla koordinātu asij, tad trijstūri ABC neiegūsim, tomēr arī šajā gadījumā derēs formula (3). Patiešām, ja, piemēram, punkti A līdz B atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla Vērša asij, tad, protams, (I nodaļa, § 3). To pašu iegūs no formulas (3), jo šajā gadījumā