Diferenciālā sistēma vienādojumus sauc par formas sistēmu

kur x ir neatkarīgais arguments,

y i - atkarīga funkcija, ,

y i | x=x0 =y i0 - sākuma nosacījumi.

Funkcijas yi(x), pēc aizstāšanas tiek izsaukta vienādojumu sistēma, kas pārvēršas par identitāti diferenciālvienādojumu sistēmas atrisināšana.

Skaitliskās metodes diferenciālvienādojumu sistēmu risināšana.

Otrās kārtas diferenciālvienādojums sauc par formas vienādojumu

Tiek izsaukta funkcija y(x), kuru aizvietojot vienādojums kļūst par identitāti diferenciālvienādojuma atrisināšana.

Skaitliski tiek meklēts konkrēts (2) vienādojuma risinājums, kas apmierina dotos sākuma nosacījumus, tas ir, tiek atrisināta Košī problēma.

Skaitliskam risinājumam otrās kārtas diferenciālvienādojums tiek pārveidots par divu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu un reducēts līdz mašīnas skats (3). Lai to izdarītu, tiek ieviesta jauna nezināma funkcija, pa kreisi katrā sistēmas vienādojumā ir atstāti tikai pirmie nezināmo funkciju atvasinājumi, un labajā pusē nevajadzētu būt atvasinājumiem.

.

(3)

Funkcija f 2 (x, y 1 , y) formāli tiek ievadīta sistēmā (3), lai metodes, kas tiks parādītas tālāk, varētu izmantot, lai atrisinātu patvaļīgu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu. Apskatīsim vairākas skaitliskās metodes sistēmas (3) risināšanai. Aprēķinātās atkarības i+1 integrācijas solim ir šādas. Lai atrisinātu n vienādojumu sistēmu, aprēķina formulas ir dotas iepriekš. Lai atrisinātu divu vienādojumu sistēmu, ir ērti uzrakstīt aprēķinu formulas bez dubultajiem indeksiem šādā formā:

1. Eilera metode.

   y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),

   y i+1 =y i +hf 2 (x i, y 1,i, y i),

2. Ceturtās kārtas Runge-Kutta metode.

   y 1,i+1 =y 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,

   y i+1 =y i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,

   m 1 = hf 1 (x i , y 1, i , y i),

   k 1 = hf 2 (x i , y 1, i , y i),

   m 2 = hf 1 (x i + h/2, y 1, i + m 1 / 2, y i + k 1 / 2),

   k 2 = hf 2 (x i + h/2, y 1, i + m 1 / 2, y i + k 1 / 2),

   m 3 = hf 1 (x i + h/2, y 1, i + m 2 / 2, y i + k 2 / 2),

   k 3 = hf 2 (x i + h/2, y 1, i + m 2 / 2, y i + k 2 / 2),

   m 4 = hf 1 (x i + h, y 1, i + m 3, y i + k 3),

   k 4 = hf 2 (x i + h, y 1, i + m 3, y i + k 3),

   kur h ir integrācijas solis. Sākotnējie nosacījumi skaitliskās integrācijas laikā tiek ņemti vērā nulles solī: i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0.

Pārbaudes uzdevums kredītdarbiem.

Svārstības ar vienu brīvības pakāpi

Mērķis. Otrās kārtas diferenciālvienādojumu risināšanas skaitlisko metožu un pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu izpēte.

Vingrinājums. Atrodiet skaitliski un analītiski:

1. materiāla punkta kustības likums uz atsperes x(t),
2. strāvas I(t) izmaiņu likums oscilācijas ķēdē (RLC ķēdē) 1. un 2. tabulā norādītajiem režīmiem. Izveidojiet nepieciešamo funkciju grafikus.

Uzdevumu iespējas.

Režīmu tabula

Uzdevuma opcijas un režīmu numuri:

1. punktu kustība
2. RLC - ķēde

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt procedūru diferenciālvienādojumu sastādīšanai un to iegūšanai mašīnas formā, lai aprakstītu ķermeņa kustību uz atsperes un RLC ķēdi.

