Rakstā sniegts detalizēts definīciju skaidrojums, ģeometriskā nozīme atvasinājums ar grafiskiem simboliem. Tiks aplūkots pieskares taisnes vienādojums ar piemēriem, atrasti 2. kārtas līkņu pieskares vienādojumi.

1. definīcija

Taisnes y = k x + b slīpuma leņķi sauc par leņķi α, ko mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei y = k x + b pozitīvajā virzienā.

Attēlā virziens o x ir norādīts ar zaļu bultiņu un zaļas loka formā, bet slīpuma leņķis ar sarkanu loku. Zilā līnija attiecas uz taisnu līniju.

2. definīcija

Taisnes y = k x + b slīpumu sauc par skaitlisko koeficientu k.

Slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma tangensu, citiem vārdiem sakot, k = t g α.

• Taisnes slīpuma leņķis ir 0 tikai tad, ja tā ir paralēla x un slīpums ir vienāds ar nulli, jo nulles pieskare ir 0. Tādējādi vienādojuma forma būs y = b.
• Ja taisnes y = k x + b slīpums ir akūts, tad nosacījumi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, un grafikā ir pieaugums.
• Ja α = π 2, tad taisnes atrašanās vieta ir perpendikulāra x. Vienādību nosaka, izmantojot vienādību x = c, kur c ir reāls skaitlis.
• Ja taisnes slīpuma leņķis y = k x + b ir neass, tad tas atbilst nosacījumiem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

3. definīcija

Sekantu sauc par taisni, kas iet caur 2 funkcijas f (x) punktiem. Citiem vārdiem sakot, sekants ir taisna līnija, kas tiek novilkta caur jebkuriem diviem diagrammas punktiem. dotā funkcija.

Attēlā redzams, ka A B ir nogrieznis, un f (x) ir melna līkne, α ir sarkans loks, kas nozīmē nogriezņa slīpuma leņķi.

Kad taisnes slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa pieskari, redzams, ka taisnleņķa trijstūra ABC tangensu var atrast attiecībā pret pretējo kāju blakus esošajam.

4. definīcija

Mēs iegūstam formulu formas sekanta atrašanai:

k = iedegums α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A, kur punktu A un B abscises ir vērtības x A, x B un f (x A), f (x) B) ir vērtību funkcijas šajos punktos.

Acīmredzot sekanta slīpumu nosaka, izmantojot vienādību k = f (x B) - f (x A) x B - x A vai k = f (x A) - f (x B) x A - x B, un vienādojums jāraksta šādi: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) vai
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekants sadala grafiku vizuāli 3 daļās: pa kreisi no punkta A, no A līdz B, pa labi no B. Zemāk redzamajā attēlā redzams, ka ir trīs sekanti, kas tiek uzskatīti par sakritošiem, tas ir, tie ir iestatīti izmantojot līdzīgu vienādojumu.

Pēc definīcijas ir skaidrs, ka līnija un tās sekants šajā gadījumā sakrīt.

Sekants var krustot noteiktas funkcijas grafiku vairākas reizes. Ja sekantam ir vienādojums ar formu y = 0, tad krustošanās punktu skaits ar sinusoīdu ir bezgalīgs.

5. definīcija

Funkcijas f (x) grafika pieskare punktā x 0; f (x 0) sauc par taisni, kas iet cauri iestatītais punkts x 0; f (x 0), ar segmentu, kura x vērtību kopa ir tuvu x 0.

1. piemērs

Apskatīsim tuvāk tālāk sniegto piemēru. Tad var redzēt, ka ar funkciju y = x + 1 definētā taisne tiek uzskatīta par pieskares y = 2 x punktā ar koordinātām (1; 2). Skaidrības labad ir jāņem vērā grafiki ar vērtībām, kas ir tuvu (1; 2). Funkcija y = 2 x ir parādīta melnā krāsā, zilā līnija ir pieskares līnija un sarkanais punkts ir krustošanās punkts.

Acīmredzot y = 2 x saplūst ar līniju y = x + 1.

Lai noteiktu tangensu, jāņem vērā pieskares AB uzvedība ar bezgalīgu punkta B tuvošanos punktam A. Skaidrības labad mēs piedāvājam attēlu.

Sekants AB, kas apzīmēts ar zilo līniju, tiecas uz pašas pieskares stāvokli, un sekanta slīpuma leņķis α sāks sliecēties uz pašas pieskares slīpuma leņķi α x.

6. definīcija

Funkcijas y = f (x) grafika pieskare punktā A ir ierobežojošā pozīcija sekants А В pie В tiecas uz А, tas ir, B → A.

Tagad mēs pievēršamies funkcijas atvasinājuma ģeometriskās nozīmes apsvēršanai punktā.

Pievērsīsimies funkcijas f (x) sekanta А В izskatīšanai, kur А un В ar koordinātām x 0, f (x 0) un x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), un ∆ x tiek apzīmēts kā argumenta pieaugums ... Tagad funkcija iegūst formu ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x). Skaidrības labad sniegsim attēla piemēru.

Aplūkosim iegūto taisnleņķa trīsstūri A B C. Izmantojam risinājuma pieskares definīciju, tas ir, iegūstam attiecību ∆ y ∆ x = t g α. No pieskares definīcijas izriet, ka lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Saskaņā ar atvasinājuma noteikumu punktā, mēs iegūstam, ka atvasinājumu f (x) punktā x 0 sauc par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kur ∆ x → 0, tad mēs apzīmējam kā f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

No tā izriet, ka f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x tiek apzīmēts kā pieskares slīpums.

Tas ir, mēs iegūstam, ka f '(x) var pastāvēt punktā x 0 un, tāpat kā funkcijas dotā grafika pieskare pieskares punktā, kas vienāds ar x 0, f 0 (x 0), kur vērtība pieskares slīpums punktā ir vienāds ar atvasinājumu punktā x 0. Tad mēs iegūstam, ka k x = f "(x 0).

Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā ir tāda, ka ir dots jēdziens par grafa pieskares esamību tajā pašā punktā.

Lai uzrakstītu jebkuras taisnas līnijas vienādojumu plaknē, ir jābūt slīpumam ar punktu, caur kuru tas iet. Tā apzīmējums tiek pieņemts kā x 0 krustojumā.

Funkcijas y = f (x) grafika pieskares vienādojums punktā x 0, f 0 (x 0) ir formā y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Tas nozīmē, ka atvasinājuma f galīgā vērtība "(x 0) var noteikt pieskares pozīciju, tas ir, vertikāli, ja lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ un lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ vai vispār nav nodrošināts lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Pieskares atrašanās vieta ir atkarīga no tās slīpuma vērtības kx = f "(x 0). Kad tā ir paralēla ox asij, mēs iegūstam, ka kk = 0, kad paralēli oy - kx = ∞, un vienādojuma forma pieskares x = x 0 palielinās pie kx> 0, samazinās pie kx< 0 .

2. piemērs

Sastādiet funkcijas y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafika pieskares vienādojumu punktā ar koordinātām (1; 3) ar leņķa noteikšanu. slīpums.

Risinājums

Saskaņā ar hipotēzi mums ir, ka funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem. Iegūstam, ka punkts ar nosacījuma (1; 3) dotajām koordinātām ir pieskares punkts, tad x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Ir jāatrod atvasinājums punktā ar vērtību - 1. Mēs to sapratām

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vērtība f '(x) pieskares punktā ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar slīpuma tangensu.

Tad k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

No tā izriet, ka α x = a r c t g 3 3 = π 6

Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Skaidrības labad mēs sniegsim piemēru grafiskā ilustrācijā.

