Īpašums:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) lineāro darbību definīcija

divu nekolineāru vektoru summa ir vektors, kas nāk no vektoru kopējās izcelsmes gar uz šiem vektoriem konstruēta paralelograma diagonāli

Vektoru starpība ir vektora un vektoram pretēja vektora summa: . Savienosim vektoru sākumus un , tad vektors tiek virzīts no vektora gala uz vektora galu.

Darbs skaitļa vektoru sauc par vektoru ar moduli , un pie un pie . Ģeometriski reizināšana ar skaitli nozīmē vektora “izstiepšanu” ar koeficientu, virziena saglabāšanu un mainīšanu uz pretējo pie .

No iepriekš minētajiem vektoru pievienošanas un reizināšanas ar skaitli noteikumiem izriet acīmredzami apgalvojumi:

1. (pievienošana ir komutatīva);

2. (papildinājums ir asociatīvs);

3. (nulles vektora esamība);

4. (pretēja vektora esamība);

5. (papildinājums ir asociatīvs);

6. (reizināšana ar skaitli ir sadaloša);

7. (vektora pievienošana ir sadaloša);

c) skalārais reizinājums un tā pamatīpašības

Punktu produkts divi vektori, kas atšķiras no nulles, ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu reizinājumu. Ja vismaz viens no diviem vektoriem ir nulle, tad leņķis starp tiem nav definēts, un skalāro reizinājumu uzskata par vienādu ar nulli. Vektoru un skalārais reizinājums ir apzīmēts

, Kur un ir vektoru garumi un attiecīgi , un ir leņķis starp vektoriem un .

Vektora skalāro reizinājumu ar sevi sauc par skalāro kvadrātu.

Skalārā reizinājuma īpašības.

Jebkuriem vektoriem ir taisnība: punktu produkta īpašības:

skalārā reizinājuma komutatīvais īpašums;

sadales īpašums vai ;

asociatīvais īpašums vai , kur ir patvaļīgs reāls skaitlis;

vektora skalārais kvadrāts vienmēr ir nenegatīvs tad un tikai tad, ja vektors ir nulle.

D) vektorprodukts un tā īpašības

vektora produkts vektoru a uz vektoru b sauc par vektoru c, kura garums ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas konstruēts uz vektoriem a un b, perpendikulāri šo vektoru plaknei un vērsts tā, lai mazākā rotācija no a līdz b ap vektoru c ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam, skatoties no gala vektora c

Formulas vektoru vektorreizinājuma aprēķināšanai

Vektoru mākslas darbs divi vektori a = (a x; a y; a z) un b = (b x; b y; b z) Dekarta koordinātu sistēmā ir vektors, kura vērtību var aprēķināt, izmantojot šādas formulas:

• Divu nulles vektoru a un b šķērsreizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vektori ir kolineāri.
• Vektors c, kas vienāds ar nulles vektoru a un b šķērsreizinājumu, ir perpendikulārs šiem vektoriem.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Taisnes vienādojums plaknē

A) taisnes vienādojums ar leņķa koeficientu

Taisnas līnijas slīpums sauc par šīs līnijas slīpuma leņķa tangensu.

Taisnas līnijas slīpumu parasti apzīmē ar burtu k. Tad pēc definīcijas.

Ja taisne ir paralēla ordinātu asij, tad slīpums neeksistē (šajā gadījumā arī saka, ka slīpums iet uz bezgalību).

Pozitīvs līnijas slīpums norāda uz tās funkcijas grafika palielināšanos, negatīvs norāda uz samazinājumu. Taisnes vienādojumam ar leņķa koeficientu ir forma y=kx+b, kur k ir taisnes leņķiskais koeficients, b ir kāds reāls skaitlis. Izmantojot taisnes ar leņķa koeficientu vienādojumu, var norādīt jebkuru taisni, kas nav paralēla Oy asij (taisnei, kas ir paralēla ordinātu asij, leņķiskais koeficients nav definēts).

B) taisnu vienādojumu veidi

Vienādojums sauca līnijas vispārējais vienādojums uz virsmas.

Jebkurš pirmās pakāpes vienādojums ar diviem mainīgajiem x Un y laipns , Kur A, IN Un AR– daži reāli skaitļi un A Un IN vienlaikus nav vienādi ar nulli, definē taisni taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy plaknē, un katra plaknes līnija ir dota ar formas vienādojumu .

