punktus x_0\in \mathbb(R), un tajā ir atšķirīgs: f \in \mathcal(D)(x_0). Funkcijas grafika pieskare f punktā x_0 sauc par lineāras funkcijas grafiku, kas dots ar vienādojumu y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R).

  • Ja funkcija f ir punktā x_0 bezgalīgs atvasinājums f"(x_0) = \pm\infty, tad pieskares līnija šajā punktā ir vienādojuma dotā vertikālā līnija x = x_0.

    • komentēt

    No definīcijas tieši izriet, ka pieskares līnijas grafiks iet caur punktu (x_0,f(x_0)). Stūris \alpha starp līknes pieskari un x asi apmierina vienādojumu

    \operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,

    Kur \operatora nosaukums(tg) apzīmē tangensu un \operatora nosaukums (k)- pieskares slīpuma koeficients. Atvasinājums punktā x_0 vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu y = f(x)šajā brīdī.

    Tangenss kā sekanta ierobežojošais stāvoklis

    Ļaujiet f\kolons U(x_0) \līdz \R Un x_1\in U(x_0). Tad taisna līnija, kas iet caur punktiem (x_0,f(x_0)) Un (x_1,f(x_1)) ko dod vienādojums

    y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).

    Šī līnija iet caur punktu (x_0,f(x_0)) jebkuram x_1\in U(x_0), un tā slīpuma leņķi \alpha(x_1) apmierina vienādojumu

    \operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).

    Funkcijas atvasinājuma esamības dēļ f punktā x_0, pārejot uz robežu plkst x_1\līdz x_0, mēs saprotam, ka ir robeža

    \lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),

    un loka tangensas un ierobežojošā leņķa nepārtrauktības dēļ

    \alpha = \operatora nosaukums(arctg)\,f"(x_0).

    Līnija, kas iet caur punktu (x_0,f(x_0)) un kam ir ierobežojošs slīpuma leņķis, kas atbilst \operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0), tiek dots ar tangensu vienādojumu:

    y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).

    Pieskares aplim

    Taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar riņķi ​​un kura atrodas vienā plaknē ar to, sauc par riņķa pieskari.

    Īpašības

    1. Apļa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.
    2. No viena punkta novilktā riņķa pieskares segmenti ir vienādi un veido vienādus leņķus ar līniju, kas iet caur šo punktu, un apļa centru.
    3. Pieskares segmenta garums, kas novilkts uz riņķa vienības rādiusu, kas ņemts starp pieskares punktu un pieskares krustpunktu ar staru, kas novilkts no apļa centra, ir pieskares leņķim starp šo staru. un virziens no apļa centra līdz pieskares punktam. "Tangens" no lat. pieskares- "tangence".

    Variācijas un vispārinājumi

    Vienpusējās pustangences

    • Ja ir pareizais atvasinājums f"_+(x_0)< \infty, Tas labais semitangents uz funkcijas grafiku f punktā x_0 sauc par staru
    y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.
    • Ja ir kreisais atvasinājums f"_-(x_0)< \infty, Tas kreisā pustanga uz funkcijas grafiku f punktā x_0 sauc par staru
    y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.
    • Ja ir bezgalīgs labais atvasinājums f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), f punktā x_0 sauc par staru
    x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y\leqslant f(x_0)).
    • Ja ir bezgalīgs kreisais atvasinājums f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), tad labais pustangenss funkcijas grafikam f punktā x_0 sauc par staru
    x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y\geqslant f(x_0)).

    Skatīt arī

    • Normāls, binormāls

    Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Tangent Line"

    Literatūra

    • Toponogovs V.A. Līkņu un virsmu diferenciālģeometrija. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
    • // Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). - Sanktpēterburga. , 1890-1907.

    Pieskares līniju raksturojošs fragments

    - Vietām! - kliedza jauns virsnieks ap Pjēru sapulcētajiem karavīriem. Šis jaunais virsnieks, acīmredzot, pildīja savu amatu pirmo vai otro reizi, tāpēc gan pret karavīriem, gan komandieri izturējās īpaši skaidri un viendabīgi.
    Visā laukā pastiprinājās neregulāra lielgabalu un šauteņu šaušana, īpaši pa kreisi, kur bija Bagrationa zibšņi, bet šāvienu dūmu dēļ no vietas, kur atradās Pjērs, bija gandrīz neiespējami kaut ko redzēt. Turklāt visu Pjēra uzmanību piesaistīja novērojumi, kā it kā ģimenes (no visiem pārējiem atdalīts) cilvēku loks, kas atradās uz akumulatora. Viņa pirmais neapzināti priecīgais satraukums, ko radīja kaujas lauka skats un skaņas, tagad tika aizstāts ar citu sajūtu, it īpaši pēc šī vientuļā pļavā guļošā karavīra skata. Tagad sēdēdams grāvja nogāzē, viņš vēroja sev apkārt esošās sejas.
    Līdz pulksten desmitiem no akumulatora jau bija aiznesti divdesmit cilvēki; divi lielgabali tika salauzti, arvien vairāk lādiņu trāpīja akumulatorā un lidoja, zumējot un svilpojot, tālas darbības lodes. Bet cilvēki, kas atradās uz akumulatora, to nepamanīja; no visām pusēm skanēja jautra saruna un joki.
    - Činenko! - karavīrs kliedza uz tuvojošos, svilpojošo granātu. - Ne šeit! Uz kājniekiem! - cits smejoties piebilda, pamanot, ka granāta pārlidoja un atsitās pret aizsegu rindām.
    - Ko, draugs? - pasmējās cits karavīrs par tupošo zemnieku zem lidojošās lielgabala lodes.
    Vairāki karavīri sapulcējās pie vaļņa, skatoties uz priekšā notiekošo.
    "Un viņi noņēma ķēdi, redziet, viņi atgriezās," viņi teica, norādot uz vārpstu.
    "Paskatieties uz savu biznesu," vecais apakšvirsnieks kliedza viņiem. - Viņi atgriezās, kas nozīmē, ka ir darbs atpakaļ. - Un apakšvirsnieks, paņēmis vienu no karavīriem aiz pleca, pagrūda viņu ar ceļgalu. Bija dzirdami smiekli.
    - Rit pie piektā lielgabala! kliedza no vienas puses.
    “Kopā, draudzīgāk, burlatski,” bija dzirdami pistoles nomainītāju jautrie saucieni.
    "Jā, es gandrīz nogāzu mūsu kunga cepuri," sarkans jokdaris pasmējās Pjēram, rādot zobus. "Ak, neveikls," viņš pārmetoši piebilda bumbiņai, kas bija iekritusi vīrieša ritenī un kājā.
    - Nu jūs lapsas! cits smējās par čīkstošajiem miličiem, kas iegāja ievainoto baterijā.
    - Al nav garšīga putra? Ak, vārnas, šūpojās! - viņi kliedza uz miličiem, kuri vilcinājās karavīra ar nogrieztu kāju priekšā.
    "Kaut kas tamlīdzīgs, mazais," zemnieki atdarināja. – Viņiem nepatīk kaislība.
    Pjērs pamanīja, kā pēc katra sitiena, pēc katra zaudējuma, vispārēja atmoda uzliesmoja arvien vairāk.
    Kā no pērkona mākoņa uz priekšu arvien biežāk visu šo cilvēku sejās uzplaiksnīja arvien spožāki un spožāki (it kā atgrūžoties pret notiekošo) slēptas, uzliesmojošas uguns zibens.
    Pjērs neskatījās uz priekšu kaujas laukā un neinteresējās zināt, kas tur notiek: viņš bija pilnībā pārdomāts par šo, arvien degošāku uguni, kas tāpat (viņš juta) uzliesmoja viņa dvēselē.
    Pulksten desmitos kājnieku karavīri, kas bija pa priekšu bateriju krūmos un gar Kamenkas upi, atkāpās. No baterijas bija redzams, kā viņi skrēja tai garām, nesot ievainotos uz ieročiem. Kāds ģenerālis ar savu svītu iegāja pilskalnā un, sarunājies ar pulkvedi, dusmīgi paskatījies uz Pjēru, atkal nokāpa lejā, pavēlēdams kājnieku pārsegu, kas stāvēja aiz baterijas, apgulties, lai būtu mazāk pakļauts šāvieniem. Pēc tam kājnieku rindās pa labi no baterijas atskanēja bungas, komandas saucieni, un no baterijas bija skaidrs, kā kājnieku rindas virzās uz priekšu.
    Pjērs paskatījās pāri šahtai. Viena seja īpaši piesaistīja viņa uzmanību. Tas bija virsnieks, kurš ar bāli jaunu seju gāja atmuguriski, nesot nolaistu zobenu un nemierīgi skatījās apkārt.
    Kājnieku karavīru rindas pazuda dūmos, bija dzirdams viņu ilgstošais sauciens un bieža ieroču šaušana. Dažas minūtes vēlāk no turienes gāja daudz ievainoto un nestuvju. Čaulas sāka trāpīt akumulatorā vēl biežāk. Vairāki cilvēki gulēja neiztīrīti. Pie lielgabaliem karavīri kustējās rosīgāk un dzīvīgāk. Pjēram neviens vairs nepievērsa nekādu uzmanību. Reizi vai divas uz viņu dusmīgi kliedza par to, ka viņš bija ceļā. Vecākais virsnieks ar sarauktu seju lieliem, ātriem soļiem virzījās no viena ieroča pie otra. Jaunais virsnieks, vēl vairāk pietvīcis, vēl cītīgāk komandēja karavīrus. Karavīri šauj, griezās, lādēja un darīja savu darbu ar intensīvu aizrautību. Viņi pa ceļam lēca kā uz atsperēm.

