Instrukcija

Ierobežojumu tiešā aprēķināšana galvenokārt ir saistīta ar racionālu QM (X) / RN (X) robežām, kur Q un R ir polinomi. Ja ierobežojums tiek aprēķināts pie X → A (A - numurs), tad var rasties nenoteiktība, piemēram,. Lai to novērstu, sadaliet skaitītāju un saucēju uz (x - a). Atkārtojiet darbību, līdz nenoteiktība pazūd. Polinomu sadalījums tiek veikts gandrīz tāds pats kā skaitļu sadalījums. Tas ir balstīts uz faktu, ka sadalījums un reizināšana - apgrieztās darbības. Piemērs ir parādīts 1. attēlā. viens.

Pirmā ievērojamā ierobežojuma izmantošana. Pirmā ievērojamā limita formula ir parādīta 1. attēlā. 2a. Lai to izmantotu, dodiet savu piemēru izteikumu atbilstošajam prātam. To vienmēr var veikt tikai algebriski vai nomainīt mainīgo. Galvenais - neaizmirstiet, ka, ja sinusa no KX, tad saucējs ir arī KX. Piemērs tiek ņemts vērā 1. attēlā. 2e. Turklāt, ja mēs uzskatām, ka TGX \u003d SINX / COSX, COS0 \u003d 1, tad, kā rezultātā, parādās (sk. 2.b att.). ARCSIN (SINX) \u003d X un ARCTG (TGX) \u003d X. Tāpēc ir vēl divas sekas (Rice 2c un 2d). Joprojām ir diezgan plašs veids, kā.

Otrā ievērojamā ierobežojuma izmantošana (sk. 3.a att.) Šāda veida robežas tiek izmantotas, lai novērstu veida neskaidrības. Lai atrisinātu atbilstošos uzdevumus, vienkārši pārvērst stāvokli uz struktūru, kas atbilst robežai. Atcerieties, ka tad, kad tas tiek uzcelts izteiksmē, kas jau ir bijusi visādā mērā, to rādītāji tiek reizināti. Atbilstošais piemērs ir parādīts 1. attēlā. 2e. Nomainiet aizstājēju α \u003d 1 / x un iegūstiet sekas no otrā ievērojamā robeža (2. att.). Progrigimating, pamatojoties uz abām šīs sekām, nonāks otro seku, tostarp A \u003d E (sk. 2.c attēlu). Veiciet nomaiņu ^ x-1 \u003d y. Tad x \u003d žurnāls (A) (1 + y). Ar veikšanu x līdz nullei, arī cenšas nulles. Tādēļ rodas trešās sekas (sk. 2.d att.).

Līdzvērtīgu bezgalīgu mazumu izmantošana. Būtībā mazās funkcijas ir līdzvērtīgas X → A, ja to attiecība α (x) / γ (x) ir vienāds ar vienu. Aprēķinot ierobežojumus ar šādu bezgalīgi nelielu vienkārši ierakstu γ (x) \u003d α (x) + O (α (x)). O (α (x)) ir bezgalīgi neliela augstāka maza mēroga secība nekā α (x). Par to, lim (x → a) o (α (x)) / α (x) \u003d 0. Lai noskaidrotu līdzvērtību, izmantojiet tādus pašus brīnišķīgos ierobežojumus. Metode ļauj ievērojami vienkāršot ierobežojumu meklēšanas procesu, padarot to pārredzamāku.

Agrāk mēs iepazīstām ar piemēriem, kā atrast divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu funkciju attiecības ierobežojumus, ti, izpaušanu no formas 0/0 un ∞ / ∞. Tagad apsveriet jaunu noteikumu par šo neskaidrību atklāšanu.

Teorēma (lopititāte). Ļaujiet funkcijas f (x) un g (x) Diferenciālis kādā punkta apkārtnē a., izņemot, iespējams, pats punkts a.un ļaujiet vai . Tad, ja ir robeža attiecību atvasinājumu šo funkciju, tad ir robeža attiecības paši funkcijas f (x) / g (x) priekš x.→bet,turklāt

(1)

Tādējādi īsu lopitālo noteikumu var formulēt šādi: divu bezgalīgi mazu vai divas bezgalīgi lielas vērtības attiecība ir vienāda ar to atvasinājumu robežu.

Piezīme. Ņemiet vērā, ka formula (1) ir derīga tikai tad, ja pastāv robeža, kas pastāvīgi pastāv. Var gadīties, ka kreisajā pusē pastāv robeža, bet vienlīdzības labajā pusē nepastāv robežvērtība.

Piemēram, atrast. Šis ierobežojums pastāv . Bet attiecību atvasinājumi (1+ cos. x) /1= 1+ cos. x. priekš x.→ ∞ neprasa nekādu ierobežojumu.

