Mēs iegūstam evolūciju punktos kā galvenā apļa attīstību d/,.Šīs metodes datorizēta ieviešana ļauj izveidot patvaļīgi lielu punktu skaitu. Savienosim punktus ar gludu splainu līkni. Parasti pietiek ar 8-10 punktiem, lai iegūtu evolūciju ar augstu precizitāti.

Ņemot vērā, ka dažāda diametra apļu evolūcijas ir līdzīgas, pietiek vienam no riteņiem izveidot evolūciju. Mērogojot, mēs iegūstam jebkura cita riteņa evolūciju. Mērogošanas koeficients ir vienāds ar galveno apļu diametru attiecību. Ar vienu un to pašu riteņa moduli, piemēram, ja riteņi pieder vienam pārnesumam, mērogošanas koeficients ir vienāds ar riteņa zobu skaita attiecību.

Mēs izveidojam zobrata evoluciju (20.4. att., A). Pieņemsim būtību 1 galvenā apļa krustojums

• ? piķa aplis d un padziļinājumu apkārtmērs dr vajadzētu īslaicīgi paslēpt - “iesaldēt”;
• ? no punkta 1 perpendikulāri riteņa asij (režīms ORTHO) izveidot segmentu P aptuveni (8-10) garš, kur T- modulis. Mūsu piemērā par T= 3 segmentu garums P pārnesums ir iestatīts uz 25 mm.

Iestatīsim slaucīšanas soli uz 8. Solim samazinoties, palielinās punktu skaits un evolūcijas konstruēšanas precizitāte. Lai iegūtu 8-10 evolūcijas punktus, ņemam b = 0,5 T(mūsu piemērā 8 = 1,5 mm).

Rīsi. 20.4.

A - slaucīšanas soļa marķēšana; b - evolūcijas punktu nomogramma

Uz segmentu P pielietojiet punktu marķierus ar soli pa 8:

• ? pdmode / 2 / pdsize / -1 - marķiera veids ir iestatīts uz “krusts” un tā izmērs ir 1 mm;
• ? izmērīt/norādīt segmentu p co sākuma marķējuma punkta malas, t.i. punktus 1 / 1,5 - pakāpiena garums - uz segmenta tiek novietoti punktu marķieri.

Mēs apvienojam segmentu un punktu marķierus blokā:

Bloķēt / norādīt nosaukumu / norādīt punktu kā ievietošanas punktu 1 / Select Objects - norādi objektus, kas jāiekļauj blokā, t.i. līnijas segments P un marķieri / iestatiet režīmu Konvertēt uz Block / Labi.

Atzīmēsim apli DJ, tā, lai marķējuma loka segmentu garums būtu vienāds ar skenēšanas 8. darbību:

• ? apgriezt / norādīt asis kā griešanas malas / norādīt pamata apli d) ) tā, lai tā labā augšējā ceturtdaļa paliktu ar beigu punktu 1;
• ? izmērīt/norādīt galvenā apļa loku 1. punkta tuvumā / 1,5 - uz loka no punkta 1 tiek uzlikti marķējuma punktu marķieri. Loka garums starp marķieriem ir 1,5 mm.

Izveidosim koordinātu sistēmu ar sākumpunktu apļa centrā, asī X mēs novirzīsim jūs uz lietu 1 U Y ass - pa labi. Šajā sistēmā mēs izveidosim izveidoto bloku apļveida masīvu (20.4. att., b):

• ? ucs / 3 / norāda apļa centru, punktu O, norāda punktu Y, norāda punktu pa labi no punkta Y;
• ? masīvs / Polārais masīvs / Centra punkts / 0,0 / iestatiet masīva izveides režīmu: Kopējais vienumu skaits, leņķis starp vienumiem / Kopējais vienumu skaits

iestatiet elementu skaitu uz 17 (atbilstoši segmentu marķēšanas punktu skaitam P) / Leņķis starp vienumiem - norādiet pogu uz šī parametra līnijas un ekrānā ar mezgla piesaisti norādiet loka marķieri, kas ir vistuvāk punktam 1 - logā jāparādās rotācijas leņķa vērtībai (p, mūsu piemērā 3.0486 / Atlasīt objektus - norādiet bloku (segmentu ar marķieriem), kas jāatveido ar masīvu / Priekšskatījums / Labi.