    Nodarbības mērķi

    • Izglītojoši - zināšanu atkārtošana, vispārināšana un pārbaude par tēmu: “Pieskares lokam”; pamatprasmju attīstīšana.
    • Attīstīt - attīstīt audzēkņu uzmanību, neatlaidību, neatlaidību, loģiskā domāšana, matemātiskā runa.
    • Izglītojoši – ar mācību stundu izkopt uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību, neatkarību.
    • Ieviest pieskares, saskares punkta jēdzienu.
    • Apsveriet pieskares un tās zīmes īpašību un parādiet to pielietojumu dabas un tehnoloģiju problēmu risināšanā.

    Nodarbības mērķi

    • Veidot prasmes pieskares veidošanā, izmantojot mēroga lineālu, transportieri un zīmēšanas trīsstūri.
    • Pārbaudiet studentu spēju risināt problēmas.
    • Nodrošināt apļa pieskares konstruēšanas pamata algoritmisko paņēmienu apguvi.
    • Veidot prasmi pielietot teorētiskās zināšanas problēmu risināšanā.
    • Attīstīt skolēnu domāšanu un runu.
    • Strādājiet pie prasmju veidošanas novērot, pamanīt modeļus, vispārināt, spriest pēc analoģijas.
    • Izkopt interesi par matemātiku.

    Nodarbības plāns

    1. Pieskares jēdziena rašanās.
    2. Pieskares parādīšanās vēsture.
    3. Ģeometriskās definīcijas.
    4. Pamatteorēmas.
    5. Apļa pieskares konstruēšana.
    6. Konsolidācija.

    Pieskares jēdziena rašanās

    Pieskares jēdziens ir viens no vecākajiem matemātikā. Ģeometrijā riņķa līnijas pieskare tiek definēta kā taisna līnija, kurai ir tieši viens krustošanās punkts ar šo apli. Senie cilvēki ar kompasa un taisnes palīdzību spēja uzzīmēt pieskares riņķim, bet vēlāk arī konusveida griezumiem: elipsēm, hiperbolām un parabolām.

    Pieskares parādīšanās vēsture

    Interese par tangentēm atdzima mūsdienās. Tad tika atklātas līknes, kas senatnes zinātniekiem nebija zināmas. Piemēram, Galileo ieviesa cikloīdu, un Dekarts un Fermā izveidoja tam tangensu. XVII gadsimta pirmajā trešdaļā. Viņi sāka saprast, ka pieskare ir taisna līnija, kas “vistuvāk atrodas” līknei noteiktā punkta nelielā apkārtnē. Ir viegli iedomāties situāciju, kad nav iespējams izveidot līknes pieskari noteiktā punktā (attēlā).

    Ģeometriskās definīcijas

    Aplis- plaknes punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par tās centru.

    aplis.

    Saistītās definīcijas

    • Tiek saukts segments, kas savieno apļa centru ar jebkuru punktu uz tā (un arī šī posma garumu). rādiuss aprindās.
    • Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc apkārt.
    • Tiek saukts līnijas segments, kas savieno divus riņķa punktus akords. Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc diametrs.
    • Jebkuri divi punkti, kas nesakrīt uz apļa, sadala to divās daļās. Katra no šīm daļām tiek saukta loka aprindās. Loka mērs var būt tai atbilstošā centrālā leņķa mērs. Loku sauc par pusloku, ja segments, kas savieno tā galus, ir diametrs.
    • Tiek saukta taisne, kurai ir tieši viens kopīgs punkts ar apli pieskares uz apli, un kopīgs punkts sauc par saskares punktu starp līniju un apli.
    • Tiek saukta taisne, kas iet caur diviem riņķa punktiem sekants.
    • Centrālais leņķis aplī ir plakans leņķis ar virsotni tā centrā.
    • Tiek saukts leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas krustojas ar apli ierakstītais leņķis.
    • Tiek saukti divi apļi, kuriem ir kopīgs centrs koncentrisks.

    Pieskares līnija- taisna līnija, kas iet caur kādu līknes punktu un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai.

    Pieskares aplim Tiek saukta taisne, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli.

    Taisna līnija, kas iet caur apļa punktu tajā pašā plaknē, kas ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam, sauc par tangensu. Kurā dots punkts apli sauc par pieskares punktu.

    Ja mūsu gadījumā "a" ir taisne, kas pieskaras dotajam aplim, punkts "A" ir saskares punkts. Šajā gadījumā a ⊥ OA (līnija a ir perpendikulāra rādiusam OA).

    Viņi to saka divi apļi pieskaras ja tiem ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc apļu pieskares punkts. Caur pieskares punktu var uzzīmēt pieskares vienam no apļiem, kas ir arī pieskares otram aplim. Apļu pieskares ir iekšēja un ārēja.

    Pieskares sauc par iekšējo, ja apļu centri atrodas tajā pašā pieskares pusē.

    Pieskares sauc par ārējo, ja apļu centri atrodas pretējās pieskares pusēs

    a ir divu apļu kopējā pieskare, K ir saskares punkts.

    Pamatteorēmas

    Teorēma par tangensu un sekantu

    Ja no punkta, kas atrodas ārpus riņķa, novilkta pieskare un atzars, tad pieskares garuma kvadrāts ir vienāds ar atzares un tās ārējās daļas reizinājumu: MC 2 = MA MB.

    Teorēma. Apļa pieskares punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs pieskarei.

    Teorēma. Ja rādiuss ir perpendikulārs līnijai apļa krustošanās punktā, tad šī taisne ir pieskares šim riņķim.

    Pierādījums.

    Lai pierādītu šīs teorēmas, mums jāatceras, kas ir perpendikuls no punkta uz taisni. Tas ir īsākais attālums no šī punkta līdz šai līnijai. Pieņemsim, ka OA nav perpendikulāra pieskarei, bet ir taisne OC, kas ir perpendikulāra tangensei. OS garums ietver rādiusa garumu un noteiktu segmentu BC, kas noteikti ir lielāks par rādiusu. Tādējādi var pierādīt jebkurai līnijai. Secinām, ka rādiuss, rādiuss, kas novilkts līdz saskares punktam, ir mazākais attālums līdz pieskarei no punkta O, t.i. OS ir perpendikulāra pieskarei. Apgrieztās teorēmas pierādīšanā mēs balstīsimies uz faktu, ka pieskarei ir tikai viens kopīgs punkts ar apli. Dotajai taisnei ir vēl viens kopīgs punkts B ar apli. Trijstūris AOB ir taisnleņķis, un tā abas malas ir vienādas ar rādiusiem, kas nevar būt. Tādējādi iegūstam, ka dotajai taisnei ar apli nav vairāk kopīgu punktu, izņemot punktu A, t.i. ir tangenss.