Ņemiet vērā, ka, ja atvasināto finanšu instrumentu attiecība vēlreiz atspoguļo sugas 0/0 vai ∞ / ∞ nenoteiktību, tad ir iespējams vēlreiz izmantot formulēto teorēmu, tas ir, dodieties uz otrā atvasinājumu attiecību un tā tālāk.

Atgādināt, ka šie divi gadījumi tiek izvirzīti pēc citām neskaidrībām: ∞ · ∞; 0 · ∞.

Lai atklātu nenoteiktību 1 ∞, 1 0, ∞ 0, ir nepieciešams prologate šo funkciju un atrast limitu logaritmu.

Piemēri.

Taylor formula

Ļaujiet funkcijai y \u003d f (x) Niecina (A, b) un x. 0 Î (a, b).Mēs ievietosim šādu uzdevumu: atrast polinomu P (x), kuru vērtības kaimiņvalstīs x. 0 Vai aptuveni sakrīt ar funkcijas vērtībām f (x)attiecīgajos punktos. Tad tas būs iespējams pieņemt, ka f (x) ≈p (x) un aprēķinu vērtību uzdevums f (x) apkārtnē x. 0 var aizstāt ar vieglāku aprēķināšanas vērtību uzdevumu P (x).

Ļaujiet vēlamo polinomu turēt n p (x) \u003d p N. (x). Mēs to izskatīsim formā

(1)

Šajā līdztiesībā mums ir jāatrod koeficienti.

Lai šo polinomu būtu "tuvu" funkcijai f (x)mums būs nepieciešama šādu vienādību izpilde:

Ļaujiet funkcijai y \u003d f (x) Tam ir atvasinājumi pirms n-ego. Atrodiet polinoma koeficientus P. n ( x.) Pamatojoties uz atvasināto finanšu instrumentu vienlīdzības nosacījumiem.

Mēs ieviešam apzīmējumu n.! \u003d 1 · 2 · 3 ... n., 0! = 1, 1! = 1.

Aizstājējs (1) x. = x. 0 un atrast, bet, no otras puses . tāpēc

Ņemot vērā trešo stāvokli un to, ka

Acīmredzot visiem turpmākajiem koeficientiem būs patiesa formula

Aizstājot atrastās vērtības koeficientu formulā (1), mēs iegūstam vēlamo polinomu:

Apzīmēt un pieņemsim šo atšķirību n.Atlikušās dalībvalstis funkcija f (x) Punktā x. 0. No šejienes Un tāpēc, ja atlikušais loceklis būs mazs.

Izrādās, ka, ja x 0. Î ( a., b.) pavisam x. Î ( a., b.) Ir atvasinājums f. (n + 1) ( x.), tad par patvaļīgu punktu x î (a, b)ir punkts, kas atrodas starp x. 0 I. x. Šādu atlikumu var pārstāvēt kā:

Tas ir tā sauktais lagrange formula Atlikušajam loceklim.

Kur x î ( x. 0 , x.) Sauc taylor formula.

Ja šajā formulā likts x. 0 \u003d 0, tad tas tiks uzrakstīts formā

kur x î ( X. 0 , x.). Šo konkrēto Taylor formulas gadījumu sauc par makloorena formula.

Sadalīšanās atbilstoši dažu elementāru funkciju MCLOREN formulai

1. Apsveriet funkciju f (x) \u003d e x. Iedomājieties to saskaņā ar maklogēna formulu polinoma un dažu atlieku daudzuma formā. Lai to izdarītu, atrast atvasinājumus pirms ( n.+1) Pasūtījums:

   

   Tādējādi mēs saņemam

   Izmantojot šo formulu un dodot x. Dažādas vērtības mēs varam aprēķināt vērtību e x..

   Piemēram, par x.\u003d 1, ierobežots n.\u003d 8, mēs iegūstam formulu, kas ļauj atrast aptuveno skaita vērtību e.:

   Un atlikums

   Ņemiet vērā, ka jebkuram x î r. atlikušais gailis

   Patiešām, jo \u200b\u200bξ î (0; x.) Tad lielums e. ξ ir ierobežots fiksētā veidā x.. Priekš x.> 0 e. ξ < e x.. Mēs to pierādām, kad fiksēts x.

   Ir

   Ja x. Fiksēts, tad ir dabisks numurs N. tā, ka | x.|<N..

   Apzīmē, atzīmējot to 0 n\u003e n. Mēs varam rakstīt

   Bet neatkarīgi no n.un kopš Q<1. Поэтому Līdz ar to

   Tātad, ar kādu x., ņemot pietiekamu skaitu komponentu, mēs varam aprēķināt e x. Ar jebkuru precizitāti.

2. Dzert sadalīšanās ar Maclorenas Formula funkciju f (x)\u003d Grēks x..

   Mēs atrodam secīgus atvasinājumus no funkcijas f (x)\u003d Grēks x..

   

   Iegūtās vērtības aizstāšana makrologa formulā, mēs iegūstam sadalījumu:

   

   Tas ir viegli redzēt šo konvertēšanu n.-Y sērijas dalībnieks, iegūstiet

   Kā tad līdzīgi sadalīšanās e x. Jūs to varat parādīt visiem x..