Melnā krāsa tiek izmantota sākotnējās funkcijas grafikam, zila krāsa- pieskares attēls, sarkanais punkts - pieskares punkts. Attēlā labajā pusē ir parādīts palielināts skats.

3. piemērs

Noskaidrojiet dotās funkcijas grafika pieskares esamību
y = 3 x - 1 5 + 1 punktā ar koordinātām (1; 1). Izveidojiet vienādojumu un nosakiet slīpuma leņķi.

Risinājums

Saskaņā ar hipotēzi mums ir tāds, ka dotās funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa.

Pāriesim pie atvasinājuma atrašanas

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ja x 0 = 1, tad f '(x) nav definēts, bet robežas raksta kā lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ un lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞, kas nozīmē vertikālās pieskares esamību pie punkts (1; 1).

Atbilde: vienādojums būs x = 1, kur slīpuma leņķis būs vienāds ar π 2.

Skaidrības labad mēs to attēlosim grafiski.

4. piemērs

Atrodiet funkcijas y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafikā punktus, kur

1. Pieskares neeksistē;
2. Pieskares līnija ir paralēla x;
3. Pieskare ir paralēla taisnei y = 8 5 x + 4.

Risinājums

Ir jāpievērš uzmanība definīcijas jomai. Saskaņā ar hipotēzi mums ir, ka funkcija ir definēta visu reālo skaitļu kopā. Izvērst moduli un atrisināt sistēmu ar intervāliem x ∈ - ∞; 2 un [- 2; + ∞). Mēs to sapratām

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Ir nepieciešams diferencēt funkciju. Mums tas ir

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Ja x = - 2, tad atvasinājums neeksistē, jo vienpusējās robežas šajā punktā nav vienādas:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x = - 2, kur mēs to iegūstam

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tas ir, pieskare punktā ( - 2; - 2) nepastāvēs.
2. Pieskare ir paralēla x, kad slīpums ir nulle. Tad kx = tan α x = f "(x 0). Tas ir, ir jāatrod šāda x vērtības, kad funkcijas atvasinājums to pārvērš uz nulli. Tas ir, f vērtības. (x) būs pieskares punkti, kur pieskare ir paralēla x ...

Kad x ∈ - ∞; - 2, tad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, un x ∈ (- 2; + ∞) mēs iegūstam 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Aprēķiniet atbilstošās funkcijas vērtības

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( - 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Līdz ar to - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 tiek uzskatīti par nepieciešamajiem funkcijas grafika punktiem.

Apsveriet risinājuma grafisko attēlojumu.

Melnā līnija ir funkcijas grafiks, sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

1. Ja līnijas ir paralēlas, slīpumi ir vienādi. Pēc tam funkcijas grafikā jāmeklē punkti, kur slīpums būs vienāds ar vērtību 8 5. Lai to izdarītu, mums jāatrisina vienādojums ar formu y "(x) = 8 5. Tad, ja x ∈ - ∞; - 2, mēs iegūstam, ka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, un, ja x ∈ ( - 2; + ∞), tad 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pirmajam vienādojumam nav sakņu, jo diskriminants ir mazāks par nulli. Pierakstīsim to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Tad citam vienādojumam ir divas reālas saknes

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Pāriesim pie funkcijas vērtību atrašanas. Mēs to sapratām

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkti ar vērtībām - 1; 4 15,5; 8 3 ir punkti, kuros pieskares ir paralēlas taisnei y = 8 5 x + 4.

Atbilde: melnā līnija - funkcijas grafiks, sarkanā līnija - grafiks y = 8 5 x + 4, zilā līnija - pieskares punktos - 1; 4 15,5; 8 3.

Dotajām funkcijām var būt bezgalīgi daudz tangenšu.

5. piemērs

Uzrakstiet visu pieejamo pieskares funkciju y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 vienādojumus, kas atrodas perpendikulāri taisnei y = - 2 x + 1 2.

Risinājums

Lai sastādītu pieskares vienādojumu, ir jāatrod pieskares punkta koeficients un koordinātas, pamatojoties uz taisnu līniju perpendikularitātes nosacījumu. Definīcija ir šāda: slīpuma koeficientu reizinājums, kas ir perpendikulārs taisnēm, ir vienāds ar - 1, tas ir, to raksta kā k x k ⊥ = - 1. No nosacījuma iegūstam, ka slīpums ir perpendikulārs taisnei un ir vienāds ar k ⊥ = - 2, tad k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Tagad jums jāatrod pieskares punktu koordinātas. Jums jāatrod x, pēc kura tā vērtība noteiktai funkcijai. Ņemiet vērā, ka no atvasinājuma ģeometriskās nozīmes punktā
x 0 mēs iegūstam, ka k x = y "(x 0). No šīs vienādības mēs atrodam x vērtības pieskares punktiem.

Mēs to sapratām

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Šis trigonometriskais vienādojums tiks izmantots, lai aprēķinātu pieskāriena punktu ordinātas.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - ar c sin 1 9 + 2 πk vai x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z ir veselu skaitļu kopa.

Atrasti x pieskares punkti. Tagad jums jādodas uz y vērtību meklēšanu:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 vai y 0 = - 4 5 + 1 3

Tādējādi iegūstam, ka 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ir pieskāriena punkti.

Atbilde: nepieciešamie vienādojumi tiks uzrakstīti kā

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - loka sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + loka sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizuālam attēlojumam apsveriet funkciju un pieskari koordinātu taisnē.

Attēlā redzams, ka funkcijas atrašanās vieta ir intervālā [- 10; 10], kur melnā līnija ir funkcijas grafiks, zilās līnijas ir pieskares, kas atrodas perpendikulāri dotajai formas y = - 2 x + 1 2 taisnei. Sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

2. kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi nav vienas vērtības funkcijas. Tiem pieskares vienādojumi tiek sastādīti pēc labi zināmām shēmām.

Apļa tangenss

Noteikt apli, kura centrs ir punktā x c e n t e r; y c e n t e r un rādiuss R tiek piemērota formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Šo vienlīdzību var uzrakstīt kā divu funkciju savienību:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Pirmā funkcija atrodas augšpusē, bet otrā - apakšā, kā parādīts attēlā.

Sastādīt apļa vienādojumu punktā x 0; y 0, kas atrodas augšējā vai apakšējā puslokā, jāatrod formas y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter vai y = - R 2 - x - xcenter 2 + funkcijas grafika vienādojums. ycentrā norādītajā punktā.

Kad punktos x c e n t e r; y c e n t e r + R un x c e n t e r; y c e n t e r - R pieskares var iegūt ar vienādojumiem y = y c e n t e r + R un y = y c e n t e r - R, un punktos x c e n t e r + R; y c e n t e r un
x c e n t e r - R; y c e n t e r būs paralēla ap y, tad iegūstam vienādojumus formā x = x c e n t e r + R un x = x c e n t e r - R.

Elipses tangenss

Kad elipsei ir centrs punktā x c e n t e r; y c e n t e r ar pusasīm a un b, tad to var norādīt, izmantojot vienādojumu x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsi un apli var apzīmēt, apvienojot divas funkcijas, proti, augšējo un apakšējo puselipsi. Tad mēs to saņemam

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ja pieskares atrodas elipses virsotnēs, tad tās ir paralēlas ap x vai ap y. Tālāk skaidrības labad apsveriet attēlu.

6. piemērs

Uzrakstiet elipses pieskares vienādojumu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktos ar x vērtībām, kas vienādas ar x = 2.

Risinājums

Ir jāatrod saskares punkti, kas atbilst vērtībai x = 2. Mēs aizvietojam esošo elipses vienādojumu un iegūstam to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tad 2; 5 3 2 + 5 un 2; - 5 3 2 + 5 ir pieskares punkti, kas pieder augšējai un apakšējai puselipsei.