    Teorēma. Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi, un taisne, kas savieno šo punktu ar apļa centru, sadala leņķi starp pieskarēm trāpījumos.

    Pierādījums.

    Pierādījums ir ļoti vienkāršs. Izmantojot iepriekšējo teorēmu, mēs apgalvojam, ka OB ir perpendikulāra AB, un OS ir perpendikulāra AC. Taisnleņķa trijstūri ABO un ACO ir vienādi kājā un hipotenūzā (OB = OS - rādiusi, AO - kopā). Tāpēc to kājas AB = AC un leņķi OAC un OAB arī ir vienādi.

    Teorēma. Leņķa vērtība, ko veido pieskares un horda ar kopīgu punktu uz apļa, ir vienāda ar pusi no loka leņķa vērtības, kas atrodas starp tā malām.

    Pierādījums.

    Apsveriet leņķi NAB, ko veido tangenss un horda. Uzzīmējiet diametru AC. Pieskare ir perpendikulāra diametram, kas novilkts līdz saskares punktam, tāpēc ∠CAN=90 o. Zinot teorēmu, redzam, ka leņķis alfa (a) ir vienāds ar pusi no loka BC leņķa lieluma vai pusi no leņķa BOC. ∠NAB=90 o -a, tādējādi iegūstam ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB vai = puse no loka BA leņķa vērtības. h.t.d.

    Teorēma. Ja no punkta uz riņķi ​​novelk tangensu un atdalītāju, tad pieskares segmenta kvadrāts no dotā punkta līdz pieskares punktam ir vienāds ar atdalīšanas segmentu garumu reizinājumu no dotā punkta. norāda uz punktiem, kur tā krustojas ar apli.

    Pierādījums.

    Attēlā šī teorēma izskatās šādi: MA 2 \u003d MV * MS. Pierādīsim to. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu leņķis MAC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķa lieluma, bet arī leņķis ABC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķa lieluma, saskaņā ar teorēmu, tāpēc šie leņķi ir vienādi ar viens otru. Ņemot vērā to, ka trijstūriem AMC un VMA ir kopīgs leņķis virsotnē M, mēs nosakām šo trīsstūru līdzību divos leņķos (otrā zīme). No līdzības mums ir: MA / MB = MC / MA, no kura mēs iegūstam MA 2 \u003d MB * MC

    Apļa pieskares konstruēšana

    Un tagad mēģināsim to izdomāt un noskaidrot, kas jādara, lai izveidotu riņķa pieskari.

    Šajā gadījumā uzdevumā parasti tiek dots aplis un punkts. Un jums un man ir jāizveido apļa pieskare, lai šī pieskare iet caur noteiktu punktu.

    Gadījumā, ja mēs nezinām punkta atrašanās vietu, tad aplūkosim punktu iespējamās atrašanās vietas gadījumus.

    Pirmkārt, punkts var atrasties apļa iekšpusē, kuru ierobežo dotais aplis. Šajā gadījumā caur šo apli nav iespējams izveidot tangensu.

    Otrajā gadījumā punkts atrodas uz apļa, un mēs varam izveidot pieskari, novelkot rādiusam perpendikulāru līniju, kas tiek novilkta uz mums zināmo punktu.

    Treškārt, pieņemsim, ka punkts atrodas ārpus apļa, kuru ierobežo aplis. Šajā gadījumā pirms pieskares konstruēšanas ir jāatrod punkts uz apļa, caur kuru jāiziet pieskare.

    Pirmajā gadījumā es ceru, ka jūs visu saprotat, bet, lai atrisinātu otro iespēju, mums ir jāveido segments uz taisnes, uz kuras atrodas rādiuss. Šim segmentam jābūt vienādam ar rādiusu un segmentu, kas atrodas uz apļa pretējā pusē.



    Šeit redzams, ka apļa punkts ir segmenta viduspunkts, kas ir vienāds ar divkāršu rādiusu. Nākamais solis ir uzzīmēt divus apļus. Šo apļu rādiuss būs vienāds ar divkāršu sākotnējā apļa rādiusu ar centriem segmenta galos, kas ir vienāds ar divkāršu rādiusu. Tagad mēs varam novilkt taisnu līniju caur jebkuru šo apļu un dotā punkta krustošanās punktu. Šāda taisne ir mediāna, kas ir perpendikulāra apļa rādiusam, kas tika novilkta sākumā. Tādējādi mēs redzam, ka šī līnija ir perpendikulāra aplim, un no tā izriet, ka tā ir pieskares riņķim.

    Trešajā variantā mums ir punkts, kas atrodas ārpus apļa, un to ierobežo aplis. Šajā gadījumā mēs vispirms izveidojam segmentu, kas savienos paredzētā apļa centru un doto punktu. Un tad mēs atrodam tā vidu. Bet šim nolūkam ir jāizveido perpendikulāra bisektrise. Un jūs jau zināt, kā to izveidot. Tad mums ir jāuzzīmē aplis vai vismaz tā daļa. Tagad mēs redzam, ka dotā riņķa un jaunizveidotā riņķa krustošanās punkts ir punkts, caur kuru iet pieskare. Tas arī iet caur punktu, ko noteica problēmas stāvoklis. Un visbeidzot, izmantojot divus punktus, kurus jūs jau zināt, varat novilkt pieskares līniju.

    Un visbeidzot, lai pierādītu, ka mūsu konstruētā taisne ir pieskare, jums jāpievērš uzmanība leņķim, ko veido riņķa rādiuss un segments, kas pazīstams ar nosacījumu un savieno apļa krustošanās punktu. apļi ar punktu, ko dod uzdevuma nosacījums. Tagad mēs redzam, ka iegūtais leņķis balstās uz pusloku. Un no tā izriet, ka šis leņķis ir pareizs. Tāpēc rādiuss būs perpendikulārs jaunizveidotajai līnijai, un šī līnija ir tangenss.

    Pieskares uzbūve.

    Pieskares konstruēšana ir viena no tām problēmām, kas izraisīja diferenciālrēķina rašanos. Pirmais publicētais darbs, kas attiecas uz diferenciālrēķinu un ko uzrakstīja Leibnics, bija ar nosaukumu " Jauna metode maksimumi un minimumi, kā arī pieskares, kurām par šķērsli nekalpo ne daļskaitļi, ne iracionālie lielumi, un tam īpašs aprēķinu veids.

    Seno ēģiptiešu ģeometriskās zināšanas.

    Ja neņem vērā seno ielejas starp Tigri un Eifratu un Mazāziju ļoti pieticīgo ieguldījumu, tad ģeometrija radās g. Senā Ēģipte pirms 1700.g.pmē Tropu lietus sezonas laikā Nīla papildināja ūdens krājumus un applūda. Ūdens klāja apstrādātās zemes gabalus, un nodokļu nolūkos bija jānosaka, cik daudz zemes tika zaudētas. Mērnieki kā mērinstrumentu izmantoja cieši nostieptu virvi. Vēl viens stimuls ēģiptiešu ģeometrisko zināšanu uzkrāšanai bija viņu aktivitātes, piemēram, piramīdu celtniecība un tēlotājmāksla.

    Par ģeometrisko zināšanu līmeni var spriest pēc seniem rokrakstiem, kas ir īpaši veltīti matemātikai un ir kaut kas līdzīgs mācību grāmatām, pareizāk sakot, problēmu grāmatām, kur sniegti dažādu praktisku problēmu risinājumi.