Tika iegūta nomogramma (skat. 20.4. att., b) kā involūtu saimes punktu kopa. Nepieciešamā evolūcija e atstāj punktu 1. Lai to izveidotu kā gludu līkni:

• ? iestatīt objektu saistījumus End, Node. Pāriet uz citu slāni;
• ? splains / norādīt punktu 1 un secīgi visus evolūcijas punktus /// - evolūciju iegūst kā splaina līkni.

Konstruētā evolūcija izvirzās ārpus apļa d a zobu izvirzījumi. Tas nepieciešams nākamajam solim – ieplaku kontūras konstruēšanai.

Zobrata dobuma kontūras veidošana

Pamatojoties uz iegūto evolūciju, mēs izveidosim zobrata dobuma kontūru:

• ? atjaunojam koordinātu sistēmu, virzot asi X horizontāli. Paslēpsim nomogrammu (sasaldē slāni);
• ? izveidot vai atjaunot sadalošo apli d un padziļinājumu apkārtmērs df.

Kam ir evolūcija e(20.5. att., A) un ass i kā kontūras vienas puses daļas, otrā puse būs spoguļattēls. Lai atrastu asi ES esmu depresijas simetrija, ir nepieciešams konstruēt segmentu no centra Ak tieši tā 2 evolūcijas krustojumi e ar piķa apli d un pagrieziet to leņķī X= 360/42, kur 2 ir zobu skaits (2. pārnesumam = 20D = 4,5):

• ? line / ar objektu snap Int norāda punktus 0 un 2;
• ? pagriezt / norādīt segmentu (Ak- 2) / norāda griešanās centru O, / 4,5 - z-ass ir konstruēta;
• ? spogulis / norādīt involute e un ass z / ar atskaiti End norāda ass galus z ha // - evolūcija ir konstruēta e un segments V.

Savienosim kontūras r, Г radiālās taisnās līnijas ar padziļinājumu apli dr Pārošanās rādiuss 1,2 (sk. 20.1. tabulu):

• ? fileja / R / 1,2 / norāda padziļinājumu apli un vienu no radiālajām taisnēm - mate ir izgatavota pa apļveida loku ar rādiusu 1,2 mm;
• ? atkārtojiet komandu fileja un savienojiet otro taisni ar apli dj.

Lai pabeigtu kontūru, uzzīmējiet noslēguma apli Ar depresijas kontūra. Komanda apgrieziet ārējās kontūrlīnijas un komandu reģions apvieno ceļa segmentus reģionā k. Pārliecinieties, vai, norādāt kontūru, tā tiek izcelta kā viens gabals.

Jums būs nepieciešams

• Zīmuļu lineāls kvadrātveida kompasa transportētājs Formulas leņķu aprēķināšanai, izmantojot loka garumu un rādiusu Formulas ģeometrisku figūru malu aprēķināšanai

Instrukcijas

Uz papīra lapas izveidojiet vēlamā ģeometriskā korpusa pamatni. Ja jums ir dots paralēlskaldnis vai, izmēriet pamatnes garumu un platumu un uzzīmējiet taisnstūri uz papīra ar atbilstošiem parametriem. Lai izveidotu izstrādi a vai cilindru, ir nepieciešams pamata apļa rādiuss. Ja nosacījumā tas nav norādīts, izmēriet un aprēķiniet rādiusu.

Apsveriet paralēlskaldni. Jūs redzēsiet, ka visas tās sejas atrodas leņķī pret pamatni, taču šo seju parametri ir atšķirīgi. Izmēriet ģeometriskā ķermeņa augstumu un, izmantojot kvadrātu, uzvelciet divus perpendikulus pamatnes garumam. Uzzīmējiet uz tiem paralēlskaldņa augstumu. Savienojiet iegūto segmentu galus ar taisnu līniju. Dariet to pašu oriģinālā pretējā pusē.

No sākotnējā taisnstūra malu krustpunktiem uzvelciet perpendikulārus tā platumam. Uzzīmējiet paralēlskaldņa augstumu uz šīm taisnēm un savienojiet iegūtos punktus ar taisnu līniju. Dariet to pašu otrā pusē.

No jebkura jaunā taisnstūra ārējās malas, kura garums sakrīt ar pamatnes garumu, izveidojiet paralēlskaldņa augšējo virsmu. Lai to izdarītu, uzvelciet perpendikulu no garuma un platuma līniju krustošanās punktiem, kas atrodas ārpusē. Atlieciet uz tiem pamatnes platumu un savienojiet punktus ar taisnu līniju.