Pievērsīsimies elipses vienādojuma atrašanai un atrisināšanai attiecībā pret y. Mēs to sapratām

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 g - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 g - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 g = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Acīmredzot augšējā puselipse tiek norādīta, izmantojot funkciju y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, bet apakšējā - y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Pielietosim standarta algoritmu, lai kādā punktā izveidotu funkcijas grafika pieskares vienādojumu. Mēs pierakstām, ka vienādojums pirmajai tangentei 2. punktā; 5 3 2 + 5 būs veidlapa

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Mēs iegūstam, ka otrās pieskares vienādojums ar vērtību punktā
2; - 5 3 2 + 5 iegūst formu

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiski pieskares apzīmē šādi:

Pieskares hiperbolai

Kad hiperbolai ir centrs punktā x c e n t e r; y c e n t e r un virsotnes x c e n t e r + α; y c e n t e r un x c e n t e r - α; y c e n t e r, nevienādība ir norādīta x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ja ar virsotnēm x c e n t e r; y c e n t e r + b un x c e n t e r; y c e n t e r - b, tad tiek dota ar nevienādību x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1.

Hiperbolu var attēlot kā divas apvienotas formas funkcijas

y = ba (x - xcentrs) 2 - a 2 + ycentrs = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentrs vai y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentrs = - ba (x - xcenter ) 2 + a 2 + ycentrs

Pirmajā gadījumā pieskares ir paralēlas y, bet otrajā - paralēlas x.

No tā izriet, ka, lai atrastu hiperbolas pieskares vienādojumu, ir jānoskaidro, kurai funkcijai pieder pieskares punkts. Lai to noteiktu, vienādojumos ir jāveic aizstāšana un jāpārbauda to identitāte.

7. piemērs

Uzrakstiet 7. punktā hiperbolas pieskares vienādojumu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1; - 3 3 - 3.

Risinājums

Ir nepieciešams pārveidot hiperbolas atrašanas risinājuma ierakstu, izmantojot 2 funkcijas. Mēs to sapratām

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 un l un y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ir nepieciešams noteikt, kura funkcija pieder dots punkts ar koordinātām 7; - 3 3 - 3.

Acīmredzot, lai pārbaudītu pirmo funkciju, jums ir nepieciešams y (7) = 3 2

Otrajai funkcijai ir, ka y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kas nozīmē, ka punkts pieder dotajam grafikam . No šejienes ir jāatrod slīpums.

Mēs to sapratām

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Atbilde: pieskares vienādojumu var attēlot kā

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Tas ir skaidri attēlots šādi:

Parabolas tangenss

Lai sastādītu parabolas y = ax 2 + bx + c pieskares vienādojumu punktā x 0, y (x 0), jāizmanto standarta algoritms, tad vienādojums būs y = y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0).Tāda pieskare virsotnē ir paralēla x.

Parabola x = a y 2 + b y + c jānorāda kā divu funkciju savienība. Tāpēc ir jāatrisina y vienādojums. Mēs to sapratām

x = ay 2 + ar + c ⇔ ay 2 + ar + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiski attēlosim šādi:

Lai noskaidrotu, vai punkts x 0, y (x 0) pieder funkcijai, ir saudzīgi rīkoties pēc standarta algoritma. Šāda tangensa attiecībā pret parabolu būs paralēla aptuveni y.

8. piemērs

Uzrakstiet grafika pieskares vienādojumu x - 2 y 2 - 5 y + 3, ja mums ir pieskares slīpuma leņķis 150 °.

Risinājums

Mēs sākam risinājumu, attēlojot parabolu kā divas funkcijas. Mēs to sapratām

2 g 2–5 g + 3–x = 0 D = (-5) 2–4 (-2) (3–x) = 49–8 xy = 5 + 49–8 x–4 y = 5–49 - 8x-4

Slīpuma vērtība ir vienāda ar atvasinājuma vērtību šīs funkcijas punktā x 0 un ir vienāda ar slīpuma tangensu.

Mēs iegūstam:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

No šejienes mēs nosakām x vērtību pieskares punktiem.

Pirmā funkcija tiks uzrakstīta kā

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Acīmredzot īstu sakņu nav, jo tām ir negatīva vērtība. Mēs secinām, ka šādai funkcijai nav pieskares ar 150 ° leņķi.

Otrā funkcija tiks uzrakstīta kā

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mums ir, ka saskares punkti ir 23 4; - 5 + 3 4.

Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiski attēlosim to šādi:

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Taisnā līnija attiecībā pret apli var būt šādās trīs pozīcijās:

1. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu.Šajā gadījumā visi taisnes punkti atrodas ārpus apļa.


2. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu.Šajā gadījumā līnijai ir punkti, kas atrodas apļa iekšpusē, un, tā kā līnija ir bezgalīga abos virzienos, tā krustojas ar apli 2 punktos.


3. Attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu. Taisna līnija - tangenss.

Taisna līnija ar tikai vienu apli kopīgs punkts tiek saukts pieskare uz apli.

Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts pieskāriena punkts.

Pieskares pastāvēšanas iespējamību, turklāt izvilktu caur jebkuru riņķa punktu, kā pieskares punktu pierāda šāda teorēma.

Teorēma. Ja taisne ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz apļa, tad šī taisne ir pieskares.

Lai O (att.) ir kāda apļa centrs un OA ir kāds no tā rādiusa. Zīmējiet MN ^ OA caur tā gala punktu A.

Ir jāpierāda, ka līnija MN ir pieskares, tas ir, ka šai taisnei ir tikai viens kopīgs punkts A ar apli.

Pieņemsim pretējo: lai MN ir vēl viens kopīgs punkts ar apli, piemēram, B.

Tad līnija OB būtu rādiuss un līdz ar to vienāda ar OA.

Bet tā nevar būt, jo, ja OA ir perpendikuls, tad OB ir jābūt slīpam pret MN, un slīpumam jābūt lielākam par perpendikulu.

Apgrieztā teorēma. Ja līnija ir pieskares riņķim, tad pieskares punktam novilktais rādiuss ir tai perpendikulārs.

Lai MN ir apļa pieskares līnija, A ir pieskares punkts un O ir šī riņķa centrs.

Ir jāpierāda, ka OA ^ MN.

Pieņemsim pretējo, t.i. pieņemsim, ka no O uz MN nomestais perpendikuls nav OA, bet kāda cita taisne, piemēram, OB.

Ņem BC = AB un uzzīmē OC.

Tad OA un OС būs slīpi, vienādā attālumā no perpendikulāra OB, un tāpēc OС = OA.

No tā izriet, ka aplim, ņemot vērā mūsu pieņēmumu, ar taisni MN būs divi kopīgi punkti: A un C, t.i. MN nebūs tangenss, bet gan sekants, kas ir pretrunā ar nosacījumu.

Sekas. Caur jebkuru doto riņķa punktu jūs varat uzzīmēt pieskari šim aplim un turklāt tikai vienu, jo caur šo punktu jūs varat uzzīmēt perpendikulu un turklāt tikai vienu tajā ievilktajam rādiusam.

Teorēma. Pieskare, kas ir paralēla hordai, pieskares punktā sadala uz pusēm loku, ko horda sarauj.

Ļaujiet taisnei AB (att.) Pieskarieties aplim punktā M un ir paralēli horda CD.

Ir jāpierāda, ka ÈCM = ÈMD.

Izvelkot diametru ME caur pieskares punktu, mēs iegūstam: EM ^ AB un līdz ar to EM ^ CB.

