Sinusu (sin), kosinusu (cos), tangenšu (tg), kotangentu (ctg) vērtību tabulas ir spēcīgs un noderīgs rīks, kas palīdz atrisināt daudzas gan teorētiskas, gan lietišķas problēmas. Šajā rakstā mēs sniegsim galveno tabulu trigonometriskās funkcijas(sinusus, kosinusus, pieskares un kotangences) leņķiem 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grādi (0, π 6, π 3, π 2, ..., 2 π radiāni). Tiks parādītas arī atsevišķas Bradis tabulas sinusiem un kosinusiem, tangensiem un kotangensiem ar skaidrojumu, kā tās izmantot trigonometrisko pamatfunkciju vērtību atrašanai.
Trigonometrisko pamatfunkciju tabula leņķiem 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grādi
Pamatojoties uz sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām, jūs varat atrast šo funkciju vērtības 0 un 90 grādu leņķiem.
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nulles kotangenss nav definēts,
sin 90 ° = 1, cos 90 ° = 0, ar t g 90 ° = 0, pakāpes tangenss nav definēts.
Sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu vērtības ģeometrijas kursā tiek definētas kā taisnleņķa trīsstūra malu attiecības, kuru leņķi ir 30, 60 un 90 grādi, kā arī 45, 45 un 90 grādi.
Trigonometrisko funkciju noteikšana akūtam leņķim taisnleņķa trijstūrī
Sinuss- pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Kosinuss- blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Pieskares- pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.
Kotangenss- blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
Saskaņā ar definīcijām tiek atrastas funkciju vērtības:
sin 30 ° = 1 2, cos 30 ° = 3 2, tg 30 ° = 3 3, ctg 30 ° = 3, sin 45 ° = 2 2, cos 45 ° = 2 2, tg 45 ° = 1, ctg 45 ° = 1, sin 60 ° = 3 2, cos 45 ° = 1 2, tg 45 ° = 3, ctg 45 ° = 3 3.
Apkoposim šīs vērtības tabulā un sauksim to par sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta pamatvērtību tabulu.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
grēks α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | nenoteikts |
c t g α | nenoteikts | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, rinda | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Viena no svarīgām trigonometrisko funkciju īpašībām ir periodiskums. Pamatojoties uz šo īpašību, šo tabulu var paplašināt, izmantojot liešanas formulas. Zemāk mēs piedāvājam izvērstu galveno trigonometrisko funkciju vērtību tabulu leņķiem 0, 30, 60, ..., 120, 135, 150, 180, ..., 360 grādi (0, π 6, π 3, π 2, ..., 2 π radiāni).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
grēks α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, rinda | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2 π |
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta periodiskums ļauj paplašināt šo tabulu līdz patvaļīgi lielām leņķu vērtībām. Tabulā apkopotās vērtības visbiežāk tiek izmantotas problēmu risināšanā, tāpēc ieteicams tās iegaumēt.
Kā izmantot trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabulu
Sinusu, kosinusu, pieskares un kotangentu vērtību tabulas izmantošanas princips ir intuitīvs. Rindas un kolonnas krustpunkts dod funkcijas vērtību konkrētajam stūrim.
Piemērs. Kā lietot sinusu, kosinusu, pieskares un kotangentu tabulu
Jums jānoskaidro, kas ir grēks 7 π 6
Atrodiet tabulā kolonnu, kuras pēdējās šūnas vērtība ir 7 π 6 radiāni - tas pats, kas 210 grādi. Pēc tam mēs izvēlamies tabulas terminu, kurā tiek parādītas sinusu vērtības. Rindas un kolonnas krustojumā mēs atrodam vēlamo vērtību:
sin 7 π 6 = - 1 2
Bradis galdi
Bradis tabula ļauj aprēķināt sinusa, kosinusa, tangensa vai kotangenta vērtību ar precizitāti līdz 4 cipariem aiz komata, neizmantojot datortehnoloģiju. Tas ir sava veida inženiertehniskā kalkulatora aizstājējs.
atsauce
Vladimirs Modestovičs Bradis (1890 - 1975) - padomju matemātiķis-skolotājs, kopš 1954. gada PSRS Pedagoģijas zinātņu akadēmijas korespondents. Bradisa četrciparu logaritmu un dabisko trigonometrisko vērtību tabulas pirmo reizi tika publicētas 1921. gadā.
Pirmkārt, mēs sniedzam Bradis tabulu sinusiem un kosinusiem. Tas ļauj diezgan precīzi aprēķināt šo funkciju aptuvenās vērtības leņķiem, kas satur veselu grādu un minūšu skaitu. Tabulas kreisajā kolonnā ir parādīti grādi, bet augšējā rindā - minūtes. Ņemiet vērā, ka visi Bradis tabulas leņķi ir sešu minūšu reizinājums.