    Vecāko ēģiptiešu matemātisko manuskriptu kāds students nokopēja laikā no 1800. līdz 1600. gadam. BC. no vecāka teksta. Papirusu atrada krievu ēģiptologs Vladimirs Semenovičs Goļeņičevs. Tas glabājas Maskavā - Tēlotājmākslas muzejā, kas nosaukts A.S. Puškins, un to sauc par Maskavas papirusu.

    Londonā glabājas vēl viens matemātisks papiruss, kas uzrakstīts divus vai trīs simtus gadus vēlāk nekā Maskavā. To sauc: "Instrukcija, kā iegūt zināšanas par visām tumšajām lietām, visiem noslēpumiem, kas slēpj lietas sevī... Saskaņā ar vecajiem pieminekļiem, rakstu mācītājs Ahmess to rakstīja." un nopirka šo papirusu Ēģiptē. Ahmesa papiruss sniedz 84 uzdevumu risinājumu dažādiem aprēķiniem, kas var būt nepieciešami praksē.

    Taisnā līnija attiecībā pret apli var būt šādās trīs pozīcijās:

    1. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu.Šajā gadījumā visi līnijas punkti atrodas ārpus apļa.

    2. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu.Šajā gadījumā līnijai ir punkti, kas atrodas apļa iekšpusē, un, tā kā līnija ir bezgalīga abos virzienos, tā krusto apli 2 punktos.

    3. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu. Taisna līnija - tangenss.

    Tiek saukta taisne, kurai ar apli ir tikai viens kopīgs punkts pieskares uz apli.

    Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts pieskāriena punkts.

    Pieskares pastāvēšanas iespējamību, turklāt izvilktu caur jebkuru riņķa punktu kā saskares punktu, pierāda šāda teorēma.

    Teorēma. Ja līnija ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz apļa, tad šī taisne ir pieskares.

    Lai O (rīsi) ir kāda apļa centrs, bet OA ir kāds no tā rādiusa. Izvelciet MN ^ OA caur tā galu A.

    Nepieciešams pierādīt, ka līnija MN ir pieskares, t.i. ka šai taisnei ir tikai viens kopīgs punkts A ar apli.

    Pieņemsim pretējo: lai MN ir vēl viens kopīgs punkts ar apli, piemēram, B.

    Tad līnija OB būtu rādiuss un līdz ar to vienāda ar OA.

    Bet tā nevar būt, jo, ja OA ir perpendikuls, tad OB jābūt slīpam pret MN, un slīpums ir lielāks par perpendikulu.

    Apgrieztā teorēma. Ja līnija ir pieskares riņķim, tad pieskares punktam novilktais rādiuss ir tai perpendikulārs.

    Ļaujiet MN apļa pieskarei, A ir pieskares punkts un O ir riņķa centrs.

    Ir jāpierāda, ka OA^MN.

    Pieņemsim pretējo, t.i. pieņemsim, ka no O līdz MN nomestais perpendikuls nav OA, bet kāda cita taisne, piemēram, OB.

    Ņemsim BC = AB un uzzīmēsim OC.

    Tad OA un OS būs slīpi, vienādā attālumā no perpendikulārā OB, un līdz ar to OS = OA.

    No tā izriet, ka aplim, ņemot vērā mūsu pieņēmumu, ar taisni MN būs divi kopīgi punkti: A un C, t.i. MN nebūs tangenss, bet gan sekants, kas ir pretrunā ar nosacījumu.

    Sekas. Caur jebkuru doto riņķa punktu var uzzīmēt pieskares šim riņķim, un tikai vienu, jo caur šo punktu var novilkt perpendikulu un turklāt tikai vienu tajā ievilktajam rādiusam.

    Teorēma. Pieskare, kas ir paralēla hordai, saskares punktā sadala loku uz pusēm, ko atņem horda.

    Ļaujiet taisnei AB (att.) pieskarties riņķim punktā M un būt paralēli akordam CD.

    Mums jāpierāda, ka ÈCM = ÈMD.

    Zīmējot diametru ME caur saskares punktu, mēs iegūstam: EM ^ AB un līdz ar to EM ^ CB.

    Tāpēc CM = MD.

    Uzdevums. Caur doto punktu uzzīmējiet pieskares dotam riņķim.

    Ja dotais punkts atrodas uz apļa, tad caur to tiek novilkts rādiuss un caur rādiusa galu - perpendikulāra līnija. Šī līnija būs vēlamā tangensa.

    Apsveriet gadījumu, kad punkts ir dots ārpus apļa.

    Pieprasiet (att.) caur punktu A novilkt pieskares riņķim ar centru O.

    Lai to izdarītu, no punkta A, tāpat kā no centra, mēs aprakstam loku ar rādiusu AO, un no punkta O kā centru mēs krustojam šo loku punktos B un C ar kompasa atveri, kas vienāda ar šī apļa diametru. .

    Pēc hordu OB un OC uzzīmēšanas savienojam punktu A ar punktiem D un E, kuros šīs hordas krustojas ar doto apli.

    Līnijas AD un AE ir riņķa O pieskares.

    Patiešām, no konstrukcijas var redzēt, ka caurules AOB un AOC ir vienādsānu (AO = AB = AC), kuru pamatnes OB un OS ir vienādas ar apļa O diametru.

    Tā kā OD un OE ir rādiusi, tad D ir OB viduspunkts un E ir OS viduspunkts, kas nozīmē, ka AD un AE ir mediānas, kas novilktas uz vienādsānu celiņu pamatiem, un tāpēc ir perpendikulāras šīm bāzēm. Ja taisnes DA un EA ir perpendikulāras rādiusiem OD un OE, tad tās ir pieskares.

    Sekas. Divas pieskares, kas novilktas no viena un tā paša punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar līniju, kas savieno šo punktu ar centru.

    Tātad AD=AE un ÐOAD = ÐOAE (att.), jo taisnstūrveida caurules AOD un AOE, kurām ir kopīga hipotenūza AO un vienādas kājas OD un OE (kā rādiusi), ir vienādas.

    Ņemiet vērā, ka šeit vārds "tangence" nozīmē faktisko "pieskares segmentu" no dotā punkta līdz pieskares punktam.

    Uzdevums. Uzzīmējiet pieskares dotam riņķim O paralēli noteiktai taisnei AB (att.).

    Perpendikulu OC nolaižam uz AB no centra O un novelkam EF || AB.

    Vēlamā tangensa būs EF.


    Patiešām, kopš OS ^ AB un EF || AB, tad EF ^ OD, un līnija, kas ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz riņķa līnijas, ir tangenss.

    Uzdevums. Uzzīmējiet kopīgu pieskari diviem apļiem O un O 1 (Zīm.).

    Analīze. Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta.

    Ļaujiet AB ir kopējā pieskare, A un B ir pieskares punkti.

    Acīmredzot, ja mēs atrodam vienu no šiem punktiem, piemēram, A, tad mēs varam viegli atrast arī otru.

    Nozīmēsim rādiusus OA un O 1 B. Šie rādiusi, būdami perpendikulāri kopējai pieskarei, ir paralēli viens otram.

    Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA, tad ceļš uz OCO 1 virsotnē C būs taisnstūrveida.

    Rezultātā, ja no O kā centru aprakstam apli ar rādiusu OS, tad tas pieskarsies taisnei O 1 C punktā C.

    Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA - SA = OA - O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar starpību starp doto apļu rādiusiem.

    Būvniecība. No centra O mēs aprakstam apli, kura rādiuss ir vienāds ar starpību starp šiem rādiusiem.

    No O 1 šim aplim novelkam tangensu O 1 C (tā, kā norādīts iepriekšējā uzdevumā).

    Caur pieskares punktu C novelkam rādiusu OS un turpinām, līdz tas sastopas ar doto riņķi ​​punktā A. Visbeidzot no A novelkam AB paralēli CO 1.

    Tieši tādā pašā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu kopīgu pieskari A 1 B 1 (Zīm.). Tiek izsauktas līnijas AB un A 1 B 1 ārējā kopējās pieskares.

    Jūs varat darīt vēl divus iekšzemes pieskares šādi:

    Analīze. Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta (att.). Lai AB ir vajadzīgā tangense.