Lai izveidotu konusa attīstību caur pamata apļa centru, novelciet rādiusu caur jebkuru apļa punktu un turpiniet to. Izmēriet attālumu no pamatnes līdz konusa augšai. Novietojiet šo attālumu no rādiusa un apļa krustošanās punkta. Atzīmējiet sānu virsmas virsotnes punktu. Izmantojot sānu virsmas rādiusu un loka garumu, kas ir vienāds ar pamatnes apkārtmēru, aprēķiniet slīpuma leņķi un novietojiet to malā no taisnes, kas jau novilkta caur pamatnes augšdaļu. Izmantojot kompasu, savienojiet iepriekš atrasto rādiusa un apļa krustošanās punktu ar šo jauno punktu. Konusa skenēšana ir gatava.

Lai izveidotu piramīdas skenēšanu, izmēra tās malu augstumus. Lai to izdarītu, atrodiet katras pamatnes malas vidu un izmēra perpendikula garumu, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz šim punktam. Uz papīra uzzīmējot piramīdas pamatni, atrodiet malu viduspunktus un uzzīmējiet tiem perpendikulus. Savienojiet iegūtos punktus ar piramīdas malu krustošanās punktiem.

Cilindra attīstība sastāv no diviem apļiem un starp tiem izvietota taisnstūra, kura garums ir vienāds ar apļa garumu, bet augstums ir cilindra augstums.

Ir vairāki ļoti vienkārši, bet ne efektīvi veidi, kā pārvērst apļus rastra formā. Piemēram, vienkāršības labad apsveriet apli, kura centrs atrodas sākumā. Tā vienādojums ir uzrakstīts kā x 2 + y 2 =R 2. Atrisinot šo vienādojumu par y, mēs saņemam

Lai attēlotu apļa ceturto daļu, mēs mainīsimies x ar vienības soli no 0 līdz R un katrā solī aprēķiniet y. Otrkārt vienkārša metode apļa rastra slaucīšana ir aprēķinu izmantošana x Un y pēc formulām x=R cos α, y=R sinα, kad leņķis α soli pa solim mainās no 0 līdz 90.

Lai vienkāršotu standarta apļa rastra skenēšanas algoritmu, varat izmantot tā simetriju attiecībā pret koordinātu asīm un taisnēm y= ± x; gadījumā, ja apļa centrs nesakrīt ar koordinātu sākumpunktu, šīs līnijas ir jānobīda paralēli, lai tās iet cauri apļa centram. Tādējādi pietiek konstruēt rastra attēlojumu 1/8 apļa, un iegūt visus atlikušos punktus pēc simetrijas (skat. 2.15. att.).

Rīsi. 2.15. Astoņu virzienu simetrija

Apsveriet apļa posmu no otrās oktantes xЄ. Tālāk mēs aprakstām Bresenheima algoritmu šai apļa sadaļai.

Katrā solī algoritms izvēlas punktu P i (x i , y i), kas ir vistuvāk patiesajam lokam. Algoritma ideja ir izvēlēties tuvāko punktu, izmantojot vadības mainīgos, kuru vērtības var aprēķināt soli pa solim, izmantojot nelielu skaitu saskaitīšanas, atņemšanas un nobīdes.

Apskatīsim nelielu pikseļu režģa posmu, kā arī iespējamos veidus (no A līdz E), kā iziet cauri režģim patiesu apli (2.16. att.).

Pieņemsim, ka punkts P i - 1 tika izvēlēts kā vistuvāk aplim plkst x=x es- 1 . Tagad noskaidrosim, kurš no punktiem ( S i vai T i) atrodas tuvāk aplim, kad x=x es- 1 + 1.

Rīsi. 2.16. Iespējas apļa izlaišanai caur rastra režģi

Ņemiet vērā, ka kļūda, izvēloties punktu P i (x i , y i) bija vienāds

D( P i) = (x i 2 + y i 2) –R 2 .

Uzrakstīsim izteiksmi kļūdām, kas iegūtas, izvēloties punktu S i vai T i :

D( S i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1) 2 ] – R2;

D( T i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1 – 1) 2 ] – R 2 .