Bradis galds sinusiem un kosinusiem
grēks | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90 ° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 ° | 3 | 6 | 9 |
1 ° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88 ° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87 ° | 3 | 6 | 9 |
3 ° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86 ° | 3 | 6 | 9 |
4 ° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85 ° | 3 | 6 | 9 |
5 ° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84 ° | 3 | 6 | 9 |
6 ° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83 ° | 3 | 6 | 9 |
7 ° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82 ° | 3 | 6 | 9 |
8 ° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81 ° | 3 | 6 | 9 |
9 ° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80 ° | 3 | 6 | 9 |
10 ° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79 ° | 3 | 6 | 9 |
11 ° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78 ° | 3 | 6 | 9 |
12 ° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77 ° | 3 | 6 | 9 |
13 ° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76 ° | 3 | 6 | 8 |
14 ° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75 ° | 3 | 6 | 8 |
15 ° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74 ° | 3 | 6 | 8 |
16 ° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73 ° | 3 | 6 | 8 |
17 ° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72 ° | 3 | 6 | 8 |
18 ° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71 ° | 3 | 6 | 8 |
19 ° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70 ° | 3 | 5 | 8 |
20 ° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69 ° | 3 | 5 | 8 |
21 ° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68 ° | 3 | 5 | 8 |
22 ° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67 ° | 3 | 5 | 8 |
23 ° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66 ° | 3 | 5 | 8 |
24 ° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65 ° | 3 | 5 | 8 |
25 ° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64 ° | 3 | 5 | 8 |
26 ° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63 ° | 3 | 5 | 8 |
27 ° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62 ° | 3 | 5 | 8 |
28 ° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61 ° | 3 | 5 | 8 |
29 ° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60 ° | 3 | 5 | 8 |
30 ° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59 ° | 3 | 5 | 8 |
31 ° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58 ° | 2 | 5 | 7 |
32 ° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57 ° | 2 | 5 | 7 |
33 ° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56 ° | 2 | 5 | 7 |
34 ° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55 ° | 2 | 5 | 7 |
35 ° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54 ° | 2 | 5 | 7 |
36 ° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53 ° | 2 | 5 | 7 |
37 ° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52 ° | 2 | 5 | 7 |
38 ° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51 ° | 2 | 5 | 7 |
39 ° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50 ° | 2 | 4 | 7 |
40 ° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49 ° | 2 | 4 | 7 |
41 ° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48 ° | 2 | 4 | 7 |
42 ° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47 ° | 2 | 4 | 6 |
43 ° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46 ° | 2 | 4 | 6 |
44 ° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45 ° | 2 | 4 | 6 |
45 ° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44 ° | 2 | 4 | 6 |
46 ° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43 ° | 2 | 4 | 6 |
47 ° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42 ° | 2 | 4 | 6 |
48 ° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41 ° | 2 | 4 | 6 |
49 ° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40 ° | 2 | 4 | 6 |
50 ° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39 ° | 2 | 4 | 6 |
51 ° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38 ° | 2 | 4 | 5 |
52 ° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37 ° | 2 | 4 | 5 |
53 ° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36 ° | 2 | 3 | 5 |
54 ° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35 ° | 2 | 3 | 5 |
55 ° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34 ° | 2 | 3 | 5 |
56 ° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33 ° | 2 | 3 | 5 |
57 ° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32 ° | 2 | 3 | 5 |
58 ° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31 ° | 2 | 3 | 5 |
59 ° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30 ° | 1 | 3 | 4 |
60 ° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29 ° | 1 | 3 | 4 |
61 ° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28 ° | 1 | 3 | 4 |
62 ° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27 ° | 1 | 3 | 4 |
63 ° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26 ° | 1 | 3 | 4 |
64 ° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25 ° | 1 | 3 | 4 |
65 ° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24 ° | 1 | 2 | 4 |
66 ° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23 ° | 1 | 2 | 3 |
67 ° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22 ° | 1 | 2 | 3 |
68 ° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21 ° | 1 | 2 | 3 |
69 ° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20 ° | 1 | 2 | 3 |
70 ° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19 ° | 1 | 2 | 3 |
71 ° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18 ° | 1 | 2 | 3 |
72 ° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17 ° | 1 | 2 | 3 |
73 ° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16 ° | 1 | 2 | 2 |
74 ° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15 ° | 1 | 2 | 2 |
75 ° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14 ° | 1 | 1 | 2 |
76 ° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13 ° | 1 | 1 | 2 |
77 ° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12 ° | 1 | 1 | 2 |
78 ° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11 ° | 1 | 1 | 2 |
79 ° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10 ° | 1 | 1 | 2 |
80 ° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9 ° | 0 | 1 | 1 |
81 ° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8 ° | 0 | 1 | 1 |
82 ° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7 ° | 0 | 1 | 1 |
83 ° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6 ° | 0 | 1 | 1 |
84 ° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5 ° | 0 | 1 | 1 |
85 ° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4 ° | 0 | 0 | 1 |
86 ° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3 ° | 0 | 0 | 0 |
87 ° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88 ° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1 ° | 0 | 0 | 0 |
89 ° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90 ° | 1.0000 | ||||||||||||||
grēks | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Lai atrastu leņķu sinusu un kosinusu vērtības, kas nav uzrādītas tabulā, ir jāizmanto korekcijas.
Tagad mēs sniedzam Bradis tabulu pieskarēm un kotangensiem. Tas satur leņķu pieskares no 0 līdz 76 grādiem un leņķu kotangentes no 14 līdz 90 grādiem.
Bradis tabula tangensiem un kotangensiem
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90 ° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 ° | 3 | 6 | 9 |
1 ° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88 ° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87 ° | 3 | 6 | 9 |
3 ° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86 ° | 3 | 6 | 9 |
4 ° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85 ° | 3 | 6 | 9 |
5 ° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84 ° | 3 | 6 | 9 |
6 ° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83 ° | 3 | 6 | 9 |
7 ° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82 ° | 3 | 6 | 9 |
8 ° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81 ° | 3 | 6 | 9 |
9 ° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80 ° | 3 | 6 | 9 |
10 ° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79 ° | 3 | 6 | 9 |
11 ° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78 ° | 3 | 6 | 9 |
12 ° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77 ° | 3 | 6 | 9 |