Tāpēc CM = MD.

Uzdevums. Caur šo punktu uzzīmējiet šī apļa pieskari.

Ja šis punkts atrodas uz apļa, tad caur to tiek novilkts rādiuss un caur rādiusa galu - perpendikulāra taisna līnija. Šī līnija būs vajadzīgā tangensa.

Apsveriet gadījumu, kad punkts ir dots ārpus apļa.

Pieņemsim, ka ir nepieciešams (att.), lai caur punktu A uzzīmētu pieskari aplim ar centru O.

Lai to izdarītu, no punkta A, tāpat kā no centra, mēs aprakstām loku ar rādiusu AO, un no punkta O kā centru mēs krustojam šo loku punktos B un C ar kompasa atveri, kas vienāda ar šī punkta diametru. aplis.

Pēc tam uzzīmējot hordas OB un OС, savienojam punktu A ar punktiem D un E, kuros šīs hordas krustojas ar doto apli.

Līnijas AD un AE ir pieskares līnijas riņķošanai O.

Patiešām, no konstrukcijas var redzēt, ka sliedes AOB un AOC ir vienādsānu (AO = AB = AC) ar bāzēm OB un OC, kas vienādas ar apļa O diametru.

Tā kā OD un OE ir rādiusi, D ir OB vidus un E ir OС vidusdaļa, kas nozīmē, ka AD un AE ir mediānas, kas novilktas uz vienādsānu sliežu ceļiem, un tāpēc ir perpendikulāras šīm bāzēm. Ja taisnes DA un EA ir perpendikulāras rādiusiem OD un OE, tad tās ir pieskares.

Sekas. Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar līniju, kas savieno šo punktu ar centru.

Tātad AD = AE un ÐOAD = ÐOAE (att.), Jo taisnstūra trases AOD un AOE, kurām ir kopīga hipotenūza AO un vienādas kājas OD un OE (kā rādiusi), ir vienādas.

Ņemiet vērā, ka šeit vārds “tangence” nozīmē faktisko “pieskares segmentu” no šī punkta līdz pieskares punktam.

Uzdevums. Uzzīmējiet pieskares līniju dotajam riņķim O paralēli noteiktai taisnei AB (att.).

Nometiet perpendikulu OС uz AB no centra O un caur punktu D, kurā šis perpendikuls krustojas ar apli, uzzīmējiet EF || AB.

Meklējamā tangensa ir EF.

Patiešām, kopš OС ^ AB un EF || AB, tad EF ^ OD, un līnija, kas ir perpendikulāra rādiusam tās galā, kas atrodas uz riņķa līnijas, ir pieskares.

Uzdevums. Uzzīmējiet kopīgu pieskares diviem apļiem O un O 1 (Zīm.).

Analīze... Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta.

Ļaujiet AB ir kopējā pieskares līnija, A un B ir pieskares punkti.

Acīmredzot, ja mēs atrodam vienu no šiem punktiem, piemēram, A, tad mēs varam viegli atrast citu.

Nozīmēsim rādiusus OA un O 1 B. Šie rādiusi, būdami perpendikulāri kopējai pieskarei, ir paralēli viens otram.

Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA, tad tr-to OSO 1 būs taisnstūrveida C augšpusē.

Rezultātā, ja mēs aprakstam apli no O, kā centru, ar rādiusu OС, tad tas pieskarsies taisnei O 1 С punktā С.

Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA - CA = OA - O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar šo apļu rādiusu starpību.

Būvniecība. No centra O mēs aprakstam apli, kura rādiuss ir vienāds ar starpību starp šiem rādiusiem.

No O 1 šim aplim novelkam pieskares līniju O 1 С (iepriekšējā uzdevumā norādītajā veidā).

Novelciet rādiusu OC caur saskares punktu C un turpiniet to, līdz tas saskaras ar doto apli punktā A. Visbeidzot no A uzzīmējiet AB paralēli CO 1.

Tieši tādā pašā veidā mēs varam konstruēt vēl vienu kopīgu pieskares līniju A 1 B 1 (Zīm.). Tiek izsauktas līnijas AB un A 1 B 1 ārējā kopējās pieskares.

Jūs joprojām varat iztērēt divus iekšējais pieskares šādi:

Analīze. Pieņemsim, ka problēma ir atrisināta (att.). Lai AB ir vajadzīgā pieskares līnija.

Pieskares punktiem A un B novelkam rādiusus OA un O 1 B. Tā kā šie rādiusi abi ir perpendikulāri kopējai pieskarei, tie ir paralēli viens otram.

Tāpēc, ja no O 1 izvelkam O 1 С || BA un turpiniet OA līdz punktam C, tad OС būs perpendikulāri O 1 С.

Rezultātā aplis, kas aprakstīts ar rādiusu OС no punkta O, kā centrs, pieskarsies taisnei O 1 С punktā С.

Šī palīgloka rādiuss ir zināms: tas ir vienāds ar OA + AC = OA + O 1 B, t.i. tas ir vienāds ar doto apļu rādiusu summu.

Būvniecība. No O kā centra mēs aprakstām apli, kura rādiuss ir vienāds ar šo rādiusu summu.

No O 1 šim aplim novelkam pieskares līniju O 1 С.

Savienojiet pieskāriena punktu C ar O.

Visbeidzot, caur punktu A, kurā OС krustojas ar šo apli, uzzīmējiet AB = O 1 С.

Līdzīgā veidā mēs varam izveidot citu iekšējo pieskares līniju A 1 B 1.

Pieskares vispārīgā definīcija

Pieskares AT un kādu sekantu AM novelk uz apli ar centru (att.) Caur punktu A.

Mēs sāksim griezt šo sekantu ap punktu A, lai otrs krustojuma punkts B virzītos tuvāk un tuvāk A.

Tad perpendikulārais OD, kas nolaists no centra uz sekantu, arvien vairāk tuvosies rādiusam OA, un leņķis AOD var kļūt mazāks par jebkuru mazu leņķi.

Leņķis MAT, ko veido sekanta un pieskares līnija, ir vienāds ar leņķi AOD (to malu perpendikulitātes dēļ).

Tāpēc, neierobežoti tuvojoties punktam B līdz A, arī leņķis MAT var kļūt patvaļīgi mazs.

Tas ir izteikts citos vārdos šādi:

pieskares ir robežpozīcija, uz kuru tiecas sekants, kas novilkts caur pieskares punktu, kad otrais krustošanās punkts neierobežoti tuvojas pieskares punktam.

Šī īpašība tiek uzskatīta par pieskares definīciju, kad runa ir par jebkuru līkni.

Tādējādi līknes AB pieskares (att.) Ir robežstāvoklis MT, uz kuru tiecas sekants MN, kad P krustošanās punkts neierobežoti tuvojas M.

Ņemiet vērā, ka šādā veidā definētajai pieskarei var būt vairāk nekā viens kopīgs punkts ar līkni (kā redzams attēlā).

Nodarbības mērķi

• Izglītojoši - zināšanu atkārtošana, vispārināšana un pārbaude par tēmu: "Pieskares lokam"; pamatprasmju attīstīšana.
• Attīstīt - attīstīt studentu uzmanību, neatlaidību, neatlaidību, loģiskā domāšana, matemātikas runa.
• Izglītojoši - nodarbības laikā audzināt uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību, neatkarību.
• Ieviest pieskares jēdzienu, pieskares punktu.
• Apsveriet pieskares un tās zīmes īpašību un parādiet to pielietojumu dabas un tehnikas problēmu risināšanā.