   Piemērs. Piemērot iegūto formulu aptuvenam grēka 20 ° aprēķināšanai. Priekš n.\u003d 3 Mums būs:

   

   Ļaujiet mums novērtēt precizitāti, kas ir vienāda ar atlikušo locekli:

   Tādējādi, grēks 20 ° \u003d 0.342 ar precizitāti 0,001.

3. f (x) \u003d cos x.. Līdzīgi kā iepriekšējo sadalīšanās, var atsaukt šādu formulu:

   

Atvasinājumu piemērošana funkciju un veidošanas grafiku izpētei

Nepieciešamie un pietiekami palielināšanas un dilstošā funkcijas apstākļi

Atgādinot pirmo funkciju palielināšanas un samazināšanas definīciju.

Funkcija y \u003d f (x)definēts dažos segmentos [ a, B.] (Intervāls ( a, B.)) pieaugošs Par šo segmentu, ja lielāka argumenta vērtība x. No [ a, B.] atbilst lielākajai funkcijas vērtībai, kas ir, ja x. 1 < x. 2, T. f (X. 1 ) < f (X. 2 ) .

Funkcija y \u003d f (x) izsaukts dilstošs uz dažiem segmentiem [ a, B.] Ja argumenta vērtība ir mazāka x. No [ a, B.] atbilst lielākajai funkcijas vērtībai, kas ir, ja x. 1 < x. 2, T. f (X. 1 ) > f (X. 2 ) .

Funkcija tikai palielinās vai samazinās segmentā, tiek saukta par monotonu šajā segmentā.

Funkcija y \u003d f (x) sauc par nemainīgu dažu segmentu [ a, B.] Ja mainot argumentu x. Tas aizņem tādas pašas nozīmes.

Apsveriet attēlā attēlotās funkcijas grafiku un nosaka funkcijas palielināšanas un samazināšanas nepilnības.

(-∞, a.), (c., + ∞) - samazinās;

(a, B.) - nemainīga;

(b, C.) - Palielinājums.

Piemērot atvasinājuma koncepciju, lai pētītu funkcijas pieaugumu un samazinājumu.

Teorēma 1. (nepieciešami un pietiekams palielināšanas funkcijas nosacījums)

Funkcijas atvasinājums neietilpst tālu, un lopitit likuma noteikumu gadījumā tas tieši tur nokrīt, ja sākotnējā funkcija samazinās. Šis apstāklis \u200b\u200bpalīdz izpaust formu 0/0 vai ∞ / ∞, un dažas citas neskaidrības, kas izriet no aprēķina robeža Divas bezgalīgi mazas vai bezgalīgi lielas funkcijas. Aprēķins ir ļoti vienkāršots ar šo noteikumu (patiesībā divi noteikumi un komentāri tiem):

Tā kā formula rāda iepriekš, aprēķinot divu bezgalīgi nelielu vai bezgalīgi lielu funkciju attiecību robežu, divu funkciju attiecību robežu var aizstāt ar to attiecību ierobežojumu atvasinājumi Un tādējādi iegūt noteiktu rezultātu.

Ļaujiet mums pievērsties precīzākam lopital noteikumu formulējumam.

Lopital noteikums attiecībā uz divu bezgalīgi nelielu vērtību robežu. Ļaujiet funkcijas f.(x.) I. g.(x. a.. Un tajā brīdī a. a. Atvasinātā funkcija g.(x.) nav vienāds ar nulli ( g."(x. a. vienāds viens ar otru un ir vienādi ar nulli:

.

Lopital noteikums par divu bezgalīgi lielu vērtību robežu. Ļaujiet funkcijas f.(x.) I. g.(x.) ir atvasinājumi (kas ir, diferencējami) kādā punkta apkārtnē a.. Un tajā brīdī a. Viņiem nav atvasinājumu. Tajā pašā laikā kaimiņos punktu a. Atvasinātā funkcija g.(x.) nav vienāds ar nulli ( g."(x.) ≠ 0) un šo funkciju ierobežojumi, kad IKS vēlme uz funkcijas vērtību punktā a. vienāds viens ar otru un ir vienādi ar bezgalību:

.

Tad šo funkciju attiecību ierobežojums ir vienāds ar to atvasinājumu attiecību ierobežojumu:

Citiem vārdiem sakot, par formas 0/0 vai ∞ / ∞ nenoteiktību divu funkciju vērtējums ir vienāds ar to atvasinājumu attiecību ierobežojumu, ja tā pastāv (galīgais, tas ir, vienāds ar noteiktu skaitu vai bezgalīgs, tas ir, vienāds bezgalība).

Piezīmes.