Ja | D( S i) | ≥ |D( T i) |, tad T i tuvāk reālajam lokam, pretējā gadījumā atlasiet S i .

Iepazīstinām d i= |D( S i) | – |D( T i) |.

T i tiks izvēlēts, kad d i≥ 0, pretējā gadījumā tas tiks iestatīts S i .

Izlaižot algebriskās transformācijas, mēs rakstām d i Un d i + 1 dažādām punktu izvēles iespējām S i vai T i .

D 1 = 3 – 2R.

Ja atlasīts S i(Kad d i < 0), тоd i + 1 =d i + 4x i -1 + 6.

Ja atlasīts T i(Kad d i≥ 0), tad d i + 1 =d i + 4 (x i - 1 –y i - 1) + 10.

Elipsei ir Bresenheima algoritma modifikācija.

1. Apgabala aizpildīšana, kas norādīta ar apmales krāsu

Apsveriet apgabalu, ko ierobežo noteiktas krāsas pikseļu kopa un punkts ( x, y), kas atrodas šajā reģionā.

Uzdevums aizpildīt laukumu ar noteiktu krāsu, ja laukums nav izliekts, var būt diezgan sarežģīts.

Vienkāršākais rekursīvais algoritms:

void PixelFill(int x, int y, int border_color, int color)

int c = getpixel(x, y);

if ((c != apmales_krāsa) && (c != krāsa))

putpixel(x, y, krāsa);

PixelFill(x – 1, y, apmales_krāsa, krāsa);

PixelFill(x + 1, y, apmales_krāsa, krāsa);

PixelFill(x, y – 1, apmales_krāsa, krāsa);

PixelFill(x, y + 1, apmales_color, color);

Šis algoritms ir pārāk neefektīvs, jo katram jau uzzīmētam pikselim funkcija tiek izsaukta vēl 4 reizes un turklāt šis algoritms prasa pārāk daudz steka vietas lielā rekursijas dziļuma dēļ. Tāpēc, lai atrisinātu apgabala aizpildīšanas problēmu, ir vēlams izmantot algoritmus, kas var apstrādāt visas pikseļu grupas vienlaikus, t.i., izmantot to "savienojamību". Ja dotais pikselis pieder kādam reģionam, tad visticamāk šim reģionam pieder arī tā tuvākie kaimiņi.

Šādu pikseļu grupa parasti ir josla, ko nosaka labais pikselis. Kaudzīte tiek izmantota, lai saglabātu pareizos definējošos pikseļus. Mēs mutiski aprakstīsim uzlabotu algoritmu, kas izmanto pikseļu koherenci.

Pirmkārt, tiek aizpildīta horizontāla pikseļu josla, kas satur sākuma punktu. Pēc tam, lai atrastu katras rindas galējo labo pikseļu, tiek pārbaudīta rinda pirms tikko aizpildītās svītras no labās uz kreiso pusi. Atrasto pikseļu adreses tiek ievietotas stekā. Tas pats tiek darīts ar līniju, kas seko un pēc pēdējās aizpildītās svītras. Kad līnija tiek apstrādāta šādā veidā, jaunais sākumpunkts ir pikselis, kura adrese tiek ņemta no steka. Viņam tiek atkārtota visa aprakstītā procedūra. Algoritms tiek pārtraukts, ja kaudze ir tukša.

Vai matemātikas grāmatā, kaut vai populārā, var runāt, piemēram, par vabolēm? Izrādās, ka tas ir iespējams. Bet mums būs jāsāk no tālienes.

Rīsi. 78. Apļa skenēšana.

Aplim, kā mēs tagad zinām, nav evolūcijas. Visi tā normālie krustojas vienā punktā – centrā. Dažreiz viņi saka, ka apļa evolūcija “deģenerējas” par punktu. Bet tai ir evolūcija (kas tomēr nav liels nopelns: galu galā katrai gludai līknei ir evolūcija). Šī evolūcija izrādās tuvs cikloidālo līkņu radinieks.

Sāksim ar zīmējumu. Izveidosim no saplākšņa apli, piestiprinām to uz papīra, pielīmēsim tam diegu un cieši pieskrūvējam šo pavedienu pie sava apļa malas.

Vītnes galā izveidosim cilpu, kurā ievietosim zīmuļa smaili (78. att.). Ja mēs tagad “tinam” pavedienu, zīmulis automātiski zīmēs

Rīsi. 79 Taisnas līnijas ripināšana aplī.

Diegam, protams, jābūt nostieptam un zīmuli cieši piespiestam pie papīra.

Apļa attīstību var iegūt citā veidā. Apskatīsim fiksētu apli ar rādiusu c un taisni AB, kas pieskaras šim riņķim punktā (79. att.).

Rīsi. 80.Vienkāršas šūpoles.

Ja taisne AB ripo, neslīdot pa apli, tad punkts acīmredzot aprakstīs apļa attīstību. Patiešām, jebkuram šīs līknes punktam M ritošā taisne KM kalpo kā normāla, un segmenta KM garums ir vienāds ar fiksētā apļa loka garumu.

Tādējādi apļa evolūcija ir “cikloids, kas pagriezts uz āru”. Cikloīda gadījumā aplis ripo, neslīdot pa stacionāru taisni. Riņķa izvēršanās gadījumā taisne ripo, neslīdot pa stacionāru apli.

Attēlā 80 parāda vienkāršu šūpošanos. Uz koka celma uzliek dēli AB tā, lai tā vidus pieskartos celmam. Kas notiek, ja dēlis ir sasvērts? Mēs zinām, ka tas atgriezīsies sākotnējā stāvoklī, pēc tam ar inerci tas novirzīsies citā virzienā un šūposies ap līdzsvara stāvokli. Šajā gadījumā, protams, gan dēlim, gan celmam jābūt raupjam, pretējā gadījumā dēlis slīdēs virzienā, ko norāda zīmējumā bultiņa.

Kāpēc padome atgriezīsies sākotnējā pozīcijā? Nav grūti to izdomāt. Ir zināms, ka katrs ķermenis gravitācijas ietekmē pārvietojas tā, ka tā smaguma centrs samazinās. Lai atbildētu uz mūsu jautājumu, pietiek zināt, pa kuru ceļu pārvietojas dēļa smaguma centrs (vidū), kad tas nedaudz novirzās no līdzsvara stāvokļa.

Bet tagad mums tas ir skaidrs! Tāfeles vidus aprakstīs apļa loku. Šī skenēšanas daļa ir parādīta attēlā. 80 punktēta līnija. Mēs redzam, ka ar nelielām dēļa novirzēm tā smaguma centrs paceļas, un tāpēc dēlis atgriezīsies savā līdzsvara stāvoklī. Līdzsvars acīmredzot būs stabils.

Sakarību starp apļa attīstību un cikloīdām līknēm var atklāt citā veidā. Jau teicām, ka epicikloīdu vai hipocikloīdu gadījumā (66. att.) neierobežots stacionāra apļa rādiusa pieaugums ar nemainīgu kustīga apļa rādiusu noved pie cikloīda. Ja pievēršamies pericikloīdam (50. lpp.) un, atstājot nemainīgu fiksētā apļa rādiusu, mēs neierobežoti palielinām kustīgā rādiusu, tā teikt, “iztaisnojot” (81. att.), tad pericikloīds būs. pārvērsties par apļa attīstību.

Šeit mēs neiesniegsim apļa evolūcijas loka garuma un tā sektora laukuma formulu atvasinājumu.

Iesniegsim gatavo rezultātu (82. att.). Skenēšanas loka garumam l un sektora laukumam S mums būs:

Šīs formulas ir interesantas ar to, ka tajās ietvertā leņķa vērtība ir jāpaaugstina līdz otrajai un trešajai pakāpei – tas ir apstāklis, kas var mulsināt iesācēju.

Rīsi. 81. Neierobežots kustamā apļa palielinājums.

Rīsi. 82. Apļa evolūcijas sektora loka garums un laukums.

Mēs vēlreiz uzsveram, ka leņķis noteikti ir jāizsaka radiānos. Ja leņķis ir izteikts grādos un ir vienāds, piemēram, (un grādi ir vienādi ar radiāniem), tad formulas tiks izmantotas šādā formā:

Vērsīsim lasītāju uzmanību uz to, ka radiānu (vai grādu) leņķis ir mūsu zīmējuma leņķis, nevis evolūcijas sektora leņķis!

Matemātikas vabole

Paņemiet papīra apli (83. att.), izgrieziet to no malas līdz centram (piemēram, pa NO rādiusu) un izrullējiet NOK sektoru caurulītē, kā parādīts attēlā.

Caurule izrādīsies ļoti glīta: galu galā tā ir koniska virsma, un visas šīs virsmas sastāvdaļas, tāpat kā viena un tā paša apļa rādiusi, ir vienādas viena ar otru.

Rīsi. 83. Papīra konusa līmēšana.

Ja mēs nogriežam apli, kā parādīts attēlā. 84, tad caurule izrādītos aplieta: koniskās virsmas ģenerātri nebūtu vienādi viens ar otru.

Tagad ņemsim papīra gabalu, ko ierobežo nevis aplis, bet kāda cita gluda līkne, piemēram, kā parādīts attēlā. 85. Ja paņem kādu punktu lapas iekšienē, piemēram, punktu O, izdara iegriezumu pa OH un rullē caurulīti, tad caurule izrādīsies slikta, jo konusveida virsmas ģenerātri būs dažādi garumi. Un neatkarīgi no tā, kā mēs izvēlētos punktu O, mēs nevarēsim iegūt labu cauruli, jo nevienai līknei, izņemot apli, nav punkta, kas atrodas vienādā attālumā no visiem citiem tā punktiem.

Rīsi. 84. Slikta caurule.

Nu? Būsim viltīgi! Ņemsim kādu punktu H uz lapas malas (85. att.) un iezīmēsim nelielu loku NK. Mēs uzskatīsim šo loku par apļa loku un atradīsim šī apļa centru. Šim nolūkam punktos H un K mēs zīmējam normālus. T normālo vērtību krustpunkts būs vēlamais centrs. Tālāk apsveriet CM loku. To bez lielām kļūdām var uzskatīt arī par riņķa loka loku, taču šī riņķa centrs nesakritīs ar normālas zīmēšanu loksnes kontūrai punktos K un M, mēs atradīsim to krustošanās punktu, kas nav sakrīt ar punktu T.

Rīsi. 85. Kā nogriezt lapu?

Atliek spert pēdējo soli: pārejiet no pārtrauktas centru līnijas uz nepārtrauktu līkni, lai nodrošinātu pilnīgi gludu cauruli bez spraugām. Ir skaidrs, ka šim nolūkam ir pietiekami aizstāt lauzto līniju, kuras saites savieno normālu “kaimiņu” pāru krustpunktus, ar gludu līkni - šo normālu aploksni, t.i. TP līkni, kas parādīta attēlā. 86.

Bet normālo vērtību apvalks, kā mēs zinām, ir dotās līknes evolūcija.

Tas nozīmē, ka, lai no loksnes izritinātu visprecīzāko cauruli, vispirms loksne ir jāizgriež pa NT normālās daļas gabalu un pēc tam pa tās kontūras TP evolūciju.

Rīsi. 86. Kā atbrīvoties no niķiem?

Un tev, lasītāj, un man, un kādam citam diez vai vajadzēs papīra gabalus tīt caurulītēs (cigaretes satīšana – “kazas kāja” – neder: šajā gadījumā tev nav jārūpējas ka visas sastāvdaļas ir vienāda garuma!). Tāpēc tagad analizētās problēmas praktiskā vērtība ir niecīga. Bet šeit ir tas, kas ir interesanti: ir vabole, pareizāk sakot, vairākas vaboļu šķirnes, kas topošajiem pēcnācējiem no lapas veido māju, velmējot to caurulē.

Šai caurulei jābūt stiprai un kārtīgai. To nedrīkst saplēst vējš un lietus, un tai nevajadzētu piesaistīt ienaidniekus ar savu gleznaino izskatu un izmēru. Un mūsu lapu vabole (vaboles no ģints Rhynchites, Byctiscus utt.) lieliski atrisina sarežģītu matemātisko uzdevumu. Tas grauž lapu cauri pa lapas kontūru un tikai pēc tam sarullē. Attēlā 87 attēlots bērza lapu veltnis (dabiskā izmērā) un tā nogriezta (pareizāk sakot, nograuzta) lapa.

Rīsi. 87 Bērzu lapu veltnis (pilna izmēra).

Rīsi. 88. Vīnogu lapu veltnis un tā caurule (palielināta 2 reizes).

Attēlā 88. attēlots divreiz palielināts vīnogu lapu veltnis un tā caurule.

Protams, ģeometra kļūda nekādā gadījumā neatrisina šo problēmu vienkāršs uzdevums pilnīgi neapzināti. Daudzus gadus dabiskā atlase saglabāja galvenokārt tos kukaiņus, kuru mājas bija īpaši glītas. Rezultātā radās instinkts, kas tika mantots no paaudzes paaudzē. Šis instinkts liek kukaiņam, nezinot ģeometriju, atrisināt sarežģītu ģeometrisku problēmu. Ņemiet vērā, ka cits, pazīstamāks kukainis - bite - arī izlemj (protams, neapzināti) ne mazāk grūts uzdevums: veidojiet šūnveida šūnu tā, lai noteiktam šūnu skaitam un jaudai to virsmas laukums būtu mazākais.

Šādos apstākļos tiek panākta visekonomiskākā būvmateriāla (vaska) izmantošana.

Ir vairāki ļoti vienkārši, bet ne efektīvi veidi Apļu pārveidošana rastra formā. Piemēram, vienkāršības labad apsveriet apli, kura centrs atrodas sākumā. Tā vienādojums ir uzrakstīts kā x 2 + y 2 = R 2. Atrisinot šo vienādojumu par y, mēs saņemam

y = ± .

Lai attēlotu apļa ceturto daļu, mēs mainīsimies x ar vienības soli no 0 līdz R un katrā solī aprēķiniet y. Otra vienkāršā metode apļa rastra skenēšanai ir aprēķinu izmantošana x Un y pēc formulām x = R cos α, y = R sin α, soli pa solim mainot leņķi α no 0° līdz 90°.

Lai vienkāršotu standarta apļa rastra skenēšanas algoritmu, varat izmantot tā simetriju attiecībā pret koordinātu asīm un taisnēm y = ± x; gadījumā, ja apļa centrs nesakrīt ar koordinātu sākumpunktu, šīs līnijas ir jānobīda paralēli, lai tās iet cauri apļa centram. Tādējādi pietiek ar rastra attēlojumu konstruēt 1/8 apļa, un iegūt visus atlikušos punktus pēc simetrijas (skat. 2.5. att.).

Rīsi. 2.5. Astoņu virzienu simetrija

Apsveriet apļa posmu no otrās oktantes xЄ. Tālāk mēs aprakstām Bresenheima algoritmu šai apļa sadaļai.

Katrā solī algoritms izvēlas punktu P i (x i, y i), kas ir vistuvāk patiesajam lokam. Algoritma ideja ir izvēlēties tuvāko punktu, izmantojot vadības mainīgos, kuru vērtības var aprēķināt soli pa solim, izmantojot nelielu skaitu saskaitīšanas, atņemšanas un nobīdes.

Apskatīsim nelielu pikseļu režģa posmu, kā arī iespējamos veidus (no A līdz E), kā iziet cauri režģim patiesu apli (2.6. att.).

Pieņemsim, ka punkts P i - 1 tika izvēlēts kā vistuvāk aplim, kad x = x i- 1 . Tagad noskaidrosim, kurš no punktiem ( S i vai T i) atrodas tuvāk aplim plkst x = x i- 1 + 1.

Rīsi. 2.6. Iespējas apļa izlaišanai caur rastra režģi

Ņemiet vērā, ka kļūda, izvēloties punktu P i(x i, y i) bija vienāds

D( P i) = (x i 2 + y i 2) – R 2 .

Uzrakstīsim izteiksmi kļūdām, kas iegūtas, izvēloties punktu S i vai T i:

D( S i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1) 2 ] – R2;

D( T i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1– 1) 2 ] – R 2 .

Ja | D( S i) | ≥ | D( T i) |, tad T i tuvāk reālajam lokam, pretējā gadījumā atlasiet S i.

Iepazīstinām d i= | D( S i) | – | D( T i) |.

T i tiks izvēlēts, kad d i≥ 0, pretējā gadījumā tas tiks iestatīts Si.

Izlaižot algebriskās transformācijas, mēs rakstām d i Un d i + 1 dažādām punktu izvēles iespējām S i vai T i.

D 1 = 3 – 2 R.

Ja atlasīts S i(Kad d i < 0), то d i + 1 = d i + 4 x i -1 + 6.

Ja atlasīts T i(Kad d i≥ 0), tad d i + 1 = d i + 4 (x i - 1 – y i - 1) + 10.

Elipsei ir Bresenheima algoritma modifikācija.