Nodarbības mērķi

• Attīstiet pieskares veidošanas prasmes, izmantojot mēroga lineālu, transportieri un zīmēšanas trīsstūri.
• Pārbaudi skolēnu spēju risināt problēmas.
• Apgūstiet pamata algoritmiskās metodes apļa pieskares konstruēšanai.
• Veidot spēju pielietot teorētiskās zināšanas problēmu risināšanā.
• Attīstīt studentu domāšanu un runu.
• Strādājiet pie spējas novērot, pamanīt modeļus, vispārināt, vadīt spriešanu pēc analoģijas veidošanās.
• Ieaudzināt interesi par matemātiku.

Nodarbības plāns

1. Pieskares jēdziena rašanās.
2. Pieskares parādīšanās vēsture.
3. Ģeometriskās definīcijas.
4. Pamatteorēmas.
5. Uzzīmē riņķa pieskari.
6. Noenkurošanās.

Pieskares jēdziena rašanās

Pieskares līnijas jēdziens ir viens no vecākajiem matemātikā. Ģeometrijā riņķa līnijas pieskare tiek definēta kā taisna līnija, kurai ir tieši viens krustošanās punkts ar šo apli. Senie cilvēki ar kompasa un lineāla palīdzību spēja uzzīmēt pieskares aplim, bet vēlāk arī konusveida griezumiem: elipsēm, hiperbolām un parabolām.

Pieskares parādīšanās vēsture

Interese par tangentēm atdzima mūsdienās. Tad tika atklātas līknes, kuras senatnes zinātnieki nezināja. Piemēram, Galileo ieviesa cikloīdu, un Dekarts un Fermā izveidoja tam pieskārienu. 17. gadsimta pirmajā trešdaļā. Viņi sāka saprast, ka pieskares līnija ir taisna līnija, kas "vistuvāk atrodas" līknei noteiktā punkta nelielā apkārtnē. Ir viegli iedomāties situāciju, kad nav iespējams izveidot līknes pieskares līniju noteiktā punktā (attēlā).

Ģeometriskās definīcijas

Aplis- plaknes punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par tā centru.

aplis.

Saistītās definīcijas

• Tiek saukts segments, kas savieno apļa centru ar kādu no tā punktiem (kā arī šī posma garumu). rādiuss aprindās.
• Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc apkārt.
• Par to sauc segmentu, kas savieno divus riņķa punktus akords... Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc diametrs.
• Jebkuri divi neatbilstoši apļa punkti sadala to divās daļās. Katra no šīm daļām tiek saukta loka aprindās. Loka mērs var būt atbilstošā centrālā leņķa mērs. Loku sauc par pusloku, ja līnijas segments, kas savieno tā galus, ir diametrs.
• Tiek saukta taisne, kurai ir tieši viens kopīgs punkts ar apli pieskare uz apli, un to kopīgo punktu sauc par taisnes un apļa pieskares punktu.
• Tiek saukta taisne, kas iet caur diviem riņķa punktiem sekants.
• Apļa centrālo leņķi sauc par plakanu leņķi ar virsotni tā centrā.
• Tiek saukts leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un malas šķērso šo apli ierakstītais leņķis.
• Tiek saukti divi apļi ar kopīgu centru koncentrisks.

Pieskares līnija- taisna līnija, kas iet caur līknes punktu un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai.

Pieskares aplim sauc par taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli.

Taisna līnija, kas iet caur apļa punktu tajā pašā plaknē, kas ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam, sauc par tangensu... Šajā gadījumā šo apļa punktu sauc par pieskares punktu.

Ja mūsu gadījumā "a" ir taisne, kas pieskaras noteiktam riņķim, punkts "A" ir pieskares punkts. Šajā gadījumā a⊥OA (taisne a ir perpendikulāra rādiusam OA).

Viņi tā saka divi apļi pieskaras ja tiem ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc apļu pieskares punkts... Caur pieskares punktu var uzzīmēt pieskares vienam no apļiem, kas vienlaikus ir pieskares otram aplim. Apļu pieskares ir iekšēja un ārēja.

Tangenci sauc par iekšējo, ja apļu centri atrodas vienā pieskares pusē.

Pieskares sauc par ārējo, ja apļu centri atrodas pretējās pieskares pusēs

a - divu apļu kopējā pieskare, K - pieskares punkts.

Pamatteorēmas

Teorēma par tangensu un sekantu

Ja no punkta, kas atrodas ārpus riņķa, novilkta pieskare un atzars, tad pieskares garuma kvadrāts ir vienāds ar atzares un tās ārējās daļas reizinājumu: MC 2 = MA MB.

Teorēma. Rādiuss, kas novilkts uz riņķa līnijas pieskares punktu, ir perpendikulārs pieskarei.

Teorēma. Ja rādiuss ir perpendikulārs līnijai apļa krustošanās punktā, tad šī taisne ir pieskares šim riņķim.

Pierādījums.

Lai pierādītu šīs teorēmas, mums jāatceras, kas ir perpendikuls no punkta uz taisni. Tas ir īsākais attālums no šī punkta līdz šai taisnei. Pieņemsim, ka OA nav perpendikulāra pieskarei, bet ir taisne OS, kas ir perpendikulāra tangensei. OS garums ietver rādiusa garumu un arī noteiktu BC segmentu, kas noteikti ir lielāks par rādiusu. Tādējādi var pierādīt jebkurai taisnei. Mēs secinām, ka rādiuss, rādiuss, kas novilkts līdz pieskares punktam, ir mazākais attālums līdz pieskarei no punkta O, t.i. OS ir perpendikulāra tangenses līnijai. Apgrieztās teorēmas pierādīšanā mēs balstīsimies uz to, ka pieskares taisnei ir tikai viens kopīgs punkts ar apli. Lai šai taisnei ir vēl viens kopīgs punkts B ar apli. Trijstūris AOB ir taisnstūrveida, un tā abas malas ir vienādas ar rādiusiem, kas nevar būt. Tādējādi mēs atklājam, ka šai taisnei nav vairāk kopīgu punktu ar apli, izņemot punktu A, t.i. ir tangenss.

Teorēma. Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi, un līnija, kas savieno šo punktu ar apļa centru, sadala leņķi starp pieskarēm.

Pierādījums.

Pierādījums ir ļoti vienkāršs. Izmantojot iepriekšējo teorēmu, mēs apgalvojam, ka OB ir perpendikulāra AB, un OS ir AC. Taisnstūra trīsstūri ABO un ASO ir vienādi kājā un hipotenūzā (OB = OS - rādiusi, AO - kopīgs). Tāpēc to kājas AB = AC un leņķi ОАС un ОАВ ir vienādi.

Teorēma. Leņķa lielums, ko veido pieskares un horda ar kopīgu punktu uz apļa, ir vienāds ar pusi no loka leņķa lieluma starp tā malām.

Pierādījums.

Apsveriet leņķi NAB, ko veido tangenss un horda. Uzzīmēsim skaļruņa diametru. Pieskares līnija ir perpendikulāra diametram, kas novilkts līdz pieskares punktam, tāpēc ∠CAN = 90 о. Zinot teorēmu, redzam, ka leņķis alfa (a) ir vienāds ar pusi un pusi no BC loka leņķiskās vērtības vai pusi no BOC leņķa. ∠NAB = 90 о -a, tādējādi iegūstam ∠NAB = 1/2 (180 о -∠BOC) = 1 / 2∠AOB vai = puse no loka BA leņķiskās vērtības. h.t.d.

Teorēma. Ja no punkta uz riņķi ​​novelk tangensu un atzaru, tad pieskares segmenta kvadrāts no šī punkta līdz pieskares punktam ir vienāds ar atdalošo segmentu garumu reizinājumu no šī punkta līdz tā krustojuma punktiem ar apli.

Pierādījums.

Attēlā šī teorēma izskatās šādi: MA 2 = MV * MS. Pierādīsim to. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu leņķis MAC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķiskās vērtības, bet arī leņķis ABC ir vienāds ar pusi no loka AC leņķiskās vērtības saskaņā ar teorēmu, tāpēc šie leņķi ir vienādi ar katru cits. Ņemot vērā to, ka trijstūriem AMC un BMA ir kopīgs leņķis virsotnē M, mēs nosakām šo trīsstūru līdzību divos leņķos (otrā iezīme). No līdzības mums ir: MA / MB = MC / MA, no kurienes mēs iegūstam MA 2 = MV * MS

Apļa pieskares zīmēšana

Tagad mēģināsim to izdomāt un noskaidrot, kas jādara, lai izveidotu apļa pieskari.

Šajā gadījumā uzdevumā parasti tiek dots aplis un punkts. Un jums un man ir jāizveido apļa pieskare, lai šī pieskare iet caur noteiktu punktu.

Gadījumā, ja mēs nezinām punkta atrašanās vietu, tad aplūkosim punktu iespējamās atrašanās vietas gadījumus.

Pirmkārt, punkts var atrasties apļa iekšpusē, kuru ierobežo šis aplis. Šajā gadījumā caur šo apli nav iespējams izveidot tangensu.

Otrajā gadījumā punkts atrodas uz apļa, un mēs varam izveidot pieskares līniju, novelkot rādiusam perpendikulāru līniju, kas tiek novilkta uz zināmu punktu.

Treškārt, pieņemsim, ka punkts atrodas ārpus apļa ejām, kuras ierobežo aplis. Šajā gadījumā pirms pieskares zīmēšanas ir jāatrod punkts uz apļa, caur kuru tangensei jāiziet.

Pirmajā gadījumā es ceru, ka jūs visu saprotat, bet, lai atrisinātu otro iespēju, mums ir jāveido segments uz taisnes, uz kuras atrodas rādiuss. Šim segmentam jābūt vienādam ar rādiusu un segmentu, kas atrodas uz apļa pretējā pusē.

Šeit redzams, ka apļa punkts ir nogriežņa viduspunkts, kas ir vienāds ar dubultoto rādiusu. Nākamais solis ir uzzīmēt divus apļus. Šo apļu rādiuss būs vienāds ar divkāršu sākotnējā apļa rādiusu ar centriem līnijas segmenta galos, kas ir vienāds ar divkāršu rādiusu. Tagad mēs varam novilkt taisnu līniju caur jebkuru šo apļu un dotā punkta krustošanās punktu. Šāda taisna līnija ir mediāna perpendikulāra apļa rādiusam, kas tika novilkts sākumā. Tādējādi mēs varam redzēt, ka šī līnija ir perpendikulāra aplim, un no tā izriet, ka tā ir pieskares riņķim.

Trešajā versijā mums ir punkts, kas atrodas ārpus apļa ejām, ko ierobežo aplis. Šajā gadījumā mēs vispirms uzzīmējam līnijas segmentu, kas savieno paredzētā apļa centru un norādīto punktu. Un tad mēs atrodam vidu. Bet šim nolūkam ir nepieciešams izveidot vidējo perpendikulu. Un jūs jau zināt, kā to izveidot. Tad mums ir jāuzzīmē aplis vai vismaz tā daļa. Tagad mēs redzam, ka dotā riņķa un jaunizveidotā riņķa krustošanās punkts ir punkts, caur kuru iet pieskare. Tas arī iet cauri punktam, kas tika iestatīts atbilstoši problēmas stāvoklim. Un visbeidzot, jūs varat novilkt pieskares līniju caur diviem jums zināmiem punktiem.

Un visbeidzot, lai pierādītu, ka mūsu konstruētā taisne ir pieskare, jums jāpievērš uzmanība leņķim, ko veido riņķa rādiuss un segments, kas pazīstams ar nosacījumu un kas savieno apļu krustošanās punktu ar punkts, ko dod problēmas nosacījums. Tagad mēs redzam, ka izveidotais stūris balstās uz pusloku. Un no tā izriet, ka šis leņķis ir taisns. Tāpēc rādiuss būs perpendikulārs jaunizveidotajai līnijai, un šī līnija ir pieskares līnija.

Pieskares līnijas konstruēšana.

Pieskares konstruēšana ir viena no problēmām, kas izraisīja diferenciālrēķina rašanos. Pirmais publicētais darbs, kas saistīts ar diferenciālrēķinu un ko uzrakstījis Leibnics, bija ar nosaukumu " Jauna metode maksimumi un minimumi, kā arī pieskares, kurām ne daļējas, ne iracionālas vērtības nav šķērslis, un tam īpašs aprēķinu veids.

Seno ēģiptiešu ģeometriskās zināšanas.

Ja neņem vērā seno ielejas starp Tigri un Eifratu un Mazāziju ļoti pieticīgo ieguldījumu, tad ģeometrija dzima g. Senā Ēģipte līdz 1700.g.pmē Tropu lietus sezonas laikā Nīla papildināja ūdens krājumus un pārplūda. Ūdens klāja apstrādātās zemes gabalus, un nodokļu nolūkos bija nepieciešams noteikt, cik daudz zemes tika zaudētas. Mērnieki kā mērinstrumentu izmantoja cieši nostieptu virvi. Vēl viens stimuls ēģiptiešu ģeometrisko zināšanu uzkrāšanai bija tādi viņu darbības veidi kā piramīdu celtniecība un vizuālā māksla.

Par ģeometrisko zināšanu līmeni var spriest pēc seniem rokrakstiem, kas ir īpaši veltīti matemātikai un ir kaut kas līdzīgs mācību grāmatām vai, pareizāk sakot, problēmu grāmatām, kur sniegti dažādu praktisku problēmu risinājumi.

Vecāko ēģiptiešu matemātisko manuskriptu kāds students pārrakstīja laikā no 1800. līdz 1600. gadam. BC. no vecāka teksta. Papirusu atrada krievu ēģiptologs Vladimirs Semenovičs Goļeņičevs. Tas glabājas Maskavā - Tēlotājmākslas muzejā, kas nosaukts A.S. Puškins, un to sauc par Maskavas papirusu.

Londonā glabājas vēl viens matemātisks papiruss, kas uzrakstīts divus vai trīs simtus gadus vēlāk nekā Maskavā. To sauc: "Norādījumi, kā iegūt zināšanas par visām tumšajām lietām, visiem noslēpumiem, ko lietas slēpj sevī... Saskaņā ar vecajiem pieminekļiem rakstvedis Ahmess to uzrakstīja." un iegādājās šo papirusu Ēģiptē. Ahmesa papirusā ir dotas 84 problēmas dažādiem aprēķiniem, kas var būt nepieciešami praksē.

Punkti $x\_0\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; (R)$, un tajā atšķiras: $f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathcal\; (D)\; (x\_0)$... Funkcijas grafika pieskares līnija $f$ punktā $x\_0$ sauc par lineāras funkcijas grafiku, ko dod vienādojums $y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0),\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; (R)$.

Ja funkcija $f$ ir punktā $x\_0$ bezgalīgs atvasinājums $f\; "(x\_0)\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; infty,$ tad pieskares līniju šajā punktā sauc par vienādojuma doto vertikālo līniju $x\; =\; x\_0.$

komentēt

No definīcijas tieši izriet, ka pieskares līnijas grafiks iet caur punktu $(x\_0,\; f\; (x\_0))$... Injekcija $\backslash \; alfa$ starp līknes pieskari un Vērša asi apmierina vienādojumu

$\backslash \; operatora\; nosaukums\; (tg)\; \backslash ,\; \backslash \; alfa\; =\; f\; "(x\_0)\; =\; k,$

kur $\backslash \; operatora\; nosaukums\; (tg)$ apzīmē tangensu un $\backslash \; operatora\; vārds\; (k)$- pieskares slīpuma koeficients. Atvasinājums punktā $x\_0$ ir vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu $y\; =\; f\; (x)$šajā brīdī.

Tangenss kā sekanta ierobežojošais stāvoklis

Ļaujiet $f\; \backslash \; kols\; U\; (x\_0)\; \backslash \; līdz\; \backslash \; R$ un $x\_1\; \backslash \; U\; (x\_0).$ Tad taisna līnija, kas iet caur punktiem $(x\_0,\; f\; (x\_0))$ un $(x\_1,\; f\; (x\_1))$ tiek dots ar vienādojumu

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; \backslash \; frac\; (f\; (x\_1)\; -\; f\; (x\_0))\; (x\_1\; -\; x\_0)\; (x-x\_0).$

Šī līnija iet caur punktu $(x\_0,\; f\; (x\_0))$ jebkuram $x\_1\; \backslash \; U\; (x\_0),$ un tā slīpuma leņķi $\backslash \; alfa\; (x\_1)$ apmierina vienādojumu

$\backslash \; operatora\; nosaukums\; (tg)\; \backslash ,\; \backslash \; alfa\; (x\_1)\; =\; \backslash \; frac\; (f\; (x\_1)\; -\; f\; (x\_0))\; (x\_1\; -\; x\_0).$

Funkcijas atvasinājuma esamības dēļ $f$ punktā $x\_0,$ pārejot uz robežu plkst $x\_1\; \backslash \; līdz\; x\_0,$ mēs saprotam, ka ir ierobežojums

$\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\_1\; \backslash \; to\; x\_0)\; \backslash \; operatora\; nosaukums\; (tg)\; \backslash ,\; \backslash \; alfa\; (x\_1)\; =\; f\; "(x\_0),$

un arktangenta un ierobežojošā leņķa nepārtrauktības dēļ

$\backslash \; alfa\; =\; \backslash \; operatora\; nosaukums\; (arctg)\; \backslash ,\; f\; "(x\_0).$

Līnija caur punktu $(x\_0,\; f\; (x\_0))$ un kam ir apmierinošs ierobežojošais slīpuma leņķis $\backslash \; operatora\; nosaukums\; (tg)\; \backslash ,\; \backslash \; alfa\; =\; f\; "(x\_0),$ tiek dots ar pieskares līnijas vienādojumu:

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Apļa tangenss

Taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar riņķi ​​un kura atrodas ar to vienā plaknē, sauc par riņķa pieskari.

Īpašības

1. Apļa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts uz pieskares punktu.
2. No viena punkta novilkta riņķa pieskares segmenti ir vienādi un veido vienādus leņķus ar taisni, kas iet caur šo punktu un apļa centru.
3. Pieskares segmenta garums, kas novilkts uz riņķa vienības rādiusu, kas ņemts starp pieskares punktu un pieskares krustpunktu ar staru, kas novilkts no apļa centra, ir pieskares leņķim starp šo staru un staru. virziens no apļa centra uz pieskares punktu. "Tangens" no lat. tangens- "tangence".

Variācijas un vispārinājumi

Vienpusējs pustangenss

• Ja ir pareizais atvasinājums tad labais pustangenss uz funkciju grafiku $f$ punktā $x\_0$ sauc par staru

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "\_\; +\; (x\_0)\; (x\; -\; x\_0),\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; geqslant\; x\_0.$

• Ja ir kreisais atvasinājums tad kreisais pustangenss uz funkciju grafiku $f$ punktā $x\_0$ sauc par staru

$y\; =\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "\_-\; (x\_0)\; (x\; -\; x\_0),\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; leqslant\; x\_0.$

• Ja ir bezgalīgs labais atvasinājums $f\; "\_\; +\; (x\_0)\; =\; +\; \backslash \; infty\; \backslash ;\; (-\; \backslash \; infty),$ $f$ punktā $x\_0$ sauc par staru

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash \; geqslant\; f\; (x\_0)\; \backslash ;\; (y\; \backslash \; leqslant\; f\; (x\_0)).$

• Ja ir bezgalīgs kreisais atvasinājums $f\; "\_-\; (x\_0)\; =\; +\; \backslash \; infty\; \backslash ;\; (-\; \backslash \; infty),$ tad funkcijas grafika labais pustangenss $f$ punktā $x\_0$ sauc par staru

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash \; leqslant\; f\; (x\_0)\; \backslash ;\; (y\; \backslash \; geqslant\; f\; (x\_0)).$

Skatīt arī

• Normāls, binormāls

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Tangent Line"

Literatūra

• Toponogovs V.A. Līkņu un virsmu diferenciālģeometrija. - Fizmatkniga, 2012 .-- ISBN 9785891552135.
• // Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). - SPb. , 1890-1907.