1. Lopital noteikumi tiek piemēroti un kad funkcijas f.(x.) I. g.(x.) nav definēti, kad x. = a..

2. Ja, aprēķinot atvasināto funkciju attiecību robežu f.(x.) I. g.(x.) Mēs atkal nonākam pie 0/0 vai ∞ / ∞ tipa nenoteiktības, lopitālie noteikumi būtu jāpiemēro vairākas reizes (vismaz divas reizes).

3. LOPITAL NOTEIKUMI Piemēro un kad funkciju arguments (x) nav galīgajā skaitā a.un bezgalības ( x. → ∞).

0/0 un ∞ / ∞ sugu nenoteiktību var samazināt līdz citiem veidiem.

Sugu nenoteiktības atklāšana "Nulles sadalījums uz nulli" un "Infinity dalīties ar bezgalību"

1. piemērs.

x.\u003d 2 noved pie 0/0 tipa nenoteiktības. Tāpēc katra funkcijas atvasinājums un saņemt

Skaitītājā tika aprēķināts polinomu atvasinājums, un apzīmētājs - atvasinātā kompleksa logaritmiskā funkcija . Pirms pēdējās vienlīdzības pazīmes tika aprēķināta parastā robeža , Aizstājot deuce vietā.

2. piemērs. Aprēķiniet divu funkciju attiecību ierobežojumu, izmantojot lopitālo noteikumu:

Lēmums. Aizvietošana noteiktā vērtības funkcijā x.

3. piemērs. Aprēķiniet divu funkciju attiecību ierobežojumu, izmantojot lopitālo noteikumu:

Lēmums. Aizvietošana noteiktā vērtības funkcijā x.\u003d 0 noved pie 0/0 tipa nenoteiktības. Tāpēc mēs aprēķinām skaitītāju un saucēju funkciju atvasinājumus un saņemiet:

4. piemērs. Aprēķināt

Lēmums. ICA vērtības noteiktajā funkcijā, kas vienāda ar bezgalības plus, noved pie formas ∞ / ∞ nenoteiktības. Tāpēc tiek piemērots lopitālais noteikums:

Komentēt. Mēs dodamies uz piemēriem, kuros ir jāizmanto lopitālā noteikums divreiz, tas ir, lai nonāktu pie otrā atvasināto finanšu instrumentu attiecību ierobežojuma, jo pirmā atvasināto finanšu instrumentu attiecība ir formas 0/0 nenoteiktība vai ∞ / ∞.

Piemērot lopitālo noteikumu vien, un pēc tam skatiet lēmumu

"Nulles reizināšanas līdz bezgalības" nenoteiktības atklāšana

12. piemērs.Aprēķināt

.

Lēmums. Saņemt

Šajā piemērā tiek izmantota trigonometriskā identitāte.

Sugas "nulles nenoteiktības izpaušana" atklāšana "," Infinity par nulles pakāpi "un" viens līdz bezgalības pakāpei "

Formas nenoteiktība, vai parasti noved pie veidlapas 0/0 vai ∞ / ∞ ar logaritming tipa funkciju

Lai aprēķinātu izteiksmes limitu, jāizmanto logaritmiskā identitāte, kura īpašais gadījums ir logaritma īpašums. .

Izmantojot logaritmisko identitāti un funkcijas funkciju funkciju (lai pārsniegtu limitu), ierobežojums jāaprēķina šādi: \\ t

Atsevišķi, izteiksmes limits būtu atrodams indikatorā grāda un uzcelt e. Vērtībā.

13. piemērs.

Lēmums. Saņemt

.

.

14. piemērs.Aprēķināt, izmantojot lopitālo noteikumu

Lēmums. Saņemt

Aprēķināt izteiksmes limitu indikatorā

.

.

15. piemērs.Aprēķināt, izmantojot lopitālo noteikumu

Lai aprēķinātu limitu, ir nepieciešams, lai aprēķinātu limitu, lai sagatavotu formu 0 0 un ∞ ∞.

Ir neskaidrības no veidlapas 0 · ∞ un ∞ - ∞.

Vissvarīgākā daļa no noteikuma ir saistītas ar funkcijas diferenciāciju un tā atvasinājuma iznīcināšanu.

Lopital likums

1. definīcija.

Kad lim x → x 0 f (x) g (x) \u003d 0 0 vai ∞ ∞ un funkcija f (x), g (x) ir diferencētas X 0 punktā, tad lim x → x 0 f (x) G (x) \u003d lim x → x 0 f "(x) g" (x).

Ja nenoteiktība palielinās pēc lopitālās valdības piemērošanas, tas ir nepieciešams, lai to vēlreiz piemērotu. Lai iegūtu pilnīgu koncepciju, apsveriet vairākus piemērus.

1. piemērs.

Aprēķina, piemērojot lopitālo noteikumu Lim X → 0 grēku 2 (3 x) x · cos (X).

Lēmums

Lai atrisinātu lopitalitātes noteikumu, ir nepieciešams aizstāt. Mēs iegūstam šo Lim X → 0 grēku 2 (3 x) x · cos (x) \u003d grēks 2 (3 · 0) 0 · cos (0) \u003d 0 0.