13 ° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76 ° | 3 | 6 | 9 |
14 ° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75 ° | 3 | 6 | 9 |
15 ° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74 ° | 3 | 6 | 9 |
16 ° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73 ° | 3 | 6 | 9 |
17 ° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72 ° | 3 | 6 | 10 |
18 ° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71 ° | 3 | 6 | 10 |
19 ° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70 ° | 3 | 7 | 10 |
20 ° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69 ° | 3 | 7 | 10 |
21 ° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68 ° | 3 | 7 | 10 |
22 ° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67 ° | 3 | 7 | 10 |
23 ° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66 ° | 3 | 7 | 10 |
24 ° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65 ° | 4 | 7 | 11 |
25 ° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64 ° | 4 | 7 | 11 |
26 ° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63 ° | 4 | 7 | 11 |
27 ° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62 ° | 4 | 7 | 11 |
28 ° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61 ° | 4 | 8 | 11 |
29 ° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60 ° | 4 | 8 | 12 |
30 ° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59 ° | 4 | 8 | 12 |
31 ° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58 ° | 4 | 8 | 12 |
32 ° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57 ° | 4 | 8 | 12 |
33 ° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56 ° | 4 | 8 | 13 |
34 ° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55 ° | 4 | 9 | 13 |
35 ° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54 ° | 4 | 8 | 13 |
36 ° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53 ° | 5 | 9 | 14 ° |
37 ° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52 ° | 5 | 9 | 14 |
38 ° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51 ° | 5 | 9 | 14 |
39 ° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50 ° | 5 | 10 | 15 |
40 ° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49 ° | 5 | 10 | 15 |
41 ° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48 ° | 5 | 10 | 16 |
42 ° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47 ° | 6 | 11 | 16 |
43 ° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46 ° | 6 | 11 | 17 |
44 ° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45 ° | 6 | 11 | 17 |
45 ° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44 ° | 6 | 12 | 18 |
46 ° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43 ° | 6 | 12 | 18 |
47 ° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42 ° | 6 | 13 | 19 |
48 ° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41 ° | 7 | 13 | 20 |
49 ° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40 ° | 7 | 14 | 21 |
50 ° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39 ° | 7 | 14 | 22 |
51 ° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38 ° | 8 | 15 | 23 |
52 ° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37 ° | 8 | 16 | 24 |
53 ° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36 ° | 8 | 16 | 25 |
54 ° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35 ° | 9 | 17 | 26 |
55 ° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34 ° | 9 | 18 | 27 |
56 ° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33 ° | 10 | 19 | 29 |
57 ° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32 ° | 10 | 20 | 30 |
58 ° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31 ° | 11 | 21 | 32 |
59 ° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30 ° | 11 | 23 | 34 |
60 ° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29 ° | 1 | 2 | 4 |
61 ° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28 ° | 1 | 3 | 4 |
62 ° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27 ° | 1 | 3 | 4 |
63 ° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26 ° | 1 | 3 | 4 |
64 ° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25 ° | 2 | 3 | 5 |
65 ° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24 ° | 2 | 3 | 5 |
66 ° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23 ° | 2 | 4 | 5 |
67 ° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22 ° | 2 | 4 | 6 |
68 ° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21 ° | 2 | 4 | 6 |
69 ° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20 ° | 2 | 5 | 7 |
70 ° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19 ° | 3 | 5 | 8 |
71 ° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18 ° | 3 | 6 | 9 |
72 ° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17 ° | 3 | 6 | 10 |
73 ° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16 ° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74 ° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15 ° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75 ° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14 ° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Kā lietot Bradis tabulas
Apsveriet Bradis tabulu sinusiem un kosinusiem. Viss, kas saistīts ar deguna blakusdobumu, ir augšā un pa kreisi. Ja mums vajag kosinusus, mēs skatāmies uz labo pusi tabulas apakšā.
Lai atrastu leņķa sinusa vērtības, augšējā šūnā jāatrod rindas krustpunkts, kurā ir nepieciešamais grādu skaits, un augšējā šūnā kolonna, kurā ir nepieciešamais minūšu skaits.
Ja Bradis tabulā nav precīzas leņķa vērtības, mēs ķeramies pie korekciju palīdzības. Labojumi par vienu, divām un trim minūtēm ir doti tabulas labajā malās. Lai atrastu leņķa sinusa vērtību, kas nav tabulā, mēs atrodam tai vistuvāko vērtību. Pēc tam pievienojiet vai atņemiet korekciju, kas atbilst starpībai starp leņķiem.
Ja mēs meklējam leņķa sinusu, kas ir lielāks par 90 grādiem, vispirms ir jāizmanto samazināšanas formulas un tikai pēc tam Bradis tabula.
Piemērs. Kā lietot Bradis tabulu
Pieņemsim, ka jums jāatrod leņķa 17 ° 44 "sinuss. Saskaņā ar tabulu mēs atrodam 17 ° 42" sinusu un pievienojam tā vērtībai divu minūšu korekciju:
17 ° 44 "- 17 ° 42" \ u003d 2 \ "(nevis par w o d i a i a i o r a y) grēks 17 ° 44" \ u003d 0. 3040 + 0. 0006 = 0. 3046
Darbības ar kosinusiem, tangensiem un kotangensiem princips ir vienāds. Tomēr ir svarīgi atcerēties grozījumu zīmi.
Svarīgs!
Aprēķinot sinusu vērtības, korekcijai ir pozitīva zīme, un, aprēķinot kosinusus, korekcija jāņem ar negatīvu zīmi.
Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter
TRIGONOMETRISKO FUNKCIJU VĒRTĪBU TABULA
Trigonometrisko funkciju vērtību tabula ir sastādīta 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 un 360 grādu leņķiem un atbilstošajām leņķu vērtībām radiānos. No trigonometriskajām funkcijām tabulā ir norādīti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenta, sekanta un kosekanti. Skolas piemēru risināšanas ērtībai trigonometrisko funkciju vērtības tabulā ir uzrakstītas daļskaitļa veidā, saglabājot skaitļu kvadrātsaknes iegūšanas pazīmes, kas ļoti bieži palīdz samazināt sarežģītas matemātiskās izteiksmes. Pieskarei un kotangensei dažus leņķus nevar norādīt. Šādu leņķu pieskares un kotangensas vērtībām trigonometrisko funkciju vērtību tabulā ir domuzīme. Ir vispāratzīts, ka šādu leņķu tangenss un kotangenss ir vienādi ar bezgalību. Atsevišķā lapā ir trigonometrisko funkciju samazināšanas formulas.
Trigonometriskās sinusa funkcijas vērtību tabula parāda vērtības šādiem leņķiem: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 grādos, kas atbilst sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi leņķu radiānā mērā. Skolas sinusu tabula.
Trigonometriskajai kosinusa funkcijai tabulā ir norādītas vērtības šādiem leņķiem: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 grādos, kas atbilst cos 0 pi , cos pi ar 6, cos pi pie 4, cos pi pie 3, cos pi pie 2, cos pi, cos 3 pi pie 2, cos 2 pi leņķu radiāna mērā. Skolas kosinusu tabula.
Trigonometriskās funkcijas pieskares trigonometriskā tabula uzrāda vērtības šādiem leņķiem: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 grādos, kas atbilst tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi / 3, tg pi, tg 2 pi leņķu radiāna mērī. Sekojošās pieskares trigonometrisko funkciju vērtības nav definētas tg 90, tg 270, tan pi / 2, tan 3 pi / 2 un tiek uzskatītas par vienādām ar bezgalību.
Trigonometriskās kotangences funkcijai trigonometriskajā tabulā ir norādīti šādi leņķi: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 grādos, kas atbilst ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3 , tg pi / 2, tg 3 pi / 2 leņķu radiāna mērī. Tālāk norādītās trigonometrisko kotangenšu funkciju vērtības ir nenoteiktas ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi un tiek pieņemtas kā bezgalība.
Sekantu un kosekantu trigonometrisko funkciju vērtības ir norādītas tiem pašiem leņķiem grādos un radiānos kā sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss.
Nestandarta leņķu trigonometrisko funkciju vērtību tabulā sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības ir norādītas leņķiem 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grādos un radiānos. pi / 12, pi / 10, pi / 8, pi / 5, 3pi / 8, 2pi / 5 radiāni. Trigonometrisko funkciju vērtības tiek izteiktas ar daļskaitļiem un kvadrātsaknēm, lai vienkāršotu daļu samazināšanu skolas piemēros.
Vēl trīs trigonometrijas monstri. Pirmais ir 1,5 grādu un pusi tangenss jeb pi, kas dalīts ar 120. Otrais ir pi kosinuss, kas dalīts ar 240, pi / 240. Garākais ir pi kosinuss, kas dalīts ar 17, pi / 17.
Sinusa un kosinusa funkciju vērtību trigonometriskais aplis skaidri attēlo sinusa un kosinusa zīmes atkarībā no leņķa lieluma. Īpaši blondīnēm kosinusa vērtības ir pasvītrotas ar zaļu svītru, lai mazinātu neskaidrības. Ļoti skaidri parādīta arī grādu pārvēršana radiānos, kad radiāni tiek izteikti ar pi.
Šī trigonometriskā tabula sniedz sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtības leņķiem no 0 nulles līdz 90 deviņdesmit grādiem ar viena grāda soli. Pirmajiem četrdesmit pieciem grādiem trigonometrisko funkciju nosaukumi ir jāatrod tabulas augšpusē. Pirmajā kolonnā ir grādi, sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu vērtības tiek ierakstītas nākamajās četrās kolonnās.
Leņķiem no četrdesmit pieciem grādiem līdz deviņdesmit grādiem trigonometrisko funkciju nosaukumi ir ierakstīti tabulas apakšā. Pēdējā kolonnā ir grādi, kosinusu, sinusu, kotangenšu un tangenšu vērtības tiek ierakstītas iepriekšējās četrās kolonnās. Esiet piesardzīgs, jo trigonometrisko funkciju nosaukumi trigonometriskās tabulas apakšā atšķiras no nosaukumiem tabulas augšpusē. Sinusus un kosinusus apmaina tāpat kā tangensu un kotangensu. Tas ir saistīts ar trigonometrisko funkciju vērtību simetriju.
Trigonometrisko funkciju zīmes ir parādītas attēlā iepriekš. Sinusam ir pozitīvas vērtības no 0 līdz 180 grādiem vai no 0 līdz pi. Negatīvās sinusa vērtības svārstās no 180 līdz 360 grādiem vai pi līdz 2 pi. Kosinusa vērtības ir pozitīvas no 0 līdz 90 un 270 līdz 360 grādiem vai no 0 līdz 1/2 pi un 3/2 līdz 2 pi. Tangensam un kotangensam ir pozitīvas vērtības no 0 līdz 90 grādiem un no 180 līdz 270 grādiem, kas atbilst vērtībām no 0 līdz 1/2 pi un no pi līdz 3/2 pi. Negatīvās pieskares un kotangences vērtības svārstās no 90 līdz 180 grādiem un no 270 līdz 360 grādiem vai no 1/2 pi līdz pi un no 3/2 pi līdz 2 pi. Nosakot trigonometrisko funkciju zīmes leņķiem, kas lielāki par 360 grādiem vai 2 pi, jāizmanto šo funkciju periodiskuma īpašības.
Trigonometriskās funkcijas sinusa, tangenss un kotangenss ir nepāra funkcijas. Šo funkciju vērtības negatīvajiem leņķiem būs negatīvas. Kosinuss ir vienmērīga trigonometriska funkcija - kosinusa vērtība negatīvam leņķim būs pozitīva. Reizinot un dalot trigonometriskās funkcijas, jāievēro zīmju noteikumi.
Trigonometriskās sinusa funkcijas vērtību tabula parāda vērtības šādiem leņķiem
DokumentsAtsevišķā lapā ir reducēšanas formulas trigonometrisksfunkcijas... V tabulavērtībaspriekštrigonometrisksfunkcijassinusatiek dotinozīmēpriekšsekojošsstūriem: grēks 0, grēks 30, grēks 45 ...
Piedāvātais matemātiskais aparāts ir pilnīgs kompleksā aprēķina analogs n-dimensiju hiperkompleksajiem skaitļiem ar jebkuru brīvības pakāpju skaitu n un paredzēts nelineāru skaitļu matemātiskai modelēšanai.
Dokuments... funkcijas vienāds funkcijas Attēli. No šīs teorēmas vajadzētu, kas priekš atrodot koordinātas U, V, pietiek ar aprēķinu funkcija... ģeometrija; poliārs funkcijas(daudzdimensiju divdimensiju analogi trigonometrisksfunkcijas), to īpašības, tabulas un pielietojums; ...
-
Vienkārši sakot, tie ir dārzeņi, kas vārīti ūdenī pēc īpašas receptes. Izskatīšu divus sākotnējos komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni) un gatavo rezultātu - boršču. Ģeometriski to var uzskatīt par taisnstūri, kura viena puse attēlo salātus, bet otra - ūdeni. Šo divu pušu summa veidos boršču. Šāda "boršča" taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni un nekad netiek izmantoti boršča receptēs.
Kā salāti un ūdens no matemātikas viedokļa pārvēršas borščā? Kā divu līniju posmu summa var pārvērsties trigonometrijā? Lai to saprastu, mums ir vajadzīgas lineārā leņķa funkcijas.
Matemātikas mācību grāmatās neko neatradīsit par lineārā leņķa funkcijām. Bet bez tiem nevar būt matemātikas. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām par to esamību vai nē.Lineārā leņķa funkcijas ir saskaitīšanas likumi. Skatieties, kā algebra pārvēršas ģeometrijā un ģeometrija trigonometrijā.
Vai var iztikt bez lineārā leņķa funkcijām? Var, jo matemātiķi joprojām iztiek bez tiem. Matemātiķu viltība slēpjas tajā, ka viņi mums vienmēr stāsta tikai par tām problēmām, kuras paši prot atrisināt, un nekad nerunā par tām problēmām, kuras nevar atrisināt. Skaties. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, mēs izmantojam atņemšanu, lai atrastu otru terminu. Viss. Mēs nezinām citus uzdevumus un nespējam tos atrisināt. Ko darīt, ja zinām tikai saskaitīšanas rezultātu un nezinām abus terminus? Šajā gadījumā pievienošanas rezultāts ir jāsadala divos terminos, izmantojot lineārās leņķa funkcijas. Tad mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķa funkcijas parāda, kādam jābūt otrajam terminam, lai saskaitīšanas rezultāts būtu tieši tāds, kāds mums ir vajadzīgs. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgi daudz. Ikdienā lieliski iztiekam bez summas sadalīšanas, mums pietiek ar atņemšanu. Bet ar zinātniskie pētījumi dabas likumi, summas sadalīšana terminos var būt ļoti noderīga.
Vēl viens saskaitīšanas likums, par kuru matemātiķiem nepatīk runāt (vēl viens viņu triks), nosaka, ka terminiem jābūt vienādām mērvienībām. Salātiem, ūdenim un borščam tās var būt svara, tilpuma, vērtības vai mērvienības.
Attēlā parādīti divi matemātikas atšķirības līmeņi. Pirmais līmenis ir atšķirības skaitļu laukā, kas ir norādītas a, b, c... To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir mērvienību laukuma atšķirības, kas parādītas kvadrātiekavās un apzīmētas ar burtu U... To dara fiziķi. Mēs varam saprast trešo līmeni - atšķirības aprakstīto objektu zonā. Dažādiem objektiem var būt vienāds identisku mērvienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemērā. Ja pievienojam apakšindeksus vienam un tam pašam dažādu objektu mērvienību apzīmējumam, varam precīzi pateikt, kura matemātiskā vērtība apraksta konkrēto objektu un kā tā mainās laika gaitā vai saistībā ar mūsu darbībām. Ar vēstuli W Es norādīšu ūdeni ar burtu S Es norādīšu salātus un burtu B- Borščs. Šādi izskatītos boršča lineārās leņķiskās funkcijas.
Ja ņemsim kādu daļu ūdens un kādu daļu no salātiem, kopā tie pārvērtīsies par vienu boršča porciju. Šeit es iesaku jums atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt kopā zaķus un pīles? Vajadzēja noskaidrot, cik dzīvnieku būs. Ko tad mums mācīja darīt? Mums mācīja atdalīt vienības no skaitļiem un pievienot skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot jebkuram citam numuram. Tas ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs darām, nav skaidrs, ko, nav skaidrs, kāpēc, un mēs ļoti slikti saprotam, kā tas ir saistīts ar realitāti, jo trīs atšķirību līmeņu dēļ matemātika darbojas tikai vienā . Pareizāk būtu iemācīties pārslēgties no vienas mērvienības uz citu.
Un zaķus, un pīles, un dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj tos pievienot kopā. Šī ir bērnišķīga problēmas versija. Apskatīsim līdzīgu problēmu pieaugušajiem. Kas notiek, ja pievieno zaķus un naudu? Šeit ir divi iespējamie risinājumi.
Pirmais variants... Nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam pieejamajai naudas summai. Mēs saņēmām mūsu bagātības kopējo vērtību naudas izteiksmē.
Otrais variants... Jūs varat pievienot zaķu skaitu mūsu banknošu skaitam. Kustamās mantas skaitu saņemsim gabalos.
Kā redzat, viens un tas pats pievienošanas likums rada dažādus rezultātus. Tas viss ir atkarīgs no tā, ko tieši mēs vēlamies uzzināt.
Bet atpakaļ pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks ar dažādām lineārā leņķa funkciju leņķa vērtībām.
Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram pagatavot boršču. Arī boršča daudzums ir nulle. Tas nebūt nenozīmē, ka nulle boršča ir vienāda ar nulli ūdens. Nulles borščs var būt pie nulles salātiem (taisnā leņķī).
Man personīgi šis ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka. Nulle nemaina numuru, kad to pievieno. Tas ir tāpēc, ka pats papildinājums nav iespējams, ja ir tikai viens termins un nav otrā termiņa. Jūs varat ar to attiecināties, kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātiskās darbības ar nulli ir izdomājuši paši matemātiķi, tāpēc atmetiet savu loģiku un stulbi piebāziet matemātiķu izdomātās definīcijas: "dalīšana ar nulli nav iespējama", "jebkurš skaitlis, kas reizināts ar nulli, ir vienāds nulle" , "par izslēgšanas punktu nulle" un citas blēņas. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad neradīsies jautājums, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šāds jautājums kopumā zaudē jebkādu nozīmi: kā mēs varam uzskatīt skaitli, kas nav skaitlis. Tas ir tāpat kā jautāt, kādai krāsai jābūt neredzamai krāsai. Nulles pievienošana skaitlim ir kā krāsošana ar krāsu, kas neeksistē. Pamājām ar sausu otu un visiem teicām, ka "esam krāsojuši". Bet es nedaudz novirzos.Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet nepietiek ūdens. Rezultātā mēs iegūstam biezu boršču.
Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds daudzums ūdens un salātu. Šis ir ideāls borščs (jā, pavāri man piedos, tā ir tikai matemātika).
Leņķis ir lielāks par četrdesmit pieciem grādiem, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un maz salātu. Jūs saņemat šķidru boršču.
Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. No salātiem paliek tikai atmiņas, jo turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas kādreiz stāvēja salātiem. Mēs nevaram pagatavot boršču. Boršča daudzums ir nulle. Tādā gadījumā pagaidiet un dzeriet ūdeni, kamēr tas ir))
Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Šeit es varu pastāstīt citus stāstus, kas šeit būs vairāk nekā piemēroti.
Diviem draugiem bija savas daļas kopējā biznesā. Pēc viena nogalināšanas viss pārgāja uz otru.
Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.
Visi šie stāsti ir stāstīti matemātikas valodā, izmantojot lineārā leņķa funkcijas. Citreiz es jums parādīšu šo funkciju īsto vietu matemātikas struktūrā. Pa to laiku atgriezīsimies pie boršča trigonometrijas un apsvērsim projekcijas.
Sestdien, 26.10.2019
Trešdien, 2019. gada 7. augustā
Noslēdzot sarunu par to, ir jāņem vērā bezgalīgs skaits. Rezultāts ir tāds, ka jēdziens "bezgalība" iedarbojas uz matemātiķiem kā boa konstriktors uz trusi. Bezgalības drebošās šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:
Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme augstākminētajos izteikumos norāda, ka bezgalībai pievienojot skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgu naturālu skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:
Lai vizuāli pierādītu to pareizību, matemātiķi ir izstrādājuši daudzas dažādas metodes. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņu dejošanu ar tamburīniem. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas nav aizņemtas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem fantastiska stāsta veidā par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Pēc tam, kad esam atbrīvojuši pirmo istabu viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat gadsimta beigām. Laika faktoru, protams, var stulbi ignorēt, bet tas jau būs no kategorijas "likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti, lai tā atbilstu matemātiskajām teorijām vai otrādi.
Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir brīvu vietu skaits neatkarīgi no tā, cik numuri ir aizņemti. Ja visas telpas bezgalīgajā apmeklētāju koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar viesu istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt "bezgalīgajai viesnīcai" ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgi daudzās ēkās uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi tomēr nespēj distancēties no ikdienišķām problēmām: Dievs-Allāhs-Buda vienmēr ir tikai viens, viesnīca ir viena, koridors tikai viens. Šeit ir matemātiķi un mēģina manipulēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iebāzt lietas".
Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemērā. Pirmkārt, jums ir jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai daudzi? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izdomājām skaitļus, dabā skaitļu nav. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Kā domā Daba, pastāstīšu citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsveriet abas iespējas, kā tas pienākas īstam zinātniekam.
Pirmais variants. “Ļaujiet mums tikt dota” viena naturālu skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo mums tas jau ir. Un ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienību no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūstam bezgalīgu naturālo skaitļu kopu. Visas mūsu manipulācijas varat uzrakstīt šādi:
Es pierakstīju darbības algebriskajā apzīmējumu sistēmā un kopu teorijā pieņemtajā apzīmējumu sistēmā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšindekss norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem un pievieno to pašu vienību.
Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Mēs ņemam vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Lūk, ko mēs iegūstam:
Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie vienumi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgajai kopai pievienosiet vienu, rezultāts arī būs bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojam vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.
Daudz naturālu skaitļu tiek izmantoti skaitīšanai tāpat kā lineāls mērījumiem. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojat vienu centimetru. Šī jau būs cita līnija, kas nav vienāda ar oriģinālu.
Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai neejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas nodarbošanās, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam pievieno mums garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums domas brīvību).
pozg.ru
Svētdien, 4.08.2019
Es rakstīju pēcrakstu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:
Mēs lasām: "...babiloniešu matemātikas bagātīgajai teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika reducēta uz atšķirīgu metožu kopumu, kurā nebija kopējā sistēma un pierādījumu bāze."
Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:
Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze nav holistiska un ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.
Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus - tai ir valoda un konvencijas, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es gribu veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.
Sestdien, 3.08.2019
Kā sadalīt kopu apakškopās? Lai to izdarītu, ir jāievada jauna mērvienība, kas ir pieejama dažiem atlasītās kopas elementiem. Apskatīsim piemēru.
Lai mums ir daudz A sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa tika veidota uz "cilvēku" bāzes Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu a, apakšindekss ar ciparu norādīs katras personas kārtas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b... Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pēc dzimuma b... Ņemiet vērā, ka tagad mūsu "cilvēku" daudzums ir kļuvuši par "cilvēkiem ar dzimuma īpašībām". Pēc tam mēs varam sadalīt dzimuma pazīmes vīrišķajās bm un sievietes bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm dzimuma pazīmēm, nav svarīgi, kurš no tiem ir vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad pielietojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas noticis.
Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs ieguvām divas apakškopas: vīriešu apakškopu Bm un sieviešu apakškopa Bw... Matemātiķi domā par to pašu, pielietojot kopu teoriju praksē. Bet viņi mūs nevelta sīkumiem, bet dod gatavu rezultātu - "daudz cilvēku sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums, cik pareizi matemātika tiek pielietota iepriekšminētajās transformācijās? Es uzdrošinos jums apliecināt, patiesībā transformācijas tika veiktas pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko bāzi. Kas tas ir? Citreiz es jums par to pastāstīšu.
Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, izvēloties mērvienību, kas ir pieejama šo divu kopu elementiem.
Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātni. Norāde uz to, ka ar kopu teoriju nav viss kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi darīja to pašu, ko kādreiz darīja šamaņi. Tikai šamaņi prot "pareizi" pielietot savas "zināšanas". Viņi mums māca šīs "zināšanas".
Visbeidzot, es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē ar.
Pirmdiena, 2019. gada 7. janvāris
Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija "Ahillejs un bruņurupucis". Lūk, kā tas izklausās:
Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.
Šī argumentācija bija loģisks šoks visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts ... Viņi visi vienā vai otrā veidā tika uzskatīti par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nav kļuvis par vispārpieņemtu jautājuma risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.
No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no lieluma uz. Šī pāreja nozīmē lietojumprogrammu, nevis konstantes. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs ar domāšanas inerci piemērojam konstantas laika mērvienības apgrieztajai vērtībai. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika paplašināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs atrodas vienā līmenī ar bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.
Ja mēs pārvēršam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri panāks bruņurupuci."
Kā jūs varat izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un negriezieties atpakaļ. Zenona valodā tas izskatās šādi:
Laikā, kurā Ahillejs noskrien tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.
Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.
Vēl viena interesanta aporija Zeno stāsta par lidojošu bultu:
Lidojošā bulta ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.
Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika momentā dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču nav iespējams noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no dažādiem telpas punktiem vienlaikus, taču tās nevar noteikt kustības faktu (protams, aprēķiniem joprojām ir nepieciešami papildu dati, jums palīdzēs trigonometrija). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Ļaujiet man parādīt procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies "sarkana cieta pūtīte" - tas ir mūsu "veselums". Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, bet nav loku. Pēc tam atlasām daļu no "veseluma" un veidojam komplektu "ar loku". Šādi šamaņi baro sevi, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.Tagad izdarīsim nelielu netīro triku. Paņemiet "cietu pūtītē ar banti" un apvienojiet šos "veselumus" pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad jautājums, kas jāaizpilda: iegūtie komplekti "ar loku" un "sarkans" ir viens un tas pats komplekts vai arī tie ir divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, viņi paši neko nezina, bet kā saka, tā arī ir.
Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs esam izveidojuši komplektu "sarkans ciets izciļņā ar loku". Veidošanās notika pēc četrām dažādām mērvienībām: krāsa (sarkana), stiprums (ciets), raupjums (pūtītē), ornamenti (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā... Tas izskatās šādi.
Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības ir izceltas iekavās, pēc kurām sākotnējā posmā tiek piešķirts "veselais". Mērvienība, pēc kuras tiek veidota komplekta, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var "intuitīvi" nonākt pie tāda paša rezultāta, argumentējot to "pēc acīmredzamības", jo mērvienības nav iekļautas viņu "zinātniskajā" arsenālā.
Ir ļoti viegli izmantot vienības, lai sadalītu vienu vai apvienotu vairākus komplektus vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.
Trigonometrisko pamatfunkciju tabula leņķiem 0, 30, 45, 60, 90, ... grādi
No funkciju $ \ sin $, $ \ cos $, $ \ tan $ un $ \ cot $ trigonometriskajām definīcijām varat atrast to vērtības leņķiem $ 0 $ un $ 90 $ grādiem:
$ \ sin0 ° = 0 $, $ \ cos0 ° = 1 $, $ \ tan 0 ° = 0 $, $ \ bērnu gultiņa 0 ° $ nav definēts;
$ \ sin90 ° = 1 $, $ \ cos90 ° = 0 $, $ \ cot90 ° = 0 $, $ \ tan 90 ° $ nav definēts.
Skolas ģeometrijas kursā, pētot taisnleņķa trijstūrus, tiek atrastas leņķu $ 0 ° $, $ 30 ° $, $ 45 ° $, $ 60 ° $ un $ 90 ° $ trigonometriskās funkcijas.
Atrastās trigonometrisko funkciju vērtības norādītajiem leņķiem grādos un radiānos, attiecīgi ($ 0 $, $ \ frac (\ pi) (6) $, $ \ frac (\ pi) (4) $, $ \ frac (\ pi) (3) $, $ \ frac (\ pi) (2) $), lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, tiek ievadīti tabulā ar nosaukumu trigonometriskā tabula, trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabula utt.
Izmantojot samazināšanas formulas, trigonometrisko tabulu var paplašināt līdz 360 ° $ leņķim un attiecīgi $ 2 \ pi $ radiāniem:
Izmantojot trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašības, katru leņķi, kas no jau zināmā atšķirsies par 360 ° $, var aprēķināt un ierakstīt tabulā. Piemēram, trigonometriskajai funkcijai $ 0 ° $ leņķim būs tāda pati nozīme leņķim $ 0 ° + 360 ° $ un leņķim $ 0 ° + 2 \ cdot 360 ° $ un $ 0 °. + 3 \ cdot 360 ° $ leņķis utt.
Izmantojot trigonometrisko tabulu, varat noteikt visu vienības apļa leņķu vērtības.
Skolas ģeometrijas kursā trigonometrisko uzdevumu risināšanas ērtībai ir jāiegaumē trigonometrisko funkciju pamatvērtības, kas apkopotas trigonometriskā tabulā.
Izmantojot tabulu
Tabulā pietiek atrast vajadzīgo trigonometrisko funkciju un leņķa vai radiānu vērtību, kurai šī funkcija jāaprēķina. Rindas ar funkciju un kolonnas ar vērtību krustpunktā iegūstam dotā argumenta vēlamo trigonometriskās funkcijas vērtību.
Attēlā varat redzēt, kā atrast $ \ cos60 ° $ vērtību, kas ir $ \ frac (1) (2) $.
Līdzīgi tiek izmantota paplašinātā trigonometriskā tabula. Tā izmantošanas priekšrocība, kā jau minēts, ir gandrīz jebkura leņķa trigonometriskās funkcijas aprēķināšana. Piemēram, varat viegli atrast vērtību $ \ tan 1380 ° = \ tan (1 380 ° -360 °) = \ tan (1 020 ° -360 °) = \ tan (660 ° -360 °) = \ tan300 ° $:
Bradis trigonometrisko pamatfunkciju tabulas
Spēja aprēķināt trigonometrisko funkciju absolūti jebkurai leņķa vērtībai veselai grādu vērtībai un vesela skaitļa vērtībai minūtēs ļauj izmantot Bradis tabulas. Piemēram, atrodiet vērtību $ \ cos34 ° 7 "$. Tabulas ir sadalītas 2 daļās: vērtību tabula $ \ sin $ un $ \ cos $ un vērtību tabula $ \ tan $ un $ \ bērnu gultiņa $.
Bradis tabulas ļauj iegūt aptuvenu trigonometrisko funkciju vērtību ar precizitāti līdz 4 cipariem aiz komata.