Fragments no Tangent Line

- Vietām! - kliedza jauns virsnieks ap Pjēru sapulcētajiem karavīriem. Šis jaunais virsnieks, acīmredzot, pirmo vai otro reizi pildīja savu amatu, un tāpēc īpaši skaidri un viendabīgi izturējās gan pret karavīriem, gan pret komandieri.
Lielgabalu un šauteņu ripošana pastiprinājās visā laukā, īpaši pa kreisi, kur bija Bagrationa zibšņi, bet šāvienu dūmu dēļ no vietas, kur atradās Pjērs, bija gandrīz neiespējami kaut ko redzēt. Turklāt novērojumi par to, kā ģimenes (nošķirts no visiem pārējiem) cilvēku loks, kas atradās uz akumulatora, absorbēja visu Pjēra uzmanību. Viņa pirmais neapzināti priecīgais satraukums, ko radīja kaujas lauka skats un skaņas, tagad ir nomainīts, it īpaši pēc skata, kad šis vientuļnieks guļ pļavā, ar citu sajūtu. Sēdēdams tagad grāvja nogāzē, viņš vēroja sev apkārt esošās sejas.
Pulksten desmitiem no akumulatora jau bija aiznesti divdesmit cilvēki; divi lielgabali tika iznīcināti, arvien vairāk lādiņu trāpīja akumulatoram un attālas lodes dūca un svilpa. Bet cilvēki, kas atradās uz akumulatora, to nepamanīja; no visām pusēm skanēja jautra runa un joki.
- Činenka! - uzkliedza karavīrs uz tuvojošos, svilpojošu granātu. - Ne šeit! Uz kājniekiem! - smejoties piebilda vēl viens, pamanījis, ka granāta pārlidoja un trāpīja aizsegu rindās.
- Ko, draugs? - otrs karavīrs pasmējās par tupošo vīrieti zem lidojošā serdes.
Vairāki karavīri pulcējās pie vaļņa, pētot, kas notiek uz priekšu.
"Un viņi noņēma ķēdi, redziet, viņi atgriezās," viņi teica, norādot uz vārpstu.
"Paskatieties uz savām lietām," vecais apakšvirsnieks kliedza viņiem. - Mēs atgriezāmies, tas nozīmē, ka esam atgriezušies, un ir lieta. - Un apakšvirsnieks, paņēmis vienu no karavīriem aiz pleca, pagrūda viņu ar ceļgalu. Bija dzirdami smiekli.
- Ritiniet uz piekto ieroci! - kliedza no vienas puses.
- Uzreiz draudzīgāk, burlaku stilā, - atskanēja jautrie pistoles mainītāju saucieni.
"Ai, es gandrīz nogāzu mūsu kunga cepuri," sarkans jokdaris pasmējās Pjēram, rādot zobus. "Eh, neveikli," viņš pārmetoši piebilda lielgabala lodei, kas skāra vīrieša riteni un kāju.
- Nu jūs lapsas! - otrs pasmējās par līkločiem miličiem, kas iekļuva ievainoto baterijā.
- Al negaršo putra? Ak, vārnas, tās nodūra! - viņi kliedza uz miličiem, kuri bija vilcinājušies kāda karavīra priekšā ar norautu kāju.
"Tas ir kaut kas, mazais puisis," zemnieki atdarināja. – Viņiem nepatīk kaislība.
Pjērs pamanīja, kā pēc katras trāpītās bumbas, pēc katra zaudējuma vispārējā animācija uzliesmoja arvien vairāk.
Kā no pērkona mākoņa uz priekšu arvien biežāk, arvien spožāk un spožāk visu šo cilvēku sejās uzliesmoja slēpta, uzliesmojoša uguns (it kā atbildot uz notiekošo) zibens.
Pjērs neskatījās uz priekšu kaujas laukā un neinteresēja zināt, kas tur notiek: viņš bija pilnībā iegrimis pārdomās par šo, arvien vairāk uzliesmojošo uguni, kas tādā pašā veidā (viņš juta) uzliesmoja viņa dvēselē.
Pulksten desmitos kājnieku karavīri, kas atradās baterijas priekšā krūmos un gar Kamenkas upi, atkāpās. No akumulatora bija redzams, kā viņi skrēja tai garām, nesot ievainotos uz ieročiem. Kāds ģenerālis ar savu svītu iegāja pilskalnā un, parunājis ar pulkvedi, dusmīgi paskatījies uz Pjēru, atkal nokāpa lejā, pavēlēdams kājnieku vākam, kas stāvēja aiz baterijas, apgulties, lai mazāk pakļautu šāvieniem. Pēc tam kājnieku rindās pa labi no baterijas atskanēja bungas, komandas saucieni, un no baterijas varēja redzēt, kā kājnieku rindas virzās uz priekšu.
Pjērs paskatījās pāri šahtai. Viena seja īpaši piesaistīja viņa uzmanību. Tas bija virsnieks, kurš ar bāli jaunu seju gāja atmuguriski, nesot nolaistu zobenu, un nemierīgi skatījās apkārt.
Kājnieku karavīru rindas pazuda dūmos, bija dzirdami viņu ievilktie kliedzieni un biežās šautenes. Dažas minūtes vēlāk no turienes gāja daudz ievainoto un nestuvju. Šāviņi sāka trāpīt akumulatorā vēl biežāk. Vairāki cilvēki gulēja neiztīrīti. Karavīri aktīvāk un dzīvīgāk rosījās pie lielgabaliem. Pjēram neviens vairs nepievērsa uzmanību. Reizi vai divas viņam dusmīgi kliedza par atrašanos ceļā. Vecākais virsnieks ar sarauktu seju, lieliem, ātriem soļiem pārcēlās no viena ieroča uz otru. Jaunais virsnieks, vēl vairāk piesarcis, vēl cītīgāk komandēja karavīrus. Karavīri šāva, pagriezās, iekrauj un darīja savu darbu ar lielu aizrautību. Ejot viņi atlēca, it kā uz atsperēm.

Apļa pieskares jēdziens

Aplim ir trīs iespējamie varianti savstarpējās dispozīcijas salīdzinoši taisni:

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par rādiusu, tad taisnei ir divi krustošanās punkti ar apli.

Tagad iepazīstināsim ar riņķa līnijas pieskares jēdzienu.

1. definīcija

Riņķa pieskares līnija ir taisna līnija, kurai ir viens krustošanās punkts.

Apļa un pieskares kopīgo punktu sauc par pieskares punktu (1. attēls).

1. attēls. Apļa pieskares

Teorēmas, kas saistītas ar riņķa pieskares jēdzienu

1. teorēma

Pieskares īpašību teorēma: riņķa līnijas pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts uz pieskares punktu.

Pierādījums.

Apsveriet apli, kura centrs ir $ O $. Novelciet pieskares līniju uz $ a $ punktā $ A $. $ OA = r $ (2. att.).

Pierādīsim, ka $ a \ bot r $

Teorēmu pierādīsim ar pretrunu. Pieņemsim, ka pieskares līnija $ a $ nav perpendikulāra apļa rādiusam.

2. attēls. 1. teorēmas ilustrācija

Tas ir, $ OA $ ir slīps pret tangensu. Tā kā perpendikulārs taisnei $ a $ vienmēr ir mazāks par slīpo līniju pret to pašu taisni, attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par rādiusu. Kā zināms, šajā gadījumā līnijai ir divi krustošanās punkti ar apli. Kas ir pretrunā ar pieskares līnijas definīciju.

Tāpēc pieskares līnija ir perpendikulāra apļa rādiusam.

Teorēma ir pierādīta.

2. teorēma

Apgrieztā teorēma par tangentes īpašību: Ja taisne, kas iet caur riņķa rādiusa galu, ir perpendikulāra rādiusam, tad šī taisne ir pieskares šim riņķim.

Pierādījums.

Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir tāds, ka rādiuss ir perpendikuls, kas novilkts no apļa centra uz doto taisni. Tāpēc attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusa garumu. Kā zināms, šajā gadījumā aplim ir tikai viens krustpunkts ar šo taisni. Pēc 1. definīcijas mēs iegūstam, ka šī līnija ir pieskares riņķim.

Teorēma ir pierādīta.

3. teorēma

No viena punkta novilkta riņķa pieskares segmenti ir vienādi un veido vienādus leņķus ar taisni, kas iet caur šo punktu un apļa centru.

Pierādījums.

Dots aplis, kura centrs ir punktā $ O $. No punkta $ A $ (kas atrodas uz visiem apļiem) tiek novilktas divas dažādas pieskares. No pieskares punkta attiecīgi $ B $ un $ C $ (3. att.).

Pierādīsim, ka $ \ leņķis BAO = \ leņķis CAO $ un ka $ AB = AC $.

3. attēls. 3. teorēmas ilustrācija

Saskaņā ar 1. teorēmu mums ir:

Tāpēc trijstūri $ ABO $ un $ ACO $ ir taisnstūrveida. Tā kā $ OB = OC = r $ un $ OA $ hipotenūza ir izplatīta, šie trīsstūri ir vienādi hipotenūzā un kājā.

Tādējādi mēs iegūstam, ka $ \ leņķis BAO = \ leņķis CAO $ un $ AB = AC $.

Teorēma ir pierādīta.

Problēmas piemērs par riņķa pieskares jēdzienu

1. piemērs

Jums ir dots aplis ar centru punktā $ O $ un rādiusu $ r = 3 \ cm $. Pieskares līnijai $ AC $ ir pieskares punkts $ C $. $ AO = 4 \ cm $. Atrodiet $ AC $.

Risinājums.

Vispirms attēlosim visu attēlā (4. att.).

4. attēls.

Tā kā $ AC $ ir tangenss un $ OC $ ir rādiuss, tad ar 1. teorēmu iegūstam, ka $ \ leņķis ACO = (90) ^ (() ^ \ circ) $. Mēs sapratām, ka trīsstūris $ ACO $ ir taisnleņķa leņķis, kas nozīmē, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir:

\ [(AC) ^ 2 = (AO) ^ 2 + r ^ 2 \] \ [(AC) ^ 2 = 16 + 9 \] \ [(AC) ^ 2 = 25 \] \