Tagad jūs varat doties, lai aprēķinātu ierobežojumus, izmantojot noteikumu. Mēs to saņemam

lim x → 0 grēks 2 (3 x) x · cos (x) \u003d 0 0 \u003d lim x → 0 grēks 2 (3 x) "x · cos (x)" \u003d lim x → 0 2 grēks (3 x) ( grēks (3 x)) "x" · cos (x) + x · (cos (x)) "\u003d \u003d lim x → 0 6 grēks (3 x) cos (3 x) cos (x) - x · grēks ( x) \u003d 6 grēks (3 · 0) cos (3 · 0) cos (0) - 0 · grēks (0) \u003d 0 1 \u003d 0

Atbilde: Lim x → 0 grēks 2 (3 x) x · cos (x) \u003d 0.

2. piemērs.

Aprēķiniet noteiktā Lim X → ∞ ln (x) x robežu.

Lēmums

Mēs ražojam bezgalību. Mēs to saņemam

lim x → ∞ ln (x) x \u003d ln (∞) ∞ \u003d ∞ ∞

Iegūtā nenoteiktība norāda, ka ir jāpiemēro lopititāte. Mums tas ir

lim x → ∞ ln (x) x \u003d ∞ ∞ \u003d lim x → ∞ ln (x) "x" \u003d lim x → ∞ 1 x 1 \u003d 1 ∞ \u003d 0

Atbilde: Lim X → ∞ ln (x) x \u003d 0

3. piemērs.

Aprēķiniet noteiktā funkcijas lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) robežu

Lēmums

Mēs veicam aizvietošanas vērtību x. Mēs to saņemam

lim X → 0 + 0 (x 4 ln (x)) \u003d (0 + 0) 4 · ln (0 + 0) \u003d 0 · (- ∞)

Šķīdums noveda pie nulles veida nenoteiktības, kas reizināts ar negatīvu bezgalību. Tas norāda, ka ir nepieciešams atsaukties uz nenoteiktību tabulu un veikt risinājumus, lai izvēlētos šīs robežas atrašanas metodi. Pēc konvertēšanas mēs izmantojam lopitālo noteikumu. Mēs to saņemam

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) \u003d 0 · (- ∞) \u003d lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 \u003d ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 \u003d - ∞ + ∞

Nenoteiktības ierašanās liek domāt, ka ir nepieciešams atkārtoti piemērot šo noteikumu. Mums tas ir

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) \u003d 0 · (- ∞) \u003d lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 \u003d - ∞ + ∞ \u003d \u003d lim x → 0 + 0 (ln x)) "(x - 4)" \u003d lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 \u003d - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 \u003d - 1 4 · 1 (0 + 0) - 4 \u003d \u003d - 1 4 · (0 + 0) 4 \u003d 0

Atbilde: Lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) \u003d 0

4. piemērs.

Veiciet ierobežojuma ierobežojuma robežas aprēķinu → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2.

Lēmums

Pēc aizvietošanas mēs saņemam

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 \u003d ∞ - ∞

Nenoteiktības klātbūtne norāda, ka jāizmanto lopititāte. Mēs to saņemam

lim X → 0 CTG 2 (x) - 1 x 2 \u003d ∞ - ∞ \u003d lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 \u003d \u003d lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - Sin 2 (x) x 2 grēks 2 (x) \u003d lim x → 0 x cos x - sin xx cos x + sin xx 2 sin 2 (x) \u003d \u003d lim x → 0 x cos x - sin xx grēks 2 (x ) X cos x + sin xx \u003d lim x → 0 x cos x - sin xx grēks 2 (x) cos x + sin xx \u003d \u003d lim x → 0 cos x + sin xx lim x → 0 x cos x - sin xx grēks 2 (x) \u003d 2 lim x → 0 x cos x - sin xx sin 2 (x) \u003d 2 0 · cos (0) - grēks (0) 0 · Sin 2 (0) \u003d 0 0

Par pēdējo pāreju, pirmais brīnišķīgais ierobežojums tika izmantots. Pēc tam mēs nonākam pie Lopital lēmuma. Mēs to saņemam

2 lim x → 0 x cos x - sin xx grēks 2 (x) \u003d 0 0 \u003d 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) "(x sin 2 (x))" \u003d \u003d 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x \u003d 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x \u003d 0 0

Tā kā nenoteiktība neatstāja, vēl viens pieteikums ir nepieciešams, lai lopitāls noteikums. Mēs iegūstam tipa veidu

2 Lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x \u003d 0 0 \u003d 2 lim x → 0 - x "grēks (x) + 2 x cos x" \u003d \u003d 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x \u003d - 2 · 1 3 · cos (0) - 2 · 0 · grēks (0) \u003d - 2 3

Atbilde: Lim X → 0 C t G 2 (x) - 1 x 2 \u003d - 2 3

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, izvēlieties to un nospiediet Ctrl + Enter

Iedomājieties, ka zvirbulis ar izkaisītām acīm. Nē, tas nav pērkons, nevis viesuļvētra, nevis pat mazs zēns ar savām rokām. Tikai mazākajos cāņos, milzīgs milzīgs lielgabalu kodols. Tieši lopital noteikumi Tiek izvietoti ārpus nenoteiktības vai.

