1. definīcija : Virsmas pieskares plakne dotajā punktā P (x 0, y 0, z 0) ir plakne, kas iet caur punktu P un satur visas pieskares, kas konstruētas punktā P visām iespējamām līknēm uz šīs virsmas, kas iet caur punktu P.
Ļaujiet virsmu s norādīt ar vienādojumu F (X, plkst, z) = 0 un punkts P (x 0 , g 0 , z 0) pieder šai virsmai. Ļaujiet mums izvēlēties kādu līkni uz virsmas L iet caur punktu R.
Ļaujiet X = X(t), plkst = plkst(t), z = z(t) - parametru vienādojumi līnijas L.
Pieņemsim, ka: 1) funkcija F(X, plkst, z) ir diferencējams punktā R un ne visi tā daļējie atvasinājumi šajā brīdī ir vienādi ar nulli; 2) funkcijas X(t), plkst(t), z(t) ir arī diferencējami.
Tā kā līkne pieder virsmai s, jebkura šīs līknes punkta koordinātas, kas aizvietotas ar virsmas vienādojumu, pārvērtīs to par identitāti. Tādējādi identitātes vienlīdzība ir patiesa: F [x(t), plkst(t), z (t)]= 0.
Šīs identitātes diferencēšana attiecībā uz mainīgo t izmantojot ķēdes noteikumu, iegūstam jaunu identitāti, kas ir derīga visos līknes punktos, arī punktā P (x 0 , g 0 , z 0):
Ļaujiet punktam Р atbilst parametra vērtībai t 0, tas ir x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Tad pēdējā punktā aprēķinātā attiecība R, pieņems formu
Šī formula ir divu vektoru punktveida reizinājums. Pirmais no tiem ir konstants vektors
neatkarīgi no virsmas līknes izvēles.
Otrais vektors ir pieskare punktā R uz līniju L, kas nozīmē, ka tas ir atkarīgs no līnijas izvēles uz virsmas, tas ir, tas ir mainīgs vektors.
Ar ieviesto apzīmējumu vienlīdzība:
pārrakstīt kā.
Tā nozīme ir šāda: punktu reizinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc vektori un ir perpendikulāri. Visu veidu līkņu izvēle, kas iet caur punktu R uz virsmas s mums būs dažādi pieskares vektori, kas konstruēti punktā Ršīm līnijām; vektors nav atkarīgs no šīs izvēles un būs perpendikulārs jebkuram no tiem, tas ir, visi pieskares vektori atrodas vienā plaknē, kas pēc definīcijas ir pieskares virsmai s, un punkts Ršajā gadījumā to sauc par pieskares punktu. Vektors ir virsmas normāļa virziena vektors.
Definīcija 2: Normāls pret virsmu s punktā P ir taisne, kas iet caur punktu P un ir perpendikulāra šajā punktā izveidotajai pieskares plaknei.
Mēs esam pierādījuši pieskares plaknes esamību un līdz ar to arī virsmas normālu. Pierakstīsim to vienādojumus:
Pieskares plaknes vienādojums, kas konstruēts punktā P (x0, y0, z0) virsmai s, kas dots ar vienādojumu F (x, y, z) = 0;
Punktā novilktas normas vienādojums R uz virsmu s.
Piemērs: Atrodiet virsmas vienādojumu, ko veido parabolas rotācija:
z 2 = 2p (y +2)
ap asi oy, aprēķina ar nosacījumu, ka punkts M (3, 1, - 3) pieder virsmai. Atrodiet virsmas normālās un pieskares plaknes vienādojumus punktā M.
Risinājums. Izmantojot revolūcijas virsmas reģistrēšanas noteikumu, mēs iegūstam:
z 2 + x 2 = 2p (y +2) .
Aizvietojot šajā vienādojumā punkta M koordinātas, mēs aprēķinām parametra p vērtību: 9 + 9 = 2p (1 + 2) ... Pierakstiet galīgo skatu uz apgriezienu virsmu, kas iet caur punktu M:
z 2 + x 2 = 6 (y +2).
Tagad mēs atradīsim normālās un pieskares plaknes vienādojumus pēc formulām, kurām vispirms aprēķinām funkcijas daļējos atvasinājumus:
F (x, y) = z 2 + x 2- 6 (g +2):
Tad pieskares plaknes vienādojums iegūst formu 6 (x - 3) - 6 (y - 1) - 6 (z + 3) = 0 vai x - y - z - 5 = 0;
Apsveriet vairāku mainīgo funkcijas atvasinājuma ģeometriskos lietojumus. Ļaujiet divu mainīgo funkciju norādīt netieši:. Savā definīcijas jomā šī funkcija ir attēlota ar kādu virsmu (5.1. sadaļa). Paņemiet patvaļīgu punktu uz šīs virsmas 
, kurā pastāv un ir nepārtraukti visi trīs daļējie atvasinājumi, un vismaz viens no tiem nav vienāds ar nulli.
Punktu ar šādām īpašībām sauc parasts virsmas punkts. Ja nav izpildīta vismaz viena no iepriekš minētajām prasībām, tad punkts tiek izsaukts īpašs virsmas punkts.
Caur virsmas izvēlētu punktu var novilkt līkņu kopu, kurai katram var novilkt pieskares punktu.
Definīcija 5.8.1 . Plakni, kurā atrodas visas pieskares līnijas līnijām uz virsmas, kas iet caur kādu punktu, sauc par pieskares plakni šai virsmai punktā. .
Lai uzzīmētu noteiktu plakni, pietiek ar divām pieskares līnijām, tas ir, divām līknēm uz virsmas. Tās var būt līknes, kas iegūtas, sadalot doto virsmu pa plaknēm (5.8.1. attēls).
Uzrakstīsim pieskares līnijas vienādojumu līknei, kas atrodas virsmas un plaknes krustpunktā. Tā kā šī līkne atrodas koordinātu sistēmā, tās pieskares vienādojumam punktā saskaņā ar 2.7. iedaļu ir šāda forma:
. (5.8.1)
Attiecīgi līknes pieskares vienādojumam, kas atrodas virsmas un plaknes krustpunktā koordinātu sistēmā vienā un tajā pašā punktā, ir šāda forma:
. (5.8.2)
Mēs izmantosim izteiksmi netieši definētas funkcijas atvasinājumam (5.7. sadaļa). Tad, ah. Aizvietojot šos atvasinājumus (5.8.1) un (5.8.2), mēs iegūstam attiecīgi:
; (5.8.3)
. (5.8.4)
Tā kā iegūtās izteiksmes nav nekas cits kā taisnu vienādojumi kanoniskā formā (15. sadaļa), tad no (5.8.3) iegūstam virziena vektoru 
, un no (5.8.4) - 
... Vektora reizinājums dos normālu vektoru dotajām pieskares līnijām un līdz ar to arī pieskares plaknei:
No tā izriet, ka virsmas pieskares plaknes vienādojums punktā ir šāda veidlapa (14. pozīcija):
Definīcija 5.8.2
. Caur punktu novilkta līnija virsma, kas šajā punktā ir perpendikulāra pieskares plaknei, ko sauc par virsmas normālu.
Tā kā normas virziena vektors pret virsmu sakrīt ar normālu pieskares plaknei, normālvienādojumam ir šāda forma:
.
Skalārais lauks
Ļaujiet telpā norādīt laukumu, kas aizņem daļu vai visu šo vietu. Ļaujiet katram šī apgabala punktam pēc kāda likuma piešķirt noteiktu skalāru lielumu (skaitli).
Definīcija 5.9.1 . Apgabalu telpā, kura katram punktam saskaņā ar labi zināmu likumu ir piešķirts noteikts skalārais lielums, sauc par skalāro lauku..
Ja ar apgabalu ir saistīta kāda koordinātu sistēma, piemēram, taisnstūrveida Dekarta, tad katrs punkts iegūst savas koordinātes. Šajā gadījumā skalārs kļūst par koordinātu funkciju: plaknē -, trīsdimensiju telpā - 
... Funkciju, kas apraksta noteiktu lauku, bieži sauc par skalāro lauku. Atkarībā no telpas izmēra skalārais lauks var būt plakans, trīsdimensiju utt.
Jāuzsver, ka skalārā lauka lielums ir atkarīgs tikai no punkta stāvokļa reģionā, bet nav atkarīgs no koordinātu sistēmas izvēles.
Definīcija 5.9.2 . Skalārais lauks, kas ir atkarīgs tikai no punkta stāvokļa reģionā, bet nav atkarīgs no laika, tiek saukts par stacionāru.
Šajā sadaļā mēs neapskatīsim nestacionārus skalārus laukus, tas ir, atkarīgus no laika.
Skalāro lauku piemēri ir temperatūras lauks, spiediena lauks atmosfērā un augstuma lauks virs okeāna līmeņa.
Ģeometriski skalārie lauki bieži tiek attēloti, izmantojot tā sauktās līmeņa līnijas vai virsmas.
Definīcija 5.9.3
. Visu telpas punktu kopa, kurā atrodas skalārais lauks ir tāda pati nozīme, ko sauc par līdzenu virsmu vai ekvipotenciālu virsmu. V plakans korpuss skalāram laukam šo kopu sauc par līmeņa līniju vai ekvipotenciāla līniju.
Acīmredzot līdzenās virsmas vienādojumam ir forma 
, līmeņa līnijas -. Dodot šajos vienādojumos konstanti dažādas nozīmes, mēs iegūstam virsmu vai līmeņu līniju saimi. Piemēram, 
(ligzdotas sfēras ar dažādiem rādiusiem) vai (elipses saime).
Kā piemērus līmeņu līnijām no fizikas var minēt izotermas (līnijas ar vienādu temperatūru), izobārus (līnijas ar vienādu spiedienu); no ģeodēzijas - vienāda augstuma līnijas utt.
Normālās plaknes vienādojums
1.
4.
Pieskares plakne un virsma normāla
Dota kāda virsma, A ir virsmas fiksēts punkts un B ir virsmas mainīgais punkts,
(1. att.).
Nenulles vektors
| → |
| n |
|
Virsmas punktu F (x, y, z) = 0 sauc par parastu, ja šajā punktā
- parciālie atvasinājumi F "x, F" y, F "z ir nepārtraukti;
- (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.
Ja tiek pārkāpts vismaz viens no šiem nosacījumiem, tiek izsaukts punkts uz virsmas virsmas vienreizējais punkts .
1. teorēma. Ja M (x 0, y 0, z 0) ir parasts virsmas punkts F (x, y, z) = 0, tad vektors
|
(1) |
ir normāls šai virsmai punktā M (x 0, y 0, z 0).
Pierādījums grāmatā dots I.M. Petruško, L.A. Kuzņecovs, V.I. Prohorenko, V.F. Safonova `` Augstākās matemātikas kurss: Integrālrēķins. Vairāku mainīgo funkcijas. Diferenciālvienādojumi. Maskava: MPEI Publishing House, 2002 (128. lpp.).
Normāls pret virsmu kādā punktā to sauc par taisni, kuras virziena vektors ir normāls pret virsmu šajā punktā un kura iet caur šo punktu.
Kanonisks normālie vienādojumi var attēlot kā
|
(2) |
Pieskares plakne uz virsmu kādā punktā sauc par plakni, kas iet caur šo punktu perpendikulāri virsmas normai šajā punktā.
No šīs definīcijas izriet, ka pieskares plaknes vienādojums izskatās kā:
Ja virsmas punkts ir vienskaitlis, tad šajā punktā virsmai normāls vektors var nepastāvēt, un tāpēc virsmai var nebūt normālās un pieskares plaknes.
Ģeometriskā nozīme pilns diferenciālis divu mainīgo funkcijas
Lai funkcija z = f (x, y) ir diferencējama punktā a (x 0, y 0). Tās grafiks ir virsma
f (x, y) — z = 0.
Mēs ieliekam z 0 = f (x 0, y 0). Tad punkts A (x 0, y 0, z 0) pieder virsmai.
Funkcijas F (x, y, z) = f (x, y) - z daļējie atvasinājumi ir
F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1
un punktā A (x 0, y 0, z 0)
- tie ir nepārtraukti;
- F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.
Tāpēc A ir parasts virsmas F punkts (x, y, z), un šajā punktā ir virsmas pieskares plakne. Saskaņā ar (3) pieskares plaknes vienādojumam ir šāda forma:
f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.
Punkta vertikālā nobīde pieskares plaknē, pārejot no punkta a (x 0, y 0) uz patvaļīgu punktu p (x, y), ir B Q (2. att.). Attiecīgais pieaugums ir
(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)
Šeit labajā pusē ir diferenciālis d funkcijas z = f (x, y) z punktā a (x 0, x 0). Tāpēc
d f (x 0, y 0). ir tādas plaknes pieskares punkta pielietojuma palielinājums, kas pieskaras funkcijas f (x, y) grafikam punktā (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).
No diferenciāļa definīcijas izriet, ka attālums starp punktu P funkcijas grafikā un punktu Q pieskares plaknē ir bezgalīgi mazs un augstāks nekā attālums no punkta p līdz punktam a.
Lejupielādēt no vietnes Depositfiles
4. VIRSMU TEORIJA.
4.1. VIRSMU VIENĀDĀJUMI.
Virsmu 3D telpā var norādīt:
1) netieši: F ( x , y , z ) =0 (4.1)
2) skaidri: z = f ( x , y ) (4.2)
3) parametriski: (4.3)
vai: 
(4.3’)
kur skalārie argumenti 
dažreiz sauc par līknes koordinātām. Piemēram, sfēra 
ir ērti iestatīt sfēriskās koordinātās: 
.
4.2. TANGENTES LAKNE UN NORMĀLA VIRSMAI.
Ja taisne atrodas uz virsmas (4.1), tad tās punktu koordinātas atbilst virsmas vienādojumam:
Atšķirot šo identitāti, mēs iegūstam:
(4.4)
vai 
(4.4
’
)
katrā virsmas līknes punktā. Tādējādi gradienta vektors virsmas nevienskaitļa punktos (kuros funkcija (4.5) ir diferencējama un 
) ir perpendikulāra jebkuras virsmas taisnes pieskares vektoriem, tas ir, to var izmantot kā normālu vektoru, lai sastādītu pieskares plaknes vienādojumu punktā M 0
(x
0
,
y
0
,
z
0
) virsma
(4.6)
un kā virziena vektors parastajā vienādojumā:
(4.7)
Eksplicīta (4.2) gadījumā, kas norāda virsmu, pieskares plaknes un normālās vienādojumi ir attiecīgi šādā formā:
(4.8)
un 
(4.9)
Virsmas parametriskajā attēlojumā (4.3.) vektori 
atrodas pieskares plaknē, un pieskares plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi:
(4.10)
un to krustojumu var uzskatīt par normas virziena vektoru:
un parasto vienādojumu var uzrakstīt šādi:
(4.11)
kur 
- parametru vērtības, kas atbilst punktam М 0
.
Tālāk mēs aprobežojamies ar to virsmas punktu ņemšanu vērā, kuros ir vektori
nav vienāds ar nulli un nav paralēls.
Piemērs 4.1 Sastādiet pieskares plaknes un normālās vienādojumus punktā M 0
(1,1,2) uz apgriezienu paraboloīda virsmu 
.
Risinājums: tā kā paraboloīda vienādojums ir skaidri norādīts saskaņā ar (4.8) un (4.9), jums ir jāatrod 
punktā M 0
:
, un punktā М 0 
... Tad pieskares plaknes vienādojums punktā M 0 būs šādā formā:
2(x
-1)+2(y
-1)-(z-2) = 0 vai 2 x
+2
y
- z - 2 = 0, un parastais vienādojums 
.
Piemērs 4.2 Sastādiet pieskares plaknes un normālās vienādojumus patvaļīgā helikoīda punktā 
, .
Risinājums. Šeit ,
Pieskares plaknes vienādojums:
vai
Parastie vienādojumi:
.
4.3. PIRMĀ KVADUMA VIRSMAS FORMA.
Ja virsma ir dota ar vienādojumu
tad līkne 
uz to var dot ar vienādojumu 
(4.12)
Rādiusa vektora diferenciālis 
pa līkni, kas atbilst nobīdei no punkta M 0
uz tuvējo punktu M ir vienāds ar
(4.13)
Jo 
Vai līknes loka diferenciālis atbilst vienam un tam pašam pārvietojumam), tad
(4.14)
kur .
Izteiksme (4.14) labajā pusē tiek saukta par pirmo kvadrātiskās virsmas formu, un tai ir milzīga loma virsmu teorijā.
Es integrēju diferenciālids sākot no t 0 (atbilst punktam М 0) līdz t (atbilst punktam M), iegūstam atbilstošā līknes segmenta garumu
(4.15)
Zinot pirmo kvadrātiskās virsmas formu, var atrast ne tikai garumus, bet arī leņķus starp līknēm.
Ja du
,
dv
Vai līklīniju koordinātu diferenciāles atbilst bezgalīgi mazai nobīdei vienā līknē un 
- no otras puses, ņemot vērā (4.13.):
(4.16)
Izmantojot formulu
(4.17)
pirmā kvadrātiskā forma ļauj aprēķināt reģiona laukumu 
virsmas.
Piemērs 4.3 Uz helikoīda atrodiet spirāles garumu 
starp diviem punktiem.
Risinājums. Kopš uz spirāles 
, tad. Atrodi punktā 
pirmā kvadrātiskā forma. Apzīmējot unv
=
t
,
mēs iegūstam šīs spirālveida līnijas vienādojumu formā. Kvadrātiskā forma:
= ir pirmā kvadrātiskā forma.
Šeit . Šajā gadījumā formulā (4.15.). 
un loka garums:
=
4.4. OTRĀ KVADUMA VIRSMAS FORMA.
Mēs apzīmējam 
Vai vienība ir normāls vektors pret virsmu 
:
(4.18)
.
(4.23)
Virsmas līniju sauc par izliekuma līniju, ja tās virziens katrā punktā ir galvenais virziens.
4.6. VIRSMAS ĢEODĒZISKO LĪNIJU KONCEPCIJA.
Definīcija 4.1 ... Virsmas līkni sauc par ģeodēzisko, ja tā ir galvenā norma 
katrā punktā, kur izliekums atšķiras no nulles, sakrīt ar normālu 
uz virsmu.
Tas iet caur katru virsmas punktu jebkurā virzienā, turklāt tikai viens ģeodēzisks. Piemēram, uz sfēras lieli apļi ir ģeodēzija.
Virsmas parametrizāciju sauc par daļēji ģeodēzisku, ja viena koordinātu līniju saime sastāv no ģeodēzijas, bet otrā ir tai ortogonāla. Piemēram, uz sfēras meridiāniem (ģeodēziem) un paralēlēm.
Ģeodēzija uz pietiekami maza segmenta ir īsākā no visām līknēm, kas ir tuvu tam, kas savieno vienus un tos pašus punktus.