    Pieskares punktos A un B uzzīmējiet rādiusus OA un O 1 B. Tā kā šie rādiusi abi ir perpendikulāri kopējai pieskarei, tie ir paralēli viens otram.

    Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA un turpiniet OA līdz punktam C, tad OS būs perpendikulāra O 1 C.

    Rezultātā aplis, kas aprakstīts ar rādiusu OS no punkta O, kā centrs, pieskaras taisnei O 1 C punktā C.

    Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA+AC = OA+O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar doto apļu rādiusu summu.

    Būvniecība. No O kā centra mēs aprakstām apli, kura rādiuss ir vienāds ar šo rādiusu summu.

    No O 1 šim riņķim novelkam pieskares O 1 C.

    Mēs savienojam pieskares punktu C ar O.

    Visbeidzot, caur punktu A, kurā OC krustojas ar doto apli, novelkam AB = O 1 C.

    Līdzīgā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu iekšējo tangenti A 1 B 1 .

    Pieskares vispārīgā definīcija

    Pieskares AT un kādu sekantu AM novelk uz apli ar centru (att.) caur punktu A.

    Pagriezīsim šo sekantu ap punktu A tā, lai otrs krustojuma punkts B virzītos arvien tuvāk un tuvāk A.

    Tad perpendikulārais OD, kas nomests no centra uz sekantu, arvien vairāk tuvosies rādiusam OA, un leņķis AOD var kļūt mazāks par jebkuru mazu leņķi.

    Leņķis MAT, ko veido sekants un tangenss, ir vienāds ar leņķi AOD (to malu perpendikulitātes dēļ).

    Tāpēc, punktam B tuvojoties A neierobežoti ilgi, arī leņķis MAT var kļūt patvaļīgi mazs.

    Tas ir izteikts citos vārdos šādi:

    pieskares ir robežpozīcija, uz kuru tiecas caur kontaktpunktu novilktais sekants, kad otrais krustošanās punkts neierobežoti tuvojas saskares punktam.

    Šī īpašība tiek uzskatīta par pieskares definīciju, ja runa ir par jebkāda veida līkni.

    Tātad, līknes AB pieskare (att.) ir robežstāvoklis MT, uz kuru tiecas sekants MN, kad krustojuma punkts P tuvojas M bezgalīgi.

    Ņemiet vērā, ka šādā veidā definētajai pieskarei var būt vairāk nekā viens kopīgs punkts ar līkni (kā redzams attēlā).

    \[(\Large(\text(Centrālais un ierakstītie leņķi)))\]

    Definīcijas

    Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā.

    Ierakstītais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa.

    Apļa loka pakāpes mērs ir uz tā balstītā centrālā leņķa pakāpes mērs.

    Teorēma

    Ierakstītā leņķa mērs ir puse no loka, ko tas pārtver.

    Pierādījums

    Pierādīšanu veiksim divos posmos: pirmkārt, pierādīsim apgalvojuma derīgumu gadījumam, kad viena no ierakstītā leņķa malām satur diametru. Lai punkts \(B\) ir ierakstītā leņķa \(ABC\) virsotne un \(BC\) ir apļa diametrs:

    Trijstūris \(AOB\) ir vienādsānu, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ir ārējais, tad \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), kur \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

    Tagad apsveriet patvaļīgu ierakstītu leņķi \(ABC\) . Uzzīmējiet apļa diametru \(BD\) no ierakstītā leņķa virsotnes. Ir iespējami divi gadījumi:

    1) diametrs sagriež leņķi divos leņķos \(\angle ABD, \angle CBD\) (katram no kuriem teorēma ir patiesa, kā pierādīts iepriekš, tāpēc tā ir patiesa arī sākotnējam leņķim, kas ir šo summu summa divi un tāpēc ir vienāds ar pusi no loku summas, uz kurām tie balstās, tas ir, ir vienāda ar pusi no loka, uz kuru tie balstās). Rīsi. 1.

    2) diametrs nesagrieza leņķi divos leņķos, tad mums ir vēl divi jauni ierakstīti leņķi \(\angle ABD, \angle CBD\) , kuru pusē ir diametrs, tāpēc tiem ir patiesa teorēma, tad tas ir taisnība arī sākotnējam leņķim (kas ir vienāds ar šo divu leņķu starpību, kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar pusi starpības lokiem, uz kuriem tie balstās, tas ir, tas ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas atrodas atpūšas). Rīsi. 2.


    Sekas

    1. Ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viens un tas pats loks, ir vienādi.

    2. Ierakstīts leņķis, kas balstīts uz pusloku, ir taisns leņķis.

    3. Ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa, pamatojoties uz to pašu loku.

    \[(\Large(\text(Tangente aplim)))\]

    Definīcijas

    Ir trīs veidi relatīvā pozīcija taisna līnija un aplis:

    1) taisne \(a\) krusto apli divos punktos. Šādu līniju sauc par sekantu. Šajā gadījumā attālums \(d\) no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu \(R\) (3. att.).

    2) taisne \(b\) krusto apli vienā punktā. Šāda taisne tiek saukta par tangensu, un to kopīgo punktu \(B\) sauc par pieskares punktu. Šajā gadījumā \(d=R\) (4. att.).


    Teorēma

    1. Apļa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.

    2. Ja taisne iet caur riņķa rādiusa galu un ir perpendikulāra šim rādiusam, tad tā ir riņķa līnijas pieskare.

    Sekas

    Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi.

    Pierādījums

    Uzzīmējiet divas pieskares \(KA\) un \(KB\) aplim no punkta \(K\):


    Tātad \(OA\perp KA, OB\perp KB\) kā rādiusi. Taisnstūra trīsstūri \(\trijstūris KAO\) un \(\trijstūris KBO\) ir vienādi kājā un hipotenūzā, tātad \(KA=KB\) .

    Sekas

    Apļa centrs \(O\) atrodas uz leņķa \(AKB\) bisektrise, ko veido divas pieskares, kas novilktas no viena punkta \(K\) .

    \[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar leņķiem)))\]

    Teorēma par leņķi starp sekantiem

    Leņķis starp diviem sekantiem, kas novilkti no viena un tā paša punkta, ir vienāds ar to izgriezto lielāko un mazāko loku pakāpju mēru pusi.

    Pierādījums

    Lai \(M\) ir punkts, no kura tiek novilkti divi sekanti, kā parādīts attēlā:


    Ļaujiet mums to parādīt \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

    \(\angle DAB\) ir trijstūra \(MAD\) ārējais stūris, tad \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), kur \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), bet leņķi \(\angle DAB\) un \(\angle MDA\) ir ierakstīti, tad \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), kas bija jāpierāda.

    Leņķa teorēma starp krustojošām akordiem

    Leņķis starp divām krustojošām hordām ir vienāds ar pusi no to izgriezto loku grādu mēru summas: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

    Pierādījums

    \(\angle BMA = \angle CMD\) kā vertikāla.


    No trīsstūra \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

    Bet \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), no kā mēs to secinām \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smaids\over(CD)).\]

    Teorēma par leņķi starp akordu un pieskari

    Leņķis starp pieskares punktu un hordu, kas iet caur pieskares punktu, ir vienāds ar pusi no loka pakāpes, ko atņem horda.

    Pierādījums

    Ļaujiet līnijai \(a\) pieskarties aplim punktā \(A\) , \(AB\) ir šī apļa horda, \(O\) ir tā centrs. Ļaujiet līnijai, kurā ir \(OB\), krustojas ar \(a\) punktā \(M\) . Pierādīsim to \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).


    Apzīmējiet \(\angle OAB = \alpha\) . Tā kā \(OA\) un \(OB\) ir rādiusi, tad \(OA = OB\) un \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Tādējādi \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

    Tā kā \(OA\) ir pieskares punkta rādiuss, tad \(OA\perp a\) , t.i., \(\angle OAM = 90^\circ\) , tāpēc \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

    Teorēma par lokiem, kas savilkti ar vienādām akordām

    Vienlīdzīgi akordi pakļaujas vienādi loki, mazāki pusloki.