Formas līnijas vienādojums , kur a Un b– tiek izsaukti daži reāli skaitļi, kas nav nulles taisnas līnijas vienādojums segmentos. Šis nosaukums nav nejaušs, jo ir skaitļu absolūtās vērtības A Un b vienāds ar to segmentu garumiem, kurus taisne nogriež uz koordinātu asīm Vērsis Un Oy attiecīgi (segmenti tiek skaitīti no sākuma).

Formas līnijas vienādojums , kur x Un y- mainīgie un k Un b– tiek izsaukti daži reāli skaitļi taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums (k- slīpums)

Kanoniskais taisnes vienādojums plaknē taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā Oxy izskatās kā , kur un ir daži reāli skaitļi, un tajā pašā laikā tie nav vienādi ar nulli.

Acīmredzot taisne, ko nosaka taisnes kanoniskais vienādojums, iet caur punktu. Savukārt skaitļi un daļskaitļu saucējos apzīmē šīs taisnes virziena vektora koordinātas. Tādējādi kanoniskais vienādojums taisni taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy plaknē atbilst taisnei, kas iet caur punktu un kurai ir virziena vektors .

Taisnes parametriskie vienādojumi plaknē izskatās ka , kur un ir daži reāli skaitļi, un tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli, un ir parametrs, kas ņem jebkuras reālas vērtības.

Parametrisko līniju vienādojumi nosaka netiešu attiecību starp abscisēm un punktu ordinātām taisnā līnijā, izmantojot parametru (tātad šāda veida līnijas vienādojuma nosaukums).

Skaitļu pāris, kas tiek aprēķināti no līnijas parametriskajiem vienādojumiem kādai parametra reālai vērtībai, attēlo noteikta taisnes punkta koordinātas. Piemēram, kad mums ir , tas ir, punkts ar koordinātām atrodas uz taisnas līnijas.

Jāņem vērā, ka koeficienti un parametram in parametru vienādojumi līnija ir šīs līnijas virziena vektora koordinātas

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem

Ja telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnes, kas iet caur šiem punktiem, vienādojums ir:

Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošajam skaitītājam jābūt vienādam ar nulli. Plaknē iepriekš rakstītās līnijas vienādojums ir vienkāršots:

ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2.

Tiek izsaukta daļa = k slīpums taisni.

C) leņķa aprēķināšana starp divām taisnēm

ja divas līnijas ir dotas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad akūto leņķi starp šīm līnijām definēs kā

.

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2.

Teorēma. Taisnes Ax + Bу + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = λC, tad taisnes sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

D) divu taisnu paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi

Divu līniju paralēlisma nosacījumi:

a) Ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem ar leņķisko koeficientu, tad to paralēlismam nepieciešamais un pietiekams nosacījums ir to leņķisko koeficientu vienādība:

k 1 = k 2 .

b) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā (6), nepieciešams un pietiekams to paralēlisma nosacījums ir tas, ka koeficienti attiecīgajām strāvas koordinātām to vienādojumos ir proporcionāli, t.i.

Divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījumi:

a) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumu (4) ar leņķa koeficientu, nepieciešams un pietiekams to perpendikulitātes nosacījums ir, lai to leņķiskie koeficienti būtu apgriezti pēc lieluma un pretēji pēc zīmes, t.i.

Šo nosacījumu var ierakstīt arī formā

k 1 k 2 = -1.

b) Ja taisnu vienādojumi ir doti vispārīgā formā (6), tad to perpendikulitātes nosacījums (nepieciešams un pietiekams) ir izpildīt vienādību

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Funkciju ierobežojums

A) secības ierobežojums

Robežas jēdzienu izmantoja Ņūtons 17. gadsimta otrajā pusē un 18. gadsimta matemātiķi, piemēram, Eilers un Lagrenžs, taču viņi robežu saprata intuitīvi. Pirmās stingrās secības ierobežojuma definīcijas sniedza Bolcāno 1816. gadā un Košī 1821. gadā.

Numurs tiek izsaukts skaitļu virknes robeža, ja secība ir bezgalīgi maza, t.i., visi tās elementi, sākot no noteikta, absolūtā vērtībā ir mazāki par jebkuru iepriekš noteiktu pozitīvu skaitli.

Ja skaitļu virknei ir ierobežojums reāla skaitļa formā, to sauc saplūst uz šo numuru. Pretējā gadījumā secība tiek izsaukta atšķiras . Ja turklāt tas ir neierobežots, tad pieņem, ka tā robeža ir vienāda ar bezgalību.