1. Nosaukums, darba mērķis un uzdevums.
2. Matemātiskais apraksts, algoritms (struktogramma) un programmas teksts.
3. Seši atkarības grafiki (trīs precīzi un trīs aptuveni) x(t) vai I(t), secinājumi par darbu.

Eilera diferenciālvienādojuma definīcija. Aplūkotas metodes tās risināšanai.

Saturs

Eilera diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Vispārīgākā formā Eilera vienādojumam ir šāda forma:
.
Šis vienādojums tiek reducēts ar aizstāšanu t = ax+b uz vienkāršāku formu, ko mēs apsvērsim.

Eilera diferenciālvienādojuma reducēšana uz vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem.

Apsveriet Eilera vienādojumu:
(1) .
Tas tiek reducēts līdz lineāram vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem, aizstājot:
x = e t.
Patiešām, tad
;
;
;

;
;
..........................

Tādējādi faktori, kas satur x m, tiek atcelti. Atlikušie termini ir tie, kuriem ir nemainīgi koeficienti. Taču praksē Eilera vienādojumu risināšanai ir iespējams izmantot metodes lineāru diferenciālvienādojumu atrisināšanai ar nemainīgiem koeficientiem, neizmantojot iepriekš minēto aizstāšanu.

Homogēnā Eilera vienādojuma atrisinājums

Apsveriet viendabīgo Eilera vienādojumu:
(2) .
Mēs meklējam vienādojuma (2) risinājumu formā
.
;
;
........................
.
Mēs aizvietojam ar (2) un samazinām par x k. Mēs iegūstam raksturīgo vienādojumu:
.
Mēs to atrisinām un iegūstam n saknes, kas var būt sarežģītas.

Apskatīsim īstās saknes. Pieņemsim, ka k i ir daudzkārtības m daudzkārtēja sakne. Šīs m saknes atbilst m lineāri neatkarīgiem risinājumiem:
.

Apskatīsim sarežģītas saknes. Tie parādās pa pāriem kopā ar sarežģītiem konjugātiem. Pieņemsim, ka k i ir daudzkārtības m daudzkārtēja sakne. Izteiksim komplekso sakni k i reālās un iedomātās daļas izteiksmē:
.
Šīs m saknes un m kompleksās konjugācijas saknes atbilst 2 m lineāri neatkarīgi risinājumi:
;
;
..............................
.

Pēc n lineāri neatkarīgu risinājumu iegūšanas iegūstam (2) vienādojuma vispārīgo risinājumu:
(3) .

Piemēri

Atrisiniet vienādojumus:


Piemēru risinājums >>>

Nehomogēnā Eilera vienādojuma atrisinājums

Apsveriet nehomogēnu Eilera vienādojumu:
.
Konstantu variācijas metode (Lagranža metode) ir piemērojama arī Eilera vienādojumiem.

Vispirms atrisinām viendabīgo vienādojumu (2) un iegūstam tā vispārīgo risinājumu (3). Tad mēs uzskatām konstantes par mainīgā x funkcijām. Diferencēt (3) n - 1 vienreiz. Mēs iegūstam izteiksmes n - 1 y atvasinājumi attiecībā pret x. Ar katru diferenciāciju termini, kas satur atvasinājumus, tiek pielīdzināti nullei. Tātad mēs iegūstam n - 1 vienādojumi, kas attiecas uz atvasinājumiem. Tālāk mēs atrodam n-to atvasinājumu no y. Mēs aizstājam iegūtos atvasinājumus ar (1) un iegūstam n-to vienādojumu, kas attiecas uz atvasinājumiem. No šiem vienādojumiem mēs nosakām. Pēc tam, integrējot, mēs iegūstam (1) vienādojuma vispārīgu risinājumu.

Piemērs

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums >>>

Nehomogēns Eilera vienādojums ar īpašu nehomogēnu daļu

Ja neviendabīgajai daļai ir noteikta forma, tad vispārīgu risinājumu ir vieglāk iegūt, atrodot konkrētu nehomogēnā vienādojuma risinājumu. Šajā klasē ietilpst vienādojumi šādā formā:
(4)
,
kur ir polinomi pilnvaras un , Attiecīgi.

Šajā gadījumā ir vieglāk veikt aizstāšanu
,
un izlemt

Ievads

Risinot zinātniskās un inženiertehniskās problēmas, bieži vien ir nepieciešams matemātiski aprakstīt kādu dinamisku sistēmu. To vislabāk var izdarīt diferenciālvienādojumu veidā ( DU) vai diferenciālvienādojumu sistēmas. Visbiežāk šī problēma rodas, risinot uzdevumus, kas saistīti ar ķīmisko reakciju un dažādu pārneses parādību (siltuma, masas, impulsa) kinētikas modelēšanu - siltuma pārnesi, sajaukšanos, žāvēšanu, adsorbciju, aprakstot makro- un mikrodaļiņu kustību.

Dažos gadījumos diferenciālvienādojumu var pārveidot formā, kurā ir skaidri izteikts augstākais atvasinājums. Šo rakstīšanas veidu sauc par vienādojumu, kas atrisināts attiecībā pret augstāko atvasinājumu (šajā gadījumā vienādojuma labajā pusē nav augstākā atvasinājuma):

Parasta diferenciālvienādojuma risinājums ir funkcija y(x), kas jebkuram x apmierina šo vienādojumu noteiktā ierobežotā vai bezgalīgā intervālā. Diferenciālvienādojuma risināšanas procesu sauc par diferenciālvienādojuma integrāciju.

Vēsturiski pirmais un vienkāršākais veids, kā skaitliski atrisināt Košī problēmu pirmās kārtas ODE, ir Eilera metode. Tas ir balstīts uz atvasinājuma aproksimāciju ar atkarīgo (y) un neatkarīgo (x) mainīgo galīgo pieauguma attiecību starp vienota režģa mezgliem:

kur y i+1 ir vēlamā funkcijas vērtība punktā x i+1.

Eilera metodes precizitāti var uzlabot, ja integrāļa tuvināšanai izmanto precīzāku integrācijas formulu - trapecveida formula.

Šī formula izrādās netieša attiecībā uz y i+1 (šī vērtība ir gan izteiksmes kreisajā, gan labajā pusē), tas ir, tas ir vienādojums attiecībā uz y i+1, ko var atrisināt, piemēram, skaitliski, izmantojot kādu iteratīvu metodi (šādā formā to var uzskatīt par vienkāršās iterācijas metodes iteratīvu formulu).

Kursa darba sastāvs: Kursa darbs sastāv no trim daļām. Pirmajā daļā ir īss metožu apraksts. Otrajā daļā problēmas formulējums un risinājums. Trešajā daļā - programmatūras realizācija datorvalodā

Kursa darba mērķis: izpētīt divas diferenciālvienādojumu risināšanas metodes - Eilera-Košī metodi un pilnveidoto Eilera metodi.

1. Teorētiskā daļa

Skaitliskā diferenciācija

Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas satur vienu vai vairākus atvasinājumus. Atkarībā no neatkarīgo mainīgo skaita diferenciālvienādojumi tiek iedalīti divās kategorijās.

Parastie diferenciālvienādojumi (ODE)

Daļēji diferenciālvienādojumi.

Parastie diferenciālvienādojumi ir vienādojumi, kas satur vienu vai vairākus vajadzīgās funkcijas atvasinājumus. Tos var rakstīt kā

neatkarīgais mainīgais

(1) vienādojumā iekļauto augstāko secību sauc par diferenciālvienādojuma secību.

Vienkāršākais (lineārais) ODE ir (1) vienādojums, kas atrisināts attiecībā pret atvasinājumu

Diferenciālvienādojuma (1) risinājums ir jebkura funkcija, kas pēc tās aizstāšanas vienādojumā pārvērš to par identitāti.

Galvenā problēma, kas saistīta ar lineāro ODE, ir pazīstama kā Kasha problēma:

Atrodiet (2) vienādojuma risinājumu tādas funkcijas veidā, kas atbilst sākotnējam nosacījumam (3)

Ģeometriski tas nozīmē, ka ir jāatrod integrāllīkne, kas iet caur punktu ), kad ir izpildīta vienādība (2).

Skaitlis no Kasha problēmas viedokļa nozīmē: segmentā ar noteiktu soli ir nepieciešams izveidot funkciju vērtību tabulu, kas apmierina vienādojumu (2) un sākotnējo nosacījumu (3). Parasti tiek pieņemts, ka tas ir, sākotnējais nosacījums ir norādīts segmenta kreisajā galā.

Vienkāršākā skaitliskā metode diferenciālvienādojuma risināšanai ir Eilera metode. Tās pamatā ir ideja grafiski konstruēt diferenciālvienādojuma risinājumu, taču šī metode nodrošina arī veidu, kā atrast vajadzīgo funkciju skaitliskā formā vai tabulā.

Dots vienādojums (2) ar sākotnējo nosacījumu, tas ir, ir izvirzīta Kasha problēma. Vispirms atrisināsim šādu problēmu. Vienkāršākā veidā atrodiet risinājuma aptuveno vērtību noteiktā punktā, kur ir diezgan mazs solis. Vienādojums (2) kopā ar sākotnējo nosacījumu (3) norāda vajadzīgās integrāllīknes pieskares virzienu punktā ar koordinātām

Pieskares vienādojumam ir forma

Pārvietojoties pa šo tangensu, mēs iegūstam aptuvenu risinājuma vērtību punktā:

Ja punktā ir aptuvens risinājums, varat atkārtot iepriekš aprakstīto procedūru: izveidojiet taisnu līniju, kas iet caur šo punktu ar leņķa koeficientu, un no tā atrodiet aptuveno risinājuma vērtību punktā.

. Ņemiet vērā, ka šī līnija nav pieskares reālajai integrāļa līknei, jo punkts mums nav pieejams, bet, ja tas ir pietiekami mazs, iegūtās aptuvenās vērtības būs tuvu precīzām risinājuma vērtībām.

Turpinot šo ideju, izveidosim vienādi izvietotu punktu sistēmu

Nepieciešamās funkcijas vērtību tabulas iegūšana

Eilera metode sastāv no formulas cikliskas piemērošanas

1. attēls. Eilera metodes grafiskā interpretācija

Diferenciālvienādojumu skaitliskās integrācijas metodes, kurās risinājumus iegūst no viena mezgla uz otru, sauc par soli pa solim. Eilera metode ir vienkāršākais soli pa solim metožu pārstāvis. Jebkuras pakāpeniskas metodes iezīme ir tāda, ka, sākot no otrā posma, sākotnējā vērtība formulā (5) pati par sevi ir aptuvena, tas ir, kļūda katrā nākamajā solī sistemātiski palielinās. Visbiežāk izmantotā metode, lai novērtētu soli pa solim metožu precizitāti aptuvenam ODE skaitliskajam risinājumam, ir metode, ar kuru tiek iziets noteikts segments divreiz ar soli un ar soli.

1.1 Uzlabota Eilera metode

Šīs metodes galvenā ideja: nākamā vērtība, kas aprēķināta pēc formulas (5), būs precīzāka, ja atvasinājuma vērtība, tas ir, taisnes leņķiskais koeficients, kas aizstāj integrālo līkni segmentā, netiek aprēķināts gar kreiso malu (tas ir, punktā), bet segmenta centrā. Bet, tā kā atvasinājuma vērtība starp punktiem netiek aprēķināta, mēs pārejam uz dubultajām sekcijām ar centru, kurā atrodas punkts, un taisnes vienādojums iegūst šādu formu:

Un formula (5) iegūst formu

Formula (7) tiek piemērota tikai , tāpēc no tās nevar iegūt vērtības, tāpēc tās tiek atrastas, izmantojot Eilera metodi, un, lai iegūtu precīzāku rezultātu, viņi rīkojas šādi: no sākuma, izmantojot formulu (5) viņi atrod vērtību

(8)

Punktā un pēc tam atrodami pēc formulas (7) ar soļiem

(9)

Kad atrada turpmākos aprēķinus plkst ražots pēc formulas (7)

Eilera metode attiecas uz skaitliskām metodēm, kas sniedz risinājumu vajadzīgās funkcijas aptuveno vērtību tabulas veidā y(x). Tas ir salīdzinoši aptuvens un tiek izmantots galvenokārt aptuveniem aprēķiniem. Tomēr idejas, kas ir Eilera metodes pamatā, ir sākumpunkts vairākām citām metodēm.

Apsveriet pirmās kārtas diferenciālvienādojumu

ar sākotnējo stāvokli

x= x 0 , y(x 0 )= y 0 (3.2)

Ir jāatrod vienādojuma risinājums intervālā [ A, b].

Sadalīsim segmentu [ a, b] n vienādās daļās un iegūstiet secību X 0 , X 1 , X 2 ,…, X n, Kur x i = x 0 + ak (i=0,1,…, n), A h=(b- a)/ n− integrācijas solis.

Eilera metodē aptuvenās vērtības y(x i +1 )  y i +1 tiek aprēķināti secīgi, izmantojot šādas formulas:

y i+1 = plkst i +hf(x i , g i ) (i=0,1,2…) (3.3)

Šajā gadījumā nepieciešamā integrāļa līkne y=y(x), kas iet caur punktu M 0 (X 0 , g 0 ), aizstāts ar pārtrauktu līniju M 0 M 1 M 2 … ar virsotnēm M i (x i , y i ) (i=0,1,2,…); katra saite M i M i +1 šī pārtrauktā līnija sauca Eilera lauztā līnija, ir virziens, kas sakrīt ar vienādojuma (1) integrālās līknes virzienu, kas iet caur punktu M i(sk. 2. attēlu):

2. attēls. Eilera polilīnijas skats

Modificēta Eilera metode precīzāk. Pirmkārt, tiek aprēķinātas meklētās funkcijas palīgvērtības plkst k+1/2 punktos X k+1/2, pēc tam atrodiet vienādojuma (3.1) labās puses vērtību viduspunktā y k+1/2 =f( xk+1/2 , g k+1/2 ) un noteikt plkst k+ :

Pēc tam:
(3.4)

Formulas (3.4) ir Eilera metodes atkārtotas formulas.

Lai novērtētu kļūdu kādā punktā X Uz veikt aprēķinus plkst Uz pakāpēs h, pēc tam pa soļiem 2 h un ņem 1/3 no šo vērtību starpības:

,

Kur y(x)- precīzs diferenciālvienādojuma risinājums.

Eilera metode viegli attiecināma uz diferenciālvienādojumu sistēmām un augstākas kārtas diferenciālvienādojumiem. Pēdējais vispirms ir jāreducē līdz pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmai.

3.2. Runge-Kutta metode

Runge-Kutta metodēm ir šādas īpašības:

Šīs metodes ir vienpakāpes: atrast plkst k+1 nepieciešama informācija par iepriekšējo punktu (x Uz  y Uz ) 

Metodes atbilst Teilora sērijai līdz pasūtījuma noteikumiem h lpp kur ir grāds R atšķirīgs priekš dažādas metodes un to sauc par sērijas numuru vai metodes secība

Tiem nav jāaprēķina atvasinājumi f(x y) un prasa pašas funkcijas aprēķinu

Runge-Kutta algoritms trešais pasūtīt:

(3.5)

Runge-Kutta algoritms ceturtais pasūtīt:

(3.6)

Trešās un ceturtās kārtas algoritmiem katrā solī ir nepieciešami attiecīgi trīs un četri funkciju aprēķini, taču tie ir ļoti precīzi.

3.3. Adamsa metode

Adamsa metode attiecas uz daudzpakāpju DE risināšanas shēmas, ko raksturo fakts, ka risinājums pašreizējā mezglā nav atkarīgs no datiem vienā iepriekšējā vai nākamajā režģa mezglā, kā tas ir vienpakāpju metodēs, bet ir atkarīgs no datiem vairāki blakus esošie mezgli.

Adamsa metožu ideja ir izmantot iepriekšējās darbībās aprēķinātās vērtības, lai palielinātu precizitāti

Y k -1 , Y k -2 , Y k -3 …

Ja vērtības ir k iepriekšējie mezgli, tad mēs runājam par vienādojuma integrēšanas k-step metodi. Viens no veidiem, kā izveidot daudzpakāpju metodes, ir šāds. Izmantojot funkciju vērtības, kas aprēķinātas k iepriekšējos mezglos, tiek izveidots pakāpes interpolācijas polinoms (k-1) –L k -1 (x) , ko izmanto, integrējot diferenciālvienādojumu ar izteiksmi:

Integrālis tiek izteikts ar kvadrātveida formulu:

Kur λ l – kvadratūras koeficienti.

Tādā veidā iegūto formulu saimi sauc nepārprotamik - Adamsa soļu diagramma. Kā redzams, kad k=1 Eilera formula tiek iegūta kā īpašs gadījums.

Piemēram, 4. kārtas formulai mums ir:

(3.7)

y ( lpp ) k +1 – “prognoze”, kas aprēķināta, izmantojot iepriekšējo punktu vērtības, f ( lpp ) k +1 – aptuvenā funkcijas vērtība, kas aprēķināta vietā, kur tika iegūta prognoze, y ( c ) k +1 – prognozētās vērtības “korekcija”, y k +1 – vēlamā vērtība pēc Adamsa.

Šīs DE risināšanas metodes priekšrocība ir tāda, ka katrā punktā tiek aprēķināta tikai viena funkcijas vērtība F(x,y). Trūkumi ietver neiespējamību sākt daudzpakāpju metodi no viena sākuma punkta, jo aprēķiniem, izmantojot k-step formulai ir nepieciešama funkcijas vērtības vērtība in k mezgli. Tāpēc tas ir nepieciešams (k-1) risinājums pirmajos mezglos x 1 , x 2 , …, x k-1 iegūts, izmantojot jebkuru vienpakāpju metodi, piemēram, 4. kārtas Runge-Kutta metodi.

Vēl viena problēma ir nespēja mainīt soli risinājuma procesa laikā, kas ir viegli realizējama vienpakāpju metodēs.

4. Īss C++ programmas apraksts un tās izpildes rezultātu prezentācija

Ir zināms, ka pirmās kārtas parastais diferenciālvienādojums ir šāda forma: .Šī vienādojuma risinājums ir diferencējama funkcija, kas, aizvietojot vienādojumā, pārvērš to par identitāti. Tiek saukts grafiks diferenciālvienādojuma atrisināšanai (1. attēls). integrālā līkne.

Atvasinājumu katrā punktā var ģeometriski interpretēt kā pieskares pieskarei risinājuma grafikam, kas iet caur šo punktu, t.i.:.

Sākotnējais vienādojums definē veselu risinājumu saimi. Lai izvēlētos vienu risinājumu, iestatiet sākotnējais stāvoklis: , kur ir kāda argumenta dotā vērtība, a– funkcijas sākotnējā vērtība.

Cauchy problēma ir tādas funkcijas atrašana, kas apmierina sākotnējo vienādojumu un sākotnējo nosacījumu. Parasti Košī problēmas risinājums tiek noteikts segmentā, kas atrodas pa labi no sākotnējās vērtības, t.i., par.

Pat vienkāršiem pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem ne vienmēr ir iespējams iegūt analītisko risinājumu. Tāpēc liela nozīme ir skaitlisko risinājumu metodēm. Skaitliskās metodes ļauj noteikt vēlamā risinājuma aptuvenās vērtības izvēlētajā argumentu vērtību režģī. Punkti tiek saukti režģa mezgli, un vērtība ir režģa solis. Bieži tiek uzskatīts vienveidīgs siets, kuriem solis ir nemainīgs. Šajā gadījumā risinājums tiek iegūts tabulas veidā, kurā katrs režģa mezgls atbilst aptuvenām funkcijas vērtībām režģa mezglos.

Skaitliskās metodes neļauj atrast risinājumu vispārīgā formā, bet tās ir piemērojamas plašai diferenciālvienādojumu klasei.

Skaitlisko metožu konverģence Košī problēmas risināšanai.Ļaujiet būt Košī problēmas risinājumam. Piezvanīsim kļūda skaitliskā metode ir funkcija, kas norādīta režģa mezglos. Pieņemsim vērtību kā absolūto kļūdu.

Tiek saukta skaitliskā metode Košī problēmas risināšanai saplūst, ja viņam plkst. Tiek uzskatīts, ka metodei ir precizitātes secība, ja kļūdai ir šāds novērtējums: – nemainīgs,.

Eilera metode

Vienkāršākā metode Košī problēmas risināšanai ir Eilera metode. Mēs atrisināsim Košī problēmu

segmentā. Atlasīsim soļus un izveidosim režģi ar mezglu sistēmu. Eilera metodē aptuvenās funkcijas vērtības tiek aprēķinātas režģa mezglos:. Aizstājot atvasinājumu ar galīgām atšķirībām segmentos, iegūstam aptuveno vienādību:,, ko var pārrakstīt šādi:,.

Šīs formulas un sākotnējais nosacījums ir Eilera metodes aprēķinu formulas.

Viena Eilera metodes posma ģeometriskā interpretācija ir tāda, ka atrisinājums segmentā tiek aizstāts ar tangensu, kas novilkta integrālās līknes punktā, kas iet caur šo punktu. Pēc darbību pabeigšanas nezināmā integrāļa līkne tiek aizstāta ar lauztu līniju (Eilera lauztā līnija).

Kļūdas aplēse. Lai novērtētu Eilera metodes kļūdu, mēs izmantojam šādu teorēmu.

Teorēma.Ļaujiet funkcijai izpildīt nosacījumus:

.

Tad Eilera metodei ir derīgs šāds kļūdu novērtējums: , kur ir segmenta garums. Mēs redzam, ka Eilera metodei ir pirmās kārtas precizitāte.

Eilera metodes kļūdu novērtēt bieži ir grūti, jo tas prasa funkcijas atvasinājumu aprēķinu. Sniedz aptuvenu kļūdas aplēsi Runges noteikums (dubultās skaitīšanas noteikums), ko izmanto dažādām vienpakāpju metodēm, kuru precizitāte ir -. Runges noteikums ir šāds. Ļaut būt tuvinājumiem, kas iegūti ar soli, un pieņemt tuvinājumus, kas iegūti ar soli. Tad ir spēkā aptuvenā vienādība:

.

Tādējādi, lai novērtētu vienpakāpes metodes kļūdu ar soli, jums jāatrod tas pats risinājums ar soļiem un jāaprēķina labās puses vērtība pēdējā formulā, t.i., tā kā Eilera metodei ir pirmā precizitātes pakāpe , t.i., aptuvenajai vienlīdzībai ir skats:.

Izmantojot Runges likumu, ir iespējams izveidot procedūru Košī problēmas risinājuma aptuvenai aprēķināšanai ar noteiktu precizitāti . Lai to izdarītu, jāsāk aprēķini no noteiktas soļa vērtības un secīgi jāsamazina šī vērtība uz pusi, katru reizi aprēķinot aptuveno vērtību, . Aprēķini tiek pārtraukti, kad ir izpildīts nosacījums: . Eilera metodei šis nosacījums būs šādā formā:. Aptuvens risinājums būtu vērtības .

1. piemērs.Ļaujiet mums atrast risinājumu šādas Košī problēmas segmentam:,. Spersim soli. Tad.

Eilera metodes aprēķina formula ir šāda:

, .

Iesniegsim risinājumu 1. tabulas veidā:

1. tabula

Sākotnējais vienādojums ir Bernulli vienādojums. Tās risinājumu var atrast skaidrā formā: .

Lai salīdzinātu precīzus un aptuvenus risinājumus, mēs piedāvājam precīzu risinājumu 2. tabulas veidā:

2. tabula

Tabulā redzams, ka kļūda ir