Lopital noteikumi - ļoti spēcīga metode, kas ļauj ātri un efektīvi novērst norādītās neskaidrības, tas nav nejauši, ka uzdevumu kolekcijās testos bieži atrodami stabila zīmogs: "Aprēķināt robežu, neizmantojot auglības noteikumu" Izvēlēta treknraksta prasība var ar tīru sirdsapziņu, kas atribūta jebkuram nodarbību robežai Ierobežojumi. Risinājumu piemēri, Brīnišķīgi ierobežojumi. Limitu risināšanas metodes, Brīnišķīgas ekvivalencesJa nav atrasts nenoteiktība "nulle līdz nullei" vai "bezgalība par bezgalību". Pat tad, ja uzdevums ir formulēts īsi, "aprēķināt limitus", tad tas netieši nozīmē, ka jūs baudīsiet visu kaut ko, bet ne ar Lopital noteikumiem.

Kopējie noteikumi divi, un tie ir ļoti līdzīgi viens otram, gan būtībā, gan ar lietošanas metodi. Papildus tūlītējiem piemēriem par tēmu mēs arī izpētīsim papildu materiālu, kas būs noderīgs, veicot turpmāku matemātiskās analīzes izpēti.

Nekavējoties izdarīt atrunu, ka noteikumi tiks sniegti lakoniskā "praktiskā" formā, un, ja jums ir jāņem teorija, es iesaku sazināties ar mācību grāmatu stingrākiem aprēķiniem.

Pirmais lopititāls noteikums

Apsveriet funkcijas bezgalīgi mazskādā brīdī. Ja ir robeža to attiecību, lai novērstu nenoteiktību, jūs varat veikt divi atvasinājumi - no skaitītāja un no saucēja. Kur: , i.e.

Piezīme : Jābūt arī ierobežojumam, pretējā gadījumā noteikums nav piemērojams.

Kas izriet no iepriekš minētā?

Pirmkārt, jums ir jāspēj atrast atvasinātās funkcijasun labāk - labāk \u003d)

Otrkārt, atvasinājumi tiek ņemti atsevišķi no skaitītāja un atsevišķi no saucēja. Lūdzu, neaizmirstiet ar privātā diferenciācijas noteikumu !!!

Un, treškārt, "x" var censties jebkur, ieskaitot bezgalību - ja tikai tur bija nenoteiktība.

Atgriezīsimies, piemēram, pirmajā rakstā 5. piemērā uz ierobežojumiemkurā tika iegūts šāds rezultāts:

Līdz nenoteiktībai 0: 0 Piemērot pirmo Lopital noteikumu:

Kā jūs varat redzēt, skaitītāja un saucēja diferenciācija mūs noveda pie apgrozījuma grīdas: viņi atrada divus vienkāršus atvasinājumus, nodot "Deuce", un izrādījās, ka nenoteiktība pazuda bez pēdām !

Tas nav nekas neparasts, kad Lopital noteikumi ir jāizmanto secīgi divus vai vairāk reizes (tas attiecas arī uz otro noteikumu). 2. piemērs Nodarbības retro vakarā par brīnišķīgajiem ierobežojumiem:

Uz divstāvu gulta, divi bageļi tiek atdzesēti vēlreiz. Uzklājiet lopitālo noteikumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā posmā saucējs ņem atvasināto kompleksa funkcija. Pēc tam mēs it īpaši veicam vairākus starpposma vienkāršojumus, mēs atbrīvojamies no kosinas, norādot, ka viņš ir apņēmies apvienot vienotību. Nenoteiktība netiek novērsta, tāpēc mēs atkal izmantojam lopitālo noteikumu (otrā līnija).

Es īpaši paņēmu ne vieglāko piemēru, lai jūs pavadītu mazu pašpārbaudi. Ja ne gluži saprotams, kā atrasts atvasinājumi, diferenciācijas tehnika ir jāstiprina, ja fokuss nav skaidrs ar kosine, lūdzu, atgriezieties brīnišķīgs ierobežojums. Es neredzu īpašu punktu soli pa solim komentāriem, kā jau teicu par atvasinātajiem finanšu instrumentiem un detalizēti ierobežojumiem. Raksta jaunums sastāv no pašiem noteikumiem un dažiem lēmuma tehniskajiem paņēmieniem.

Kā jau minēts, vairumā gadījumu lopitit noteikumi nav jāizmanto, bet tie bieži ir ieteicami piemērot risinājumu pārbaudes projektu. Bieži, bet ne vienmēr. Tāpēc, piemēram, uzskatītais piemērs ir daudz izdevīgāks, lai pārbaudītu brīnišķīgas ekvivalences.