    Un otrādi: vienādus lokus sarauj vienādi akordi.

    Pierādījums

    1) Ļaujiet \(AB=CD\) . Pierādīsim, ka loka mazākie pusloki .


    No trim pusēm tāpēc \(\angle AOB=\angle COD\) . Bet kopš \(\angle AOB, \angle COD\) - centrālie leņķi, kuru pamatā ir loki \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) attiecīgi, tad \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

    2) Ja \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Tas \(\trijstūris AOB=\trijstūris COD\) gar divām malām \(AO=BO=CO=DO\) un leņķi starp tām \(\angle AOB=\angle COD\) . Tāpēc \(AB=CD\) .

    Teorēma

    Ja rādiuss sadala hordu uz pusēm, tad tas ir tai perpendikulārs.

    Ir arī otrādi: ja rādiuss ir perpendikulārs hordai, tad krustošanās punkts to sadala uz pusēm.


    Pierādījums

    1) Ļaujiet \(AN=NB\) . Pierādīsim, ka \(OQ\perp AB\) .

    Apsveriet \(\trijstūri AOB\) : tas ir vienādsānu, jo \(OA=OB\) – apļa rādiusi. Jo \(ON\) ir mediāna, kas novilkta uz pamatni, tad tā ir arī augstums, tātad \(ON\perp AB\) .

    2) Pieņemsim \(OQ\perp AB\) . Pierādīsim, ka \(AN=NB\) .

    Tāpat \(\trijstūris AOB\) ir vienādsānu, \(ON\) ir augstums, tāpēc \(ON\) ir mediāna. Tāpēc \(AN=NB\) .

    \[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar segmentu garumiem)))\]

    Teorēma par akordu segmentu reizinājumu

    Ja krustojas divi riņķa akordi, tad vienas hordas segmentu reizinājums ir vienāds ar otra horda posmu reizinājumu.

    Pierādījums

    Ļaujiet akordiem \(AB\) un \(CD\) krustoties punktā \(E\) .

    Apsveriet trīsstūrus \(ADE\) un \(CBE\) . Šajos trīsstūros leņķi \(1\) un \(2\) ir vienādi, jo tie ir ierakstīti un balstās uz vienu un to pašu loku \(BD\) , un leņķi \(3\) un \(4\) ir vienādi ar vertikālu. Trijstūri \(ADE\) un \(CBE\) ir līdzīgi (saskaņā ar pirmo trīsstūra līdzības kritēriju).

    Tad \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), no kurienes \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

    Pieskares un sekantes teorēma

    Pieskares segmenta kvadrāts ir vienāds ar sekanta un tā ārējās daļas reizinājumu.

    Pierādījums

    Ļaujiet pieskarei iet caur punktu \(M\) un pieskarieties aplim punktā \(A\) . Ļaujiet sekantam iziet caur punktu \(M\) un krustot apli punktos \(B\) un \(C\) tā, lai \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .


    Apsveriet trīsstūrus \(MBA\) un \(MCA\) : \(\angle M\) ir vispārīgs, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Saskaņā ar leņķa teorēmu starp tangensu un sekantu, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Tādējādi trīsstūri \(MBA\) un \(MCA\) ir līdzīgi divos leņķos.

    No trīsstūru \(MBA\) un \(MCA\) līdzības mums ir: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), kas ir ekvivalents \(MB\cdot MC = MA^2\) .

    Sekas

    No punkta \(O\) un tā ārējās daļas novilktā sekanta reizinājums nav atkarīgs no no punkta \(O\) novilktā sekanta izvēles.

    Rakstā sniegts detalizēts definīciju skaidrojums, ģeometriskā sajūta atvasinājums ar grafiskiem simboliem. Pieskares līnijas vienādojums tiks apskatīts ar piemēriem, tiks atrasti 2. kārtas līkņu pieskares vienādojumi.

    1. definīcija

    Taisnās līnijas y \u003d k x + b slīpuma leņķi sauc par leņķi α, ko mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei y \u003d k x + b pozitīvajā virzienā.

    Attēlā virzienu vērsis norāda ar zaļu bultiņu un zaļu loku, bet slīpuma leņķi ar sarkanu loku. Zilā līnija attiecas uz taisnu līniju.

    2. definīcija

    Taisnās līnijas slīpumu y \u003d k x + b sauc par skaitlisko koeficientu k.

    Slīpums ir vienāds ar taisnes slīpumu, citiem vārdiem sakot, k = t g α .

    • Taisnes slīpums ir 0 tikai tad, ja o x ir paralēls un slīpums ir vienāds ar nulli, jo nulles pieskare ir 0. Tātad vienādojuma forma būs y = b.
    • Ja taisnes y = k x + b slīpuma leņķis ir ass, tad nosacījumi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , un grafikā ir pieaugums.
    • Ja α \u003d π 2, tad līnijas atrašanās vieta ir perpendikulāra x. Vienādību nosaka vienādība x = c, un vērtība c ir reāls skaitlis.
    • Ja taisnes slīpuma leņķis y = k x + b ir neass, tad tas atbilst nosacījumiem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
    3. definīcija

    Sekants ir taisne, kas iet caur 2 funkcijas f (x) punktiem. Citiem vārdiem sakot, sekants ir taisna līnija, kas iet caur jebkuriem diviem diagrammas punktiem. dotā funkcija.

    Attēlā redzams, ka A B ir nogrieznis, un f (x) ir melna līkne, α ir sarkans loks, kas norāda nogriezņa slīpuma leņķi.

    Kad taisnes slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa pieskari, ir skaidrs, ka taisnleņķa trijstūra A B C pieskare ir atrodama attiecībā pret blakus esošo kāju.

    4. definīcija

    Mēs iegūstam formulu formas sekanta atrašanai:

    k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kur punktu A un B abscises ir vērtības x A , x B un f (x A) , f (x B) ir vērtību funkcijas šajos punktos.

    Acīmredzot sekanta slīpums tiek noteikts, izmantojot vienādību k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A vai k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, un vienādojums jāraksta šādi: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) vai
    y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

    Sekants vizuāli sadala grafiku 3 daļās: pa kreisi no punkta A, no A līdz B, pa labi no B. Zemāk redzamajā attēlā redzams, ka ir trīs sekanti, kas tiek uzskatīti par vienādiem, tas ir, tie ir iestatīt, izmantojot līdzīgu vienādojumu.

    Pēc definīcijas ir skaidrs, ka līnija un tās sekants šajā gadījumā sakrīt.

    Sekants var krustot noteiktas funkcijas grafiku vairākas reizes. Ja sekantam ir vienādojums ar formu y \u003d 0, tad krustošanās punktu skaits ar sinusoīdu ir bezgalīgs.

    5. definīcija

    Funkcijas f (x) grafika pieskare punktā x 0 ; f (x 0) sauc par taisni, kas iet caur doto punktu x 0; f (x 0) , ar segmentu, kurā ir daudz x vērtību, kas ir tuvu x 0.

    1. piemērs

    Apskatīsim tuvāk tālāk sniegto piemēru. Tad redzams, ka ar funkciju y = x + 1 dotā taisne tiek uzskatīta par pieskares y = 2 x punktā ar koordinātām (1 ; 2) . Skaidrības labad ir jāņem vērā grafiki ar vērtībām, kas ir tuvu (1; 2). Funkcija y = 2 x ir atzīmēta ar melnu krāsu, zilā līnija ir tangenss, sarkanais punkts ir krustošanās punkts.

    Acīmredzot y \u003d 2 x saplūst ar līniju y \u003d x + 1.

    Lai noteiktu tangensu, jāņem vērā pieskares A B uzvedība, kad punkts B bezgalīgi tuvojas punktam A. Skaidrības labad mēs piedāvājam attēlu.

    Sekants A B, kas norādīts ar zilo līniju, tiecas uz pašas pieskares stāvokli, un sekanta α slīpuma leņķis sāks tuvoties pašas pieskares slīpuma leņķim α x.