Bradis tabulu izmantošana
Izmantojot Bradis tabulas sinusiem, mēs atrodam $ \ sin17 ° 42 "$. Šim nolūkam sinusu un kosinusu tabulas kreisajā kolonnā atrodam grādu vērtību - $ 17 ° $, un augšējā rindā mēs atrodiet minūšu vērtību - $ 42" $. To krustojumā mēs iegūstam vēlamo vērtību:
$ \ sin17 ° 42 "= 0,304 USD.
Lai atrastu vērtību $ \ sin17 ° 44 "$, jums ir jāizmanto korekcija tabulas labajā pusē. Šajā gadījumā vērtībai $ 42" $, kas ir tabulā, jums jāpievieno korekcija par USD 2 "$, kas ir vienāda ar USD 0,0006. Mēs iegūstam:
$ \ sin17 ° 44 "= 0,304 + 0,0006 = 0,3046 $.
Lai atrastu vērtību $ \ sin17 ° 47 "$, mēs izmantojam arī korekciju tabulas labajā pusē, tikai šajā gadījumā par pamatu ņemam vērtību $ \ sin17 ° 48" $ un atņemam korekciju $ 1 "$:
$ \ sin17 ° 47 "= 0,3057-0,0003 = 0,3054 $.
Aprēķinot kosinusus, veicam līdzīgas darbības, bet mēs aplūkojam grādus labajā kolonnā un minūtes tabulas apakšējā kolonnā. Piemēram, $ \ cos20 ° = $ 0,9397.
Pieskares vērtībām līdz $ 90 ° $ un mazām leņķa kotangencēm korekcijas nav. Piemēram, atradīsim $ \ tan 78 ° 37 "$, kas saskaņā ar tabulu ir $ 4,967 $.
Rakstā mēs pilnībā sapratīsim, kā tas izskatās trigonometrisko vērtību tabula, sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss... Apsveriet trigonometrisko funkciju pamata nozīmi no 0,30,45,60,90, ..., 360 grādu leņķa. Un redzēsim, kā izmantot šīs tabulas, aprēķinot trigonometrisko funkciju vērtību.
Vispirms apsveriet kosinusa, sinusa, tangensu un kotangentu tabula no 0, 30, 45, 60, 90, .. grādu leņķa. Šo lielumu definīcija dod leņķu funkciju vērtību pie 0 un 90 grādiem:sin 0 0 = 0, cos 0 0 = 1.tg 0 0 = 0, 0 0 kotangente būs nenoteikta
sin 90 0 = 1, cos 90 0 = 0, ctg90 0 = 0, 90 0 tangenss nebūs definētsJa ņemam taisnleņķa trijstūrus, kuru leņķi ir no 30 līdz 90 grādiem. Mēs iegūstam:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 = √3, ctg 60 0 = √3/3Mēs attēlojam visas iegūtās vērtības formā trigonometriskā tabula:
Sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula!
Ja izmantosim liešanas formulu, mūsu tabula palielināsies, pievienojot vērtības leņķiem līdz 360 grādiem. Tas izskatīsies šādi:
Tāpat, pamatojoties uz periodiskuma īpašībām, tabulu var palielināt, ja leņķus aizstājam ar 0 0 +360 0 * z .... 330 0 +360 0 * z, kurā z ir vesels skaitlis. Šajā tabulā ir iespējams aprēķināt visu leņķu vērtību, kas atbilst punktiem vienā aplī.
Apskatīsim, kā risinājumā izmantot tabulu.
Viss ir ļoti vienkārši. Tā kā mums nepieciešamā vērtība atrodas mums nepieciešamo šūnu krustošanās punktā. Piemēram, ņemsim 60 grādu leņķa cos, tabulā tas izskatīsies šādi:Trigonometrisko funkciju galveno vērtību galīgajā tabulā mēs rīkojamies tāpat. Bet šajā tabulā var uzzināt, cik liela būs 1020 grādu leņķa tangensa, tas = -√3 Pārbaudiet 1020 0 = 300 0 +360 0 * 2. Meklēsim pie galda.
Lai vairāk meklētu leņķu trigonometriskās vērtības ar minūšu precizitāti. detalizētas instrukcijas kā tos izmantot lapā
Bradis galds. Sinusam, kosinusam, tangensam un kotangensam.
Bradis tabulas ir sadalītas vairākās daļās, sastāv no kosinusa un sinusa, pieskares un kotangences tabulām - kas ir sadalīta divās daļās (tg leņķi līdz 90 grādiem un ctg mazie leņķi).
Sinuss un kosinuss
tg leņķis, sākot no 0 0, kas beidzas ar 76 0, ctg leņķis, sākot no 14 0, beidzot ar 90 0.
tg līdz 90 0 un ctg mazie leņķi.
Izdomāsim, kā problēmu risināšanā izmantot Bradis tabulas.
Atrodiet apzīmējumu sin (apzīmējums ailē no kreisās malas) 42 minūtes (apzīmējums ir augšējā rindā). Apzīmējumu meklējam pēc krustojuma, tas = 0,3040.
Minūtu vērtības tiek norādītas ar sešu minūšu intervālu, ja nu mums vajadzīgā vērtība ietilpst šajā intervālā. Ņemsim 44 minūtes, bet tabulā ir tikai 42. Ņemsim par pamatu 42 un izmantosim papildu kolonnas labā puse, ņemam 2. labojumu un pievienojam 0.3040 + 0.0006, iegūstam 0.3046.
Ar sin 47 min par pamatu ņemam 48 min un no tā atņemam 1 labojumu, t.i., 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
Aprēķinot cos, strādājam tāpat kā sin, tikai par pamatu ņemam tabulas apakšējo rindu. Piemēram, cos 20 0 = 0,9397
Leņķa tg vērtības līdz 90 0 un mazā leņķa gultiņa ir pareizas un tām nav labojumu. Piemēram, atrodiet tg 78 0 37 min = 4,967
a ctg 20 0 13 min = 25,83Šeit mēs esam izskatījuši pamata trigonometriskās tabulas. Mēs ceram, ka šī informācija jums bija ļoti noderīga. Ja ir kādi jautājumi par tabulām, droši rakstiet komentāros!
Piezīme: Sienas bamperi - sienu aizsardzībai paredzētais dēlis (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)