Otrs lopititāls noteikums

Brālis-2 cīnās ar divām slaucīšanas astoņiem. Līdzīgi:

Ja ir attiecību ierobežojums bezgalīgi lielsfunkciju punktos:, lai novērstu nenoteiktību, jūs varat veikt divi atvasinājumi - atsevišķi no skaitītāja un atsevišķi no saucēja. Kur: , i.e diferencējot skaitītāju un saucēju, robežvērtība nemainās.

Piezīme : Ierobežojums ir jābūt

Atkal, dažādos praktiskos piemēros vērtība var būt atšķirīga, Ieskaitot bezgalīgas. Ir svarīgi, lai pastāv nenoteiktība.

Pārbaudiet pirmā nodarbības 3. piemēru: . Mēs izmantojam otro Lopital noteikumu:

Tā kā viņš runāja par milžiem, mēs analizēsim divus kanoniskus ierobežojumus:

1. piemērs.

Aprēķiniet limitu

Lai iegūtu atbildi "Parastās" metodes nav viegli, lai atklātu nenoteiktību "Infinity līdz bezgalībai" mēs izmantojam lopitālo noteikumu:

Pa šo ceļu, augstākas izaugsmes secības lineārā funkcija nekā logaritms ar lielu vienību bāzi(utt.). Protams, "Ikers" vecākajos grādos arī "vilkt" šādus logaritmus. Patiešām, funkcija aug diezgan lēni un tā grafiks Tas ir biežāk sastopams kā tāds pats "IKSA".

2. piemērs.

Aprēķiniet limitu

Vēl viens apstrīdēts rāmis. Lai novērstu nenoteiktību, mēs izmantojam lopitālo noteikumu un divas reizes pēc kārtas:

Indikatīvā funkcija ar bāzi, lielām vienībām(utt.) Augstāka izaugsmes procedūra nekā spēcīga funkcija ar pozitīvu grādu.

Līdzīgi ierobežojumi tiek atrasti laikā pilnīga funkcija funkcija, proti, kad asymptot grafiki. Viņi arī ir pamanījuši dažos uzdevumos varbūtības teorijas. Es ieteiktu jums ņemt vērā abus uzskatus, tas ir viens no nedaudzajiem gadījumiem, kad nav nekas labāks par skaitītāja un saucēja diferenciāciju.

Turklāt tekstā es neatšķiros pirmo un otro lopitalitātes noteikumu, tas tika darīts tikai, lai izspiestu šo pantu. Kopumā, no mana viedokļa, tas ir nedaudz kaitīgs numurētiem matemātiskiem aksiomiem, teorēmiem, noteikumiem, īpašībām, jo \u200b\u200bfrāzes, piemēram, "Saskaņā ar izmeklēšanu 3 teorēmā 19 ..." ir informatīvs tikai saskaņā ar mācību grāmatu tikai. Citā informācijas avotā tas pats būs "Sekas 2 un teorēma 3". Šādi paziņojumi ir formāli un ir pietiekami ērti autoriem. Ideālā gadījumā ir labāk atsaukties uz matemātiskā fakta būtību. Izņēmums - vēsturiski noteiktie noteikumi, piemēram, pirmais brīnišķīgais ierobežojums vai otrais brīnišķīgais ierobežojums.

Mēs turpinām attīstīt tēmu, ko es iemeta locekli Parīzes Zinātņu akadēmijas Marquis Guillaume Francois de Lopital. Raksts iegūst izteiktu praktisku krāsu un diezgan kopīgā uzdevumā prasa:

Lai treniņu, mēs nodarbosimies ar pāris maziem spinīniem:

3. piemērs.

Limits var būt iepriekš vienkāršots, atbrīvojoties no kosiniem, bet mēs parādīsim cieņu pret stāvokli un nekavējoties izvēlēties skaitītāju un saucēju:

Atvasināto finanšu instrumentu meklēšanas procesā nav nekāda nestandarta, tāpēc apzīmējumā izmantoja parasto diferenciācijas noteikums Darbs .

Uzskatītais piemērs tiek iznīcināts un caur brīnišķīgi ierobežojumiLīdzīga lieta tiek izjaukta raksta beigās. Kompleksie ierobežojumi.

4. piemērs.

Aprēķināt limitā esošo robežu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Parasti joked \u003d)

Situācija ir tipiska, ja pēc diferenciācijas iegūst trīs vai četru stāvu frakcijas:

5. piemērs.

Aprēķiniet limitu, izmantojot lopitālo noteikumu

Pieteikums liecina brīnišķīga ekvivalenceBet ceļš ir stingri iepriekš noteikts ar nosacījumu:

Pēc diferenciācijas es stingri iesaku atbrīvoties no frakcijām un maksimāli palielināt vienkāršojumus. Protams, vairāk sagatavoto studentu var izlaist pēdējo soli un nekavējoties rakstīt: Bet dažos ierobežojumos ir sajaukti pat izcili studenti.