    6. definīcija

    Funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskare punktā A ir sekanta A B ierobežojošais stāvoklis punktā B, kas tiecas uz A, tas ir, B → A.

    Tagad mēs pievēršamies funkcijas atvasinājuma ģeometriskās nozīmes apsvēršanai punktā.

    Pāriesim pie funkcijas f (x) sekanta A B izskatīšanas, kur A un B ar koordinātām x 0, f (x 0) un x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) un ∆ x tiek apzīmēts kā argumenta pieaugums. Tagad funkcijai būs forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Skaidrības labad ņemsim attēlu kā piemēru.

    Aplūkosim iegūto taisnleņķa trīsstūri A B C. Izmantojam risinājuma pieskares definīciju, tas ir, iegūstam attiecību ∆ y ∆ x = t g α . No pieskares definīcijas izriet, ka lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Saskaņā ar atvasinājuma noteikumu punktā, mums ir tāds, ka atvasinājumu f (x) punktā x 0 sauc par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kur ∆ x → 0, tad apzīmēts kā f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

    No tā izriet, ka f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x tiek apzīmēts kā pieskares slīpums.

    Tas ir, mēs iegūstam, ka f ' (x) var eksistēt punktā x 0 un, kā arī pieskares dotajam funkcijas grafikam saskares punktā, kas vienāds ar x 0 , kur f 0 (x 0) , kur pieskares slīpuma vērtība punktā ir vienāda ar atvasinājumu punktā x 0 . Tad mēs iegūstam, ka k x = f "(x 0) .

    Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā ir tāda, ka ir dots jēdziens par grafa pieskares esamību tajā pašā punktā.

    Lai plaknē ierakstītu jebkuras taisnes vienādojumu, ir nepieciešams slīpums ar punktu, caur kuru tā iet. Tā apzīmējums tiek pieņemts kā x 0 krustojumā.

    Funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskares vienādojums punktā x 0, f 0 (x 0) ir formā y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) 0) .

    Tas nozīmē, ka atvasinājuma f "(x 0) galīgā vērtība var noteikt pieskares pozīciju, tas ir, vertikāli pie nosacījuma lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ un lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ vai vispār nav ar nosacījumu lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

    Pieskares atrašanās vieta ir atkarīga no tās slīpuma vērtības k x \u003d f "(x 0). Kad tā ir paralēla x asij, mēs iegūstam, ka k k \u003d 0, kad tā ir paralēla aptuveni y - k x \u003d ∞, un pieskares vienādojuma forma x \u003d x 0 palielinās ar k x > 0, samazinās kā k x< 0 .

    2. piemērs

    Sastādiet funkcijas y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafika pieskares vienādojumu punktā ar koordinātām (1; 3) ar leņķa definīciju slīpums.

    Risinājums

    Pieņemot, ka funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem. Iegūstam, ka punkts ar nosacījuma (1 ; 3) norādītajām koordinātām ir saskares punkts, tad x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

    Ir jāatrod atvasinājums punktā ar vērtību - 1 . Mēs to saņemam

    y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

    F ’ (x) vērtība saskares punktā ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar slīpuma pieskari.

    Tad k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

    No tā izriet, ka α x = a r c t g 3 3 = π 6

    Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

    y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

    Skaidrības labad mēs sniedzam piemēru grafiskā ilustrācijā.

    Sākotnējās funkcijas sižetam izmantota melnā krāsa, Zilā krāsa- pieskares attēls, sarkanais punkts - saskares punkts. Attēlā labajā pusē ir parādīts palielināts skats.

    3. piemērs

    Noskaidrojiet dotās funkcijas grafika pieskares esamību
    y = 3 x - 1 5 + 1 punktā ar koordinātām (1 ; 1) . Uzrakstiet vienādojumu un nosakiet slīpuma leņķi.

    Risinājums

    Pieņemot, ka dotās funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa.

    Pāriesim pie atvasinājuma atrašanas

    y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

    Ja x 0 = 1, tad f ' (x) nav definēts, bet robežas raksta kā lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ un lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , kas nozīmē vertikālās pieskares esamību pie punkts (1 ; 1) .

    Atbilde: vienādojums būs x \u003d 1, kur slīpuma leņķis būs vienāds ar π 2.

    Skaidrības labad izveidosim to grafiku.

    4. piemērs

    Atrodiet funkcijas grafika y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 punktus, kur

    1. Pieskares neeksistē;
    2. Pieskare ir paralēla x;
    3. Pieskare ir paralēla taisnei y = 8 5 x + 4 .

    Risinājums

    Ir jāpievērš uzmanība definīcijas jomai. Pieņemot, ka funkcija ir definēta visu reālo skaitļu kopā. Izvērsiet moduli un atrisiniet sistēmu ar intervāliem x ∈ - ∞ ; 2 un [-2; +∞) . Mēs to saņemam

    y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

    Funkcija ir jādiferencē. Mums tas ir

    y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

    Ja x = - 2, tad atvasinājums neeksistē, jo vienpusējās robežas tajā brīdī nav vienādas:

    lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

    Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x \u003d - 2, kur mēs to iegūstam

    1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, tas ir, pieskare pie punkts (- 2; - 2) nepastāvēs.
    2. Pieskare ir paralēla x, ja slīpums ir nulle. Tad k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Tas ir, ir jāatrod šāda x vērtības, kad funkcijas atvasinājums to pārvērš par nulli. Tas ir, vērtības f ' (x) un būs pieskāriena punkti, kur pieskare ir paralēla ap x .

    Kad x ∈ - ∞ ; - 2 , tad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, un x ∈ (- 2 ; + ∞) mēs iegūstam 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

    1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

    Mēs aprēķinām atbilstošās funkcijas vērtības

    y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

    Līdz ar to - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 tiek uzskatīti par vēlamajiem funkcijas grafika punktiem.

    Apsveriet risinājuma grafisko attēlojumu.

    Melnā līnija ir funkcijas grafiks, sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

    1. Ja līnijas ir paralēlas, slīpumi ir vienādi. Tad jāmeklē funkcijas grafika punkti, kur slīpums būs vienāds ar vērtību 8 5 . Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums ar formu y "(x) = 8 5. Tad, ja x ∈ - ∞; - 2, mēs iegūstam, ka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, un, ja x ∈ ( - 2 ; + ∞) , tad 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

    Pirmajam vienādojumam nav sakņu, jo diskriminants ir mazāks par nulli. Pierakstīsim to

    1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

    Tad citam vienādojumam ir divas reālas saknes

    1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

    Pāriesim pie funkcijas vērtību atrašanas. Mēs to saņemam

    y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

    Punkti ar vērtībām - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 ir punkti, kur pieskares ir paralēlas taisnei y = 8 5 x + 4 .

    Atbilde: melnā līnija - funkcijas grafiks, sarkanā līnija - grafiks y \u003d 8 5 x + 4, zilā līnija - pieskares punktos - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

    Ir iespējama bezgalīgi daudz tangenšu esamība dotajām funkcijām.

    5. piemērs

    Uzrakstiet visu pieejamo funkcijas y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 pieskares vienādojumus , kas ir perpendikulāri taisnei y = - 2 x + 1 2 .

    Risinājums

    Lai sastādītu pieskares vienādojumu, ir jāatrod saskares punkta koeficients un koordinātas, pamatojoties uz līniju perpendikularitātes nosacījumu. Definīcija izklausās šādi: taisnēm perpendikulāro slīpumu reizinājums ir vienāds ar -1, tas ir, tas ir uzrakstīts kā k x · k ⊥ = - 1. No nosacījuma iegūstam, ka slīpums ir perpendikulārs taisnei un ir vienāds ar k ⊥ = - 2, tad k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

    Tagad mums jāatrod pieskāriena punktu koordinātas. Jums jāatrod x, pēc kura tā vērtība noteiktai funkcijai. Ņemiet vērā, ka no atvasinājuma ģeometriskās nozīmes punktā
    x 0 mēs iegūstam, ka k x \u003d y "(x 0) . No šīs vienādības mēs atrodam pieskāriena punktu x vērtības.