Turklāt, ja visiem neierobežotas secības elementiem, sākot no noteikta skaitļa, ir pozitīva zīme, tad šādas secības robeža tiek uzskatīta par plus bezgalība .

Ja neierobežotas secības elementiem, sākot no noteikta skaitļa, ir negatīva zīme, tad viņi saka, ka šādas secības robeža ir vienāda ar mīnus bezgalība .

B) funkcijas robeža

Funkciju ierobežojums (funkcijas robežvērtība) V dots punkts, kas ierobežo funkcijas definīcijas apgabalu, ir vērtība, līdz kurai aplūkojamās funkcijas vērtība tiecas, jo tās arguments tiecas uz noteiktu punktu.

Funkciju ierobežojums ir secības robežas jēdziena vispārinājums: sākotnēji funkcijas robeža punktā tika saprasta kā funkcijas vērtību domēna elementu secības robeža, kas sastāv no punktu attēliem. funkcijas definīcijas apgabala elementu secība, kas konverģē uz noteiktu punktu (robežu, kurā tiek aplūkota); ja šāda robeža pastāv, tad tiek teikts, ka funkcija konverģē uz norādīto vērtību; ja šāda robeža nepastāv, tad tiek teikts, ka funkcija atšķiras.

Funkciju ierobežojums- viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem. Vērtību sauc ierobežojums (robežvērtība).

Vērtību sauc ierobežojums (robežvērtība) darbojas punktā, ja jebkuram iepriekš ņemtam pozitīvam skaitlim ir atbilstošs pozitīvs skaitlis, lai visiem argumentiem, kas atbilst nosacījumu, nevienlīdzība ir izpildīta.

C) divas ievērojamas robežas

· Pirmais ievērojamais ierobežojums:

Sekas

·

·

·

· Otra ievērojamā robeža:

Sekas

1.

2.

3.

4.

5. Priekš ,

6.

D) bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas funkcijas

Funkcija y=f(x) sauca bezgala mazs plkst x→a vai kad x→∞, ja vai , t.i. nebeidzami maza funkcija ir funkcija, kuras robeža dotajā punktā ir nulle.

ja funkcija y=f(x) reprezentējams ar x→a kā nemainīga skaitļa summa b un bezgalīgi mazs lielums α(x): f(x)=b+ α(x) Tas .

Un otrādi, ja , tad f(x)=b+α(x), Kur a(x)– bezgalīgi mazs plkst x→a.

Secinājums 1. Ja un, tad.

Secinājums 2. Ja c= const, tad .

Ja funkcija f(x) ir bezgalīgi liels plkst x→a, tad funkcija 1 /f(x) ir bezgalīgi mazs plkst x→a.

Ja funkcija f(x)- bezgalīgi mazs plkst x→a(vai x→∞) un tad nepazūd y= 1/f(x) ir bezgalīga lieliska funkcija. Bezgalīgi mazu un bezgalīgi lielu funkciju vienkāršākās īpašības var uzrakstīt, izmantojot šādas nosacītās attiecības: A≠ 0

D) neskaidrību atklāšana. L'Hopital likums

galvenie nenoteiktību veidi: nulle dalīta ar nulli ( 0 pret 0), bezgalība dalīta ar bezgalību, nulle reizināta ar bezgalību, bezgalība mīnus bezgalība, viens bezgalības pakāpei, nulle nulles pakāpei, bezgalība nulles pakāpei.

L'Hopital likumsļoti plaši izmanto limitu aprēķini ja pastāv nenoteiktība formā nulle dalīta ar nulli, bezgalība dalīta ar bezgalību.

Šāda veida nenoteiktības ietver nenoteiktības, kas reizinātas ar bezgalību un bezgalību mīnus bezgalība.

Ja un ja funkcijas f(x) Un g(x) ir diferencējami punkta tuvumā, tad

Gadījumā, ja pēc L'Hopital noteikuma piemērošanas nenoteiktība nepazūd, to var piemērot vēlreiz.

Atvasinājumu aprēķins

A) diferenciācijas noteikums sarežģīta funkcija

Lai notiek sarežģīta funkcija , kur funkcija ir starpposma arguments. Parādīsim, kā atrast kompleksas funkcijas atvasinājumu, zinot funkcijas atvasinājumu (apzīmēsim ar) un funkcijas atvasinājumu.

1. teorēma. Ja funkcijai punktā ir atvasinājums x, un funkcijai ir atvasinājums punktā (), tad kompleksā funkcija punktā x ir atvasinājums un = .

Pretējā gadījumā kompleksās funkcijas atvasinājums ir vienāds ar dotās funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu un starpposma argumenta atvasinājumu.

B) parametriski norādītas funkcijas diferenciācija

Ļaujiet funkcijai dot parametru formā, tas ir, formā:

kur funkcijas un ir definētas un nepārtrauktas noteiktā parametra variācijas intervālā . Atradīsim katras vienādības labās un kreisās puses atšķirības:

Lai atrastu otro atvasinājumu, mēs veicam šādas transformācijas:

B) funkcijas logaritmiskā atvasinājuma jēdziens

Pozitīvas funkcijas logaritmisko atvasinājumu sauc par tās atvasinājumu. Tā kā , tad saskaņā ar kompleksās funkcijas diferenciācijas likumu logaritmiskajam atvasinājumam iegūstam šādu sakarību:

.

Izmantojot logaritmisko atvasinājumu, ir ērti aprēķināt parasto atvasinājumu gadījumos, kad logaritms vienkāršo funkcijas formu.

Šīs diferenciācijas būtība ir šāda: vispirms atrodiet logaritmu dotā funkcija, un tikai tad tiek aprēķināts atvasinājums no tā. Dota kāda funkcija. Ņemsim šīs izteiksmes kreisās un labās puses logaritmus:

Un tad, izsakot vēlamo atvasinājumu, rezultāts ir:

D) apgrieztās funkcijas atvasinājums

Ja y=f(x) un x=g(y) ir savstarpēji apgrieztu funkciju pāris un funkcijai y=f(x) ir atvasinājums f"(x), tad apgrieztās funkcijas g"( x)=1/f" (x).

Tādējādi savstarpēji apgriezto funkciju atvasinājumi ir savstarpējie lielumi. Apgrieztās funkcijas atvasinājuma formula:

D) implicītās funkcijas atvasinājums

Ja viena mainīgā funkcija ir aprakstīta ar vienādojumu y=f(x), kur mainīgais y ir kreisajā pusē, un labā puse ir atkarīga tikai no argumenta x, tad viņi saka, ka funkcija ir dota nepārprotami. Piemēram, sekojošas funkcijas skaidri norādīts:

y= grēks x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.

Tomēr daudzās problēmās funkciju var norādīt netieši, t.i. kā vienādojums

F(x,y)=0.

lai atrastu atvasinājumu y′( x) netieši norādīta funkcija nav jāpārvērš tiešā formā. Lai to izdarītu, zinot vienādojumu F(x,y)=0, vienkārši rīkojieties šādi:

Vispirms jums ir jānošķir abas vienādojuma puses attiecībā pret mainīgo x, pieņemot, ka y− ir diferencējama funkcija x un izmantojot noteikumu kompleksas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanai. Šajā gadījumā nulles atvasinājums (labajā pusē) arī būs vienāds ar nulli.
komentēt: Ja labā puse nav nulle, t.i. netiešais vienādojums ir

f(x,y)=g(x,y),

tad mēs atšķiram vienādojuma kreiso un labo pusi.

Atrisiniet iegūto atvasinājuma vienādojumu y′( x).

Atvasinājuma jēdziens

A) atvasinājuma definīcija

Funkcijas atvasinājums diferenciācija integrācija.

y xx

Atvasinājuma definīcija

Apsveriet funkciju f(x x 0. Pēc tam funkcija f(x) ir diferencējams punktā x 0, un viņa atvasinājums tiek noteikts pēc formulas

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Funkcijas atvasinājums ir viens no matemātikas pamatjēdzieniem, un matemātiskajā analīzē atvasinājums kopā ar integrāli ieņem centrālo vietu. Atvasinājuma atrašanas procesu sauc diferenciācija. Tiek saukta apgrieztā darbība - funkcijas atjaunošana no zināma atvasinājuma integrācija.

Funkcijas atvasinājums noteiktā punktā raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu šajā punktā. Izmaiņu ātruma novērtējumu var iegūt, aprēķinot funkcijas Δ izmaiņu attiecību y uz atbilstošām izmaiņām argumentā Δ x. Atvasinājuma definīcijā šāda sakarība tiek aplūkota limitā ar nosacījumu Δ x→0. Pāriesim pie stingrāka formulējuma:

Atvasinājuma definīcija

Apsveriet funkciju f(x), kura domēnā ir kāds atvērts intervāls ap punktu x 0. Pēc tam funkcija f(x) ir diferencējams punktā x 0, un viņa atvasinājums tiek noteikts pēc formulas

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) ģeometriskā nozīme atvasinājums

Funkcijas atvasinājums, kas aprēķināts noteiktai vērtībai, ir vienāds ar leņķa tangensu, ko veido ass pozitīvais virziens, un pieskares pozitīvo virzienu, kas novilkta šīs funkcijas grafikam punktā ar abscisu:

Ja funkcijai punktā ir galīgs atvasinājums, tad apkārtnē to var tuvināt lineārā funkcija

Funkciju sauc par pieskari punktā Skaitlis.

D) vienkāršāko elementārfunkciju atvasinājumu tabula

DEFINĪCIJA

Vektors sauc par sakārtotu punktu pāri un (tas ir, ir precīzi zināms, kurš no šī pāra punktiem ir pirmais).

Pirmais punkts tiek saukts vektora sākums, un otrais ir viņa beigas.

Attālumu starp vektora sākumu un beigām sauc garums vai vektora modulis.

Tiek saukts vektors, kura sākums un beigas sakrīt nulle un tiek apzīmēts ar ; tā garums tiek uzskatīts par nulli. Citādi, ja vektora garums ir pozitīvs, tad to sauc kas nav nulle.

komentēt. Ja vektora garums ir vienāds ar vienu, tad to sauc ortom vai vienības vektors un ir apzīmēts.

PIEMĒRS

Vingrinājums	Pārbaudiet, vai vektors ir viens.
Risinājums	Aprēķināsim dotā vektora garumu, tas ir vienāds ar kvadrātsakni no koordinātu kvadrātu summas: Tā kā vektora garums ir vienāds ar vienu, tas nozīmē, ka vektors ir orth.
Atbilde	Vienības vektors.

Nenulles vektoru var definēt arī kā virzītu segmentu.

komentēt. Nulles vektora virziens nav definēts.

Vektora virziena kosinusus

DEFINĪCIJA

Virziena kosinusi noteikta vektora kosinusus sauc par leņķiem, kurus vektors veido ar koordinātu asu pozitīvajiem virzieniem.

komentēt. Vektora virzienu unikāli nosaka tā virziena kosinusi.

Lai atrastu vektora virziena kosinusus, vektors ir jānormalizē (tas ir, vektors jāsadala ar tā garumu):

komentēt. Vienības vektora koordinātas ir vienādas ar tā virziena kosinusiem.

TEORĒMA

(Virziena kosinusu īpašība). Virzienu kosinusu kvadrātu summa ir vienāda ar vienu:

tie ir leņķu kosinusi, kurus vektors veido ar koordinātu pozitīvajām pusasīm. Virzienu kosinusi unikāli norāda vektora virzienu. Ja vektora garums ir 1, tad tā virziena kosinusi ir vienādi ar tā koordinātām. Kopumā vektoram ar koordinātām ( a; b; c) virziena kosinusi ir vienādi:

kur a, b, g ir leņķi, ko vektors veido ar asīm x, y, z attiecīgi.

21) Vektora dekompozīcija vienību vektoros. Koordinātu ass vienības vektoru apzīmē ar , asis ar , bet asis ar (1. att.).

Jebkuram vektoram, kas atrodas plaknē, notiek šāda izplešanās:

Ja vektors kas atrodas telpā, tad koordinātu asu izplešanās vienību vektoros ir šāda:

22)Punktu produkts divi vektori, kas nav nulle, un skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un leņķa kosinusu starp tiem sauc:

23) Leņķis starp diviem vektoriem

Ja leņķis starp diviem vektoriem ir akūts, tad to skalārais reizinājums ir pozitīvs; ja leņķis starp vektoriem ir neass, tad šo vektoru skalārā reizinājums ir negatīvs. Divu nulles vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja šie vektori ir ortogonāli.

24) Divu vektoru paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums.

Nosacījums, lai vektori būtu perpendikulāri
Vektori ir perpendikulāri tad un tikai tad, ja to skalārā reizinājums ir nulle Doti divi vektori a(xa;ya) un b(xb;yb). Šie vektori būs perpendikulāri, ja izteiksme xaxb + yayb = 0.

25) Divu vektoru vektorreizinājums.

Divu nekolineāru vektoru vektorreizinājums ir vektors c=a×b, kas atbilst šādiem nosacījumiem: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektori a, b, c veido vektoru labās puses tripletu.

26) Kolineārie un koplanārie vektori.

Vektori ir kolineāri, ja pirmā vektora abscisa ir saistīta ar otrā vektora abscisu tādā pašā veidā kā pirmā vektora ordināta ir otrā. Doti divi vektori a (xa;jā) Un b (xb;yb). Šie vektori ir kolineāri, ja xa = x b Un y a = y b, Kur R.

Vektori −→ a,−→b un −→ c tiek saukti koplanārs, ja ir plakne, kurai tie ir paralēli.

27) Trīs vektoru jauktais reizinājums. Vektoru jauktais reizinājums- vektora a skalārais reizinājums un vektora b un c vektorreizinājums. Atrast jaukts darbs vektori a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Risinājums:

1,1,1 + 1,1,2 + 1,2,3 - 1,1,3 - 1,1,2 - 1,1,2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Attālums starp diviem plaknes punktiem. Attālums starp diviem dotajiem punktiem ir vienāds ar kvadrātsakni no šo punktu vienādu koordinātu atšķirību summas kvadrātā.

29) Segmenta dalīšana šajā saistībā. Ja punkts M(x; y) atrodas uz taisnes, kas iet caur diviem dotiem punktiem ( , ) un ( , ), un ir dota sakarība, kurā punkts M dala nogriezni , tad punkta M koordinātas nosaka pēc formulas

Ja punkts M ir nogriežņa viduspunkts, tad tā koordinātas nosaka pēc formulas

30-31. Taisnas līnijas slīpums sauc par šīs līnijas slīpuma leņķa tangensu. Taisnas līnijas slīpumu parasti apzīmē ar burtu k. Tad pēc definīcijas

Taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums ir forma kur k- taisnas līnijas slīpums, b- kāds reāls skaitlis. Izmantojot taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu, varat norādīt jebkuru taisni, kas nav paralēla asij Oy(taisnei, kas ir paralēla ordinātu asij, leņķiskais koeficients nav definēts).

33. Plaknes taisnes vispārīgais vienādojums. Formas vienādojums Tur ir līnijas vispārējais vienādojums Oxy. Atkarībā no vērtībām konstante A, B un C ir iespējami šādi īpaši gadījumi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – taisne iet caur sākuma punktu

A = 0, B ≠0, C ≠0 (ar + C = 0) — taisna līnija, kas ir paralēla Ox asij

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – taisna līnija, kas ir paralēla Oy asij

B = C = 0, A ≠0 – taisne sakrīt ar Oy asi

A = C = 0, B ≠0 – taisne sakrīt ar Ox asi

34.Līnijas vienādojums segmentos plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir forma kur a Un b- daži reālie skaitļi, kas nav nulle. Šis nosaukums nav nejaušs, jo ir skaitļu absolūtās vērtības A Un b vienāds ar to segmentu garumiem, kurus taisne nogriež uz koordinātu asīm Vērsis Un Oy attiecīgi (segmenti tiek skaitīti no sākuma). Tādējādi līnijas vienādojums segmentos ļauj viegli izveidot šo līniju zīmējumā. Lai to izdarītu, plaknē jāatzīmē punkti ar koordinātām un taisnstūra koordinātu sistēmā un ar lineālu savienojiet tos ar taisnu līniju.

35. Taisnes normālvienādojumam ir forma

kur ir attālums no taisnes līdz sākuma punktam;  – leņķis starp normālu pret taisni un asi.

Normālo vienādojumu var iegūt no vispārējā vienādojuma (1), reizinot to ar normalizējošo koeficientu, zīme  ir pretēja zīmei tā, ka .

Leņķu kosinusus starp taisni un koordinātu asīm sauc par virziena kosinusiem,  – leņķi starp taisni un asi,  – starp taisni un asi:

Tādējādi normālo vienādojumu var uzrakstīt formā

Attālums no punkta uz taisnu līniju nosaka pēc formulas

36. Attālumu starp punktu un taisni aprēķina pēc šādas formulas:

kur x 0 un y 0 ir punkta koordinātas, un A, B un C ir taisnes vispārējā vienādojuma koeficienti

37. Taisnes vispārējā vienādojuma reducēšana uz normālu. Vienādojums un plakne šajā kontekstā neatšķiras ne ar ko citu kā vien vārdu skaitu vienādojumos un telpas dimensiju. Tāpēc vispirms pateikšu visu par lidmašīnu, un beigās izteikšu atrunu par taisni.
Dots plaknes vispārīgais vienādojums: Ax + By + Cz + D = 0.
;. iegūstam sistēmu: g;Mc=cosb, MB=cosa Novedīsim normālā formā. Lai to izdarītu, abas vienādojuma puses reizinām ar normalizējošo koeficientu M. Iegūstam: Max+Mvu+MCz+MD=0. Šajā gadījumā MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa mēs iegūstam sistēmu:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Saskaitot visus sistēmas vienādojumus, iegūstam M*(A2 + B2 + C2) = 1 Tagad atliek tikai izteikt M no šejienes, lai zinātu, ar kuru normalizējošo faktoru jāreizina sākotnējais vispārējais vienādojums, lai to panāktu. normālā formā:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
MD vienmēr jābūt mazākam par nulli, tāpēc skaitļa M zīme tiek ņemta pretī skaitļa D zīmei.
Ar taisnas līnijas vienādojumu viss ir vienāds, tikai no M formulas vienkārši jāizņem termins C2.

Ax + Autors + Cz + D = 0,

38.Plaknes vispārīgais vienādojums telpā sauc par formas vienādojumu

Kur A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Trīsdimensiju telpā Dekarta koordinātu sistēmā jebkuru plakni apraksta ar 1. pakāpes vienādojumu (lineārais vienādojums). Un otrādi, jebkurš lineārs vienādojums nosaka plakni.

40.Plaknes vienādojums segmentos. Taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz trīsdimensiju telpā formas vienādojums , Kur a, b Un c– tiek izsaukti reālie skaitļi, kas nav nulle plaknes vienādojums segmentos. Ciparu absolūtās vērtības a, b Un c vienāds ar to segmentu garumiem, kurus plakne nogriež uz koordinātu asīm Vērsis, Oy Un Oz attiecīgi, skaitot no izcelsmes. Ciparu zīme a, b Un c parāda, kādā virzienā (pozitīvā vai negatīvā) segmenti ir uzzīmēti uz koordinātu asīm

41) Normālas plaknes vienādojums.

Plaknes normālais vienādojums ir tā vienādojums, kas uzrakstīts formā

kur , , ir plaknes normālās virziena kosinusi, piem

p ir attālums no sākuma līdz plaknei. Aprēķinot normāļa virziena kosinusus, jāpieņem, ka tas ir vērsts no sākuma uz plakni (ja plakne iet cauri sākumpunktam, tad normas pozitīvā virziena izvēle ir vienaldzīga).

42) Attālums no punkta līdz plaknei.Ļaujiet plaknei norādīt ar vienādojumu un tiek dots punkts. Tad attālumu no punkta līdz plaknei nosaka pēc formulas

Pierādījums. Attālums no punkta līdz plaknei pēc definīcijas ir perpendikula garums, kas novilkts no punkta līdz plaknei

Leņķis starp plaknēm

Ļaujiet plaknēm un norādīt ar vienādojumiem un , Attiecīgi. Jums jāatrod leņķis starp šīm plaknēm.

Plaknes, krustojoties, veido četrus divskaldņu leņķus: divus strupos leņķus un divus akūtus vai četrus taisnleņķus, un abi strupie leņķi ir vienādi viens ar otru, un abi asie leņķi arī ir vienādi viens ar otru. Mēs vienmēr meklēsim akūtu leņķi. Lai noteiktu tā vērtību, mēs ņemam punktu uz plakņu krustošanās līnijas un šajā punktā katrā no

plaknes, mēs novelkam perpendikulus krustojuma līnijai.

Vektora virziena kosinusus.

Vektora a virziena kosinusi ir leņķu kosinusi, kurus vektors veido ar koordinātu pozitīvajām pusasīm.

Lai atrastu vektora a virziena kosinusus, ir jāsadala atbilstošās vektora koordinātas ar vektora absolūto vērtību.

Īpašums: Virzienu kosinusu kvadrātu summa ir vienāda ar vienu.

Tātad lidmašīnas problēmas gadījumā Vektora a = (ax; ay) virziena kosinusus atrod pēc formulām:

Vektora virziena kosinusu aprēķināšanas piemērs:

Atrodiet vektora a = (3; 4) virziena kosinusus.

Risinājums: |a| =

Tātad iekšā telpiskas problēmas gadījumā Vektora a = (ax; ay; az) virziena kosinusus atrod pēc formulām:

Vektora virziena kosinusu aprēķināšanas piemērs

Atrodiet vektora a = (2; 4; 4) virziena kosinusus.

Risinājums: |a| =

Vektora virzienu telpā nosaka leņķi, kurus vektors veido ar koordinātu asīm (12. att.). Šo leņķu kosinusus sauc vektora virziena kosinusus: , , . No projekciju īpašībām:, , . Tāpēc To ir viegli parādīt 2) jebkura vienību vektora koordinātas sakrīt ar tā virziena kosinusiem: .

"Kā atrast vektora virziena kosinusus"

Ar alfa, beta un gamma apzīmē vektora a veidotos leņķus ar koordinātu asu pozitīvo virzienu (skat. 1. att.). Šo leņķu kosinusus sauc par vektora a virziena kosinusiem.

Tā kā koordinātas a Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā ir vienādas ar vektora projekcijām uz koordinātu asīm, tad a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Tātad: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Šajā gadījumā |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Tātad cos (alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Jāatzīmē virziena kosinusu galvenā īpašība. Vektora virziena kosinusu kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Patiešām, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2) + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Pirmais veids

Piemērs: dots: vektors a=(1, 3, 5). Atrodi tā virziena kosinusus. Risinājums. Saskaņā ar atrasto mēs izrakstām: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Tādējādi atbildi var uzrakstīt šādā formā: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Otrais veids

Meklējot vektora a virziena kosinusus, var izmantot leņķu kosinusu noteikšanas paņēmienu, izmantojot skalāro reizinājumu. Šajā gadījumā mēs domājam leņķus starp a un taisnstūra Dekarta koordinātu i, j un k virziena vienības vektoriem. To koordinātas ir attiecīgi (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Jāatgādina, ka vektoru skalārais reizinājums ir definēts šādi.

Ja leņķis starp vektoriem ir φ, tad divu vēju skalārais reizinājums (pēc definīcijas) ir skaitlis, kas vienāds ar vektoru moduļu un cosφ reizinājumu. (a, b) = |a||b|cos f. Tad, ja b=i, tad (a, i) = |a||i|cos(alpha) vai a1 = |a|cos(alfa). Tālāk visas darbības tiek veiktas līdzīgi kā 1. metodē, ņemot vērā koordinātas j un k.

Def. 1.5.6. Virziena kosinusi vektors A nosauksim leņķu kosinusus, kurus šis vektors veido ar bāzes vektoriem, attiecīgi, i , j , k .

Vektora virziena kosinusus A = (X, plkst, z) tiek atrasti pēc formulām:

Virzienu kosinusu kvadrātu summa ir vienāda ar vienu:

Vektora virziena kosinusus a ir tās vienības vektora koordinātas: .

Ļaujiet bāzes vektoriem i , j , k pārcelts no plkst kopīgs punkts PAR. Pieņemsim, ka orts norāda asu pozitīvos virzienus Ak, OU, Oz. Punktu komplekts PAR (izcelsmi) un ortonormāls pamats i , j , k sauca Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma telpā. Ļaujiet A– patvaļīgs punkts telpā. Vektors A = OA= x i + y j + z k sauca rādiusa vektors punktus A, šī vektora koordinātas ( x, y, z) sauc arī par punktu koordinātām A(apzīmējums: A(x, y, z)). Koordinātu asis Ak, OU, Oz sauc arī attiecīgi par asi abscisa, ass ordinātas, ass pieteikties.

Ja vektoru uzrāda tā sākumpunkta koordinātas IN 1 (x 1 , y 1 , z 1) un beigu punkts IN 2 (x 2 , y 2 , z 2), tad vektora koordinātas ir vienādas ar starpību starp beigu un sākuma koordinātām: (kopš ).

Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē un taisnē tiek noteiktas tieši tādā pašā veidā ar atbilstošām kvantitatīvajām (atbilstoši dimensijai) izmaiņām.

Tipisku problēmu risināšana.

1. piemērs. Atrodiet vektora garuma un virziena kosinusus A = 6i – 2j -3k .

Risinājums. Vektora garums: . Virziena kosinusi: .

2. piemērs. Atrodiet vektora koordinātas A , veidojot vienādus asus leņķus ar koordinātu asīm, ja šī vektora garums ir vienāds ar .

Risinājums. Tā kā , tad aizstājot formulā (1.6), mēs iegūstam . Vektors A veido asus leņķus ar koordinātu asīm, tāpēc ort . Tāpēc mēs atrodam vektora koordinātas .

3. piemērs. Doti trīs nekopplanāri vektori e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Izvērst vektoru d = i + 5j - 2k pēc pamata e 1 , e 2 , e 3 .