6. piemērs.

Aprēķiniet limitu, izmantojot lopitālo noteikumu

7. piemērs.

Aprēķiniet limitu, izmantojot lopitālo noteikumu

Tie ir piemēri neatkarīgiem risinājumiem. 7. piemērā, ir iespējams vienkāršot kaut ko pārāk vienkāršu pēc diferenciācijas frakcijas. Bet, piemēram, 8. piemērā pēc lopitālās likuma piemērošanas, ir ārkārtīgi vēlams atbrīvoties no trīsstāvu radījumiem, jo \u200b\u200baprēķini nebūs ērtāk. Pilnīgs risinājums un atbilde stundas beigās. Ja ir grūtības - trigonometriskā tabula palīdzēt.

Un vienkāršots, ir absolūti nepieciešams, ja nenoteiktība pēc diferenciācijas nav novērsts.

8. piemērs.

Aprēķiniet limitu, izmantojot lopitālo noteikumu

Iet:

Interesanti, sākotnējā nenoteiktība pēc pirmās diferenciācijas ir kļuvusi par nenoteiktību, un lopitālo noteikumu mierīgi piemēro tālāk. Arī paziņojums, kā pēc katras "pieejas" novērš četru stāvu frakciju, un konstantes tiek izņemts no robežas. Vienkāršākos piemēros nemainīgais nav ērtāks, lai veiktu, bet, ja ierobežojums ir sarežģīts, mēs vienmēr vienkāršojam visu. Atrisinātā piemēra viltība sastāv arī to, ka , tā, ievērojot sinusa likvidēšanu, nav grūti sajaukt zīmēs. Jo priekšpēdējā līnijā, sinusus nevar nogalināt, bet piemērs ir diezgan smags, piedots.

Otrā diena man bija nozvejotas ziņkārīgs uzdevums:

9. piemērs.

Lai būtu godīgi, nedaudz šaubās, kas būs vienāds ar to pašu robežu. Kā parādīts iepriekš, augstākas izaugsmes secības nekā logaritma kārtība, bet tas ir "pagrieziens", ja tas ir logaritms Kubā? Mēģiniet uzzināt sevi, kas būs uzvara.

Jā, Lopital noteikumi ir ne tikai palete zvirbuļiem no ieročiem, bet arī rūpīgi strādā.

Lai piemērotu bagus vai nogurušus astoņus, sugas neskaidrības tiek samazinātas.

Disassembed ar nenoteiktību detalizēti piemēri Nr 9-13 nodarbības Limitu risināšanas metodes. Viens vairāk:

10. piemērs.

Aprēķiniet funkcijas robežu, izmantojot lopitālo noteikumu

Pirmajā posmā mēs sniedzam ekspresiju vispārējam saucniekam, tādējādi pārveidojot nenoteiktību nenoteiktību. Un tad es iekasēju lopitālo noteikumu:

Šeit, starp citu, lieta, kad četru stāvu izteiksme to pieskaras bezjēdzīgiem.

Nenoteiktība arī nav pretoties transformācijai vai:

11. piemērs.

Aprēķiniet funkcijas robežu, izmantojot lopitālo noteikumu

Limits šeit ir vienpusējs, un par šādiem ierobežojumiem jau ir apspriesti metodēs Funkciju diagrammas un īpašības. Kā jūs atceraties, grafika "Classic" Logarithm nepastāv pa kreisi no ass, tāpēc mēs varam tuvoties nullei tikai pa labi.

Lopital noteikumi vienvirziena ierobežojumiem, bet vispirms ir jātiek galā ar nenoteiktību. Pirmajā posmā mēs darām daļu no trīsstāvu, iegūstot nenoteiktību, tad lēmums iet uz veidnes shēmu:

Pēc skaitītāja un saucēja diferenciācijas mēs atbrīvojamies no četru stāvu frakcijas, lai vienkāršotu. Tā rezultātā notika nenoteiktība. Mēs atkārtojam triks: atkal mēs darām trīsstāvu daļu un iegūto nenoteiktību, mēs atkal izmantojam lopitālo noteikumu:

Gatavs.

Sākotnējo limitu varētu mēģināt samazināt divus maisus:

Bet, pirmkārt, atvasinājums saucējs ir grūtāk, un, otrkārt, nekas labs tiks atbrīvots.

Pa šo ceļu, pirms līdzīgu piemēru risinājuma ir jāanalizē (mutiski vai nu uz projektu), kas nenoteiktība ir izdevīgāka, lai samazinātu - uz "nulle līdz nullei" vai "bezgalībai līdz bezgalībai".

Savukārt tiek pastiprināti dzeršanas pavadoni un eksotiskāki biedri. Transformācijas metode ir vienkārša un standarta.