    Mēs to saņemam

    y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin - 3 π 2 4 = - 1 9

    Šis trigonometriskais vienādojums tiks izmantots, lai aprēķinātu pieskāriena punktu ordinātas.

    3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

    3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

    x 0 = 2 3 π 4 - ar c sin 1 9 + 2 πk vai x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

    Z ir veselu skaitļu kopa.

    Atrasti x saskarsmes punkti. Tagad jums jādodas uz y vērtību meklēšanu:

    y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

    y 0 = 3 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

    y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

    y 0 = 4 5 - 1 3 vai y 0 = - 4 5 + 1 3

    No šejienes mēs iegūstam, ka 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ir pieskāriena punkti.

    Atbilde: nepieciešamie vienādojumi tiks uzrakstīti kā

    y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + ar c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

    Lai iegūtu vizuālu attēlojumu, apsveriet funkciju un pieskari koordinātu taisnē.

    Attēlā redzams, ka funkcijas atrašanās vieta ir uz intervāla [-10; 10 ] , kur melnā līnija ir funkcijas grafiks, zilās līnijas ir pieskares, kas ir perpendikulāras dotajai formas y = - 2 x + 1 2 taisnei. Sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

    2. kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi nav vienas vērtības funkcijas. Pieskares vienādojumi tiem tiek sastādīti pēc labi zināmām shēmām.

    Pieskares aplim

    Uzstādīt apli, kura centrs ir punktā x c e n t e r ; y c e n t e r un rādiuss R, tiek izmantota formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

    Šo vienlīdzību var uzrakstīt kā divu funkciju savienību:

    y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

    Pirmā funkcija atrodas augšpusē, bet otrā - apakšā, kā parādīts attēlā.

    Sastādīt apļa vienādojumu punktā x 0 ; y 0 , kas atrodas augšējā vai apakšējā puslokā, jums jāatrod funkcijas grafika vienādojums formā y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r vai y \u003d - R 2 - x - x t r y c e n t e r norādītajā punktā.

    Kad punktos x c e n t e r ; y c e n t e r + R un x c e n t e r ; y c e n t e r - R pieskares var iegūt ar vienādojumiem y = y c e n t e r + R un y = y c e n t e r - R , un punktos x c e n t e r + R ; y c e n t e r un
    x c e n t e r - R ; y c e n t e r būs paralēla ap y, tad iegūsim vienādojumus formā x = x c e n t e r + R un x = x c e n t e r - R .

    Pieskares elipsei

    Kad elipse ir centrēta x c e n t e r ; y c e n t e r ar pusasīm a un b , tad to var dot, izmantojot vienādojumu x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

    Elipsi un apli var apzīmēt, apvienojot divas funkcijas, proti, augšējo un apakšējo puselipsi. Tad mēs to saņemam

    y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

    Ja pieskares atrodas elipses virsotnēs, tad tās ir paralēlas ap x vai ap y. Skaidrības labad apsveriet tālāk redzamo attēlu.

    6. piemērs

    Uzrakstiet elipses pieskares vienādojumu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktos ar x vērtībām, kas vienādas ar x = 2 .

    Risinājums

    Jāatrod pieskāriena punkti, kas atbilst vērtībai x = 2. Mēs aizvietojam esošo elipses vienādojumu un iegūstam to

    x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

    Tad 2; 5 3 2 + 5 un 2 ; - 5 3 2 + 5 ir pieskares punkti, kas pieder augšējai un apakšējai puselipsei.

    Pāriesim uz elipses vienādojuma atrašanu un atrisināšanu attiecībā pret y. Mēs to saņemam

    x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 g - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 g - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 g = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

    Ir skaidrs, ka augšējā puselipse tiek norādīta, izmantojot funkciju y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , bet apakšējā y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

    Mēs izmantojam standarta algoritmu, lai formulētu funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā. Mēs rakstām, ka vienādojums pirmajai tangensei punktā 2 ; 5 3 2 + 5 izskatīsies

    y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

    Mēs iegūstam, ka otrās pieskares vienādojums ar vērtību punktā
    2; - 5 3 2 + 5 kļūst

    y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

    Grafiski pieskares apzīmē šādi:

    Pieskares hiperbolai

    Kad hiperbolas centrs atrodas punktā x c e n t e r ; y c e n t e r un virsotnes x c e n t e r + α ; y c e n t e r un x c e n t e r - α ; y c e n t e r , nevienādība x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ir dota , ja ar virsotnēm x c e n t e r ; y c e n t e r + b un x c e n t e r ; y c e n t e r - b pēc tam tiek dota ar nevienādību x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

    Hiperbolu var attēlot kā divas apvienotas formas funkcijas

    y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r vai y = b a (x - x c e r 2 n t ) 2 + a 2 + y c e n t e r

    Pirmajā gadījumā pieskares ir paralēlas y, bet otrajā tās ir paralēlas x.

    No tā izriet, ka, lai atrastu hiperbolas pieskares vienādojumu, ir jānoskaidro, kurai funkcijai pieder pieskares punkts. Lai to noteiktu, vienādojumos ir jāveic aizstāšana un jāpārbauda to identitāte.

    7. piemērs

    Uzrakstiet 7. punktā hiperbolas pieskares vienādojumu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1; - 3 3 - 3 .

    Risinājums

    Ir nepieciešams pārveidot hiperbolas atrašanas risinājuma ierakstu, izmantojot 2 funkcijas. Mēs to saņemam

    x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2-4 vai y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

    Ir nepieciešams noteikt, kura funkcija pieder dots punkts ar koordinātām 7 ; - 3 3 - 3 .

    Acīmredzot, lai pārbaudītu pirmo funkciju, ir nepieciešams y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tad punkts nepieder grafikam, jo vienlīdzība nav apmierināta.

    Otrajai funkcijai ir, ka y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , kas nozīmē, ka punkts pieder dotajam grafikam. No šejienes jums vajadzētu atrast slīpuma koeficientu.

    Mēs to saņemam

    y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

    Atbilde: pieskares vienādojumu var attēlot kā

    y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

    Tas tiek vizualizēts šādi:

    Pieskares parabolai

    Lai sastādītu parabolas y \u003d a x 2 + b x + c pieskares vienādojumu punktā x 0, y (x 0), jāizmanto standarta algoritms, tad vienādojums būs y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Šāda pieskare virsotnē ir paralēla x.

    Parabola x = a y 2 + b y + c jādefinē kā divu funkciju savienība. Tāpēc mums ir jāatrisina y vienādojums. Mēs to saņemam

    x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

    Grafikosim to šādi:

    Lai noskaidrotu, vai punkts x 0 , y (x 0) pieder funkcijai, uzmanīgi izpildiet standarta algoritmu. Šāda tangensa būs paralēla y attiecībā pret parabolu.

    8. piemērs

    Uzrakstiet diagrammas pieskares vienādojumu x - 2 y 2 - 5 y + 3, ja mums ir pieskares slīpums 150 °.

    Risinājums

    Mēs sākam risinājumu, attēlojot parabolu kā divas funkcijas. Mēs to saņemam

    2 g 2–5 g + 3–x = 0 D = (-5) 2–4 (-2) (3–x) = 49–8 x y = 5 + 49–8 x–4 y = 5–49 8x-4

    Slīpuma vērtība ir vienāda ar atvasinājuma vērtību šīs funkcijas punktā x 0 un ir vienāda ar slīpuma tangensu.

    Mēs iegūstam:

    k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

    No šejienes mēs nosakām x vērtību pieskāriena punktiem.

    Pirmā funkcija tiks uzrakstīta kā

    y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

    Acīmredzot īstu sakņu nav, jo mēs ieguvām negatīvu vērtību. Mēs secinām, ka šādai funkcijai nav pieskares ar 150 ° leņķi.

    Otrā funkcija tiks uzrakstīta kā

    y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

    Mums ir, ka pieskāriena punkti - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

    Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

    y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

    Grafikosim to šādi:

    Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter